ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKI- TOÁN 11- TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Xuctu.com

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HKI- TỐN 11- TỔ HỢP – XÁC SUẤT </b>

<b>PHẦN A: TỔ HỢP </b>

<b>I. Quy tắc đếm: </b>

<b>1. Quy tắc cộng: </b>

Một cơng việc nào đó có thể được thực hiện theo k phương án khác nhau mà mỗi

phương án có số cách thực hiện lần lượt là n1, n2, ..., nk. Nếu các phương án là độc lập với

nhau tức là khơng có cách thực hiện nào xuất hiện trong hai phương án trở lên thì cơng việc

đó có n = n1 + n2 + .. + nk<b> cách thực hiện. </b>

<b>2. Quy tắc nhân: </b>

Một công việc nào đó có thể được thực hiện lần lượt qua k giai đoạn để hoàn thành.

Nếu giai đoạn thứ i có ni cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có ni+1 cách thực hiện giai

đoạn tiếp theo thì cơng việc đó có n = n1.n2...nk cách thực hiện.

Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 2

con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố A đến C có 4 con

đường. Khơng có con đường nào nối thành phố B với D hoặc nối A đến D. Hỏi có tất cả bao

nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D?

ĐS: có 20 cách.

Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 200000, chia hết cho 3, có thể được viết bởi các chữ

số 0, 1, 2?

ĐS: Có 2.34_{= 162 (số)}

Bài 3: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

a) gồm 3 chữ số.

b) gồm 4 chữ số khác nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

d) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

ĐS: a) 6.7.7 = 294 b) 6.6.5.4 = 720 c) 6.5.4.3 + 3.5.5.4.3 = 1260 d) 6.5.4.3.2 + 5.5.4.3.2 =

1320

Bài 4: Có 20 đội bóng đá tham gia tranh cúp vô địch ngoại hạng Anh. Cứ 2 đội phải đấu với

nhau 2 trận gồm lượt đi và lượt về. Hỏi có bao nhiêu trận đấu? Nếu mỗi vòng đấu là mỗi đội

đã đá thêm một trận thì có mấy vịng đấu?

ĐS: có 20.19 = 380 trận, 38 vịng đấu

Bài 5: a. Một bó hoa gồm có: 5 bơng hồng trắng, 6 bơng hồng đỏ và 7 bơng hồng vàng. Hỏi có

mấy cách chọn lấy 3 bông hoa gồm đủ ba màu?

b. Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau mà các chữ số đều khác nhau?

ĐS: a. 5.6.7 = 210. b. 15.

Bài 6: a. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?

b. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?

c. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì

giống nhau?

d. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho cả 2 và 5

ĐS: a. 168. b. 20 c. 900 d. 72.

Bài 7: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu

vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo và cà vạt nếu:

a. Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?

b. Đã chọn áo trắng thì khơng chọn cà vạt màu vàng?

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>II. Hoán vị: </b>

<b>1. Khái niệm giai thừa: n! = n(n – 1)....2.1 </b>

Qui ước: 0! = 1

Tính chất: n! = (n – 1)!n

<b>2. Hốn vị (khơng lặp): Cho tập hợp gồm n phần tử, n là số nguyên dương, mỗi cách xếp n </b>

phần tử này theo một thứ tự nào đó gọi là một hoán vị của n phần tử.

Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n!

<b>3. Hoán vị lặp: Cho tập hợp gồm k phần tử a</b>1, a2, ..., ak, k là số nguyên dương. Một cách sắp

xếp n phần tử trong đó gồm n1 lần lặp phần tử a1, n2 lần lặp phần tử a2, …, nk lần lặp phần tử

ak sao cho n1 + n2 + …+ nk = n, theo một thứ tự nào đó được gọi là một hốn vị lặp cấp n và

kiểu (n1, n2, …, nk) của k phần tử.

Số hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, …, nk) của k phần tử là

Pn(n1, n2, …, nk) =

1 2 k
n!
n !n !...n !

