CHUYÊN đề TOÁN lớp 10 (lí THUYẾT TRỌNG tâm, PHƯƠNG PHÁP GIẢI các DẠNG bài tập) 6 CHUYÊN đề đs GT CHUYÊN sư PHẠM HN

CHUYÊN ĐỀ TOÁN LỚP 10
PHẦN ĐS-GT

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú
eBook Collection
DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK
PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CHUYÊN ĐỀ TOÁN LỚP 10 (LÍ THUYẾT TRỌNG
TÂM, PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP) 6 CHUYÊN ĐỀ ĐS-GT - CHUYÊN SƯ PHẠM HN
WORD VERSION | 2021 EDITION
ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL


Tài liệu chuẩn tham khảo
Phát triển kênh bởi
Ths Nguyễn Thanh Tú
Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : 
Nguyen Thanh Tu Group
Hỗ trợ trực tuyến
Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon
Mobi/Zalo 0905779594


CHUYÊN ĐỀ

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ. TẬP HỢP

Mệnh đề

Hôm nay trời đẹp quá!

72 là một số vô tỉ

BÀI 1. MỆNH ĐỀ

Mệnh đề là một khẳng định chỉ có tính đúng hoặc

(khơng là một mệnh đề)

(là một mệnh đề)

Mục tiêu

sai.

Kiến thức

Tính đúng sai của một mệnh đề.

+ Nắm vững các khái niệm mệnh đề, mệnh đề phủ định, mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương
+

Chú ý: Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

Một câu khẳng định đúng được gọi là mệnh đề

đương, các điều kiện cần và đủ

đúng.

Biết khái niệm mệnh đề chứa biến

Một câu khẳng định sai được gọi là mệnh đề sai.

Kĩ năng

Mệnh đề chứa biến

+

Xác định được mệnh đề đúng, mệnh đề sai

Mệnh đề chứa biến là những câu chưa khẳng định

+

Nhận biết mệnh đề, mệnh đề chứa biến, mệnh đề tương đương, mệnh đề kéo theo

được tính đúng sai. Nhưng với mỗi giá trị của biến

+

Lập mệnh đề phủ định, sử dụng các kí hiệu trong suy luận tốn học

sẽ cho ta một mệnh đề.
Kí hiệu ∀

- Đọc là “với mọi”.

Chú ý: Mệnh đề chứa biến khơng phải mệnh đề.

Ví dụ: “Mọi học sinh lớp 8A đều nặng hơn 45 kg ”.
“ ∀x ∈ ℝ, 2 x 2 + 1 > 0 ”

- “Với mọi x thuộc X, P ( x ) đúng” được kí hiệu là Đây là dạng viết kí hiệu của mệnh đề “Mọi số thực
X thì 2x2 +1 > 0 ”.

“ ∀x ∈ X , P ( x ) ”.
Kí hiệu ∃
Đọc là “tồn tại” hoặc “có ít nhất một”.

“Tồn tại x thuộc X để P ( x ) đúng” được viết dưới
dạng kí hiệu là “ ∃x ∈ X , P ( x ) ”.
Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P. Mệnh đề “không phải P” được gọi
là mệnh đề phủ định của P.

Ví dụ: “Tồn tại một học sinh lớp 8A nhẹ hơn 45
kg”.

" ∃x ∈ ℝ, 2 x 2 + 1 < 0 ".
Đây là dạng viết kí hiệu của mệnh đề “Tồn tại số
thực x để 2 x 2 + 1 < 0

Ví dụ: “Tứ giác ABCD là hình vng” là mệnh đề
phủ định của mệnh đề “Tứ giác ABCD khơng phải

là hình vng”.

Kí hiệu P .
Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng.
Mệnh đề kéo theo

Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo
theo.
Kí hiệu: P ⇒ Q
Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Mệnh đề đảo

Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của
mệnh đề P ⇒ Q .
Mệnh đề tương đương
Trang 1

Trang 2


Nếu cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng ta

mệnh đề chứa biến).

nói P và Q là hai mệnh đề tương đương.

Ví dụ 2. Câu nào sau đây là mệnh đề? Cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.
1) Hồ Gươm thật đẹp!

Kí hiệu: P ⇔ Q .

2) Phương trình x 2 − 3x + 6 = 0 vô nghiệm.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

3) 16 khơng là số chính phương.

Dạng 1:Xác định mệnh đề. Xét tính đúng sai của mệnh đề

4) Hai phương trình x 2 − x + 3 = 0 và x 2 − 1 = 0 có nghiệm chung.

Bài tốn 1. Xác định mệnh đề và xét tính đúng sai

5) Số π có lớn hơn 3 hay khơng?

Phương pháp giải

Ví dụ 1:

Bước 1. Kiểm tra câu đã cho có là một câu khẳng

•

6) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có chu vi bằng nhau.
7) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vng góc với nhau tại trung điểm

“Thành phố Bn Ma Thuột ở Đắk Lắk” là

định.

mệnh đề đúng.

Bước 2. Xét khẳng định đó có chắc chắn đúng hoặc

•

“2012 là số lẻ” là mệnh đề sai.

Hướng dẫn giải

chắc chắn sai (khách quan) hay khơng?

•

“Hơm qua có mưa khơng?” khơng phải là

Câu (1) là câu cảm thán và câu ( 5) là câu hỏi nên câu (1) và câu ( 5) không phải là một mệnh đề.

mệnh đề.

Câu ( 2 ) và câu ( 7 ) là mệnh đề đúng vì

Bước 3. Kết luận là mệnh đề hay không? Và là

mỗi đường.

mệnh đề đúng hay mệnh đề sai.

+

Một khẳng định đúng là mệnh đề đúng. Một khẳng

x 2 − 3x + 6 = 0 có ∆ = −15 < 0 nên phương trình vơ nghiệm.

+ Dấu hiệu nhận biết hình thoi.

định sai là mệnh đề sai.

Câu ( 3) , câu ( 4 ) và câu ( 6 ) là mệnh đề sai.

Ví dụ mẫu

Bài tốn 2. Mệnh đề chứa biến

Ví dụ 1. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề?

Phương pháp giải

Ví dụ 1: Mệnh đề “x là số tự nhiên chẵn” là mệnh

a) Buôn Ma Thuột là một thành phố của Việt Nam.

Mệnh đề chứa biến là những câu chưa khẳng định đề chứa biến.

b) Sông Sêrêpôk chảy ngang qua thành phố Bn Ma Thuột.

được tính đúng sai. Nhưng với mỗi giá trị của biến Với x = 2 , đây là mệnh đề đúng.

c) Hãy trả lời câu hỏi này!

sẽ cho ta một mệnh đề.

d) −24 + 5 + 19

Ví dụ 2: Cho mệnh đề chứa biến P ( x ) :" x > x3 " .

e) 6 + 16 = 25

Mệnh đề P ( 2 ) : "2 > 23 " là một mệnh đề sai.

f) Bạn có rảnh tối nay khơng?

3

Mệnh đề P ( −2 ) :"− 2 > ( −2 ) " là một mệnh đề

g) x + 22 = 111

A. 1

Với x = 2019 , đây là mệnh đề sai.

B. 2

C. 3

D. 4

đúng

Hướng dẫn giải
Ví dụ mẫu

Chọn C.
Câu a là một câu khẳng định đúng nên là mệnh đề.

Ví dụ 1. Câu nào sau đây là mệnh đề chứa biến?

Câu b là một câu khẳng định sai nên là mệnh đề (mặc dù mệnh đề này sai).

(1)

Phương trình 3 x + 4 = 0 vơ nghiệm.

( 2)

Chu vi của hình vng có độ dài cạnh là a là 4a.

Câu e là câu khẳng định nên là mệnh đề (mặc dù mệnh đề này sai).

( 3)

"2 y+ 3 > x "

Câu f là câu hỏi, không phải là mệnh đề.

( 4)

“n chia hết cho 5”.

Câu c không phải là câu khẳng định (câu mệnh lệnh) nên không là mệnh đề.
Câu d là một phép tính, khơng là khẳng định nên khơng là mệnh đề.

Câu g là một khẳng định những chưa xác định được tính đúng sai nên đây khơng là mệnh đề (đây chỉ là

Trang 3

Trang 4


Hướng dẫn giải

(1)

là một mệnh đề (mệnh đề sai).

( 2)

là một mệnh đề (mệnh đề đúng).

Mặc dù chứa biến nhưng câu đã

c) ∃n ∈ ℕ : n 2 + 3 chia hết cho 4.

khẳng định rõ tính chất đúng sai

d) ∃q ∈ ℚ, 2q 2 − 1 = 0

thì nó không là mệnh đề chứa

e) ∃n ∈ ℕ, n ( n + 1) là một số chính phương.

biến mà là một mệnh đề.

( 3)

và ( 4 ) là một mệnh đề chứa biến vì chưa rõ tính đúng sai tuy

Hướng dẫn giải

3

Ví dụ 2. Cho các mệnh đề chứa biến sau, tìm một giá trị của biến để được mệnh đề đúng, mệnh đề sai.
a)

P ( x ) :" x ∈ ℝ, x 2 + 3x ≥ 0"

b)

Q ( n ) : “ n chia hết cho 5 , với n ∈ ℕ ”.

c)

Để chứng minh mệnh đề chứa

a) Mệnh đề ∀x ∈ ℝ, x3 + x 2 + 1 > 0 sai vì khi x = −2 ta có

nhiên khi thay các giá trị cụ thể của biến thì được một mệnh đề

( −2 ) + ( −2 )

2

+ 1 = −3 < 0
4

2

với mọi " ∀x ∈ X , P ( x ) " là sai
ta chỉ ra một giá trị x0 ∈ X

(
= (x

3

)(
3 x + 1)( x

2

)
3 x + 1)

b) Mệnh đề ∀x ∈ ℝ, x − x + 1 = x + 3x + 1 x − 3x + 1 đúng mà P ( x ) sai.
2

vì x 4 − x 2 + 1 = ( x 2 + 1) − 3x 2

2

R ( x ) :"− 4 x + 4 x − 1 ≤ 0 với x ∈ ℝ ”

3

+

2

−

c) Mệnh đề “ ∃n ∈ ℕ : n 2 + 3 chia hết cho 4” đúng vì với n = 1 thì

Hướng dẫn giải

n 2 + 3 = 4⋮ 4 .

a) Với x = 2 thì ta có mệnh đề "22 + 3.2 ≥ 0" là mệnh đề đúng.
Với x = −2 thì ta có mệnh đề " ( −2 ) + 3. ( −2 ) ≥ 0" là mệnh đề sai.

2q 2 − 1 = 0 ⇔ q 2 =

b) Với n = 10 thì “n chia hết cho 5, với n ∈ ℕ ” là mệnh đề đúng.
Với n = 12 thì “n chia hết cho 5, với n ∈ ℕ ” là mệnh đề sai.

tồn tại đúng ta chỉ cần nêu ra
một giá trị x0 ∈ X mà P ( x )

đúng.

d) Mệnh đề ∃q ∈ ℚ, 2q 2 − 1 = 0 sai vì

2

Để chứng minh mệnh đề chứa

1
1
⇔q=±
∉ℚ
2
2

e) Mệnh đề ∃n ∈ ℕ, n ( n + 1) là một số chính phương” đúng vì với

2

c) Ta có −4 x 2 + 4 x − 1 = − ( 2 x − 1) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ nên mọi giá trị x ∈ ℝ thì mệnh đề là mệnh đề

R ( x ) đúng.

n = 0 thì n ( n + 1) = 0 là một số chính phương.

Ví dụ 3. Xét tính đúng (sai) của hai mệnh đề sau và đưa ra nhận xét.

Bài toán 3. Viết lại mệnh đề tốn học chứa kí hiệu ∀ , ∃

1) " ∃x ∈ ℚ : x 2 + 2 x + 1 = 0"

Ví dụ mẫu

2) " ∃x ∈ ℚ : x 2 + 2 x + 1 ≠ 0"

Ví dụ 1. Dùng kí hiệu ∀ và ∃ để viết các mệnh đề sau.

Hướng dẫn giải

a) Có một số ngun khơng chia hết cho chính nó.

2

b) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chính nó.

Mệnh đề (1) đúng vì với x = −1 ta có ( −1) + 2. ( −1) + 1 = 0

c) Có một số hữu tỷ nhỏ hơn nghịch đảo của nó.

Mệnh đề ( 2 ) sai vì với x = −1 ta có ( −1) + 2. ( −1) + 1 = 0

2

d) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của nó.

Nhận xét: hai mệnh đề trên khẳng định hai điều trái ngược nhau.

Hướng dẫn giải

Bài tập tự luyện dạng 1

a)

" ∃n ∈ ℤ : n ⋮ n "

Bài tập cơ bản

b)

" ∀x ∈ ℝ : x + 0 = x "

Câu 1: Có bao nhiêu câu là mệnh đề?

c)

1
∃∈ ℚ : x <
x

d)

∀x ∈ ℕ : n > − n

a) 7 + 1 + 4 = 15
b) Hôm nay trời đẹp quá!
c) Năm 2019 là nám nhuận.

