Đề thi bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 mã 1516 | Toán học, Lớp 9 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (157.5 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CÂU 3 BỘ ĐỀ HSG9HP1516 TN,LC

1.MINHDUCNT.3.1. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng 2n + 1 và 3n + 1 là các số 
chính phương thì 5n + 3 khơng phải là số ngun tố.

3.2. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng 6 4 6 4 6 4 4 4 4

2x 2y 2z 1 1 1

x + y y + z z + x x y z
2.KYSONNT.1. Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp bằng 3024.

a) Chứng tỏ rằng 4 số này đều có một chữ số;
b) Tìm 4 số đó.

2. Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC).

Chứng minh:

1 1 1 1 1 1

p a p b p c a b c

 

      

    .

3.HBINHNT.3.1. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương .

3.2. Chứng minh rằng n  Z

, ta có : .

4.KBAINT. a. Cho a, b, c nguyên tố khác 0, a c thỏa mãn

2 2

a a b

c c b






Chứng minh rằng : a2 b2 c2 không thể là một số nguyên tố

b. Cho abc =1 và a3> 36. CMR: 
2

2 2

a

b c ab bc ca

    

5.CMYNT. 1/Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương .

2/ Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3

1 1 1

1 . 1 . 1

A

a b c

     

        

     .

6.LLENT. a)Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320

b ) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn : x2y2  y2z2  z2x2 2015

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : T =

2 2 2

x y z

y z z x x y

1 1 1 1

... 2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

7.ASONNT. a) CMR với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19

b) Cho x1; y0. Chứng minh:

3 3

1 1 1 3 2

( 1) 1

x x x

x y y x y

     

      

     

8.NLAONT. 3.1 Tìm các số tự nhiên có 2 chữ số

sao cho:









2 2

2.xy



x 2



y 4



3.2 Cho x, y, z dương thỏa mãn: xy + yz + xz  3

Tìm giá trị nhỏ nhất của: P =

3 3 3

2 3 2 3 2 3

x y z

y   z   x 

9.PHUNINHNT. 3.1) Tìm số tự nhiên có 3 chữ số abc thỏa:

1
( 2)

abc n
cba n

  




 


 (n N n ; 2)

3.2) Cho 100 số tự nhiên a a1, ,...,2 a thỏa mãn điều kiện: 100

1 2 100

1 1 1

... 19

a  a   a 

Chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau.

10.QTHANHNT.

a)Cho b là số nguyên tố khác 3. Số A = 3n + 1 + 2015b2 (n là số tự nhiên)
là số nguyên tố hay hợp số.

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 thì số A = n6 – n4 + 2n3 + 2n2 không thể là số
chính phương.

c) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn

x

+

y

+

z

=3

Chứng minh rằng
x
3

√

yz+

y
3

√

xz+

z
3

√

xy≥xy + yz+xz

11. HTHANHNT. a/Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức P=

(

a3

)

(

1+
1

b3

)

(

c3

)

b/Cho P x( )x3ax2bx c

Giả s ử : P(1) 5; (2) 10 P  . Tính giá trị của biểu thức: P(12) P( 9)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

b) Cho a, b, c > 0 chứng minh

a
a+b+

b
b+c+

c
c +a<

√

a
b+c+

√

b
c +a+

√

c
a+b

13.HDONGNT. a) Cho a, b, c thoả mãn

1 1 1 1

a b c  a b c 

Tính giá trị biểu thức Q =



 



27 27 41 41 2013 2013
a b b c c a

b) Cho a b c d, , , là các số thực thỏa mãn điều kiện:

abc bcd cda dab a b c d        2012

Chứng minh rằng:



a21

 

b21

 

c21

 

d21



2012.

14. TAMHUNGNT.

a) Giải hệ phương trình:

17

2 2011

2 3 .















x

y

xy

x

y

xy

b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho:

1 x

y z

z x

(y 3).

2 











15. THYSONNT. a. Tìm 5 số nguyên sao cho mỗi số trong các số đó đều bằng bình phương 
của tổng 4 số cịn lại

b. Cho biểu thức Pa2 b2 c2 d2 acbd, trong đó ad  bc1. Chứng minh rằng:
3



P

16.LXUANNT. 3.1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b2) chia hết cho
(a2b – 1).

3.2.Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3

1 1

xy
x y

 

 .

17.LAMDONGNT. 1)Tìm số tự nhiên n sao cho n + 12 và n – 11 đều là số chính phương.

