Bạn đang chuyển đến trang download file PDF tài liệu

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.33 MB, 120 trang )

(1)TUYỂN TẬP TÍCH PHÂN (ĐÁP ÁN CHI TIẾT). BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG Toàn bộ tài liệu của thầy ở trang: . HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP. :………………………………………………………………….. TRƯỜNG. :…………………………………………………………………. HÀ NỘI, 4/2014.

(2) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. TÍCH PHÂN CƠ BẢN Toàn bộ tài liệu luyện thi đại học môn toán của thầy Lưu Huy Thưởng: . HT 1.Tính các tích phân sau: 1. a) I1 =. ∫. 1. x 3dx. b) I 2 =. 0. ∫. 1. (2x + 1)3 dx. 0. ∫ (1 − 4x ) dx 3. 0. 1. d) I 4 =. c) I 3 =. 1. ∫ (x − 1)(x. 2. 3. − 2x + 5) dx. e) I 5 =. 0. ∫ (2x − 3)(x. 2. − 3x + 1)3 dx. 0. Bài giải 1. a) I1 =. ∫ 0. x 3dx =. x4 4. 1 0=. 1 4. 1. b) I 2 =. 1. ∫ (2x + 1) dx Chú ý: d(2x + 1) = 2dx ⇒ dx = 2 d(2x + 1) 3. 0. 1. ⇒ I2 =. ∫. (2x + 1)3 dx =. 0. 1 2. 1. ∫. (2x + 1)3 d(2x + 1) =. 0. 1 (2x + 1)4 2 4. 1. c) I 3 =. 1 0=. 81 1 − = 10 8 8. 1. ∫ (1 − 4x ) dx Chú ý: d(1 − 4x ) = −4dx ⇒ dx = − 4 d(1 − 4x ) 3. 0. 1. ⇒ I3 =. ∫ 0. 1 (1 − 4x ) dx = − 4 3. 1. d) I 4 =. ∫ (x − 1)(x. 2. 0. 1. ⇒ I4 =. ∫ 0. =. 1. ∫. (1 − 4x )3 d(1 − 4x ) = −. 0. 1 0=. −. 81 1 + = −5 16 16. 1 − 2x + 5)3 dx Chú ý: d(x 2 − 2x + 5) = (2x − 2)dx ⇒ (x − 1)dx = d (x 2 − 2x + 5) 2. 1 (x − 1)(x − 2x + 5) dx = 2. 1 (x 2 − 2x + 5)4 . 2 4. 1 (1 − 4x )4 4 4. 2. 3. 1 0 = 162 −. 1. ∫ (x. 2. − 2x + 5)3 d(x 2 − 2x + 5). 0. 615 671 = 8 8. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 1.

(3) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 1. e) I 5 =. ∫ (2x − 3)(x. 2. − 3x + 1)3 dx Chú ý: d (x 2 − 3x + 1) = (2x − 3)dx. 0 1. ⇒ I5 =. 1. ∫ (2x − 3)(x. 2. 3. − 3x + 1) dx =. 0. =. ∫ (x. 2. − 3x + 1)3 d (x 2 − 3x + 1). 0. (x 2 − 3x + 1)4 4. 1 0=. 1 1 − =0 4 4. HT 2.Tính các tích phân sau: 1. a) I 1 =. 7. ∫. b) I 2 =. xdx. 0. c) I 3 =. 2. 1. d) I 4 =. ∫. 4. x + 2dx. ∫x. 1 + x dx. e) I 5 =. 0. ∫x. 1 2. 1 − x dx. ∫. f) I 6 =. 0. ∫ (1 − x ). x 2 − 2x + 3dx. 0. 1. g) I 7 =. 2x + 1dx. 0. 1 2. ∫. 1. x 2 x 3 + 1dx. h) I 8 =. 0. ∫ (x. 2. − 2x ) x 3 − 3x 2 + 2dx. 0. Bài giải 1. a) I 1 =. ∫ 0. xdx =. 2 x x 3. 7. b) I 2 =. ∫. x + 2dx =. 2 4. c) I 3 =. ∫ 0. ∫. 1 2x + 1dx = 2. x 1 + x 2 dx =. 0 1. e) I 5 =. ∫ 0 1. f) I 6 =. ∫ 0. 4. ∫. 2x + 1d (2x + 1) =. 0. 1 2. ∫. 1 + x 2 d (1 + x 2 ) =. 0 1. ∫ 0. 1 2 . (1 + x 2 ) 1 + x 2 2 3. 1 0=. 1 2 1 − x 2 d (1 − x 2 ) = − . (1 − x 2 ) 1 − x 2 2 3. 1 (1 − x ) x − 2x + 3dx = − 2 2. 1 2 1 26 . (2x + 1) 2x + 1 40 = 9 − = 2 3 3 3. 1. 1 x 1 − x dx = − 2 2. 2 3. 2 16 38 (x + 2) x + 2 27 = 18 − = 3 3 3. 1. d) I 4 =. 1 0=. 2 2 1 − 3 3. 1 0=. 0+. 1 1 = 3 3. 1. ∫. x 2 − 2x + 3d (x 2 − 2x + 3). 0. 1 2 2 2 = − . (x 2 − 2x + 3) x 2 − 2x + 3 10 = − + 3 2 3 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 2.

(4) GV. Lưu Huy Thưởng 1. g) I 7 =. ∫x. 1 x + 1dx = 3. 2. 3. 0 1. h) I 8 =. ∫ 0. =. 0968.393.899 1. ∫. x 3 + 1d (x 3 + 1) =. 0. 1 (x − 2x ) x − 3x + 2dx = 3 2. 3. 2. 1 2 3 4 2 −2 . (x + 1) x 3 + 1 10 = 3 3 9. 1. ∫. x 3 − 3x 2 + 2d (x 3 − 3x 2 + 2). 0. 1 2 3 4 2 4 2 . (x − 3x 2 + 2) x 3 − 3x 2 + 2 10 = 0 − =− 3 3 9 9. HT 3.Tính các tích phân sau: 4. a) I1 =. ∫ 1. ∫ 0. b) I 2 =. x. 1. d) I 4 =. 1. dx. 0. dx. ∫. c) I 3 =. 2x + 1. 0. ∫. −1. 1. (x + 1)dx. e) I 5 =. 2. x + 2x + 2. ∫ 0. dx 1 − 2x. (x − 2)dx x 2 − 4x + 5. Bài giải 4. a) I 1 =. ∫ 1. dx x. 1. b) I 2 =. ∫ 0 0. c) I 3 =. ∫. −1. dx 2x + 1. ∫ 0 1. e) I 5 =. ∫ 0. =. 4 1=. 1 2. ∫. (x + 1)dx x + 2x + 2 (x − 2)dx. d(2x + 1). = 2x + 1 10 = 3 − 1. 2x + 1. 0. 1 =− 2 1 − 2x. 2. 4−2 = 2. 1. dx. 1. d) I 4 =. =2 x. 0. ∫. d (1 − 2x ). =. 1 2. 1 − 2x. −1. 1 = 2 x 2 − 4x + 5. 1. ∫. d(x 2 + 2x + 2) 2. x + 2x + 2. 0 1. ∫. = − 1 − 2x. d (x 2 − 4x + 5). 0. 2. x − 4x + 5. 0 −1 =. −1 + 3. = x 2 + 2x + 2 10 = 5 − 2. = x 2 − 4x + 5 10 = 2 − 5. HT 4.Tính các tích phân sau: 0. e. a) I 1 =. ∫. dx x. 1 1. d) I 4 =. (x + 1)dx. ∫ x 2 + 2x + 2 0. b) I 2 =. ∫. −1. 1. dx 1 − 2x. c) I 3 =. 0. 1. e) I 5 =. xdx. ∫ x2 + 1. x −2. ∫ x 2 − 4x + 5 dx 0. Bài giải. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 3.

(5) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. e. a) I 1 =. ∫. dx = ln x x. e 1=. ln e − ln 1 = 1. 1 0. b) I 2 =. ∫. −1. 1. c) I 3 =. ∫ 0. 1. d) I 4 =. ∫ 0. dx 1 =− 1 − 2x 2. 1 = 2 2 x +1 xdx. ∫. −1. 1. ∫. d(1 − 2x ) 1 = − ln 1 − 2x 1 − 2x 2. (. 2. x +1. 0. 1. 1 = 2 2 x + 2x + 2 x −2. ∫ x 2 − 4x + 5. ) = 1 ln x. d x2 + 1. (x + 1)dx. 1. e) I 5 =. 0. ∫. 0. 1 2. +1. d(x 2 + 2x + 2) x + 2x + 2 1. ∫. d (x 2 − 4x + 5) 2. x − 4x + 5. 0. 1 ln 3 − (ln 1 − ln 3) = 2 2. 1 ln 2 (ln 2 − ln 1) = 2 2. 1 0=. 1 ln x 2 + 2x + 2 2. =. 2. 0. dx =. 2. 2. 0 −1 =. =. 1 0=. 1 ln x 2 − 4x + 5 2. 1 1 5 (ln 5 − ln 2) = ln 2 2 2. 1 0=. 1 1 2 (ln 2 − ln 5) = ln 2 2 5. HT 5.Tính các tích phân sau: 2. a) I 1 =. 0. dx. ∫ x2. b) I 2 =. 1. dx. ∫ (2x − 1)2. c) I 3 =. −1. 1. dx. ∫ (3x + 1)2 0. Bài giải 2. a) I 1 =. 1. dx. ∫ x2 = − x. 1 2 1= − 2. 1. 0. +1 =. 1 2. 0. 1 d(2x − 1) 1 1 b) I 2 = = =− . 2 2 2 (2x − 1) 2 2x − 1 (2x − 1) −1 −1 dx. ∫ 1. c) I 3 =. ∫. dx. ∫ (3x + 1)2 0. =. 1 3. 1. d (3x + 1). 1. 0 −1 =. 1. 1 1 1 − = 2 6 3. 1. 1. 1. ∫ (3x + 1)2 = − 3 . 3x + 1 0 = − 12 + 4 = 6 1. 0. HT 6.Tính các tích phân sau: 1. a) I 1 =. 1. ∫e. 3x. b) I 2 =. dx. 0. ∫ ex + 1. e) I 5 =. 0. (2e + 1) dx. c) I 3 =. ∫ (e2x − 1)2. f) I 6 =. e. x. 2e + 1dx. h) I 8 =. ∫. x. (1 − 4e x )3 dx. ∫ (1 − 3e2x )3 1. e. 2x. e 2x dx. 1. 1. x. ∫e 2. e 2x dx. 1. 1. ∫. 3. 0. 2. e x dx. 0. g) I 7 =. ∫e. x. 0. 1. d) I 4 =. 1. x. 2x. 1 + 3e dx. i) I 9 =. 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. ∫ 0. e x dx ex + 1. Page 4.

(6) GV. Lưu Huy Thưởng 1. a) I 1 =. ∫ 0 1. b) I 2 =. ∫ 0. 1 e 3x dx = e 3x 3. 0968.393.899 e3 1 − 3 3. 1 0=. 1. 1 e (2e + 1) dx = 2 x. 1 (2e x + 1)4 (2e x + 1)3 d(2e x + 1) = . 2 4. ∫. 3. x. 0. 1 0.   1 (2e + 1)4 81 (2e + 1)4 81 =  −  = − 2  4 4  8 8 1. c) I 3 =. ∫. ex (1 − 4e x )3 dx = −. 0. 1. 4 . 1. e x dx. ∫ ex + 1 ∫ =. 0. e) I 5 =. 1. 2. f) I 6 =. e 2x dx. ∫ (1 − 3e2x )3. g) I 7 =. ∫e. x. 0 1. h) I 8 =. ∫e 0 1. i) I 9 =. ∫ 0. 2x. 2. 2. ex + 1. 1. ∫ 0. d(1 − 3e 2x ). 1. 1 0=. ln(e + 1) − ln 2 = ln. e +1 2. −1. 1. 2 1=. 1 4. 12(1 − 3e ). −. 1 12(1 − 3e 2 ). 1 2 1 2ex + 1d (2e x + 1) = . (2e x + 1) 2e x + 1 10 = (2e + 1) 2e + 1 − 3 2 3 3. ∫. 2x. =. = ln e x + 1. 1. 0. 1 1 + 3e dx = 6. e x dx.  81 81 − (1 − 4e)4 = 4  16. ∫ (1 − 3e2x )3 = − 6 . 2(1 − 3e2x )2. 1 2e + 1dx = 2 x. −. 1 1 1 1 e2 2 =− . = − + = 2 e2x − 1 1 − 1)2 2(e 4 − 1) 2(e 2 − 1) 2(e 4 − 1). 1. 1 6. ) d(1 − 4ex ). d (e2x − 1). ∫ (e2x. =−. 1. 1. 4. e +1. 1 = 2 2 − 1). x 3. 0. x. e2x dx. ∫ (e2x. ∫ (1 − 4e. d (e x + 1). 0. 2. 1.  1 (1 − 4e)4 1 = −  0. 1 (1 − 4ex )4 =− . 4 4. d) I 4 =. 1 4. 1. ∫ 0. d(ex + 1) ex + 1. 1 2 1 + 3e 2x d (1 + 3e2x ) = . (1 + 3e2x ) 1 + 3e 2x 6 3. 1 0=. 1 8 (1 + 3e2 ) 1 + 3e2 − 9 9. = 2 e x + 1 10 = 2 e + 1 − 2. HT 7.Tính các tích phân sau: e. a) I1 =. ∫. e. ln x dx x. b) I 2 =. 1. e. d) I 4 =. ∫ 1. ∫. 3 ln x + 1 dx x. e. c) I 3 =. 1. 4 ln3 x + 3 ln2 x − 2 ln x + 1 dx x. 1. e2. e) I 5 =. ∫. (3 ln x + 1)3 dx x. ∫ e. e. dx x ln x. f) I 6 =. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. dx. ∫ x(3 ln x + 1) 1. Page 5.

(7) GV. Lưu Huy Thưởng e. g) I 7 =. 0968.393.899 e. 3 ln x + 1dx x. ∫. h) I 8 =. 1. ∫x 1. dx 3 ln x + 1. Bài giải e. a) I1 =. ∫. e. ln x dx = x. ∫. 1 e. b) I 2 =. ∫. ln xd (ln x ) =. 1. 3 ln x + 1 dx = x. 1 e. c) I 3 =. ∫ 1 e. d) I 4 =. ∫. ln2 x e ln2 e ln2 1 1 = − = 2 1 2 2 2.   3 5  3 ln2 x (3 ln x + 1)d (ln x ) =  + ln x  e1 = ( + 1) − 0 =  2 2  2 1. e. ∫. (3 ln x + 1)3 1 dx = x 3. e. ∫. (3 ln x + 1)3 d (3 ln x + 1) =. 1. 4 ln 3 x + 3 ln2 x − 2 ln x + 1 dx = x. e. ∫ (4 ln. 1. e2. ∫ e. ∫ 1. ∫. e 1. e. e. ∫ 1. 3 ln x + 1dx 1 = x 3. ∫ 1. d(3 ln x + 1) 1 1 ln 4 = ln(3 ln x + 1) e1 = (ln 4 − ln 1) = 3 ln x + 1 3 3 3 e. ∫. 3 ln x + 1d(3 ln x + 1) =. 1. e. h) I 8 =. = (1 + 1 − 1 + 1) − 0 = 2. 2 d (ln x ) = ln(ln x ) ee = ln(ln e 2 ) − ln(ln e ) = ln 2 ln x. dx 1 = x (3 ln x + 1) 3. e. g) I 7 =. x + 3 ln2 x − 2 ln x + 1)d (ln x ). e2. dx = x ln x. e. f) I 6 =. 3. 1. = (ln4 x + ln 3 x − ln2 x + ln x ). e) I 5 =. 1 (3 ln x + 1)4 e 64 1 85 . − = 1= 3 4 3 12 4. e. dx. ∫x. 3 ln x + 1. 1. ==. 1 3. ∫ 1. d(3 ln x + 1) 3 ln x + 1. =. 1 2 16 2 14 . (3 ln x + 1) 3 ln x + 1 e1 = − = 3 3 9 9 9. 1 4 2 2 .2 3 ln x + 1 e1 = − = 3 3 3 3. HT 8.Tính các tích phân sau: π 2. a) I 1 =. d) I 4 =. ∫ cos. 2. π 2. x sin xdx. b) I 2 =. ∫ sin. 2. π 4. x cos xdx. c) I 3 =. ∫ sin. 0. 0. 0. π 4. π 2. π 2. sin x. ∫ cos x dx 0. e) I 5 =. ∫ sin x. 3 cos x + 1dx. 0. f) I 6 =. ∫ 0. 3. 2x cos 2xdx. cos x. dx. 3 sin x + 1. Giải. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 6.

(8) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. π 2. a) I1 =. ∫. π 2. ∫. cos2 x sin xdx = −. 0. 0. π 2. π 2. b) I 2 =. ∫ sin. 2. x cos xdx =. 0. ∫ 0. π 4. c) I 3 =. ∫. sin 3 2x cos 2xdx =. 0. π 4. d) I 4 =. ∫ 0. cos2 xd(cos x ) = −. sin x dx = − cos x. π 4. ∫ 0. sin3 x sin xd (sin x ) = 3 2. 1 2. π 4. ∫. ∫. d (cos x ) = − ln(cos x ) cos x. sin x 3 cos x + 1dx =. 0. π 2. f) I 6 =. ∫ 0. cos x. sin 3 2xd (sin 2x ) =. 0. π 2. e) I 5 =. 1 dx = 3 3 sin x + 1. cos3 x 3. π 2. ∫ 0. 1 3. π 2. ∫ 0. π 2 0=. π 2 0=. 1 3. sin4 2x 8. π 4 0 = − ln. 1 3. π 4 1 0=. 8. 2 2 + ln 1 = − ln 2 2. 1 2 3 cos x + 1d(3 cos x + 1) = . (3 cos x + 1) 3 cos x + 1 2 3. d(3 sin x + 1). 2 = 3 sin x + 1 3 3 sin x + 1. π 2 0=. π 2 0=. 1 4 − = −1 3 3. 4 2 2 − = 3 3 3. . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 7.

(9) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. PHẦN II TÍCH PHẦN HÀM HỮU TỶ . I.DẠNG 1:. 1. dx. ∫ ax + b = a ln ax + b + C. HT 1.Tính các tích phân sau: 1. a). ∫ 0. 0. dx 3x + 1. b). ∫. −1. 1. dx 1 − 3x. c). ∫ 0.  1 3    −  2x + 1 4 − 2x dx. Giải 1. a). 1. dx. 1. ln 4 3. ∫ 3x + 1 = 3 ln 3x + 1 0 = 3 (ln 4 − ln 1) = 1. 0. 0. b). 1. dx. ∫ 1 − 3x = − 3 ln 1 − 3x. 0 −1. −1. 1. c). ∫ 0. =. 1 ln 4 = − (ln 1 − ln 4) = − 3 3.  1 1  1  1  3  3 3 3  dx =  ln 2x + 1 + ln 4 − 2x  10 =  ln 3 + ln 2 −  ln 1 + ln 4 −  2x + 1 4 − 2x    2  2 2 2 2   2 . 1 3 1 ln 3 + ln 2 2 2. HT 2.Tính các tích phân sau: 2. a) I1 =. ∫. x 4 + 3x 3 − 2x 2 + 5x − 1 x2. 1. 1. dx. b) I 2 =. ∫ 0. x 3 − 3x 2 + 2x − 1 dx c) I 3 = x −2. 0. ∫. −1. 2x 3 − 3x 2 + 4x − 1 1 − 2x. Giải 2. a) I1 =. ∫ 1. x 4 + 3x 3 − 2x 2 + 5x − 1 x2. 2. dx =. ∫ (x. 2. + 3x − 2 +. 1. 5 1 − )dx x x2.  3  8  13 3x 2 1 1 1 3 x =  + − 2x + 5 ln x +  12 =  + 6 − 4 + 5 ln 2 +  −  + − 2 + 5 ln 1 + 1 = + 5 ln 2  3    2 x  2 3 2 3 3   1. b) I 2 =. ∫ 0. x 3 − 3x 2 + 2x − 1 dx = x −2. 1. ∫ 0.  1   dx x 2 − x −  x − 2).  3  1 1  x2 1 x =  − − ln x − 2  10 =  − − ln 1 − (− ln 2) = ln 2 −  3    2 3 2 6     0. c) I 3 =. ∫. −1. 2x 3 − 3x 2 + 4x − 1 = 1 − 2x. 0. . ∫ −x. −1. 2. +x −.  3 1  dx + 2 2(−2x + 1). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 8.

(10) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899.   1  x3 x2 3 = − + − x − ln −2x + 1   2 2 4  3 . 0 −1. 1 1 1 3 1 ln 3 7 = (− ln 1) − ( + + − ln 3) = − 4 3 2 2 4 4 3. II.DẠNG 2:. dx. ∫ ax 2 + bx + c. HT 3.Tính các tích phân sau (mẫu số có hai nghiệm phân biệt) 1. a). ∫ 0. 1. dx (x + 1)(x + 2). b). ∫ 0. 1. dx (x + 1)(3 − x ). dx. ∫ (x + 1)(2x + 3). c). 0. Giải 1. a). ∫ 0. 1. dx = (x + 1)(x + 2). (. 1. b). ∫ 0. =. 0. ) 10 = ln xx ++ 21. dx 1 = (x + 1)(3 − x ) 4. 1. ∫ 0. (. 1 − ln 3 − x + ln x + 1 4 1. c). (x + 2) − (x + 1) dx = (x + 1)(x + 2). ∫. = ln x + 1 − ln x + 2. ∫ 0. dx = (x + 1)(2x + 3). (. = ln x + 1 − ln 2x + 3. 1. 1. ∫ 0. 1 0=. ∫ 0.  1 1  dx −   x + 1 x + 2 . 2 1 4 ln − ln = ln 3 2 3. (x + 1) + (3 − x ) 1 dx = (x + 1)(3 − x ) 4. ) 10 = 14 ln x3 −+ x1. 1 0. =. 1 0=.  1. 1 . ∫  3 − x + x + 1dx 0. 1  1 ln 3 ln 1 − ln  = −   4 3 4. (2x + 3) − 2(x + 1) dx = (x + 1)(2x + 3). ) 10 = ln 2xx ++13. 1. 1.  1. . 2. ∫  x + 1 − 2x + 3 dx 0. 2 1 6 ln − ln = ln 5 3 5. HT 4.Tính các tích phân sau: 1. a). 0. dx. ∫ x 2 − x − 12. b). 2. dx. ∫ 2x 2 − 5x + 2. c). −1. 0. dx. ∫ 1 − 2x − 3x 2 1. Giải 1. a). dx. ∫ x 2 − x − 12 ∫ 0. =. =. 1 7. 0. 1.  1. dx 1 = (x + 3)(x − 4) 7. 1 . 1. ∫ 0. (x + 3) − (x − 4) dx (x + 3)(x − 4) x −4. ∫  x − 4 − x + 3 dx = 7 (ln x − 4 − ln x + 3 ) 0 = 7 ln x + 3 1. 1. 1. 1 0. 0. 1 3 4 1 9 (ln − ln ) = ln 7 4 3 7 16 0. b). 1. =. dx. 0. ∫ 2x 2 − 5x + 2 = ∫. −1. −1 2(x. dx 1 − 2)(x − ) 2. 0. =. ∫. −1. dx 1 = (x − 2)(2x − 1) 3. 0. ∫. −1. (2x − 1) − 2(x − 2) dx (x − 2)(2x − 1). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 9.

(11) GV. Lưu Huy Thưởng 0. 1 = 3 =. ∫. −1.  1 2  1   −  x − 2 2x − 1dx = 3 ln x − 2 − ln 2x − 1. (. 1 x −2 ln 3 2x − 1 2. c). 0968.393.899. 1 ln 2 (ln 2 − ln 1) = 3 3. 0 −1 =. 2. dx. ∫ 1 − 2x − 3x 2 ∫ =. 1. 1. 2. . ) −0 1. 2. dx 1 −3(x + 1)(x − ) 3. 1 . =. ∫ 1. dx 1 = (x + 1)(1 − 3x ) 4. 2. ∫ 1. 3(x + 1) + (1 − 3x ) dx (x + 1)(1 − 3x ). x +1 2 1 3 1 3 1 = (ln − ln 1) = ln 4 5 4 5. ∫ 1 − 3x + x + 1dx = 4 (− ln 1 − 3x + ln x + 1 ) 1 = 4 ln 1 − 3x. 1 = 4. 3. 1. 1. 2. 1. HT 5.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép) 2. a). 1. dx. ∫ x2. b). 1. 0. dx. ∫ (3x + 1)2. c). 0. dx. ∫ (1 − 2x )2. d). −1. 0. dx. ∫ 9x 2 − 6x + 1. 0. e). −1. dx. ∫ −16x 2 + 8x − 1. −1. Giải 2. a). dx. ∫ x2. =−. 1. 1. 1 2 1 1 = − +1 = x 1 2 2. 1. dx. 1. 1. 1 . 1. ∫ (3x + 1)2 = − 3 . (3x + 1) 0 = −12 − 3  = 4. b). 1. 0. 0. c). 0. dx. −1. 1.  1. 0. 1 . 1. −1. 0. dx. 0. 1. dx. 1.  1. 1 . 1. ∫ 9x 2 − 6x + 1 = ∫ (3x − 1)2 = − 3 . 3x − 1 −1 = −− 3 + 12  = 4. d). −1. 0. −1. 0. e). 1. dx. ∫ (1 − 2x )2 = ∫ (2x − 1)2 = − 2 . 2x − 1 −1 = −− 2 + 6  = 3. 0. dx. 0. dx. dx. 1. 1. 1. 1. 1. ∫ −16x 2 + 8x − 1 = −∫ 16x 2 − 8x + 1 = −∫ (4x − 1)2 = 4 . 4x − 1 −1= − 4 + 20 = − 5. −1. −1. 0. −1. . HT 6.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 1. a) I1 =. 3. dx. ∫ x2 + 1. b). 2 2. dx. ∫ x2 + 3. c). 0. 0. 0. dx. ∫ 2x 2 + 3. Giải 1. a) I1 =. dx. ∫ x2 + 1 0.   π π  Đặt: x = tan t t ∈ − ;    2 2 . ⇒ dx =. dt. cos2 t Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 10.

(12) GV. Lưu Huy Thưởng Với x = 1 ⇒ t = π 4. ⇒ I1 =. 0968.393.899 π 4 π 4. dt. cos2 t.. 0. 3. b) I 2 =. dt. ∫ cos2 t(tan2 t + 1) = ∫ 0. π 4. ∫ dt = t. =. 1. π 4 0. =. 0. cos2 t. π 4. dx. ∫ x2 + 3 0.  π π Đặt: x = 3 tan t Với t ∈ − ;   2 2  3dt. ⇒ dx =. cos2 t. Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0 ; Với x = 3 ⇒ t = π 4. ⇒ I2 =. 3dt. 3 = 2 2 3 cos t(3 tan t + 3). ∫ 0. 2 2. c) I 3 =. dx. 2 2. dx. ∫ 2x 2 + 3 = ∫.  2 3  0 2 x +   2 . 0. ∫ 0. =. 1 2. 3 = 3. dt cos2 t. 2 2. ∫ 0. 1 cos2 t. π 4. ∫ 0. 3 dt = t 3. π 4 0=. 3π 12. dx 3 2. x2 +.  π π 3 tan t Với t ∈ − ;   2 2  2. Đặt: x =. 6 dt 2 cos2 t. ⇒ dx =. Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0; Với x =. ⇒ I3 =. π 4. π 4. 1 2. π 6. ∫ 0. 6dt 3 3 2 cos2 t ( tan2 t + ) 2 2. =. 2 π ⇒t = 2 6 6 6. π 6. ∫ 0. dt cos2 t .. 1. =. 6 6. cos2 t. π 6. ∫ 0. π. dt =. 6 6 6π t 0= 6 36. HT 7.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 0. a) I 1 =. dx. ∫ (x + 1)2 + 1. 4. b) I 2 =. −1. 1. dx. ∫ x 2 − 4x + 8 2. c) I 3 =. dx. ∫ x2 + x + 1 0. Giải 0. a) I 1 =. dx. ∫ (x + 1)2 + 1. −1.  π π Đặt: x + 1 = tan t Với t ∈ − ;   2 2 . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 11.

(13) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. dt. ⇒ dx =. cos2 t. Đổi cận: Với x = −1 ⇒ t = 0; Với x = 0 ⇒ t = π 4. ⇒ I1 =. π 4. dt. ∫ cos2 t(tan2 t + 1) = ∫ 0. 4. 0. 4. dx. π 4. dt cos2 t.. π 4. ∫ dt = t. =. 1. 0. cos2 t. π 4 0=. π 4. dx. ∫ x 2 − 4x + 8 ∫ (x − 2)2 + 4. b) I 2 =. =. 2. 2.  π π Đặt: x − 2 = 2 tan t Với t ∈ − ;   2 2 . 2dt. ⇒ dx =. cos2 t. Đổi cận: Với x = 2 ⇒ t = 0; Với x = 4 ⇒ t = π 4. 2dt. ∫ cos2 t(4 tan2 t + 4). ⇒ I2 =. =. 0. 1. 1. dx. ∫ x2 + x + 1 ∫ . c) I 3 =. =. 0. 0. 1 2. π 4. ∫ 0. dt cos2 t.. ⇒ dx =. 3 dt . 2 cos2 t. ⇒ I3 =. 2 3 3. π 3. ∫ π 6. cos2 t. ∫ 0. 1 dt = t 2. π 4 0=. π 8. π π ;Với x = 1 ⇒ t = 6 3. 3dt. ∫. 1. 1 2. 2 x + 1  + 3  2  4.  π π 1 3 = tan t Với t ∈ − ;   2 2  2 2. π 3. =. π 4. dx. Đặt: x +. Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t =. π 4. 3 2 3 2 π 2 cos t ( tan t + ) 4 4 6. =. 2 3 3. π 3. ∫. dt. 2 π cos t . 6. 1. =. cos2 t. π. 2 3 3 2 3π 2 3π 2 3π dt = t = − = π 3 9 18 18 6. . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 12.

