Đề thi bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 mã 516 | Toán học, Lớp 9 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CÂU 5 BỘ ĐỀ HSG 9 HP1516</b>

<b>1.(01BH). Co 13 con t c ke xanh, 15 con tac ke đ va 17 con t c ke vang trên m t hon</b>ă o ă ô
đ o. Khi hai con t c ke khac mau g p nhau, chung đ i sang mau con l i. Li u co th đ na ă ă ô a ê ê ê
m t luc nao đo t t c cac con t c ke co cung mau hay không?ô â a ă

<b>DAPAN</b>

Đap an Đi mê

M i “tr ng thai” trên đ o g m a con t c ke xanh, b con t c ke đ va cô a a ô ă ă o
con t c ke vang v i a + b + c = 45. Phep bi n đ i sang mau se chuy nă ơ ê ô ê
t tr ng thai (a, b, c) sang m t trong ba tr ng thai (a – 1, b – 1, c + 2),ư a ô a
(a – 1, b + 2, c – 1) ho c (a + 2, b – 1, c – 1). ă

0,25

D th y (a – 1) – (b – 1) ≡ (a – 1) – (b + 2) ≡ (a + 2) – (b – 1) ≡ a – bê â
mod 3. B t bi n X = sai khac gi a s t c ke xanh va s t c ke đâ ê ư ô ă ô ă o
theo modulo 3

0.25

Luc đ u X ≡ 2 mod 3 va khi t t c cac t c ke cung mau thi X ≡ 0 modâ â a ă

3 0,25

Vi v y, trâ ương h p t t c cac con t c ke co cung mau không th x yơ â a ă ê a

ra 0,25

<b>2.(02BH).</b> Vi t 11 s +1 va 01 s -1 lên đ nh c a 12 giac đ u. Cho phep đ i d u c a cac sê ô ô i u ê ô â u ô
trên k đ nh b t ky c a đa giac. Co th hay không luôn chuy n s -1 sang đ nh k c a noi â u ê ê ô i ê u
n u ê

a) k = 3
b) k = 4
c) k = 6

<b>DAPAN</b>

Đap an Đi mê

Câu tr l i la ph đ nh trong c ba tra ơ u i a ương h p. Ch ng minh cho cơ ư a
ba trương h p co th đơ ê ươc th c hi n nh sau: chung ta ch n cacư ê ư o
đ nh cach đ u nhau đung k – 1 đ nh (vi d khi k = 3 ta ch n đi ê i u o ươc 4
đ nh, khi k = 4 ta ch n đi o ươc 3 đi m va k = 6 ta ch n đê o ươc 2 đi m). ê

0,25

B t bi n c a chung ta la tich cac s trên cac đ nh đâ ê u ô i ươc ch no 0.25
Chung ta x p s -1 vao m t trong cac đi m đê ô ô ê ươc ch no 0,25
D ki m tra r ng n u s -1 đê ê ă ê ô ươc chuy n sang đ nh k thi tich cacê i ê

s trên cac đi m đô ê ươc ch n luc đo se la 1o 0,25

<b>3.(03BH).</b> Trên b ng vi t cac s 1, 2, …, 1000. m i ba ê ô Ơ ô ươc cho phep thay m t s b ngô ô ă
t ng cac ch s c a no. Qua trinh d ng l i khi co toan cac s co m t ch s . H i s s 1ô ư ô u ư a ô ô ư ô o ô ô
con l i trên b ng nhi u h n hay s s 2 con l i trên b ng nhi u h n?a a ê ơ ô ô a a ê ơ

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Đap an Đi mê

N u chung ta vi t t t c cac s trên b ng theo modulo 9 thi cac sê ê â a ô a ô

nay se la b t bi n trong cac phep bi n đ iâ ê ê ô

0,25

N u chung ta vi t t t c cac s trên b ng theo modulo 9 thi cac sê ê â a ô a ô

nay se la b t bi n trong cac phep bi n đ iâ ê ê ô 0.25
Do đo cac s đ ng d 1 mod 9 nhi u h n cac s đ ng d 2 mod 9ô ô ư ê ơ ô ô ư

trong t p {1, …, 1000},â

0,25

s cac s 1 con l i trên b ng se nhi u h n s s 2 con l i trên b ngô ô a a ê ơ ô ô a a 0,25

<b>4(04HB). </b>Cho 2017 điểm khác nhau nằm bên trong hình chữ nhật có chiều dài 252 cm và

chiều rộng 4 cm. Vẽ 2017 hình trịn nhận các điểm trên làm tâm và có cùng bán kính

√

2

cm. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một hình trịn trong số chúng chứa ít nhất 3 điểm trong
2017 điểm nói trên.

