Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

I. Lời giới thiệu
Trong đề thi trung học phổ thông quốc gia các năm trước đây hoặc các đề thi
học sinh giỏi, các bài về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số
là các bài vẫn thường xuất hiện, tuy nhiên nó lại là một câu khó để lấy điểm cao.
Một trong những phương pháp phổ biến khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số là phương pháp phân tích thành nhân tử. Mặc dù khi học
các thầy, cô đã dành khá nhiều thời lượng để giảng dạy và luyện tập cho học sinh
các kỹ thuật tách, nhóm để phân tích thành phương trình, bất phương trình tích cịn
học sinh nghe thì hiểu cách làm nhưng vẫn thắc mắc: "Tại sao lại làm như vậy?".
Sách, tài liệu tham khảo và thầy cô chỉ nêu cho học sinh phương pháp và một số
kinh nghiệm khi lựa chọn phương pháp vào một số bài cụ thể nên học xong, đọc
xong học sinh vẫn cảm thấy rất mơ hồ. Chính vì vậy khi đứng trước một bài tốn
mới học sinh cảm thấy rất lúng túng không biết bắt đầu từ đâu và không biết phải
lựa chọn phương pháp nào cho phù hợp, bài nào có thể áp dụng phương pháp phân
tích thành nhân tử và nhóm, tách ra sao để biến đổi phương trình, bất phương trình
thành phương trình và bất phương trình tích. Đối với học sinh khá - giỏi cũng phải
thử hết cách này sang cách khác rất mất thời gian, đối với học sinh trung bình và
yếu thậm chí cịn khơng tìm được lời giải.
Sau một số năm bồi dưỡng học sinh giỏi: "Giải toán trên máy tính cầm tay",
tham khảo các tài liệu qua mạng internet và đặc biệt là bài viết của đồng nghiệp,
của học sinh được chia sẻ trên facebook tôi thấy được máy tính cầm tay chính là
một "vũ khí" đắc lực trong việc giải phương trình, bất phương trình và đặc biệt là
hệ phương trình đại số.
Tuy rằng, máy tính khơng phải là một phương pháp để giải phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình đại số nhưng nó giúp cho học sinh có thể định

1


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

hướng tìm cách giải nhanh và rõ ràng, đặc biệt nó có ưu thế rất mạnh trong việc
phân tích một phương trình thành phương trình tích. Tính năng SOLVE trên máy
tính cầm tay rất hay, nếu học sinh biết khai thác để phục vụ cho học tập thì rất thú
vị.
Chính vì tính ưu việt của máy tính cầm tay và với mong muốn cung cấp cho
học sinh một số bí quyết trong việc sử dụng nó để nhanh chóng định hướng được
phương pháp giải trong khi chưa có sách tham khảo hay tài liệu nào được công
khai chia sẻ cho học sinh biết được bí quyết đó nên tơi đã đúc rút, tổng hợp những
kinh nghiệm của bản thân, những tài liệu của đồng nghiệp và học sinh mà tôi đã
được đọc để viết sáng kiến kinh nghiệm: "Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi
giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số".
Thực ra, sáng kiến kinh nghiệm này đã được tôi báo cáo và sử dụng từ năm
2015 nhưng qua các năm giảng dạy tôi đã rút ra được nhiều kinh nghiệm khi áp
dụng sáng kiến nên tôi quyết định bổ sung và phát triển để sáng kiến được thể hiện
logic và đầy đủ hơn.
Do thời gian và khả năng có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm tơi viết vẫn cịn
nhiều tồn tại. Kính mong đồng nghiệp và học sinh góp ý để sáng kiến kinh nghiệm
của tơi được hồn thiện hơn và sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích và thú vị cho giáo
viên và học sinh.
II. Tên sáng kiến: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất
phương trình và hệ phương trình đại số.
III. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên:Vũ Thị Thanh Nga.
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Tường Vĩnh Phúc.

- Số điện thoại: 0982843827
E_mail:
2


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

IV. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Vũ Thị Thanh Nga.
V. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy cho học sinh lớp 10.
VI. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Năm 2015.
VII. Mô tả bản chất của sáng kiến:
 Một số lưu ý trước khi đọc bài viết
- Trong toàn bộ bài viết này đều hướng dẫn sử dụng trên máy tính Casio fx 570ES, các máy tính có cùng chức năng thao tác tương tự.
- Việc giới thiệu quy trình nhìn thì dài nhưng khi thực hiện rất nhanh, không mất
nhiều thời gian.
1. Sử
Sử dụng
dụng máy
máy tính
tính Casio
Casio khi
khi giải
giải phương
phương trình
trình và
và bất
bất phương
phương
1.