(14) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. mx + n. ∫ ax 2 + bx + c dx. III.Dạng 3:. HT 8.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt) 1. a) I 1 =. 0. x −1. ∫ x 2 + 4x + 3 dx. b) I 2 =. 2x + 10. ∫ −x 2 + x + 2 dx. 0. c) I 3 =. −1. 0. 7 − 4x. ∫ −2x 2 − 3x + 2 dx. −1. Giải 1. a) I 1 =. 1. x −1. (x − 1)dx. ∫ x 2 + 4x + 3 dx = ∫ (x + 1)(x + 3) 0. 0. Xét đồng nhất thức:. x −1 A B Ax + A + Bx + 3B (A + b)x + A + 3B = + = = (x + 3)(x + 1) x + 3 x + 1 (x + 3)(x + 1) (x + 3)(x + 1). A + B = 1 A = 2 Đồng nhất thức hai vế ta được:  ⇔   A + 3B = −1 B = −1   1. Vậy, I 1 =.  2. 1 . ∫  x + 3 − x + 1dx = (2 ln x + 3 − ln x + 1 ) 0 1. 0. = (2 ln 4 − ln 2) − (2 ln 3 − ln 1) = 2 ln 0. b). 0. 2x + 10. 4 − ln 2 3. 2x + 10. ∫ −x 2 + x + 2 dx = ∫ (x + 2)(1 − x ) dx. −1. −1. Xét đồng nhất thức:. (B − A)x + A + 2B 2x + 10 A B A − Ax + Bx + 2B = + = = (x + 2)(1 − x ) x + 2 1 − x (x + 2)(1 − x ) (x + 2)(1 − x ). B − A = 2 A = 2 ⇔  Đồng nhất thức hai vế ta được:   A + 2B = 10 B = 4   0. Vậy, I 2 =.  2. 4 . ∫  x + 2 + 1 − x dx = (2 ln x + 2 − 4 ln 1 − x ) −1 0. −1. = (2 ln 2 − 4 ln 1) − (2 ln 1 − 4 ln 2) = 2 ln 2 + 4 ln 2 = ln 4 + ln 16 = ln 64 0. c) I 3 =. 7 − 4x. 0. ∫ −2x 2 − 3x + 2. dx =. −1. Xét đồng nhất thức:. 7 − 4x. ∫ (x + 2)(1 − 2x ) dx. −1. (B − 2A)x + A + 2B 7 − 4x A B A − 2Ax + Bx + 2B = + = = (x + 2)(1 − 2x ) x + 2 1 − 2x (x + 2)(1 − 2x ) (x + 2)(1 − 2x ). B − 2A = −4 A = 3 Đồng nhất thức hai vế ta được:  ⇔   A + 2B = 7 B = 2   0. Vậy, I 3 =. . 3 . ∫ 1 − 2x + x + 2 dx = (− ln 1 − 2x + 3 ln x + 2 ) −1 2. 0. −1. 3 2 . = (− ln 1 + 2 ln 2) − (− ln 3 + 3 ln 2) = ln 3 − ln 2 = ln. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 13.

(15) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 9.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép) 1. a) I 1 =. 0. (3x + 1)dx. ∫ x 2 + 2x + 1. b) I 2 =. 1. 3x − 1. ∫ 4x 2 − 4x + 1. c) I 3 =. dx. −1. 0. 3x + 2. ∫ 4x 2 + 12x + 9 dx 0. Giải 1. a) I 1 =. (3x + 1)dx. 1. 3x + 1. ∫ x 2 + 2x + 1 ∫ (x + 1)2 0. =. 1. ∫. dx =. 0. 3(x + 1) − 2 (x + 1)2. 0. 1. dx =. ∫ 0.   2   3 − dx  x + 1 (x + 1)2  .  2  1 = 3 ln x + 1 +  = (3 ln 2 + 1) − (3 ln 1 + 2) = 3 ln 2 − 1  x + 1 0. 3 1 2x − 1) + ( 2 2 dx b) I 2 = dx = dx = 2 2 2 (2x − 1) (2x − 1) 4x − 4x + 1 −1 −1 −1 0. 0. 3x − 1. ∫. 0. 3x − 1. ∫. ∫.     1 1 1  3 dx =  3 ln 2x − 1 − 1 . 1  + .  .    2  4 2x − 1 4  2 2x − 1 2 (2x − 1)  −1 0. =. ∫. 0 −1. 3 1 3 1 3 1 =  ln 1 +  −  ln 3 +  = − ln 3 +  4 4   4 12  4 6 3 5 (2x + 3) − 2 2 dx dx = c) I 3 = dx = 2 2 2 4 x + 12 x + 9 (2 x + 3) (2 x + 3) 0 0 0 1. ∫. 1. =. ∫ 0. 1. 3x + 2. 1. 3x + 2. ∫. ∫.   3 1 5 1  3 5 1  − .  dx =  ln 2x + 3 + .  .  2   4 2x + 3  4  2 2x + 3 2 (2x + 3) . 1 0. 3 1  3 5 3 5 1 =  ln 5 +  −  ln 3 +  = ln −  4 4   4 12  4 3 6. HT 10.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 1. a) I 1 =. 3. 3x + 1. ∫ x2 + 1. b) I 2 =. dx. 0. 3x + 2. 1. ∫ x 2 − 4x + 5. c) I 3 =. dx. 1. 3x − 1. ∫ 4x 2 − 4x + 2 dx 0. Giải 1. a) I 1 =. 3x + 1. ∫ x 2 + 1 dx 0. 1. 2. Chú ý: (x + 1)' = 2x Nên: I 1 =. ∫ 0. Xét: M =. 3 2 1. Xét: N =. 1. 2x. ∫ x2 + 1 0. dx =. 3 2. 1. ∫ 0. 3 .2x + 1 2 dx = x2 + 1. d (x 2 + 1) 2. x +1. =. 1. ∫ 0.  3 2x 1  3  . + dx =  2 2 2  2  x + 1 x + 1. 3 ln x 2 + 1 2. 1 0=. 1. 2x. ∫ x2 + 1 0. 1. dx +. dx. ∫ x2 + 1 0. 3 3 ln 2 (ln 2 − ln 1) = 2 2. dx. ∫ x2 + 1 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 14.

(16) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899.   π π  Đặt: x = tan t t ∈ − ;    2 2 . dt. ⇒ dx =. cos2 t Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0 Với x = 1 ⇒ t = π 4. ⇒M =. π 4 π 4. dt. cos2 t.. 0. 3. =. 1. ∫ dt = t. cos2 t. π 4 0. =. 0. π 4. 3 ln 2 π + 2 4. Vậy, I 1 = M + N = b) I 2 =. dt. ∫ cos2 t(tan2 t + 1) = ∫ 0. π 4. 3x + 2. ∫ x 2 − 4x + 5 dx 1. Chú ý: (x 2 − 4x + 5)' = 2x − 4 3 3 (2x − 4) + 8 2 Khi đó: I 2 = dx = x 2 − 4x + 5 1 1 3. ∫. 3 = 2. 3. 3 . 2x − 4. 1. . ∫  2 x 2 − 4x + 5 + 8. x 2 − 4x + 5 dx. 3. 2x − 4. 1. ∫ x 2 − 4x + 5 dx + 8∫ x 2 − 4x + 5 dx 1. 1. 3 + Xét: M = 2. 3. ∫ 1 3. + Xét: N = 8. 2x − 4. 3 dx = 2 x 2 − 4x + 5. 1. ∫ x 2 − 4x + 5. 3. ∫ 1. 3. dx = 8. 1. d (x 2 − 4x + 5) 3 = ln x 2 − 4x + 5 2 2 x − 4x + 5. 3 1=. 3 (ln 2 − ln 2) = 0 2. dx. ∫ (x − 2)2 + 1 1.   π π  Đặt: x − 2 = tan t Với t ∈ − ;    2 2  ⇒ dx =. dt cos2 t. π π Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = − ; Với x = 3 ⇒ t = 4 4 π 4. ⇒N =8. ∫. dt. cos2 t(tan2 t + 1) −π 4. π 4. =8. ∫ dt = 8t. −. π 4. π 4 = −π 4. 4π. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 15.

(17) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Vậy, I 2 = M + N = 4π 1. 3x − 1. ∫ 4x 2 − 4x + 2 dx. c) I 3 =. 0. Chú ý: (4x 2 − 4x + 2)' = 8x − 4 3 1 (8x − 4) + 8 2 dx Ta có: I 3 = dx = 2 2 4 x − 4 x + 2 4 x − 4 x + 2 0 0 1. ∫. 3 = 8. 1. ∫ 0. 1. 3x − 1. ∫. 8x − 4. 1 dx + 2 2 4x − 4x + 2. 3 +) Xét: M = 8. 1 +) Xét: N = 2. 1. ∫ 0 1. 1. dx. ∫ 4x 2 − 4x + 2 0. 3 dx = 2 8 4x − 4x + 2. 1 = 4x 2 − 4x + 2 2 dx. ∫ 0. 1. 8x − 4. ∫. d (4x 2 − 4x + 2). 0. 1. 2. 4x − 4x + 2. =. 3 ln 4x 2 − 4x + 2 8. 1 0=. 3 (ln 2 − ln 2) = 0 8. dx. ∫ (2x − 1)2 + 1 0.   π π  Đặt: 2x − 1 = tan t Với t ∈ − ;    2 2 . ⇒ 2dx =. dt 2. ⇔ dx =. cos t. dt 2 cos2 t. π π Đổi cận:Với x = 0 ⇒ t = − ; Với x = 1 ⇒ t = 4 4. ⇒N =. 1 2. π 4. ∫ π − 4. dt 2 cos2 t(tan2 t + 1). =. 1 2. π 4. ∫ −. π 4. π. 1 π dt = t 4 = 2 −π 4 4. π Vậy, I 3 = M + N = 4 HT 11.Tính các tích phân sau: 0. a) I1 =. ∫. −1. 0. c) I 3 =. ∫. −1. x 3 − 5x 2 + 6x − 1 x 2 − 3x + 2 x 3 + 3x 2 − 6x + 1 x 2 + 2x + 2. 1. dx. b) I 2 =. ∫ 0 2. dx. d) I =. x 4 + 5x 3 − 3x 2 + 2x − 1 x 2 + 2x + 1. dx. x2. ∫ x 2 − 7x + 12dx 1. Giải. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 16.

(18) GV. Lưu Huy Thưởng 0. a) I 1 =. ∫. 0968.393.899 0. x 3 − 5x 2 + 6x − 1. dx =. 2. x − 3x + 2. −1. ∫. −1.   x − 2 + −2x + 3  dx =     x 2 − 3x + 2 .  2  x (x − 2)dx =  − 2x   2   −1 0. +) Xét: M =. ∫ 0. +) Xét: N =. −2x + 3. ∫ x 2 − 3x + 2. 0. 0 −1 =. 0. 0. −2x + 3. ∫ (x − 2)dx + ∫ x 2 − 3x + 2 dx. −1. −1. 1  5 −  + 2 = −  2  2. −2x + 3. ∫ (x − 1)(x − 2) dx. dx =. −1. −1. Dùng đồng nhất thức ta tách được: 0. N =.  −1. −1 . ∫  x − 1 + x − 2 dx = (− ln x − 1 − ln x − 2 ) −1 = (− ln 1 − ln 2) − (− ln 2 − ln 3) = ln 3 0. −. 5 Vậy, I 1 = M + N = ln 3 − 2 1. b) I 2 =. ∫. x 4 + 5x 3 − 3x 2 + 2x − 1 2. x + 2x + 1. 0. 1. dx =. ∫ (x. 2. + 3x −10 +. 0. 19x + 9 2. x + 2x + 1. )dx.  3  3x 2 1 3 49 x (x 2 + 3x − 10)dx =  + − 10x  10 = ( + − 10) − 0 = −  3 2 3 2 6   0. 1. +) Xét: M =. ∫ 1. +) Xét: N =. 1. 19x + 9. ∫ x 2 + 2x + 1. 19(x + 1) − 10. ∫. dx =. 0. (x + 1)2. 0.   10   19 −   dx  x + 1 (x + 1)2  0. 1. dx =. ∫.  10  1 = 19 ln x + 1 +  = (19 ln 2 + 5) − (19 ln 1 + 10) = 19 ln 2 − 5  x + 1 0. 79 6. Vậy, I 2 = M + N = 19 ln 2 − 0. c) I 3 =. ∫. x 3 + 3x 2 − 6x + 1 x 2 + 2x + 2. −1. 0. dx =.  2  x (x + 1)dx =  + x   2   −1. ∫ 0. +) Xét: N =. 10x + 1. ∫ x 2 + 2x + 2. 0. dx =. −1 0. P =5. 2x + 2. ∫ x 2 + 2x + 2. −1. 10x + 1 . −1. 0. +) Xét: M =.  . ∫ x + 1 − x 2 + 2x + 2 dx. 0. dx = 5. ∫. −1. ∫. −1. .  1 − 1 =  2 2. 0 1 −1 = − . 5(2x + 2) − 9 x 2 + 2x + 2. d(x 2 + 2x + 2) 2. x + 2x + 2. 0. dx =.  5(2x + 2)  9   dx −  2  x + 2x + 2 x 2 + 2x + 2  −1. ∫. = 5 ln x 2 + 2x + 2. 0 −1 =. 5(ln 2 − ln 1) = 5 ln 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 17.

(19) GV. Lưu Huy Thưởng 0. Q=9. 0968.393.899. 0. dx. dx. ∫ x 2 + 2x + 2 = 9∫ (x + 1)2 + 1. −1. −1.  π π Đặt: x + 1 = tan t Với t ∈ − ;   2 2 . ⇒ dx =. dt cos2 t. Đổi cận: Với x = −1 ⇒ t = 0; Với x = 0 ⇒ t =. π 4. ⇒Q = 9. π 4. dt. ∫ cos2 t(tan2 t + 1) = 9∫ dt = 9t 0. 0. ⇒ N = P − Q = 5 ln 2 − 2. . π 4. π 4 0=. 9π 4. 9π 1 9π ⇒ I 3 = M + N = + 5 ln 2 − 4 2 4. 9 . 16. 2. ∫ 1 + x − 4 − x − 3 dx = (x + 16 ln x − 4 − 9 ln x − 3 ) 1 = 1 + 25 ln 2 − 16 ln 3 .. d) I =. 1. HT 12.Tính các tích phân sau: 2. dx. ∫ x5 + x3. a) I =. b) I =. 1. 1. xdx. ∫0 (x + 1)3 Giải. 2. dx. ∫ x5 + x3. a) I =. 1. Ta có:. 1 3. 2. x (x + 1). =−. 1 1 x + + 3 2 x x x +1.  2 1 1 3 1 3 + ln(x 2 + 1) = − ln 2 + ln 5 + ⇒ I = − ln x − 2 2 2 2 8 2x  1 b) I =. Ta có:. ⇒I =. 1. xdx. ∫0 (x + 1)3 x 3. (x + 1) 1. . x + 1−1. =. 3. (x + 1). ∫0 (x + 1). −2. = (x + 1)−2 − (x + 1)−3. 1  − (x + 1)−3 dx = 8. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 18.

(20) GV. Lưu Huy Thưởng. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. 0968.393.899. Page 19.

(21) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 13.Tính các tích phân sau: (Đổi biến số) 1. 1. I =. 2. x7. ∫ (1 + x 2 )5. 9. I =. dx. ∫. ∫ 1 + x 4 dx 1. 0 1. 2. I =. 2 5. 3 6. 10. I =. x (1 − x ) dx. 3. I =. 3. 1. ∫ x(x 4 + 1)dx 1 2. 4. I =. 11. I =. ∫ x.(x 10 + 1)2. 12. I =. ∫ x(1 + x 7 )dx. 13. I =. 7. I =. 14. I =. x2. ∫ x 4 − 1 dx xdx. ∫ x4 + x2 + 1 1+ 5 2. 0. 8. I =. ∫ x 6 + 1 dx. 0. (x − 1)2. ∫ (2x + 1)4 dx 1. x4 +1. 0 1. dx. ∫ x 6 (1 + x 2 ) 1 1. ∫ x + x 3dx. 3 3. 1− x7. 3. 1 − x2. 0. 1. 6. I =. ∫ 1 + x 4 dx 1 1. dx. 1 2. 5. I =. 1− x2. 1 2. 0 4. 1 + x2. 15. I =. (7x − 1)99. ∫ (2x + 1)101 dx. ∫ 1. x2 + 1 x4 − x2 + 1. dx. 0. Bài giải. 1. 1. I =. x. 1. 7. ∫ (1 + x 2 )5. (x ) 2. 3. xdx. ∫ (1 + x 2 )5. dx =. 0. 0. Đặt t = 1 + x 2 ⇒ dt = 2xdx Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 1; Với x = 1 ⇒ t = 2. 1 ⇒I = 2. 2. ∫. (t − 1)3 t5. 1. 1 1 . 4 25. dt =. 1. 2. I =. 1. ∫x. 5. 3 6. (1 − x ) dx =. ∫x. 0. 3. (1 − x 3 )x 2dx. 0. Đặt t = 1 − x 3 ⇒ dt = −3x 2dx ⇒ x 2dx = −. dt 3. Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 1; Với x = 1 ⇒ t = 0. 1 ⇒I = 3 4. 3. I =. 3. 1. ∫. t 6 (1 − t )dt =. 0 4.   1 t 7 t 8  1  −  = 3 7 8 168 3. x 3dx dx = x (x 4 + 1) x 4 (x 4 + 1) 1 1. ∫. 1. ∫. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 20.

(22) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Đặt t = x 4 ⇒ dt = 4x 3dx ⇒ x 3dx =. dt 4. Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 1; Với x = 4 3 ⇒ t = 3 3. 1 ⇒I = 4. ∫ 1. 2. 4. I =. 3. dt 1 = t(t + 1) 4. ∫ 1. 1 1  1  t  3 1 3 dt = ln   −   = ln  t t + 1 4 t + 1 1 4 2. 2. dx. x 9dx. ∫ x.(x 10 + 1)2 ∫ x 10 (x 10 + 1)2 =. 1. 1. Đặt t = x 10 + 1 ⇒ dt = 10x 9dx ⇒ x 9dx =. dt 10. Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 2 ; Với x = 2 ⇒ t = 210 + 1. 1 ⇒I = 5. 210 +1. 210 +1. 1 = 2 5 (t − 1)t 2 2 1 1 10 = ln(t − 1) − ln t +  22 +1 5  t . ∫. 2. 5. I =. ∫ 1. dt. 1− x7. ∫. 2. dx = x (1 + x 7 ).  1 1 1 − −  dt   t − 1 t t 2 . =. 1 1 1 1 (10 ln 2 − ln(210 + 1) + ) − (− ln 2 + ) 5 5 2 210 + 1. (1 − x 7 ).x 6. ∫ x 7 .(1 + x 7 )dx . 1. dt 7 Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 1; Với x = 2 ⇒ t = 128. Đặt t = x 7 ⇒ dt = 7x 6dx ⇒ x 6dx =. ⇒I =. =. 1 7. 128. ∫ 1. 1−t 1 dt = t(1 + t ) 7. 128. ∫ 1. 1 2  1 dt = (ln t − 2 ln 1 + t )  −  t 1 + t  7. 128 1. 1 1 10 2 (7 ln 2 − 2 ln 129) − (−2 ln 2) = ln 2 − ln 129 7 7 7 7 3. 6. I =. dx. 3. dx 2 6 1 + 1) 1 x .x ( x2. ∫ x 6 (1 + x 2 ) = ∫ 1. Đặt t =. 1 1 ⇒ dt = − dx x x2. : Đổi cận:Với x = 1 ⇒ t = 1; Với x = 3 ⇒ t =. 1 3. 3 3. ⇒I =−. 1.   t 4 − t 2 + 1 − 1 dt = 117 − 41 3 + π dt =    135 12  t2 + 1 t 2 + 1 1 3. ∫. t6. ∫ 3. 1. 7. I =. (x − 1)2. ∫ (2x + 1)4 0. 1. dx =. ∫ 0.  2 dx  x − 1   2x + 1  (2x + 1)2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 21.

(23) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899.  x − 1 ' 3  = Chú ý:   2x + 1 (2x + 1)2 Đặt:. x −1 3dx dx dt =t ⇒ = dt ⇒ = 2 2 2x + 1 3 (2x + 1) (2x + 1). Đổi cận: Với: x = 0 ⇒ t = −1 ; Với x = 1 ⇒ t = 0. 1 3. ⇒t =. −1 2. 0 1. 8. I =. ∫ 0. =. 2. 9. I =. t3 9. ∫ t dt =. 1 −1 0 =−. 9.  7x − 199 dx 1  =  2  2x + 1 ( 9 2x + 1). 1. ∫ 0.  7x − 199  7x − 1  d     2x + 1  2x + 1. 100 1 1  7x − 1 1 1  100   ⋅ =  2 − 1  0  9 100 2x + 1 900. 1 + x2. ∫ 1 + x 4d x 1. Ta có:. 1+x. 2. 1+ x4. Đặt t = x −. 1+. =. 1. x2 . 1 x2 + x2.  1 1 ⇒ dt = 1 + dx  x x 2 . Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 0; Với x = 2 ⇒ t = 3 2. dt. ∫ t2 − 2. ⇒I=. =. 2 2. 0. 2. 10. I =. 1. 3 2. ∫ 0. 3 2. 3  1 1  1 t− 2 1  dt − = . ln = ln(3 − 2 2) 2    t − 2 t + 2  2 2 t+ 2 0 2. 1− x2. ∫ 1 + x 4d x 1. 1. −1 2 x = . Ta có: 1 1+ x4 x2 + x2 1−x. 2. Đặt t = x +.  1 1 ⇒ dt = 1 − dx  x x 2 . Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 2; Với x = 2 ⇒ t =. 5 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 22.

(24) GV. Lưu Huy Thưởng 5 2. 0968.393.899. dt. ∫ t2 + 2 .. ⇒I =−. 2. du. Đặt t = 2 tan u ⇒ dt = 2. 2. cos u u2. 2 ⇒I = 2. 2. 11. I =. ∫ du = u1. ; tan u = 2 ⇒ u1 = arctan 2;. 5 5 ⇒ u2 = arctan 2 2. tan u =.  2 2  5 (u2 − u1 ) = arctan − arctan 2  2 2  2 . 1 − x2. ∫ x + x 3dx 1. 1. 2. Ta có: I =. ∫ 1. −1  1 1 x2 dx . Đặt t = x + ⇒ dt = 1 −  dx  1 x x 2  +x x. Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = 2; Với x = 2 ⇒ t = 5 2. ∫. I =−. 2. dt = − ln t t. 1. 12. I =. 5 5 2 2 = − ln. 2. + ln 2 = ln. 5 2. 4 5. x4 +1. ∫ x 6 + 1 dx 0. Ta có:. x4 +1 x6 + 1 1. ⇒I =. =. 1. (x 4 − x 2 + 1) + x 2. ∫ x2 + 1. x6 + 1. dx +. 0. 3 3. 13. I =. 1 3. 1. d (x 3 ). =. x4 − x2 + 1 (x 2 + 1)(x 4 − x 2 + 1). 1 π. +. x2 x6 + 1. =. 1 x2 + 1. +. x2 x6 + 1. ∫ (x 3 )2 + 1 dx = 4 + 3 . 4 = 3 π. π. 0. x2. ∫ x 4 − 1 dx 0. 3 3. I =. x. 2. ∫ (x 2 − 1)(x 2 + 1) 0. 1. 14. I =. dx =. 1 2. 3 3 . ∫ 0. 1 1  1 π  + dx = ln(2 − 3) + 2 2 4 12  x − 1 x + 1. xdx. ∫ x4 + x2 + 1 . 0. Đặt t = x 2 ⇒ dt = 2xdx ⇒ xdx =. dt 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 23.

(25) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; Với x = 1 ⇒ t = 1. ⇒I =. 1 2. 1. dt. ∫ t2 + t + 1 0. 1+ 5 2. ∫. 15. I =. 1. Ta có:. x2 + 1 x4 − x2 + 1. x2 + 1 x4 − x2 + 1. Đặt t = x −. 1. ⇒I =. 1 2. =. 1. ∫ 0. 2.   1  3 t +  +     2  2. =. π 6 3. dx. 1+. =. dt 2. 1. x2 . 1 2 x + −1 x2.  1 1 ⇒ dt = 1 + dx  x x 2  dt. ∫ t2 + 1 . 0. Đặt t = tan u ⇒ dt =. du cos2 u. π 4. ⇒ I =. ∫ du = 4. π. 0. . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 24.

(26) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. PHẦN III TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỶ HT 1.Tính các tích phân sau: 3. a) I1 =. 3. xdx. ∫. b) I 2 =. 2. x +1. 0. 3. dx. ∫. c) I 3 =. 2. x +1. 0. ∫. x 2 + 1dx. 0. Bài giải 3. a) I1 =. xdx. ∫. 2. x +1. 0 3. b) I 2 =. =. ∫. 1 2. 3. ∫. d (x 2 + 1) 2. x +1. 0. = x 2 + 1 10 = 2. dx x2 + 1. 0. x. Đặt: x + x 2 + 1 = t ⇒ (1 +. )dx = dt ⇔. x + x2 + 1. x2 + 1. x2 + 1. dx = dt ⇔. dx x2 + 1. =. dt t. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 3 ⇒ t = 3 + 2 3 +2. ∫. ⇒ I2 =. dt = ln t t. 3 +2 1. = ln( 3 + 2). 1 3. c) I 3 =. ∫. x 2 + 1dx. 0.  x du =  2 dx u = x +1   2 Đặt:  ⇒ x + 1 dv = dx  v = x   3. ⇒ I3 = x x2 + 1. 3 0. x 2dx. ∫. −. 2. x +1. 0. 3. =2 3−. ∫ 0. 3. x 2 + 1dx +. 3. =2 3−. ∫ 0. dx 2. x +1. ∫ 0. x2 + 1−1. dx. 2. x +1. = 2 3 − I 3 + I 2 = 2 3 − I 3 + ln( 3 + 2). 1 ⇒ 2I 3 = 2 3 + ln( 3 + 2) ⇒ I 3 = 3 + ln( 3 + 2) 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 25.

(27) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 2.Tính các tích phân sau: 1. a) I =. 0. ∫x. 3. 2. 1 − x dx. b) I =. 1. ∫ x.. 3. x + 1dx. c) I =. −1. 0. ∫ (x − 1). 3. 2x − x 2 dx. 0. Bài giải 1. a) I =. 1. ∫x. 3. 1 − x 2 dx =. 0. ∫x. 2. 1 − x 2 xdx. 0. 2. Đặt: t = 1 − x (t ≥ 0) ⇔ x 2 = 1 − t 2 ⇒ xdx = −tdt Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0 0. ∫. ⇒I =−.  3  t5  1 1 2 t (t 2 − t 4 )dt =  −  10 = − =  3 5  3 5 15 . 1 2. (1 − t )t.tdt =. 1. ∫ 0. 0. b) I =. ∫ x.3 x + 1dx. −1. Đặt t = 3 x + 1 ⇒ t 3 = x + 1 ⇒ dx = 3t 2dt Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 0; x = 0 ⇒ t = 1 1. ⇒I =. ∫ 0. 1.  7  t4  9 t 3(t − 1)dt = 3  −  = − 7  4 0 28 3. 1. c) I =. ∫ (x − 1). 3. 2x − x 2 dx. 0 1. I =. ∫. 1. (x − 1)3 2x − x 2 dx =. ∫ (x. 0. 2. − 2x + 1) 2x − x 2 (x − 1)dx .. 0. Đặt t = 2x − x 2 ⇔ t 2 = 2x − x 2 ⇒ 2tdt = (2 − 2x )dx ⇔ (x − 1)dx = −tdt Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 1 1. ∫. ⇒I =−. 0. 1. (−t 2 + 1)t.tdt =. ∫ 0.  5  t3  t (t 4 − t 2 )dt =  −   5 3  . 1 0. =. 1 1 2 − =− . 5 3 15. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 26.

(28) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 3.Tính các tích phân sau: 4. ∫ 1+. a) I =. 0 1. ∫ (x + 1) 2 3. 0. 27. m) I =. h) I =. x +1. 4+x. ∫x. ∫ 0. x2 + 1. k) I = 2. 4x + 1. 3x + 1. ∫. 0 3. ∫. dx. 1 + 2x ). ∫. i) I =. 8. ∫ x + 3 x2. o) I =. dx. 1. ∫ 3. ∫ 2. 1. x −2. 2x 3 − 3x 2 + x. 0. l) I =. 4. x −1. p) I =. dx 2 x +1. ∫ 1. dx. x +1 dx. x2 − x + 1. 2 5. 4 − x2 dx x. dx. x. 2x 2 + x − 1. 0 2. 2. (1 +. 1+x. ∫ 1+. c) I =. f) I =. dx. x +1. 2. x 3dx. ∫. ∫ 2x + 1 + 1 4. x 2dx. 0. j) I =. e) I =. dx 3 x +1 +x + 3. 1. dx. 2 5. x −3. ∫. g) I =. b) I =. dx. 2x + 1. 0 3. d) I =. 6. 2x + 1. x 2. dx 2. (x + 1) x + 5. x2 + x. dx. 1+x x. Bài giải 4. a) I =. ∫ 1+. 2x + 1. 0. dx. 2x + 1. Đặt t = 2x + 1 ⇒ t 2 = 2x + 1 ⇒ 2tdt = 2dx ⇔ dx = tdt Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 4 ⇒ t = 3 3. ⇒I =. ∫ 1. t2 dt = 1+t. 3. ∫ 1.  2   1  t  dt =  − t + ln t + 1  t − 1 +  2  t + 1  . 3 1. .. 9  1  =  − 3 + ln 4 −  − 1 + ln 2 = 2 + ln 2  2   2  6. b) I =. dx. ∫ 2x + 1 + 2. 4x + 1. Đặt t = 4x + 1 ⇒ t 2 = 4x + 1 ⇒ 2tdt = 4dx ⇒ dx =. tdt 2. Đổi cận: x = 2 ⇒ t = 3; x = 6 ⇒ t = 5. 1 ⇒I = 2. 5. 5. tdt. ∫ t2 − 1 3. =. +1+t. tdt. 5. tdt. 5. ∫ t 2 + 2t + 1 ∫ (t + 1)2 ∫ 3. =. 3. =. 2  1  5 1 1 3 1 = ln t + 1 +  = (ln 6 + ) − (ln 4 + ) = ln −  t + 1  3 6 4 2 12 1. c) I =. 1+x. ∫ 1+ 0. 3.    1 1  −  dt   t + 1 (t + 1)2 . dx. x. Đặt t = 1 + x ⇒ x = (t − 1)2 ⇒ dx = 2(t − 1)dt Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 27.

