ptquyveptbachai,bacnhat
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (225.51 KB, 24 trang )
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI VÀ CÁCH GIẢI
Dạng 1. Đưa về phương trình tích
√
√
Bài 1. Giải phương trình: x3 + 2x2 + 2 2x + 2 2 = 0.
Lời giải
Ta có
√ √
√ 2
√
√
3
x + 2x x + 2 + 2 = 0 ⇔ x + 2 x − x 2 + 2 + 2x x + 2
i
√
√ h 2
⇔ x + 2 x + 2 − 2 x + 2 = 0.
3
√
√
2 = 0 ⇔ x = − 2.
√
* Phương trình x2 + 2 − 2 x + 2 = 0 vơ nghiệm (vì ∆ < 0).
√
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = − 2 .
* Xét x +
Dạng 2. Đặt ẩn phụ đơn giản
√
Bài 2. Giải phương trình: 2x3 + 3x2 − 2 = 0.
Lời giải
√
Viết phương trình đã cho dưới dạng: 2 2x3 + 3 · 2x2 − 4 = 0.
√
Đặt y = x 2, phương trình đã cho trở thành
√
2
y=1
x=
2
3
2
2√
y + 3y − 4 = 0 ⇔ (y − 1) (y + 2) = 0 ⇔
⇔
y = −2
x=− 2
√
√
2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = − 2;
.
2
Dạng 3. Phương trình dạng ax2 + bx + c1 ax2 + bx + c2 = A (aA 6= 0)
Cách giải
c1 + c2
đưa về phương trình dạng
2
c − c 2
1
2
t2 = A +
.
2
Bài 3. Giải phương trình: x2 + x + 2 x2 + x + 3 = 6.
Đặt t = ax2 + bx +
Lời giải
Đặt t = x2 + x + 2. Phương trình đã cho trở thành
t=2
t (t + 1) = 6 ⇔
t = −3
1
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI
• Với t = 2 thì x2 + x + 2 = 2 ⇔ x2 + x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = −1.
√
−1 ± 21
2
2
• Với t = −3 thì x + x + 2 = −3 ⇔ x + x + 5 = 0 ⇔ x =
.
2
√
√
−1 − 21 −1 + 21
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = −1; 0;
;
.
2
2
Bài 4. Giải phương trình:(6x + 7)2 (3x + 4) (x + 1) = 1.
Lời giải
Biến đổi phương trình thành
36x2 + 84x + 49
36x2 + 84x + 48 = 12.
Đặt t = 36x2 + 84x + 48 thì phương trình trên trở thành t (t + 1) = 12 ⇔
• Với t = 3 thì
+ 84x + 48 = 3 ⇔
36x2
t = −4
3
2
+ 84x + 45 = 0 ⇔
5
x=− .
6
36x2
t=3
x=−
• Với t = −4 thì 36x2 + 84x + 48 = −4 ⇔ 36x2 + 84x + 52 = 0, phương trình này vơ nghiệm.
3
5
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = − ; − .
6
2
4
4
Dạng 4. Phương trình dạng (x + a) + (x + b) = c (c > 0)
Cách giải
Đặt y = x +
a+b
đưa phương trình trùng phương ẩn y .
2
2
4
a−b
a−b
c
4
2
y +6
y +
− = 0.
2
2
2
Bài 5. Giải phương trình: (x − 1)4 + (x + 3)4 = 82.
Lời giải
Đặt y = x + 1 thì phương trình đa cho trở thành
y=1
x=0
2y 4 + 48y 2 + 216 = 82 ⇔
⇒
y = −1
x = −2.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {−2; 0}.
Dạng 5. Phương trình dạng (x − a) (x − b) (x − c) (x − d) = A
với a < b < c < d, A 6= 0, b − a = d − c.
Cách giải
a+b+c+d
đưa phương trình trùng phương ẩn y .
4
Bài 6. Giải phương trình: (x + 1) (x + 2) (x + 4) (x + 5) = 10.