trình đại
đại số
số
trình

1.1. Giải phương trình bậc 4
- Như ta đã biết máy tính giải được phương trình bậc 3 bất kì nhưng bậc 4 ta thì
khơng. Nếu phương trình bậc 4 có nghiệm ngun hoặc hữu tỷ thì ta cũng dễ dàng
giải được bằng cách dùng lược đồ Hoone để phân tích thành phương trình tích bậc
1 và bậc 3. Trong trường hợp phương trình bậc 4 có nghiệm lẻ thì ta sẽ phải làm
thế nào? Máy tính cầm tay sẽ hỗ trợ tích cực trong việc đó.
 Phương pháp: Xét phương trình ax 4  bx 2  cx  d  0 (a �0) (1.1) .
 Máy tính sẽ giúp ta tìm được các nghiệm gần đúng của (1.1) là: A, B, C, D
(về nguyên tắc là thế nhưng thường ta chỉ cần tìm 3 nghiệm là đủ).
2
2
 Do (1.1) có thể viết thành:  a'x  b ' x  c '   d'x  e ' x  f '   0. Nên ta có

thể thử 2 trong 4 nghiệm A, B, C, D xem 2 nghiệm nào có tổng và tích
ngun, chẳng hạn A  B  S , A.B  P với S, P nguyên thì A, B là nghiệm
của phương trình: x 2  Sx  P  0 . Nên ta có:
3


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

(1.1) �  x 2  Sx  P   d'x 2  e ' x  f '   0. (Dạng quen thuộc đã biết cách

giải).

 Tìm biểu thức d'x 2  e ' x  f ' bằng cách chia đa thức ax 4  bx 2  cx  d
cho đa thức x 2  Sx  P .
Ví dụ: Giải phương trình x 4  3 x3  6 x 2  3 x  1  0 .

Hướng dẫn quy trình
- Nhập phương trình vào máy tính:
Alpha X x 4  3 Alpha X x 3  6 Alpha X x 2  3 Alpha X  1 
( Dấu "=" để lưu phương trình).
- Bấm shift solve . Máy hỏi: Solve for X ( Nhập giá trị ban đầu).

- Bấm 9  . Máy sẽ sử lí mất vài giây và cho kết quả

X
R

 1.618...
0

- Lưu nghiệm này vào biến A RCL X Shift STO A . Nhấn nút đẩy lên hai lần để
tìm phương trình đã lưu. Sau đó bấm: shift solve . Máy hỏi Solve for X , ta bấm

tiếp 0  máy báo

X
R

 0.236...
0

.

4


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

- Lưu nghiệm vào biến B RCL X Shift STO B . Nhấn nút đẩy lên để tìm phương
trình đã lưu Sau đó bấm: shift solve . Máy hỏi Solve for X , ta bấm tiếp 9  máy

báo

X
R

4.236...
3.5 �1012

.

Lưu nghiệm vào biến C RCL X Shift STO C .
- Bấm: Alpha A  Alpha B  , máy hiện kết quả 1.854... (lẻ nên bỏ qua).
- Bấm: Alpha A  AlphaC  , máy hiện kết quả 2.618... (lẻ nên bỏ qua).
- Bấm: Alpha B  Alpha C  , máy hiện kết quả 4 ( Tốt rồi, tiếp tục!)
Alpha B �Alpha C  máy hiện kết quả 1 . Vậy là xong rồi. Ta có lời giải như

sau:
Bài giải
x 4  3x3  6 x2  3 x  1  0 � ( x 2  4 x  1)( x 2  x  1)
�

x2� 5
�
x2  4x  1  0
�
� �2
� � 1 � 5
x

x

1
x
�
�
�
2
�
2
Vậy, phương trình có nghiệm là: x  �
�

5;

1 � 5 �
�.
2 �

 Bài tập vận dụng
Gải các phương trình sau
1. x 4  6 x3  3 x 2  18 x  8  0

2. x 4  2 x3  6 x 2  10 x  5  0
3. x 4  22 x 2  5 x  2  0
5


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

1.2. Giải phương trình và bất phương trình vơ tỷ

Ví dụ 1: Giải phương trình
3 5 x  4  3 x  4  4 x 2  18 x  12  0 (1.2)

Phân tích: Quan sát phương trình (1.2) rất khó để sử lí, khơng thể đặt ẩn phụ chỉ
có thể phân tích thành nhân tử. Vậy phân tích như thế nào? Ta sẽ dùng máy tính để
dự đốn cách phân tích
Hướng dẫn quy trình
4
- Điều kiện: x � .
5
- Nhập phương trình vào máy tính và bấm dấu "=" để lưu phương trình

3 5 Alpha X  4  3 Alpha X  4  4 Alpha X x 2  18 Alpha X  12  .
- Bấm shift solve 0 . Máy cho ta nghiệm X  0 .
- Ta cần tìm các nghiệm khác bằng cách: sửa phương trình thành

(3 5 Alpha X  4  3 Alpha X  4  4 Alpha X x 2  18 Alpha X  12) �Alpha X .
- Bấm shift solve  máy báo X  3.797... .
- Bấm RCL X Shift STO A ( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào A).