(29) GV. Lưu Huy Thưởng 2. ⇒I =. ∫. 1 + (t − 1)2 dt = t. 2. ∫. 1. 1. 3. d) I =. 0968.393.899. ∫3 0.  2    t − 2 + 2 dt = t − 2t + 2 ln t  2 = 11 − 4 ln 2 .   1 3  t   2 . x −3. dx x +1 +x + 3. Đặt t = x + 1 ⇒ 2tdt = dx Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 3 ⇒ t = 2 2. ⇒I =. ∫ 1 5. e) I =. dt = t 2 + 3t + 2. ∫x 1. 2. 2t 3 − 8t. x2 + 1. ∫. 2. (2t − 6)dt + 6. 1. 1. 3. ∫ t + 1dt = −3 + 6 ln 2 1. dx. 3x + 1. Đặt t = 3x + 1 ⇒ dx =. 2tdt 3. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 2; x = 5 ⇒ t = 4. 4. ⇒I =. ∫ 2.  2 2  t − 1  + 1   3  2tdt . 2 3 t −1 .t 3. =. 4. 4.  2 1 =  t 3 − t   9  3. 3. f) I =. ∫ 0. Đặt. 2. t −1 + ln t +1. 2x 2 + x − 1. 2 9. 4. ∫. = 2. 4. (t 2 − 1)dt + 2. 2. dt. ∫ t2 − 1 2. =. 2 9. 4. ∫. 4. (t 2 − 1)dt + 2. 2. ∫ 2.  1 1    − t − 1 t + 1 dt. 100 9 + ln . 27 5. dx. x +1. x + 1 = t ⇔ x = t 2 − 1 ⇒ dx = 2tdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 3 ⇒ t = 2 2. ⇒I =. ∫. 2(t 2 − 1)2 + (t 2 − 1) − 1 2tdt t. 1. 1. g) I =. =2. ∫ 1. 2.   54  4t 5 (2t − 3t )dt =  − 2t 3  =  5 1 5 4. 2. x 2dx. ∫ (x + 1) 0. 2. x +1. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 28.

(30) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Đặt t = x + 1 ⇒ t 2 = x + 1 ⇒ 2tdt = dx Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 2 2. ⇒I =. (t 2 − 1)2. ∫. t. 1. 4. h) I =. 3. 2. .2tdt =2. 1. x +1. ∫. 2. =. 16 − 11 2 3. dx 2. (1 +. 0. ∫.  3   2 t − 1 dt = 2 t − 2t − 1    3  t t  1. 1 + 2x ). Đặt t = 1 + 1 + 2x ⇒ dt =. dx 1 + 2x. ⇒ dx = (t − 1)dt và x =. t 2 − 2t 2. Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 2; x = 4 ⇒ t = 4. 1 ⇒I = 2. 4. (t 2 − 2t + 2)(t − 1). ∫. t2. 2. 1 dt = 2. 4. ∫. t 3 − 3t 2 + 4t − 2. 2. t2. 1 dt = 2. 4. . 4. 2 . ∫ t − 3 + t − t 2 dt 2.   1 t 2 2 1 =  − 3t + 4 ln t +  = 2 ln 2 −  2  2 t  4. 2. i) I =. 2x 3 − 3x 2 + x. ∫. 2. dx =. x2 − x + 1. 0. ∫ 0. (x 2 − x )(2x − 1) dx x2 − x + 1. Đặt t = x 2 − x + 1 ⇒ 2tdt = (2x − 1)dx Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 2 ⇒ t = 3 3. ⇒I =2. ∫ (t. 2. − 1)dt =. 1 2. j) I =. ∫ 0. 4 . 3. x 3dx 3. 4 + x2. 3. Đặt t = 4 + x 2 ⇒ x 2 = t 3 − 4 ⇒ 2xdx = 3t 2dt Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 3 4; x = 2 ⇒ t = 2. 3 ⇒I = 2. 2. ∫ 3. 4. (t 4 − 4t )dt =.   3  t 5 2  − 2 t    2  5 . 2 3.  3 8 = −  + 4 3 2   4 2  5. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 29.

(31) GV. Lưu Huy Thưởng. 2. 4 − x2 dx x. ∫. k) I =. 0968.393.899. 1 2. 4 − x2. ∫. Ta có: I =. x2. 1. xdx .. 4 − x 2 ⇒ t 2 = 4 − x 2 ⇒ tdt = −xdx. Đặt t =. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 3; x = 2 ⇒ t = 0 0. t(−tdt ). ∫. ⇒I =. 4 − t2. 3. ∫. 0. t2. ∫ t 2 − 4 dt = ∫. =. 3. 2 5. l) I =. 0. 3. x. 0     2 − 3  t − 2    (1 + )dt = t + ln = −  3 + ln     t + 2  3 2 + 3  t2 − 4 . 4. dx. (x 2 + 1) x 2 + 5. 2. Đặt t = x 2 + 5 ⇒ t 2 = x 2 + 5 ⇒ tdt = xdx Đổi cận: x = 2 ⇒ t = 3; x = 2 5 ⇒ t = 5 5. I =. ∫ 3. 1 = t2 − 4 4 dt. 27. m) I =. 5.  1. 1 . 1. 15. ∫ t − 2 − t + 2 dt = 4 ln 7 . 3. x −2. ∫ x + 3 x 2 dx 1. Đặt t = 6 x ⇒ t 6 = x ⇒ dx = 6t 5dt Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 27 ⇒ t = 3 3. ⇒I =5. t3 − 2. ∫ t(t 2 + 1). 3. dt = 5. 1. 8. o) I =. ∫ 3. ∫ 1.     1 − 2 + 2t − 1  dt = 5  3 − 1 + ln 2  − 5π    t t 2 + 1 t 2 + 1  3  12 . x −1. dx x +1 2. 8. 8. ∫. ∫.  x  1 1 I =  − dx = 2  x 2 + 1 x 2 + 1  3. (. ).   =  x 2 + 1 − ln x + x 2 + 1  4. p) I =. ∫ 0. x2 + x. 8 3. 3. d (x 2 + 1) x2 + 1. 8. −. ∫ 3. dx x2 + 1. = 1 + ln ( 3 + 2) − ln ( 8 + 3). dx. 1+x x. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 30.

(32) GV. Lưu Huy Thưởng 4. ∫ 1. 4. x2 + x. ∫. dx =. 1+x x. 0. 4. 4. x2. dx +. 1+x x. x2. ∫. + I1 =. 0968.393.899. ∫ 0. x. dx. 1+x x. dx .. 1+x x. 0. Đặt t= 1 + x x ⇔ t 2 − 1 = x x ⇔ x 3 = (t 2 − 1)2 ⇔ x 2dx =. 4 2 t(t − 1)dt 3. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 4 ⇒ t = 3 3. ⇒. 4 4 2 4  80 − 1)dt =  t 3 − t  13 =  9 3  9. ∫ 3 (t 1. 4. + I2 =. x. ∫. 1+x x. 0. Vậy: I =. dx =. 2 3. 4. ∫. d(1 + x x ). 4 1+x x 3. =. 1+x x. 0. 4 0=. 8 3. 104 9 . HT 4.Tính các tích phân sau:. 1. a) I =. 1. dx. ∫ 1+x +. b) I =. 1 + x2. −1. 3. d) I =. ∫ (1 + 0. 2 2. f) I =. ∫. 3. 1 3. 1. c) I =. dx. x4. e) I =. dx. 1 + x )2 (2 + 1 + x )2. x − x + 2011x. dx. ∫ 2(x + 1) + 2 0. 4. g) I =. 1. ∫. x4 dx   x − 1  x 2 + 1 3   x  . ∫. dx. x2 + x + 1. 0. x2. dx. x +1 +x x +1 2 3. 2 2. 3. 1. ). 3. x2. x. ∫. (. 1. x − x3 3. h) I =. ∫ 3x + 1 3. x. dx. 9x 2 − 1. Bài giải 1. a) I =. dx. ∫ 1+x +. −1. 1. Ta có: I =. 1 + x2 1 + x − 1 + x2. ∫ (1 + x )2 − (1 + x 2 ). −1. 1. dx =. ∫. −1. 1 + x − 1 + x2 1 dx = 2x 2. 1. ∫. −1. 1   + 1dx −   x. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. 1. ∫. −1. 1 + x2 dx 2x. Page 31.

(33) GV. Lưu Huy Thưởng 1. 1 + I1 = 2. ∫. −1. 1. 1   + 1dx = 1 ln x + x  |1 = 1   −1   x 2 . 1 + x2 dx . Đặt t = 1 + x 2 ⇒ t 2 = 1 + x 2 ⇒ 2tdt = 2xdx ⇒ I2= 2x. ∫. + I2 =. 0968.393.899. −1. 2. t 2dt. ∫ 2(t 2 − 1) = 0 2. Vậy: I = 1 . Cách 2: Đặt t = x + x 2 + 1 ⇔ t − x = x 2 + 1 ⇒ (t − x )2 = x 2 + 1 ⇔ t 2 − 2tx = 1 ⇔ x =. t2 − 1 2t. 1 1   dt ⇒ dx =  +  2 2t 2 . Đổi cận: x = −1 ⇒ t = −1 + 2; x = 1 ⇒ t = 1 + 2 1+ 2. (t 2 + 1)dx. ∫. ⇒I =. −1+ 2. 2t 2 (1 + t ). =.  1 1 = 2 ln t + 1 − − ln t   2  t. 1 2. 1+ 2. ∫ −1+ 2. 1+ 2 = −1+ 2.  2 1 1 + − dt  t + 1 t 2 t .   1  (t + 1)2 1 −  ln 2  t t . 1+ 2 −1+ 2. 1 1 = (ln(2 + 2 2) + 1 − 2) − (ln(2 + 2 2) − 1 − 2) = 1 2 2. b) I =. (. ). ∫. dx. x4. 1 3. 1. 1. Ta có: I =. 1 3 1  − 1 . dx  x 3  x 2. ∫ 1 3. Đặt t =. 1. x − x3 3. 1. 1 x. 2. − 1 ⇒ dt = −. 2 3. dx ⇔. dx 3. =−. x x 1 Đổi cận: x = ⇒ t = 8; x = 1 ⇒ t = 0 3 1 ⇒I =− 2. 0. ∫ 8. 1. c) I =. ∫ 0. 1 t 3dt. 1 = 2. 1 2. x +x +1. 8. ∫. 1 t 3dt. 0. 1. dx =. ∫ 0. dt 2. 4. 1 3 = . t3 2 4. 8 0=. 6. dx 1 3 (x + )2 + 2 4. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 32.

(34) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899.  2   x + x + 1 + x + 1       2x + 1  dx ⇔ dt =  2 dx ⇒ Đặt: ⇒ dt = 1 +       2 x 2 + x + 1  x2 + x + 1   Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 3 + 3 2. ∫. I =. 3 2. =. x +x +1. dt t. 3 3 1 ;x = 1 ⇒ t = + 3 t = x + + x2 + x + 1 2 2 2. 3 + 3 3  dt 3 3+2 3 2 = ln t = ln  + 3  − ln = ln 3   t 2 3 2  2. 3. d) I =. dx 2. ∫ (1 + 0. x2. dx. 1 + x )2 (2 + 1 + x )2. Đặt 2 + 1 + x = t ⇒ t − 2 = 1 + x ⇒ (t − 2)2 = 1 + x ⇒ 2(t − 2)dt = dx Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 3; x = 3 ⇒ t = 4 4. ⇒I =. ∫. ((t − 2) − 1) .2(t − 2)dt = (t − 1)2 t 2. 3 4. =. 2. 2. . ∫ 2t − 16 + 3. (t − 1)2 (t − 3)2 .2(t − 2)dt. ∫. (t − 1)2 t 2. 3. 4. =. ∫. 2(t − 3)2 (t − 2)dt. 3. t2.  42 36  36  4 − dt = t 2 − 16t + 42 ln t +  34 = − 12 + 42 ln 2    t t 3   t. 3. e) I =. 4. ∫ 2(x + 1) + 2 0. x2. dx. x +1 +x x +1. Đặt: t = x + 1 ⇒ t 2 = x + 1 ⇒ 2tdt = dx Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 3 ⇒ t = 2 2. ⇒I =. ∫ 1. 2 2. f) I =. ∫. 2t(t 2 − 1)2 dt t(t + 1)2 3. =2. 2. ∫ (t − 1) dt = 3 (t − 1) 2. 1. x − x 3 + 2011x. 3. 2 1. =. 2 3. dx. x4. 1. 2 2. Ta có: I =. 2. ∫ 1. 3. 1 x2. −1. x3. 2 2. dx +. ∫ 1. 2011 x3. dx = M + N. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 33.

(35) GV. Lưu Huy Thưởng 3. 2 2. ∫. +) M =. 1. Đặt t =. dx .. x3 1. 3. −1. x2. 1. x. 2. 0968.393.899. 1. −1 ⇒ t3 =. x. 2. − 1 ⇒ 3t 2dt = −. x. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 0; x = 2 2 ⇒ t = −. −. ⇒M =−. 3 2. 2 2. ⇒I =. g) I =. 7 2. ∫. t 3dt = −. 0. x. 1. 3. dx ⇒. 3 = − t 2dt 2 x. dx. 3. 3. 7 2. 3. 2011. ∫. +) N =. 2. 3. 213 7 128. 2 2. dx =. 2 2.  2011  2011x −3dx = − 2  2 x  1 1. ∫. =. 14077 16. 14077 213 7 . − 16 128 2 2. 2 2. ∫. ∫. x4 dx =   x − 1  x 2 + 1 3   x . 3. x 4 .xdx (x 2 − 1) x 2 + 1. xdx. Đặt t = x 2 + 1 ⇒ dt =. x2 + 1. Đổi cận: x = 3 ⇒ t = 2; x = 2 2 ⇒ t = 3 3. ⇒I =. ∫. (t 2 − 1)2. 2. t2 − 2. 2 3. h) I =. ∫ 3x + 1 3. 3. dt =. t2 − 2. 2. x. dx = 2. 9x − 1. ∫ 3x dx = 2. 1 3. ∫ 1 3. ∫ 2. 3. t 2dt +. 2. ∫ x(3x −. 2 3 3 x 1 3. =. x 9x − 1dx =. 1. ∫ t 2 − 2 dt = 2. 2 3. 9x 2 − 1)dx =. 1 3. 2 3. + I2 =. 3. dt =. 2 3. 2 3. + I1 =. ∫. t 4 − 2t 2 + 1. 19 2  4 + 2  + ln    4 − 2  3 4. 2 3. ∫ 3x dx − ∫ x 2. 1 3. 9x 2 − 1dx. 1 3. 8 1 7 − = 27 27 27. 1 18. 2 3. ∫ 1 3. 3 2. 9x 2 − 1 d (9x 2 − 1) =. 1 3 (9x 2 − 1)2 3 = 1 27 9 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 34.

(36) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 7−3 3 27. ⇒I =. HT 5.Tính các tích phân sau: 2. a) I =. d) I =. 0. ∫x. 2. 2. 4 − x dx. b) I 2 =. 1. ∫. 2. −x − 2xdx. 0. −1. 1. 1 2. x 2dx. ∫. e) I =. 4 − x6. 0. c) I =. ∫ 0. 1. ∫. 3 + 2x − x 2 dx. 2. 1 − 2x 1 − x dx. f) I =. ∫. 0. 0. x 2dx 3 + 2x − x 2. Bài giải 2. a) I =. ∫x. 2. 4 − x 2 dx. 0.  π π Đặt: x = 2 sin t, Với t ∈ − ;  ⇒ cos t ≥ 0  2 2   ⇒ dx = 2 cos tdt π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t = 2 π 2. ⇒I =. ∫ 4 sin. π 2. 2. t 4 − 4 sin2 t .2 cos t.dt = 16. 0. 2. ∫ sin. 2. π 2. t. cos t cos tdt = 16. ∫ sin. 0. π 2. 2. t. cos2 t.dt = 4. 0. sin 8t ) 8. = 2(t −. π 2 0. ∫. ∫ sin. π 2. 2. 4t.dt = 2. 0. ∫ (1 − cos 8t )dt 0. =π. 0. b) I 2 =. t 1 − sin2 t .cos t.dt. 0. π 2. = 16. ∫ sin. 0 2. −x − 2xdx =. −1. ∫. 1 − (x + 1)2 dx. −1.  π π Đặt: x + 1 = sin t , Với t ∈ − ;  ⇒ cos t ≥ 0  2 2   ⇒ dx = cos tdt π Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 0; x = 0 ⇒ t = 2 π 2. ⇒I =. ∫. π 2. 1 − sin2 t . cos t.dt =. 0. 1 sin 2t  = t +   2 2 . ∫ cos 0. π 2 0=. 2. t.dt =. 1 2. π 2. ∫ (1 + cos 2t)dt 0. π 4. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 35.

(37) GV. Lưu Huy Thưởng 1. c) I =. 0968.393.899 1. ∫. 2. 3 + 2x − x dx =. 0. ∫. 4 − (x − 2)2 dx. 0.  π π Đặt: x − 2 = 2 sin t , Với t ∈ − ;  ⇒ cos t ≥ 0  2 2   ⇒ dx = 2 cos tdt π π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = − ; x = 1 ⇒ t = − 2 6 −. ⇒I =. π 6. −. ∫ −. 4 − 4 sin2 t .2 cos t.dt = 4. π 2. 1. d) I =. π 6 π − 2 −. =−. −. ∫ cos. 2. −.  sin 2t   = 2 t +  2 . π 6. t.dt = 2. π 2. π 6. ∫ (1 + cos 2t )dt. −. π 2. π 3 π π 3 − + = − 12 4 4 6 4. x 2dx. ∫. 4 − x6. 0. Đặt t = x 3 ⇒ dt = 3x 2dx Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 1. 1 ⇒I = 3. 1. ∫ 0. dt. .. 4 − t2.  π Đặt: t = 2 sin u, u ∈ 0;  ⇒ dt = 2 cos udu  2  Đổi cận: t = 0 ⇒ u = 0; t = 1 ⇒ u =. ⇒I =. 1 3. π 6. ∫ 0. 2 cos u.du 2. =. 4 − 4 sin u. 1 3. π 6. π 6. ∫ 0. du =. u 3. π 6 0=. π . 18. Chú ý: Các em học sinh có thể đặt trực tiếp: x 3 = 2 sin t. 1 2. e) I =. ∫. 1 − 2x 1 − x 2 dx. 0.  π π Đặt x = sin t , Với t ∈ − ;  ⇒ cos t ≥ 0; cos t > sin t  2 2   ⇒ dx = cos t.dt 1 π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 2 6. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 36.

(38) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. π 6. π 6. ∫. ⇒I =. 1 − 2 sin t 1 − sin2 t . cos t.dt =. 0. ∫. ∫. ∫. (cos t − sin t ) cos tdt =. (sin t − cos t )2 cos t.dt. 0. π 6. 0. =. 1 − 2 sin t. cos t cos t.dt =. 0. π 6. =. ∫. π 6. (cos2 t − sin t. cos t )dt =. 0. 1 2. π 6. ∫ 0. 1 sin 2t cos 2t (1 + cos 2t − sin 2t )dt = (t + + ) 2 2 2. π 2 0. π 3 1 + − 12 8 8. 1. f) I =. x 2dx. ∫. 3 + 2x − x 2. 0. 1. Ta có: I =. ∫ 0. x 2dx. .. 22 − (x − 1)2.  π π Đặt x − 1 = 2 sin t . Với t ∈ − ;  ⇒ cos t ≥ 0  2 2   ⇒ dx = 2 cos tdt π π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = − ; x = 1 ⇒ t = − 2 6 −. ⇒I =. π 6. ∫ −. − 2. (1 + 2 sin t ) 2 cos t. dt =. 2. 4 − (2 sin t ). π 2. sin 8t = (3t − 4 cos t − ) 4. π 6 π − 2. =. −. π 2. −. 2. a) I =. ∫. 2. (x + x ) 4 − x dx. b) I =. −2 2. c) I =. (3 −. 2 2. ∫ 0. π 2. π 3 3 + −4 2 2. HT 6.Tính các tích phân sau: 5. π 6. 2 ∫ (1 + 4 sin t + 4 sin t )dt = ∫ (1 + 4 sin t + 2 − 2 cos 8t )dt −. −. π 6. ∫. 2x. 1 1. 2−x dx x +2. d) I =. ∫ 0. ). 4 − x 2 dx 4.    1− x  − 2x ln (1 + x )dx   1 + x . Bài giải 2. a) I =. ∫ (x. 5. + x 2 ) 4 − x 2 dx. −2 2. =. ∫. −2. 2. (x 5 + x 2 ) 4 − x 2 dx =. ∫. −2. 2. x 5 4 − x 2 dx +. ∫x. 2. 4 − x 2 dx = A + B.. −2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 37.

(39) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 2. 2. ∫x. + Tính A =. 5. 2. 4 − x dx =. −2. ∫x. 4. 4 − x 2 xdx .. −2. Đặt t = 4 − x 2 ⇒ t 2 = 4 − x 2 ⇒ xdx = −tdt Đổi cận: x = −2 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t = 0 0. ⇒I =. ∫ (4 − t. 2 2 2. ) .t .dt = 0. 0 2. ∫x. + Tính B =. 2. 4 − x 2 dx .. −2.  π π Đặt: x = 2 sin t, Với t ∈ − ;  ⇒ cos t ≥ 0  2 2   ⇒ dx = 2 cos tdt π π Đổi cận: x = −2 ⇒ t = − ; x = 2 ⇒ t = 2 2 π 2. ⇒B =. π 2. ∫ 4 sin. 2. −. t 4 − 4 sin2 t .2 cos t.dt = 16. π 2. −. π 2. = 16. 2. t 1 − sin2 t . cos t.dt. π 2. π 2. ∫ sin. −. ∫ sin. 2. t. cos t cos tdt = 16. π 2. ∫ sin. −. sin 8t = 2(t − ) 8. π 2 −. π 2. 2. t. cos2 t.dt = 4. π 2. ∫ sin. −. π 2. π 2. 2. 4t.dt = 2. ∫ (1 − cos 8t )dt. −. π 2. = 2π. π 2. Vậy, I = 2π. 2. b) I =. ∫. (3 −. ). 4 − x 2 dx 2x 4. 1 2. Ta có: I =. 2. 3. ∫ 2x 4. dx −. 1. ∫ 1. 2x 4. 3. 3 dx = 4 2 2x 2. + Tính I 2 =. ∫ 1. 2. + Tính I 1 =. 4 − x2. ∫ 1. 4 − x2 2x 4. dx .. 2. ∫x 1. −4. dx =. 7 . 16. dx .. Đặt x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos tdt .. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 38.

(40) GV. Lưu Huy Thưởng Đổi cận: x = 1 ⇒ t =. ⇒ I2 =. 1 8. π 2. ∫. 2. cos tdt sin 4 t. π 6. Vậy: I = 2. c) I =. 0968.393.899. π π ;x = 2 ⇒ t = 6 2. =. 1 8. π 2. ∫ cot. 2. π 6.  1  1 dt = − t     sin2 t  8. π 2. ∫ cot. 2. t.d (cot t ) =. 3 8. π 6. 1 ( 7 − 2 3) . 16. 2−x dx x +2. ∫ 0. Đặt x = 2 cos t ⇒ dx = − 2 sin tdt π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = ; x = 2 ⇒ t = 0 2 0. 2 − 2 cos t 2 sin tdt = 2 + 2 cos t. ∫. ⇒I =−. π 2. π 2. =. ∫ 0. t sin 2 4. sin t . cos t .dt = t 2 2 cos 2. = 2(t − sin t ). 1. d) I =. ∫ 0. ∫ 0 1. Tính: K =. ∫ 0. Vậy: I =. ∫ 0. t 2 2 sin t.dt . 2 t cos 2 sin2. π 2. ∫ 2(1 − cos t )dt 0. π −2.    1− x  − 2x ln (1 + x )dx   1 + x  1. Tính H =. π 2 0=. π 2. 1− x 1+ x. dx . Đặt.  π π x = cos t ; t ∈  0;  ⇒ H = 2 −  2 2  . u = ln(1 + x ) 1 2x ln(1 + x )dx . Đặt  ⇒K =  dv = 2xdx 2 . 3 π − 2 2 . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 39.

(41) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. PHẦN IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC HT 1.Tính các tích phân sau: π 2. π. a) I =. ∫ cos. 4. b) I 2 =. xdx. ∫ (sin. 6. x + cos6 x )dx. ∫ sin 2x. sin 5x.dx. c) I =. 0. 0. π 2. d) I =. π 2. π 3. 3. 4 sin x. ∫ 1 + cos x dx. e) I =. ∫. 0. 0. −.  π 2 sin x −  4   dx cos x. π 2. π 4. dx. ∫ 1 + cos 2x. f) I =. 0. Bài giải π. a) I =. π. ∫ cos. 4. xdx =. ∫ (cos. 0 π. 1 = 4. 2. x ) dx =. 3. 0. 0. ∫ (sin. 6. x + cos6 x )dx =. ∫ (sin. 2. =. ∫ 0. 2x )dx. 0. x + cos2 x )(sin4 x − sin2 x cos2 x + cos4 x )dx. 2. π 2. ). x + cos2 x )2 − 3 sin2 x cos2 x dx =. 0. π 2. 2. 0. π 2. ∫ ((sin. ∫ (1 + 2 cos 2x + cos. π 2. 0. =. π. cos 4x  1 3 sin 4x  π 3π dx =  x + sin 2x +  =  2  4  2 8  0 8. π 2. b) I 2 =. ∫. 0. ∫  2 + 2 cos 2x +.  2 1 + cos 2x  dx = 1   2 4 . π 2. 3. ∫ (1 − 4 sin. 2. 2x )dx. 0. 5  5 3 3 ( + cos 4x )dx =  x + sin 4x    8 8 8 32 . π 2. c) I =. ∫ −. π 2. π 2. d) I =. sin 2x .sin 5x .dx =. ∫ 0. 1 2. π 2. ∫ −. 3. 4 sin x dx = 1 + cos x. π 2. ∫ 0. π 2 0=. 5π 16. 1  sin 3x sin 7x  (cos 3x − cos 7x )dx =  −  2  3 7 . π 2. 2. 4(1 − cos x ) sin x dx = 1 + cos x. π 2. π 2 π − 2. =−. ∫ 4(1 − cos x )d(1 − cos x ) =. 4 21. π 2 2 2(1 − cos x ) 0 = 2. 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 40.

(42) GV. Lưu Huy Thưởng π π  π 2 sin x −  3 3  sin x  4   sin x − cos x dx = dx =  − 1dx   cos x cos x cos x. π 3. ∫. e) I =. 0. (. = − ln cos x − x. π 4. f) I =. ∫ 0. 0968.393.899. ). π 3 0 = ln 2 −. dx = 1 + cos 2x. π 4. ∫. ∫. 0. 0. π 3. dx. ∫ 2 cos2 x. =. 0. 1 tan x 2. π 4 0=. 1 2. HT 2. Tính các tích phân sau: π 2. a) I =. π 2. ∫ cos. 2. ∫ (cos. b) I =. x cos 2xdx. 0. π 4. 3. x − 1)cos2 x .dx. c) I =. 0. 0. π 2. d) I =. ∫ (sin. dx. ∫ cos6 x. π 2. 4. x + cos4 x )(sin6 x + cos6 x )dx. e) I =. 0. ∫ cos 2x(sin. 4. x + cos4 x )dx. 0. Bài giải π 2. a) I =. ∫ cos. 2. x cos 2xdx. 0 π 2. I=. ∫ cos. 2. x cos 2xdx =. 0. 1 2. π 2. 1. π 2. ∫ (1 + cos 2x ) cos 2xdx = 4 ∫ (1 + 2 cos 2x + cos 4x )dx 0. 0. π 2 1 1 π = (x + sin 2x + sin 4x ) = 4 4 8 0 π 2. b) I =. ∫ (cos. π 2. 3. x − 1) cos2 x .dx =. 0. ∫ cos. π 2. 5. xdx =. 0. ∫ cos. 2. 0. x − cos2 x )dx. ∫ (1 − sin. 2. 2. x ) d (sin x ) =. 0. π 2. B=. 5. 0. π 2. A =. ∫ (cos. x .dx =. 1 2. 8 15. π 2. ∫ (1 + cos 2x ).dx 0. =. π 4. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 41.

(43) GV. Lưu Huy Thưởng Vậy I =. π 4. c) I =. 0968.393.899. 8 π – . 15 4 π 4. dx. π 4. dx. ∫ cos6 x = ∫ cos4 x. cos2 x 0. ∫ (1 + 2 tan. =. 0. 2. x + tan 4 x )d(tan x ) =. 0. 28 . 15. π 2. d) I =. ∫ (sin. 4. x + cos4 x )(sin6 x + cos6 x )dx .. 0. Ta có: (sin 4 x + cos4 x )(sin6 x + cos6 x ) =. ⇒I =. 33 7 3 + cos 4x + cos 8x 64 16 64. 33 π. 128 π 2. e) I =. ∫ cos 2x(sin. 4. x + cos4 x )dx. 0 π 2. I =. . 1. ∫ cos 2x 1 − 2 sin. 2. 0.  1 2x dx =  2. π 2. . 1. ∫ 1 − 2 sin 0. 2.  2x d (sin 2x ) = 0 . HT 3.Tính các tích phân sau : π 8. a) I =. ∫. π 6. cot x − tan x − 2 tan 2x dx sin 4x. b) I =. d) I =. ∫ sin 2x + cos 2x +. ∫ 2 sin x − 0. π 12.  π cos2 x +  8  . π. 1. e) I =. dx 2. ∫. dx. c) I =. 3. ∫ 2+ π 3. 8 cos2 x − sin 2x − 3 dx f) I = sin x − cos x. dx 3 sin x − cos x. 2π. ∫. 1 + sin xdx. 0. Bài giải π 8. a) I =. ∫. cot x − tan x − 2 tan 2x dx sin 4x. π 12 π 8. Ta có: I =. ∫. 2 cot 2x − 2 tan 2x dx = sin 4x. π 12. π 6. b) I =. ∫ π 12. 1. ∫ 2 sin x − 0. π 8. 2 cot 4x dx = 2 sin 4x. π 8. π. 1 8 = 2 3 −3 dx = − 2 2 sin 4x π 6 sin 4x π 12. ∫. cos 4x. 12. dx 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 42.