<b>DAPAN</b>

Chia hình chữ nhật có chiều dài 252 cm và
chiều rộng 4 cm thành 252.4 = 1008 hình
vng có độ dài cạnh là 1cm.

=> 2017 điểm phân biệt nằm bên trong hình chữ nhật chứa 1008 hình vng

có độ dài cạnh là 1cm. 0,25 đ

Có 2017 : 1008 = 2 (dư 1) => Tồn tại it nhất một hình vng có độ dài cạnh 1
cm chứa ít nhất 3 điểm trong 2017 điểm đã cho (Theo nguyên lý Đi – rich

– lê) (1)

Hình vng có độ dài cạnh là 1 cm => khoảng cách lớn giữa hai điểm thuộc
miền của hình vng là

√

2

cm .

0,25 đ

Khơng mất tính tổng qt, giả sử 3 điểm đó là A, B, C

=> AB ≤

√

2

cm , AC ≤

√

2

cm

=> Ba điểm A, B, C thuộc (A;

√

2

cm) (2) 0,25 đ
Từ (1), (2) suy ra tồn tại ít nhất một hình trịn có tâm là một trong 2017 điểm 0,25 đ

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>5.(05BH).</b>

Tô đen 09 ô c a hinh vuông 10 × 10. M i l n tơ mau đen m t ô ch a tô n u no k v i itu ô â ô ư ê ê ơ
nh t hai ô đen ( k đâ ê ươc hi u la chung c nh). Co th tô mau h t ban c hay không? N uê a ê ê ơ ê
la 10 ô thi sao? N u la hinh vng n × n thi luc đ u c n tô đen it nh t bao nhiêu ô đ coê â â â ê
th tô đen c ban c ?ê a ơ

<b>DAPAN</b>

Đap an Đi mê

N u tô 10 ô thi câu tr l i la kh ng đ nhê a ơ ă i 0,25

Vi d ta co th b t đ u v i 10 ô đen trên đu ê ă â ơ ương cheo chinh c a hinh vuông.u

N u tô 9 ô thi câu tr l i la ph đ nhê a ơ u i 0.25

Xet X la t ng chu vi c a ph n tô đen trên hinh thi luc đ u X ≤ 36. D ki m tra Xô u â â ê ê
la n a b t bi n, c th , X la không tăng. N u c ban c đư â ê u ê ê a ơ ươc tô mau thi luc nay
X= 40, mâu thu n.â

0,25

V y, không th tô đen đâ ê ươ ac c ban c n u xu t phat v i 9 ô mau đen.ơ ê â ơ 0,25

<b>6.(06BH).</b> Trên b ng vi t cac s 1, 2, 3, 4, 5. M i ba ê ô ô ươc cho phep ch n hai s a, b va thayo ô
b i a + b, ab. H i co thu đơ o ươc 21, 27, 64, 180, 540 hay không?

<b>DAPAN</b>

Đap an Đi mê

Trươc h t ta ki m tra r ng s cac s chia h t cho 3 không gi m va s lê ê ă ô ô ê a ô ương
nay tăng khi va ch khi t hai s chia 3 d 1 va chia 3 d 2 chung ta thu đi ư ô ư ư ươc
m t s chia h t cho 3 va m t s chia h t cho 2.ô ô ê ô ô ê

0,5

Vi v y, khi chung ta l n đ u tiên chuy n sang tr ng thai co 4 s chia h t cho 3â â â ê a ô ê
thi s con l i chia 3 d 2, nh ng 64 chia 3 d 1 nên câu tr l i se la ph đ nhô a ư ư ư a ơ u i 0,5
<b>7.(07BH).</b> Bên trong hinh vuông co đ dai c nh b ng 1 đ t m t s đô a ă ă ô ô ương tron co t ngô
chu vi b ng 10. Ch ng minh r ng luôn t n t i m t đă ư ă ô a ô ương th ng c t it nh t b n trong să ă â ô ô
cac đương tron đã cho.

