Đề và đáp án môn Toán TS L10 Nghệ An 2010 - 2011

Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Nghệ an Năm học 2010 - 2011
Môn thi : Toán
Thời gian: 120 phút
Câu I (3,0 điểm). Cho biểu thức A =


+
x 2 2
x 1
x 1 x 1
.
1. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
2. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.
3. Khi x thoả mãn điều kiện xác định. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức B,
với B = A(x-1).
Câu II (2,0 điểm). Cho phơng trình bậc hai sau, với tham số m :
x
2
- (m + 1)x + 2m - 2 = 0 (1)
1. Giải phơng trình (1) khi m = 2.
2. Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm của phơng trình (1).
Câu III (1,5 điểm). Hai ngời cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm
xong công việc. Nếu một mình ngời thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình ngời thứ hai
làm trong 3 giờ thì cả hai ngời làm đợc 75% công việc.
Hỏi nếu mỗi ngời làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng năng
suất làm việc của mỗi ngời là không thay đổi).
Câu IV (3,5 điểm). Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB. Điểm H cố định thuộc đoạn
thẳng AO (H khác A và O). Đờng thẳng đi qua điểm H và vuông góc với AO cắt nửa đờng
tròn (O) tại C. Trên cung BC lấy điểm D bất kỳ (D khác B và C). Tiếp tuyến của nửa đờng
tròn (O) tại D cắt đờng thẳng HC tại E. Gọi I là giao điểm của AD và HC.

1. Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp đờng tròn.
2. Chứng minh tam giác DEI là tam giác cân.
3. Gọi F là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ICD. Chứng minh góc ABF có
số đo không đổi khi D thay đổi trên cung BC (D khác B và C).
--------------Hết-------------
Đề chính thức
GỢI Ý ĐÁP ÁN
Câu 1.
a) ĐKXĐ:
1;0
≠≥
xx
.
Ta có: A =
1
2
1
2
1
−
−
+
−
−
x
xx
x
=
)1)(1(
2

)1)(1(
)1(2
)1)(1(
)1(
+−
−
−+
−
−
+−
+
xxxx
x
xx
xx
=
)1)(1(
2)1(2)(
+−
−−−+
xx
xxx
=
)1)(1(
222
+−
−+−+
xx
xxx
=

)1)(1(
+−
−
xx
xx
=
)1)(1(
)1(
+−
−
xx
xx
=
1
+
x
x
Vậy A =
1
+
x
x
b) Thay x = 9 vào biểu thức rút gọn của A ta được:
A =
4
3
13
3
19
9

=
+
=
+
Vậy khi x = 9 thì A =
4
3
c) Ta có: B = A.
)1(
−
x

)1(
1
−
+
=
x
x
x

)1(
−=
xx

xx
−=

4
1

2
1
2
1
..2)(
2
2
−






+−=
xx







−+−=
4
1
)
2
1
(

2
x
Vì:
0)
2
1
(
2
≥−
x
Với mọi giá trị của x
0
≥
và x
1
≠
⇒






−≥







−+−
4
1
4
1
)
2
1
(
2
x
Với mọi giá trị của x
0
≥
và x
1
≠
.
Dấu bằng xảy ra khi
4
1
0
2
1
0)
2
1
(
2
=⇔=−⇔=−

xxx
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là






−
4
1
đạt được khi
4
1
=
x
.
Câu 2:
a) Khi m = 2 thì phương trình (1) trở thành: x
2
– 3x + 2 = 0 (*)
Vì phương trình (*) là một phương trình bậc hai có: a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0
Nên phương trình (*) có hai nghiệm là x
1
= 1 v à x
2
= 2.
M
F
O

I
D
C
E
H
B
A
Vậy khi m = 2 t hì phương trình (1) có hai nghiệm l à x
1
= 1 v à x
2
= 2.
b) Giả sử x = - 2 là một nghiệm của phương trình (1). Thay x = - 2 vào phương trình (1) ta được:

022)2).(1()2(
2
=−+−+−−
mm
022224
=−+++⇔
mm
044
=+⇔
m
44
−=⇔
m
1
−=⇔
m

Vậy với m = -1 thì phương trình(1) có một nghiệm là x = -2.
Câu 3:
Đổi: 4 giờ 30 phút =
2
9
giờ.
Gọi x(giờ) là thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc (ĐK: x >
2
9
)
Gọi y(giờ) là thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc (ĐK: y >
2
9
)
Khi đó: Mỗi giờ người thứ nhất làm được
x
1
(công việc)
Mỗi giờ người thứ hai làm được
y
1
(công việc)
Mỗi giờ cả hai người làm được
9
2
(công việc)
Ta có phương trình :
1 1 2
x y 9
+ =

(1)
Trong 4 giờ người thứ nhất làm được
x
4
(công việc)
Trong 3 giờ người thứ hai làm được
y
3
(công việc)
Theo bài ra ta co phương trình :
4 3 75 4 3 3
x y 100 x y 4
+ = ⇔ + =
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
1 1 2
x y 9
4 3 3
x y 4

+ =




+ =



Giải hệ phương trình trên ta được: x = 12 (t/m); y =

5
36
(t/m)
Trả lời: Người thứ nhất làm một mình xong công việc sau 12 giờ.
Người thứ hai làm một mình xong công việc sau
5
36
giờ, hay 7 giờ 12 phút.
Câu 4.
a) Ta có: CH
⊥
AB (gt)
⇒

·
0
BHI 90=
(1)
Lại có:
·
·
0
BDI BDA 90= =
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (2)
T ừ (1) v à (2)
⇒

·
·
0

BHI BDI 180+ =

⇒
Tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn.
b) Ta có:
·
·
»
1
EDI EDA SdDA
2
= =
(Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
Và:
·
»
1
ABD Sd DA
2
=
(Góc nội tiếp của đường tròn (O))

⇒

·
·
EDI ABD=
(3)
Lại có:
·

·
EID ABD=
(cùng bù với góc
HID
) (4)
Từ (3) và (4)
⇒

· ·
EID EDI=

⇒

EID
∆
cân tại E.
c) Gọi M là giao điểm của BC với đường tròn (F)
Ta có:
·
·
¼
1
MID MCD Sd MD
2
= =
(5)
Mà
¼
¼
¼

»
1
MCD BCD BAD Sd BD
2
= = =
(6)
Từ (5) và (6)
·
·
MID BAD⇒ =
(7)
Lại có:
·
·
CID AIH=
(đối đỉnh) (8)
Từ (7) và (8)
⇒

·
·
·
·
0
MID CID BAD AIH 90+ = + =

·
0
CIM 90⇒ =
Mặt khác:

·
CIM
là góc nội tiếp của đường tròn (F)

⇒
CM là đường kính của đường tròn (F)

⇒
F
∈
BC

⇒

·
·
»
1
ABF ABC Sd AC
2
= =
Vì điểm H cố định nên điểm C cố định, do đó cung AC không đổi
⇒
số đo
·
ABF
không đổi. (đpcm)