(44) GV. Lưu Huy Thưởng. 1 Ta có: I = 2. π 6. ∫ 0. 0968.393.899 π 6. 1. dx =. π sin x − sin 3. 1 2. ∫. dx. π sin x − sin 3. 0.  x π   x π  cos  +  −  −   2 6   2 6  = dx = dx  x π   x π  π   0 sin x − sin 0 2 cos  +  .sin  −   2 6   2 6  3 π 6. cos. ∫. π 6. π 3. ∫. π x π   x π   cos  −  6 sin  +  x π  π x π  π  2 6   2 6  1 1 = dx + dx = ln sin  −  6 − ln cos  +  6 = .....  x π   x π   2 6  0  2 6  0 2 2 0 sin  −  0 cos  +   2 6   2 6  π 6. ∫. ∫. π. dx. ∫ 2+. c) I =. 3 sin x − cos x. π 3 π. I =. 1 2. π. dx 1 dx 1 =I = = .     4 π x π 4 3 2   π 1 − cos x +  π 2 sin  +   2 6  3 3 3. ∫. d) I =. ∫.  π cos2 x +  8  . ∫ sin 2x + cos 2x +. Ta có: I =. 1 2 2.    1  =  2 2      1  =  2 2  . =. e) I = I =. ∫. ∫. dx 2.  π 1 + cos 2x +   4  dx   π 1 + sin 2x +   4. ∫.  π cos 2x +   4  dx +  π 1 + sin 2x +   4. ∫.  π cos 2x +   4  dx + 1  2 π 1 + sin 2x +    4. ∫. dx.    sin x + π  + cos x       8 . ∫.     2    π  +   8  .   dx     3 π sin2 x +    8 .   1  π  3π    ln 1 + sin 2x +  − cot x +  + C 4 8  4 2 . ∫. 8 cos2 x − sin 2x − 3 dx sin x − cos x. (sin x − cos x )2 + 4 cos 2x dx = sin x − cos x. ∫ (sin x − cos x − 4(sin x + cos x )dx. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 43.

(45) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. = 3 cos x − 5 sin x + C . 2π. ∫. f) I =. 1 + sin xdx. 0. 2π. I =.  x 2 sin + cos x  dx =   2 2. ∫ 0. 2π. ∫. sin. 0. x x + cos dx = 2 2 2. 2π. ∫ 0. x π  sin  + dx 2 4 .  3π  2  2 π       x x π π = 2  sin  + dx − sin  + dx  = 4 2 2 4  2 4    3π 0    2. ∫. ∫. HT 4.Tính các tích phân sau: π 2. 1. I =. sin 2x. ∫. (2 + sin x ). 6. sin x + cos x. ∫ cos x ∫. 2π 3 π 3. 0. 3. 0. ∫. dx. 2. sin x + sin x. 12. I =. dx. π 4. 13. I =. 8. I =. 0. 14. I =. 1 − cos3 x .sin x . cos5 xd x. 0. cos x − sin x. dx. 3 − sin 2x. cot x dx  π   π sin x . sin x +   4 6. ∫ π 3. 15. I =. tan xdx. ∫ cos x. ∫. tan3 x dx cos 2x. π 3. 1 π 4. ∫ 0.  π tan x −   4 dx cos 2x 6. sin 4x. ∫ 1 + cos2 xdx π 6. 2. 7. I = 2. dx. tan4 x + 1. 0. cos2 x + 4 sin2 x. 0. ∫. 3 + sin2 x. sin 2x. =∫. 11. I =. dx. x + (x + sin x )sin x. π 2. π 6. sin x. sin 4x. ∫ cos2 x. π 4. 0. 6. I =. 10. I =. dx. 6. π 3. 5. I. 0. sin 4x. ∫ 0. 4. I =. cos 2x. ∫ (cos x − sin x + 3)3dx π 4. π 4. 3. I =. 9. I =. dx. 2. 0. 2. I =. π 2. dx. ∫ sin2 x.cos4 x π 4. 1 + cos2 x Bài giải. π 2. 1. I =. ∫ 0. sin 2x. (2 + sin x ). dx. 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 44.

(46) GV. Lưu Huy Thưởng π 2. Ta có: I =. 0968.393.899 π 2. sin 2x. 0. 3. ⇒I =2. ∫ 2. 0. 1 2   3 2 2 dt = 2  −  dt = 2 ln t +  = 2 ln −  2 2  t 2 3   t t  t 2 2. ∫. sin 4x. ∫. dx. sin6 x + cos6 x. 0. π 4. •I =. sin 4 x. ∫. 3 2 sin 2x 4. 1−. 0. π 3. 3. I =. sin x. ∫ cos x. 3 2 sin 2x ⇒ I = 4. d x . Đặt t = 1 −. 1 4. ∫ 1. 1  2 1  4 2 − dt = t = .  3  1 3 3 t 4. dx. 3 + sin2 x. 0. 4 − cos2 x . Ta có: cos2 x = 4 − t 2 và dt =. Đặt t = 3 + sin2 x =. π 3. I=. 3. 3. t −2. π 4. 2. I =. sin x cos x. ∫ (2 + sin x )2dx = 2∫ (2 + sin x )2 dx . Đặt t = 2 + sin x .. π 3. sin x. ∫ cos x. .dx =. 3 + sin2 x. 0. 15. 1 t +2 2 = ln 4 t −2 3. =.  1  ln 4 . sin x . cos x. ∫ cos2 x 0. 15 + 4 15 − 4. 2π x + (x + sin x )sin x 4. I = π 3 dx sin 3 x + sin2 x 3 2π 2π x dx 3 3 I = dx + π π 1 + sin x 2 sin x 3 3. 15 2. dx =. 3 + sin2 x. − ln. ∫. 3. sin x cos x. dt 4 − t2. dx .. 3 + sin2 x. =. 1 4. 15 2. ∫.  1 1  dt −  t + 2 t − 2 . 3.  3 + 2  1 (  = (ln 15 + 4) − ln ( 3 + 2)) . 3 − 2  2. ∫. ∫. ∫. + Tính I 1 =. + Tính I2 =. Vậy: I =. ∫. ∫. π. 2π 3 π 3. 2π 3 π 3. ..  u = x du = dx π  dx . Đặt  ⇒ I1 = dx ⇒  2   = − v cot x dv = 3 sin x   sin2 x . x. dx = 1 + sin x. ∫. 2π 3 π 3. dx = π  1 + cos  − x  2 . ∫. 2π 3 π 3. dx =4 − 2 3 π x  2 cos2  −   4 2. + 4 −2 3 .. 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 45.

(47) GV. Lưu Huy Thưởng π 2. 5. I. sin 2x. =∫. I. =. cos x + 4 sin2 x. 2 sin x cos x. ∫ ∫ 0. I =. ∫ 0. dx . Đặt u = 3 sin x + 1 ⇒. I =∫ 1. 2 2 udu 2 2 3 = du = u 3 3. ∫ 1.  π tan x −   4 dx cos 2x. π 6. π 6. 2. 2. 3 sin2 x + 1. 0. 6. I =. dx. 2. 0 π 2. 0968.393.899. π  π 6 tan x −   1 tan2 x + 1 4 dx = − dx = (tan2 x + 1)dx dx . Đặt t = tan x ⇒ dt = 2 2 cos 2x (tan x + 1) cos x 0. ∫. 1 1. 3. 1 1− 3 3 ⇒I =− = = . 2 t +1 0 2 ( t + 1) 0 dt. ∫. 2. 7. I = 2. ∫. 6. 1 − cos3 x .sin x . cos5 xd x. 1 6. Đặt t = 1 − cos3 x ⇔ t 6 = 1 − cos3 x ⇒ 6t 5dt = 3 cos2 x sin xdx ⇒ dx =. ∫ 0. π 4. 8. I =.  7  t 13  12 t t (1 − t )dt = 2  −  = 7 13  0 91 6. 6. tan xdx. ∫ cos x 0. π 4. Ta có: I =. 1 + cos2 x tan xdx. ∫ cos2 x 0. 3. ⇒I=. ∫. tdt = t. 9. I =. . Đặt t = 2 + tan2 x ⇒ t 2 = 2 + tan2 x ⇒ tdt =. tan2 x + 2. tan x. dx. cos2 x. 3. ∫ dt =. 2 π 2. cos2 x sin x. 1. 1. ⇒I =2. 2t 5dt. 3− 2. 2. cos 2x. ∫ (cos x − sin x + 3)3dx 0. 4. Đặt t = cos x − sin x + 3 ⇒ I =. ∫ 2. t −3 1 dt = − . 3 32 t. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 46.

(48) GV. Lưu Huy Thưởng π 4. 10. I =. sin 4x. ∫ cos2 x. π 4. ∫ 0. π 4. 11. I =. dx. tan4 x + 1. 0. Ta có: I =. 0968.393.899. 2 2. sin 4x. dx . Đặt t = sin4 x + cos4 x. 4. 4. ⇒ I = −2. sin x + cos x. ∫ dt = 2 −. 2.. 1. sin 4x. ∫ 1 + cos2 xdx 0. π 4. Ta có: I =. ∫ 0. π 6. 12. I =. ∫ 0. 1 2. 2(2t − 1) 2 sin 2x (2 cos x − 1) 1 dx . Đặt t = cos2 x ⇒ I = − dt = 2 − 6 ln . 2 t +1 3 1 + cos x 1 2. ∫. tan3 x dx cos 2x. π π 3 6 6 tan x tan 3 x dx = ∫ dx . Ta có: I = ∫ 2 2 2 2 0 cos x − sin x 0 cos x (1 − tan x ). 3 3 t3 1 1 2 dt = − − ln . Đặt t = tan x ⇒ I = ∫ 2 6 2 3 0 1−t π 4. 13. I =. ∫ 0. cos x − sin x. dx. 3 − sin 2x 2. Đặt u = sin x + cos x ⇒ I =. ∫ 1. π 4. Đặt u = 2 sin t ⇒ I =. ∫ π 6. du. .. 4 − u2. 2 cos tdt 4 − 4 sin2 t. π 4. =. ∫ dt = 12 . π. π 6. π 3. 14. I =. cot x dx  π   π sin x . sin x +   4 6. ∫ π 3. I = 2. cot x. 1. ∫ sin2 x(1 + cot x ) dx . Đặt 1 + cot x = t ⇒ sin2 x dx = −dt π 6. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 47.

(49) GV. Lưu Huy Thưởng 3 +1. ⇒I = 2. ∫. t −1 dt = 2 (t − ln t ) t. 3 +1. 0968.393.899 3 +1 3 +1 3.  2  = 2  − ln 3    3. 3 π 3. 15. I =. dx. ∫ sin2 x.cos4 x π 4. π 3. dx. dt. ∫ sin2 2x. cos2 x . Đặt t = tan x ⇒ dx = 1 + t. Ta có: I = 4.. 2. π 4. 3 (1 + t 2 )2dt 3 1 1 t3 ⇒I = ∫ = ∫ ( + 2 + t 2 )dt = (− + 2t + ) 2 t 3 t2 1 1 t 1. 3 =. 8 3 −4 3. HT 5.Tính các tích phân sau: 1. I = 2. I = 3. I =. sin 2xdx. ∫ 3 + 4 sin x − cos 2x dx. ∫ sin3 x. cos5 x. 11. I =. 0. 12. I =. ∫. sin 2x . cos x dx 1 + cos x. 7. I =. 13. I =. 8. I =. 4. 14. I =. x (2 − 1 + cos 2x )dx. 0. 2. cos x (tan x − 2 tan x + 5). 4. ∫. sin2 x dx sin 3x. π 6. dx. 16. I =. sin x dx cos 2x. 4. π. π 2. 15. I =. 2. sin xdx. ∫ −. ∫ sin2 x.cos4 x. ∫. sin x. ∫ 5 sin x. cos2 x + 2 cos xdx π. sin2 x tan xdx. 2. π 4 π 6. 1 − 3 sin 2x + 2 cos2 xdx. 0. ∫ sin π 2 π 3. dx 3 cos x. 0. 0 π. 6. I =. ∫ π 4. π 3. 5. I =. 1. 0. dx. ∫. ∫ sin x + π 2. ∫ sin x. cos3 x π 2. 4. I =. π 6. π 3. 17.. ∫. π 2 π 4. sin x − cos x. dx. 1 + sin 2x. dx. ∫ 4 sin3 x. cos5 x π 4. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 48.

(50) GV. Lưu Huy Thưởng π 2. 9. I =. π. sin x. ∫. (sin x +. 0. π 4. 10. I =. 0968.393.899. ∫ −. 3 cos x. ). 3. 18. I =. dx. 19. I =. dx. ∫ sin x π 6. cos2 x. π 3. cos3 x + cos x + sin x. 0 π 2. 2. sin x 1 − cos x. ∫. x(. 1 + cos2 x cos x. )dx. dx. 3 + cos2 x. Bài giải. 1. I =. sin 2xdx. ∫ 3 + 4 sin x − cos 2x. Ta có: I =. 2. I = I =. dx. ∫ sin3 x. cos5 x dx. dx. ∫ sin3 x.cos3 x. cos2 x = 8∫ sin3 2x.cos2 x Đặt t = tan x . I =. Chú ý: sin 2x =. 3. I = I =. 1. 2 sin x cos x. ∫ 2 sin2 x + 4 sin x + 2dx . Đặt t = sin x ⇒ I = ln sin x + 1 + sin x + 1 + C. ∫. 2t 1 + t2. 3  3 1 3 1 −3  4 2  +C t + 3t + t + t dt = 4 tan x + 2 tan x + 3 ln tan x − 2 tan2 x. .. dx. ∫ sin x. cos3 x dx. dx. ∫ sin x. cos x. cos2 x = 2∫ sin 2x. cos2 x . Đặt t = tan x ⇒I =2. ∫. dt 2t 1+t. π 2. 4. I =. ∫ 0. =. ∫. t2 + 1 dt = t. ∫. ⇒ dt =. dx 2. ; sin 2x =. cos x. 2t 1 + t2. 1 t2 tan2 x (t + )dt = + ln t + C = + ln tan x + C t 2 2. 2. sin 2x . cos x dx 1 + cos x π 2. Ta có: I = 2. ∫ 0. sin x .cos2 x dx . Đặt t = 1 + cos x ⇒ I = 2 1 + cos x. 2. ∫. (t − 1)2 dt = 2 ln 2 − 1 t. 1. π 3. 5. I =. ∫ sin. 2. x tan xdx. 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 49.

(51) GV. Lưu Huy Thưởng π 3. ∫. Ta có: I =. sin2 x .. 0 1 2. 0968.393.899. sin x dx = cos x. π 3. (1 − cos2 x ) sin x dx . Đặt t = cos x cos x. ∫ 0. 1 − u2 3 du = ln 2 − u 8. ∫. ⇒I =−. 1. π. ∫ sin. 2. 6. I =. x (2 − 1 + cos 2x )dx. π 2 π. Ta có: I =. π. ∫ 2 sin. 2. xdx −. π 2. ∫ sin. 2. π 2 π. π. ∫. +H =. x 1 + cos 2xdx = H + K. 2 sin2 xdx =. π 2. ∫ (1 − cos 2x )dx = π − 2 = 2 π. π 2. π. π. ∫. +K =. sin2 x 2 cos2 x = − 2. π 2. ⇒I =. π. ∫. π. sin2 x cos xdx = − 2. π 2. ∫ sin. 2. xd(sin x ) =. 2 3. π 2. π 2 − 2 3. π 3. dx. ∫ sin2 x.cos4 x. 7. I =. π 4 π 3. dx. dx. ∫ sin2 2x. cos2 x . Đặt t = tan x ⇒ dt = cos2 x .. I = 4.. π 4. 3. I =. ∫. (1 + t 2 )2 dt t. 1 π 6. 8. I =. 2. 3. =. ∫ 1.   1  t3   1  + 2 + t 2 dt = − + 2t +   t t 2 3 1 . 3. =. 8 3 −4 3. sin x. ∫ cos 2x dx 0. π 6. I =. sin x. π 6. sin x. ∫ cos 2x dx = ∫ 2 cos2 x − 1 dx . Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx 0. 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 50.

(52) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x =. 3 2. Ta được I = −. 1. π 3 ⇒t = 6 2. ∫ 2t 2 − 1 dt = 2. 1 2. 1. π 2. sin x. ∫. 9. I =. (sin x +. 0. 3 cos x. ). 3. ln. 1. 2t − 2. 1. =. 2t + 2. ln. 2 2. 3 2. 3−2 2 5−2 6. dx.  π Ta có: sin x + 3 cos x = 2 cos x −  ;  6    π  π  3 π 1 π sin x = sin x −  +  = sin x −  + cos x −     6  6  2 6  2 6  π  π sin x − dx 2  6  3 3 1 dx = I = +     6 16 16 π π 3 2 0 cos x −  0 cos x −    6  6  π 2. ∫. ∫. π 4. 10. I =. ∫ −. π 4. I =. ∫ −. π 3. sin x 1 − cos2 x. π 3. sin x 2. π 4. 1 − cos2 x .dx =. cos x. 0. =−. ∫. π − 3. I =. 2. ∫ sin x +. sin2 x. π 3. sin x 2. 0. cos x. 7π. ∫. sin x dx =. ∫ cos2 x dx = 12 −. dx +. cos x. ∫ sin x + 0. π 4. sin2 x. 0. π 6. ∫ −. π 6. 11. I =. dx. cos2 x. −. π 3. sin x 2. π 4. sin x dx +. cos x. sin x. ∫ cos2 x sin x dx. −0. 3 −1 .. 0. 1. dx 3 cos x. 1. dx = 3 cos x. 1 2. π 6. ∫ 0. 1 1 dx =   2 π sin x +   3. π 6. ∫ 0.  π sin x +   3  dx .  π 1 − cos2 x +   3.   π π 1 Đặt t = cos x +  ⇒ dt = − sin x + dx ⇒ I =   3 3 2. 1 2. 1. 1. ∫ 1 − t 2dt = 4 ln 3 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 51.

(53) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. π 2. 12. I =. ∫. 1 − 3 sin 2x + 2 cos2 xdx. 0 π 2. I =. ∫. π 3. sin x − 3 cos x dx = I =. ∫. 0. sin x − 3 cos x dx +. 0. π 4. 13. I =. π 2. ∫. sin x − 3 cos x dx = 3 − 3. π 3. sin x. ∫ 5 sin x. cos2 x + 2 cos xdx 0. π 4. tan x. 1. ∫ 5 tan x + 2(1 + tan2 x ). cos2 x dx . Đặt t = tan x ,. Ta có: I =. 0. 1. ⇒I =. 1 dt = 2 3 2t + 5t + 2 t. ∫ 0. 1. ∫ 0.  2 1  1 2   − t + 2 2t + 1dt = 2 ln 3 − 3 ln 2. π 4. 14. I =. 2. sin xdx. ∫ −. 4. π. 2. cos x (tan x − 2 tan x + 5). 4. Đặt t = tan x ⇒ dx =. 1. Tính I 1 =. dt. 15. I =. ∫. 1+t. 2. ⇒ I =. ∫ t 2 − 2t + 5 . Đặt −1. π 2. 1. dt. t 2dt. 1. 2. −1. t −1 2. dt. ∫ t 2 − 2t + 5 = 2 + ln 3 − 3∫ t 2 − 2t + 5 −1. = tan u ⇒ I 1 =. 1. 0. 2. du = . Vậy I = 2 + ln − 2∫ 8 3 π. −. 3π . 8. π 4. sin2 x dx . sin 3x. π 6 π 2. I =. 2. sin x. π 2. sin x. ∫ 3 sin x − 4 sin3 x dx = ∫ 4 cos2 x − 1 dx π 6. π 6. 0. Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ I = −. dt. 1. 3 2. ∫ 4t 2 − 1 = 4 ∫ 3 2. dt. 1 2 0 t − 4. =. 1 ln(2 − 3) 4. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 52.

(54) GV. Lưu Huy Thưởng π 2 π 4. sin x − cos x. 0968.393.899. 16. I =. ∫. Ta có:. π π 1 + sin 2x = sin x + cos x = sin x + cos x (vì x ∈  ;  )  4 2 . ⇒I =. ∫. π 2 π 4. ⇒I =. π 3. 17.. dx. 1 + sin 2x. sin x − cos x dx . Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x )dx sin x + cos x. 21. ∫1. t. 2. dt = ln t. 1. =. 1 ln 2 2. dx. ∫ 4 sin3 x. cos5 x π 4. π 3. Ta có:. π 3. 1. ∫ π 4 4. sin3 x 3. dx =. . cos8 x. 3. ∫. −. 1. π 4. cos x. Đặt t = tan x ⇒ I =. 1. ∫ 4 tan3 x . cos2 x dx .. 3. t 4 dt = 4 ( 8 3 − 1). 1 π. 18. I =. ∫. x(. cos3 x + cos x + sin x 1 + cos2 x. 0.    cos x (1 + cos2 x ) + sin x  x  dx =  1 + cos2 x  . π. Ta có: I =. ∫ 0 π. + Tính J =. )dx. ∫ 0. π. ∫. π. x . cos x .dx +. 0. x . sin x. ∫ 1 + cos2 x dx = J + K 0. u = x du = dx x .cos x .dx . Đặt  ⇒  ⇒ J = −2  dv = cos xdx v = sin x  . π. + Tính K =. x .sin x. ∫ 1 + cos2 x dx .. Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt. 0. π. ⇒K =. ∫ 0 π. ⇒ 2K =. ∫ 0. (π − t ). sin(π − t ) 2. 1 + cos (π − t ) (x + π − x ). sin x 1 + cos2 x. π. dt =. ∫. (π − t ). sin t 2. 1 + cos t. 0. π. dt =. ∫ 0. (π − x ). sin x. π. dx = π. ∫ 0. dx. 1 + cos2 x π. sin x .dx. π ⇒K = 2 1 + cos2 x. sin x .dx. ∫ 1 + cos2 x 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 53.

(55) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899 1. π Đặt t = cos x ⇒ K = 2. π 4. ∫. π ⇒K = 2. Vậy I =. 1 + tan2 u. ∫ sin x π 6. cos x. π = 2. ∫ −. π 4. π. π π2 du = . u 4 = 2 −π 4 4. Ta có: I =. dx. 3 + cos2 x π 2. sin x cos x. ∫ sin2 x. 15 2. ∫. 3. dt 4 − t2. =. dx . Đặt t = 3 + cos2 x 2. 3 + cos x. π 6. ⇒I=. π 4. π2 −2 4. π 2. 19. I =. đặt t = tan u ⇒ dt = (1 + tan2 u )du. −1. (1 + tan2 u )du. π − 4. dt. ∫ 1 + t2 ,. 1 (ln( 15 + 4) − ln( 3 + 2)) 2. HT 6.Tính các tích phân sau:. π 2 1 1. I = ∫ sin x ⋅ sin2 x + .dx 2 π 6 π 4. 3. I =. ∫ cos x π 6. π 2. 2. I =. 0. π 2. tan x. 3 sin x + 4 cos x. ∫ 3 sin2 x + 4 cos2 x dx. 4. I =. dx. 1 + cos2 x. ∫.  π sin x +  4   dx 2 sin x cos x − 3. π 4. Bài giải. π 2 1 1. I = ∫ sin x ⋅ sin2 x + .dx 2 π 6. • Đặt cos x =.  3 π 3 sin t, 0 ≤ t ≤  ⇒ I =  2 2 2. π 4. ∫ cos. 2. 0. tdt =. 3  π 1   + . 2  4 2 . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 54.

(56) GV. Lưu Huy Thưởng π 2. 2. I =. 0968.393.899. 3 sin x + 4 cos x. ∫ 3 sin2 x + 4 cos2 x dx 0. π 2. •I =. ∫. 3 sin x + 4 cos x 2. 3 + cos x. 0. π 2. + Tính I 1 =. π 2. dx =. π 2. 3 sin x. ∫ 3 + cos2 x. 4 cos x. 0. ∫ 0. ∫ 4 − sin2 x. 3 3(1 + tan2 u )du 2. 3(1 + tan u ). 1. dx . Đặt t1 = sin x ⇒ dt1 = cos xdx I 2 =. 0. =. π 3 6. 4dt. ∫ 4 − t1 2dt1 = ln 3 0. 1. π 3 + ln 3 6. Vậy: I =. π 4. 3. I =. 3dt. ∫ 3 + t2 0. Đặt t = 3 tan u ⇒ dt = 3(1 + tan2 u )du ⇒ I 1 =. 4 cos x. 4 cos x. 0. 1. dx . Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ I 1 =. π 6. + Tính I 2 =. 3 sin x. 0. 0. π 2. π 2. ∫ 3 + cos2 x dx + ∫ 3 + cos2 x dx = ∫ 3 + cos2 x dx + ∫ 4 − sin2 x dx 0. 3 sin x. π 2. ∫ cos x π 6. tan x. dx. 1 + cos2 x π 4. • Ta có: I =. ∫ π 6. π 4. tan x 2. cos x. Đặt u = tan x ⇒ du =. 1 cos2 x. 1 cos2 x. dx = +1. ∫ cos2 x π 6. 1. dx ⇒ I =. ∫ 1. tan x. dx tan2 x + 2. u u2 + 2. dx . Đặt t = u 2 + 2 ⇒ dt =. u. du .. u2 + 2. 3. 3. ⇒I =. ∫ dt = t 7 3. π 2. 4. I =. ∫. 3 7 3. = 3−. 7 3. =. 3− 7. .. 3.  π sin x +  4   dx 2 sin x cos x − 3. π 4. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 55.

(57) GV. Lưu Huy Thưởng. • Ta có: I = −. 1. 0968.393.899. π 2. ∫ 2 π 4. sin x + cos x 2. (sin x − cos x ). arctan. Đặt t = 2 tan u ⇒ I = −. 1. dx . Đặt t = sin x − cos x ⇒ I = − +2. 1. 1. ∫ t 2 + 2 dt 2 0. 1. ∫. 2. 1. 2. 2(1 + tan2 u ). 1 1 du = − arctan 2 2 2 tan u + 2 2. 0. HT 7.Tính các tích phân sau: π 3. 1. I =. ∫. x sin x. −π 3. π 2. 2. I =. dx. 2. cos x. ∫ 0. π 4.  1 + sin x  x  .e dx  1 + cos x . 3. I =. ∫ 0. x cos 2x. (1 + sin 2x ). dx. 2. Bài giải π 3. 1. I =. ∫. x sin x. cos2 x −π. dx .. 3. • Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có: π 3. I =.  1 . x. π 3. π 3. ∫ xd  cos x  = cos x − π − ∫. −. π 3. 3. −. 4π dx = − J , với J = cos x 3. π 3. ∫. dx = cos x. π − 3. Vậy I =. π 2. 2. I =. ∫ 0. ∫ −. π 3. Để tính J ta đặt t = sin x . Khi đó J =. π 3. 3 2. ∫ −. dx cos x. π 3. 3. 1 t −1 2 2− 3 = − ln = − ln 2 3 2 t +1 2+ 3 1−t − 3 dt. 2. 2. 4π 2− 3 − ln . 3 2+ 3.  1 + sin x  x  .e dx  1 + cos x . 1 + sin x Ta có: = 1 + cos x. x x cos 1 x 2 2 = + tan x x 2 2 cos2 2 cos2 2 2. 1 + 2 sin. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 56.

(58) GV. Lưu Huy Thưởng π 2. ⇒I =. ∫ 0. π 4. 3. I =. ∫ 0. π 2. x. e dx 2 cos2. x 2. +. ∫ 0. x cos 2x. (1 + sin 2x ). 0968.393.899. π. x e x tan dx = e 2 2. dx. 2. u = x du = dx     cos 2x Đặt  ⇒ 1 dx dv = v = − 2   1 + sin 2x (1 + sin 2 x )  π.  1 1  ⇒ I = x . − .   2 1 + sin 2x . =−. π. 4 4 π 1 1 1 1 1 π . dx = − + dx 4+  16 2 2 cos2 x − π  0 2 0 1 + sin 2x 0  4  . ∫. ∫. π  π 1 1 π π 1 2 2 π + . tan x −  4 = − + . (0 + 1) = 4 − 16  16 2 2 4  0 16 2 2 . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 57.

(59) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. PHẦN V TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LOGARIT HT 1.Tính các tích phân sau: 1. I =. 2. I = 3. I =. 4. I =. ∫ 1+. dx. ∫. x +e dx. ∫. 10. I =. ex. 11. I =. xe x + 1. ∫ x(ex + ln x). 12. I =. 13. I =. ∫. ∫ ln 2. 15. I =. ). 2. +2. ∫. 3e x − 4dx. ex. dx. (e x + 1)3 e 2x. dx e −1 x. e x − 1dx. 0 2. 16. I =. 3 x. e − 1 dx. 2x − 2−x. ∫ 4x + 4−x − 2 dx 1. 0. 1. (e2x − 24ex )dx. ln 15. 9. I =. 4e − 3 + 1. ln 2. ln 2. 8. I =. ∫ ln 5. 14. I =. dx. dx. ( 3 ex. 0. ∫. 0. ∫ e 3x + e2x − ex + 1 ∫. dx. x. 8 3 ln 3. 0. 7. I =. 2e 3x − e 2x. ln. dx. 2e 3x + e 2x − 1. 3 ln 2. ∫ ex. − 1 + ex − 2. 16 ln 3. 1. 6. I =. x. 0. ln(1 + x 2 )x + 2011x dx 2   ln (ex 2 + e)x +1 . ln 2. e 2x dx. ln 3. dx. −x. e 2x + 9. ∫. ∫. ln 2 e. (x 2 + x )e x. e. 5. J =. ln 3. e 2x. ∫. 17. I =. e x e x + 1 + 5e x − 3 e x + 1 − 15. 3 ln 2. 6x dx. ∫ 9x + 3.6x + 2.4x 0. Bài giải 1. I =. e 2x. ∫ 1+. dx e. x. Đặt t = e ⇒ e x = t 2 ⇒ e x dx = 2tdt . x. ⇒I =2. 2. I =. I =. ∫. 3. I =. ∫. t3. ∫ 1 + t dt =. (x 2 + x )e x x + e −x. (x 2 + x )e x x +e. ∫. −x. 2 3 2 t − t 2 + 2t − 2 ln t + 1 + C = e x e x − e x + 2 e x − 2 ln e x + 1 + C 3 3. dx. dx =. ∫. xe x .(x + 1)e x x. xe + 1. dx . Đặt t = x .e x + 1 ⇒ I = xe x + 1 − ln xe x + 1 + C .. dx e 2x + 9. Đặt t = e 2x + 9 ⇒ I =. dt. ∫ t2 − 9. =. 1 t −3 1 ln + C = ln 6 t +3 6. e 2x + 9 − 3. +C. e 2x + 9 + 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 58.