<b>DAPAN</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

0,25

Chi u t t c cac đê â a ương tron đã cho lên c nh AB c a hinh vuông ABCD. Hinh a u

chi u c a đê u ương tron co chu vi b ng 1 la m t đo n th ng co đ dai ă ô a ă ô
1
_.

0.25

Do đo t ng đ dai cac hinh chi u c a t t c cac đô ô ê u â a ương tron đã cho b ng ă
10



0,25

Vi
10

3 3AB
 

 _{nên trên đo n th ng AB co m t đi m thu c hinh chi u c a it}_a _ă _ô _ê _ô _ê _u
nh t 4.â

đương tron. Đương vuông goc v i AB t i đi m đo se c t it nh t 4 đơ a ê ă â ương tron

0,25

<b>8.(08BH) Ch ng minh r ng ban c 10x10 ô không th chia ra đ</b>ư ă ơ ê ươc thanh cac hinh co
d ng ch T g m 4 ô đa ư ô ươc.

<b>DAPAN</b>

Đap an Đi mê

Gi s ban c 10x10 ô co th chia ra thanh cac hinh ch T nh v ya ư ơ ê ư ư â 0,25
M i hinh ch T co 1 ho c 3 ô đen t c luôn la m t s l . T ng s cac hinh chô ư ă ư ô ô ẻ ô ô ư

T b ng ă
100

25

4 

0.25

Do đo chung co t ng c ng la m t s l cac ô đen. ô ô ô ô ẻ 0,25
Nh ng t ng s cac ô đen trên ban c 10x10 la 50 ô. (mâu thu n).V y ta coư ô ô ơ â â

đi u ph i ch ng minhê a ư 0,25

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>DAPAN</b>

Đap an Đi mê

Tô đay h p b ng hai mau nh hinh ve:ô ă ư

0,25

Khi đo m i mi ng g kich thô ê ô ươc 2x2 ph đung m t ô đen, con mi ng gu ô ê ô

kich thươc 1x4 ph 2 ô đen ho c 0 ô đenu ă 0.25

Do đo s ô đen c a đay h p la ch n hay l tuy thu c vao s mi ng g 2x2ô u ô ẵ ẻ ô ô ê ô
dung đ ghep la ch n hay lê ẵ ẻ

0,25

Khi thay m t mi ng g 2x2 b ng m t mi ng g 1x4 tinh ch n l c a sô ê ô ă ô ê ô ẵ ẻ u ô

mi ng g 2x2 b thay đ i nên không th x p khit đay h p đê ô i ô ê ê ô ươc n a.ư 0,25

<b>10.(10BH).</b> Chứng minh rằng từ 52 số nguyên bất kỳ ln có thể chọn ra hai số mà tổng hoặc hiệu
của chúng chia hết cho 100

<b>DAPAN</b>

<b>Câu</b>

<b>_{Đáp án}</b>

<b>Điể</b>

<b>m</b>

<b>Bài 5b</b>

<b>(1 </b>

<b>điểm)</b>

<b>Chứng minh rằng từ 52 số nguyên bất kỳ ln có thể chọn ra hai </b>

<b>số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100 </b>

Giải:Tất cả các số dư trong phép chia cho 100 được chia thành 51

nhóm như sau: {0} ;{1;99},{ 2;98}, … ,{49;51}; {50 }

0,25

Có 52 số nên theo nguyên tắc Dirichlet có hai số mà các số dư khi chia

cho 100 thuộc cùng một nhóm trên.

0,5

Hai số này có hiệu chia hết cho 100 (Nếu số dư của chúng bằng nhau )

hoặc có tổng chia hết cho 100 (nếu số dư của chúng khác nhau) .