6


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

- Sửa phương trình thành

(3 5 Alpha X  4  3 Alpha X  4  4 Alpha X x 2  18 Alpha X  12) �
.
 Alpha X �( Alpha X  Alpha A)
- Bấm shift solve   máy báo X  1 �1050 nghiệm này xấp xỉ bằng 0, tức vơ
nghiệm.
- Vậy ta chỉ có 2 nghiệm thơi, làm thế nào tìm được nghiệm lẻ nữa để kết hợp với
A để áp dụng định lí Talet đảo tìm được phương trình nhận chúng là nghiệm.
* Cách 1: Mị phương trình bậc hai tạo ra nghiệm lẻ cịn lại.
- Nghiệm đó là nghiệm của phương trình bậc hai: ax 2  bx  c  0 .
- Thông thường là a = 1, c nguyên nên chủ yếu ta tìm b.
- Ta đã lưu nghiệm lẻ tìm được vào A, bây giờ ta lưu lại vào X bằng cách
RCL A Shift STO X .

- Nhập: X 2  BX : B  B  1
bằng cách
alpha X x 2  alpha B alpha X alpha �alpha B alpha  alpha B  1
- Bấm CALL, máy hiện B ? ta bấm tiếp 9 
- Bấm tiếp dấu " =" cho đến khi X 2  BX là số nguyên thì dừng.
- Ở bài này ta dừng ở B = -3 khi X 2  BX  3 . Vậy: x 2  3 x  3 là nhân tử cần tìm.
 Ta cũng có thể dùng tính năng table cho nhanh như sau:
7

SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

- Bấm Mode 7.
- Máy hiện f(x) =, ta nhập: A2  XA  3 ( X chạy và A là nghiệm), rồi bấm "=".
- Máy hiện Start?, ta bấm -9= ( bắt đầu).
- Máy hiện End?, ta bấm 9= ( kết thúc).
- Máy hiện Step?, ta bấm 1= ( bước nhảy là 1).
Nhìn vào bảng ta thấy ln X = -3 thì f(x) = 3 vậy: f ( x)  A2  3 A  3 , suy ra
x 2  3x  3 là nhân tử cần tìm.
- Nếu khơng có giá trị đẹp có thể sửa thành 2 A2  XA, 3 A2  XA... tuy nhiên không
đến nỗi khó thế, nó chỉ dừng ở hệ số của x 2 bằng 1 mà thơi.
* Cách 2: Mị biểu thức để ghép liên hợp.
- Những bài toán như thế này thường ghép liên hợp nhưng vấn đề đặt ra là ghép
với số nào?
�
� 5 x  4  ax  b
- Dạng chính là: �
ta phải đi tìm a, b, a', b'.
� x  4  a'x  b'

- Lưu nghiệm A = 3,79... sang nghiệm X = 3,79...
- Thử xem

5 x  4-ax khi nào nguyên thì dừng. Ở đây ta tìm được giá trị nguyên

của biểu thức là 1 tại a = 1, tức a = 1 và b = 1.
- Tương tự, thử xem

x  4-a'x khi nào nguyên thì dừng. Ở đây ta tìm được giá trị

nguyên của biểu thức là -1 tại a = 1, tức a = 1 và b = -1.

8


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

�
  x 2  3 x  3
� 5 x  4   x+1 
5 x  4   x+1
�
- Vậy ta có: �
, thế là định hướng xong.
2

x

3
x

3


�
� x  4   x-1 
x  4   x-1

�

Bài giải
4
- Điều kiện: x � .
5
� 3 � x  4   x  1 � 4  x 2  3 x  3   0
(1.2) � 3 �
5
x

4

x

1


�
� �
�
�
�
3
3
�  x 2  3 x  3 �
4

� 0
5 x  4   x  1

x  4   x  1 �
�
�
x 2  3x  3  0
�
��
3
g ( x)  4 

�
5
x

4

x

1


�

3
0
x  4   x  1

- Ta có:

g '( x) 
x �



5
�
�
1

2 �
�
2
5
x

4
�
�
5x  4  x  1
3





1
�
�
1

2 �

� 0
x

1

x

4
�
�
x  4  x 1
3



4
5

�4
�
 ; ��. Mà g(0) = 0 nên g(x) = 0 có nghiệm
Suy ra g(x) ln đồng biến trên �
�5
�
duy nhất x = 0.
- Xét x 2  3 x  3  0 � x 

