De HSG(De xuat)- De 8

Câu 1(4đ): Tìm số tự nhiên n để
18n +
và
41n
−
là hai số chính phương.
Câu 2(4đ): a) Giải hệ phương trình:
2
2
1
12
1
8
x
x
y y
x
x
y y

+ + =




+ + =



b) Giải phương trình:
x + 3 + 6 - x (x + 3)(6 - x) = 3−

.
Câu 3(5đ): a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

3
3 3
abc + xyz (a + x)(b + y)(c + z)
≤
.
b) Từ đó suy ra :
3 3
3 3 3
3 3 3 3 2 3
+ + − ≤
Câu 4(5đ): Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB,
BC, CD, DA của hình vuông.
a) Chứng minh rằng S
ABCD

AC
4
≤
(MN + NP + PQ + QM).
b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.
Câu 5(2đ): Cho ba số a,b,c thỏa mãn đồng thời các điều kiện: a+b+c=1 và
1
111
=++
cba
.
Chứng minh:

2011 2011 2011
1a b c+ + =
Hết
Họ và tên thí sinh:........................................................Số báo danh...........................
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Câu Nội dung Điểm
Câu 1 Để
18n
+
và
41n
−
là hai số chính phương thì
2
18n p
+ =
và
( )
2
41 ,n q p q
− = ∈
N
( ) ( ) ( ) ( )
2 2

18 41 59 59p q n n p q p q
⇒ − = + − − = ⇔ − + =
1,0đ
1,0đ
Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:
1 30
59 29
p q p
p q q
− = =
 
⇔
 
+ = =
 
1,0đ
Từ
2 2
18 30 900n p+ = = =
suy ra
882n
=
0,5đ
Thay vào biểu thức
41n
−
, ta được
2 2
882 41 841 29 q− = = =
.

Vậy với
882n =
thì
18n
+
và
41n
−
là hai số chính phương.
0,5đ
Câu 2
a) Giải hệ phương trình:
2
2
1
12 (1)
1
8 (2)
x
x
y y
x
x
y y

+ + =





+ + =


Lấy (1)+(2) theo vế ta được: (x +
1
y
)
2
+ x +
1
y
- 20 = 0. Đặt: t = x +
1
y

=> t
2
+ t - 20 = 0 (t – 4)(t + 5) = 0  t
1
= 4, t
2
= -5
Với t = 4 => x +
1
y
= 4 => x = 4 -
1
y
. Thay vào (2) có: (2y-1)
2

= 0 => y =
1
2
=> x = 2.
Với t = -5 => x +
1
y
= -5=> x = -5 -
1
y
. Thay vào (2) có:
13y
2
+ 5y + 1 = 0 phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: x = 2, y =
1
2
b) Giải phương trình:
x + 3 + 6 - x - (x + 3)(6 - x) 3 (1)=
Điều kiện :
x+3 0
-3 x 6
6-x 0
≥

⇔ ≤ ≤

≥

.

Đặt :
2 2
x + 3
, , 0 9.
v = 6 - x
u
u v u v

=

≥ ⇒ + =



Phương trình đã có trở thành hệ :

2 2 2
u + v = 9 (u + v) - 2uv = 9
u + v - uv = 3 u + v = 3 + uv
 
⇔
 
 

Suy ra : (3+uv)
2
-2uv = 9
uv = 0 u = 0
uv = -4 v = 0
 

⇔ ⇔
 
 

x+3 = 0 x = -3
x = 6
6-x = 0


⇔ ⇔





.
Vậy phương trình có nghiệm là x =-3 , x = 6.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011

MÔN THI : TOÁN
Câu 3
a) Từ biểu thức :
3
3 3
abc xyz (a+x)(b+y)(c+z) (1)+ ≤
Lập phương 2 vế của (1) ta được :

2 2
3 3
abc + xyz + 3 (abc) xyz +3 abc(xyz) (a+x)(b+y)(c+z)≤
2 2
3 3
abc + xyz+ 3 (abc) xyz +3 abc(xyz)
⇔ ≤

abc+xyz+abz+ayc+ayz+xbc+xyc+xbz
2 2
3 3
3 (abc) xyz +3 abc(xyz) (abz+ayc+ xbc)+ (ayz+xbz+xyc)⇔ ≤
(2)
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
2
3
(abz+ayc+ xbc) 3 (abc) xyz≥
(3)
2
3
(ayz+xbz+ xyc) 3 abc(xyz)≥
(4)

Cộng hai bất đẳng thức (3) và (4) ta được bất đẳng thức (2), do đó (1) được
chứng minh.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b) Áp dụng BĐT (1) với
3 3
a = 3+ 3, b = 1, c = 1, x = 3 - 3, y = 1, z = 1
Ta có : abc = 3 +
3
3
, xyz = 3-
3
3
, a+ x = 6, b + y = 2, c + z = 2
Từ đó :
3 3
3 3 3 3
3+ 3 3- 3 6.2.2 2 3+ ≤ =
(đpcm).
1,0đ
0,5đ
0,5đ
Câu 4 a) Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của
QN, MN, PQ. Khi đó :
BJ =
MN

2
(trung tuyến ∆ vuông MBN)
Tương tự DK =
PQ
2
.
IJ =
QM
2
(IJ là đtb ∆ MNQ).
Tương tự IK =
PN
2
.
Vì BD ≤ BJ + JI + IK + KD. Dođó:
ABCD
AC AC
S .BD (BJ+JI + IK+KD)
2 2
= ≤
AC
= (MN+NP+PQ+QM)
4
- đpcm.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ
b) Chu vi tứ giác MNPQ là :

MN + NP + PQ + QM = 2BJ + 2IK +2DK + 2IJ
= 2(BJ + JI + IK + KD) ≥ 2BD (cmt)
Dấu bằng xảy ra khi đường gấp khúc trùng với BD, tức là MQ //NP, MN//PQ,
MN=PQ (vì cùng là cạnh huyền 2 tam giác vuông cân bằng nhau), lúc đó
MNPQ là hình chữ nhật.
0,5đ
0,5đ
1,0đ
Câu 5
Ba số a,b,c, thỏa mãn đồng thời các điều kiện: a+b+c = 1 và
1
111
=++
cba
.
Từ
1
111
=++
cba
. => ab+ac+bc= abc <=> (a+b+c)(ab+ac+bc) = abc 0,5đ
<=> (a+b)(b+c)(c+a) = 0 <=> a+b = 0 hoặc b+c= 0 hoặc c+a = 0. 0,5đ
Nếu: a+b = 0 => c = 1 => a
2011
+ b
2011
= 0 => a
2011
+ b
2011

+c
2011
= 1
Tương tự với: b+c= 0 hoặc c+a = 0.
1,0đ
A B
D C
M
N
P
Q
I
J
K
MA TRẬN ĐỀ
Nội dung – Chủ đề
Mức độ
Tổng
Thông hiểu Vận dụng
thấp
Vận dụng cao
KQ TL KQ TL KQ TL
Số học
C1
4
1
4
Đại số
C2a
2

C2b
2
C3a,b;C5
7
5
11
Hình học
C4a
3
C4b
2
2
5
Tổng
2
4
3
9
3
7
8
20
Người ra đề: Nguyễn Thái Hòa.
Đơn vị: Trường THCS Phúc Thịnh.