Ví dụ 2. Xét tính đúng (sai) của mỗi mệnh đề sau.

d) Tam giác vng có một đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền.

a) ∀x ∈ ℝ, x 3 + x 2 + 1 > 0

4

2

(

A. 4
2

)(

2

)

B. 3

C. 2

D. 1

Câu 2: Cho các câu sau đây:

b) ∀x ∈ ℝ, x − x + 1 = x + 3 x + 1 x − 3 x + 1

a) Ở đây đẹp quá!
Trang 5

Trang 6

Câu 9: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề đúng?

b) Phương trình x 2 − 9 x + 2 = 0 vô nghiệm

A. π là một số hữu tỉ.

c) 16 không là số nguyên tố.

B. Tổng của độ dài hai cạnh một tam giác lớn hơn độ dài cạnh thứ ba.

2

d) Hai phương trình x − 3x + 2 = 0 và x − 9 x + 2 = 0 có nghiệm chung.

C. Bạn có chăm học khơng?

e) Số π có lớn hơn 3 hay khơng?

D. Con thì thấp hơn cha.

f) 2 x 2 − 1 ≤ 0

Câu 10: Cho mệnh đề chứa biến P ( n ) : “ n 2 − 1 chia hết cho 4” với n là số nguyên. Xét xem các mệnh đề

Có bao nhiêu câu là mệnh đề, bao nhiêu câu là mệnh đề chứa biến?

A. 4; 1

B. 3; 0

C. 4; 0

D. 3; 1

P ( 5 ) và P ( 2 ) đúng hay sai?

Câu 3: Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề?
A. 11 là số hữu tỉ.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song.

D. P ( 5 ) sai và P ( 2 ) đúng.

B. x = 10 , y = 0

C. x = 8 , y = 1

Câu 4: Trong các câu sau

D. x = 4 , y = 6
2

Câu 12: Cho mệnh đề chứa biến P ( x ) : " x + 15 ≤ x " với x là số thực. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

II. 4 + x = 3

III. x + y > 1

IV. 2 − 5 < 0

C. III, IV

D. I, III

A. P ( 0 )

Câu nào là mệnh đề chứa biến?
A. II, III

C. P ( 5 ) đúng và P ( 2 ) sai.

A. x = 0 , y = 10

3
∈ℕ
5

I. 3 + 2 = 7

B. P ( 5 ) sai và P ( 2 ) sai.

Câu 11: Cặp giá trị x, y nào dưới đây để mệnh đề P : " x + y = 10" là mệnh đề sai?

C. Các bạn hãy học bài đi!
D.

A. P ( 5 ) đúng và P ( 2 ) đúng.

B. I, II

nó”.
B. ∀x ∈ ℝ, x.1 = x

C. ∃x ∈ ℝ, x.1 = x

D. ∃x ∈ ℚ, x.1 = x

C. P ( 4 )

D. P ( 5 )

Bài tập nâng cao

Câu 5: Viết mệnh đề sau bằng cách sử dụng kí hiệu ∀ hoặc ∃ : “Mọi số thực nhân với 1 đều bằng chính
A. ∀x ∈ ℤ, x.1 = x

B. P ( 3)

Câu 13: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saỉ?
A. ∃n ∈ ℕ, n 2 + 11n + 2 chia hết cho 11.

B. ∃n ∈ ℕ, n 2 + 1 chia hết cho 4.

C. Tồn tại số nguyên tố chia hết cho 5.

D. ∃x ∈ ℤ, 2 x 2 − 8 = 0

Câu 14: Chọn mệnh đề đúng.

Câu 6: Viết mệnh đề sau bằng cách sử dụng kí hiệu ∀ hoặc ∃ : “Với mọi số thực thì bình phương của nó

A. ∀n ∈ ℕ∗ , n 2 − 1 là bội số của 3

B. ∃x ∈ ℚ, x 2 = 3

luôn lớn hơn hoặc bằng 0”.

C. ∀n ∈ ℕ, 2n + 1 là số nguyên tố.

D. ∃n ∈ ℕ, 2n ≥ n + 2

A. ∀x ∈ ℝ, x 2 ≥ 0

B. ∀x ∈ ℤ, x 2 ≥ 0

Câu 15: Cho mệnh đề: ∀x ∈ ℝ ; x 2 − 2 + a > 0 , với a là số thực cho trước. Tìm giá trị của a để mệnh đề

C. ∃x ∈ ℝ, x 2 ≥ 0

D. ∃x ∈ ℝ, x 2 ≤ 0

đúng.

Câu 7: Viết mệnh đề sau bằng cách sử dụng kí hiệu ∀ hoặc ∃ : “Có một số ngun bằng bình phương

A. a ≤ 2

B. a > 2

C. a ≥ 2

D. a = 2

Dạng 2. Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của một mệnh đề

của chính nó”.
A. ∀x ∈ ℝ, x = x 2

B. ∀x ∈ ℤ, x = x 2

C. ∃x ∈ ℤ, x = x 2

D. ∃x ∈ ℝ, x 2 − x = 0

Bài tốn 1. Phủ định một mệnh đề, tính đúng (sai) của mệnh đề phủ định
Phương pháp giải

Ví dụ: Cho mệnh đề P: “3 là số nguyên tố”: có

Để xác định mệnh đề phủ định của một mệnh đề, ta mệnh đề phủ định là P : “3 không phải là số

Câu 8: Mệnh đề ∃x ∈ ℝ, x 2 = 2 khẳng định rằng

thêm (hoặc bớt) từ “không” (hoặc “khơng phải”) ngun tố”

A. Bình phương của mỗi số thực bằng 2.

vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.

B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 2.

P là mệnh đề phủ định của P. Khi đó:

C. Chỉ có một số thực mà bình phương của nó bằng 2.

•

Nếu P đúng thì P sai

D. Nếu x là một số thực thì x 2 = 2
Trang 7

Trang 8


•

A. Phương trình x 2 + 2 x + 1 = 0 vơ nghiệm.

Nếu P sai thì P đúng

B. Phương trình x 2 + 2 x + 1 = 0 có nghiệm kép.
Ví dụ mẫu

C. Phương trình x 2 + 2 x + 1 = 0 khơng có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 1. Tìm mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau.

D. Có hai giá trị phân biệt của x để x 2 + 2 x + 1 ≠ 0 .

a) “Hà Nội là thành phố lớn của Việt Nam.

Hướng dẫn giải

b) “Số 6 chia hết cho 2 và 3”.

Chọn C.

c) “2 là số lẻ”.

Chú ý: Mệnh đề phủ

Hai đáp án A và B đều thiếu trường hợp.

d) “3 là số vơ tỉ”.

định của p có thể diễn

Ví dụ 5: Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét xem mệnh đề đó

đạt theo nhiều cách khác

đúng hay sai.

Hướng dẫn giải

a) “Hà Nội không phải là thủ đô của Singapore”.

nhau

b) “Số 6 không chia hết cho 2 hoặc 3”.

Cách 1. Xét trực tiếp.

c) 3 là số nguyên tố nhỏ nhất.

d) “3 là số hữu tỉ” hoặc “3 không phải là số vô tỉ”.

Cách 2. Xét tính đúng

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Tìm mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau.

sai của mệnh đề ban

a) Có hữu hạn số nguyên tố. Mệnh đề này sai.

a) Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có nghiệm.

Một số chú ý khi chuyển

b) "15 > 3"

sang mệnh đề phủ định:

c) "5 + 4 = 10"

≤→>

d) " 2 ≤ 2"

<→≥

b) Phương trình x 2 + 0.x + 5 = 0 khơng phải ìà phương trình bậc hai một

đầu.

ẩn. Mệnh đề này sai.

c) 3 không phải là số nguyên tố nhỏ nhất. Mệnh đề này đúng.
Bài toán 2. Phủ định của mệnh đề với mọi và tồn tại

=→≠

a) Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 vơ nghiệm.

đề phủ định có hai cách:

b) Phương trình x 2 + 0.x + 5 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn.

c) “2 khơng phải là số lẻ” hoặc “2 là số chẵn”.

Hướng dẫn giải

Xét tính đúng sai mệnh

a) Có vơ số số ngun tố.

Phương pháp giải

(và ngược lại)

Phủ định mệnh đề chứa kí hiệu ∀ , ∃

b) "15 ≤ 3"

Ví dụ 1: Mệnh đề “Mọi học sinh đều giỏi” có mệnh
đề phủ định là “Có ít nhất một học sinh không học

Mệnh đề phủ định của mệnh đề " ∀x ∈ X , P ( x ) " là giỏi”

c) "5 + 4 ≠ 10"

" ∃x ∈ X , P ( x ) "

d) " 2 > 2"

Mệnh đề phủ định của mệnh đề " ∃x ∈ X , P ( x ) " là

Ví dụ 3. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Phương trình 2 x 2 + 3 x + 4 = 0 vơ

nghiệm” là mệnh đề nào sau đây?

Ví dụ 2: Mệnh đề “ ∃n ∈ ℕ* , n ( n + 1)( n + 2 ) chia

hết cho 6” có mệnh đề phủ định là
“ ∀n ∈ ℕ* , n ( n + 1)( n + 2 ) không chia hết cho 6”

" ∀x ∈ X , P ( x ) "

2

A. Phương trình 2 x + 3 x + 4 = 0 có nghiệm

Lưu ý: Phủ định của “với mọi” là “có ít nhất một”

2

B. Phương trình 2 x + 3x + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ mẫu

C. Phương trình 2 x 2 + 3 x + 4 = 0 có nghiệm kép

Ví dụ 1: Cho mệnh đề " ∀x ∈ ℝ, x 2 − 2 x + 9 ≥ 0" . Hỏi mệnh đề nào là mệnh mệnh đề chứa ∀ , ∃ :

D. Phương trình 2 x 2 + 3 x + 4 = 0 khơng có nghiệm

đề phủ định của mệnh đề trên?

Hướng dẫn giải

Chọn A

A. " ∃x ∈ ℝ, x 2 − 2 x + 9 ≥ 0"

Vì phủ định vơ nghiệm là có nghiệm.

B. " ∀x ∈ ℝ, x 2 − 2 x + 9 > 0"

Ví dụ 4. Phủ định của mệnh đề “Phương trình x 2 + 2 x + 1 = 0 có hai nghiệm

phân biệt” là mệnh đề nào?

Tìm mệnh đề phủ đinh của

+) Chuyển ∀ → ∃ và ngược
lạ i
+) Lấy phủ định của mệnh
đề còn lại

C. " ∀x ∈ ℝ, x 2 − 2 x + 9 < 0"

Dễ mắc sai lầm:
Chọn phương án A.

Trang 9

D. " ∃x ∈ ℝ, x 2 − 2 x + 9 < 0"

Trang 10


1
C. A = " ∃x ∈ ℝ : x 2 + x < − " . Đây là mệnh đề đúng
4

Hướng dẫn giải
Chọn A

1
D. A = " ∃x ∈ ℝ : x 2 + x > − " . Đây là mệnh đề sai
4

Đáp án A đúng
Ví dụ 2: Tìm mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau.

Câu 5: Cho X là số tự nhiên. Phủ định của mệnh đề “ ∀x chẵn, x 2 + x là số chẵn” là mệnh đề

a) “Mọi động vật đều di chuyển”.
b) “Có ít nhất một số vơ tỷ là số thập phân vơ hạn tuần hồn”.
Hướng dẫn giải

a) Có ít nhất một động vật không di chuyển.

A. ∃x lẻ, x 2 + x là số lẻ

B. ∃x lẻ, x 2 + x là số chẵn

C. ∀x lẻ, x 2 + x là số lẻ

D. ∃x chẵn, x 2 + x là số lẻ

Câu 6: Cho mệnh đề “Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có nghiệm”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là

b) Mọi số vô tỷ đều không là số thập phân vô hạn tuần hồn.

A. Phương trình x 2 − 4 x + 4 ≠ 0 có nghiệm.

Ví dụ 3: Tìm mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau.

B. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có vô số nghiệm.

2

a) “ ∃x : x + 2 x + 5 là số nguyên tố”.

C. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

2

b) " ∀x ∈ ℝ, x + x + 1 > 0"

D. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 vô nghiệm.

2

c) " ∀x ∈ ℝ : x ≥ 4"

Câu 7: Mệnh đề phủ định của mệnh đề P: P : " 2 ≤ 2" là

Hướng dẫn giải

A. P : " 2 < 2"

a) “ ∀x : x 2 + 2 x + 5 không là số nguyên tố”.

B. P : " 2 > 2"

C. P : " 2 ≥ 2"

D. P :" 2 ≠ 2"

Câu 8. Phủ định của mệnh đề " ∃x ∈ ℝ,5 x − 3x 2 = 1" là

b) " ∃x ∈ ℝ, x 2 + x + 1 ≤ 0"
c) " ∃x ∈ ℝ : x 2 < 4"
Bài tập tự luyện dạng 2
B. “14 chia hết cho 2”.

