Đề thi bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 mã 516 | Toán học, Lớp 9 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CÂU 3 HSG9HP1516 LT, NT</b>

<b>1.01LT a) </b>Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.

b)Cho các số dương , , ,<i>a b c d thỏa mãn điều kiện</i>

1 1 1 1 ₃

1<i>a</i>1<i>b</i>1<i>c</i>1<i>d</i>  _{. Chứng minh}

1
81


<i>abcd</i>

<b>2.01LT.a) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của số p</b>4_{là bình}
phương của một số nguyên.

b)Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ 3.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A =





2 2 2

1 x  1 y  1 z 2 x y z
.

<b>3.03LT. 1) Cho bẩy số nguyên a</b>1, a2, ….a7. Viết các số nguyên đó theo một thứ tự khác được
b1, b2, ....b7. Chứng minh rằng tích: (a1 - b1)(a2 – b2)...(a7 – b7) chia hết cho 2.

2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: A =

√

<i>x−2+</i>

√

<i>6−x</i>

<b>4.04LT. a/ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. CMR </b>

7
5

1954

₁

<i>P</i>



_{chia hết cho 60.}

b/ Cho 3 số thực không âm a, b, c .CMR : (<i>a</i>2<i>b</i>2<i>c</i>2) 4( <i>a b c a b b c c a</i>  )(  )(  )(  )

<b>5.05LT. 1) Cho n là số nguyên dương và n lẻ. CMR: </b>

[

(46)<i>n</i>+296 . 13<i>n</i>

]

⋮1947

2) Cho ba số : . Chứng minh rằng: a)

b)

<b>6.06LT.</b><i><b> a. Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:</b></i>

<i>x− y</i>

√

2014

<i>y−z</i>

√

2014

_{là số hữu tỉ và}

<i>x</i>

2



<i>y</i>

2



<i>z</i>

2_{là số nguyên tố.}

<b>b. Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng:</b>

1

<b>7.07LT.</b><i> a.Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:</i>

0
;
0
;

0  

 <i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>_a</i>3 <i>_b</i>3 <i>_a</i>2<i>_b</i> <i>_ab</i>2





<i>abc</i>
<i>abc</i>
<i>a</i>

<i>c</i>
<i>abc</i>
<i>c</i>

<i>b</i>
<i>abc</i>
<i>b</i>

<i>a</i>

1
1

1
1

3
3
3

3
3

3 










3 3 3

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>x− y</i>

_√

2014

<i>y−z</i>

_√

2014

_{là số hữu tỉ và}

<i>x</i>

2



<i>y</i>

2



<i>z</i>

2_{là số nguyên tố.}

<i><b> b. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: </b></i>

<i>a</i>

  

<i>b</i>

<i>c</i>

3

<b>. Chứng minh rằng:</b>

2 2 2

1

1

1

3

1

1

1

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>



















<b>8.08LT. 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p;q) sao cho: p</b>2_{- 2q}2_{= 1}

<i>2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: </i>

2

<i>ab</i>



6

<i>bc</i>



2

<i>ac</i>



7

<i>abc</i>

_{. Tìm giá trị nhỏ nhất}

của biểu thức

4

9

4

2

4

<i>ab</i>

<i>ac</i>

<i>bc</i>

<i>C</i>

<i>a</i>

<i>b a</i>

<i>c b c</i>













_.

<b>9.09LT. a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu </b>

4a + 3ab 11b

2



2 chia hết cho 5 thì



4 4

a

b

chia hết cho 5.

b) Cho

n

1

A =

(2n +1) 2n 1

 _{với n Є N*. CMR :}A + A + A + ... + A < 11 2 3 n .

<b>10.10LT.</b> 3.1) Cho A = k4_{+ 2k}3

_

_16k2

_

_{2k + 15 với k  Z. Tìm điều kiện của k để A chia hết cho}
16.

3.2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:













2 2 2

1

1

1

1

P

xy

yz

xz

x

y

z

<b>11.11LT.</b> 1. (1,0 điểm) Tìm các số nguyên dương x, y biết (x + y)5_{= 120y + 3.}
2. (1,0 điểm) Cho a, b > 0, thỏa mãn ab > 2015a + 2016b.

Chứng minh a + b >





2
2015 2016

<b>12.12LT. 1. Giả sử a, b, c, d, là bốn số nguyên bất kì. Chứng minh rằng: </b>

(b – a)(c – a)(d – a)(d – b)(d – c)(c – b) chia hết cho 12.

2. Cho x, y, z là các số thực không âm bất kì. Chứng minh:

x(x - z)2 _{+ y(y – z)}2 __{(x – z)(y – z)(x + y – z)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

2 2 2

19b - a 19c - b 19a - c

+ + 3(a + b + c)
ab + 5b cb + 5c ac + 5a 

<b>14.14LT. 3.1 Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn 2x</b>2_{+ x = 3y}2_{+ y.}

Chứng minh x – y; 2x +2y +1 và 3x + 3y +1 đều là các số chính phương.
3.2 Cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6 .