3 � 21
.
2

9


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

- Thử lại ta có kết luận: Phương trình có hai nghiệm x  0, x 
x2  2x  8
  x  1
Ví dụ 2: Giải phương trình 2
x  2x  3



x22

3  21
2



(1.3)

Hướng dẫn quy trình
- Điều kiện: x �2 .
- Nhập phương trình vào máy tính và bấm dấu "=" để lưu phương trình

Alpha X x 2  2 Alpha X  8
  Alpha X  1

Alpha X x 2  2 Alpha X  3





Alpha X  2  2  .

- Bấm shift solve  2 . Máy cho ta nghiệm X  2 .
- Ta cần tìm các nghiệm khác bằng cách:
Đẩy phím lên trên tìm phương trình đã lưu rồi tiếp túc bấm
shift solve 0 máy báo X  3.302... .

- Tiếp tục tìm thêm nghiệm: shift solve 9 máy vẫn báo kết quả X  3.302... .
Điều đó cho thấy phương trình chỉ có hai nghiệm và có lẽ nghiệm X  3.302... là
một trong hai nghiệm của phương trình bậc hai, cịn một nghiệm bị loại. Ta sẽ đi
tìm phương trình bậc hai nhận X  3.302... là nghiệm.
- Ta sẽ biến đổi phương trình thành phương trình hệ quả để tìm thêm được nghiệm
ngoại lai
10


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

x2  2x  8
  x  1
x2  2x  3



x2 2



x2  2 x  8
� 2
 2  x  1   x  1 x  2
x  2x  3
 2 x  1  x 2  2 
�
  x  1 x  2 (1.4)
x2  2x  3
�  2 x  1

2

x

2

 2    x  1
2

2

x

2

 2 x  3

2

 x  2  0

(1.5)

- Nhập phương trình (1.5) vào máy tính và bấm dấu "=" để lưu phương trình.
- Bấm shift solve  2 . Máy cho ta nghiệm X  0.302... .
- Bấm RCL X Shift STO A ( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào A).
- Ta cần tìm các nghiệm khác bằng cách:
Đẩy phím lên trên tìm phương trình đã lưu rồi tiếp túc bấm
shift solve 3 máy báo X  3.302... .

- Bấm RCL X Shift STO B ( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào B).
- Vậy là đã tìm được hai nghiệm lẻ, ta tính tổng và tích của chúng xem có ra số
ngun hay khơng bằng cách
- Bấm: Alpha A  Alpha B  , máy hiện kết quả 3 (Đẹp quá rồi!).
- Bấm tiếp: Alpha A�Alpha B  , máy hiện kết quả 1
2
- Vậy (1.5) sẽ có nhân tử:  x  2   x  3x  1 .

Bài giải
11


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

- Điều kiện: x �2 .
*Cách 1

x2  2x  8
  x  1
x2  2 x  3

�

 2 x  1  x 2  2 
x2  2 x  3

�  2 x  1

2

x

2





x2  2 x  8
 2  x  1   x  1 x  2
x2 2 � 2
x  2x  3

  x  1 x  2

 2    x  1
2

2

x

2

(1.4)

 2 x  3

2

 x  2  0

(1.5)

�  x  2   x 2  3 x  1   x 4  x 3  3x 2  x  7   0

x2
�
�
3 � 13
��
x
�
2

�4
3
x  x  3 x 2  x  7  0 (1.6)
�
� 1
x�
�
- Từ (1.4) ta thấy � 2
2 �x �1
�
x2
�
1
�
 Nếu x � thì (1.6) vơ nghiệm, suy ra (1.5) có hai nghiệm � 3  13 .
2
x
�
2

 Nếu 2 �x �1
Ta xét hàm số: f ( x )  x 4  x3  3x 2  x  7 trên đoạn  2; 1
f '( x)  4 x 3  3 x 2  6 x  1
f ''( x)  12 x 2  6 x  6  0, x ��

12


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

Nên hàm số f'(x) đồng biến trên �. Vì vậy:
31  f '(2) �f '( x) �f '(1)  6 � f '( x)  0, x � 2; 1 , vậy hàm số f(x)
nghịch biến trên đoạn  2; 1 , mà 9  f (1) �f ( x) �f ( 2)  25 nên (1.6) vô
nghiệm.
Vậy, trên  2; 1 phương trình (1.5) vơ nghiệm.
x2
�
�
- Thử lại ta thấy phương trình (1.3) có hai nghiệm � 3  13
x
�
2
2
*Cách 2: Nhân liên hợp xuất hiện nhân tử  x  2   x  3x  1

x2  2 x  8
  x  1
x2  2 x  3



x2
�
� � x4
�2

�x  2 x  3

x 1

x22



x2 2 �

 x  2   x  4    x  1  x  2 
x2  2 x  3

(1.6)

 1.6  �  x  4  x  2  x3  x 2  x  5
�  x  4   x  1  x  2   x3  2 x 2  4 x  1  0
Ta thấy x  1  x  2 � x 

x22

(1.7)

3  13
không là nghiệm của phương trình (1.7) nên:
2

� 2
 x  4   x 2  3x  1
�
 x  3x  1  x  1  x  1  x  2  0
�
 1.7  ۳ �
�x 2

�
�x  3  13
�
2
�

13


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

��
x 2  3x  1  0
��
x4
��
x 1
 0 (1.8)
��
x 1 x  2
�
�
۳ �x 2
�
�x  3  13
�
2
�
�

Ta có:  1.8  � x 2  x  3   x  1 x  2  0
�  x  2

2

1� 3
�
x  2  � x  2  �  0 (Vô nghiệm do VT > 0).
2� 4
�

x2
�
�
Vậy, phương trình (1.3) có hai nghiệm � 3  13 .
x
�
2
2
3
2
Ví dụ 3: Giải bất phương trình 3  x  1 2 x  1  2  x  x 

(1.9)

Hướng dẫn quy trình

1
- Điều kiện: x � .

2
2
� 0
3
x

1
2
x

1

2
x


- (1.9) �  x  1 �
�
�

- Ta sẽ phân tích biểu thức 3  x  1 2 x  1  2 x 2 bằng cách sử dụng chức năng
Solve của máy tính đề tìm nghiệm của phương trình: 3  x  1 2 x  1  2 x 2  0.
Máy cho ta 2 nghiệm X = 6,464... và X = -0,464..., ta lưu vào 2 biến A và B, tính
tiếp A + B = 6 và A.B = -3 nên 2 nghiệm tìm được chính là nghiệm của phương
trình: x 2  6 x  3  0 .
14


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

- Ép nhân tử chung x 2  6 x  3 là xong.
Bài giải

1
- Điều kiện: x � .
2
(1.9) �  x  1 �
3  x  1 2 x  1  2 x 2 �
�
� 0





�  x  1 �
3 2 x  1 x  1  2 2 x  1  2  x 2  6 x  3 � 0
�
�

�
�
x2  6x  3
�  x  1 �
3 2x  1
 2  x 2  6 x  3  � 0
x  1  2 2x  1
�
�

�
 2 x  1  2  x  1 �
�  x  1  x 2  6 x  3 �
� 0
x

1

2
2
x

1
�
�
2
��
1� 3�
 � 2 x  1  � �
�
2� 4�
2
�  x  1  x  6 x  3 � �
0
� x  1  2 2x  1 �
�
�
�
�

�  x  1  x 2  6 x  3  0



 



� x � 3  2 3;1 � 3  2 3; �



 



Vây, bất phương trình có tập nghiệm: S  3  2 3;1 � 3  2 3; � .
 Bài tập vận dụng
Giải các phương trình, bất phương trình sau
1.  x  1 x 2  2 x  3  x 2  1.
2.  3 x  1 x 2  3  3 x 2  2 x  3 .
15


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

3. 3 3 x 2  x 2  8  2  x 2  15 .
4.

2 x3  3x 2  6 x  16  4  x  2 3 .

5.  x  1 x 2  2 x  5  4 x x 2  1 �2  x  1

2. Sử
Sử dụng
dụng máy
máy tính
tính Casio
Casio khi
khi giải
giải hệ
hệ phương
phương trình
trình
2.
2.1.Dạng 1: Các mối quan hệ được rút ra từ một phương trình
2
2
�
�x  xy  y  7 (2.1)
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau �2
2
�x  xy  2 y   x  2 y (2.2)

Hướng dẫn quy trình
Cách 1:
* Nhận xét chung:
- Hệ gồm 2 phương trình hai ẩn, điều đặc biệt là ở chỗ phương trình (2.2) biến đổi
được cịn phương trình (2.1) khơng có gì để biến đổi (Nhìn là có thể nhận biết

được ngay điều này).
- Vậy, ý tưởng chung là: từ phương trình số (2.2) biến đổi đưa về mối quan hệ của
x, y rồi thế vào phương trình (2.1).
16