C. “14 không phải là số nguyên tố”.

D. “14 chia hết cho 7”.

Câu 2: Cho mệnh đề A: " ∀x ∈ ℝ : x 2 < x " .Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào

B. " ∀x ∈ ℝ, 5 x − 3 x 2 = 1"

C. " ∀x ∈ ℝ, 5 x − 3 x 2 ≠ 1"

D. " ∃x ∈ ℝ, 5 x − 3x 2 ≥ 1"

Câu 9. Cho mệnh đề A: “ ∃n ∈ ℕ : 3n + 1 là số lẻ”, mệnh đề phủ định của mệnh đề A và tính đúng, sai của

Câu 1. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “14 là số nguyên tố” là mệnh đề
A. “14 là số nguyên tố”.

A. " ∃x ∈ ℝ, 5 x − 3 x 2 "

mệnh đề phủ định là

A. A : “ ∀n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề đúng.

là phủ định của mệnh

B. A : “ ∀n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề sai.
C. A : “ ∃n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề sai.

đề A?
A. " ∃x ∈ ℝ : x 2 < x "

B. " ∃x ∈ ℝ : x 2 ≥ x "

C. " ∃x ∈ ℝ : x 2 < x "

D. " ∃x ∈ ℝ : x 2 ≤ x "

D. A : “ ∃n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề đúng.
Dạng 3. Mệnh đề kéo theo. Mệnh đề đảo. Mệnh đề tương đương
Bài tốn 1. Tính đúng, sai của mệnh đề kéo theo

Câu 3: Mệnh đề phủ định của mệnh đề A: " ∀x ∈ ℕ : x ⋮ 3" là
A. " ∃x ∈ ℕ : x ⋮/ 3"

B. " ∀x ∈ ℕ : x ⋮/ 3"

C. " ∃x ∈ ℕ : x ⋮ 3"

D. " ∀x ∈ ℕ : x ⋮/ 3"

Phương pháp giải

1
Câu 4: Cho mệnh đê A : " ∀x ∈ ℝ : x + x ≥ − " . Gọi A là mệnh đê phủ định của A. Khẳng định nào sau
4
2

Ví dụ.

Mệnh đề kéo theo P ⇒ Q sai khi P đúng, Q sai và

a) Nếu a = b thì a 2 = b 2 . Đây là mệnh đề đúng.

đúng trong các trường hợp còn lại.

b) Nếu a 2 = b 2 thì a = b . Đây là mệnh đề sai.

Chú ý: Định lí là các mệnh đề đúng.
Ví dụ mẫu

đây là đúng?

Ví dụ: Xét tính đúng (sai) của các mệnh đề sau:

1
A. A = " ∃x ∈ ℝ : x 2 + x ≥ − " . Đây là mệnh đề đúng
4

a) Nếu tam giác ABC đều thì tam giác ABC cân.

1
B. A = " ∃x ∈ ℝ : x 2 + x ≤ − " . Đây là mệnh đề đúng
4

b) Nếu 1 = 2 thì 12 = 22 .
c) Nếu 3 ≥ 2 thì 3 x ≥ 2 x , ∀x ∈ ℝ .

Trang 11

Trang 12


đề này đúng.

Hướng dẫn giải
Các mệnh đề đúng là: a), b).

d) Mệnh đề đảo: “Nếu ABC là tam giác đều thì AB = BC = CA . Mệnh

Bài tốn 2. Xác định mệnh đề đảo của một mệnh đề
Phương pháp giải
Cho mệnh đề P ⇒ Q
Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là Q ⇒ P

đề này đúng.

Ví dụ: Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề
sau.

Bài tốn 3. Phát biểu định lí tốn học, định lí đảo dạng điều kiện cần, điều kiện đủ

Phương pháp giải

a) “Nếu hai góc ở vị trí so le trong thì hai góc

đó bằng nhau”.

thường có dạng P ⇒ Q .

b) “Nếu hai số nguyên chia hết cho 7 thì tổng
bình phương của chúng chia hết cho 7”.
c) “Nếu một tứ giác nội tiếp đường trịn thì

lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q hoặc Q là điều Hướng dẫn giải
Số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 là điều kiện đủ để

kiện cần để có P.

Định lý đảo

số đó chia hết cho 5.

Cho định lý có dạng " ∀x ∈ X , P ( x ) ⇒ Q ( x ) " (1) .

Hướng dẫn giải
a) Nếu hai góc bằng nhau thì hai góc đó ở vị
trí so le trong.
b) “Nếu tổng bình phương của hai số ngun
chia hết cho 7 thì hai số ngun đó chia hết
cho 7.”
c) “Nếu tổng hai góc đối diện của một tứ giác

bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp đường
trịn.”

Mệnh đề (1) có mệnh đề đảo là

" ∀x ∈ X , Q ( x ) ⇒ P ( x ) " ( 2 )
Nếu mệnh đề ( 2 ) đúng thì ( 2 ) được gọi là định lý

đảo của định lý (1) và khi đó định lý (1) được gọi
là định lý thuận.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”.
a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc một đường thẳng thứ ba thì hai

Ví dụ mẫu

đường thẳng ấ y song song nhau.

Ví dụ. Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề sau và xét tính đúng, sai của

b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.

mệnh đề đảo.

c) Nếu a + b > 5 thì một trong hai số a và b phải dương.

a) Nếu một số chia hết cho 6 thì số đó chia hết cho 3 .

Hướng dẫn giảỉ

b) Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì hai đường chéo của nó vng

a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc một đường thẳng thứ ba là điều ksện

góc với nhau.

đủ để hai đường thẳng ấ y song song nhau.

c) Nếu một số chia hết cho 2 thì số đó là số chẵn.

b) Hai tam giác bằng nhau Bà đsều Sôộn đủ để chúng có diện tích bằng nhau.

d) Nếu AB = BC = CA thì ABC là tam giác đều.

c) a + b > 5 là điều kiện đủ để một trong hai số a và b dương.

Nhận xét: Tính đúng sai

a) Mệnh đề đảo: “Nếu một số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 6”. của mệnh đề đảo không phụ
Mệnh đề này sai.

Nếu một số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 thì chia

Khi đó ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định hết cho 5.

tổng của hai góc đối diện của nó bằng 180°

Hướng dẫn giải

Ví dụ: Phát biểu định lý sau, sử dụng khái niệm

Các định lí tốn học là những mệnh đề đúng và “điều kiện đủ”:

thuộc vào tính đúng sai của

b) Mệnh đề đảo: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc mệnh đề ban đầu.

Ví dụ 2. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm “điều kiện cần”:
a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau.
b) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vng góc nhau.
c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.

với nhau thì tứ giác đó là hình thoi”. Mệnh đề này sai.

Hướng dẫn giải

c) Mệnh đề đảo: “Nếu một số là chẵn thì số đó chia hết cho 2”. Mệnh

a) Điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau là chúng có các góc tương ứng bằng nhau.
Trang 13

Trang 14


b) Điều kiện cần để tứ giác T là một hình thoi là nó có hai đường chéo vng góc nhau.

A. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau.

c) Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho 6 là nó chia hết cho 3.

B. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có ba góc vng.

Ví dụ 3. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ”.

C. Một tam giác là vng khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc cịn lại.

a) “Tam giác ABC là một tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác cân và có một góc
bằng 60° ”.

D. Một tam giác là đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng
60° .

Câu 2. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là đúng?

b) “Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại”.

A. Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c.

c) “Một hình bình hành có các đường chéo vng góc là một hình thoi và ngược lại”.

B. Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau.

Hướng dẫn giải
a) “Điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là tam giác ABC cân và có một góc bằng 60° ”.

C. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9.

b) Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 9 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

D. Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5

c) Điều kiện cần và đủ để một hình bình hành là hình thoi là hai đường chéo của nó vng góc với
nhau.

A. “ABC là tam giác vng ở A ⇔

Bài tốn 4. Tính đúng sai của mệnh đề tương đương
Phương pháp giải

Câu 3. Cho tam giác ABC với H là chân đường cao từ A. Mệnh đề nào sau đây sai?

Ví dụ 1. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi

1
1
1
=
+
AH 2 AB 2 AC 2

B. “ABC là tam giác vuông ở A ⇔ BA2 = BH .BC

Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau.

C. “ABC là tam giác vuông ở A ⇔ HA2 = HB.HC

P ⇔ Q và Q ⇔ P đều đúng và sai trong các Đây là mệnh đề tương đương đúng.

D. “ABC là tam giác vuông ở A ⇔ BA2 = BC 2 + AC 2

trường hợp cịn lại.

Ví dụ 2. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi

Câu 4: Cho mệnh đề: “Nếu một tam giác là tam giác đều thì nó có ba cạnh bằng nhau”. Chọn phát biểu

chúng có các góc tương ứng bằng nhau.

sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, hoặc “điều kiện đủ” đúng.

Đây là mệnh đề tương đương sai vì:

A. Điều kiện đủ để một tam giác là tam giác đều là tam giác đó có ba cạnh bằng nhau.

Hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau chưa

B. Điều kiện cần để một tam giác là tam giác đều là tam giác đó có ba cạnh bằng nhau.

chắc đã bằng nhau (chúng có thể là các tam giác

C. Điều kiện cần để một tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đó là tam giác đều.

đồng dạng và không bằng nhau).

D. Các phát biểu kia đều sai.

Ví dụ mẫu

Câu 5. Cho mệnh đề: “Nếu hai góc ở vị trí so le trong thì hai góc đó bằng nhau”. Trong các mệnh đề sau

Ví dụ. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

đây, đâu là mệnh đề đảo của mệnh đề trên?

A. Một tam giác vng khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc cịn lại.

A. Nếu hai góc bằng nhau thì hai góc đó ở vị trí so le trong.

B. Một tam giác đều khi và chỉ khi nó có hai trung tuyến bằng nhau và một góc bằng 60°

B. Nếu hai góc khơng ở vị trí so le trong thì hai góc đó khơng bằng nhau.

C. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cặp cạnh bằng nhau.

C. Nếu hai góc khơng bằng nhau thì hai góc đó khơng ở vị trí so ỉe trong.

D. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vng.

D. Nếu hai góc ở vị trí so le trong thì hai góc đó khơng bằng nhau.
Câu 6. Mệnh đề nào sau đây có mệnh đề đảo đúng?

Hướng dẫn giải

A. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
B. Nếu một số chia hết cho 6 thì cũng chia hết cho 3.
C. Nếu một phương trình bậc hai có biệt thức âm thì phương trình đó vơ nghiệm.
D. Nếu a = b thì a 2 = b 2 .
Ý C sai vì trong trường hợp sau chúng đồng dạng có một cặp cạnh bằng nhau nhưng không bằng nhau.

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là định lí?
A. ∀x ∈ ℝ, x > −2 ⇒ x 2 > 4

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
Trang 15

Trang 16


B. ∀x ∈ ℝ, x > 2 ⇒ x 2 > 4

Giả sử

3 là số hữu tỉ. Khi đó tồn tại a; b ∈ ℤ, b ≠ 0 và ( a; b ) = 1 sao cho

3=

C. ∀x ∈ ℝ, x 2 > 4 ⇒ x > 2
Ta có

D. Nếu a + b chia hết cho 3 thì a, b đều chia hết cho 3 .
Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào khơng phải là định lí?

3=

a
b

a
⇔ 3b = a ⇒ 3b 2 = a 2
b

Nhận thấy VT = 3b 2 ⋮ 3 nên VP ⋮ 3 hay a 2 ⋮ 3 ⇒ a ⋮ 3 (1) ⇒ a 2 ⋮ 9 .

A. ∃x ∈ ℕ , x 2 chia hết cho 3 ⇒ x chia hết cho 3

Do đó VP⋮ 9 ⇒ VT ⋮ 9 ⇒ 3b 2 ⋮ 9 ⇒ b 2 ⋮ 3 ⇒ b⋮ 3

B. ∃x ∈ ℕ , x 2 chia hết cho 6 ⇒ x chia hết cho 3

( 2) .

Từ (1) ; ( 2 ) ta có ( a; b ) ≥ 3 ≠ 1 (mâu thuẫn).

C. ∀x ∈ ℕ , x 2 chia hết cho 9 ⇒ x chia hết cho 9

Vậ y điều giả sử là sai hay

D. ∃x ∈ ℕ , x 2 chia hết cho 4 và 6 ⇒ x chia hết cho 12

3 là số vô tỉ.

Bài tập tự luyện

Dạng 4. Phương pháp phản chứng
Phương pháp giải

2

Ví dụ: Chứng minh rằng nếu n ( n ∈ ℤ ) là số lẻ thì

Chứng minh định lí " ∀x ∈ X , P ( x ) ⇒ Q ( x ) " (1)

n là số lẻ.

bằng phương pháp phản chứng.

Hướng dẫn giải

a) Nếu tổng của hai số ngun là một số chẵn thì hai số đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
b) Nếu tích hai số nguyên là một số lẻ thì cả hai số đều là số lẻ.
c) Nếu tích hai số nguyên là một số lẻ thì tổng của hai số đó là số chẵn.