2) Cho các số thực dương a, b,c thỏa mãn ab + bc + ca = 2016.

Chứng minh bất đẳng thức: 2 2 2

3
2

2016 2016 2016

a b c

a  b c 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

18.THUYTRIEUNT. 1) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và

1

4 x



y



z



.

Chứng minh rằng:

1 2x+y+z



x



2y



z



x



y



2z



2) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn

x

2011



y

2011



z

2011



3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M



x



y



z

2
 19.HOADONGNT. a) Cho N = 1.3.5.7…2007.

Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 khơng có số nào là số chính phương.

b) Với số tự nhiên n, n  .1

Đặt

1 1 1

...

3(1 2) 5( 2 3) (2 1)( 1)

n
S

n n n

   

     . Chứng minh rằng

1
2

n
S 

20.ANLUNT. a. Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn

2 a

 

a

3 b



b

. Chứng minh rằng

2 a



2 b



1

là số chính phương.

b. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

2 ab



6 bc



2 ac



7 abc

. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

4

9

4

2

4 ab

ac

bc

C

a

b a

c b c





.

21. DONSONNT. 3.1. Cho 3 số nguyên dương , ,a b c thỏa điều kiện 2 = b +1a c và a  .1
Tìm tất cả các số c trong biểu thức đã cho.

3.2. Cho xy 1.Chứng minh rằng: .

22.DQUANNT. 3.1.Tìm số tự nhiên có 3 chữ số abc´ thỏa mãn:

{

abc=n´
2−1

cba=(n−2)2 (n
N,n>2)

3.2.Cho các số thực không âm x, y, z đôi một khác nhau và thỏa mãn: (x+z)(z+y) =1
Chứng minh bất đẳng thức:

 x y xy





 1

2
1

1
1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

(x− y )2+
1
(z +x)2+

1
(z+ y)2≥ 4

23.LKIEMNT. 3.1.Có hay khơng số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương.

3.2. Chứng minh rằng :



 







2009

2007
2008
2007
4015
1
4
3

7
1
3
2
5
1
2
1
3
1








 

24.CNHANNT. 1.Cho basố a , b , c tho mãnả

1≤a ,b , c≤ 3

a + b +c=6

{¿ ¿ ¿
¿

Ch ng minh r ng: ứ ằ a2+b2+c2≤14

2.Tìmt tc cács nguyêndấ ả ố ương x , y , z tho mãn ả

x + y + z >11

8 x + 9 y + 10 z=100

{¿ ¿ ¿
¿

25.THHUONGNT. a) Tìm tất cả cặp số nguyên dương (a; b) sao cho 
2 2

2


a

ab là số nguyên.

b) Cho xy 1.Chứng minh rằng: x y xy



 1
2

1
1
1
1
2
2
.

26.NDEONT. a) Tìm số nguyên x, sao cho :

x

 

x p 0



với p là số nguyên tố.

b)Cho các số x; y; zkhông âm, không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn:

1 1 1

1
x 1 y 2 z 3      .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1
P x y z

x y z
   

 

27.PHUCLENT. a) Giải phương trình:

6x



5x



38x



5x 6 0

 

.

b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho:

x y z z x (y 3).
2

     

28.LKHENT. a. Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho :

abc n 1

cba (n 2)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

b. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

2 2 2

19b - a 19c - b 19a - c

+ + 3(a + b + c)
ab + 5b cb + 5c ac + 5a 

29.PHALENT. 1/ Cho A = n6  n4 2n3 2n2 (với

n



N,

n > 1). 
Chứng minh A không phải là số chính phương.

2/ a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và

1 1 1
4
x  y  z  .

Chứng minh rằng:

1 1 1

1
2x+y+z  x2yz  xy2z 

b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn

x

2011



y

2011



z

2011



3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Mx2 y2 z2

30.THUYDUONGNT. 1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình 1 x x2x3 2y

2.Cho các số dương a, b, c, d. Biết 1 1 1 1 1

a b c d

a b c d 

    . CMR:

1
81

abcd 

31.TRHANT. 3.1 Tìm tất cả cặp số nguyên dương (a;b) sao cho

2 2

2
a

ab



 là số nguyên.

3. 2 Cho 3 số nguyên dương , ,a b c thỏa điều kiện 2 = b +1a c và a  . Tìm tất cả các số c 1
trong biểu thức đã cho.

3. 3 Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện: a = b + 1 = c + 2 ; c >0.