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Vậy luôn chọn được hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài

<b>11(11BH).</b> Trên một đường tròn ta viết theo chiều kim đồng hồ 2 số 1 và 48 số 0 theo thứ tự 1,
0, 1, 0, …, 0. Ta thực hiện phép biến đổi các số trên đường tròn như sau: tại mỗi bước chọn hai

<i>số bất kì nằm liền kề nhau, giả sử là x và y rồi thay x bởi </i>



<i>x  và thay y bởi </i>1





<i>y  . Chứng</i>1



minh rằng không thể thu được một dãy 50 số bằng nhau sau một số hữu hạn các phép biến đổi
như trên.

<b>DAP AN</b>

<b>Câu </b>

<b>( 1,0</b>
<b>điểm)</b>

( 1,0 điểm)

Kí hiệu các số trên đường tròn lần lượt theo chiều kim đồng hồ là

1, ,...,2 50

<i>x x</i> <i>x</i> _với<i>x</i>₁1,<i>x</i>₂ 0,<i>x</i>₃ 1,<i>x</i>₄ 0,...,<i>x</i>₅₀ 0.

Xét tổng



1 2

 

3 4

 

5 6





49 50



...

.

<i>I</i>



<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>





<i>x</i>



<i>x</i>

Ta có I = 2

0,25

Giá trị của I không thay đổi khi thay thế cặp số liền kề nhau



<i>x y</i>

,



bởi

cặp số



<i>x</i>



1,

<i>y</i>



1



.

0,25

Giả sử thu được dãy 50 số bằng nhau thì khi đó ta có I = 0, mâu thuẫn
với I = 2.

0,25

Vậy không thể nhận được một dãy 50 số bằng nhau sau một số hữu hạn
các phép biến đổi

0,25

<b>12(12BH).</b> Lấy 2013 điểm ở bêntrongcủamộttứgiácđểcùngvới 4đỉnh ta được 2017 điểm,
trongđókhơngcó 3 điểmnàothẳnghàng. Biếtdiệntíchcủatứgiác ban đầulà 1cm2_{. Chứng minh}

rằngtồntại 1 tam giáccó 3 đỉnhlấytừ 2017 điểmđãchocódiệntíchkhơngvượtq4028

1

cm2

DAPAN

<b>Câu</b> <b>Đápán</b> <b>Điểm</b>

Xét tứ giác ABCD có diện tích bằng 1 cm2_{. Với điểm thứ nhất M ta}

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

7

(1,0 điểm)

đỉnh N, tuy nhiên số tam giác đơi một khơng có điểm trong chung
chỉ tăng thêm 2 vì mất đi một tam giác chứa điểm N.

Số tam giác không có điểm trong chung lúc này là 4+2.h( h là số
điểm còn lại sau điểm thứ nhất)

Tương tự với 2011 điểm cịn lại,cuối cùng số tam giác khơng có
điểm trong chung là:4+2+2011.2=4028. Tổng diện tích của 4028
tam giác đó bằng 1cm2_{nên tồn tại ít nhất một tam giác có diện tích}

khơng vượt q

2

4028
1

<i>cm</i>

0,25

0,25

<b>13(13BH).</b>Cho2015

điểmtrênmặtphẳng.Biếtrằngtrongbađiểmbấtkìtrongsốcácđiểmđólnlntồntạihaiđiểmcáchnha
unhỏhơn 1.Khiđótồntạihìnhtrịncóbánkínhbằng 1 chứakhơngíthơn 1008 điểmđãcho.

DAPAN

<b>Câu</b> <b>Đápán</b> <b>Điểm</b>

7
(1,0 điểm)

Lấy M là mộttrong 2015 điểmđãcho.

Xét hình trịn O1(M;R=1). Khi đó có các trường hợp sau. 0,25

TH1. Nếu 2015 điểm đã cho nằm trong O1 thì kết luận của bài tốn

ln đúng. 0,25

TH2. Tồn tại điểm N không trùng điểm M(N thuộc trong số 2015
điểm đã cho) sao cho N không thuộc O1. Vì B khơngthuộc O1nên

AB > 1.

