DE THI VA DAP AN HSG LOP 9 2010-2011

PHÒNG GIÁO DỤC ............ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS .......................... NĂM HỌC 2010 -2011
Môn : TOÁN – LỚP 9
Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
A_Phần trắc nghiệm : (2điểm)
Chọn đáp án trong các phương án trả lời sau:
Câu 1: (1điểm)
Biểu thức
324324 −−+
có giá trị là:
a)
32
; b)
3
; c) -
32
; d) 2
Câu 2 : (1điểm)
Số đo góc A trong hình vẽ là:
a) 55
0
; b) 65
0
; c) 75
0
; d) 85
0

B_Phần tự luận : (18điểm)
Bài 1: (4điểm)
a) (2điểm). Tìm x ; y ; t thoả mãn hệ phương trình:




=−
=+
1
2
2
txy
yx
b)(2điểm). Giải phương trình :
x
2
– 2x – 4y + y
2
+ 5 = 0
Bài 2: (5điểm).
Cho biểu thức :
)1(2
1
1
2
)1(2
1
3
2
a
a
a
a −

+
−
+
−
+
=Α
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị của a để A>0
c) Tìm a để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3 : (5điểm).
Cho ∆ABC ( cả 3 góc đều nhọn ) nội tiếp đường tròn tâm o .Đường phân giác
của góc A cắt BC tại D cắt (o) ở E . Tiếp tuyến tại A cắt BC ở I . Vẽ đường kính EOF.
Gọi M là giao điểm của AF với BC .
a) Chứng minh ∆AID cân
b) Chứng minh AF . AM = AE . AD
c) Chứng minh M đối xứng với D qua I .
Bài 4: (4điểm) .
Gọi M là một điểm nằm trong ∆ABC và P là chu vi của ∆ (tam giác) đó .
Chứng minh :
PCMBMAM
P
<++<
2
----------HẾT---------
A
B
D
C
E
F

.O
20
0
30
0
CHÍNH TH CĐỀ Ứ
ĐÁP ÁN : Đề thi học sinh giỏi môn toán
A_ Phần trắc nghiệm :
Câu 1 : d)
Câu 2 : b)
B_ Phần tự luận :
Bài 1:



=−−
−=
⇔



=+
=+
1)2(
2
1
2
22
tyy
yx

txy
yx




+−
−=
⇔



=−+−
=+
2222
)1(
2
0012
2
ty
yx
tyy
yx

Từ phương trình (2) : Vì
0
2
≥t
và
0)1(

2
≥−y
nên
0)1(
22
=+− ty




=
=
⇔





=
=−
0
1
0
0)1(
2
2
t
y
t
y

Thay y=1 vào phương trình (1)
⇒
x=1 . Vậy nghiệm của hệ là :
(x=1 ; y=1 ; t = 0)
b) x
2
– 2x – 4y + y
2
+5 = 0

⇔
( x
2
- 2x +1) + ( y
2
+ 4y +4) =0

⇔
( x – 1 )
2
+ ( y – 2 )
2
= 0

⇔



=
=

⇔





=−
=−
2
1
0)2(
0)1(
2
2
y
x
y
x
Bài 2 : a) Rútgọn
3
2
1
2
)1(2
1
)1(2
1
a
a
aa

−
+
−
−
−
+
=Α
ĐK: a>0 và a
≠
1

)1)(1(2
2
)1(2
11
2
2
++−
+
−
−
++−
=Α
aaa
a
a
aa

1
1

)1)(1(
1
)1)(1(2
2
)1(
1
222
2
++
−
=
++−
−
=
++−
+
−
−
=Α
aaaaa
a
aaa
a
a
b) Vì
0
4
3
)
2

1
(1
22
>++=++ aaa
Với mọi a
Nên
0
1
1
2
<
++
−
aa
hay A <0 với mọi a.
c) tìm GTNN của A Vì
⇒
++
−
=Α
1
1
2
aa
A nhỏ nhất khi a
2
+ a + 1 =1

⇒
a = 0 hay A đạt GTNN la -1 khi a = 0

Bài 3: Vẽ hình đúng , ghi được giả thiết và kết quả được

Điểm
1
1
0,25
0.25
0,5
0,5
0,5
0,75
0,75
0,5
0,5
0,5
1
0,5
1
1,5
0,5
(1)
(2)
E
A
I
M
B
C
F
• 0

A
B
C
N
M
Chứng minh :
a) C/m ∆ AID cân
Sđ IAD
2
1
Sđ(AB + BE) (góc giữa 1 tiếp tuyến và 1dây cung )
Sđ ADI =
2
1
Sđ(AB + EC) (góc có đỉnh nằm trong đường tròn mà EB
= EC ) ( Vì AD là phân giác)
⇒
IAD = IDA hay ∆ IAD cân tại I
b) C/m AF.AM =AE . AD
EOF là đường kính
EB = EC
⇒
EF
⊥
BC
EAF = 1V (Góc nội tiếp chắn giữa đường tròn)
M = E ( Góc có cạch tương ứng vuông góc)
⇒
∆ AMD
≈

∆AEF (gg)
(.. AFAMAEAD
AE
AM
AF
AD
=⇒=⇒
đpcm)
c) C/ m : M đối xứng với D qua I .
AEF = FAX ( cùng chắn cung AF )
Mà FAX = IAM (đđ)
⇒
M = A
1

⇒
∆IAM cân tại I
⇒
IM = IA mà IA = ID
⇒
IM = ID
I ;M ; D thẳng hàng M đối xứng với D qua I (đpcm)
Bài 4 : Sử dụng bất dẳng thức về cạch trong tam giác ta có:
BA < MA + MB
BC < MB + MC
AC < MA + MC
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta có :
BA + BC + AC < 2( MA + MB + MC) hay P < 2( MA +MB +MC)
2
P

⇒
< MA + MB + MC (1)
Kéo dài BM cắt AC tại N . Ta sẽ C/m : MB + MA < CB + CA
Thật vây : AM < AN + MN
BN <BC + CN
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức ta có :
AM + BM < AN + MN + BC +CN
Hay AM + BM + MN < AC + BC + MN
⇒
AM + BM < AC + BC (a)
Tương tự MB + MC < AB +AC (b)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5
0,75
0,75
0,75
0,75
0,5
0,5
MA + MC < BA + BC (c)
Cộng vế với vế của (a) ,(b) ,( c) ta có:
MA + MB + MC < AB + BC + CA hay MA + MA + MC < P (2)
Từ (1) và(2) ta được
2

P
< MA + MB + MC < P