Chứng minh : 52 _{3( a}2_{+ b}2_{+ c}2_{) + 2abc < 54}

<i><b>15.15LT. a) Tìm số tự nhiên </b>n</i> để <i>n </i>18 và <i>n </i> 41 là hai số chính phương

<i> b)</i> Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0<i>a b c</i>, , 2 và a+b+c=3. Chứng
minh <i>a</i>3<i>b</i>3<i>c</i>39

_.

<b>16.16LT.</b><i> 1. Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn : </i>

2 ₁
1

<i>pq</i> <i>m</i>

<i>p q</i> <i>m</i>




 

2. Cho các số không âm

<i>a;b;x; y</i>

thỏa các điều kiện sau: <i>a</i>2016 <i>b</i>2016 1_và<i>x</i>2016 <i>y</i>2016  .1

Chứng minh rằng: <i>a</i>1976.<i>x</i>40 <i>b</i>1976.<i>y</i>40 1

<b>17.17LT. a) Tìm tất cả các số nguyên tố </b>p , p , p ,p , p , p , p , p sao cho:1 2 3 4 5 6 7 8

p12 p22 p23 p42 p52 p26 p72 p82

b) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x, y 0; x 2y2  . Chứng minh rằng: 1

3 3

1

x y 1
2  

<b>18.18LT. 3.1: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính </b>
phương thì n là bội số của 24.

3.2: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng

3 3 3

3
2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>b</i> <i>ab c</i> <i>bc a</i> <i>ca</i> 

<b>19.19LT. a) Cho số </b><i>M </i>1993199719971993_{. Chứng minh rằng số M chia hết cho 15.}
b) Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d ta ln có <i>a</i>4<i>b</i>4<i>c</i>4<i>d</i>4 4<i>abcd</i>

<b>20.20LT. a, Tìm số tự nhiên a sao cho A = a2 + 10a + 136 có giá trị là số chính phương.</b>

b, Chứng minh rằng: Với x > 1 thì

1 1
2

<i>x</i>
<i>x</i>




</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i>a b c</i>   <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>_và

1 1 1
1

<i>a b c</i>  

3.2) Cho a, b>0. Chứng minh rằng:

2 2

<i>b</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i>  <i>b</i>  

<b>22.22LT.a)</b> Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn là số nguyên tố. chia hết cho
8. Giả sử các số nguyên x,y thỏa mãn chia hết cho P. Chứng minh rằng cả hai số x,y đều
chia hết cho P.

b)Cho , chứng minh:

<b>23.23LT. a. Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2)</b>
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương.

b.

1

1

1

1

1

1

cho x, y, z >0. t/m:

4.

:

1

2

2

2

<i>CMR</i>

<i>x</i>



<i>y</i>



<i>z</i>



<i>x y z</i>







<i>x</i>



<i>y z</i>





<i>x y</i>





<i>z</i>



<b>24.GMINNT.</b> 3.1, Chứng minh 13_{+ 2}3_{+ ... + 100}3_{là số chính phương}

3.2, Cho các số dương a, b, c. CMR: 2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>b c</i>  <i>a c</i>  <i>a b</i> 

<b>25.MDONNT. 3.1. Với n nguyên dương ≤ 2008, đặt S</b>n = an +bn , với a = ; b = .

Chứng minh Sn – 2 = . Tìm số n để Sn – 2 là số chính phương.

3.2 Cho a; b; c các số thuộc đoạn ; a2_{+ b}2_{+ c}2_{= 6 .CMR: a + b + c 0}

<b>26.GDUCNT. a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 2</b>8_{+ 2}11_{+ 2}n_{là số chính phương .}

<i>b) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3.</i>

Chứng minh rằng:

3 3 3

2 2 2

3

3 3 3 4

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>b</i>  <i>c</i>  <i>a</i>   _.

2 2

<i>P a</i> <i>b</i> <i>P </i> 5

2 2
ax  <i>by</i>

1; 0

<i>x</i> <i>y</i>

3

3 3

1 1 1 3 2

3

( 1) 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

     
_ _   _  _
 _ _ _  _
2
5
3 
2
5
3 
2
2
1
5
2
1
5
















 









  n n

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>27.MTNT. a) Cho x, y, z nguyên dương; </b>

<i>x</i>

2

+

<i>y</i>

2

=

<i>z</i>

2 _{. CMR: A = xy chia hết cho 12.}

b) Cho x, y, z > 0;

<i>x</i>

2

+

<i>y</i>

2

+

<i>z</i>

2

=3

_{. CMR:}

<i>x</i>
3

√

<i>yz</i>+

<i>y</i>
3

√

<i>xz</i>+

<i>z</i>
3

√

<i>xy</i>≥<i>xy + yz +xz</i>

</div>

<!--links-->