0,25

Xét hình trịn O2 (N;R=1). P là một điểm bất kì trong số 2015 điểm

đã cho sao cho điểm P không trùng điểm M; P không trùng N. Nên
PM hoặc PN đều nhỏ hơn 1.

Suy ra đường tròn O1 và O2 chứa 2015 điểm đã cho.

Vì vậy theo ngun lí Đirichlet, ít nhất một trong hai hình trịn O1

và O2 nói trên chứa khơng ít hơn 1008 điểm đã cho (đpcm).

0,25

<b>14(114BH). Một học sinh viết dãy số sau: 49,4489,444889, 44448889,….. (Số đứng sau được </b>
viết 48 vào giữa sốđứngtrước).

Chứng minh rằngtấtcảcácsốviếttheoquyluậttrênđềulàsốchínhphương.

DAPAN

<b>Câu</b> <b>Đápán</b> <b>Điểm</b>

7

(1,0 điểm) Ta có:
A =

4 .44..4

⏟

88...8

_⏟

9

= 9 + 8.10 + 8.102_{+…+ 8.10}n_{+ 4.10}n+1_{+ +10}n+2_…

+4.102n+1

Ta viết 9 = 1+4+4 và 8 = 4+4 ta được:

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

A=1+4+4+(4+4).10+(4+4).102_{+…+(4+4).10}n_+4.10n+1_+4.10n+2_+…

+4.102n+1

= 1+(4+4.10+4.102_+…+4.10n_{)+(4+4.10+4.10}2_+…+4.102n+1₎

= 1+4.(1+10+102_+…+10n_)+4.(1+10+102_+…+102n+1₎

= 1+4.

10

<i>n+1</i>

−1

9

_+4.

10

<i>2 n+2</i>

−1

9

₌

9+4 . 10

<i>n+1</i>

−4 +4 . 10

<i>2 n+2</i>

−

4

9

=

4. 10

<i>2n+2</i>

+

4. 10

<i>n+1</i>

+

1

9

₌

(

2.10

<i>n+1</i>

+1

3

)

2

Ta có: 2.10n+1₊₁

_⋮

_{3 (Cótổngcácchữsố chia hếtcho 3)}

Nênsốtrongngoặctạothànhmộtsốchínhphương. Suyra A làsốchínhphương

0,5

0,25

<b>15(15BH). Có mộtngườingàynàocũngchơicờ nhưngmộttuầnchơikhông quá 13 ván. Chứng</b>
minh rằng có mộtsố ngàyliêntục mà tổngsố váncờ củangườichơiđúngbằng 20.

DAPAN

<b>Câu</b> <b>Đápán</b> <b>Điểm</b>

7
(1,0 điểm)

Xétsố váncờ củabatuầnliêntiếp.

<i>Giả sử ngàythứ k có số váncờ chơiđược là ak(1≤k ≤21)</i>

Vì số váncờ chơiđượcmỗituầnkhông quá 13 nên

<i>a</i>₁+<i>a</i>₂+<i>a</i>₃+<i>.. .. . ..+a</i>₂₁≤3⋅13=39 _{. Xétdãytổng:}

<i>S</i>₁=<i>a</i>₁

<i>S</i>₂=<i>a</i>₁+<i>a</i>₂

<i>S</i>₃=<i>a</i>₁+<i>a</i>₂+<i>a</i>₃

...

<i>S</i>₂₁=<i>a</i>₁+...+a₂₁

Theo Đirichletrongcácsố <i>S</i>1<i>;S</i>2<i>; S</i>3<i>;..; S</i>21 _{nóitrênthì tồntại 2 số}

chia cho 20 có cùngsố dư =>hiệucủahaisố đó chia hếtcho 21
Vì cácsố <i>S</i>1<i>;S</i>2<i>; S</i>3<i>;..; S</i>21 đềukhácnhauvà khôngvượt quá 39

nêntồntại 2 số có hiệubằng 20. Vậybàitốnđượcchứng minh.

0,25

0,25

0,25

0,25

</div>

<!--links-->