Bước 1. Giả sử x0 ∈ X sao cho P ( x0 ) đúng và Giả sử n 2 là số lẻ nhưng n là số chẵn.
Q ( x0 ) sai, tức là mệnh đề (1) là mệnh đề sai.

Chứng minh rằng

ĐÁP ÁN

2

Khi đó n = 2k ( k ∈ ℤ ) . Suy ra n 2 = ( 2k ) = 4k 2 là
2

Dạng 1. Xác định mệnh đề. Xét tính đúng sai của mệnh đề

Bước 2. Dùng suy luận và những kiến thức toán một số chẵn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết n là

1-B

2-D

3-C

4-A

5-B

học đã biết để chỉ ra mâu thuẫn.

số lẻ.

11-C

12-D

13-B

14-D

15-B

Bước 3. Kết luận điều cần chứng minh.

Vậy nếu n 2 ( n ∈ ℤ ) là số lẻ thì n là số lẻ.

6-A

7-C

8-B

9-B

10-C

Hướng dẫn giải trắc nghiệm
Câu 13. Chọn B

Ví dụ mẫu

2

Trường hợp 1: n = 4k ( k ∈ ℕ ) thì n 2 + 1 = ( 4k ) + 1⋮/ 4

Ví dụ 1. Cho n ∈ ℤ , chứng minh rằng
a) Nếu 7n + 1 là số chẵn thì n là số lẻ.

2

2

Trường hợp 2: n = 4k + 1( k ∈ ℕ ) thì n 2 + 1 = ( 4k + 1) + 1 = ( 4k ) + 8k + 2 ⋮/ 4

3

b) Nếu n + 2 là số lẻ thì n là số lẻ.

2

2

2

Trường hợp 4: n = 4k + 3 ( k ∈ ℕ ) thì n 2 + 1 = ( 4k + 3) + 1 = ( 4k ) + 24k + 10 ⋮/ 4

a) Giả sử 7n + 1 là số chẵn nhưng n là số chẵn.
Khi đó n = 2k ( k ∈ ℤ ) . Suy ra 7n + 1 = 7.2k + 1 = 14n + 1 là số lẻ.

Câu 14. Chọn D

Điều này mâu thuẫn với giả thiết 7n + 1 là số chẵn.

Xét n = 2 ta có: 22 = 4 = 2 + 2

Khi đó ta có điều phải chứng minh.

Câu 15. Chọn B
Để mệnh đề đúng thì a − 2 > 0 ⇔ a > 2

3

b) Giả sử n + 2 là số lẻ nhưng n là số chẵn.

Dạng 2. Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của một mệnh đề

3

Khi đó n = 2k ( k ∈ ℤ ) . Suy ra n3 + 2 = ( 2k ) + 2 = 8k 3 + 2 là số chẵn.

1-C

Điều này mâu thuẫn với giả thiết n3 + 2 là số lẻ.
Khi đó ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2. Chứng minh

2

Trường hợp 3: n = 4k + 2 ( k ∈ ℕ ) thì n 2 + 1 = ( 4k + 2 ) + 1 = ( 4k ) + 16k + 5 ⋮/ 4

Hướng dẫn giải

2-B

3-A

4-C

5-D

6-D

7-B

8-C

9-B

Dạng 3. Mệnh đề kéo theo. Mệnh đề đảo. Mệnh đề tương đương

3 là số vô tỉ.

1-A

Hướng dẫn giải

2-C

3-D

4-B

5-A

6-C

7-B

8-C

Dạng 4. Phương pháp phản chứng
Trang 17

Trang 18

a) Giả sử a là số nguyên chẵn, b là số nguyên lẻ. Khi đó a = 2m , b = 2n + 1 ( m, n ∈ ℤ )
Khi đó ta có a + b = 2m + 2n + 1 là số tự nhiên lẻ.
Khi đó nếu a, b khơng cùng tính chẵn lẻ thì tổng của chúng là một số lẻ
Do đó tổng của hai số nguyên là một số chẵn thì hai số đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ
b) Giả sử tích hai số nguyên là một số lẻ nhưng trong hai số có ít nhất một số chẵn
Khi đó tích của một số lẻ với một số chẵn là một số chẵn (mâu thuẫn với giả thiết tích của hai số là một số
lẻ).
Do đó ta có điều phải chứng minh
c) Từ câu b) ta thấ y tích hai số nguyên là một số lẻ thì cả hai số đều là số lẻ. Do đó tổng của chúng là
số chẵn

Trang 19


CHUYÊN ĐỀ

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 2. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

Tập hợp và các cách biểu diễn

Mục tiêu

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của tốn học,

Kiến thức

khơng định nghĩa.

+ Hiểu được khái niệm tập hợp, tập con.

Các cách xác định tập hợp

Ví dụ: tập các ước nguyên dương của 6

+ Nắm được khái niệm hai tập hợp bằng nhau.

Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp

A = {1; 2;3; 6} .

+ Hiểu được các phép toán giao các tập hợp, hợp các tập hợp, phần bù trên tập hợp.

Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của

Kĩ năng

tập hợp.

+ Cho tập hợp bằng hai cách.

Tập rỗng

+ Thực hiện các phép toán giao hai tập hợp; hợp hai tập hợp; hiệu hai tập hợp, phần bù của một
tập con

Tập rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu ∅
.

A = {n ∈ ℕ 6⋮ n} .

{

}

Ví dụ: A = x ∈ ℝ x 2 + x + 1 = 0 .
Tập A các nghiệm của phương trình
x 2 + x + 1 = 0 là tập rỗng.

+ Dùng biểu đồ Ven để biểu diễn các phép toán trên tập hợp.
Mối quan hệ giữa các tập hợp
1. Tập hợp con
Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của
tập hợp B thì A được gọi là tập hợp con của tập hợp B.
Kí hiệu: A ⊂ B hoặc B ⊃ A.
2. Hai tập hợp bằng nhau

Khi A ⊂ B và B ⊂ A thì A và B là hai tập hợp bằng
nhau.
Kí hiệu: A = B.

Ví

dụ:

{

}

A = x ∈ ℝ x 2 + 3x + 2 = 0 và

x 2 + 3x + 2 = 0 

B = x ∈ ℝ
 = 0 là hai tập
x−4



hợp bằng nhau
Câu hỏi: “Hai tập hợp có cùng số phần tử

Các tập con thường gặp của ℝ

có bằng nhau không?”

Khoảng
( a; b ) = {x ∈ ℝ a < x < b}

Đoạn

[a; b] = {x ∈ ℝ a ≤ x ≤ b}
Nửa khoảng
[a; b ) = {x ∈ ℝ a ≤ x < b}

( a; b ] = {x ∈ ℝ a < x ≤ b}
[a; +∞ ) = {x ∈ ℝ a ≤ x}
( −∞; b ] = {x ∈ ℝ x ≤ b}

( a; +∞ ) = {x ∈ ℝ a < x}
( −∞; b ) = {x ∈ ℝ x < b}

Trang 1

Trang 2


Các phép tốn trên tập hợp

• Mỗi phần tử chỉ được viết một lần.

1. Giao của hai tập hợp

+) Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

tử của tập hợp.

A ∩ B = {x x ∈ A và x ∈ B} .

• Tập rỗng là tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu ∅.

x ∈ A
x∈A∩B ⇔ 
.
x ∈ B

A = {x ∈ ℕ x < 5} .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho các tập hợp

2. Hợp của hai tập hợp

{

}

A ∪ B = x x ∈ A hoaëc x ∈ B .

a) A = x ∈ ℝ ( x 2 + 7x + 6 )( x 2 − 4 ) = 0 ;

x ∈ A
x∈A∪B ⇔ 
.
x ∈ B

b) B = {x ∈ ℕ 2x ≤ 8} ;

{

+) Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần

}

c) C = {2x + 1 x ∈ ℤ và − 2 ≤ x ≤ 4} ;

{

}

d) D = x ∈ ℕ ( x 2 − 10x + 21) ( x 3 − x ) = 0 .

3. Hiệu và phần bù của hai tập hợp

A \ B = {x x ∈ A; x ∉ B}.

Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới dạng liệt kê các phần tử.

Hướng dẫn giải

x ∈ A
x∈A \ B ⇔ 
.
x ∉ B

 x 2 + 7x + 6 = 0
 x = −1
a) Ta có ( x 2 + 7x + 6 )( x 2 − 4 ) = 0 ⇔  2
hoặc
⇔
 x = −6
x − 4 = 0

x = 2
 x = −2 .


Vậy A = {−6; −2; −1; 2} .
Khi B ⊂ A thì A \ B gọi là phần bù của B trong A, kí

x ∈ ℕ
x ∈ ℕ
⇔
⇔ x ∈ {0;1; 2;3; 4} .
b) Ta có 
2x ≤ 8  x ≤ 4

hiệu CA B.

Vậy B = {0;1; 2;3; 4} .

x ∈ ℤ
c) Ta có 
⇔ x ∈ {−2; −1; 0;1; 2;3; 4} .
−2 ≤ x ≤ 4
Suy ra C = {−3; −1;1;3;5; 7;9} .
x = 3

2

x
−
10x
+
21
=
0
x = 7
d) Ta có ( x 2 − 10x + 21)( x 3 − x ) = 0 ⇔  3

⇔
.
x = 0
x
−
x
=
0


  x = ±1

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tập hợp và xác định tập hợp
Bài toán 1. Xác định tập hợp
Phương pháp giải

• Tập hợp là một khái niệm cơ bản của tốn học, khơng Ví dụ: Tập hợp A các số tự nhiên bé hơn 5
định nghĩa.

có thể được viết bằng 2 cách dưới đây

• Các cách xác định tập hợp
+) Liệt kê các phần tử:
Liệt kê các phần tử theo quy tắc

mà x là các số tự nhiên nên D = {0;1;3; 7} .

Ví dụ 2. Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng.
a) A = {0;1; 2;3; 4;5;6}.

+) Liệt kê các phần tử:

b) B = {0;5;10;15; 20}.

A = {0;1; 2;3; 4} .

c) C = {1;3;9; 27; 81}.

• Viết các phần tử của tập hợp giữa hai dấu { };

d) D = {−4; −3; −2; −1; 0;1; 2;3; 4} .

• Các phần tử cách nhau bởi dấu , hoặc ;
Trang 3

Trang 4


c) C = x ∈ ℝ x > −3 .

f) F = {0;1; 4;9;16; 25}.

Hướng dẫn giải

b) B = {x ∈ ℕ x ⋮ 5, x ≤ 20} .
c) C = {3n n ≤ 4, n ∈ ℕ} .

}

e) E = x ∈ ℕ x là số lẻ nhỏ hơn 10 .
f)

}

2

n là số tự nhiên nhỏ hơn 6 .

}

d) 1; +∞ )

e) (1;8 .

f)  −2;3) .

{

}

a) A = {0;1; 2;3; 4;5}.

b) B = x ∈ ℝ x ≤ 3 .

c) C = {−3; −2; −1;1}

d) D = {−3; −2; −1; 0;1} .

b) Ta có x ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3 ⇒ B = [ −3;3].

Mội số tập con của tập hợp số thực

Chú ý: A; C; D là các tập số tự nhiên liên tiếp (khác với định nghĩa khoảng, nửa khoảng, đoạn)

Tên gọi, ký hiệu

Tập hợp

Tập số thực ( −∞; +∞ )

Hình biểu diễn

Bài tập tự luyện dạng 1

ℝ

Đoạn a; b 

Câu 1: Cho tập hợp X = {−2; −1;0;1; 2;3} . Tập hợp X được xác định bằng cách nêu tính chất đặc trưng

{x ∈ ℝ a ≤ x ≤ b}

Khoảng ( a; b )

{

Khoảng ( −∞;a )

{x ∈ ℝ x < a}

Khoảng ( a; +∞ )

{x ∈ ℝ a < x}

Nửa khoảng a; b )
Nửa khoảng ( a; b 

{x ∈ ℝ a ≤ x < b}
{x ∈ ℝ a < x ≤ b}

Nửa khoảng ( −∞;a 

{x ∈ ℝ x ≤ a}

Nửa khoảng a; +∞ )

các phần tử của nó là

x∈ℝ a < x < b

}

B. {x ∈ ℕ −2 ≤ x ≤ 3}.

C. {x ∈ ℝ −2 ≤ x ≤ 3}.

D. {x ∈ ℤ −2 ≤ x + 1 ≤ 6} .




1
A.  x ∈ ℕ x =
; n ∈ ℕ*  .
n ( n + 1)





1
B.  x ∈ ℚ x =
; n ∈ ℕ*  .
n ( n + 1)





1
C.  x ∈ ℤ x =
; n ∈ ℕ*  .
n ( n + 1)





1
D.  x ∈ ℚ x = 2

; n ∈ ℕ*  .
n ( n + 1)



1 1 

Câu 3: Cho tập hợp X = 9; −3;1; − ; ;... . Tập hợp X được xác định bằng cách nêu tính chất đặc trưng
3 9 

các phần tử của nó là

{x ∈ ℝ x ≥ a}

Ví dụ 1. Cho các tập hợp sau. Hãy viết lại tập hợp dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.

b) B = x ∈ ℝ x ≤ −8 .