(60) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. ln(1 + x 2 )x + 2011x dx 2   ln (ex 2 + e)x +1    x ln(x 2 + 1) + 2011 Ta có: I = dx . Đặt t = ln(x 2 + 1) + 1   2 2 (x + 1)  ln(x + 1) + 1 1 t + 2010 1 1 1 ⇒I = dt = t + 1005 ln t + C = ln(x 2 + 1) + + 1005 ln(ln(x 2 + 1) + 1) + C 2 t 2 2 2. ∫. 4. I =. ∫. ∫. e. e. xe x + 1. ∫ x(ex + ln x). 5. J =. dx. J =. 1. ln 2. ∫ 1. d (e x + ln x) e x + ln x. = ln e x + ln x. e. = ln 1. ee + 1 e. 2e 3x + e 2x − 1. ∫ e 3x + e2x − ex + 1 dx. 6. I =. 0. ln 2. I =. 3e 3x + 2e 2x − e x − (e 3x + e 2x − e x + 1). ∫. e 3x + e 2x − e x + 1. 0. ln 2 . dx =. ∫ 0.  3x 2x x  3e + 2e − e − 1dx  e 3x + e 2x − e x + 1  . ln 2 ln 2 14 = ln(e 3x + e 2x – e x + 1) −x = ln11 – ln4 = ln 0 0 4 3 ln 2. ∫. 7. I =. dx. ( 3 ex. 0. ∫. 2. x. 3 ln 2. I =. e 3 dx x 3 e 3 ex. (. 0. ). +2. ). 2. . Đặt t. x = e3. +2. x 1 3 3  3 1 ⇒ dt = e dx ⇒ I = ln −  3 4  2 6 . ln 2. 8. I =. ∫. 3 x. e − 1 dx. 0 3 x. Đặt e − 1 = t ⇒ dx =. 1. Tính I 1 = 3. dt. t3 + 1 1. ∫ t3 + 1 ∫ =. 0. 0. Vậy: I = 3 − ln 2 −. 1. 3t 2dt. ⇒I= 3. ∫ 0.   1 − 1 dt = 3 − 3    t 3 + 1. 1. dt. ∫ t3 + 1 . 0.  1 2 − t  π  dt = + + ln 2 t + 1 2   3 t − t + 1. π 3. ln 15. 9. I =. ∫ 3 ln 2. (e2x − 24ex )dx e x e x + 1 + 5e x − 3 e x + 1 − 15. Đặt t = e x + 1 ⇒ t 2 − 1 = e x ⇒ e x dx = 2tdt .. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 59.

(61) GV. Lưu Huy Thưởng 4. I =. ∫. (2t 2 − 10t )dt t2 − 4. 3 ln 3. 10. I =. ∫. ln 2 e. 0968.393.899 4. =. ∫ 3.   2 − 3 − 7 dt = (2t − 3 ln t − 2 − 7 ln t + 2 ) 4 = 2 − 3 ln 2 − 7 ln 6 + 7 ln 5   3 t − 2 t + 2 . e 2x dx x. − 1 + ex − 2. Đặt t = e x − 2 ⇒ e 2x dx = 2tdt 1. 1. (t 2 + 2)tdt. ∫. ⇒I = 2. =2. t2 + t + 1. 0. ∫ 0. 1.   t − 1 + 2t + 1 dt = 2    t 2 + t + 1. 1. ∫. 1. (t − 1)dt + 2. 0. ∫. d (t 2 + t + 1). 0. t2 + t + 1. 1. = (t 2 − 2t ) 0 + 2 ln(t 2 + t + 1) 0 = 2 ln 3 − 1 . ln 3. 11. I =. ∫ ex. 2e 3x − e 2x. dx. 4e x − 3 + 1. 0. Đặt t = 4e 3x − 3e 2x ⇒ t 2 = 4e 3x − 3e 2x ⇒ 2tdt = (12e 3x − 6e 2x )dx ⇒ (2e 3x − e 2x )dx =. 1 ⇒I = 3. ln. 12. I =. 9. 9. tdt 1 = t +1 3. ∫ 1. 1. ∫ (1 − t + 1)dt. =. 1. tdt 3. 1 8 − ln 5 (t − ln t + 1) 19 = . 3 3. 16 3. ∫ ln. 3e x − 4dx. 8 3. Đặt: t = 3e x − 4 ⇒ e x =. 2 3. ⇒I =. ∫. t +4 2 3. dt = 2. ∫. 2 3. dt − 8. ∫. 2. 2. dt 2. t +4. = 4 ( 3 − 1) − 8I 1 , với I 1 =. 2 3. ∫ 2. dt 2. t +4.  π π . Đặt: t = 2 tan u, u ∈ − ;  ⇒ dt = 2(1 + tan2 u )du  2 2  t2 + 4 2 dt. ∫. Tính I 1 =. π 3. ⇒ I1 =. 2 3. 2t 2 2. 2. t2 + 4 2tdt ⇒ dx = 2 3 t +4. 1 π. 1. π . ∫ 2du = 2  3 − 4  = 24 . π. Vậy: I = 4( 3 − 1) −. π 3. π 4 ln 3. 13. I =. ∫ 0. ex x. dx 3. (e + 1). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 60.

(62) GV. Lưu Huy Thưởng 2. x. 0968.393.899. x. x. Đặt t = e + 1 ⇔ t = e + 1 ⇔ 2tdt = e dx ⇒ dx =. 2. 2tdt e. ⇒I =2. x. ∫. tdt t3. = 2 −1. 2 ln 5. e 2x. ∫. 14. I =. dx ex − 1. ln 2. 2. x. x. Đặt t = e − 1 ⇔ t = e − 1 ⇒ dx =. 2tdt ex. 2. ⇒I =2. ∫ 1. 2.  3  20 t (t + 1)d = 2  + t  = 3 1 3 2. ln 2. ∫. 15. I =. e x − 1dx. 0. Đặt t = e x − 1 ⇒ t 2 = e x − 1 ⇒ 2tdt = e x dx ⇒ dx =. 2td e. 1. ⇒I =. ∫ 0. 2. 16. I =. 1. 2t 2. dt = 2 t2 + 1.  . 1. . ∫ 1 − t 2 + 1dt = 0. x. =. 2td 2. t +1. 4−π 2. 2x − 2−x. ∫ 4x + 4−x − 2 dx 1. Đặt t = 2x + 2−x ⇒ 4x + 4−x − 2 = (2x + 2−x )2 − 4 ⇒ I = 1. 17. I =. 1 81 ln 4 ln 2 25. 6x dx. ∫ 9x + 3.6x + 2.4x 0. 1. Ta có: I =. ∫  3 2x 0.  3 x   dx  2 .    2 . x. x. 3 + 3   + 2  2 . 3 1 . Đăt t =   . I =  2  ln 3 − ln 2. 3 2. dt. ∫ t 2 + 3t + 2 = 1. ln 15 − ln 14 ln 3 − ln 2. HT 2.Tính các tích phân sau: e. 1. I =. ∫ 1.   ln x  + 3x 2 ln x  dx   x 1 + ln x . e. 2. I =. ∫. 5. 9. I =. 2. e3. 3. ln x 2 + ln2 x dx x. 10. I =. 1. ∫ e ln 6. 4. I =. e. dx x ln x . ln ex e. 11. I =. ∫x 1 e. 2x. ∫ ex + 6e−x − 5dx. ln 4. ∫x 1. e2. 3. I =. ln( x − 1 + 1) dx x −1. ∫ x −1+. 12. I =. ∫. ln 3 x. dx. 1 + ln x 3 − 2 ln x. dx. 1 + 2 ln x 3. ln x 2 + ln2 x dx x. 1. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 61.

(63) GV. Lưu Huy Thưởng e. 5. I =. 6. I =. ∫ 1 e3. 7. I =. ∫ e2. xe x + 1. ∫ x(ex + ln x ) dx 1. x + (x − 2) ln x dx x (1 + ln x ) 2x ln2 x − x ln x 2 + 3 dx x (1 − ln x ). e2. 8. I =. 13. I =. dx. 1 + 3 ln2 x. 1. e. e. log23 x. ∫x. 0968.393.899. ln2 x − ln x 2 + 1 dx x2. ∫ 1. Bài giải e. 1. I =.  . ∫  x 1.  + 3x 2 ln x  dx  1 + ln x ln x. e. I =. e. ∫x 1. e. 2. I =. ∫. ln x 1 + ln x. dx + 3. ∫. x 2 ln xdx =. 1. 2(2 − 2) 2e 3 + 1 5 − 2 2 + 2e 3 + = 3 3 3. 3. ln x 2 + ln2 x dx x. 1. 2 ln x 1 Đặt t = 2 + ln x ⇒ dt = dx ⇒ I = x 2 2. 3. ∫. 3. tdt =. 2. (. 3 3 4 3 4 3 − 2 8. ). e2. 3. I =. dx. ∫ x ln x. ln ex e. e2. I =. ∫ e. e2. dx = x ln x (1 + ln x ) ln 6. 4. I =. ∫ e. e2. d (ln x ) = ln x (1 + ln x ). e2x. ∫ ex + 6e−x − 5dx. ∫ e.  1 1  d (ln x ) = 2ln2 – ln3 −   ln x 1 + ln x . • Đặt t = e x . I = 2 + 9 ln 3 − 4 ln 2. ln 4 e. 5. I =. ∫x 1. e. I =. ∫x 1. log23 x. dx. 1 + 3 ln2 x e. log23 x. dx =. 1 + 3 ln2 x. Đặt. ∫x 1.  ln x 3    ln 2 . e. dx =. 1 + 3 ln2 x. 1 + 3 ln2 x = t ⇒ ln2 x =. Suy ra I =. 1 3. 9 ln 2. 2. 1 3   t − t  =   3  1. 1 ln. 3. ∫ 2 1. ln2 x .. ln xdx x 1 + 3 ln2 x .. 1 2 dx 1 (t − 1) ⇒ ln x . = tdt . 3 x 3. 4 27 ln 3 2. .. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 62.

(64) GV. Lưu Huy Thưởng e. 6. I =. ∫ 1. 0968.393.899. x + (x − 2) ln x dx x (1 + ln x ). e. e. e. ∫ d x − 2∫ 1. 1. ln x dx = e − 1 − 2 x (1 + ln x ). ln x. ∫ x(1 + ln x )dx 1. 2. e. Tính J =. ∫ 1. ln x dx . Đặt t = 1 + ln x ⇒ J = x (1 + ln x ). t −1 dt = 1 − ln 2 . t. ∫ 1. Vậy: I = e − 3 + 2 ln 2 . e3. 7. I =. ∫ e2. 2x ln2 x − x ln x 2 + 3 dx x (1 − ln x ). e3. I =3. e3. 1 dx − 2 x (1 − ln x ). ∫ e2. e2. 8. I =. ∫ ln xdx. = −3 ln 2 − 4e 3 + 2e 2 .. e2. ln2 x − ln x 2 + 1 dx x2. ∫ 1. Đặt : t = ln x ⇒ dt =. dx ⇒I = x. t 2 − 2t + 1 dt = et. 2. ∫0.  1 tdt  1 dt  1  = − −te−t + + I 1 = −  −    0 et  0 et  0. ∫. + I2 =. 2 tdt. ∫1. Vậy : I =. 5. 9. I =. ∫. e. t. −. 2 dt. ∫1 et = −te. −t. 2. +. 1. 2 dt. 1 dt. 2. ∫0. t −1. 1 dt . 1. e. 1t. ∫0. t. dt = −. −1 dt + et. 2t. ∫1. −1 dt = I 1 + I 2 et. ∫0 et ∫0 et  = e −. 2 dt. ∫1 et − ∫1 et. = −te−t. 2. =. 1. 1 2 − e e2. 2(e − 1) e2. ln( x − 1 + 1) dx x −1. ∫ x −1+ 2. Đặt t = ln (. e3. 10. I =. ∫x 1. x − 1 + 1) ⇒ 2dt =. ln 3 x. dx x −1 + x −1. ∫ dt = ln. ⇒ I =2. 2. 3 − ln2 2 .. ln 2. dx. 1 + ln x. Đặt t = 1 + ln x ⇒ 1 + ln x = t 2 ⇒ 2. ⇒I =. ln 3. ∫ 1. (t 2 − 1)3 dt = t. 2. ∫ 1. dx = 2tdt và ln3 x = (t 2 − 1)3 x. t 6 − 3t 4 + 3t 2 − 1 dt = t. 2. ∫ (t 1. 5. 1 15 − 3t 3 + 3t − )dt = − ln 2 t 4. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 63.

(65) GV. Lưu Huy Thưởng e. ∫x. 11. I =. 1. 3 − 2 ln x. 0968.393.899. dx. 1 + 2 ln x e. Đặt t = 1 + 2 ln x ⇒ I =. ∫ (2 − t. 2. )dt =. 1. e. ∫. 12. I =. 4 2 −5 3. 3. ln x 2 + ln2 x dx x. 1. Đặt t = 2 + ln2 x ⇒ I =. e. 3 3 4 3 4   3 − 2  8. xe x + 1. ∫ x(ex + ln x ) dx. 13. I =. 1. Đặt t = e x + ln x ⇒ I = ln. ee + 1 . e. HT 3.Tính các tích phân sau: 1 2. π 2. ∫. 1. I =. e sin x .sin 2xdx. 8. I =. ∫ 0 2. 0 1. ∫ x ln(x. 2. I =. 2. + x + 1)dx. 9. I =. ∫x 1. 0 8. ln x. ∫. 3. I =. ∫. 4. I =. 3. 11. I =. e. ∫ 1 2. ∫.   ln x  + ln2 x dx   x 1 + ln x . 12. I =. ln(x 2 + 1) dx x3. 13. I =. ln(x + 1). 1. dx. x2.  1 . ln x +  dx  x . ln x. ∫ (x + 1)2dx 1. 2. 7. I =. x 2 + x ln x + 1 x e dx x. e. 1. 6. I =. dx. 1. ∫. 5. I =. 2. 1 10. I = ∫ x 2 . ln(1 + x 2 )dx 0. x +1. 3 e.  1 + x   dx x ln   1 − x . ∫ 1 2. ∫. ln2 x + e x (e x + ln2 x ) .dx 1 + ex 1. 1 x+ (x + 1 − )e x dx x. 1 2 4. 14. I =. ∫ ln(. x 2 + 9 − x )dx. 0. Bài giải π 2. 1. I =. ∫e. sin x. .sin 2xdx. 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 64.

(66) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. π 2. I =2. u = sin x du = cos xdx   e s inx . sin x cos xdx . Đặt  ⇒  dv = e sin x cos xd x v = e sin x   0. ∫. ⇒I =. π sin x 2 2 sin xe 0. π 2. −. ∫e. sin x. . cos xdx =. π sin x 2 2e − 2e 0. =2. 0 1. ∫ x ln(x. 2. I =. 2. + x + 1)dx. 0.  du = 2x + 1 dx  2 u = ln(x + x + 1)  x2 + x + 1 ⇒ Đặt   2  dv = xdx v = x  2 1. x2 1 I = ln(x 2 + x + 1) − 2 2 0. 2x 3 + x 2. ∫ x 2 + x + 1dx 0. 1 1 = ln 3 − 2 2. 1. ∫ 0. 1 (2x − 1)dx + 4. 1. ∫ 0. 2x + 1. 3 dx − 2 4 x +x +1. 1. dx. ∫ x2 + x + 1 0. 3 3π ln 3 − 4 12. =. 8. ∫. 3. I =. 1. 3. ln x. dx. x +1. u = ln x  8  du = dx 8   ( ) ⇒ I = 2 x + 1. ln x 3 − 2 Đặt  dx ⇒  x dv =  v = 2 x + 1   3 x +1 . ∫. 8. ∫. + Tính J =. x +1 dx . Đặt t = x + 1 ⇒ J = x. 3. 3. x +1 dx = 6 ln 8 − 4 ln 3 − 2J x. 3. t. 3. t2. . 1. 1 . ∫ t 2 − 1 .2tdt = 2∫ t 2 − 1 dt = ∫ 2 + t − 1 − t + 1dt 2. 2. 2.  t − 1  8 = 2t + ln  = 2 + ln 3 − ln 2  t + 1  3 Từ đó I = 20 ln 2 − 6 ln 3 − 4 . e. 4. I =. ∫. x 2 + x ln x + 1 x e dx x. 1 e. I =. ∫. e. xe x dx +. e. ∫. 1. ln xe x dx +. 1. ∫. ex dx . x. 1. ∫ 1. x. ∫. xe x dx = xe x. 1. e. +Tính I 2 =. e. + Tính I 1 =. x. e. e ln xdx = e ln x − 1. e. ∫ 1. e 1. e. −. ∫ e dx = e (e − 1) x. e. 1. ex dx = ee − x. e. ∫. ex dx . x. 1. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 65.

(67) GV. Lưu Huy Thưởng e. Vậy: I = I 1 + I 2 +. ∫. 0968.393.899 ex dx = ee +1 . x. 1 e. 5. I =.  .  + ln2 x dx  1 + ln x ln x. ∫  x 1. e. Tính I 1 =. ∫x 1. ln x 1 + ln x. dx . Đặt t = 1 + ln x ⇒ I 1 =. 4 2 2 − . 3 3. e. + Tính I 2 =. ∫ ln. 2. xdx . Lấy tích phân từng phần 2 lần được I 2 = e − 2 .. 1. Vậy I = e −. 2. 6. I =. ∫ 1. 2 2 2 − . 3 3. ln(x 2 + 1) dx x3.  2x  2  2 u = ln(x + 1) du = 2 ln(x 2 + 1) 2 dx  x + 1 Đặt  ⇒ . Do đó I = − +   2 dv = dx  1 1 2x x (x 2 + 1) 3  v = − 1 x 2   2x. ∫. ln 2 ln 5 − + 2 8. =. ∫ 1. 1   − x  dx = ln 2 − ln 5 +   x 2 8  x 2 + 1. 2. ∫ 1. dx 1 − 2 x. 2. ∫ 1. d (x 2 + 1) x2 + 1. 2 ln 2 ln 5  1 5 − + ln | x | − ln | x 2 + 1 | = 2 ln 2 − ln 5   2 8 2 8 1. =. 2. 7. I =. 2. ∫ 1. ln(x + 1). dx. x2.  u = ln(x + 1) 2 du = dx  2 1 dx 3   x + 1 Đặt  ⇔ ⇒ I = − ln(x + 1) + = 3 ln 2 − ln 3 dx dv =  1 1 x (x + 1)x 2 v =−  1 x2  x. ∫. 1 2. 8. I =.  1 + x . ∫ x ln  1 − x dx 0.   2  du = dx  1+x   1 + x  1 2 1  u = ln (1 − x )  − ⇒ Đặt  ⇒ I = x 2 ln  1 − x 2    1 − x  20 2 dv = xdx v = x    2 .      2  dx  x 2  1 − x 2   0   . 1 2. ∫. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 66.

(68) GV. Lưu Huy Thưởng. =. ln 3 + 8 2. 9. I =. ∫ 1. 1 2. x. 0968.393.899. 2. ∫ x 2 − 1 dx = 0. ln 3 + 8. 1 2. . . 1. ∫ 1 + (x − 1)(x + 1) dx = 0. ln 3 1 1 2 + + ln 8 2 2 3.  1 x 2 . ln x +  dx  x .   1 u = ln x +  10 1  Đặt  x  ⇒ I = 3 ln 3 − ln 2 +  3 6 2 dv = x dx. 1 10. I = ∫ x 2 . ln(1 + x 2 )dx 0  2 u = ln(1 + x ) 1 4 π ⇒ I = .ln 2 + + Đặt   dv = x 2dx 3 9 6 . 3. 11. I =. ln x. ∫ (x + 1)2dx 1. u = ln x  Đặt  ⇒ dv = dx  2  (x + 1) . e. 12. I =. ∫ 1. ln2 x + e x (e x + ln2 x ) .dx 1 + ex e. Ta có: I =. 1 3 I = − ln 3 + ln 4 2. e. ∫. ln2 x .dx +. 1. ∫ 1 e. +K =. ∫ ex + 1 dx = H + K 1. e. +H =. e 2x.  2 u = ln x ln x .dx . Đặt:  ⇒ H =e− dv = dx  2. ∫ ex + 1 dx . Đặt. t = ex + 1 ⇒ ⇒ I 2 =. 1. 2. 13. I =. ∫. ∫ 2 ln x.dx = e − 2 1. ee +1. e 2x. Vậy: I = ee – 2 + ln. e. ∫. e +1. t −1 e +1 dt = ee − e + ln t ee + 1. e +1 ee + 1 1. 1 x+ (x + 1 − )e x dx x. 1 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 67.

(69) GV. Lưu Huy Thưởng 2. Ta có: I =. ∫e. x+. 1 2. 1 x dx. 3. +. ∫. 0968.393.899.   x+1 x − 1 e x dx = H + K   x. 1 2. + Tính H theo phương pháp từng phần I1 = H = xe. x+. 1 x. 2. 2. − 1 2. ∫ 1 2. 5   x+1 x − 1 e x dx = 3 e 2 − K   x 2. 5. 3 ⇒ I = e2. 2 4. 14. I =. ∫ ln(. x 2 + 9 − x )dx. 0. (. ).  u = ln x 2 + 9 − x Đặt  ⇒ I = x ln  dv = dx . (. x2 + 9 − x. ). 4. 4. + 0. ∫ 0. x. dx = 2. 2. x +9. . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 68.

(70) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. PHẦN VI TỔNG HỢP HT 1.Tính các tích phân sau:.   4  2 x3 x  dx x e +  1 + x . 1. 1. I =. ∫ 0 2. 2. I =. ∫ 1. ∫. 4 −x. 0 1. 4. I =. (e2x .. x. ∫ 4.    4 − x 2  x e x − dx 3   x  . 1. 3. I =. 6. I =. 7. I =. ∫ 0 e. ). 8. I =. 4 − x 2 − x 2 dx .. ∫ 1. 2. 9. I =. ∫ (x + 1)2 e dx x. 5. I =. ∫. x .e. ∫ 0. 1. I =. ∫. ∫ 0. ln 3 x 1 + ln x. x sin x cos2 x. dx. dx.   4  2 x3 x  x e + dx  1 + x . 1. 1. I =. 10. I =. 2. dx. (x 3 + 1)ln x + 2x 2 + 1 dx 2 + x ln x. π 4. dx. ). x2 + 9. 1. x 2 +1. 1+x. 0. (. dx. ln x + x 2 + 9 − 3x 3. ∫x. 0. 3. x2 + 1. e3. x2 + 1. 3. x ln(x 2 + 1) + x 3. 1. 2 x3. x e dx +. 0. ∫ 1+. 0 1. + Tính I 1 =. 4. ∫ 0. dx . x. 1 x e dx . Đặt t = x ⇒ I 1 = 3 2 x3. 1. + Tính I 2 =. x. 4. ∫ 1+. 3. 1. ∫ 0. 1 et dt = et 3 1. x. 4. x. 0. dx . Đặt t = x ⇒ I 2 = 4. 1 0. 1 1 = e− . 3 3.  2. t4. π . ∫ 1 + t 2 dt = 4 − 3 + 4  0. 1 Vậy: I = e + π − 3 3 2. 2. I =. ∫ 1.    x 4 − x 2  x e − dx  x 3   2. I =. ∫. 2. xe x dx +. 4 − x2. ∫. 1. x2. 1. dx .. 2. + Tính I 1 =. ∫. 2 x. xe dx = e. 2. + Tính I 2 =. 1. π 2. ⇒ I2 =. ∫ π 6. ∫ 1. cos2 t 2. sin t. dt = (− cot t. π − t) 2 π 6. =. 3−. 4 − x2 x. 2.  π dx . Đặt x = 2 sin t , t ∈  0;  .  2 . π 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 69.

(71) GV. Lưu Huy Thưởng Vậy: I = e 2 + 3 − 1. 3. I =. (e2x .. x. ∫. 4 −x. 0. π . 3. ). 4 − x 2 − x 2 dx .. 2. 1. I =. 0968.393.899. 1. ∫. x e 2x dx −. 0. x3. ∫. 4 −x. 0 1. + Tính I1 =. ∫. x e 2x dx =. 0 1. + Tính I 2 =. 1. 4. I =. e2 + 1 4. x3. 16 dx . Đặt t = 4 − x 2 ⇒ I 2 = −3 3 + 3 4 −x. ∫. 2. 0. ⇒I =. dx = I 1 + I 2. 2. 2. e 61 +3 3− 4 12. x2 + 1. ∫ (x + 1)2 e dx x. 0. 2. Đặt t = x + 1 ⇒ dx = dt I =. ∫. t 2 − 2t + 2 t2. 1. 3. 5. I =. ∫. 2. e. t −1. dt =. ∫ 1. 2 x 3 .e x +1dx. 1 + x2. 0. 2 2. Đặt t = 1 + x ⇒ dx = tdt ⇒ I =. ∫ (t. 2 2. t. − 1)e dt =. ∫ t e dt − e. 1. 2. J =. +.    2  e2 2 2 1 + − et −1dt = e − 1 + − + e  = 1  e  2 t 2 t  . ∫ t e dt = t e 2 t. 2 t. 2 1. 2. −. ∫. 1. 1. 2 t. 2 1. = J − (e 2 − e). 1.   2  2te dt = 4e − e − 2 tet −  1  t. t. 2. 2. ∫ 1.  2 e dt  = 4e 2 − e − 2(tet − et )  1  t. Vậy: I = e 2 6. I =. ∫. x ln(x 2 + 1) + x 3 x2 + 1. Ta có: f (x ) =. ⇒ F (x ) =. 7. I =. ∫ 0. x ln(x 2 + 1) 2. x +1. +. x (x 2 + 1) − x. 1. ∫ f (x )dx = 2 ∫ ln(x =. 4. dx. 2. x +1 2. =. x ln(x 2 + 1) 2. x +1. + 1)d (x 2 + 1) +. +x −. 1. x 2. x +1. ∫ xdx − 2 ∫ d ln(x. 2. + 1). 1 2 2 1 1 ln (x + 1) + x 2 − ln(x 2 + 1) + C . 4 2 2. (. ). ln x + x 2 + 9 − 3x 3. dx. x2 + 9. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 70.

(72) GV. Lưu Huy Thưởng. (. 4. ). ln x + x 2 + 9 − 3x 3. ∫. I =. 0968.393.899. ln x + x 2 + 9. ∫. + Tính I1 =. udu =. ln 3 4. dx . Đặt. 3. Vậy I =. ∫. dx. x 2. dx , x 2 = v 2 −9. 5 44 u3 − 9u ) = 3 3 3. (. ). x2 + 9. e. I =. e. ∫ x dx + ∫ 2. 1. e. ∫ 1. dx = I 1 − 3I 2 =. 1. 1 + ln x dx . 2 + x ln x. 1 + ln x dx = 2 + x ln x. e3. ln 3 x. ∫x. 1 + ln x. 1. e. ln2 9 − ln2 3 − 44 . 2. ∫ 1. 2. ⇒I=. ∫ 1. π 4. ∫ 0. cos2 x. +. ∫ 1. e. x3 e3 − 1 x dx = = 3 1 3 2. Vậy: I =. e3 − 1 e +2 . + ln 3 2. dx. (t 2 − 1)3 dt = t. x sin x. e. e d (2 + x ln x ) e +2 = ln 2 + x ln x 1 = ln . 2 + x ln x 2. Đặt t = 1 + ln x ⇒ 1 + ln x = t 2 ⇒. 10. I =. 1 2. (x 3 + 1)ln x + 2x 2 + 1 dx 2 + x ln x. ∫ 1. 9. I =. ). x 2 + 9 = u ⇒ du =. x 2 + 9 = v ⇒ dv =. ln x + x 2 + 9 − 3x 3. 0. +. dx = I 1 − 3I 2. x +9. (u 2 − 9)du = (. 4. 0. x +9. 5. ∫. x2 + 9. x +9. 2. 0. ⇒ I2 =. ∫. u 2 ln 9 ln2 9 − ln2 3 = 2 ln 3 2. x3. ∫. + Tính I 2 =. )dx . Đặt ln (x +. x3. x +9. ln 9. ∫. )dx − 3 4. x2 + 9. 2. 0. ⇒ I1 =. ∫. (. ln x + x 2 + 9. 0. (. 4. e. dx =. x2 + 9. 0. 8. I =. 4. 2. ∫ 1. dx = 2tdt và ln3 x = (t 2 − 1)3 x. t 6 − 3t 4 + 3t 2 − 1 dt = t. 2. ∫ (t 1. 5. 1 15 − 3t 3 + 3t − )dt = − ln 2 t 4. dx π. π. ∫. ∫. π  u = x  du = dx 4 4   x 4 dx π 2 dx   Đặt  = − = − ⇒ I ⇒ sin x  dv = v = 1 dx cos x 0 cos x 4 cos x 0 0 cos x  cos2 x . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 71.

(73) GV. Lưu Huy Thưởng π 4. + I1 =. π 4. dx. cos xdx. ∫ cos x = ∫ 1 − sin2 x 0. Vậy: =. 0968.393.899 2 2. . Đặt t = sin x ⇒ I1 =. 2+ 2. 1. dt. ∫ 1 − t 2 = 2 ln 2 − 0. 0. 2. π 2 1 2+ 2 − ln 4 2 2− 2. HT 2.Tính các tích phân sau: 4. 1. I =. ∫ 1 2. 2. I =. ∫. ln(5 − x ) + x 3 . 5 − x x2. π 4. dx. 7. I =. 0.  2   x (2 − x ) + ln(4 + x ) dx. π 2. 8. I =. 0. 8 ln x 3. I = ∫ dx x + 1 3 2. 4. I =. ∫ 1 e. 5. I =. ∫ 1 π 2. 6. I =. ∫. 1 + x2 x3. ∫ 0 π. 9. I =. ∫. 2. x + x ln x + 1 x e dx x. sin 3 x π. (x + sin2 x ) dx 1 + sin 2x x (cos3 x + cos x + sin x ) 1 + cos2 x. 0. ln xdx 10. I =. x cos x. x sin x. ∫ cos3 x dx. ∫. 2π 3 π 3. x + (x + sin x )sin x (1 + sin x ) sin2 x. dx. dx. dx. 4. Bài giải 4. 1. I =. ∫. ln(5 − x ) + x 3 . 5 − x x2. 1 4. Ta có: I =. ∫ 1. 4. +K =. ∫ 1. dx. ln(5 − x ) dx + x2. ln(5 − x ) dx . Đặt x2. 4. ∫x. 5 − x .dx = K + H .. 1.  u = ln(5 − x ) 3  ⇒ K = ln 4 dx dv = 5  x2. 4. + H=. ∫x. 5 − x .dx . Đặt t = 5 − x ⇒ H =. 1. Vậy: I = 2. 2. I =. . ∫ . 164 15. 3 164 ln 4 + 5 15.  x (2 − x ) + ln(4 + x 2 ) dx. 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 72.

