Bài tập toán 12 - Hình nón khối nón có đáp án » Tài liệu miễn phí cho Giáo viên, học sinh.

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>HÌNH NĨN - KHỐI NĨN</b>

<b>Câu 1. Hình nón có đường sinh </b>l=<i>2a</i>_{và hợp với đáy góc}<i>_{a =}</i>₆₀0

. Diện tích tồn phần
của hình nón bằng:

<b>A. </b>₄<i>_p_a</i>2_.

<b>B. </b>₃<i>_p_a</i>2_.

<b>C. </b>₂<i>_p_a</i>2_.

<b>D. </b><i>_p_a</i>2_.

<b>Câu 2. Cho hình nón đỉnh </b><i>S</i>_{có bán kính đáy}<i>R</i>=<i>a</i> 2_{, góc ở đỉnh bằng}₆₀0

. Diện tích
xung quanh của hình nón bằng:

<b>A. </b>4<i>pa</i>2. <b>_B.</b>₃<i>_p_a</i>2_.

<b>C. </b>2<i>pa</i>2. <b>_D.</b><i>_p_a</i>2_.

<b>Câu 3. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong không gian, cho tam giác</b>

<i>ABC</i>_{vuông tại}<i>A</i>_,<i>AB a</i>= _và<i>AC</i>=<i>a</i> 3_{. Độ dài đường sinh}l_{của hình nón nhận được}

khi quay tam giác <i>ABC</i>_{xung quanh trục}<i>AB</i>_bằng:

<b>A. </b>l =<i>a</i>. <b>_B.</b>l =<i>a</i> 2. <b>_C.</b>l =<i>a</i> 3. <b>_D.</b>l =2 .<i>a</i>

<b>Câu 4. Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vng cân có cạnh góc vng bằng</b>
.

<i>a</i>_{Diện tích tồn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:}

<b>A. </b>

(

₁ ₂

)

2
2

<i>a</i>
<i>p</i>

+

và
3
2 _.

12

<i>a</i>
<i>p</i>

<b>B. </b>
2
2

2

<i>a</i>
<i>p</i>

và
3
2 _.

4

<i>a</i>
<i>p</i>

<b>C. </b>

(

₁ ₂

)

2
2

<i>a</i>
<i>p</i>

+

và
3
2 _.

4

<i>a</i>

<i>p</i>

<b> D. </b>
2
2

2

<i>a</i>
<i>p</i>

và
3
2 _.

12

<i>a</i>
<i>p</i>

<b>Câu 5. Cạnh bên của một hình nón bằng </b><i>2a</i>_{. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác}

cân có góc ở đỉnh bằng 120°_{. Diện tích tồn phần của hình nón là:}

<b>A.</b><i>p</i>2

(

3+ 3

)

. <b>B. </b>2<i>pa</i>2

(

3+ 3

)

. <b>C. </b><i>6 ap</i> 2_. <b>_D.</b><i>pa</i>2

(

3 2 3+

)

_.

<b>Câu 6. Cho mặt cầu tâm </b><i>O</i>_{, bán kính}<i>R</i>=<i>a</i>_{. Một hình nón có đỉnh là}<i>S</i>_{ở trên mặt cầu và}

đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vng góc với đường

thẳng <i>SO</i>_tại<i>_H</i>_{sao cho}

3
2

<i>a</i>
<i>SH =</i>

. Độ dài đường sinh l _{của hình nón bằng:}

<b>A. </b>l =<i>a</i>. <b>_B.</b>l =<i>a</i> 2. <b>_C.</b>l =<i>a</i> 3. <b>_D.</b>l =2 .<i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

sinh <i>SA</i>_và<i>SB</i>_{, biết}<i>AB</i>_{chắn trên đường trịn đáy một cung có số đo bằng}₆₀0

, khoảng

cách từ tâm <i>O</i>_{đến mặt phẳng}(<i>SAB</i>)_bằng2

<i>R</i>

.

Đường cao <i>h</i>_{của hình nón bằng:}

<b>A. </b>
6
.
4
<i>R</i>
<i>h=</i>

<b>B. </b>
3
.
2
<i>R</i>
<i>h=</i>

<b>C. </b><i>h a</i>= 3. <b>_D.</b><i>h a</i>= 2.