{

A. {x ∈ ℤ −2 ≤ x ≤ 3}.

1 1 1 1

Câu 2: Cho tập hợp X =  ; ; ; ;.... . Tập hợp X được xác định bằng cách nêu tính chất đặc trưng
 2 6 12 20 
các phần tử của nó là

Ví dụ mẫu

}

c) ( −3; +∞ ) .

Các ý a, c, d không viết được dưới dạng khoảng, nửa khoảng, đoạn.

Phương pháp gỉải

{

b) ( −∞; −8 .

Hướng dẫn giải

Bài toán 2. Xác định các tập hợp con thường gặp của tập số thực

a) A = x ∈ ℝ x < 4 .

a) ( −∞; 4 ) .

Ví dụ 2. Viết lại các tập hợp sau dưới dạng khoảng, nửa khoảng, đoạn (nếu có thể):

d) D = x ∈ ℤ x ≤ 4 .

{
F = {n

{
}
f) F = {x ∈ ℝ −2 ≤ x < 3} .

Hướng dẫn giải

a) A = {x ∈ ℕ x ≤ 6}.

{

d) D = x ∈ ℝ x ≥ 1 .

{
}
e) E = {x ∈ ℝ 1 < x ≤ 8} .

e) E = {1;3;5; 7;9} .

}

Trang 5

n


 1
A.  x ∈ ℤ x = 9.  −  ; n ∈ ℕ*  .
 3



n



 1
B.  x ∈ ℤ x = 9.  −  ; n ∈ ℕ  .
 3



n


 1
C.  x ∈ ℝ x = 9.  −  ; n ∈ ℕ  .
3





n


 1
D.  x ∈ ℕ x = 9.  −  ; n ∈ ℕ  .
3





Trang 6

Câu 4: Sử dụng các kí hiệu khoảng, đoạn để viết tập hợp A = {x ∈ ℝ x ≤ 9}. ta được
A. A = ( −∞;9 ) .

B. A = ( −∞;9].

C. A = [9; −∞ ) .

{1} , {3} , {5} , {1;3} , {1;5} , {3;5} , {1;3;5} , ∅

D. A = ( 9; +∞ ) .

Ví dụ

Câu 5: Cho tập hợp A = {x ∈ ℝ 2x + 1 ≤ 0} .
A. A = ( −∞;0 ) .

A = {2n + 1, n ∈ ℕ} ;

B = {4k + 3, k ∈ ℕ} . Chứng tỏ B ⊂ A.

B. A = ( −∞;0].

{

2: Cho hai tập hợp

1


D. A =  −∞; −  .
2


C. A = ( −∞; −1].

Hướng dẫn giải

Giả sử x ∈ B, x = 4k + 3, k ∈ ℕ. Khi đó ta có thể viết

}

Câu 6: Cho các tập hợp B = x ∈ ℝ x ≤ 10 . Hãy viết lại các tập hợp B dưới kí hiệu khoảng, nửa

x = 2 ( 2k + 1) + 1.

khoảng, đoạn.

Đặt n = 2k + 1 thì n ∈ ℕ và ta có x = 2n + 1, suy ra x ∈ A.

A. B = ( −10;10].

B. B = [ −10;10 ) .

C. B = [ −10;10] .

D. B = [ −∞;10].

Như vậy x ∈ B ⇒ x ∈ A hay B ⊂ A.

Câu 7: Cho tập hợp A = x ∈ ℕ x là ước chung của 36 và 120 . là ước chung của 36 và 120}. Các phần

{

}

A. A = {1; 2;3; 4; 6;12} .

B. A = {1; 2;3; 4; 6;8;12} .

C. A = {2;3; 4;6;8;10;12} .

D. A = {1; 2;3; 4; 6;9;12;18;36} .

{

A. {1;5} .

A. A = {0} .

3
C. A =   .
2

B. A = {1} .

{1;5}

 3
D. A = 1;  .

 2

}
− 5 = 0} .

{
D. D = {x ∈ ℚ x

2

2

}
+ x − 12 = 0} .

{0;1;5} có ba phần tử nên có

}

3

2

{
D. D = {x ∈ ℚ x ( x

}

23 = 8 (tập con).

Phương pháp giải

}
+ 3)} = 0.

B. B = x ∈ ℕ x 2 − 2 = 0 .

− 3)( x + l) = 0 .

22 = 4 (tập con).

Bài toán 2. Tập hợp bằng nhau

Câu 10: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?

{
C. C = {x ∈ ℤ ( x

21 = 2 (tập con) là {9} và ∅.

{0;9} có hai phần tử nên có

B. B = x ∈ ℝ x 2 + 2x + 3 = 0

A. A = x ∈ ℝ x 2 + x + 1 = 0 .

D. {0;1;5} .

có hai phần tử nên có 22 = 4 (tập con).

{9} có một phần tử nên có

Câu 9: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?
A. A = x ∈ ℕ x 2 − 4 = 0 .

C. {0;9} .

Hướng dẫn giải

}

2

B. {9} .

Chọn B.

Câu 8: Các phần tử của tập hợp A = x ∈ ℝ 2x − 5x + 3 = 0 là

{
C. C = {x ∈ ℝ x

Ví dụ mẫu
Ví dụ: Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con?

tử của tập A là

2

Để chứng minh A = B ta đi chứng minh

A ⊂ B và B ⊂ A hoặc ∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B.

π

Ví dụ 3. Cho các tập hợp A =  + kπ , k ∈ ℤ  ,
3

 2π

+ kπ , k ∈ ℤ  . Chứng minh rằng A = B.
A = −
 3


Dạng 2: Quan hệ giữa các tập hợp
Bài toán 1. Tập hợp con

Hướng dẫn giải

Phương pháp giải

+) Chứng minh A ⊂ B.

1. Để chứng minh A ⊂ B.
Lấy x ∈ A bất kì, sau đó chứng minh

Ví dụ 1: Cho A = {1;3;5} . Tập hợp A có tất cả bao nhiêu

x∈B

tập con? Liệt kê các tập con của tập A.

2. Xác định số tập con của một tập hợp A
có n phần tử
Tập hợp có n phần tử có 2n tập hợp con

Ta có ∀x ∈ A ⇒ ∃k 0 ∈ ℤ sao cho x =

x=

Hướng dẫn giải

π
3

− π + ( k 0 + 1) π = −

3

+ k 0π , suy ra

2π
+ ( k 0 + 1) π .
3

Tập hợp A có 3 phần tử, do đó có tất cả 23 = 8 tập hợp

Vì k 0 ∈ ℤ nên k 0 + 1 ∈ ℤ.

con.

Suy ra x ∈ B. Do đó A ⊂ B.

Các tập con của A bao gồm

+) Chứng minh B ⊂ A.

Trang 7

π

(1)

Trang 8


∀x ∈ B ⇒ ∃k 0 ∈ ℤ sao cho x = −
x=−

2π
+ k 0π , suy ra
3

A \ B = {x x ∈ A; x ∉ B} .

A \ B = {1} .
B \ A = {7;9} .

2π
π

+ π + ( k 0 − 1) π = + ( k 0 − 1) π .
3
3

Không tồn tại tập hợp CAB vì B khơng là tập hợp con của A.

Vì k 0 ∈ ℤ ⇒ k 0 − 1 ∈ ℤ. Suy ra x ∈ A.
Vậy B ⊂ A.

Không tồn tại tập hợp CBA vì A khơng là tập hợp con của B.

Ví dụ mẫu

(2)

{

Bài tập tự luyện dạng 2

Xác định tập hợp X = A ∪ B; A ∩ B; A \ B.

Câu 1: Cho A = {1; 2;3} . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. ∅ ⊂ A.

B. 1∈ A.

C. {1; 2} ⊂ A.

Hướng dẫn giải
D. 2 = A.

x = 3

 x − 10x + 21 = 0
x = 7
Giải phương trình ( x 2 − 10x + 21)( x 3 − x ) = 0 ⇔  3
⇔
x = 0
x
−
x
=
0


  x = ±1
2

Câu 2: Cho tập hợp A = {1; 2;3; 4;5} . Tập hợp A có tất cả bao nhiêu tập con có đúng 3 phần tử?
A. 32.

B. 15.

C. 25.

D. 10.

Câu 3: Cho tập hợp A = a, b, c, d}. Tập A có mấy tập con?
A. 16.

B. 15.

C. 12.

Mà x ∈ ℤ nên A = {−1; 0;1;3;7} .

D. 10.

Câu 4: Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con?
A. {x; y} .

B. {x} .

Giải bất phương trình −3 < 2x + 1 < 5 ⇔ −2 < x < 2. Mà x ∈ ℤ nên B = {−1; 0;1} .

C. {0; x} .

D. {0; x; y} .

C. {a} ∈ [ a; b ] .

D. a ∈ ( a; b ] .

Khi đó x = A ∪ B = {−1;0;1;3; 7} ; A ∩ B = {−1; 0;1} và A \ B = {3;7} .

Câu 5: Cách viết nào sau đây là đúng?
A. a ⊂ [ a; b ].

B. {a} ⊂ [ a; b ].

Ví dụ 2. Cho tập A = {−1;1;5;8} , B: “Gồm các ước số nguyên dương của 16”.
a) Viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.

Câu 6: Cho tập hợp A = [ m; m + 2] và B = [ −1; 2]. Điều kiện của m để A ⊂ B là
A. m ≤ −1 hoặc m ≥ 0.

B. −1 ≤ m ≤ 0.

C. 1 ≤ m ≤ 2.

D. m < −1 hoặc m > 2.

Viết tập B dưới dạng liệt kê các phần tử.
b) Xác định các tập hợp A ∪ B; A ∩ B; A \ B.

Hướng dẫn giải

Câu 7: Cho A = ( 2; +∞ ) , B = ( m; +∞ ) . Điều kiện cần và đủ của m sao cho B là tập con của A là
A. m ≤ 2.

B. m = 2.

C. m > 2.

{

B. 1 < m < 2.

C. 1 ≤ m ≤ 2.

b) Ta có A ∩ B = {1;8} , A ∪ B = {−1;1; 2; 4;5;8;16} , A \ B = {−1;5} .

D. m = 2.

Ví dụ 3. Cho A = x x ∈ ℕ; x là ước của 12 , B = x x ∈ ℕ; x là ước của16 .

{

Dạng 3. Xác định tập hợp và phép toán trên tập số thực
Phương pháp giải

a) A ∩ B;

b) A ∪ B;

Ví dụ 1: Cho tập hợp A = {1; 2;3;5} và B = {2;3;5; 7; 9} .

Hướng dẫn giải

Xác định các tập hợp A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B / A.

Ta có A = {1; 2;3; 4; 6;12} và B = {1; 2; 4;8;16} .

Có tồn tại các tập hợp CAB, CBA hay không?

a) A ∩ B = {1; 2; 4} .

Hướng dẫn giải

b) A ∪ B = {1; 2;3; 4;6;8;12;16} .

A ∪ B = x x ∈ A hoaëc x ∈ B .

A ∪ B = {1; 2;3;5;7;9} .

A ∩ B = {x x ∈ A; x ∈ B} .

A ∩ B = {2;3;5} .

}

}

{

}

Hãy tìm

Bài tốn 1. Phép tốn với tập hợp ở dạng liệt kê, tính chất đặc trưng.

{

}

a) Ta có A = x ∈ ℝ ( x + 1)( x − 1)( x − 5 )( x − 8 ) = 0 ; B = {1; 2; 4;8;16} .

D. m ≥ 2.

Câu 8: Cho hai tập hợp A = [1;3] và B = [ m; m + 1]. Tìm tất cả giá trị của tham số m để B ⊂ A.

A. m = 1.

}

Vi dụ 1. Cho hai tập hợp A = x ∈ ℤ ( x 2 − 10x + 21)( x 3 − x ) = 0 , B = {x ∈ ℤ −3 < 2x + 1 < 5}.

Từ (1) và (2) suy ra A = B.

c) A \ B.

c) A \ B = {3; 6;12} .

Trang 9

Trang 10


Bài toán 2. Phép toán với các tập hợp dạng nửa khoảng, khoảng, đoạn
Phương pháp giải
Cách tìm A ∪ B; A ∩ B; A \ B.

Ví dụ: Cho các tập hợp

A = {x ∈ ℝ −3 ≤ x ≤ 2} ,

b) ( −1;5] ∪ ( 3;7 ) = ( −1;7 ) .

B = {x ∈ ℝ 0 < x ≤ 7}. Xác định
a) A ∪ B;

c) ( −2;3) \ [ 0;5 ) = ( −2;0 ) .

b) A ∩ B;
c) A \ B.

Hướng dẫn giải

• Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm

d) ( −2; 2] ∩ [1;3) = [1; 2 ) .

A = [ −3; 2] , B = ( 0;7 ]

Để tìm A ∪ B ta làm như sau
a) Ta có

đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số.
• Tơ đậm các tập A, B trên trục số.
• Phần tơ đậm chính là hợp của hai tập

Ví dụ 2. Cho các tập hợp:

Vậy A ∪ B = [ −3;7 ] .