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

- Tuy nhiên, biến đổi phương trình (2.2) như thế nào? Đa số học sinh thường bằng
giác quan: nhóm nhóm, tách tách... tìm đủ mọi cách để phân tích thành nhân tử rồi
đến một lúc nó sẽ ra.
- Để khơng phải loay hoay, mất thời gian tôi sẽ đưa ra phương pháp để lấy căn cứ
biến đổi như sau:
*Sử dụng tính năng của Solve:
+ Nhập nguyên phương trình (2): X 2  XY  2Y 2   X  2Y bằng cách nhập trên
máy tính:
Alpha X x 2  Alpha X AlphaY  2 AlphaY x 2   Alpha X  2 AlphaY

(2.3)

Lưu ý:
 " Alpha X , AlphaY " gọi là biến X, biến Y nhưng với máy tính thì mặc định X
là biến và Y là tham số.





 Dấu "=" trong (2.3) là dấu "=" màu đỏ Alpha  trên bàn phím.

+ Sau đó bấm phím: Shift Slove .
+ Máy hiện Y ? : Máy hỏi giá trị ban đầu của Y là mấy để tìm X.
+ Khởi tạo giá trị ban đầu cho Y là 0 bằng cách nhập: 0  .
+ Máy tính hỏi: Slove for X thì bấm  .

+ Máy sẽ sử lí mất vài giây và màn hình cho kết quả:

X
R

0
0

.

Giải thích:
17


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

 Khi Y = 0 thì X = 0( có thể ra nghiệm X = -1, khơng ảnh hưởng đến thuật
tốn).
 Sai số của nghiệm là: 0.
+ Tiếp theo ấn mũi tên sang trái để quay trở lại phương trình và khởi tạo lại cho Y
= 1 thì được X = 2... cứ như vậy tới y = 5 thì được x = -6 và ta bẳng giá trị sau:
Y

0

1

2

3

4

5

X

0 hoặc -1

2 hoặc -2

-3

-4

-5

-6

(Bảng 1)
+ Vậy là, từ bảng trên ta có quy luật: x  y  1  0 ( Ưu thế của máy tính dừng ở
đây, viết ra thì dài nhưng thực hành thì rất nhanh, tiết kiệm thời gian và định hướng
rất rõ ràng).
+ Việc tiếp theo đã rõ: Biến đổi (2) để xuất hiện nhân tử: " x  y  1"

x 2  xy  2 y 2   x  2 y � x 2  xy  2 y 2  x  2 y  0
� x( x  y  1)  2 y ( x  y  1)  0 � ( x  y  1)( x  2 y )  0
x  ( y  1)
�
��
x  2y
�

Vậy là nghiệm vừa rồi bị nhiễu tại Y = 0 và Y = 1 là do: " x  2 y " .
+ Việc còn lại là thế vào phương trình (1):


Khi x  ( y  1) :.....



Khi x  2 y :

4 y 2  2 y 2  y 2  7 � y  �1

Cách 2: Cách này tuy phức tạp hơn nhưng kiểm sốt được tồn bộ nghiệm.
18


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

*Với Y  0 ta được một nghiệm X  0 .
*Để xem phương trình cịn nghiệm khác hay khơng, chúng ta sẽ làm như sau:

+ Ấn mũi tên sang ngang để sửa phương trình thành:

X

2

 XY  2Y 2  X  2Y  :  X  0 

+ Phương trình này để bỏ nghiệm vừa tìm và tìm thêm nghiệm mới
+ Sau đó bấm lại như từ đầu và tìm được nghiệm ta tìm được X  1 .

X 2  XY  2Y 2  X  2Y
+ Sau đó lại nhập:
.
 X  0   X  1
+ Sau đó lại bấm lại quy trình tìm nghiệm thì máy báo "Can't solve" tức là vơ
nghiệm hay phương trình ban đầu đã hết nghiệm. Vậy Y  0; X  0; X  1 được
Y  0 , X  0 , X  1 .
+ Tiếp theo chúng ta ấn " mũi tên chỉ sang trái" để quay trở về phương trình. Ta lại





2
2
sửa phương trình thành: X  XY  2Y  X  2Y .

Lại bắt đầu khởi tạo giá trị ban đầu Y  1, X  0 máy lại tính được X  2 hoặc

X  2 . Cứ như vậy cho đến khi Y  5 thì ta được kết quả như sau:
Y

0

1

2

3

4

5

X

0(hoặc -1) 2(hoặc -2) -3(hoặc 4) -4(hoặc 6) -5(hoặc 8) -6(hoặc 10)
(Bảng 2)
 Cách này đầy đủ nhưng sẽ mất thời gian chỉnh sửa phương trình nên
trong bài viết này đa phần tác giả sẽ giải theo cách 1.