<b>Câu 8. Cho hình nón đỉnh </b><i>S</i>_{có đáy là hình trịn tâm}<i>O</i>_{. Dựng hai đường sinh}<i>SA</i>_và<i>SB</i>_,

biết tam giác <i>SAB</i>_{vuông và có diện tích bằng}<i>_4a</i>2

. Góc tạo bởi giữa trục <i>SO</i>_{và mặt}

phẳng (<i>SAB</i>) bằng ₃₀0

. Đường cao <i>h</i>_{của hình nón bằng:}

<b>A. </b>
6
.
4
<i>a</i>
<i>h=</i>
<b>B. </b>
3
.
2
<i>a</i>

<i>h=</i>

<b>C. </b><i>h a</i>= 3. <b>_D.</b><i>h a</i>= 2.

<b>Câu 9. Cho hình nón đỉnh </b><i>S</i>_{, đường cao}<i>SO</i>_{. Gọi}<i>A B</i>, _{là hai điểm thuộc đường trịn đáy của}

hình nón sao cho khoảng cách từ <i>O</i>_đến<i>AB</i>_bằng<i>a</i>_và<i>SAO =</i>· 30 ,0 <i>_{SAB =}</i>· ₆₀0

. Độ dài đường

sinh l_{của hình nón bằng:}

<b>A. </b>l =<i>a</i>. <b>_B.</b>l =<i>a</i> 2. <b>_C.</b>l =<i>a</i> 3. <b>_D.</b>l =2 .<i>a</i>

<b>Câu 10. Một hình nón có bán kính đáy </b><i>R</i>_{, góc ở đỉnh là}60°_{. Một thiết diện qua đỉnh nón}

chắn trên đáy một cung có số đo 90°_{. Diện tích của thiết diện là:}

<b>A.</b>
2 ₇
2
<i>R</i>
. <b>B. </b>
2 ₃
2
<i>R</i>
. <b>C. </b>
2
3
2

<i>R</i>
. <b>D. </b>
2 ₆
2
<i>R</i>
.

<b>Câu 11. Cho hình chóp tam giác đều </b><i>S ABC</i>. _{có cạnh đáy bằng}<i>2a</i>_{, khoảng cách từ tâm}<i>O</i>

của đường tròn ngoại tiếp của đáy <i>ABC</i>_{đến một mặt bên là}2

<i>a</i>

. Thể tích của khối nón

ngoại tiếp hình chóp <i>S ABC</i>. _bằng:

<b>A. </b>
3
4 _.
3
<i>a</i>
<i>p</i>
<b>B. </b>
3
4 _.
9
<i>a</i>
<i>p</i>
<b>C. </b>

3
4 _.
27
<i>a</i>
<i>p</i>
<b>D. </b>
3
2 _.
3
<i>a</i>
<i>p</i>

<b>Câu 12. Cho hình nón có đỉnh </b><i>S</i>_{, đường cao}<i>SO</i>=<i>h</i>_{, đường sinh}<i>SA</i>_{. Nội tiếp hình nón là}

một hình chóp đỉnh <i>S</i>_{, đáy là hình vng}<i>ABCD</i>_cạnh<i>a</i>_{. Nửa góc ở đỉnh của hình nón}

có tan bằng:

<b>A.</b>
2
.
2
<i>h</i>
<i>a</i> <b>_B.</b>
2
.
2
<i>a</i>
<i>h</i> <b>_C.</b>
2

.
<i>a</i>

<i>h</i> <b>_D.</b>

2
.

<i>h</i>
<i>a</i>

<b>Câu 13. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình trịn </b>( )<i>O</i> và ( )<i>O</i>' , chiều cao <i>R</i> 3_{và bán kính}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

A
O

S

A
O

S

0

30

quanh của hình trụ và hình nón bằng:

<b>A. </b>2_. <b>_B.</b> 2_. <b>_C.</b> 3_. <b>_D.</b>3_.

<b>Câu 14. Một hình nón có đường cao bằng </b><i>9cm</i>_{nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng}<i>5cm</i>_.
Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là:

<b>A.</b>
27

500_. <b>_B.</b>

81

500_. <b>_C.</b>

27

125_. <b>_D.</b>
81
125_.

<b>Câu 15. Cho hình nón có bán kính đáy là </b><i>5a</i>_{, độ dài đường sinh là}<i>13a</i>_{. Thể tích khối cầu}
nội tiếp hình nón bằng:

<b>A. </b>

3
4000

81

<i>a</i>

<i>p</i>

. <b>B. </b>

3
4000

27

<i>a</i>
<i>p</i>

. <b>C. </b>

3
40

9

<i>a</i>
<i>p</i>

. <b>D. </b>

3
400

27

<i>a</i>

<i>p</i>

.

<b>ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI</b>

<b>Câu 1. Theo giả thiết, ta có </b>

2

<i>SA</i>= =l <i>a</i>_và<i>_{SAO =}</i>· ₆₀0
.