A = {x ∈ ℝ x < 3} , B = {x ∈ ℝ 1 < x ≤ 5} , C = {x ∈ ℝ −2 ≤ x ≤ 4}.

hợp A ∪ B .

Để tìm A ∩ B ta làm như sau

b) Ta có

a) Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.

• Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm

b) Tìm A ∪ B, A ∩ B, A \ B.

đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số.
• Biểu diễn các tập A, B trên trục số (phần

c) Tìm ( B ∪ C ) \ ( A ∩ C )

Vậy A ∩ B = ( 0; 2] .

nào khơng thuộc các tập đó thì gạch bỏ).

Hướng dẫn giải

• Phần khơng bị gạch bỏ chính là giao

a) Ta có A = ( −∞;3) ;

của hai tập hợp A, B.

Để tìm A \ B ta làm như sau

B = (1;5] ;

C = [ −2; 4].

b) Tìm A ∪ B.
c) Ta có

Biểu diễn trên trục số:

Vậy A \ B = [3;0].

Suy ra A ∪ B = ( −∞;5] .

• Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm

đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số.
• Biểu diễn tập A trên trục số (gạch bỏ
phần khơng thuộc tập A), gạch bỏ phần

Tìm A ∩ B.

thuộc tập B trên trục số.

Biểu diễn trên trục số:

• Phần khơng bị gạch bỏ chính là A\ B.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xác định mỗi tập hợp số sau.

Suy ra A ∩ B = (1;3) .

a) ( −∞;3) ∩ ( −2; +∞ ) ;

b) ( −1;5] ∪ ( 3; 7 ) ;

Tìm A \ B.

c) ( −2;3) \ [ 0;5 ) ;

d) ( −2; 2] ∩ [1;3) .

Biểu diễn trên trục số:

Hướng dẫn giải
a) ( −∞;3) ∩ ( −2; +∞ ) = ( −2;3) .
Trang 11

Trang 12


Suy ra A \ B = ( −∞;1].
c) Bằng cách biểu diễn trên trục số, ta có

A ∩ C = [ −2;3) và B ∪ C = [ −2;5] .

Để A ∩ B = ∅ thì tập B sẽ nằm trong phần bị gạch chéo
Suy ra ( B ∪ C ) \ ( A ∩ C ) = [3;5].

Chú ý: điều kiện a ≤ b để E là một đoạn

Ví dụ 3. Tìm phần bù của các tập hợp sau trong ℝ.

Ví dụ 2: Tìm m sao cho

a) A = [ −12;10 ) .

a) A ∪ B = ℝ biết A = ( −∞;3] và B = [ m; +∞ ) .

b) B = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) .

b) C ∪ D là một khoảng (tùy theo m xác định khoảng đó), biết C = ( m; m + 2 ) và D = ( −3;1) .

c) C = [3; +∞ ) \ {5} .

Hướng dẫn giải

d) D = {x ∈ ℝ −4 < x + 2 ≤ 5}.

a) Ta có A ∪ B = ℝ ⇔ m ≤ 3.

b) C ∪ D là một khoảng (tùy theo m xác định khoảng đó) khi và chỉ khi
Hướng dẫn giải

m < 1
⇔ −5 < m < 1.

 m + 2 > −3

a) Ta có A = [ −12;10 ) . Vậy Cℝ A = ( −∞; −12 ) ∪ [10; +∞ ) .
b) Ta có B = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) . Vậy Cℝ B = [ −2; 2].

Ví dụ 3. Cho A = ( −4;5] và B = ( 2m − 1; m + 3) , tìm m sao cho

c) Ta có C = [3; +∞ ) \ {5} . Vậy Cℝ C = ( −∞;3) ∪ {5} .

a) A ⊂ B.

d) −4 < x + 2 ≤ 5 ⇔ −6 < x ≤ 3.

b) B ⊂ A.

Suy ra D = ( −6;3] . Vậy Cℝ D = ( −∞;6] ∪ ( 3; +∞ ) .

c) A ∩ B = ∅.
d) A ∪ B là một khoảng.

Bài toán 3. Tập hợp xác định bởi tham số

Hướng dẫn giải

Ví dụ mẫu

3

2m − 1 ≤ −4
m ≤ −
a) A ⊂ B ⇔ 
⇔
2 ⇔ m ∈∅.
m + 3 > 5
m > 2

Ví dụ 1. Xác định điều kiện của a, b để
a) A ∩ B = ∅ với A = ( a − 1; a + 2 ) và B = ( b; b + 4].
b) E ⊂ ( C ∪ D ) với C = [ −1; 4] ; D = ℝ \ ( −3;3) và E = [ a; b ].

3

 2m − 1 ≥ −4
3
m ≥ −
b) B ⊂ A ⇔ 
⇔
2 ⇔ − ≤ m ≤ 2.
m
+
3
≤
5
2

m ≤ 2

Hướng dẫn giải
a) A ∩ B = ∅ với A = ( a − 1; a + 2 ) và B = ( b; b + 4].

 2m − 1 ≥ 5
m > 3
c) A ∩ B = ∅ ⇔ 
⇔
⇔ m ∈ ∅.
 m + 3 ≤ −4

 m ≤ −7

b ≥ a + 2
 a − b ≤ −2
⇔
A∩B = ∅ ⇔ 
.
 b + 4 ≤ a − 1 a − b ≥ 5

m + 3 > 5
m > 2


d) A ∪ B là một khoảng ⇔  2m − 1 < m + 3 ⇔  m < 4 ⇔ 2 < m ≤ 3.
 2m − 1 ≤ 5


m ≤ 3

b) E ⊂ ( C ∪ D ) với C = [ −1; 4] ; D = ℝ \ ( −3;3) và E = [ a; b ].
Ta có C ∪ D = ( −∞; −3] ∪ [ −1; +∞ ) .

Ví dụ 4. Cho hai tập khác rỗng A = ( m − 1; 4] , B = ( −2; 2m + 2 ) , với m ∈ ℝ.

  b ≤ −3

E ⊂ ( C ∪ D ) ⇔  a ≥ −1
a ≤ b


a) A ∩ B ≠ ∅;

b) A ⊂ B;

Chú ý: để hình dung cách làm có thể vẽ trên trục số như sau:

c) B ⊂ A;

d) A ∩ B ⊂ ( −1;3) .

Xác định m để

Hướng dẫn giải
Trang 13

Trang 14


Câu 8: Cho A = [ −4;7 ] , B = ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ ) . Khi đó A ∩ B. là

Với A = ( m − 1; 4] , B = ( −2; 2m + 2 ) , khác tập rỗng, ta có điều kiện
m − 1
m < 5
⇔
⇔ −2 < m < 5 (*) .

2m
+
2
>

−
2

 m > −2
Với điều kiện (*), ta có

A. [ −4; −2 ) ∪ ( 3;7 ] .

B. [ −4; −2 ) ∪ ( 3;7 ) .

C. ( −∞; 2] ∪ ( 3; +∞ ) .

D. ( −∞; −2 ) ∪ [3; +∞ ) .

Câu 9: Cho hai tập hợp A = [1;3] và B = [ m; m + 1]. Tìm tất cả giá trị của tham số m để B ⊂ A.

a) A ∩ B ≠ ∅ ⇔ m − 1 < 2m + 2 ⇔ m > −3. So sánh với (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu

A ∩ B ≠ ∅ là − 2 < m < 5.
 m − 1 ≥ −2
 m ≥ −1
b) A ⊂ B ⇔ 
⇔
⇔ m > 1. So sánh (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu
2m
+
2
>
4


m > 1

A ⊂ B là 1 < m < 5.

A. m = 1.

B. 1 < m < 2.

{

}

{

 13 
B. ( −2; −1) ∪  ;5  .
3 

B.

C. ( −3;7 ) .


5
2; +∞ và B =  −∞;
 . Khi đó ( A ∩ B ) ∪ ( B\ A ) là
2



(

2; +∞

)


5
C.  −∞;

2



)

 12 
Câu 12: Cho tập hợp Cℝ A = [ 0; 6 ) , Cℝ B =  − ;5  ∪
 3 

Câu 1: Cho tập hợp A = {x ∈ ℕ 3x − 2 > 10} khi đó

D. [ −2;5] .

(

Câu 11: Cho hai tập hợp A =
 5

A.  ; 2 

2



Bài tập tự luyện dạng 3

}

Tập hợp ( C ∩ D ) ∪ E là

B ⊂ A là − 2 < m ≤ −1.
 m − 1 ≥ −1
1
d) A ∩ B ⊂ ( −1;3) ⇔ 
⇔ 0 ≤ m ≤ (thỏa mãn (*)).
2m
2
3
+
≤
2


D. m = 2.

Câu 10: Cho các tập hợp C = x ∈ ℝ 2x − 4 < 10 , D = x ∈ ℝ 8 < −3x + 5 , E = [ −2;5] .

A. [ −3;7 ].

 m − 1 ≤ −2

 m ≤ −1
c) B ⊂ A ⇔ 
⇔
⇔ m ≤ −1. So sánh (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu
 2m + 2 ≤ 4
m ≤ 1

C. 1 ≤ m ≤ 2.

(


5
D.  −∞;

2



)

17; 55 . Tập Cℝ ( A ∩ B ) là

*

A. Cℕ A = {1; 2;3; 4} .

B. Cℕ A = {0;1; 2;3; 4} .

C. Cℕ A = {1; 2;3} .

D. Cℕ A = {1; 2; 4} .

{

}

Câu 2: Cho tập hợp A = x ∈ ℤ 2x − 3x + 1 = 0 , B = {x ∈ ℕ 3x + 2 < 9}. Tập hợp A ∩ B là
A. {1} .

2

 1
B. 1;  .
 2

C. {0;1; 2} .

B. ( −∞;5].

C. ( 0;5] .

D. {0; 2} .

B. [ −2;6].

C. ( 5; +∞ ) .

B. ( 3; +∞ ) .

C. [ 2; +∞ )

D. ( −∞; −3) ∪ [ 2; +∞ )

2
B. m < − .
3

{

D. ( −4;0 ) .

)

17; 55 .

5
C. m ≤ .
6

{

}

2
5
D. − ≤ m < .
3
6

}

Câu 14: Cho A = x ∈ ℝ mx − 3 = mx − 3 , B = x ∈ ℝ x 2 − 4 = 0 . Tìm m để B \ A = B.
3
3
A. − ≤ m ≤ .
2
2

D. ( 2; +∞ )

3
B. m < .
2

3
3
C. − < m < .
2
2

3
D. m ≥ − .
2

Bài tập tự luận

{

C. ( −∞;5].

b) A = [1;5] ; B = ( −3; 2 ) ∪ ( 3; 7 ) .


1
c) A =  x ∈ ℝ
≥ 2 ; B = x ∈ ℝ x − 2 ≤ 1 .
x −1



{

D. ( −∞;1) .

Câu 7: Cho hai tập hợp A = [ −2;3] và B = (1; +∞ ) . Tìm A ∩ B.
C. A ∩ B = [1;3] .

}

a) A = {x ∈ ℝ −3 ≤ x ≤ 5} ; B = x ∈ ℝ x < 4 .

Câu 6: Cho tập hợp A = ( −∞;3] ; B = (1;5] . Khi đó, tập A ∪ B là

A. A ∩ B = [ −2; +∞ ) . B. A ∩ B = (1;3].

(

Câu 15: Xác định các tập A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B \ A biết

A. ( −∞; −3)

B. ( 3;5].

 12 
D.  − ; 0  ∪
 3 

5
A. m ≥ .
6

Câu 5: Cho A = [ −3; 2 ) . Tập hợp Cℝ A là

A. (1;3].

 12

C.  − ; 55  .
 3


các giá trị m để A ∩ B = ∅ là

Câu 4: Cho A = {x ∈ ℝ : x + 2 ≥ 0} , B = {x ∈ ℝ : 5 − x ≥ 0} . Khi đó A \ B là
A. [ −2;5].

B. ∅.

Câu 13: Cho m là một tham số thực và hai tập hợp A = [1 − 2m; m + 3] , B = {x ∈ ℝ x ≥ 8 − 5m}. Tất cả

Câu 3: Cho tập hợp E = [ −4;5] ; F = ( −∞;0]. Khi đó, tập E \ F là
A. ( −∞; −4]

 12

A.  − ; 55  .
 3


}

d) A = [ 0; 2] ∪ ( 4;6 ) ; B = ( −5; 0] ∪ ( 3;5 ) .