(74) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 2. Ta có: I =. 2. ∫. ∫ ln(4 + x. x (2 − x )dx +. 0 2. ∫. x (2 − x )dx =. 0. ∫. 1 − (x − 1)2 dx =. 0. 2. + I2 =. ∫. )dx = I 1 + I 2. 0. 2. + I1 =. 2. 2. 2. ln(4 + x 2 )dx = x ln(4 + x 2 ) 0 − 2. 0. π (sử dụng đổi biến: x = 1 + sin t ) 2. x2. ∫ 4 + x 2 dx. (sử dụng tích phân từng phần). 0. = 6 ln 2 + π − 4 (đổi biến x = 2 tan t ). 3π Vậy: I = I 1 + I 2 = − 4 + 6 ln 2 2. 3. I. 8 ln x dx =∫ 3 x +1   u = ln x du = dx 8   ⇒ I = 2 x + 1 ln x − 2 Đặt  dx ⇒  x dv =  3 v = 2 x +1  x +1  8. + Tính J =. ∫ 3. x +1 dx . Đặt t = x + 1 ⇒ J = x. 3. 2t 2dt. ∫ t2 − 1. 8. x +1 dx x. ∫ 3 3. =2. 2. . 1. . ∫ 1 + t 2 − 1dt = 2 + ln 3 − ln 2 2. ⇒ I = 6 ln 8 − 4 ln 3 − 2(2 + ln 3 − ln 2) = 20 ln 2 − 6 ln 3 − 4 2. 4. I =. ∫ 1. 1 + x2 x3. ln xdx 2. Ta có: I =. ∫ 1. 1   + 1  ln xdx . Đặt  3 x  x.  −1. ⇒ I =   e. 5. I =. ∫ 1.  2 + ln x  ln x − 1  4  4x. 2. ∫ 1.  u = ln x  1 1 dv = ( + )dx  x3 x.  −1  1 1 63 1 2 + ln x  dx = − ln 2 + + ln 2    4x 5 x 64 4 2. x 2 + x ln x + 1 x e dx x e. Ta có: I =. ∫. e. xe x dx +. 1. ∫. e. e x ln xdx +. 1. e. +H =. 1. ex dx = H + K + J x. e. ∫ xe dx = x. 1. ∫. xe x e1 −. ∫ e dx = e (e − 1) x. e. 1. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 73.

(75) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. e. +K =. ∫. x. e. e. x. e ln xdx = e ln x − 1. 1. ∫ 1. ex dx = ee − x. e. ∫ 1. ex dx = ee − J x. Vậy: I = H + K + J = ee +1 − ee + ee − J + J = ee +1 . π 2. 6. I =. ∫. x cos x. sin 3 x π. dx. 4.  Ta có  . 1 1 ⇒ I = − x. 2 sin2 x. π 4. 7. I =.   u = x du = dx  ⇒  cos x 1 dv = v = − dx 3   sin x 2 sin2 x . ′ 2 cos x  =− . Đặt 2  sin x sin 3 x 1. π 2. 1 + π 2 4. π 2. π. 2 1 1 π π 1 = − ( − ) − cot x π = . 2 2 2 2 2 2 sin x π 4. ∫. dx. 4. x sin x. ∫ cos3 x d x 0. π. π π   4 u = x du = dx 4 4 x 1 dx π 1 π 1 Đặt:  ⇒I = − = − tan x = − ⇒  sin x 1 2 2 dv = v = dx 2 4 2 4 2 0 2 cos x 0 cos x   0 cos3 x 2. cos2 x. ∫. π 2. 8. I =. ∫ 0. (x + sin2 x ) dx 1 + sin 2x π 2. Ta có: I =. ∫ 0. x dx + 1 + sin 2x. π 2. ∫ 0. sin2 x dx = H + K 1 + sin 2x.  u = x du = dx   dx x x    +H = dx = dx . Đặt: dv = ⇒ 1 π    v = tan x −  1 + sin 2x π  π  2 2   2 cos x −    0 0 2 cos x −  2 4   4  4    π 2. π 2. ∫. ∫. π. π.   x π  2  1 π   2 π ⇒ H = tan x −  +  ln cos x −   = 2 4  0  2 4   4   0 π 2. +K =. ∫ 0. 2. sin x π dx . Đặt t = − x ⇒ K = 1 + sin 2x 2. π 2. ∫ 0. cos2 x dx 1 + sin 2x. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 74.

(76) GV. Lưu Huy Thưởng π 2. ⇒ 2K =. π.  dx 1 π 2 1 = tan x −  = 1 ⇒ K =     2 4 2   π 0 2 cos2 x −   4. ∫ 0. Vậy, I = H + K =. π. 9. I =. ∫. 0968.393.899. π 1 + . 4 2. x (cos3 x + cos x + sin x ) 1 + cos2 x. 0.    cos x (1 + cos2 x ) + sin x  x  dx =  1 + cos2 x  . π. ∫. Ta có: I =. 0. π. π. ∫. x . cos x .dx +. 0. x . sin x. ∫ 1 + cos2 x dx = J + K 0. u = x π x .cos x .dx . Đặt  ⇒ J = (x . sin x ) −  0 dv = cos xdx . π. ∫. + Tính J =. dx. 0. π. ∫ sin x.dx = 0 + cos x 0 = −2 π. 0. π. + Tính K =. x .sin x. ∫ 1 + cos2 x dx . Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt 0. π. (π − t ). sin(π − t ). ∫. ⇒K =. 2. 1 + cos (π − t ). 0 π. ⇒ 2K =. ∫. 1 + cos2 x. dt =. ∫. (π − t ). sin t 2. 1 + cos t. 0. (x + π − x ). sin x. 0. π. (1 + tan2 u )du. ∫. π 2. π − 4. Vậy I =. 10. I =. ∫. 2π 3 π 3. 1 + tan2 u. ∫. (π − x ). sin x. 0. 1 + cos2 x. dx = π. ∫ 0. π ⇒K = 2 1 + cos2 x. π 2. π 4. =. π 2. ∫ −. dx. π. sin x .dx. 1. ⇒K =. dt =. π. Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x .dx ⇒ K =. π 4. π. sin x .dx. ∫ 1 + cos2 x 0. dt. ∫ 1 + t 2 , đặt t = tan u ⇒ dt = (1 + tan. 2. u )du. −1. π. du =. π 4 π2 .u = 2 −π 4 4. π 4. π2 −2 4. x + (x + sin x )sin x (1 + sin x ) sin2 x. Ta có: I =. ∫. 2π 3 π 3. dx. x (1 + sin x ) + sin2 x 2. (1 + sin x ) sin x. dx =. ∫. 2π 3 π 3. x 2. sin x. dx +. ∫. 2π 3 π 3. dx = H +K 1 + sin x. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 75.

(77) GV. Lưu Huy Thưởng. +H =. +K =. ∫. 2π 3 π 3. ∫. 2π 3 π 3. Vậy I =. π. x sin2 x. 0968.393.899  u = x du = dx π   ⇒H = dx ⇒  dv = v = − cot x 3   sin2 x. dx . Đặt. dx = 1 + sin x. ∫. 2π 3 π 3. dx = π   1 + cos  − x  2 . ∫. 2π 3 π 3. dx = 3 −2  x  2 π 2 cos  −   4 2 . + 3 −2. 3. HT 3.Tính các tích phân sau: 1. I =. ∫0. π 3. π 6. x + sin2 x dx 1 + cos 2x. 3. 2. I =. ∫. x + 1 sin x + 1.dx. eπ. 7. I =. π 2. 1 + sin x. ∫ cos(ln x )dx 1. ∫ 1 + cos x .e dx x. π 2. 0. 4. I =. ∫0 π 4. 5. I =. 2−x + 1. π − 6. 0. 3. I =. sin 4 xdx. ∫. 6. I =. π 2. 8. I =. cos x e x (1 + sin 2x ). sin6 x + cos6 x. ∫. 6x + 1. π − 4. dx. ∫e. sin2 x. . sin x .cos3 xdx. 0 π 4. 9. I =. dx. ∫ ln(1 + tan x )dx 0 π 2. 10. I =. ∫ sin x ln(1 + sin x )dx 0. Bài giải. 1. I =. π 3. x + sin2 x dx 0 1 + cos 2x. ∫. Ta có: I =. +H =. ∫0. ∫0. π 3. π 3. x + sin2 x dx = 1 + cos 2x. 1 dx = 2 2 cos2 x x.  π 1 ⇒ H = x tan x 3 − 0 2 . +K =. ∫0. π 3. sin2 x. x 2 cos2 x. dx +. ∫0. π 3. sin2 x 2 cos2 x. dx = H + K.  u = x du = dx dx . Đặt  dx ⇒  dv = v = tan x 0 cos2 x  cos2 x . ∫. ∫0. 1 dx = 2 2 cos2 x. ∫0. π 3. π 3. ∫0. π 3. x.   π 1 tan xdx  = + ln cos x  2 3 2 π 3. π 3 0. =. 1 − ln 2 2 3 2 π. π 1 1 π tan2 xdx = [ tan x − x ] 3 =  3 −  0 2 2  3 . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 76.

(78) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 1 1 π  π ( 3 − 1) 1 − ln 2 +  3 −  = + ( 3 − ln 2)  2 3 6 2 2 3 2 π. Vậy: I = H + K =. 3. 2. I =. ∫. x + 1 sin x + 1.dx. 0 2. Đặt t = x + 1 ⇒ I =. 2. 2. ∫ t. sin t.2tdt = ∫ 2t 1. 2. ∫ 2x. sin tdt =. 1. 2. sin xdx. 1. 2  2 2 du = 4xd x u = 2x 2 ⇒ Đặt  ⇒ I = − 2 x cos x + 4x cos xdx   dv = sin xd x v = − cos x 1    1. ∫. u = 4x du = 4d x Đặt  ⇒  . Từ đó suy ra kết quả.  dv = cos xd x v = sin x   π 2. 3. I =. 1 + sin x. ∫ 1 + cos x .e dx x. 0. I =. 1 2. π 2. ∫ 0. x. e dx + 2x cos 2 π 2. + Tính I 1 =. π 2. sin x. ∫ 1 + cos x e dx x. 0. π 2. sin x. ∫ 1 + cos x e dx = ∫ x. 0. 0. x x 2 sin . cos 2 2e x dx = 2x 2 cos 2. π 2. x. ∫ tan 2 e dx x. 0. π  x  u = e  x π 2 du = e dx  1 e x dx x 2 − + Tính I 2 = . Đặt dv = dx ⇒ I = e tan e x dx ⇒  x 2   2 x 2 2  v = tan x 0 cos 0 2 cos2 2   2 2  π 2. ∫. Do đó: I = I1 + I 2. 4. I =. ∫0. I =. π 2. ∫. π =e2. cos x x. e (1 + sin 2x ). ∫0. ⇒I =. π 2. .. dx.   −(sin x + cos x )dx u = cos x du =  x cos x  e ex dx . Đặt  ⇒  dx x 2   sin x e (sin x + cos x ) dv = v = sin x + cos x (sin x + cos x )2  . cos x e. x. .. sin x sin x + cos x. π 2 0. π 2. +. ∫ 0. sin xdx e. x. π 2. =. ∫ 0. sin xdx ex. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 77.

(79) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899 π. π. ∫. ∫. π   2 2 u1 = sin x du1 = cos xdx −1 2 cos xdx −1 cos xdx   Đặt  ⇒ I = sin x . + = + −1 dx ⇒  x x π  v1 = dv1 = e 0 e ex   0 0 ex ex e2.   u2 = cos x du2 = − sin xdx   Đặt  dx ⇒  −1  v1 = dv1 = x   e ex . ⇒I =. −1. + cos x .. π e2 π 4. 5. I =. ∫ −. −1. π 2. ex. 0. sin6 x + cos6 x 6x + 1. π 4. π 2. −. sin xdx. ∫. ex. 0. =. ∫ −. π 4. (6x + 1). sin6 x + cos6 x 6x + 1. π − 4. ⇒I =. π 6. 6. I =. ∫ π − 6. + 1 − I ⇒ 2I =. −π. −e 2 1 +1 ⇒ I = + 2 2. dx. Đặt t = −x ⇒ dt = −dx ⇒ I =. ∫. −π −e 2. π e2. π 4. ⇒ 2I =. −1. 6t. 6. 6. sin t + cos t 6t + 1. π 4. π 4. dt =. ∫ −. 6x. sin6 x + cos6 x. π 4. π 4. dx =. ∫. 6x + 1. π 4. (sin6 x + cos6 x )dx =. π − 4. ∫ −. dx. 5 3  5π  + cos 4x d x =   8 8 16. π 4. 5π . 32. sin 4 xdx 2−x + 1 π 6. Ta có: I =. 2 sin xdx. ∫ −. 2x + 1. π 6. 0. + Tính I 1 =. ∫ −. π 6. ⇒I =. ∫ 0. 4. x. =. π 6. 2x + 1. sin xdx 2 +1. π 6. +. ∫ 0. ∫ −. 2x sin 4 xdx. 4. x. 0. 4. x. 2 sin xdx. π 6. 2x + 1. π 6. +. ∫. 2x sin 4 xdx 2x + 1. 0. 0. 0. 0. ∫. ∫. ∫. 6. 6. 6. . Đặt x = −t ⇒ I 1 = −. 4. x. 2 sin xdx x. 2 +1. 2−t sin 4 (−t ) sin4 t sin 4 x dt = dt = dx −t t x 2 + 1 2 + 1 2 + 1 π π π. π 6. =. ∫ sin 0. 4. = I1 + I 2. xdx =. 1 4. π 6. ∫ (1 − cos 2x ) dx 2. 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 78.

(80) GV. Lưu Huy Thưởng. =. 1 8. 0968.393.899. π 6. ∫ (3 − 4 cos 2x + cos 4x )dx. =. 0. 4π − 7 3 64. eπ. 7. I =. ∫ cos(ln x )dx 1. Đặt t = ln x ⇒ x = et ⇒ dx = et dt π. ⇒I =. ∫e. t. 0. π 2. 8. I =. ∫e. sin2 x. 1 cos tdt = − (e π + 1) (dùng pp tích phân từng phần). 2. . sin x .cos3 xdx. 0. 1 Đặt t = sin x ⇒ I = 2 2. 1. 1. ∫ e (1 − t )dt = 2 e (dùng tích phân từng phần) t. 0. π 4. 9. I =. ∫ ln(1 + tan x )dx 0 π 4. Đặt t =. =. π −x ⇒ I = 4. π 4. π 4. 0. 0. ∫ 0.  π  ln 1 + tan  − t dt = 4  . ∫ ln 2dt − ∫ ln(1 + tan t )dt =. ⇒ 2I =. π t. ln 2 04. π 4. ∫ 0.  1 − tan t  dt = ln 1 +  1 + tan t . π 4. 2. ∫ ln 1 + tan t dt 0. −I. π π ln 2 ⇒ I = ln 2 . 4 8. π 2. 10. I =. ∫ sin x ln(1 + sin x )dx 0.  u = ln(1 + sin x ) du = 1 + cos x dx ⇒ Đặt    1 + sin x dv = sin xdx   v = − cos x. π ⇒ I = − cos x . ln(1 + sin x ) 2 + 0. π 2. cos x. π 2. ∫ cos x. 1 + sin x dx = 0 + ∫ 0. 0. 1 − sin2 x dx = 1 + sin x. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. π 2. ∫ (1 − sin x )dx = 2 − 1 π. 0. Page 79.

(81) GV. Lưu Huy Thưởng π 4. 11. I =. ∫ 0. 0968.393.899. tan x .ln(cos x ) dx cos x 1 2. Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ I = −. ∫ 1. ln t t2. 1. dt =. ∫ 1. ln t t2. dt .. 2.   du = 1 dt u = ln t 2   t Đặt  ⇒ ⇒ I = 2 −1− ln 2 1 dv = dt  1 2  v = − t2 t  . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 80.

(82) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. PHẦN VII TUYỂN TẬP MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ HT 1.Tính các tích phân sau: e. ∫. 1. I =. 1 e. 2.. ∫. ∫ 1. e. ∫. 11. I =. ln x − 2 dx x ln x + x. ∫. e. ∫. 4. I =. 1. (x. 3. 12. A = e.   ln x  2 dx 3 ln + x x    x 1 + ln x . 13.. ∫0. π 2. (. 1. ln x − 2. ∫ x ln x + xdx. 14. I =. ∫ 3π 4. e3. ∫. 7. I =. e2 2. ∫. 8. I =. e. 15.. 2. +1. + ln(x + 1). 3. ln. x2 −1 dx x2 + 1. x 2 ln x + x ln2 x + x + 1 dx x 2 + x ln x 1. 16. I =. ∫ x ln (x. 2. ). + x + 1 dx. 0 2. 17.. ∫. 1. 1 x+ (x + 1 − )e x dx x. 1 2. dx. x2. 1. ∫ 1. 2x ln x (ln x − 1) + 3 dx x (1 − ln x ) x 3 .3x. ∫x 2.  1   x    e  x    + x  + 2 tan x  dx   c os2x x2    . π. ). sin x cos x ln 1 + sin2 x dx. 1. (x − 2)ln x + x dx x (1 + ln x ). ∫. ). + 1 ln x + 2x 2 + 1 dx 2 + x ln x. e. e. 6.. x ln x + ln(x .e 2 ) dx x ln x + 1. 1. 1. 5.. 10.. ln(1 + ln2 x ) dx x. 1 e. 3.. e.  ln x   + ln2 x dx    x 1 + ln x. e. 9.. ln x. ∫x. dx. 1 + ln x. 1. Bài giải e. 1. I =. ∫ 1.   ln x  2  + ln x dx   x 1 + ln x . e. I1 =. ∫x 1. ln x 1 + ln x. dx , Đặt t =. 1 + ln x ,… Tính được I1 =. 4 2 2 − 3 3. e. I2 =. 2 2 2 2 ∫ (ln x )dx , lấy tích phân từng phần 2 lần được I = e – 2 Vậy: I = I + I = e − 3 − 3 2. 1. 2. 1. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 81.

(83) GV. Lưu Huy Thưởng e. 2.. ∫. 0968.393.899. ln(1 + ln2 x ) dx x. 1 1. Đặt lnx = t , ta có I =. ∫ ln(1 + t. 2. )dt . Đặt u = ln( 1+t2) , dv = dt ta có : du =. 0. Từ đó có : I = t ln( 1+. t2 ). 2t 1 + t2. dt , v = t .. 1  1  dt   −2 dt = ln 2 − 2  dt −  (*). 2  2  0  1 + t 1 + t  0 0 0 1. 1. t2. ∫. ∫. 1. Tiếp tục đặt t = tanu , ta tính được. dt. ∫. ∫ 1 + t 2 = 4 .Thay vào (*) ta có : I = ln2 – 2 + 2 . π. π. 0. e. 3.. ∫ 1. e. ln x − 2 dx = x ln x + x. ln x − 2. ∫ (ln x + 1)xdx 1. Đặt t = lnx + 1 ⇒ dt =. 1 dx ; x. Đổi cận: x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2 2. Suy ra: I =. ∫. t −3 dt = t. 1 e. 4. I =. 2. ∫ 1.  . 2   1 − 3 dt = (t − ln | t |) = 1 – ln2   t  1.  + 3x 2 ln x  dx  1 + ln x. ln x. ∫ x 1. e. I =. ∫x 1. e. ln x 1 + ln x. dx + 3. ∫x. 2. ln xdx =I1+3I2. 1. e. +) Tính I 1 =. ln x. ∫x. 1 + ln x. 1. dx .. Đặt t = 1 + ln x ⇒ t 2 = 1 + ln x ; 2tdt =. 1 dx x. Khi x = 1 ⇒ t = 1; x = e ⇒ t = 2. (. ). (. 2 2 t 3  2 t −1 2 2 2− 2  2 ⇒ I1 = ∫ .2tdt = 2 ∫ t − 1 dt = 2  − t  =  3  t 3 1 1 1. (. ). ). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 82.

(84) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899.  du = dx u = ln x   2 x  +)Tính I 2 = x ln xdx . Đặt  ⇒ dv = x 2dx  x3  v = 1 3  e. ∫. x3 1 ⇒ I2 = . ln x e1 − 3 3. I = I1 + 3I 2 = e. 5.. ∫. x 2dx =. 1. e 3 1 x 3 e e 3 e 3 1 2e 3 + 1 − . = − + = 3 3 3 1 3 9 9 9. 5 − 2 2 + 2e 3 3. (x − 2)ln x + x dx x (1 + ln x ). ∫ 1. e. I=. e. ∫ 1. x (1 + ln x ) − 2 ln x dx = x (1 + ln x ). e. e. ∫ dx -2 ∫ 1. 1. e. ln x dx Ta có : x (1 + ln x ). ∫ dx = e − 1 1. e. Tính J =. ln x. ∫ x(1 + ln x )dx 1. 2. Đặt t = 1 + lnx, Ta có: J =. ∫. t −1 dt = t. 1. 2. 1. ∫ (1 − t )dt = (t - ln t ) = 1 - ln2 1. Vậy I = e - 1 - 2(1- ln2) = e - 3 + 2ln2 π. 6.. ∫ 3π 4.  1   x  x  e  + x  + 2 tan x  dx   c os2x x2    .  1   x    e  x    Ta có: I = + x  + 2 tan x  dx =   c os2x x2  3π    π. π. +). ∫. 1 ex .. 3π 4. ∫. ∫. 4. 3π 4. π. 1 x2. π. ∫. dx = −. 3π 4. 1 1 e x d   =.  x . 1 −e x. π. 1. 1 x e .. π. 1 x2. dx +. ∫ cos2xdx + ∫ 2x tan xdx (1) 3π 4. 3π 4. 4. = −e π + e 3π 3π 4.  2 u = x du = 2xdx   +) J = dx : Đặt  ⇒ ⇒ J = x 2 t anx  1 2   v = t anx dv = dx c os x   3π  c os2x π. ∫ 4. x2. π. x2. (. ). π π 3π 4. −. ∫ 2x tan xdx 3π 4. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 83.

(85) GV. Lưu Huy Thưởng 9π 2 J = − 16. e3. 7. I =. ∫ e. 2. π. ∫. 2x tan xdx. 2x ln x (ln x − 1) + 3 dx = 3 x (1 − ln x ) e3. (. I=. Thay vào (1) ta có I. 1 π = −e. 3π 4. )e. = −3 ln 1 − ln x. e. 0968.393.899. 2. e3. e3. e3. 1. ∫ x (1 − ln x )dx − 2∫ ln xdx e. 2. e. 2. =3. ∫ e2. 4 3 +e π. +. 9π 2 16.   e3  3  e d(ln x ) − 2 x ln x 2 − dx   e  (1 − ln x )   e2 1. ∫.  e3 e3  − 2 x ln x 2 − x 2  = −3 ln 2 − 4e 3 + 2e 2 . e e  . x 2 + x ln x + 1 x e dx x. ∫ 1. e. I=. ∫. e. x 2 + x ln x + 1 x e dx = x. e. ∫. 1. x. xe dx +. 1 e. Đặt I1=. ∫ xe dx =. xe x e1 −. 1. e. e. ∫. e x ln xdx = e x ln x − 1. e. ∫. Vậy I=I1+I2+. ex dx = ee − x. ∫. ex dx = ee +1 − ee + ee − x. 2. +1. + ln(x + 1) x2. 1 2. 2. x 2 +1. ∫ x.3. dx +. 1. 2. Tính: J =. 2. Tính: K =. 1. x 2 +1. ∫ x .3 1. ∫ 1. ∫. 1 dx = 2. ex dx x. 1 e. ∫. ex dx + x. 1. x 3 .3x. Ta có I =. e. ∫. 1. 1 2. 1. 1. 1. 8. I =. ∫. ex dx x. x e ∫ e dx = e (e − 1). e. ∫. ln xe dx +. e x. 1. Đặt I2=. ∫. e x. e. ∫. ex dx = ee +1 x. 1. dx. ln(x + 1) dx = J + K x2. 2. 2. x 2 +1. ∫3 1. 3x +1 d (x + 1) = 2 ln 3. 2. 2. =. 117 . ln 3. 1. 1 u = ln(x + 1)   u ' = ln(x + 1) x +1 . dx . Đặt  ⇒  1 v ' =  1 x2 v =−  x2  x 2. ln(x + 1) Suy ra K = − + x 1. 2. ∫ 1. dx ln 3 =− + ln 2 + x (x + 1) 2. 2. 2. 1 1  2 ln 2 − ln 3 x  dx = + ln  −  x x + 1 x +1 1 2 1. ∫. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 84.

(86) GV. Lưu Huy Thưởng =. 0968.393.899. 2 ln 2 − ln 3 2 1 3 + ln − ln = 3 ln 2 − ln 3. 2 3 2 2 117 3 + 3 ln 2 − ln 3 . ln 3 2. Vậy I = e. 9.. ln x. ∫x. dx. 1 + ln x. 1. 1 + ln x có 2tdt =. Đặt t =. ∫x. 1 + ln x. 1. e. x = 1 thì t = 1; x = e thì t =. 2. 2 2. e. ln x. 1 dx x. ∫. dx =. 1. t −1 t3 2tdt = 2( − t ) 3 t. = 1. 2. 2(2 − 2) 3. x ln x + ln(x .e 2 ) dx x ln x + 1. ∫ 1. e. x ln x + ln(x .e 2 ) dx . x ln x + 1. ∫. 10.I=. 1 e. x ln x + 1 + ln x + 1 dx = x ln x + 1. ∫. I =. 1. = e − 1 + ln x ln x + 1 e. ∫. 11. I =. (x. 1 e. I =. ∫. (x. 3. e 1. e. ∫. ∫. dx +. 1. ln x + 1 dx = x x ln x + 1. 1. e e 1. +. ∫ 1. d(x ln x + 1) x ln x + 1. = e − 1 + ln(e + 1). ). + 1 ln x + 2x 2 + 1 dx 2 + x ln x. ). 3. e. e e + 1 ln x + 2x 2 + 1 1 + ln x 2 dx = x dx + dx 2 + x ln x 2 + x ln x. 1. ∫. ∫. 1. 1. e.  3  e3 − 1 x Ta có: x dx =   =  3  3  1 1 e. ∫. e. ∫ 1. 2. 1 + ln x dx = 2 + x ln x. Vậy I =. 12. A =. e. ∫ 1. d (2 + x ln x ) 2 + x ln x. (. = ln 2 + x ln x. ) 1 = ln (e + 2) − ln 2 = ln e +2 2 e. e3 − 1 e +2 . + ln 3 2. ∫0. π 2. (. ). sin x cos x ln 1 + sin2 x dx. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 85.

(87) GV. Lưu Huy Thưởng 1 A= 2. ∫0. π 2. 0968.393.899. (. ). sin 2x ln 1 + sin2 x dx. (. ). Đặt u = ln 1 + sin2 x và dv = sin 2xdx . Suy ra: du =. sin 2x 2. 1 + sin x. dx và v = 1 + sin2 x.   π   π 2   1  1 2 2 2 A =  1 + sin x ln 1 + sin x − sin 2xdx  =  1 + sin2 x ln 1 + sin2 x 2 0  2  0     . (. e. 13.. ) (. ). (. ∫. ) (. π 2. ) − (sin x ) 0. 2. π  2 0.   . =. ln 4 − 1 2. ln x − 2. ∫ x ln x + xdx 1. e. ∫. Ta có: I =. 1. ln x − 2 dx = x ln x + x. Đặt t = lnx + 1 ⇒ dt = 2. Suy ra: I =. ∫. t −3 dt = t. e. ∫. x 3 ln. 2. 2. ∫ 1. 2   1 − 3 dt = (t − ln | t |) = 1 – ln2   t  1.  du = 4x dx  x4 −1 ta có    x4 −1 v =  4. x4 −1 x2 −1 e I= ln | − 4 x2 + 1 2. e. ∫. 15.. ∫ 1. ∫ 1. xdx =. 2. e 4 − 1 e2 − 1 x 2 e e 4 − 1 e2 − 1 3 e2 ln − | = ln + ln 3 − + 1 4 4 2 e2 + 1 2 2 e2 + 1 4. x 2 ln x + x ln2 x + x + 1 dx x 2 + x ln x. e. I =. 1. x2 −1 dx x2 + 1.  x2 −1  u = ln  Đặt  x2 + 1  3 dv = x dx . e. ln x − 2. ∫ (ln x + 1)xdx. 1 dx ; Đổi cận: x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2 x. 1. 14. I =. e. e. ln xdx +. ∫ 1. 1 x dx = x ln x − 1 e + ( )1 x + ln x 1+. e. ∫ 1. d (x + ln x ) x + ln x. .. e = x (ln x − 1) + ln (x + ln x ) = ln e (e + 1) .  1  . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 86.

(88) GV. Lưu Huy Thưởng 1. 16. I =. ∫ x ln (x. 2. 0968.393.899. ). + x + 1 dx. 0.  du = 2x + 1 dx  2  u = ln x + x + 1 x2 + x + 1 ⇒    2  dv = xdx v = x   2. (. Đặt. x2 1 ln x 2 + x + 1 |10 − 2 2. (. I =. 1. J =. ∫ 0. Vậy I = 2. 17.. ). ∫. ). dx 2.    x + 1  +  3      2   2  2. 1. 2x 3 + x 2. 3. 3. ∫ x 2 + x + 1 dx = 4 ln 3 − 4 J. với. 0. . Đặt x +.  π π 1 3 2 3 tan t, t ∈ − ;  ⇒ J = =  2 2  2 2 2. π 3. ∫ dt =. π 3 . 9. π 6. 3 π 3 ln 3 − 4 12 1. 1 x+ (x + 1 − )e x dx x. 1 2 2. :I =. ∫ 1 2. 1. 1 x+ (x + 1 − )e x dx = x. 2. ∫. e. x+. 1 x dx. +. ∫. 1. 1 x+ (x − )e x dx = I1 + I 2 . x. 1 2. Tính I1 theo phương pháp từng phần I1 = xe. x+. 1 x. 2. 2. − 1 2. ∫ 1 2. 1. 5. 5. 3 1 x+ 3 (x − )e x dx = e 2 − I 2 ⇒ I = e 2 . 2 x 2. . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 87.