Suy ra

0
.cos60

<i>R OA SA</i>= = =<i>a</i>_.

Vậy diện tích tồn phần của hình nón bằng:

2 ₃ 2

<i>S</i>=<i>pRl</i>+<i>pR</i> = <i>pa</i> <b>_{(đvdt). Chọn B.}</b>

<b>Câu 2. Theo giả thiết, ta có </b>

2

<i>OA</i>=<i>a</i> _và<i>_{OSA =}</i>· ₃₀0
.

Suy ra độ dài đường sinh:

0 2 2.
sin30

<i>OA</i>

<i>SA</i> <i>a</i>

= = =

l

Vậy diện tích xung quanh bằng:

2
4

<i>xq</i>

<i>S</i> =<i>pR</i>l = <i>pa</i> <b>_{(đvdt). Chọn A.}</b>

<b>Câu 3. Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là </b><i>B</i>_{, tâm đường trịn đáy là}<i>A</i>_{, bán kính đáy}

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

C
B

A

A
O

S

B

A
O

S

B

0

60

Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:

2 2 _{2 .}

<i>BC</i> <i>AB</i> <i>AC</i> <i>a</i>

= = + =

l

<b>Chọn D.</b>

<b>Câu 4. Gọi </b><i>S O</i>, _{là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón, thiết diện qua đỉnh là tam}

giác <i>SAB</i>_.

Theo bài ra ta có tam giác <i>SAB</i>_{vng cân tại}<i>S</i>_nên

2 2

<i>AB SB</i>= =<i>a</i> _,

2 2

.

2 2

<i>SB</i> <i>a</i>

<i>SO =</i> =

Suy ra

2
2

<i>a</i>
<i>h SO</i>= =

, <i>l</i>=<i>SA</i>=<i>a</i>_và

2 2

2 2 .

2 2

<i>SB</i> <i>a</i>

<i>SB</i> = <i>R</i>Þ <i>R</i>= =

Diện tích tồn phần của hình nón:

(

)

2

2 1 2
2

<i>tp</i>

<i>a</i>
<i>S</i> =<i>pR</i>l+<i>pR</i> = + <i>p</i>

(đvdt).

Thể tích khối nón là:

3
2

1 2

3 12

<i>a</i>

<i>V</i> = <i>pR h</i>= <i>p</i>

<b> (đvtt). Chọn A.</b>

<b>Câu 5. Gọi </b><i>S</i>_{là đỉnh,}<i>O</i>_{là tâm của đáy, thiết diện qua trục là}<i>SAB</i>_.

Theo giả thiết, ta có <i>SA</i>=2<i>a</i>_và<i>ASO =</i>· 60°_.

Trong tam giác <i>SAO</i>_{vuông tại}<i>O</i>_{, ta có}

.sin60 3.

<i>OA SA</i>= °=<i>a</i>

Vậy diện tích tồn phần:

( )2

(

)

2 _. _. 2 _{3 2 3}

<i>tp</i>

<i>S</i> =<i>pR</i>l+<i>pR</i> =<i>pOA SA</i>+<i>p</i> <i>OA</i> =<i>pa</i> +

<b> (đvdt). Chọn B. </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

B
E
H
S

O

A

Gọi <i>S</i>'_{là điểm đối xứng của}<i>S</i>_{qua tâm}<i>O</i>_và<i>A</i>_{là một}

điểm trên đường tròn đáy của hình nón.

Tam giác <i>SAS</i>'_{vng tại}<i>A</i>_{và có đường cao}<i>AH</i>_nên

2 _. _' _3.

<i>SA</i> =<i>SH SS</i> Þ <i>SA</i>=<i>a</i>

<b>Chọn C.</b>

<b>Câu 7. Theo giả thiết ta có tam giác </b><i>OAB</i>_{đều cạnh}<i>R</i>_.

Gọi <i>E</i>_{là trung điểm}<i>AB</i>_{, suy ra}<i>OE</i>^<i>AB</i>_và

3
2

<i>R</i>
<i>OE =</i>

.

Gọi <i>H</i>_{là hình chiếu của}<i>O</i>_trên<i>SE</i>_{, suy ra}<i>OH</i> ^<i>SE</i>_.

Ta có ( ) .

<i>AB OE</i>

<i>AB</i> <i>SOE</i> <i>AB OH</i>
<i>AB</i> <i>SO</i>

ỡ ^

ùù _ị _^ _ị _^

ớù ^
ùợ

T đó suy ra <i>OH</i>^(<i>SAB</i>) nên ,( ) 2.