D. A ∩ B = (1;3) .
Trang 15

Trang 16


Câu 16: Cho các tập hợp A = ( −∞; m ) và B = [3m − 1;3m + 3] . Tìm m để
a) A ∩ B = ∅

b) B ⊂ A.

c) A ⊂ Cℝ B.

d) Cℝ A ∩ B ≠ ∅.

 x = −4

Đáp án D. Ta có x 2 + x − 12 = 0 ⇔ 
. Do đó D = {−4;3} .
x = 3

Câu 10. Chọn D.
Đáp án A. Ta có x 2 + x + 1 = 0 là phương trình vơ nghiệm vì

ĐÁP ÁN PHẦN KIẾN THỨC CHUNG

2

BÀI 2. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

1 3

x 2 + x + 1 =  x +  + > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ A = ∅.
2 4


Dạng 1. Tập hợp và xác định tập hợp

Đáp án B. Ta có x 2 − 2 = 0 ⇔ x = ± 2 ∉ ℕ ⇒ B = ∅.

1-A

2-B

3-C

4-B

5-D

6-C

7-A

8-D

9-B

10 - D

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

x3 − 3 = 0
Đáp án C. Ta có ( x 3 − 3)( x 2 + 1) = 0 ⇔  2
⇔ x 3 − 3 = 0 ( do x 2 + 1 ≥ 1, ∀x )
x
+
1
=
0


Câu 1. Chọn A.

⇔ x = 3 3 ∉ ℤ ⇒ C = ∅.

Nhận thấy X là tập các số nguyên liên tiếp bắt đầu bằng số −2 và kết thúc bằng số 3 nên ta có

X = {x ∈ ℤ −2 ≤ x ≤ 3} .

Câu 2. Chọn B.

x = 0
⇔ x = 0 ( do x 2 + 3 ≥ 3, ∀x ) ⇒ D = {0} .
Đáp án D. Ta có x ( x 2 + 3) = 0 ⇒  2
x + 3 = 0
Dạng 2. Quan hệ giữa các tập hợp

Ta có: 2 = 1.2; 6 = 2.3; 12 = 3.4; 20 = 4.5...

1-D

1


Do đó X =  x ∈ ℚ x =
; n ∈ ℕ*  .
n
n
+
1
(
)



2-D

3-A

4-B

5-B

6-B

7-D

8-C

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Chọn D.

Câu 3. Chọn C.
0

1

2

3

Vì 2 không phải là một tập hợp nên đáp án D là sai. Sửa lại: 2 ∈ A.

4

 −1 

 −1 
 −1  −1
 −1  1  −1 
Ta có: 9 = 9.   ; − 3 = 9.   ;1 = 9.   ;
= 9.   ; =   ;...
 3 
 3 
 3  3
 3  9  3 

Câu 2. Chọn D.

Các tập con có 3 phần tử của A là

n
n




 −1 
 −1 
Do đó X =  x ∈ ℝ x = 9.   ; n ∈ ℕ  hoặc X =  x ∈ ℚ x = 9.   ; n ∈ ℕ  .
3
3










{1; 2;3} ; {1; 2; 4} ; {1; 2;5} ; {1;3; 4} ;{1; 4;5} ; {1;3;5} ; {2;3; 4} ;{2;3;5} ; {2; 4;5} ; {3; 4;5}.
Câu 5. Chọn B.

Câu 4. Chọn B.

Câu 6. Chọn B.

A = ( −∞;9].

m ≥ −1
m ≥ −1
Để A ⊂ B thì 
⇔
⇔ −1 ≤ m ≤ 0.
m
+
2
≤
2

m ≤ 0

Câu 7. Chọn A.
Ta có Ư ( 36 ) = {1;2;3; 4; 6;9;12;18} và Ö (120 ) = {1;2;3; 4; 5;6;8;10;12;15; 20; 24;30; 40; 60} .

Câu 7. Chọn D.

Để B ⊂ A thì m ≥ 2.

Vậy tập hợp các ước chung của 36 và 120 là A = {1; 2;3; 4; 6;12} .

Câu 8. Chọn C.

Câu 9. Chọn B.

m ≥ 1
m ≥ 1
Để B ⊂ A thì 
⇔
⇔ 1 ≤ m ≤ 2.
m + 1 ≤ 3  m ≤ 2

x = 2
Đáp án A. Ta có x 2 − 4 = 0 ⇔ 
nên A = {−2;2} .
 x = −2

Đáp án B. Ta có x 2 + 2x + 3 = 0 là vô nghiệm vì x 2 + 2x + 3 = ( x + 1) + 2 > 0; ∀x ∈ ℝ. Do đó B = ∅.
2

x = 5
Đáp án C. Ta có x − 5 = 0 ⇔ 
. Do đó C = − 5; 5 .
 x = − 5
2

{

}

Trang 17

Dạng 3. Xác định tập hợp và các phép toán trên tập số thực
1-B

2-A

3-C

4-C

11 - C

12 - C

13 - D

14 - C

5-D

6-C

7-B

8-A

9-C

10 – C

Trang 18


BÀI TẬP TỰ LUẬN

c) Ta có Cℝ B = ( −∞;3m − 1) ∪ ( 3m + 3; +∞ ) .

Câu 15.

1
Suy ra A ⊂ Cℝ B ⇔ m ≤ 3m − 1 ⇔ m ≥ .
2

a) Ta có A =  −3;5 .

x < 4 ⇔ −4 < x < 4. Do đó B = ( −4;4 ) .

Vậy m ≥

1
là giá trị cần tìm.
2

Vậy A ∪ B = ( −4;5] ; A ∩ B = [ −3; 4 ) ; A \ B = [ 4;5] ; B \ A = ( −4; −3) .

d) Ta có Cℝ A = [ m; +∞ )

b) Ta có A = [1;5] ; B = ( −3; 2 ) ∪ ( 3; 7 ) .

3
Suy ra Cℝ A ∩ B ≠ ∅ ⇔ m ≤ 3m + 3 ⇔ m ≥ − .
2

Vậy A ∪ B = ( −3; 7 ] ; A ∩ B = [1; 2 ) ∪ ( 3;5] ; A \ B = [ 2;3] ; B \ A = ( −3;1) ∪ ( 5;7 ) .

Vậy m ≥ −



1
c) A =  x ∈ ℝ
≥ 2 ; B = x ∈ ℝ x − 2 ≤ 1 .
x −1



{

3
là giá trị cần tìm.
2

}

x ≠ 1
x ≠ 1

 1 3
1


≥2⇔
1 ⇔ 1
3 . Do đó A =  − ;  \ {1} .
x −1
x
1
x
−
≤
≤
≤
 2 2

 2
2
2
x − 2 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3. Do đó B = 1;3 .

 1 
 3
 1 
3 
Vậy A ∪ B =  − ;3 ; A ∩ B = 1;  ; A \ B =  − ;1 ; B \ A =  ;3 .
 2 
 2
 2 

2 
d) Ta có A = [ 0; 2] ∪ ( 4;6 ) ; B = ( −5; 0] ∪ ( 3;5 ) .
Vậy A ∪ B ( −5; 2] ∪ ( 3; 6 ) ; A ∩ B = {0} ∪ ( 4;5 ) ; A \ B = ( 0; 2] ∪ [5;6 ) ; B \ A = ( −5;0 ) ∪ ( 3; 4].
Câu 16.

Ta có biểu diễn trên trục số các tập A và B trên hình vẽ

1
a) Ta có A ∩ B = ∅ ⇔ m ≤ 3m − 1 ⇔ m ≥ .
2
Vậy m ≥

1
là giá trị cần tìm.
2

3
b) Ta có B ⊂ A ⇔ 3m + 3 < m ⇔ m < − .
2
Vậy m < −

3
là giá trị cần tìm.
2
Trang 19

Trang 20


CHUYÊN ĐỀ 1. MỆNH ĐỀ. TẬP HỢP

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 3: SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ

Số gần đúng

Mục tiêu
Kiến thức

lượng ta đang quan tâm mà chỉ biết giá trị gần đúng của nó. Vì vậy, nhật là 23,5 m.

+ Nắm được định nghĩa về sai số tương đối, sai số tuyệt đối, độ chính xác của số gần đúng.
+

Ví dụ:

- Trong nhiều trường hợp, ta không biết được giá trị đúng của đại - Chiều dài của mảnh đất hình chữ

Nhận thức được tầm quan trọng của số gần đúng, ý nghĩa của sai số.

ta sử dụng giá trị số gần đúng để biểu thị giá trị cho đại lượng ta - Chiều cao của cây bạch đàn là
đang quan tâm.

Kĩ năng
+

Tính các sai số, quy trịn số gần đúng.

+

Tìm chữ số đáng tin.

4,578 m.
Sai số tuyệt đối, sai số tương đối

Chú ý:

- Giả sử a là giá trị đúng của một đại lượng và a là giá trị gần Trên thực tế, nhiều khi ta không

đúng của a .

biết a nên khơng thể tính chính

Giá trị a − a biểu thị mức độ sai lệch giữa a và . Kí hiệu

xác được ∆ a . Vì vậy, ta đánh giá

∆ a = a − a gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a .
Sai số tương đối của số gần đúng là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và

∆ a không vượt quá một số dương
d nào đó.

- Nếu ∆ a ≤ d thì a − d ≤ a ≤ a + d .

a , Kí hiệu δ a .
Khi đó ta quy ước viết a = a ± d .

∆

δa = a .
a

Như vậy, ta hiểu số đúng a nằm
trong đoạn

[a − d ; a + d ] .

Số d

được gọi là độ chính xác của số
gần đúng.
- Nếu a = a ± d thì ∆ a ≤ d . Do đó

δa ≤

d
.
a

- Nếu

d
càng nhỏ thì chất lượng
a

của phép đo đạc hay tính tốn
càng cao.

Quy trịn số gần đúng

Ví dụ:

- Nếu chữ số sau hàng quy trịn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ

- Số quy trịn đến hàng phần trăm

số bên phải nó bởi số 0.

của x = 21,34568 là x ≈ 21,35 ;

- Nếu chữ số sau hàng quy trịn lớn hơn hoặc bằng chữ số 5 thì ta

của y = 0, 2137 là y ≈ 0, 21 .

cũng làm như trên, nhưng cộng thêm một đơn vị vào chữ số của
hàng quy tròn.
Chữ số đáng tin (chữ số chắc)

Ví dụ: a = 18,3651; ∆ a = 0, 02 .

- Cho a là số gần đúng của số a . Trong cách ghi thập phân của a ,
Trang 1

Trang 2


ta bảo chữ số k của a là đáng tin (hay chữ số chắc) nếu sai số

Các chữ số đáng tin là 1,8,3 ; các

tuyệt đối ∆ a không vượt quá một đơn vị của hàng có chữ số k .

chữ số 6,5,1 khơng đáng tin.

3. Quy trịn số gần đúng
Ngun tắc quy trịn các số như sau:

Ví dụ 3: Hãy viết số quy trịn của
số a với độ chính xác d được cho

Nếu chữ số ngay sau hàng quy trịn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay sau đây a = 17638 ± 16 .
chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0.
Hướng dẫn giải

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Nếu chữ số ngay sau hàng quy trịn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay Ta có 10 < 16 < 100 nên hàng cao
chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0 và cộng thêm một đơn vị nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của

Dạng 1: Quy tròn số gần đúng. Tìm sai số của số gần đúng
Phương pháp giải
1. Số gần đúng

Ví dụ 1: Cho số gần đúng

Trong nhiều trường hợp ta không thể biết được giá trị đúng của đại

a = 23748023 với độ chính xác

lượng mà ta chỉ biết số gần đúng của nó.

d = 101 . Hãy viết số quy tròn của

vào số hàng làm tròn.

hàng đó là hàng trăm. Do đó ta
Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng số nào phải quy trịn số 17638 đến hàng
đó thì sai số tuyệt đối của số quy trịn khơng vượt q nửa đơn vị trăm. Vậy số quy tròn là 17600 .

Như vậy có sự sai lệch giữa giá trị chính xác của một đại lượng và số a .

của hàng quy trịn.

giá trị gần đúng của nó. Để đánh giá mức độ sai lệch đó, người ra Hướng dẫn giải

Như vậy, độ chính xác của số quy trịn bằng nửa đơn vị của hàng

đưa ra khái niệm sai số tuyệt đối.

quy trịn.

Độ chính xác d = 101 (hàng trăm),
nên ta quy trịn a = 23748023 đến
hàng nghìn, được kết quả là

a) Sai số tuyệt đối của số gần đúng
Nếu a là số gần đúng của số a thì ∆ a = a − a được gọi là sai số

tuyệt đối của số gần đúng a .

xác cho trước.

Cho số gần đúng a với độ chính xác d . Khi được yêu cầu quy tròn

a = 23748000 .

2. Sai số tuyệt đối

Chú ý: Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính

Ví dụ 2: Cho giá trị gần đúng của

a mà khơng nói rõ quy trịn đến hàng nào thì

8
là 0, 47 . Sai số tuyệt đối của
17

hơn một đơn vị của hàng đó.

0, 47 là bao nhiêu?

+) Với a khơng ngun, ta quy trịn a đến hàng thấp nhất mà

Hướng dẫn giải

d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.

+) Với a là số nguyên, ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ

Độ chính xác của một số gần đúng

8
Trong thực tế, nhiều khi ta khơng biết a nên khơng thể tính được Ta có 0, 47 − 17 < 0, 00059 .

Ví dụ mẫu

∆ a . Tuy nhiên ta có thể đánh giá ∆ a không vượt quá một số dương Suy ra sai số tuyệt đối của 0, 47 là

Ví dụ 1. Tìm số quy trịn của a = 98,1456 ± 0, 004 .

d nào đó.