(89) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 2.Tính các tích phân sau: 1. 3 2. dx. ∫x. 1. A =. 2. I =. ∫ 0. 1. 3.. ∫ 1+. 8. I =. 9. I =. 1− x2. 1. dx. 2 1. 10.. 4x + 1. x 3 + 3x. ∫ x 4 − 5x 2 + 6. ∫. 11.. ∫ 1. 1 4. 1. 2. 3x + x + 1. ∫. x. 1. ∫x. x2 + 1. 12.. dx. 23 3. x +x. dx. 3x + 1. x (e x + 1). dx. (x + 1)2 0. 2. dx. 0. 7. x4 dx   x − 1  x 2 + 1 3   x  . 1. ∫ 2x + 1 +. 6. I =. dx 9x − 1 2. ∫ 5. dx. 6. 5. I =. x. 2 2.    4 − x 2  x 3 ln  dx  4 + x 2   . 0. 4. I =. ∫ 3x + 1 3. 1− x2. 1 2. 1. 7.. ∫ 0. 1−x5. (. x 1+x 3. 5. (x 2ex +. ). dx. 2. 4. x. 1+ x. )dx. 26. Bài giải 3 2. ∫x. 1. A =. 1 2. dx 1− x2. Đặt t = 1 − x 2 ⇒ t 2 = 1 − x 2 ⇒ 2tdt = −2xdx ⇒. ⇒. dx tdt =− x x2. dx tdt tdt =− = 2 2 x 1−t t −1. + Đổi cận: x =. 1 2. A=. dt. 1 3 3 1 ⇒t = ;x = ⇒t = 2 2 2 2 3 2. dt. ∫ t2 − 1 ∫ 1 − t2 3 2. 1. 2. I =. ∫ 0. =. 1 2. =. 1 t +1 ln 2 1−t. 3 2 1 2. |. =. 1  7 + 4 3  ln   2  3 .    4 − x 2  x 3 ln  dx  4 + x 2   . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 88.

(90) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899.     16x   4 − x 2  du = dx u = ln   4    x − 16 2  Đặt   4 + x  ⇒    x 4 − 16 dv = x 3dx v =   4 1 1   1 4 15  3   4 − x 2  Do đó I = x − 16 ln   − 4 xdx = − ln   − 2 4 4  5   4 + x 2  0 0. (. 1. 3.. ∫ 1+ 0. ). ∫. dx 1− x2. π π Đặt x = sint với t ∈ [− ; ] . Ta có: dx = cos tdt và 2 2 π . Từ đó: 2. Đổi cận: Với x =0 thì t = 0; Với x = 1 thì t =. π. 1. ∫ 1+. 1− x2. 0. π. cos tdt = 1 + cos t. ∫. =. 0. 2. ∫ 0. 2 cos s 2 (t / 2) − 1. dt. 2 cos s 2 (t / 2). π 2. =. π 2. dx. 1 − x 2 = 1 − sin2 t = cos2 t =|cost| = cost.. ∫. 2. dt −. 0. ∫ 0. d (t / 2) cos2 (t / 2). 6. 4. I =. π. =( t – tan (t/2) ) | 0 2 =. π -1 2. dx. ∫ 2x + 1 + 2. 4x + 1. Đặt t = 4x + 1 ⇒ x =. t2 − 1 tdt ⇒ dx = 4 2. t (2) = 3, t (6) = 5.    1  1 1  5 3 1 dt = ln t + 1 + Khi đó I = =  −   3 = ln −   2 2   t + 1 t + 1 2 12   (t + 1)   3 (t + 1) 3  5. ∫.  1   = ln t + 1 + t + 1  1. 5. I =. 5. tdt. ∫. 5 3. 3 1 = ln − 2 12. x 3 + 3x. ∫ x 4 − 5x 2 + 6 dx 0. I =. 1 2. 1. ∫ 0. x2 + 3. 1 dx 2 = 2 2 2 (x − 2)(x − 3). 1. x2 − 2 + 5. ∫ (x 2 − 2)(x 2 − 3)dx. 2. 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 89.

(91) GV. Lưu Huy Thưởng 1 = 2. 1. ∫ 0. dx 2. 5 + 2 x −3 2. 1. ∫ 0. 0968.393.899.    1 1  2  1 5 x 2 − 3  dx =  ln x 2 − 3 + ln  −   2  x 2 − 3 x 2 − 2  2 x 2 − 2  . 1 0. 1  1 5 5 3 5 2 5 =  ln 2 + ln 2 −  ln 3 + ln  = 3 ln 2 − 3 ln 3 + ln 2 = 3 ln + ln 2   2 2 2 2  2 3 2  2 1. 1. 7. 7. 3x 4 + x 2 + 1. ∫. 6. I =. 3. 3x 4 + x 2. ∫. dx =. x2 x3 + x. 1. 1. 3. 2 x3 + x 1 x. 26. 26 1. 7. dx +. 1. ∫. 3. 2 x3 + x 1 x. dx = I 1 + I 2. 26 1. 7. 7 2  1 1 1 3  1 ∗ Tính I 2 = dx = − d 1 +  = − 3 1 +  2 4  1 x3 1  x 2  x 2  1 31+ 1 31+ x2 x2 26 26. ∫. 1. ∫ 3x + 1 3. ∫ 1 3. 1. x. dx = 2 3x + 9x − 1. ∫. 3x 2dx = x 3. 1 3. 1. I2 =. ∫ 1 3. 7 = 15 1 4 26. dx 9x 2 − 1. 1. I1 =. ∫. 1. x. 1. I =. 1. 322 . 91. Vậy: I =. 7.. 1. 1 1 3. =. ∫. 1. x (3x − 9x 2 − 1)dx =. 1 3. ∫ 1 3. 1. 3x 2dx −. ∫x. 9x 2 − 1dx. 1 3. 26 27. 1 x 9x 2 − 1dx = 18. 1. ∫ 1 3. 3. 1 9x 2 − 1d (9x 2 − 1) = (9x 2 − 1)2 27. 1. = 1 3. 16 2 . 27. 26 − 16 2 27. Vậy I =. 2 2. 8. I =. x4 dx   x − 1  x 2 + 1 3   x  . ∫. 2 2. Ta có: I =. ∫. 3. x5. (. ). x2 −1. dx x2 + 1. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 90.

(92) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899 x. x 2 + 1 , suy ra dt =. Đặt t =. dx & x 2 = t 2 − 1 Đổi cận: x = 3 ⇒ t = 2; x = 2 2 ⇒ t = 3. 2. x +1 3. ∫. Khi đó I =. (t. ). −1. 2. t2 − 2. 2. =. 2. 3. dt Ta có I =. ∫. t 4 − 2t 2 + 1 t2 − 2. 2. 3. dt =. 3. ∫ t dt + ∫ 2. 2. 2. 1 3 1 dt = t 3 + 2 3 2 2 2 t −2 1. 3. . 1. ∫ t − 2. − 2.  dt t + 2  1. 19 1  2  4 + 2   3 19 + + ln   ln t − 2 − ln t + 2  =  4 − 2  2 3 3 4 2 2 5. 9. I =. x2 + 1. ∫x. dx. 3x + 1. 1. Đặt t = 3x + 1 ⇒ dt =. 3dx 2 3x + 1. ⇒ dx =. 2tdt . 3. Khi x = 1 thì t = 2, và khi x = 5 thì t = 4.. 4. Suy ra I =. ∫ 2. 1. 10.. ∫ 0.  2 2 t − 1  + 1   3  2tdt . 2 3 t −1 .t 3. x (e x + 1). 2 = 9. 4. 4. ∫ (t. 2. − 1)dt + 2. 2. ∫ 2. 4 4  2  1 3 t −1   =  t − t  + ln  9  3 t +1 t2 − 1 2 2 dt. =. 100 9 + ln . 27 5. dx. (x + 1)2.  x  x u = x (e + 1) du = (e (x + 1) + 1)dx   Đặt  ⇒ dx dv = v = −1 2  x +1 (x + 1)   x (e x + 1) 1 I= − | + x +1 0. Vậy I = 2. 11.. ∫ 1. 2. ∫ 1. ∫ (e. x. +. 0. e +1 e 3 1 )dx = − + (e x + ln x + 1) |10 = + ln 2 − . x +1 2 2 2. e 3 + ln 2 − 2 2. 1−x5. (. x 1+x. x 1+x. 5. 5. ). dx. 2. 2. 1−x5. (. 1. ). 2. dx =. ∫ 1. 1 + x 5 − 2x 5. (. x 1+x. 5. ). 2. 2. dx =. 1. ∫ x 1 + x5 1. (. 2. ). dx −. ∫ 1. 2x 4. (1 + x ) 5. 2. dx = I 1 − I 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 91.

(93) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899.  1 −  1 1  t 2  1 t4 1 1 1 x = ⇒ I1 = dt = dt = d t 5 + 1 = ln t 5 + 1 5 5 t 5 5 1  1  t +1 t +1  1 1 + 1 1   2 2 t  t 5  1. 2. ∫. 2 I2 = 5. I =. 2. (. ∫. ). 1 1 2. =. 1 (6 ln 2 − ln 33) 5. 2  1  2 31 d x 5 + 1 = − .   = 2 5 1 5  x + 1 165 5 1 1+x. ∫. (. 1. (. ). ). 1 31 (6 ln 2 − ln 33) − 165 5 1. 12.. ∫. ∫. 4. 3. (x 2e x +. 1+ x. 0 1. Đặt I =. ∫. x. 0 1. Ta tính I 1 =. 4. 3. (x 2e x +. )dx. 1. x. 1+ x. 2 x3. ∫xe. )dx . Ta có I =. 0. dx Đặt t =. x3. 0 1. Ta tính I 2 =. 4. ∫ 1+. x. 0. 1. Khi đó I 2 = 4. t4. 4. ∫ 1+. x. 0. 1 ta có I 1 = 3. 1. 1. ∫ e dt = 3 e t. dx x. t. 0. 1 0. 1 1 = e− 3 3. dx Đặt t = 4 x ⇒ x = t 4 ⇒ dx = 4t 3dt x 1. ∫ 1 + t 2 dx = 4∫ (t 0. ∫. 1. 3. x 2e x dx +. 0. 2. −1 +. 1. 2 π )dt = 4(− + ) . 3 4 1+t 2. 1 Vậy I = I1+ I2 = e + π − 3 3. . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 92.

(94) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 3.Tính các tích phân sau: π 2. 1.. ∫ (e. π 2. cos x. + s inx). sin 2x .dx. 9. I =. ∫ cos 2x (sin. 0 π 2. 2.. ∫. ). x + cos4 x dx. 0. (x + 2 sin x − 3) cos x. π 4. 10. I =. dx. 3. sin x. π 4. 3. M =. ∫ 0 π 6. 4. I =. 0. 11.. cos x + sin 2x dx 1 + cos 2x. 0. 12.. 1 − 3 sin 2x + 2 cos2 xdx. x. ∫. 14.. x sin x + sin 2x. ∫. cos2x. 0 π 4. 7. M =. 0. π 2 π 4. π 8. 1 + sin4 x. 3 sin x − sin 2x. ∫ (cos 2x − 3 cos x + 1)(3 − 2 sin2 x ) dx 0. π 3. cot x − tan x dx  π   sin 2x cos 2x −  4  . ∫. cot xdx. π 3. cos x + sin 2x dx 1 + cos 2x. dx. sin 3 x. 16. I =. π 4. 8. I =. ∫. dx. 15.. ∫. (x + 2 sin x − 3) cos x. π 4. 0. 6. I =. + sin x ). sin 2x .dx. ∫ 1 + sin xdx π 2. 13.. π 4. cos x. o. π 2. ∫. ∫ (e 0 π. π tan(x − ) 4 dx cos2x. ∫. tan x. ∫ (4 cos x − sin x ) cos x dx. π 2. π 4. 5.. 4. ∫ π 6 π. 17. I =. cot x dx  π   sin x . sin x +  4  . 5 ∫ x (cos x + sin x )dx 0. Bài giải π 2. 1.I=. ∫ (e. π 2. cos x. + s inx). sin 2x .dx = 2. 0. ∫e. π 2. cos x. . cos x . sin x .dx +. 0. ∫ s inx.sin 2x.dx 0. π 2. J =. ∫e. cos x. . cos x . sin x .dx. 0 1. Đặt t = cosx có J =. ∫ 0. t.et .dt = t.et. 1 0. 1. −. ∫ e .dt = 1 t. 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 93.

(95) GV. Lưu Huy Thưởng π 2. K=. ∫ 0. 1 s inx. sin 2x .dx = 2. 0968.393.899 π 2. ∫ 0. π 2 1 1 2 (cos x − cos3x ).dx = (s inx − sin 3x ) = 2 3 3 0. π 2. Vậy: I=. ∫ (e. cos x. 2 8 = 3 3. + s inx). sin 2x .dx = 2 +. 0 π 2. 2.. (x + 2 sin x − 3) cos x. ∫ π 4. π 2. I =. dx. sin 3 x. ∫ π 4 π 2. (x + 2 sin x − 3) cos x sin 3 x π 2. x cos x. ∫. 4 π 2. I2 =. ∫. x cos x. ∫. sin 3 x π. dx +. (2 sin x − 3) cos x 3. ∫ 0. ∫ 0. M1 = −. π 4 π. 2 1  1 x 2 1 1 1 π π 1 1  = − + dx = −  −  − cot x 2 = π 2  2 2   2 sin x π 2 2 2 2 2 2 sin x sin x π 4 4 π. ∫. π 2. dx =. ∫. 2 sin x − 3. π 4. 3. sin x. π 4. cos x + sin 2x dx = 1 + cos 2x. d (sin x ) = 2 2 −. 7 . 2. Vậy I = I 1 + I 2 = 2 2 − 3 .. 1 2. π 4. ∫ 0. d (1 + cos 2x ) 1 + cos 2x. sin 2x. 1 Đặt u = sin t M 2 = 2. 2. cos x. 0 . 0 . M1. M2. π 4. 1 1 = − ln 1 + cos 2x = ln 2 , M 2 = 2 2 0. |. π 4. cos x. 1. π 4. cos x. ∫ 1 + cos 2xdx = 2 ∫ 1 − sin2 xdx = 0. 0. 1. du. ∫ 1 − u2 0. π 4. ∫ 1 + cos 2xdx + ∫ 1 + cos 2xdx ;. 1. Vậy M =. dx. sin3 x. cos x + sin 2x dx 1 + cos 2x π 4. M =. (2 sin x − 3) cos x. 4. sin x. π 4. ∫. π.  xd  . 4. π 4. 3. M =. dx =. π 2. 4. 1 I1 = dx = − 3 2 sin x π π. ∫. π 2. =. 1 4. 2. ∫ 0. 1.  1 1  1 u +1 2 1 + = ln(1 + 2)  du = ln 1 − u 1 + u  4 u −1 0 2. |. 1 ln(2 + 2 2) 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 94.

(96) GV. Lưu Huy Thưởng π 6. ∫. 4. I =. 0. π 6. I =. π tan(x − ) 4 dx cos2x. π. π 6 tan(x − ) 2 4 dx = − tan x + 1 dx c os2x (t anx+1)2 0. ∫. ∫. 0. t = t anx ⇒ dt=. Đặt. 0968.393.899. 1. dx = (tan2 x + 1)dx. 2. cos x. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x =. π 1 ⇒t = 6 3. 1 1. 3. 1 3 1− 3 I =− = = 2 t + 10 2 (t + 1) 0 dt. ∫. Suy ra. π 2. 5.. ∫. 1 − 3 sin 2x + 2 cos2 xdx. 0 π 2. I =. π 2. ∫. 1 − 3 sin 2x + 2 cos2 xdx =. ∫. 0. π 2. (sin x − 3 cos x )2dx =. 0. π 3. ∫ 0. π 3. ∫. sin x − 3 cos x dx =. ∫ (sin x −. (. π 4. ∫. π 3. ) 0 + (− cos x −. x sin x + sin 2x c os2x. 0 π 4. + Ta có I =. ∫ 0. x sin x c os x 2. π 2. 3 cos x )dx +. 0. π 3. = − cos x − 3 sin x. 6. I =.  π π π + k π Do x ∈ 0;  nên x =   2  3 3. π 2. sin x − 3 cos x dx +. sin x − 3 cos x dx. 0. sin x − 3 cos x = 0 ⇔ tan x = 3 ⇔ x =. I =. ∫. 3 sin x. ). π 2 π 3. ∫ (sin x −. 3 cos x )dx. π 3. 1 3 1 3 = − − +1 + − 3 + + = 3− 3 2 2 2 2. dx. π 4. dx + 2. s inx. ∫ cos x dx 0. π 4. Đặt I1 =. ∫ 0. x sin x c os x 2. π 4. dx ; I 2 = 2. s inx. ∫ cos x dx 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 95.

(97) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. +Tính I1 : Đặt u = x ⇒ du = dx ; v =. π x ⇒ I1 = 4− cos x 0 π 4. + Tính I 2 = −2. ∫ 0. ∫. 7. M =. 0 π 4. M =. ∫ 0. M1 = −. ∫ 0. 1 cos x. π 2 1 2+ 2 2 − ln − 2 ln 4 2 2− 2 2. cos x + sin 2x dx 1 + cos 2x. π 4. ∫ 0. d (1 + cos 2x ) 1 + cos 2x. π 4. Đặt u = sin t. 1 M2 = 2. 2. π 4. sin 2x. 0 . 0 . M1. M2. π 4. 1 1 = − ln 1 + cos 2x = ln 2 M 2 = 2 2 0. |. π 4. cos x. 1. π 4. cos x. ∫ 1 + cos 2xdx = 2 ∫ 1 − sin2 xdx = 0. 0. 1 2. 1 = 4 1 − u2 0 0. ∫. cos x. ∫ 1 + cos 2xdx + ∫ 1 + cos 2xdx. 1. Vậy M =. xd(cos x ) =. π π dx x 1 1 + s inx π 2 1 2+ 2 = − ln 4 − ln 4 = cos x cos x 0 2 1 − s inx 0 4 2 2− 2. cos x + sin 2x dx = 1 + cos 2x. 1 2. −2. π d(cos x ) 2 = −2 ln cos x 4 = −2 ln cos x 2 0. Vậy I = I 1 + I 2 =. π 4. π 4. s inx. ∫ cos2x dx = −∫ cos. du. ∫.   . 1. 1  1 u +1 2 1 + = ln(1 + 2) du = ln  1+u 4 u −1 0 2 1−u 1. |. 1 ln(2 + 2 2) 2. π 4. 8. I =. cot x − tan x dx  π   π sin 2x cos 2x −   4  8. ∫. cos2 x − sin2 x cot x − tan x cot x − tan x sin x . cos x I = dx I = dx = dx      π π π π          π sin 2x cos 2x −  π sin 2x cos 2x −  π sin 2x cos 2x . cos + sin 2x . sin     4  4  4 4  8 8 8 π 4. ∫. π 4. ∫. π 4. ∫. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 96.

(98) GV. Lưu Huy Thưởng π 4. =2 2. 0968.393.899 π 4. cot 2x. π 8. 1. π 8. 2. 1 1 π π dx ⇒ − dt = dx . Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 0 2 8 4 sin2 2x sin2 2x. Đặt t = cot 2x ⇒ dt = − 0. I =2 2. ∫ 1. t  1  . − dt  = 2 1 + t  2 . π 2. ∫ cos 2x (sin. 9. I =. cot 2x. ∫ sin 2x (cos 2x + sin 2x )dx = 2 2 ∫ 1 + cot 2x . sin2 2x dx. 4. 1. ∫ 0. t dt = 2 1+t. 1. . . 1. 1  ∫ 1 − t + 1dt = 2 (t − ln t + 1 ) 0 = 2 (1 − ln 2) 0. ). x + cos4 x dx. 0 π 2. I =. . 1. ∫ cos 2x 1 − 2 sin. 2. 0. =. 1 2. π 2. d (sin 2x ) −. ∫ 0. π 4. 10. I =. 1 4. π 2. ∫.  1 2x dx =  2. π 2. . 1. ∫ 1 − 2 sin 0. sin2 2xd (sin 2x ) =. 0. 2.  2x d (sin 2x ) . 1 sin 2x 2. π 2. |0. −. 1 sin3 2x 12. π 2. |0 = 0. tan x. ∫ (4 cos x − sin x ) cos x dx 0. π 4. Ta có: I =. tan x. ∫ (4 − tan x ) cos2 x dx 0. Đặt: tan x − 4 = t ⇒. −3. ∫. Suy ra: I = −. −4. dx cos x 2. = dt . Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = −4; x =. −3. (t + 4).dt =− t. −3. 4. π ⇒ t = −3 4. 4. ∫ (1 + t )dt = −(t + 4 ln t ) −4 = 4 ln 3 − 1. −4. π 2. 11.. ∫ (e. cos x. + sin x ). sin 2x .dx. 0 π 2. ∫ (e 0. π 2. cos x. + s inx). sin 2x .dx = 2. ∫e 0. π 2. cos x. . cos x . sin x .dx +. ∫ s inx.sin 2x.dx 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 97.

(99) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. π 2. I =. ∫e. cos x. . cos x . sin x .dx. 0 1. Đặt t = cosx có I =. ∫ t.e .dt = t.e t. 0. 0. π 2. ∫. K=. 0. 1 s inx. sin 2x .dx = 2. π 2. cos x. ∫ e .dt = 1 t. 0. 2 1 1 2 (cos x − c os3x ).dx = (s inx − sin 3x ) = 2 3 3 0. π 2. ∫ (e. −. π. ∫ 0. 1. 1. t. + s inx). sin 2x .dx = 2 +. 0. 2 8 = 3 3. π. 12.. x. ∫ 1 + sin xdx o. π. I=. π. π. ∫ o. x dx = 1 + sin x. ∫ o. x (sin. x x + cos )2 2 2. dx =. ∫ o. x dx  x π 2 cos2  −   2 4 .  u=x   du = dx π   x π  π x π  dx    x π  => I = x tan  −  − tan  − dx Đặt dv = =>     x π   v = tan  −   2 4  0  2 4   2 4  2 cos2  −   0    2 4  . ∫. x π  π => I = π + 2ln cos  −   2 4  0. π 2. 13... ∫. (x + 2 sin x − 3) cos x. π 4 π 2. I =. ∫. (x + 2 sin x − 3) cos x sin3 x. π 4 π 2. 4. x cos x. π 2. dx =. ∫ π 4. π 2. 1 I1 = dx = − 3 2 sin x π π. ∫. dx. sin3 x. ∫ 4. x cos x sin3 x. π 2. dx +. ∫. (2 sin x − 3) cos x. dx. sin3 x. π 4. π.  xd  . π. 2 1  1 x 2 1 1 1 π π 1 1  = − + dx = −  −  − cot x 2 = π 2  2 2   2 sin x π 2 2 2 2 2 2 sin x sin x π 4 4 π. ∫ 4. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 98.

(100) GV. Lưu Huy Thưởng π 2. I2 =. ∫. (2 sin x − 3) cos x 3. ∫. π 2 π 4. π 2. dx =. sin x. π 4. 14.. ∫. 2 sin x − 3. π 4. 3. sin x. d (sin x ) = 2 2 −. 7 2. Vậy I = I 1 + I 2 = 2 2 − 3 .. cot xdx 1 + sin4 x π 2. cot x. ∫ 1 + sin4 x. Ta có: I =. π 2. dx =. π 4. Khi đó I =. 1 4. π 3. 1. dt. ∫ t (t + 1) 1 4. cos x. ∫ sin x(1 + sin4 x ). π 2. dx =. π 4. Đặt t = sin4 x , ta có: x =. 15.. 0968.393.899. =. sin 3 x cos x. ∫ sin4 x 1 + sin4 x π 4. (. ). dx .. π 1 π ⇒ t = , x = ⇒ t = 1 v à dt = 4 sin3 x cos xdx . 4 4 2 1 4. 1. ∫ 1 4. 1 1 1 1 5 1  t dt = ln  − 1 = ln . 4 t +1 4 2  t t + 1 4. 3 sin x − sin 2x. ∫ (cos 2x − 3 cos x + 1)(3 − 2 sin2 x ) dx 0. π 3. Ta có I =. π 3. 3 sin x − sin 2x. 0. 0. π 3. =. sin x ( 3 − 2 cos x ). ∫ (2 cos x − 3). cos x. (1 + 2 cos2 x ) dx 0. π 3. =. sin x ( 3 − 2 cos x ). ∫ ( 2 cos2 x − 3 cos x )(3 − 2 sin2 x ) dx = ∫ (2 cos x − 3). cos x. (1 + 2 cos2 x ) dx. cos x .(− sin x ).dx. ∫ cos2 x. (1 + 2 cos2 x ). π 3. =. − sin x. ∫ cos x. (1 + 2 cos2 x ) dx 0. 2 cos2 x ⇒ dt = 4 cos x .(− sin x )dx. . Đặt t =. 0. Đổi cận: Khi x = 0 ⇒ t = 2 ; khi x =. =. 1 2. 1 2. π 1 1 ⇒ t = . Khi đó I = 2 3 2.   1 1  1 t  dt = ln  − t + 1 2 t +1 t 2 . ∫. 1 2 2. =. 1 2. ∫ 2. dt = t.(1 + t ). 1 1 2 1 1 1 .( ln − ln ) = . ln . Vậy I = − ln 2 . 2 3 3 2 2 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 99.

(101) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. π 3. 16. I =. cot x dx  π   π sin x . sin x +   4  6. ∫. π 3. π 3. π 3. cot x cot x cot x dx = 2 dx = 2 dx 2  π  sin x (sin x + cos x ) x + x sin 1 cot  ( ) π sin x sin x +  π π  4  6 6 6. ∫. Tính I =. ∫. 1. Đặt 1+cotx=t ⇒. 2. dx = −dt. ∫. Khi x =. sin x 3 +1. Vậy I = 2. ∫. t −1 dt = 2 (t − ln t ) t. 3 +1. 3 +1 3 +1 3. π π ⇔ t = 1 + 3; x = ⇔ t = 6 3. 3 +1 3.  2  = 2  − ln 3    3 . 3. π. 17. I =. 5 ∫ x (cos x + sin x )dx 0. π. I =. 5 ∫ x (cos x + sin x )dx 0 π. *I =. ∫ (. π. ). x cos x + sin5 x dx =. 0. ∫. ∫ 0. ∫ x. sin. 5. x .dx .. 0 . 0 . I1. I2. π. * I1 =. π. x . cos x .dx +. π. x . cos x .dx = x . sin x. π 0. −. ∫ sin x.dx = x.sin x 0 + cos x 0 = −2 π. π. 0 π. π * Với I 2 ta đặt x = π − t ⇒ I 2 = 2. 8π ∫ (1 − cos x ) d (− cos x ) = 15 . 2. 2. * Vậy I =. 0. 8π −2 15. . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 100.

(102) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 4.Tính các tích phân sau: ln 6. ∫. 1. I =. dx .. 3. I =. 3 3 + e x + 2e x + 7. 0 1. (x − 1)e x + x + 1. ∫. 2. I =. 1. ex. 0 ln 2. 4. I =. dx. 1 + ex. 0. ∫ ∫ 0. (x 2 + x )e x x + e−x. dx. x e x + e −x + 2. dx .. Bài giải ln 6. ex. ∫. 1. I =. dx .. 3 3 + e x + 2e x + 7. 0. 3 + e x = t . Khi đó e x = t 2 − 3 ⇒ e x dx = 2t dt.. Đặt. Khi x = 0 ⇒ t = 2, khi x = ln 6 ⇒ t = 3. 3. Suy ra I =. 3. 2t dt. 2. 3. =2. ∫ 2. ∫. (x − 1)e x + x + 1. I =. ∫. xe x − e x + x + 1 1 + ex. 0. 1. Tính I 1 =. ∫ 0. Vậy I = 1. 3. I =. ∫. ∫ 2.  1 1   dt = 2 ln t + 1 −   t + 1 2t + 1. 3. − ln 2t + 1. 2. 3. = (2 ln 4 − 2 ln 3) − (ln 7 − ln 5) = ln. 2. 80 . 63. dx. 1. dx =. ∫. x (e x + 1) + (1 + e x ) − 2e x 1 + ex. 0.  2  x (x + 1)dx =  + x   2  . 1 0. 3 = 2. dx =. ∫. 1. (x + 1)dx − 2. 0. 1. Tính I 2 =. 1. ex. ∫ 1 + ex dx = I1 − 2I 2 0. 1. ∫ 1 + ex dx =∫ 0. ex. 0. 1. d (e x + 1) x. e +1. x. = ln(e + 1). = ln 0. e +1 2. 3 e +1 − 2 ln . 2 2 (x 2 + x )e x x + e−x. 0 1. Ta có I=. 3. 1 + ex. 0 1. 2. t dt = 2 (t + 1)(2t + 1) 1. 2. I =. t. ∫ 3t + 2(t 2 − 3) + 7 = 2∫ 2t 2 + 3t + 1 dt. ∫ 0. dx. (x 2 + x )ex x + e−x. 1. dx =. ∫ 0. xe x .(x + 1)ex. dx. xe x + 1. Đặt t = x .ex + 1 ⇒ dt = (x + 1)e x dx. x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = e + 1. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 101.