19


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

Cách 3: Để tìm nghiệm khác ngồi một nghiệm đã tìm được
- Ví dụ khi Y  0 lúc đó máy hỏi: "solve for X" thì ta ấn "0  " máy sẽ tìm được

nghiệm X  0 , ấn tiếp " 9  " thì được nghiệm X  1 , ấn tiếp "9  " thì được
nghiệm X  0 . Điều đó cho biết máy đã tìm được hai nghiệm X  0 và X  1 khi
Y 0.
- Trong bảng 1 từ giá trị Y  2 đến Y  5 ta thấy nó xuất hiện quy luật:
X  Y  1  0 ( Tại Y  0 và Y  1 nó khơng có quy luật đó do có nhân tử gây
nhiễu bởi tính năng "solve" là tính năng dị nghiệm theo cơng thức Newton nên nó
sẽ tìm nghiệm gần với giá trị biến hiện tại của X).
- Bây giờ là việc thêm, bớt để ép phương trình (2) xuất hiện nhân tử : X  Y  1

x 2  xy  2 y 2   x  2 y � x 2  xy  2 y 2  x  2 y  0
� x( x  y  1)  2 y ( x  y  1)  0 � ( x  y  1)( x  2 y )  0

Bài giải
x 2  xy  2 y 2   x  2 y � x 2  xy  2 y 2  x  2 y  0
� x( x  y  1)  2 y ( x  y  1)  0 � ( x  y  1)( x  2 y )  0
x  y 1  0
�
��
x  2y  0
�
Với

y  3 � x  2
�
:
x   y  1  1.1 � y 2  y  6  0 � �
y  2 � x  3
�

Với

x  2y





:

y 1� x  2
�
y  1 � x  2
�

 1.1 � 7 y 2  7 � �

Vậy, hệ phương trình có nghiệm:  x; y  �  2;1 ;  2; 1 ;  2; 3 ;  3;2   .
20


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau
�
 1  y  x  y  x  2   x  y  1 y (2.3)
�
� 2
2 y  3x  6 y  1  2 x  2 y  4 x  5 y  3 (2.4)
�

Hướng dẫn quy trình
* Nhận xét chung:
điều kiện của (2.3) là x �y bởi vậy lúc khởi tạo giá trị ban đầu "solve for X" ta
phải nhập giá trị lớn hơn Y, chẳng hạn "9 =". Tại sao lại như vậy? Vì nếu ta cho
Y  3 mà giá trị ban đầu X  2 thì máy sẽ có hai kiểu dò nghiệm:
+ Kiểu 1 là: 2 � 2,1 � 2,2 � 2,3 � ...
+ Kiểu 2 là: ... � 1,7 � 1,8 � 1,9 � 2
Nhưng dù có đi theo con đường nào thì

x  y cũng khơng xác định ngay, do đó

máy dừng dị nghiệm và báo "Can't solve". Do đó phải khởi tạo giá trị ban đầu
của X lớn hơn Y.
- Làm tương tự như ví dụ 1 ta được bảng sau
Y

0

1

2

3

4

5

X

1

2

3

4

5

6

(Bảng 3)
- Từ bảng 3 ta thấy luôn quy luật x  y  1 hay

x  y  1 . Vậy ta sẽ đi theo hướng

làm xuất hiện nhân tử x  y  1  0 . Cụ thể:

21


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

 1  y  x  y  x  2   x  y  1 y
�  1  y  x  y  x  2   x  y  1

y 0

�  1  y  x  y  x  y  1   y  1   x  y  1 y  0
� 1 y





� 1 y







x  y  1   x  y  1 1  y  0







x  y  1 �1  y  x  y  1� 0
�
�

�
1 y  0

�
� � x  y 1  0
�
�1  y  x  y  1  0 (VN )
�





+ Với 1  y  0 � y  1 : Thế vào (2.4) ta được x = 3.
+ Với

x  y  1  0 � x  y  1 : Thế vào (2.4) ta được:

2 y 2  3  y  1  6 y  1  2 1  y  1  y � 2 y 2  3 y  2  1  y (2.5)
Ở phương trình (2.5) ta thấy vế phải là hàm số nghịch biến và vế trái là hàm số
đồng biến nên phương trình có nhiều nhất là một nghiệm.
 Ta sẽ sử dụng máy tính để dị nghiệm nào!



Nhập phương trình:

2 alpha X x 2  3 alpha X  2alpha 

1  alpha X

( Dấu "=" trong khi nhập phương trình là dấu "=" màu đỏ, biến trong phương trình
là "X" chứ khơng phải "Y" vì máy tính đã mặc định như vậy rồi).