<i>R</i>
<i>d O SAB</i>é_ë ù=_û <i>OH</i>=

Trong tam giác vng <i>SOE</i>_{, ta có}

2 2 2 2

1 1 1 8 6

.
4
3

<i>R</i>
<i>SO</i>

<i>SO</i> =<i>OH</i> - <i>OE</i> = <i>R</i> Þ =

<b>Chọn A.</b>

<b>Câu 8. Theo giả thiết ta có tam giác </b><i>SAB</i>_{vng cân tại}<i>S</i>_.

Gọi <i>E</i>_{là trung điểm}<i>AB</i>_{, suy ra}

<i>SE</i> <i>AB</i>
<i>OE</i> <i>AB</i>
ì ^
ïï
íï ^

ïỵ _và
1
2

<i>SE</i>= <i>AB</i>

.

Ta có

2 2

1 1 1

. 4 . 4

2 2 2

<i>SAB</i>

<i>S</i>_D = <i>AB SE</i>= <i>a</i> Û <i>AB AB</i>= <i>a</i>

4 2

<i>AB</i> <i>a</i> <i>SE</i> <i>a</i>

Þ = Þ = _.

Gọi <i>H</i> _{là hình chiếu của}<i>O</i>_trên<i>SE</i>_{, suy ra}<i>OH</i>^<i>SE</i>_.

Ta có ( ) .

<i>AB OE</i>

<i>AB</i> <i>SOE</i> <i>AB OH</i>
<i>AB</i> <i>SO</i>

ỡ ^

ùù _ị _^ _ị _^

ớù ^
ùợ

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

I
A

O
S

B

M
I

C A

S

B

( )

· · · ·

0

30 =<i>SO SAB</i>, =<i>SO SH</i>, =<i>OSH</i>=<i>OSE</i>.

Trong tam giác vng <i>SOE</i>_{, ta có}<i>SO SE</i>= .cos<i>OSE</i>· =<i>a</i> 3.<b>_{Chọn C.}</b>

<b>Câu 9. Gọi </b><i>I</i> _{là trung điểm}<i>AB</i>_{, suy ra}<i>OI</i> ^<i>AB SI</i>, ^<i>AB</i>_và<i>OI</i> =<i>a</i>_.

Trong tam giác vng <i>SOA</i>_{, ta có} ·

3

.cos .

2

<i>SA</i>

<i>OA SA</i>= <i>SAO</i>=

Trong tam giác vuông <i>SIA</i>_{, ta có} .cos· 2.

<i>SA</i>

<i>IA SA</i>= <i>SAB</i>=

Trong tam giác vng <i>OIA</i>_{, ta có}

2 2 2 3 2 2 1 2 _2.

4 4

<i>OA</i> =<i>OI</i> +<i>IA</i> Û <i>SA</i> =<i>a</i> + <i>SA</i> Þ <i>SA</i>=<i>a</i>

<b>Chọn B.</b>

<b>Câu 10. Vì góc ở đỉnh là </b>60°_{nên thiết diện qua trục}<i>SAC</i>_{là tam giác đều cạnh}<i>2R</i>_.

Suy ra đường cao của hình nón là <i>SI</i> =<i>R</i> 3_.

Tam giác <i>SAB</i>_{là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung}<i>AB</i>_{có số đo bằng}90°_nên

<i>IAB</i>_{là tam giác vuông cân tại}<i>I</i> _{, suy ra}<i>AB</i>=<i>R</i> 2_.

Gọi <i>M</i> _{là trung điểm của}<i>AB</i>_thì

<i>IM</i> <i>AB</i>
<i>SM</i> <i>AB</i>
ì ^
ïï
íï ^

ïỵ _và

2
2

<i>R</i>
<i>IM =</i>

.

Trong tam giác vng <i>SIM</i> _{, ta có}

2 2 14_.
2

<i>R</i>

<i>SM</i> = <i>SI</i> +<i>IM</i> =

Vậy

2

1 7

.

2 2

<i>SAB</i>

<i>R</i>

<i>S</i>D = <i>AB SM</i> =

(đvdt).

<b>Chọn A.</b>

<b>Câu 11. Gọi </b><i>E</i>_{là trung điểm của}<i>BC</i>_{, dựng}<i>OH</i>^<i>SE</i>_tại<i>H</i> _.

( )

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

E

B
S

A C

O
H

A

O C

S

B

D

M

O
'

O

Trong tam giác đều <i>ABC</i>_{, ta có}

1 1 2 3 3

.