Chứng minh: giả sử ta có n phần tử thì ta có n! hốn vị nếu khơng lặp, trong đó nếu có n1

phần tử a1 giống nhau thì trong n! hốn vị có n1! lần trùng lặp cách sắp xếp do ta đổi chổ n1

phần tử giống nhau. Chứng minh tương tự thì nếu có n2 phần tử a2 giống nhau thì số lần

trùng lặp cách sắp xếp nhân thêm n2!. Như vậy nếu a1, a2, ..., ak lần lượt lặp lại n1, n2, ..., nk lần

thì số lần trùng lặp trong tồn bộ cách sắp xếp nói trên là n1!n2!...nk!. Nếu ta gọi Pn(n1, n2, …,

nk) là số cách sắp xếp khác nhau cần tìm thì n1!n2!...nk!Pn(n1, n2, …, nk) = n!. Từ đó suy ra cơng

thức nói trên.

<b>Ví dụ: Nếu có 2 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh thì có bao nhiêu cách xếp tất cả bi thành một dãy </b>

5 bi?

Mỗi cách xếp 5 bi nói trên là hốn vị lặp cấp 5 kiểu (2, 3) của 2 phần tử bi đỏ và xanh.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>4. Hốn vị vịng: Cho tập hợp gồm n phần tử, n là số nguyên dương, mỗi cách xếp n phần tử </b>

này theo một thứ tự trên một vịng trịn kín là một hốn vị vịng của n phần tử.

Số các hốn vị vòng của n phần tử là: Qn = (n – 1)!

Chứng minh: Nếu xếp thành vịng trịn thì khơng phân biệt được vị trí dầu và vị trí cuối so

với hốn vị khơng vịng. Trên vịng trịn ta phải có chiều quy ước để xét thứ tự. Nếu lấy một

vị trí bất kì trên vịng làm điểm đầu tách ra khỏi đi thì ta được một cách sắp xếp của hốn

vị khơng vịng theo thứ tự đã quy ước. Như vậy ta có thể tách ở n vị trí khác nhau trên vịng

tạo thành n hốn vị khác nhau khơng vịng. Trong khi đó tất cả những hốn vị đó trên vịng

trịn thì lại chỉ tính là một cách sắp xếp nên số hốn vị vịng nhỏ hơn số hốn vị khơng vịng n

lần. Gọi Qn là số hốn vị vịng thì ta được nQn = n!. Từ đó ta suy ra cơng thức đã cho.

<b>Ví dụ: Có 4 người tham gia hội nghị bàn trịn có đúng 4 ghế bố trí cách đều nhau. Vậy số </b>

cách xếp 4 người này vào bàn tròn là 3! = 6 cách. Để dễ dàng kiểm chứng ta gọi tên 4 người là

A, B, C, D thì 6 cách trên bao gồm các thứ tự sau: ABCD, ADCB, ACBD, ADBC, ABDC,

ACDB.

Bài 1: Chứng minh rằng

a) Pn – Pn–1 = (n – 1)Pn–1. b) Pn = (n – 1)Pn–1 + (n – 2)Pn–2 + ... + 2P2 + P1 + 1

c) 1 1 1 1 ... 1 3
1! 2! 3! n!

+ + + + + < d)

2

n 1 1

n! =(n 1)!− +(n−2)!

Bài 2: Giải phương trình: x! (x 1)! 1
(x 1)! 6

− − ₌

+

ĐS: x = 2; x = 3

Bài 3: Giải bất phương trình: 1 5 . (n 1)! n.(n 1)! 5

n 2 n 1 (n 3)!4! 12(n 3).(n 4)!2!

+ −

 

− ≤

 

−  + − − −  (1)

ĐS: n = 4, n = 5, n = 6

Bài 4: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các

số đó có bao nhiêu số:

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

b) Không bắt đầu bằng chữ số 1?

c) Bắt đầu bằng 23?

d) Không bắt đầu bằng 345?

ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2!

Bài 5: Với mỗi hoán vị của các số 1, 2, 3, 4 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả các số tự

nhiên có được từ các hoán vị của 4 phần tử trên?

ĐS: Tổng tất cả các số là: 3! (1 + 2 + 3 + 4).(1 + 10 + 100 + 1000) = 66660

Bài 6: Trên một kệ sách có 5 quyển sách Tốn, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển

sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:

a) Một cách tuỳ ý?

b) Theo từng môn?

ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!)

Bài 7: Có 4 học sinh nam là A1, A2, A3, A4 và 2 học sinh nữ B1, B2 được xếp ngồi xung quanh

một bàn trịn có 7 chổ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

a) Một cách tuỳ ý?

b) A1 không ngồi cạnh B1?

ĐS: a) Q6 = 5! b) 3(4!)

Bài 8: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số

1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?

ĐS: 2 3

7 7

8! 7!