22


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số



Sau đó bấm: shift solve 0,5  ( Lưu ý: do x � 0;1 nên chọn giá trị khởi đầu
phải thỏa mãn điều kiện). Thật khơng may mắn vì máy tính cho nghiệm rất
lẻ. Khơng sao, ta hi vọng nó là cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai.



Ta sẽ tư duy như thế này nhé: phương trình (5) nếu bình phương hai vế sẽ
được phương trình bậc bốn nên có thể sẽ phân tích được thành:

x

2

 Sx  P   x 2  S ' x  P '  0 . Do đó nếu ta tìm được một nhân tử là xong.

Ta sẽ làm xuất hiện nhân tử bằng cách sau:
- Nhập phương trình:  2 alpha X x 2  3 alpha X  2    1  alpha X  
2

- Sau đó bấm: shift solve 0 
Máy báo: X  0,3288...

- Bấm RCL X Shift STO A ( Lưu nghiệm X vừa tìm được vào A).
- Tìm tiếp nghiệm thứ 2: Nhấn nút đẩy lên hai lần để tìm phương trình đã lưu, đưa
mũi tên sang trái sửa phương trình thành:

  2 alpha X x

2



 3 alpha X  2    1  alpha X  � alpha X  alpha A 
2

Sau đó bấm: shift solve . Máy hỏi A ? 0,3228... , ta bấm tiếp  thì máy hiện
Slove for X ta bấm tiếp 0  máy báo X  0,6180... . ta ấn phím sang trái rồi ấn
 để lưu lại phương trình và bấm RCL X Shift STO B ( Lưu nghiệm X vừa tìm

được vào B).
23


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

- Tìm tiếp nghiệm thứ 3: Nhấn nút đẩy lên hai lần để tìm phương trình đã lưu, đưa
mũi tên sang trái sửa phương trình thành:

  2 alpha X x  3 alpha X  2
2

2

  1  alpha X 

� alpha X  alpha A   alpha X  alpha B 



Sau đó bấm: shift solve   0  . Ta được nghiệm X  1,61803... ta ấn phím
sang trái rồi ấn  để lưu lại phương trình và bấm RCL X Shift STO C ( Lưu
nghiệm X vừa tìm được vào C).
- Tương tự ta tìm tiếp nghiệm thứ 4: Nhấn nút đẩy lên để tìm phương trình đã lưu,
đưa mũi tên sang trái sửa phương trình thành:

  2 alpha X x  3 alpha X  2alpha X 
2

2

  1  alpha X 



� alpha X  alpha A   alpha X  alpha B   alpha X  alpha C 

Sau đó bấm: shift solve    0  . Ta được nghiệm X  2,3288... .
Vậy là ta có bốn nghiệm là: A, B, C, X.
- Ta tính tổng và tích các nghiệm để tìm được phương trình bậc hai với hệ số
nguyên. Sau khi thử ta thấy: BC  1 và B  C  1 , vậy theo định lí Viet ta có B,
C là nghiệm của phương trình x 2  x  1  0 .

- Vậy ta đưa phương trình (5) về dạng tích có chứa nhân tử x 2  x  1 , thế là xong.
Bài giải:

24


SKKKN: Sử dụng hiệu quả máy tính Casio khi giải phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình đại số

 2.3 �  1  y  x  y  x  2   x  y  1 y  0
�  1  y  x  y  x  y  1   y  1   x  y  1
�  1  y   x  y  1   x  y  1  1  y   0



� 1 y





y 0



x  y  1 �1  y  x  y  1� 0
�
�

�

1 y  0
�
� � x  y 1  0
�
�1  y  x  y  1  0 (VN )
�





+ Với 1  y  0 � y  1 : Thế vào (2.4) ta được x = 3.

x  y  1  0 � y  x  1 : Thế vào (2.4) ta được:

+ Với

2 y 2  3  y  1  6 y  1  2 1  y  1  y � 2 y 2  3 y  2  1  y (2.5)

� 2 y 2  3 y  2  1  y � 2  y 2  y  1  y  1  y  0
�
�
y2  y  1
1
� 2  y  y  1 
 0 �  y 2  y  1 �
2
0
� y  1 y �
�

y  1 y
�
�
2

�
5 1
(t / m)
�y 
5 1
2
2
� y  y 1  0 � �
�x
2
�  5 1
(l )
�y 
�
2

�

� 5 1

�

� 2

�

x; y  ��

 3;1 ; �
Vậy, hệ phương trình có nghiệm:

;

�
5 1 �
�
�
�
2 �
�.

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau

25