Chứng minh:









2 a b 2 b c

   

32.01CL. 3.1. Tìm số dư trong phép chia số nguyên S a b bacho 5, trong đó a 22...2 gồm
2015 chữ số 2, b 33...3 gồm 2016 chữ số 3 (viết trong hệ thập phân)

3.2. Cho ba thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức sau:

2 2 2

ab bc ca

C a b c

a b b c c a

 

   

  .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

b/ Cho các số thực x, y không âm thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của



 



2 2

4 3 4 3 25

B x  y y  x  xy

34.03CL. 1. Cho đa thức f x( )x2+ ax + b với a b Z,  . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k

sao cho f(k)f(2015). (2016)f .

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1 1

P

xy yz zx

  

   , trong đó, x, y, z là các số 
dương thỏa mãn x2y2z2 3

35.04CL. 1) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – 2mx + m2 – 1 = 0. Hãy tìm các

giá trị của m thỏa mãn đẳng thức sau:3.

2 2 2

1 2 1 2 2 1  2 2  4  1 2
x x x x x x m m

2) Giải hệ phương trình:

3 3 3

2 2

8x 27 18

4x 6x

  




 




y y

36.05CL. a. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6 + 3x3 + 1 = y4

b. Chứng minh rằng 2

a b c

b c  a c  a b  với a, b, c > 0.

37.06CL. a/ Tìm số tự nhiên A, biết rằng trong ba mệnh đề sau đây có hai mệnh đề đúng và 
một mệnh đề sai: 1)A + 9 là số chính phương.

2)Chữ số tận cùng của A là chữ số 3.
3)A – 80 là số chính phương

b/ Chứng minh rằng:a2b2c2d2e2 a b c d e(    ) a b c d e, , , ,
38.07CL. 1)Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2

Chứng minh rằng n2 + m khơng là số chính phương.

2)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =









x y xy x y

xy x y x y

   



   

Với x, y là các số thực dương.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y ≥ 4

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Q =

2 3

3 4 2
4

x y

 



40.09CL. 1) Tìm số tự nhiên n để: A n 2012n2002 1 là số nguyên tố.

2) Cho a b c d, , , là các số thực thỏa mãn điều kiện:

abc bcd cda dab a b c d        2012

Chứng minh rằng:



 



2 1 2 1 2 1 2 1 2012

a  b  c  d  

41.10CL. ) Cho

a 2



n 2



3

n 2

;b 2





3 ,n N *



. Đặt d = (a + b, a - b),với d là UCLN
của a + b và a – b. Tìm giá trị lớn nhất của số d.

b) Cho x; y; z > 0 và x+ y+ z≤
3

2 . Chứng minh:

x+ y+ z+

1 x

+

1 y

+

1 z

≥

15

2

42.11CL.1. Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho 2n – 15 là bình phương của số tự nhiên.

2. Cho m, n là các số tự nhiên thoả mãn

m

6

0 n





. Chứng minh rằng

m

1

6 n

2mn





43.12CL. a, Giải hệ phương trình

3 2

2 2

2x 12 0

8 12

x y y

y x

   




 




b, Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2.

Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2

44.13CL. 1. Tìm tất cả các số tự nhiên n sau cho:

n



14 n



256

là số chính phương.

2. Cho a > 0, b > 0 và ab=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 4

( 1)( )

A a b a b

a b

    



45.14CL. 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2xy2   x y 1 x22y2xy

2) Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức:

2 2 2 2

a b b c c a     a b c 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

3.2. Cho ba thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức sau:

2 2 2

ab bc ca

C a b c

a b b c c a

 

   

  .

47.16CL. a/ Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng
các bình phương của chúng.

b/ Cho các số thực x, y không âm thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của



 



2 2

4 3 4 3 25

B x  y y  x  xy

</div>

Đề thi bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 mã 1516 | Toán học, Lớp 9 - Ôn Luyện

<b>8.NLAONT. 3.1 Tìm các số tự nhiên có 2 chữ số </b>

sao cho:









2.xy



x 2





y 4



<b>10.QTHANHNT.</b>

<i>x</i>

+

<i>y</i>

+

<i>z</i>

=3

√

√

√

(

)

(

)

(

)

√

√

√



 

 





 

 

 



a) Giải hệ phương trình:

17

2

2011

2

3 .















x

y

xy

x

y

xy

<sub> </sub>

b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho:

1

x

y z

z x

(y 3).

2













1

1

1

4

x