C 5! 4C 4! 5880
3!−3!= + =

Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số

này bằng 9.

ĐS: có ba bộ số thỏa mãn điều kiện là {1, 2, 6}; {1, 3, 5}; {2, 3 ,4}. Số các số cân tìm là 3.(3!) = 18

Bài 10: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

ĐS: 480.

Bài 11: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài có 5

chỗ ngồi sao cho:

a. Bạn C ngồi chính giữa?

b. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?

ĐS: a. 24. b. 12.

Bài 12: Một hội nghị bàn trịn có phái đồn của các nước: 5 người Mỹ, 4 người Nga, 3 người

Anh, 3 người Pháp, 2 người Đức. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao cho

người cùng quốc tịch ngồi gần nhau?

ĐS: 4976640.

<b>III. Chỉnh hợp: </b>

<b>1. Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phân tử, n là số nguyên dương. Từ đó chọn </b>

ra k phần tử sao cho k là số nguyên dương không lớn hơn n, đồng thời sắp k phần tử đó theo

thứ tự. Mỗi cách chọn như trên gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử.

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: k
n

n!

A n(n 1)...(n k 1)
(n k)!

= = − − +

−

Quy ước: 0
n
A = 1

<b>2. Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử, n là số nguyên dương. Một dãy gồm k phần tử </b>

của A sao cho k là số nguyên dương, trong đó mỗi phần tử có thể được chọn một hoặc nhiều

lần tùy ý, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của

n phần tử của tập A. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là k
n

A = nk<b>_.</b>

Bài 1: Chứng minh rằng

a. 2 2 2

2 3 n

1 1 1 n 1

...

A A A n

−

+ + + = với n là số nguyên dương lớn hơn 1

b. k k k 1
n n 1 n 1
A =A ₋ +k.A −₋

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Bài 2: Giải phương trình

a) 3
n

A = 20n b) 3 2
n n

A +5A = 2(n + 15) c) 2 2
n 2n

3A −A +42 = 0.

ĐS: a) n = 6 b) n = 3 c) n = 6

Bài 3: Tìm số nguyên dương n sao cho 2 2
n n n n
2P +6A −P A = 12

ĐS: n = 2; n = 3

Bài 4: Giải bất phương trình

a)

4
n 4

A 15

(n 2)! (n 1)!

+ _<

+ − b)

4
n 2

n 2 n 1

A 143

0

P 4P

+

+ −

− <

ĐS: a) n = 3; 4; 5 b) 2 ≤ n ≤ 36

Bài 5: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép

thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

ĐS: 86400

Bài 6: Trong không gian cho 10 điểm phân biệt trong đó khơng có 4 điểm nào tạo thành hình

bình hành. Từ các điểm trên ta lập được bao nhiêu vector khác nhau không kể vector khơng?

ĐS: 90

Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho

a) Các chữ số khác nhau?

b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau?

ĐS: a) 27216 b) 59049

Bài 8: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu

a) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?

b) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5?

ĐS: a. 1260 b. 1560

Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho

a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau?

ĐS: a) 900 b) 8100 c) 9.10 = 90

<b>IV. Tổ hợp </b>

<b>1. Tổ hợp (không lặp): </b>

Cho tập A gồm n phần tử, n là số nguyên dương. Mỗi tập con gồm k phần tử của A, k

là số nguyên dương không lớn hơn n, được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Số các tổ hợp chập k của n phần tử: k
n

n!
C

k!(n k)!
=

−

Chứng minh: so với chỉnh hợp cùng số k và n thì tổ hợp ln ít hơn chỉnh hợp k! lần vì

khi hốn vị k phần tử này ta được một chỉnh hợp mới chập k của n phần tử. Do đó k k
n n
k!C =A .

Từ đó suy ra cơng thức trên.

Qui ước: 0
n
C =1

Tính chất:

0 n
n n
C =C =1

k n k
n n
C =C −

k k 1 k
n n 1 n 1
C =C −₋ +C ₋

k k 1

n n

n k 1

C C

k

−

− +
=

<b>2. Tổ hợp lặp: </b>

Cho tập A gồm n phần tử, n là số nguyên dương và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp

chập k của n phần tử là một cách chọn k phần tử chọn từ A khơng phân biệt thứ tự, trong đó

mỗi phần tử có thể lặp một hay nhiều lần.

Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử: k k n 1
n n k 1 n k 1
C =C _{+ −} =C −_{+ −}

Chứng minh: giả sử cứ mỗi phân tử thứ i trong tập A ta chọn ra ki lần sao cho tổng k1 +

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

chọn phần tử thứ i. Bây giờ ta quy ước cách chọn trên thành cách sắp xếp một chuỗi có k lần

xuất hiện số 1 và chèn số 0 vào sao cho các nhóm số 1 lần lượt có k1, k2, ..., kn số 1. Ví dụ:

11110100111 nghĩa là có 4 lần chọn phần tử thứ nhất, có 1 lần chọn phần tử thứ 2, 0 có lần nào

chọn phần tử thứ 3, có 3 lần chọn phần tử thứ 4. Như vậy trong chuỗi quy ước sẽ có (n – 1) số

0 ngăn cách thành n nhóm số 1, trong đó có k lần xuất hiện số 1 vì mỗi số 1 tương ứng với

một phần tử được chọn và số thứ tự phần tử được chọn là số thứ tự của nhóm. Một nhóm

trong đó có thể là rỗng nếu khơng có số 1 nào giữa hai số 0 liên tiếp. Như vậy mỗi một chuỗi

(n – 1 + k) số như trên tương đương một chỉnh hợp lặp chặp k của n phần tử. Chuỗi trên có

phân biệt vị trí trước và sau gồm hai phần là phần số 0 và phần số 1. Nếu ta chọn ra k vị trí

để đánh số 1 thì các vị trí cịn lại trong n + k – 1 vị trí sẽ phải là 0. Số cách chọn như vậy lại là

số tổ hợp chập k của n + k – 1 phần tử. Vậy số chỉnh hợp lặp có cơng thức như đã nêu trên.

3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:

Chỉnh hợp: có phân biệt thứ tự chọn phần tử nghĩa là chọn a1 rồi chọn a2 và chọn a2 rồi chọn

a1 được tính là hai cách khác nhau nếu a1 và a2 là khác nhau.

Tổ hợp: không phân biệt thứ tự chọn phần tử nghĩa là chọn a1 rồi chọn a2 và chọn a2 rồi chọn

a1 được tính là cùng một cách mặc dù a1 và a2 là khác nhau.

<b>Dạng 1: Rút gọn biểu thức tổ hợp </b>

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau

a. E1 = C .C .Cn_n n_2n n_3n b. E2 =

8 9 10
15 15 15
n 2

k 10

n n k 17

C 2C C

P

A .P C

+

−

+ +

+

ĐS: a. (3n)!/(n!)3 _{b. (n + 1)(n + 2) + 1}

Bài 2: Rút gọn biểu thức

E3 =

2 k n

1 n n n

n 1 k 1 n 1

n n n

C C C

C 2 ... k ... n

C C − C −

+ + + + +

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tổ hợp </b>

Bài 3: Chứng minh các hệ thức sau:

a) k p k p k
n n k n p

C .C −₋ =C .C _{(k ≤ p ≤ n)} _b)Cr_n nCr 1_{n 1}
r

−
−

=

Bài 4: Chứng minh các hệ thức sau:

a) m 1 m 1 m m 1

n n n n 2

C + +C − +2C =C ₊+ b) k k 1 k 2 k 3 k

n n n n n 3

C +3C − +3C − +C − =C ₊ (3 ≤ k ≤ n)

Gợi ý: Sử dụng tính chất k 1 k k
n n n 1
C − +C =C ₊

Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau:

a) k k 1 k 2 k 3 k 4

n n n n n n 4

C +4C − +6C − +4C − +C − =C ₊ k (4 ≤ k ≤ n)

b) p p 1

n 1 n

n 1

C C

p

−
+ = +

c) k k 2

n n 2

k(k 1)C− =n(n 1)C− −₋ ( 2 < k < n)

Bài 6: Chứng minh các hệ thức sau:

a) 0 p 1 p 1 p 0 p
r q r q r q r q

C .C +C .C − + +... C .C =C₊

b) 0 2 1 2 n 2 n

n n n 2n

(C ) +(C ) + +... (C ) =C

c) 0 2 4 2p 1 3 2p 1 2p 1

2p 2p 2p 2p 2p 2p 2p

C +C +C + +... C =C +C + +... C − =c −

d) 1 2 3 p p p p

n n n n n 1

1 C− +C −C + + −... ( 1) C = −( 1) C ₋

Gợi ý: a) Sử dụng (1 + x)r_{.(1 + x)}q_{= (1 + x)}r+q_{. So sánh hệ số của x}p_{ở 2 vế.}

b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n

c) Sử dụng (x + y)2p_{và (x – y)}2p_.