Hướng dẫn giải

0, 001 .

Nếu ∆ a ≤ d thì a − d ≤ a ≤ a + d , khi đó ta viết a = a ± d .

Ta thấy 0, 001 < 0, 004 < 0, 01 nên hàng thấp nhất mà độ chính xác nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là

d được gọi là độ chính xác của số gần đúng.

hàng phần trăm. Khi đó số quy trịn là 98,15.

b) Sai số tương đối

Ví dụ 2. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a = 15,318 biết a = 15,318 ± 0, 056 .

Sai số tương đối của số gần đúng a , kí hiệu là δ a là tỉ số giữa sai

Hướng dẫn giải

số tuyệt đối và a , tức là δ a =

Ta thấy 0, 01 < 0, 056 < 0,1 nên hàng thấp nhất mà độ chính xác nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng

∆a
.
a

Nhận xét: Nếu a = a ± d thì ∆ a ≤ d suy ra δ a ≤

phần chục. Khi đó số quy trịn là 15,3.
Ví dụ 3. Cho giá trị gần đúng của π là a = 3,141592653589 với độ chính xác 10−10 . Hãy viết số quy trịn

d
.
a

của s ố a .

d
càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính tốn
Do đó
a

Hướng dẫn giải

càng cao.

3,141592654.

Vì độ chính xác d = 10−10 nên ta quy tròn số đến hàng của d .10 = 10−9 ( 9 chữ số thập phân), kết quả là

Trang 3

Trang 4


Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh đo được như sau

Câu 7: Theo thống kê, dân số Việt Nam năm 2016 được ghi lại như sau S = 94 444 200 ± 3000 (người).
Số quy tròn của số gần đúng 94 444 200 là

a = 12 cm ± 0,2 cm; b = 10, 2 cm ± 0,2 cm; c = 8 cm ± 0,1 cm .
Tìm chu vi P của tam giác và đánh giá sai số tuyệt đối, sai số tương đối của số gần đúng của chu vi phép

A. 94 440 000.

B. 94 450 000.

C. 94 444 000.

D. 94 400 000.

8
Câu 8: Cho giá trị gần đúng của
là 0,47. Sai số tuyệt đối của 0,47 là

17

đo.
Hướng dẫn giải

A. 0,001.

B. 0,003.

C. 0,002.

D. 0,004.

Giả sử a = 12 + d1 , b = 10, 2 + d 2 ; c = 8 + d3 .

Câu 9: Một hình chữ nhật có các cạnh: x = 4, 2 m ± 1 cm , y = 7 m ± 2 cm . Chu vi của hình chữ nhật và

Ta có P = a + b + c + d1 + d 2 + d 3 = 30, 2 + d1 + d 2 + d3 .

sai số tuyệt đối của giá trị đó lần lượt là

A. 22,4 m và 3 cm.

Theo giả thiết, ta có −0, 2 ≤ d1 ≤ 0, 2; − 0, 2 ≤ d 2 ≤ 0, 2; − 0,1 ≤ d3 ≤ 0,1 .

B. 22,4 m và 1 cm.

C. 22,4 m và 2 cm.

D. 22,4 m và 6 cm.

Câu 10: Hình chữ nhật có các cạnh: x = 2 m ± 1 cm , y = 5 m ± 2 cm . Diện tích hình chữ nhật và sai số

Suy ra −0,5 ≤ d1 + d 2 + d3 ≤ 0,5 .

tuyệt đối của giá trị đó lần lượt là

Do đó P = 30, 2 cm ± 0, 5 cm .

A. 10 m 2 và 900 cm 2 . B. 10 m 2 và 500 cm 2 .

Vậy sai số tuyệt đối ∆ P ≤ 0, 5 . Sai số tương đối δ P =

C. 10 m 2 và 400 cm 2 .

D. 10 m 2 và 1404 cm 2 .

Câu 11: Một vật thể có thể tích V = 180 cm 3 ± 0, 05 cm 3 . Sai số tương đối của giá trị gần đúng ấy là

d
≈ 1, 66% .
P

A. 0,01%.

B. 0,03%.

C. 0,04%.

D. 0,05%.

Ví dụ 5. Một vật có thể tích V = 180,37 cm3 ± 0, 05 cm 3 . Sai số tương đối của giá trị gần đúng ấy là bao

Câu 12: Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x = 23 m ± 0, 01 m và chiều rộng là

nhiêu?

x = 15 m ± 0, 01 m . Diện tích của ruộng là

Hướng dẫn giải
Sai số tương đối của giá trị gần đúng là δ =

∆
V

=

0, 05
≈ 0, 03% .
180, 37

A. S = 345 m 2 ± 0,3801 m .

B. S = 345 m 2 ± 0, 38 m .

C. S = 345 m 2 ± 0, 03801 m .

D. S = 345 m 2 ± 3,801 m .

Câu 13: Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x = 23 m ± 0, 01 m và chiều rộng là

x = 15 m ± 0, 01 m . Chu vi của ruộng là

Bài tập tự luyện dạng 1

A. 76 m ± 0,4 m .

B. 17800.

C. 17600.

D. 17700.

B. 15,5.

C. 15,3.

đo của bạn đó là bao nhiêu?
A. Bạn A đo chính xác hơn bạn B với sai số tương đối là 0,08%.

D. 16.

Câu 3: Trong năm lần đo độ cao của một đập nước, người ta thu được các kết quả sau với độ chính xác 1
dm: 15,6 m; 15,8 m; 15,4 m; 15,7 m; 15,9 m. Độ cao của đập nước là
A. 15, 7 m ± 3 dm .

B. 16 m ± 3 dm .

C. 15, 5 m ± 1 dm .

D. 15, 6 m ± 0, 6 dm .

Câu 4: Số a được cho bởi số gần đúng a = 5, 7824 với sai số tương đối không vượt quá 0,5% . Sai số
tuyệt đối của a là

A. 2,9%.

B. 2,89%.

C. 2,5%.

B. 0,29.

C. 0,286.

B. 0,5%.

C. 0,25%.

C. Hai bạn đo chính xác như nhau với sai số tương đối bằng nhau là 0,08%.
D. Bạn A đo chính xác hơn bạn B với sai số tương đối là 0,06%.
Câu 15: Sai số tuyệt đối của số a = 123456 biết sai số tương đối δ a = 0, 2% là
A. 246,912.

B. 617280.

D. 0,5%.

D. 0,3.

C. 24691,2.

D. 61728000.

1-C

2-C

3-A

4-B

5-C

11-B

12-A

13-B

14-A

15-A

6-A

7-A

8-A

9-D

10-A

Câu 12. Chọn A.

Câu 6: Độ dài của một cây cầu người ta đo được là 996 m ± 0,5m. Sai số tương đối tối đa trong phép đo
là bao nhiêu?
A. 0,05%.

B. Bạn B đo chính xác hơn bạn A với sai số tương đối là 0,08%.

ĐÁP ÁN – Dạng 1

2
Câu 5: Cho số x = và các giá trị gần đúng của x là 0,28; 0,29; 0,286; 0,3. Giá trị gần đúng nào là tốt
7
nhất?

A. 0,28.

D. 76 m ± 0,08 m .

được 15 ± 0,1 m . Trong hai bạn A và B, bạn nào có phép đo chính xác hơn và sai số tương đối trong phép

Câu 2: Số quy trịn của số a với độ chính xác d được cho sau đây a = 15, 318 ± 0, 056 là
A. 15.

C. 76 m ± 0,02 m .

Câu 14: Bạn A đo chiều dài của một sân bóng ghi được 250 ± 0, 2 m . Bạn B đo chiều cao của một cột cờ

Câu 1: Cho số quy trịn của số a với độ chính xác d được cho sau đây a = 17658 ± 16 là
A. 18000.

B. 76 m ± 0,04 m .

D. 0,025%.

Diện tích ruộng là S = x. y = ( 23 + a )(15 + b ) = 345 + 23b + 15a + ab .
Vì −0, 01 ≤ a, b ≤ 0, 01 nên 23b + 15a + ab ≤ 23.0, 01 + 15.0, 01 + 0, 01.0, 01 hay 23b + 15a + ab ≤ 0, 3801 .

Trang 5

Trang 6


đó mọi chữ số của A đều là chữ số chắc chắn và độ chính xác

Suy ra S − 345 ≤ 0,3801 .

0, 0005 < 0, 004 < 0, 005 =

k

d = 0, 5.10 .

Vậy S = 345 m 2 ± 0,3801 m 2 .

0, 01
2

nên chữ số chắc là hàng phần

Câu 13. Chọn B.

trăm.

Giả sử x = 23 + a, y = 15 + b với −0, 01 ≤ a, b ≤ 0, 01 .

Cách viết chuẩn là 98,14.

Ta có chu vi ruộng là P = 2 ( x + y ) = 2 ( 38 + a + b ) = 76 + 2 ( a + b ) .

3. Kí hiệu khoa học của một số

số

thập

Ví dụ 3: Kí hiệu khoa học của số

Vì −0, 01 ≤ a, b ≤ 0, 01 nên −0, 04 ≤ 2 ( a + b ) ≤ 0, 04 .

Mọi

đều

viết

Do đó P − 76 = 2 ( a + b ) ≤ 0, 04 .

α .10n ,1 ≤ α < 10, n ∈ ℕ (quy ước 10− n =

1
).
10n

Vậy P = 76 m ± 0,04 m .

Dạng như vậy được gọi là kí hiệu khoa học của số đó.

phân

khác

0

được

dưới

dạng 1234000 là 1, 234.106 .

Câu 14. Chọn A.

Phép đo của bạn A có sai số tương đối δ1 ≤

Ví dụ mẫu

0, 2

= 0, 0008 = 0, 08% .
250

Ví dụ 1. Số a = 91548624 ± 3000 có bao nhiêu chữ số chắc?

0,1
Phép đo của bạn B có sai số tương đối δ 2 ≤
= 0, 0066 = 0, 66% .
15

Hướng dẫn giải

Vì 500 < 3000 < 5000 =

Vậy phép đo của bạn A có độ chính xác cao hơn.

10000
nên hàng quy trịn là hàng chục nghìn. Các chữ số chắc là 9, 1, 5, 4.
2

Câu 15. Chọn A.

Ví dụ 2. Nếu lấy 3,1416 làm giá trị gần đúng của π thì có bao nhiêu chữ số chắc?

∆
Ta có δ a = a ⇒ ∆ a = δ a a = 246, 912 .
a

Hướng dẫn giải

Ta có π = 3,141592654 nên sai số tuyệt đối của 3,1416 là
∆ = 3,1416 − π < 3,1416 − 3,1415 = 0, 0001 .

Dạng 2:
Phương pháp giải
1. Chữ số chắc (đáng tin)

Mà d = 0, 0001 < 0, 0005 =
Ví dụ 1:

0, 001
nên có 4 chữ số chắc.
2

Ví dụ 3. Cách viết chuẩn của số a = 321567000 ± 56000 là

Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d . Trong số a có một Số a = 98,1456 ± 0, 007 có bao

Hướng dẫn giải

chữ số được gọi là chữ số chắc (hay đáng tin) nếu d không vượt quá nhiêu chữ số chắc?
nửa đơn vị của hàng có chữ số đó.
Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số

Vì 50000 < 56000 < 500000 =

Hướng dẫn giải

Vì 0, 005 < 0, 007 < 0, 05 =

chắc. Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số chắc đều là chữ số

0,1
2

Ví dụ 4. Cách viết chuẩn của số a = 321567900 ± 45617 là
Hướng dẫn giải

nên hàng quy trịn là hàng phần

khơng chắc.

Vì 5000 < 45617 < 50000 =

chục.
2. Dạng chuẩn của số gần đúng

1000000
nên chữ số chắc là hàng triệu. Cách viết chuẩn là 321.106 .
2

100000
nên chữ số chắc là hàng trăm nghìn.
2

Các chữ số chắc là 9, 8, 1.

Cách viết chuẩn là 3215.105 .

Ví dụ 2:

Ví dụ 5. Các nhà khoa học Mỹ đang nghiên cứu liệu một máy bay có thể có tốc độ gấp bảy lần tốc độ ánh

Nếu số gần đúng là số thập phân khơng ngun thì dạng chuẩn là Cách viết chuẩn của số

sáng. Với máy bay đó trong một năm (giả sử một năm có 365 ngày) nó bay được bao nhiêu? Biết vận tốc

dạng mà mọi chữ số của nó đều là chữ số chắc chắn.

ánh sáng là 300 nghìn km/s. Viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học.

a = 98,1456 ± 0, 004 là bao nhiêu ?

Nếu số gần đúng là số ngun thì dạng chuẩn của nó là A.10k trong Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

đó A là số nguyên, k là hàng thấp nhất có chữ số chắc ( k ∈ ℕ ) . Khi Vì
Trang 7

Trang 8