3 3 2 3

<i>a</i> <i>a</i>

<i>OE</i>= <i>AE</i>= =

và

2 2 3

.

3 3

<i>a</i>

<i>OA</i>= <i>AE</i>=

Trong tam giác vuông <i>SOE</i>_{, ta có}

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 <i>_{SO a}</i>

<i>OH</i> =<i>OE</i> +<i>SO</i> Þ <i>SO</i> =<i>OH</i> - <i>OE</i> =<i>a</i> Þ = _.

Vậy thể tích khối nón

2

3
2

1 1 2 3 4

. .

3 3 3 9

<i>a</i> <i>a</i>

<i>V</i> = <i>pOA SO</i>= <i>p</i>_ỗỗỗổ ữữử_ữ_ữ<i>a</i>= <i>p</i>
ữ

ỗố ứ _(vtt).

<b>Chn B.</b>

<b>Câu 12. Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc </b><i>·ASO</i>.

Hình vng <i>ABCD</i>_cạnh<i>a</i>_{nên suy ra}

2_.

2

<i>a</i>
<i>OA =</i>

Trong tam giác vng <i>SOA</i>_{, ta có}

· 2

tan .

2

<i>OA</i> <i>a</i>

<i>ASO</i>

<i>SO</i> <i>h</i>

= =

<b> Chọn C.</b>

<b>Câu 13. Diện tích xung quanh của hình trụ: </b>

( ) 2

xq T 2 . 2 . 3 2 3
<i>S</i> = <i>pR h</i>= <i>pR R</i> = <i>pR</i>

(đvdt).

Kẻ đường sinh <i>O M</i>' _{của hình nón, suy ra}

2 2 2 2

' ' 3 2

<i>O M</i> <i>OO</i> <i>OM</i> <i>R</i> <i>R</i> <i>R</i>

= = + = + =

l _.

Diện tích xung quanh của hình nón:

( ) 2

xq N .2 2

<i>S</i> =<i>pR</i>l=<i>pR R</i>= <i>pR</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Vậy

( )
( )

xq T
xq N

3.
<i>S</i>

<i>S</i> =

<b> Chọn C.</b>

<b>Câu 14. Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có </b><i>SH =</i>9cm_,<i>OS OA</i>= =5cm_.

Suy ra <i>OH =</i>4cm_và<i>_AH</i>₌ <i>_OA</i>2_- <i>_OH</i>2₌_3cm.

Thể tích khối nón

2
1

. 27
3

<i>n</i>

<i>V</i> = <i>pAH SH</i> = <i>p</i>

(đvtt).

Thể tích khối cầu

3

4 500

.

3 3

<i>c</i>

<i>V</i> = <i>pSO</i> = <i>p</i>

(đvtt).

Suy ra

81_.
500

<i>n</i>

<i>c</i>
<i>V</i>

<i>V</i> = <b>_{Chọn B.}</b>

<b>Câu 15. Xét mặt phẳng qua trục </b><i>SO</i>_{của hình nón ta được thiết diện là tam giác cân}<i>SAB</i>_.

Mặt phẳng đó cắt mặt cầu theo đường trịn có bán kính <i>r</i>_{(bán kính mặt cầu) và nội}

tiếp trong tam giác cân <i>SAB</i>_.

Trong tam giác vuông <i>SOB</i>_{, gọi}<i>I</i> _{là giao điểm của đường phân giác trong góc}<i>B</i>_với

đường thẳng <i>SO</i>_.

Chứng minh được <i>I</i> _{là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và bán kính}<i>r</i>=<i>IO</i>=<i>IE</i>₍<i>E</i>_là

hình chiếu vng góc của <i>I</i> _trên<i>SB</i>_).

Theo tính chất phân giác, ta có

13
5
<i>IS</i> <i>BS</i>
<i>IO</i>=<i>BO</i>= _.

Lại có <i>IS IO SO</i>+ = = <i>SB</i>2- <i>OB</i>2=12_.

Từ đó suy ra

26 10

,

3 3

<i>IS</i>= <i>IO</i>=
.

Ta có D<i>SEI</i>ÿD<i>SOB</i>_nên

5 5 10

.

13 13 3

<i>IE</i> <i>BO</i>

<i>IE</i> <i>IS</i>
<i>IS</i>=<i>BS</i>= Þ = =

Thể tích khối cầu:

3 3

3

4 4 10 4000

3 3 3 81

<i>a</i> <i>a</i>

<i>V</i> = <i>pr</i> = <i>p</i>ổ ửỗỗ_ỗố ữữ_ữ_ứ = <i>p</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9></div>

<!--links-->