d) Sử dụng r r 1 r
n n 1 n 1

C =C−₋ +C ₋ _{, với r lẻ thì nhân 2 vế với –1.}

<b>Dạng 5: Giải phương trình, bất phương trình có chứa tổ hợp </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

a)

4
n
3 n 4
n 1 n

A 24

A ₊ −C − = 23 b) x₄ x₅ x₆

1 1 1

C −C =C
c) x 1 x 2 x 3 x 10

x x x x

C − +C − +C − + +... C − =1023

ĐS: a) n = 5 b) x = 2 c) x = 10

Bài 8: Giải các phương trình sau:

a) x 4 2x 10
10 x 10 x

C +₊ =C ₊− _b) 2 x 2 1
4 3 3

y −C .y C .C+ =0 _c) 2 x 2
x 2 x

A ₋ +C − =101

d) x 3 3
8 x x 6

C ₊+ =5A ₊ e) 1 2 3

x x x

C +6C +6C – 9x² + 14 = 0

ĐS: a) x = 14, x = 8 b) y = 3, x = 2 c) x = 10 d) x = 17 e) x = 7

Bài 9: Giải các bất phương trình:

a)

n 3
n 1
4

n 1 3

C 1

A 14P

−
−

+

< b) n 5 k 2

n 3

P
60A
(n k)!
+
+
+
≤

− c)

4 3 2

n 1 n 1 n 2
5

C C A 0

4

− − − − − <

ĐS: a) n ≥ 6

b) Xét với n ≥ 4: bpt vô nghiệm; các nghiệm (n, k) là (0; 0), (1; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3)

c) n = 6; 7; 8; 9; 10

Bài 10: Giải các phương trình và bất phương trình:

a. x 2 3

x 1 x 1

C −₊ +2C ₋ = 7(x – 1) b. 3 x 2
x x

A +C − =14x. c. 5 x 5
x x 2
A =336C −₋ .

d. 2x 2x 4
28 24

11C =225C − . _e. 4 3 2
n 1 n 1 n 2

5

C C A 0.

4

− − − − − < f.

n 3
n 1
4

n 1 3

C 1

A 14P
−
−
+
< .

g. 2 2
x 1 x

2C ₊ +3A <30. h. 2 2 3
2x x x

1 6

A A C 10.

2 − ≤x +

ĐS: a. x = 5. b. x = 5. c. x = 8. d. x = 7. e. 5 ≤ n < 11

f. n > 6 g. x = 2. h. x = 3, x = 4.

Bài 11: Giải các hệ phương trình:

a)

y y 1
x 1 x
y y 1
x 1 x

5C 6C
C 3C
+
+
−
+
 ₌


=
 b)

y y 1
x x

y y 1
x x

C C 0

4C 5C 0

+
−
 ₋ ₌


− =


ĐS: a) (8; 3) b) (17; 8)

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

a.

y y
x x
y y
x x
2A 5C 90
5A 2C 80

 ₊ ₌




+ =

 b.

x x
y y 2

x x
y y

3C C

24C A

+

 ₌




=

 c.

3 1

x x

lg(3C ) lg C 1

x 3y 6

 ₋ _≤



− ≤



ĐS: a. x = 5, y = 2. b. x = 4, y = 8. c. 3 ≤ x ≤ 6; x, y đều là số nguyên dương

Bài 13: Tìm số tự nhiên k sao cho k k 1 k 2
14 14 14

C , C + , C + _{lập thành một cấp số cộng.}

ĐS: k = 4; 8.

<b>TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT-2019 </b>

<b>Bộ phận bán hàng: </b>

<b>0918.972.605 </b>

<b>Đặt mua tại: </b>

<b> />

<b> /><b>8</b>

<b>Xem thêm nhiều sách tại: </b>

<b> />

<b>Hổ trợ giải đáp: </b>

<b></b>

<b>Xem video giới thiệu bộ sách và các tính năng tại: </b>

<b> />

<b>Đọc trước những quyển sách này tại: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>Dạng 6: Tìm số tổ hợp trong các bài toán số học </b>

Bài 14: Cho 20 câu hỏi, trong đó có 8 câu lý thuyết và 12 bài tập. Người ta cấu tạo thành các

đề thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 5 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 2 câu

lý thuyết và 2 bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi?

