Đề thi HSG Toán 12 năm 2018 – 2019 trường Lưu Nhân Chú – Thái Nguyên - THI247.com

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (142.68 KB, 3 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GD&ĐT THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG THPT LƯU NHÂN CHÚ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 12
NĂM HỌC 2018 – 2019

MƠN: TỐN

Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề. 
(Đề gồm có 05 câu trong 01 trang)

Bài 1 (2,0 điểm) : Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

2 2

( 2 2 1) 2 0

m x  x  x  x

Bài 2 ( 2 điểm): Cho dãy số (xn) như sau:

1 2 3 1

1 2

2 3 ... ( 1)

2; ; , 1

( 1)

n
n

x x x n x

x x n n

n n



    

   

 

Tìm limun với un = (n+1)3xn.

Bài 3 (2 điểm): Tính tổng 1 2 2 3 3

2 n 2 .2 n 2 .3 n ... 2 .k nk ... 2 .n nn

S  C  C  C   kC   nC

Câu 4 ( 2,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trịn (C) có phương trình:

2 2

(y 1) 1.

x   

Chứng minh rằng với mỗi điểm M(m;3) trên đường thẳng y = 3 ta ln tìm được

hai điểm T1, T2 trên trục hoành, sao cho các đường thẳng MT1, MT2 là tiếp tuyến của

(C). Khi đó hãy viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác MT1T2.

Câu 5 ( 2,0 điểm): Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

3 3 3

3 3 3 3 3 3 1

(b c) (c ) (a )

a b c

a    b  a  c  b  .

...Hết...

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐÁP ÁN

Câu Nội dung Điểm

1 Đặt





2 2. 0;1 3 1; 2 .

t  x  x Do x   t

Phương trình trở thành :

2
2
1
t
m
t




Xét hàm số:













2 2

2 2 2

( ) , 1; 2 '( ) 0 1; 2

1 1

t t t

f t t f t t

t t

  

      

 

Hàm số luôn đồng biến nên

1 2

(1) (2)

2 3

f m f   m

0,5

0,5
2 Với n là số tự nhiên lớn hơn 1ta có:

1 2

1 2 1 1

2 ... (1)

2 ... ( 1) ( 1) (2)

n n

x x nx n x

x x n x  n x 

   

     

Từ (1) và (2) suy ra nxn = n3xn – (n – 1)3xn-1













3 2
1
1
3
2
3
3
3
1
2
1 1
.
1
4
( 1)
1 4

lim lim 4

( )
– –

1
1

n n n

n

n n

n

n x n n

x x

n n

nx n x

n n
x
n n
n
u
n n
n x




   
    
   
 

 




0,5
1
0,5

3 Xét khai triển:

0 1 2 2 2 3 3 3

(1 2 ) x n Cn 2C xn 2 C xn 2 C xn ... 2 kC xnk k ... 2 nC xnn n
Lấy đạo hàm hai vế, ta có:

1 1 2 2 3 3 2 1 1

2 n(1 2 )x n 2Cn 2 .2C xn 2 .3C xn ... 2 .kkC xnn k ... 2 .nnC xnn n

  

       

Cho x = 1 ta được:

1 2 2 3 3 1

2 2 .2 2 .3 ... 2 .k n ... 2 .n n 2 3n

n n n n n

S C C C kC nC n 

       

0,5

4 Đường trịn (C) có tâm I(0; 1) và bán kính R = 1.

Điểm T thuộc trục hồnh thì T(t; 0) và M(m; 3) thuộc đường thẳng y = 3 nên
pt MT là:

3x + (t – m)y – 3t = 0.
Do MT là tiếp tuyến của (C) nên d(I, MT) = 1 hay

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2
2

1 2 3 0 (*)
9 ( )

t m t

t mt

t m
 

    
 

Do pt (*) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 với mọi m nên luôn tồn tại hai điểm
T1(t1; 0) và T2(t2; 0) để MT1 và MT2 là tiếp tuyến của (C).

Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác MT1T2 là:

2 2 2

2 3 0.

2
m

x y  mx  y 

0,5

5 Theo bất đẳng thức AM – GM, với x khơng âm ta có:

2 2

3 2 (1 ) (1 )

1 (1 )(1 ) 1

2 2

x x x x

x x x x    

       

Từ đó ta có:

3 2

3 2 2 2

3 3 2 2 2

3 2

3 3 2 2 2

3 2

3 3 2 2 2

1 1 1

(b c) 1 1

1 1

(c )

(a )

a a

b c

a b c b c a b c

a

a a

b b

b a a b c

c c

c b a b c

   



          

    

   



   

 

   

Vậy:

3 3 3

3 3 3 3 3 3 1

(b c) (c ) (a )

a b c

a    b  a  c  b 

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

0,5

</div>

Đề thi HSG Toán 12 năm 2018 – 2019 trường Lưu Nhân Chú – Thái Nguyên - THI247.com





























Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về