(103) GV. Lưu Huy Thưởng 1. Suy ra I=. xe x .(x + 1)e x. ∫. x. xe + 1. 0 ln 2. 4. I =. ∫. x e + e −x + 2 x. 0. ln 2. Ta có I =. 0968.393.899 e +1. dx =. ∫. (t − 1) dt = t. 1. e +1. ∫ 1.  1 1 − dt . Vậy I = t − ln t  t . (. e +1. )1. = e − ln(e + 1) .. dx .. xe x. ∫ (ex + 1)2 dx. 0. Đặt. u = x ⇒ du = dx , dv =. ex 2. x. (e + 1). dx ⇒ v = −. Theo công thức tích phân từng phần ta có: I = −. ln 2. Tính I 1 =. dx. ∫ ex + 1. Đặt e. x. x x. e +1. 1 x. .. ln 2. ln 2. e +1. +. 0. ∫ 0. dx. ln 2 =− + x 3 e +1. = t ta có x = 0 ⇒ t = 1; x = ln 2 ⇒ t = 2 và dx =. ln 2. dx. ∫ ex + 1 (1) 0. dt . t. 0. 2. Suy ra I 1 =. ∫ 1. 2. dt = t(t + 1). ∫ 1. Thay vào (1) ta được I =. 1   − 1 dt = ln t  t t + 1. 2 1. − ln(t + 1). 2. = 2 ln 2 − ln 3.. 1. 5 ln 2 − ln 3. 3 . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 102.

(104) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. PHẦN VIII TÍCH PHÂN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HT 1.Tính các tích phân sau: π 2. 2. 1. I =. ∫. 2. 2. I =. x − 3x + 2 dx .. −3. 2. ∫. 2. 5 − 4 cos x − 4 sin xdx. 3. I =. ∫ ( x − x − 1 )dx. −1. 0. Bài giải 2. 1. I =. ∫. x 2 − 3x + 2 dx. −3. Bảng xét dấu −3. x. +. x 2 − 3x + 2 1. I =. ∫ (x. 2. 1. 2 −. 0. 0. 2. ). − 3x + 2 dx −. −3. ∫ (x. 2. ). − 3x + 2 dx =. 1. 59 . 2. π 2. 2. I =. ∫. 5 − 4 cos2 x − 4 sin xdx .. 0 π 2. I =. ∫. π 2. 4 sin2 x − 4 sin x + 1dx =. ∫. 0. 2 sin x − 1 dx .. 0. Bảng xét dấu x. 2 sin x − 1 π 6. π 6. 0 −. 0. π 2 +. π 2. ∫ (2 sin x − 1)dx + ∫ (2 sin x − 1)dx = 2. I =−. 0. 3 −2−. π . 6. π 6. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 103.

(105) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 2. 3. I =. ∫ ( x − x − 1 )dx .. −1. Cách 1. 2. I =. 2. 2. ∫ ( x − x − 1 )dx = ∫. −1. −1. 0. ∫. =−. 2. xdx +. −1. x2 =− 2. x dx −. ∫. −1. x2 + 2. ∫. x − 1 dx. −1. 1. xdx +. 2. (x − 1)dx −. −1. 0 0. ∫. ∫ (x − 1)dx 1. 1. 2. 2.  2  2   x x +  − x  −  − x  = 0 .  2  2     0 −1 1. Cách 2. Bảng xét dấu x. I =. –1. 0. x. –. x–1. –. 0. 1 + –. 2 +. 0. +. 0. 1. 2. −1. 0. 1. ∫ (−x + x − 1)dx + ∫ (x + x − 1)dx + ∫ (x − x + 1)dx = −x. 0 −1. (. + x2 − x. ). 1 0. +x. 2 1. = 0.. Vậy I = 0 .. HT 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ln x , x = 1, x = e và Ox. Bài giải Do ln x ≥ 0 ∀x ∈ 1; e  nên: e. S=. ∫. e. ln x dx =. 1. e. ∫ ln xdx = x (ln x − 1) 1 = 1 . 1. Vậy S = 1 (đvdt).. HT 3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = −x 2 + 4x − 3, x = 0, x = 3 và Ox. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 104.

(106) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899 Bài giải. Bảng xét dấu x. 0. y. 1. ∫ (−x. S =−. 2. –. 3. ). + 4x − 3 dx +. ∫ (−x. 0. 2. 1. 3. 0. +. 0. ). + 4x − 3 dx. 1 1. 3.  3  3   8  x  x = − − + 2x 2 + 3x  + − + 2x 2 + 3x  = .  3  3   3  0  1 Vậy S =. 8 (đvdt). 3. HT 4.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x 3 + 11x − 6, y = 6x 2 , x = 0, x = 2 Bài giải Đặt h (x ) = (x 3 + 11x − 6) − 6x 2 = x 3 − 6x 2 + 11x − 6. h(x ) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3 (loại).. Bảng xét dấu x h(x). 1. ∫ (x. S =−. 3. 2. 2. ). − 6x + 11x − 6 dx +. 0. ∫ (x. 3. 0. 1 –. 2. 0. +. 0. ). − 6x 2 + 11x − 6 dx. 1 1. 2.  4   4  11x 2 11x 2 5 x x = −  − 2x 3 + − 6x  +  − 2x 3 + − 6x  = .  4  2 2 2   0  4  1 Vậy S =. 5 (đvdt). 2. HT 5.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x 3 + 11x − 6, y = 6x 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 105.

(107) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899 Bài giải. Đặt h (x ) = (x 3 + 11x − 6) − 6x 2 = x 3 − 6x 2 + 11x − 6. h(x ) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3 . Bảng xét dấu. 2. S=. ∫ (x. 3. 1. h(x). 0. 2 +. 3. ). 2. x. − 6x + 11x − 6 dx −. ∫ (x. 1. 3. 3. 0. –. 0. ). − 6x 2 + 11x − 6 dx. 2 2. 3.  4    11x 2 11x 2 1 x x 4 =  − 2x 3 + − 6x  −  − 2x 3 + − 6x  = .  4  2 2 2    1  4 2 Vậy S =. 1 (đvdt). 2. HT 6.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 3 , y = 4x . Bài giải Phương trình hoành độ giao điểm:. x 3 = 4x ⇔ x = −2 ∨ x = 0 ∨ x = 2 0. ⇒S =. ∫ (x. 3. 2. ). − 4x dx +. −2.  4  x x − 4x dx =  − 2x 2   4  . ∫( 0. ). 3. 0. −2.  4  x +  − 2x 2   4  . 2. =8. 0. Vậy S = 8 (đvdt). HT 7.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 − 4 x + 3 và trục hoành. Bài giải Phương trình hoành độ giao điểm: x =1 t = 1 x = ± 1 x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 3 = 0, t = x ≥ 0 ⇔  ⇔  ⇔  t=3 x = ±3 x =3    3. ⇒S =. ∫. 3 2. x − 4 x + 3 dx = 2. −3. ∫. x 2 − 4x + 3 dx. 0.  1  3   2 2  =2 x − 4x + 3 dx + x − 4x + 3 dx     0  1  . ∫(. ). ∫(. ). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 106.

(108) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899.  1 3   3    x 3   x  = 2   − 2x 2 + 3x  +  − 2x 2 + 3x     3  0  3  1  Vậy S =.   16  . = 3  . 16 (đvdt). 3. HT 8.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 − 4x + 3 và y = x + 3 . Bài giải Phương trình hoành độ giao điểm:.  x + 3 ≥ 0  x 2 − 4x + 3 = x + 3 ⇔ x 2 − 4x + 3 = x + 3 ⇔   2 x − 4x + 3 = −x − 3. x = 0  x = 5 . . Bảng xét dấu x. 0. 1 +. x 2 − 4x + 3 1. ⇒S =. ∫ (x. 2. ). 3. − 5x dx +. 0. ∫ (−x. 2. ). + 3x − 6 dx +. 1. 1. 3. 0. –. 5. ∫ (x. 2. 0. 5 +. ). − 5x dx. 3. 3. 5.  3   3   3  5x 2  3x 2 5x 2  109 x  −x x =  − + − 6x  +  − .  +   =    3      2  2 2  6   3  1  3 0 3 Vậy S =. 109 (đvdt). 6 . HT 9.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 − 1 , y = x + 5 . Bài giải Phương trình hoành độ giao điểm:. x 2 − 1 = x + 5 ⇔ t 2 − 1 = t + 5, t = x ≥ 0 t = x ≥ 0  t = x ≥ 0  ⇔ t 2 − 1 = t + 5 ⇔  ⇔ x = ±3  t = 3 2   t − 1 = −t − 5  . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 107.

(109) GV. Lưu Huy Thưởng 3. ⇒S =. ∫. (. 2. 0968.393.899 3. ). x − 1 − x + 5 dx = 2. −3. ∫. x 2 − 1 − (x + 5) dx. 0. Bảng xét dấu x. 0. x2 − 1 1. ∫(. 3. ). −x 2 − x − 4 dx +. ⇒S =2. 0. ∫ (x. 2. 1 –. 0. 3 +. ). − x − 6 dx. 1. 1. 3.  3  3   x2 x2 73  −x x = 2  − − 4x  +  − − 6x  = .  3  2 2 3   3    0 1 Vậy S =. 73 (đvdt). 3. HT 10.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x , y = 0, y = 2 − x 2 . Bài giải Ta có: y = 2 − x 2 ⇔ x = 2 − y 2 , x ≥ 0 . Phương trình tung độ giao điểm: y = 2 − y 2 ⇔ y = 1 . 1. ⇒S =. ∫. 1 2. 2 − y − y dy =. 0. 0. π 4. =. 1. ∫ 2 cos. 2. tdt −. 0. Vậy S =. ∫ 0. . ∫ .  2 − y 2 − y dy . π.   4 y2 1 ydy = t + sin 2t  −   2 2 0. 1. . 0. π (đvdt). 4. HT 11.Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C ) : x 2 + y 2 = R2 quay quanh Ox. Bài Giải Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x 2 = R2 ⇔ x = ±R . Phương trình (C ) : x 2 + y 2 = R2 ⇔ y 2 = R2 − x 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 108.

(110) GV. Lưu Huy Thưởng R. ⇒V = π. ∫ (R. R. 2. −x. −R. Vậy V =. 0968.393.899. 2. )dx = 2π ∫ (R. 2. −x. 2. 0. ). R.   x3  4πR 3  dx = 2π R2x −  = .  3  3  0. 4πR 3 (đvtt). 3. HT 12.Tính thể tích hình khối do ellipse (E ) :. x2 a2. +. y2 b2. = 1 quay quanh Oy.. Bài Giải. Tung độ giao điểm của (E) và Oy là. Phương trình (E ) :. b. ⇒V = π. ∫. −b. Vậy V =. x2. +. a2. y2 b2. y2. = 1 ⇔ y = ±b .. b2. = 1 ⇔ x 2 = a2 −.    2 a 2y 2  a −   dy = 2π b 2  . b. ∫ 0. a 2y 2 b2.     a 2y 3   2 a 2y 2   2 a − dy = π a y − 2        b 2  3b 2  . R. = 0. 4πa 2b . 3. 4πa 2b (đvtt). 3. HT 13.Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 , y 2 = x quay quanh Ox. Bài Giải x ≥ 0 x = 0  Hoành độ giao điểm:  4 . ⇔  x = x x =1    1. ⇒V = π. ∫. 1. 4. x − x dx = π. 0. Vậy V =. ∫( 0. 1. 1 1  3π . x − x dx = π  x 5 − x 2  =   5 2 0 10 4. ). 3π (đvtt). 10. HT 14.Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = −y 2 + 5 , x = 3 − y quay quanh Oy. Bài Giải. y = −1 Tung độ giao điểm: −y 2 + 5 = 3 − y ⇔  . y = 2 2. ⇒V = π. ∫ (−y. −1. 2. ). +5. 2. − (3 − y ) dy = π 2. 2. ∫ (y. 4. ). − 11y 2 + 6y + 16 dy. −1. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 109.

(111) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899 2.  5  11y 3 153π y = π  − + 3y 2 + 16y  = .  5  3 5   −1 Vậy V =. 153π (đvtt). 5. HT 15.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình sau 1) y = sin x , y = 0 , x = 0, x = 2π. 15) x =. 3. 2) y = x , y = 0 , x = −1, x = 2. 2 y. 3) y = x 2 − 2x, y = −x 2 + 4x. 1. ,x =. 2. 8 − y2. , y = 2 (y ≥ 0). 16) y = (2 + cos x ) sin x , y = 0 , x =. 3. 4) y = x , y = 4x , x = −1, x = 2 5) y = −x 2 − 5, y = −6x , x = 0, x = 1. 17) y = x 1 + x 2 , y = 0 , x = 1. 6) y = −x 2 − 2, y = −3x , x = 0, x = 2. 18) y =. , y = 0 , x = 1, x = e. 2 x. 2. 7) y = −x − 2x, y = −x − 2. 1 + ln x , y = 0 , x = 1, x = e x 20) y = 0, y = ln x , x = 2, x = e. 8) y = x 3 − 2x 2 − x + 2 và trục hoành. 19) y =. 3. 9) y = x − 2x 2 − x + 2 và trục hoành 10) y = 4 −. ln x. π 3π , x= 2 2. 1. 21) y =. x2 x2 , y= 4 4 2. ,y =. 2. sin x. 1 2. cos x. ,x=. π π , x= 6 3. 11) y = − 4 − x 2 , x 2 + 3y = 0. 22) y = x , y = 4x , y = 4 23) y = x (x + 1)(x − 2), y = 0 , x = −2, x = 2. 12) y = x 2 − 4x + 3 , y = 3. 24) y = xex , y = 0 , x = −1, x = 2. 13) y = x 2 − 4 x + 3 , y = 0. 25) y 2 = 4x , x − y + 1 = 0 , y = 0. 2. 26) x − y 3 + 1 = 0, x + y − 1 = 0, y = 0. 3. 14) x = y, x =. 2. 4 − y2 Bài giải 2π. 1) S =. ∫. sin x dx =. ∫ sin xdx + ∫ sin xdx. 0. 0. 2. 2) S =. ∫. 2π. π. x dx =. −1. π 0. + − cos x. 2π. = 4 (đvdt).. π. π. 0 3. = − cos x. 2. ∫ x dx + ∫ 3. −1. 0. x4 x dx = 4. 0. 3. −1. x4 + 4. 2. = 0. 17 (đvdt). 4. 3) x 2 − 2x = −x 2 + 4x ⇔ x = 0 ∨ x = 3 3. ⇒S =. ∫ (x 0. 3 2. 2. − 2x ) − (−x + 4x ) dx =. ∫ 0.  3   2x (2x − 6x )dx =  − 3x 2   3  . 3. 2. = 9(đvdt). 0. 4) x 3 − 4x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 ∨ x = −2 (loại).. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 110.

(112) GV. Lưu Huy Thưởng 2. ⇒S =. ∫. 0. 2. ∫ (x. 3. x − 4x dx =. −1. Vậy S =. 0968.393.899. 3. − 4x )dx +. −1. ∫ 0.  4  x (x − 4x )dx =  − 2x 2   4  . 0. 3. −1.  4  x +  − 2x 2   4  . 2. . 0. 23 (đvdt). 4. 5) x 2 − 6x + 5 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 5 (loại). 1. ⇒S =. ∫. 1. ∫. 2. x − 6x + 5 dx =. 0. Vậy S =. 0. 1.  3  x (x − 6x + 5)dx =  − 3x 2 + 5x  .  3   0 2. 7 (đvdt). 3. 6) x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 . 2. ⇒S =. ∫. 1. 2. ∫ (x. 2. x − 3x + 2 dx =. 0. 2. − 3x + 2)dx +. 0. ∫ (x. 2. − 3x + 2)dx. 1. 1. 2.  3  3   3x 2 3x 2 x x =  − + 2x  +  − + 2x  = 1(đvdt).  3  2 2     3 0 1 7) −x 2 − 2x = −x − 2 ⇔ x = −2 ∨ x = 1 . 1. ⇒S =. ∫. −2. Vậy S =. 1.   x 3 x 2 x + x − 2 dx = (x + x − 2)dx =  + − 2x  .  2  3   −2 −2 1. 2. ∫. 2. 9 (đvdt). 2. 8) x 3 − 2x 2 − x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = ±1 . 2. ⇒S =. ∫. 1. x 3 − 2x 2 − x + 2 dx =. −1. ∫. 2. (x 3 − 2x 2 − x + 2)dx +. −1 1. ∫ (x. 3. − 2x 2 − x + 2)dx. 1 2.  4   4  2x 3 x 2 2x 3 x 2 x x =  − − + 2x  +  − − + 2x  .  4  3 2 3 2   −1  4  1 Vậy S =. 37 (đvdt). 12. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 111.

(113) GV. Lưu Huy Thưởng. 9) x. 3. 0968.393.899.  t = x ≥ 0 t = x ≥ 0  ⇔ t = 1 ⇔ − 2x 2 − x + 2 = 0 ⇔  3  t − 2t 2 − t + 2 = 0  t = 2  2. ⇒S =. 2. 3. ∫. 2. x − 2x − x + 2 dx = 2. −2. ∫ 2. ∫ (x. 3. 2. − 2x − x + 2)dx + 2. ∫ (x. 0. 4−. ∫. 4−. −2 2. 1. 0.  4  2x 3 x 2 x + 2  − − + 2x   3 2  4 . 2. = 3(đvdt). 1. ∫ 0. ∫ −2.   x2 x 2   4 − − dx =  4 4 2  . π 4.    x2 x 2   4 − − dx  4  4 2  2. 2 2. x2 x2 − dx = 4 4 2. 2 2. =2. − 2x 2 − x + 2)dx. x2 x2 = ⇔ x 4 + 8x 2 − 128 = 0 ⇔ x = ±2 2 4 4 2. 2 2. ⇒S =. 3. 1.  4  2x 3 x 2 x = 2  − − + 2x   4 3 2  . 10). x 3 − 2x 2 − x + 2 dx. 0. 1. =2. x = ±1  x = ±2 . . 2 2. ∫. 2 2. 1. 2. 16 − x dx −. 0. ∫ x dx 2. 2 2. 0. π. 2 2. 2 2.  4 1 1 x3 = 16 cos2 tdt − x 2dx = 8 t + sin 2t  −   2 2 2 3 0 2 2 0 0 0. 1. ∫. Vậy S = 2π +. ∫. .. 4 (đvdt). 3 2. 2. x x 11) x 2 + 3y = 0 ⇔ y = − ⇔ x 4 + 9x 2 − 36 = 0 ⇔ x = ± 3 ⇒ − 4 − x2 = − 3 3 3. ∫. ⇒S =. 4 − x2 −. − 3. 3. =2. ∫ 0. x2 dx = 2 3. 1 4 − x dx − 3 2. 3. ∫ 0.  x 2   2 4 − x −  dx  3  . π 3. 3. ∫ x dx 2. 0. =24. ∫ 0. 1 cos tdt − 3 2. 3. ∫ 0. π.   3 x3 1 x dx = 2 2 t + sin 2t  −   2 9 0. 3. 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. . 0. Page 112.

(114) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 4π + 3 (đvdt). 3. Vậy S =.  2 x − 4x + 3 = 3 12) x 2 − 4x + 3 = 3 ⇔  ⇔ x 2 − 4x + 3 = −3 .  x = 0 x = 4 . . Bảng xét dấu x. 0 +. x 2 − 4x + 3. 4. ⇒S =. ∫. 1. ∫ (x. 2. x − 4x + 3 − 3 dx =. 0. 2. ). − 4x dx +. 0 1. 1. 3. 0. –. 4. 0. +. 3. ∫ (−x. 2. ). + 4x − 6 dx +. 1. 4. ∫ (x. 2. ). − 4x dx. 3. 3. 4.      3  x 3 −x 3 x =  − 2x 2  +  + 2x 2 − 6x  +  − 2x 2  = 8(đvdt).  3     0  3  1  3  3 x =1 13) x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔  ⇔  x = 3. x = ± 1  .  x = ±3. Bảng xét dấu x. 0. x 2 − 4x + 3 3. ⇒S =. +. 0. 3 –. 0. 3. ∫. 2. x − 4 x + 3 dx = 2. −3.   = 2  . 1. x 2 − 4x + 3 dx. 0. 1. ∫ (x. ∫. 2. 3. ). − 4x + 3 dx −. 0.   x − 4x + 3 dx   . ∫( 1. 2. ).  1 3   3    x 3  x  2 2 = 2  − 2x + 3x  −  − 2x + 3x   .  3   3   1  0   Vậy S =. 16 (đvdt). 3. 14) Tung độ giao điểm y =. y = 1 , 0 ≤ y < 2 ⇔  y= 3 4 − y2  3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 113.

(115) GV. Lưu Huy Thưởng 3. ⇒S =. 3. 3. ∫. Vậy S = 1 −. 1. 2. 2. ∫. y2. 2.   3  − y  dy = …   2  4 −y . π 3 (đvdt). 6. 15) Tung độ giao điểm. 2 y2. −. 1. =. ⇔y =2. 8 − y2    2 1 dy = …  −  y 2 2  8 −y  2. 2. 1 8 − y2. Vậy S = 2 − 1 −. 16) S =. ∫. − y dy =. 4 − y2. 1. ⇒S =. 0968.393.899. dy =. ∫. π (đvdt). 12. 3π 2. π. π 2. π 2. 3π 2. ∫ (2 + cos x ) sin x dx = ∫ (2 + cos x ) sin xdx − ∫ (2 + cos x ) sin xdx π. 3π.     2 1 1 = − 2 cos x + cos 2x  + 2 cos x + cos 2x  = 3(đvdt).  4 4  π   π π. 2. 17) Hoành độ giao điểm x 1 + x 2 = 0 ⇔ x = 0 1. ⇒S =. 1. ∫. 2. x 1 + x dx =. ∫. 0. Vậy S =. 0. 1. ∫ 0. 1. 1 1 + x d(1 + x ) = (1 + x 2 )3 . 3 0 2. 2. 2 2 −1 (đvdt). 3 e. 18) S =. 1 x 1 + x dx = 2 2. ∫ 1. ln x. e. dx =. 2 x. 1.  ln x  dx  > 0 ∀x ∈ 1; e   .   2 x x. ln x. ∫2. Đặt t = ln x ⇒ x = et ⇒ dx = et dt x = 1 ⇒ t = 0, x = e ⇒ t = 1 1. 1. 1. ∫. ∫. 1   ⇒S = = td  et  = t et −   t 0 0 2 e 0 0. ∫. tet dt. et dt = e − 2 et. 1. . 0. Vậy S = 2 − e (đvdt).. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 114.

(116) GV. Lưu Huy Thưởng e. 1 + ln x dx = x. ∫. 19) S =. 1. 0968.393.899 e. 1 + ln x dx . x. ∫ 1. Đặt t = 1 + ln x ⇒ t 2 = 1 + ln x ⇒ 2tdt =. dx x. x = 1 ⇒ t = 1, x = e ⇒ t = 2 2. ⇒S =. ∫. 2. t.2tdt =. ∫. 1. 2. 2t 2dt =. 1. 2 3 t . 3 1. 4 2 −2 (đvdt). 3. Vậy S =. e. ∫. 20) S =. e. ln x dx =. 2. e e. ∫ ln xdx = x ln x 2 − ∫ dx . 2. 2. Vậy S = 2 − 2 ln 2 .. 1. 21). cos x π 3. ⇒S =. =. ∫ π 6. sin x. 2. cos x. π 6.   . ⇔x =. 2. 1. ∫ π 4. 1. =. 2. π 4. 1. −. π  π π  ∈ ; 4  6 3 . dx =. 2. sin x. ∫. 1 1  dx + − cos2 x sin2 x . π. π 6 π 3. ∫ π 4. 1 2. cos x. −. 1 2. π 3. dx +. sin x. ∫ π 4. 1 2. cos x. −. 1 sin2 x. dx.  1 1  dx −   cos2 x sin2 x . π. = (tgx + cotgx ) 4 + (tgx + cotgx ) 3 . π 6. Vậy S =. π 4. 8 3 − 12 (đvdt). 3.  2 x = 0 y = x 22) Tọa độ giao điểm  ⇔  2 y = 0 y = 4x  x = y  2  y = x Ta có:  ⇔  1 2 y y = 4x x = 2 . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 115.

(117) GV. Lưu Huy Thưởng 4. ∫. ⇒S =. 0. Vậy S =. 0968.393.899 4. 3    y − 1 y dy = y   2  3. . 0. 8 (đvdt). 3. 2. ∫. 23) S =. x (x + 1)(x − 2) dx. −2 −1. =. ∫(. 0. ). x 3 − x 2 − 2x dx +. −2. ∫(. ). x 3 − x 2 − 2x dx +. −1. 2. ∫ (x. 3. ). − x 2 − 2x dx. 0. −1. 0. 2.  4   4   4  x3 x3 x3 x x x =  − − x 2  +  − − x 2  +  − − x 2  .  4   3 3 3   −2  4  −1  4  0 Vậy S =. 37 (đvdt). 6 2. 2. ∫. 24) S =. x. xe dx =. −1. Vậy S =. ∫. 0. x. xe dx −. ∫. xex dx = (x − 1)e x. −1. 0. 2 0. − (x − 1)e x. 0 −1. .. e 3 + 2e − 2 (đvdt). e.   2 x = 1 y 2 1 y = 4x 25)  ⇒ y2 = y − 1 ⇔ y = 2 ⇔   4 x − y + 1 = 0  4  x = y − 1 2. ⇒S =. ∫ 0. Vậy S =. 1 2 1 y − (y − 1) dy = 4 4. 2. ∫( 0. 2.   1 y 3 y − 4y + 4 dy =  − 2y 2 + 4y  . 4  3  2. ). 0. 2 (đvdt). 3. x − y 3 + 1 = 0 x = y 3 − 1 ⇒ y3 − 1 = 1 − y ⇔ y3 + y − 2 = 0 ⇔ y = 1 26)  ⇔  x + y − 1 = 0 x = 1 − y   1. ⇒S =. ∫( 0. Vậy S =. 1. 1  1 y 3 + y − 2 dy =  y 4 + y 2 − 2y  .  4 2  0. ). 5 . 4. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 116.

(118) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 16.Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi các đường 1) y = 3x , y = x , x = 0, x = 1 quay quanh Ox 6) ellipse (E ) :. x 2 y2 + = 1 quay quanh Ox 16 9. 3) y = (x − 1) , x = 2 và y = 0 quay quanh Ox. 7) ellipse (E ) :. x2 x2 + = 1 quay quanh Oy 16 9. 4) y 2 = 4 − x , x = 0 quay quanh Oy. 8) y = x 2 + 2, y = 4 − x 2 quay quanh Ox. 5) (C ) : x 2 + (y − 4)2 = 4 quay quanh Oy. 9) y = x 2 , y = x quay quanh Ox. 2) y =. x2 , y = 2 , y = 4, x = 0 quay quanh Oy 2. 2. 3. 10) y = − 4 − x 2 , x 2 + 3y = 0 quay quanh Ox Bài giải. 1. 1) V = π. ∫ (3x ). 2. 1 2. − x dx = 8π. 0. Vậy V =. ∫ 0. 8πx 3 x dx = 3. 1. 2. . 0. 8π (đvtt). 3. x2 2) Ta có y = ⇔ x 2 = 2y ⇒ V = π 2. 4. ∫. 4 2. x dy = π. 2. ∫. 4. 2ydy = π y 2 . 2. 2. Vậy V = 12π (đvtt). 2 3. 3) Ta có (x − 1) = 0 ⇔ x = 1 ⇒ V = π. 2. ∫ y dx = π ∫ 2. 1. Vậy V =. 1. 2. (x − 1)4 (x − 1) dx = π . 4 3. 1. π (đvtt). 4. y 2 = 4 − x x = 4 − y 2 4) Ta có  ⇔  ⇒ y = ±2 x = 0 x = 0   2. ⇒V = π. ∫ (4 − y ) 2. −2. Vậy V =. 2. 2.   8y 3 y 5   dy = 2π 16y − +  .  3 5   0. 512π (đvtt). 15. 5) Tung độ giao điểm (C ) : x 2 + (y − 4)2 = 4 và Oy:. y − 4 = 2 (y − 4)2 = 4 ⇔  ⇔ y − 4 = −2 . y = 6  y = 2 . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 117.

(119) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899 6.  3   y   ⇒ V = π x dy = π 4 − (y − 4)2  dy = π − + 4y 2 − 12y  .  3     2 2 2 6. ∫. 6. ∫. 2. Cách khác:. Hình khối tròn xoay là hình cầu bán kính R = 2 nên V =. 6) Hoành độ giao điểm (E ) :. Ta có:. x 2 y2 + = 1 và Ox là x = ±4 . 16 9. x 2 y2 9 + = 1 ⇔ y2 = 16 − x 2 16 9 16. (. 4. ⇒V = π. ∫. −4. 9π y dx = 16 2. 32π 4π 23 . Vậy V = (đvtt). 3 3. ) 4. 4. ∫. −4.   9π  x 3  − (16 − x )dx = 16 x .   8  3  2. 0. Vậy V = 48π (đvtt). 7) Tung độ giao điểm (E ) :. x 2 y2 + = 1 và Oy là y = ±3 . 16 9. x 2 y2 16 + = 1 ⇔ x2 = 9 − y2 16 9 9. (. 4. ⇒V = π. ∫. −4. 16π x dy = 9 2. 3. ∫. −3. ) 3.   32π  y 3  (9 − y )dy = 9y −  . 9  3  2. 0. Vậy V = 64π (đvtt). 8) Hoành độ giao điểm x 2 + 2 = 4 − x 2 ⇔ x = ±1 1. ⇒V = π. ∫ (x. 2. ) − (4 − x ). +2. 2. 2. 2. 1. dx = 24π. −1. ∫ 0. 1.  3  x x − 1 dx = 24π  − x  .  3   0 2. Vậy V = 16π (đvtt). 9) Hoành độ giao điểm x 2 = x ⇔ x 4 = x ⇔ x = 0 ∨ x = 1 1. ⇒V = π. ∫. 1. 4. x − x dx = π. 0. Vậy V =. ∫( 0. 1.  5  x2  x x − x dx = π  −  .  5 2   0 4. ). 3π (đvtt). 10. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 118.

(120) GV. Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 10) Hoành độ giao điểm − 4 − x 2 = −. 3. ⇒V = π. ∫ (4 − x ) 2. − 3. Vậy V =. x4 2π − dx = 9 9. x2 ⇔ x2 = 3 ⇔ x = ± 3 3. 3. ∫ (36 − 3x 0. 3. −x. 4. ). 2π dx = 9.   x 5   3 36x − 3x −  5   0. 3. .. 28π 3 (đvtt). 5. Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các bạn học sinh đã đọc tài liệu này! Mọi sự góp ý xin gửi về: Toàn bộ tài liệu ôn thi môn toán của Lưu Huy Thưởng ở địa chỉ sau: . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 119.

(121)

Bạn đang chuyển đến trang download file PDF tài liệu

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về