ĐS: 9856

Bài 15: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm

muốn chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:

a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý.

b) Có 2 nam và 2 nữ.

c) Có ít nhất một em nam.

d) Có ít nhất một nam và một nữ.

ĐS: a) 91390 b) 31500 c) 90025 d) 77375.

Bài 16: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3

tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán một tem thư.

Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?

ĐS: 1200.

Bài 17: Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu

cách lấy được:

a. 4 viên bi cùng màu? b. 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh?

ĐS: a. 20. b. 150.

Bài 18: Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8

chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, chữ số khác có mặt đúng một lần.

ĐS: 544320.

Bài 19: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiêu số

a. Chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chữ số đứng đầu là chữ số 2?

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

ĐS: a. 360. b. 2448.

Bài 20:

a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đơi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng

khơng có chữ số 1.

b. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có

mặt đúng 3 lần và các chữ số cịn lại có mặt khơng q một lần.

ĐS: a. 33600 b. 11340.

Bài 21: Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 sao cho trong mỗi số được

viết có một chữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số còn lại xuất hiện một lần. Hỏi có bao

nhiêu số như vậy? ĐS: 1800.

Bài 22: Từ một tập thể gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn chọn một

tổ cơng tác gồm có 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:

a. Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ?

b. Trong tổ có một tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình khơng đồng thời có mặt trong tổ?

ĐS: a. 2974. b. 15048.

Bài 23: Một đồn tàu có 3 toa chở khác nhau đánh dấu là I, II, III. Trên sân ga có 4 khách

chuẩn bị đi tàu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi:

a. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu.

b. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu sao cho một toa có 3 trong 4 vị khách nói

trên. ĐS: a. 81. b. 24.

Bài 24: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số

học sinh đó thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít

nhất hai học sinh khá.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>V. Nhị thức Newton </b>

<b>1. Công thức khai triển nhị thức Newton: </b>

Với mọi số nguyên dương n và cặp số thực a, b ta có:

n

n k n k k
n
k 0

(a b) C a − b

=

+ =

∑

<b>2. Tính chất: </b>

i) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1

ii) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

iii) Số hạng tổng quát hay số hạng thứ (k + 1) có dạng: k n k k
k 1 n

T₊ =C a − b _{, k là số nguyên không}

âm và không lớn hơn n.

iv) k n k
n n
C =C −

v) k 1 k k
n n n 1
C − +C =C ₊

<b>Dạng 1: Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton </b>

Bài 1: Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển của nhị thức

a) 10
4
1
(x )

x

+ b) 3 2 1 5

(4 x )

2x

+ c) 2 2 6

(3x )
x
−

ĐS: a) 45 b) 160 c) 2160

Bài 2: Tìm hệ số của x4_y3_{trong khai triển (2x + 3y)}7_.

ĐS: 15120

Bài 3: Trong khai triển (x + y + z)n_{, tìm số hạng chứa x}k_ym_{trong đó k + m < n, k và m là hai số}

tự nhiên

ĐS: k m k m n k m
n n k

C .C ₋ x y z − −

Bài 4: Khai triển và rút gọn đa thức P(x) = (1 + x) + (1 + x)² + (1 + x)³ + ... + (1 + x)12_{sẽ được đa}

thức P(x) = ao + a1x + a2x² + ... + a12x12. Hãy xác định hệ số a9?

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Bài 5: Cho đa thức P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)² + 3(1 + x)³ + ... + 20(1 + x)20_{= a}_o_{+ a}₁_{x + a}₂_{x² + a}₃_{x³ + ...}

+ a20x20. Hãy xác định hệ số a18?

ĐS: 4179

Bài 6: Trong khai triển P(x) = (3 – x)20_{, hãy tính tổng các hệ số của đa thức P(x).}

ĐS: 220_.

Bài 7: Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển của nhị thức: 3 5
( 3+ 2 )

Bài 8: Trong khai triển của nhị thức 17
3

a b

( )

b + a , tìm các số hạng chứa a, b với luỹ thừa giống
nhau?

ĐS: 24310a5_b5_.

Bài 9: Tìm số hạng chứa a7_{trong khai triển} 3 2 1 12
(6 a a )

3
+

ĐS: 59136a7_.

Bài 10: Tìm hạng tử độc lập với x trong khai triển 3 1 16
( x )

x
+

ĐS: 1820.

Bài 11: Số hạng nào chứa x với số mũ tự nhiên trong khai triển sau

a. 4 10

( x+x) b. 13
3

1

(x )

x
+

ĐS: a. 2 6 7 10 10
10 10 10

C x, C x , C x . b. 0 13 3 9 6 5 9
13 13 13 13
C x , C x , C x , C x.

Bài 12:

a. Tìm số hạng của khai triển 3 9

( 3+ 2 ) _{là một số nguyên.}
b. Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển 5 3 36

( 3+ 7 ) .

c. Có bao nhiêu hạng tử là số nguyên của khai triển 4 124
( 3+ 5) .
ĐS: a. T4 = 4536, T10 = 8 b. T7, T22, T37 c. 32 số hạng

Bài 13: Trong khai triển (1 + x)n_{theo lũy thừa tăng của x, cho biết: T}₃_{= 4T}₅_{và 3T}₄_{= 40T}₆_{. Tìm n}

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

ĐS: n = 6, x = 1/2 hoặc x = –1/2

Bài 14: Cho biết trong khai triển 2 1 n
(x )

x

+ theo thứ tự giảm dần bậc của x, tổng các hệ số của

các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba là 46. Tìm hạng tử không chứa x.

ĐS: 84.

<b>Dạng 2: Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp </b>

Bài 15: Chứng minh rằng

a. 0 1 2 n n

n n n n

S=C +C +C + +... C =2 .

b. 0 2 4 2n 1 3 5 2n 1 2n 1

2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n

S=C +C +C + +... C =C +C +C + +... C − =2 −

c. 0 1 2 2 k k n n n

n n n n n

S=C +2C +2 C + +... 2 C + +... 2 C =3 .

d.

2n
0 2 2 4 4 2n 2n

2n 2n 2n 2n

3 1

S C 2 C 2 C ... 2 C

2
+

= + + + + =

Bài 16: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển thị thức (x² + 1)n_{bằng 1024, hãy tìm hệ số của}

số hạng chứa x12_{trong khai triển đó.}

ĐS: 210.

Bài 17: Chứng minh rằng

a. n 1 n 2 2n 1 2n
1 2n 1 2n 1 2n 1
S =C +₊ +C +₊ + +... C +₊ =2

b. 16 0 15 1 14 2 16 16

2 16 16 16 16

S =3 C −3 C +3 C − +... C =2 .

Bài 18: Chứng minh 0 2 2 4 4 2n 2n 2n 1 2n

2n 2n 2n 2n

C +C 3 +C 3 + +... C 3 =2 −.(2 +1)

Bài 19: Dùng đẳng thức (1 + x)m_{.(1 + x)}n_{= (1 + x)}m+n_{, chứng minh rằng}

a. 0 k 1 k 1 2 k 2 m k m k

m n m n m n m n m n

C .C +C .C − +C .C − + +... C .C − =C ₊ , m ≤ k ≤ n
b. 0 2 1 2 2 2 n 2 n

n n n n 2n

(C ) +(C ) +(C ) + +... (C ) =C .

c. 0 k 1 k 1 2 k 2 n k n

n n n n n n n n

(2n)!
C .C C .C C .C ... C .C

(n k)!(n k)!

+ + −

+ + + + =

− +

Bài 20: Tính giá trị các biểu thức

A = 2n 0 2n 2 2 0 2n

2n 2n 2n

2 C +2 − C + +... 2 C và B = 2n 1 1 2n 3 3 1 2n 1

2n 2n 2n

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

ĐS: A = (9n_{+ 1)/2, B = (9}n_{– 1)/2}

Bài 21: Chứng minh 17 0 1 16 1 17 17 17

17 17 17

3 C +4 .3 .C + +... 4 C =7

<b>TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT-2019 </b>

<b>Bộ phận bán hàng: </b>

<b>0918.972.605 </b>

<b>Đặt mua tại: </b>

<b> />

<b> /><b>8</b>

<b>Xem thêm nhiều sách tại: </b>

<b> />

<b>Hổ trợ giải đáp: </b>

<b></b>

<b>Xem video giới thiệu bộ sách và các tính năng tại: </b>

<b> />

<b>Đọc trước những quyển sách này tại: </b>

</div>

<!--links-->