Đặt y = x −
2
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI
Lời giải
x+1+x+2+x+4+x+5
= x + 3 thì phương trình trở thành
4
√
√
2
y=− 6
x=− 6−3
2
4
2
y − 4 y − 1 = 10 ⇔ y − 5y − 6 = 0 ⇔
⇒
√
√
y= 6
x= 6−3
Đặt y =
√
√
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = − 6 − 3; 6 − 3 .
Dạng 6. Phương trình dạng ax2 + b1 x + c ax2 + b2 x + c = Ax2 (cA 6= 0)
Cách giải
Do x = 0 khơng phải là nghiệm, chia hai vế của phương trình cho x2 ta được
Đặt y = ax +
ax +
c
c
+ b1 ax + + b2 = A.
x
x
c
đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn y là
x
(y + b1 ) (y + b2 ) − A = 0.
Bài 7. Giải phương trình: x2 + x + 2
x2 + 2x + 2 = 2x2 .
Lời giải
Do x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia hai vế cho x2 ta được
2
2
x+ +1
x + + 2 = 2.
x
x
Đặt y = x +
2
thì phương trình trở thành
x
2
x+ =0
y=0
x = −1
x
(y + 1) (y + 2) = 2 ⇔
⇒
⇔
2
y = −3
x = −2
x + = −3
x
Vậy tậ nghiệm của phương trình là S = {−2; −1}.
Dạng 7. Phương trình dạng (x − a) (x − b) (x − c) (x − d) = Ax2
trong đó ab = cd 6= 0, A 6= 0
Cách giải
Phương trình viết được dưới dạng
2
x − (a + b) x + ab x2 − (c + d) x + cd = Ax2 ,
đây chính là phương trình dạng 4.
Bài 8. Giải phương trình: (x − 2) (x − 1) (x − 8) (x − 4) = 4x2 .
3
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI
Lời giải
Biến đổi phương trình thành
[(x − 2) (x − 4)] [(x − 1) (x − 8)] = 4x2 ⇔ x2 − 6x + 8
x2 − 9x + 8 = 4x2 .
Do x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x2 ta được
8
8
x+ −6
x + − 9 = 4.
x
x
Đặt y = x +
8
thì phương trình trở thành
x
(y − 6) (y − 9) = 4 ⇔ y 2 − 15y + 50 = 0 ⇔
y=5
y = 10.
8
= 5 ⇔ x2 − 5x + 8 = 0 (vơ nghiệm).
x
√
x
=
5
−
17
8
• Với y = 10 thì x + = 10 ⇔ x2 − 10x + 8 = 0 ⇔
√
x
x = 5 + 17.
• Với y = 5 thì x +
√
√
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 5 − 17; 5 + 17 .
2
2
Dạng 8. Phương trình dạng a1 bx2 + c1 x + d + a2 bx2 + c2 x + d = Ax2
trong đó a1 a2 bdA 6= 0
Cách giải
Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương tìrnh. Chia hai vế của phương trình cho
2
2
d
d
d
2
x được a1 bx + + c1
+ a2 bx + + c2
= A, rồi đặt y = bx + đưa về phương
x
x
x
trình bậc hai ẩn y .
2
2
Bài 9. Giải phương trình: 3 x2 + 2x − 1 − 2 x2 + 3x − 1 + 5x2 = 0.
Lời giải
Do x = 0 khơng là nghiệm của phương trình, chia hai vế của phương trình cho x2 ta
được
1
3 x− +2
x
2
1
−2 x− +3
x
2
+ 5 = 0.
1
Đặt y = x − , phương trình trở thành
x
1
=1
x
3 (y + 2)2 − 2 (y + 3)2 + 5 = 0 ⇔ y 2 − 1 = 0 ⇔
⇒
1
y = −1
x − = −1
x
4
y=1
x−
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI
√
−1 ± 5
x=
2√
⇔
1± 5
x=
2
√
√
−1 ± 5 1 ± 5
;
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
2
2
Dạng 9. Phương trình dạng ax4 + bx3 + cx2 ± bx + a = 0 (a 6= 0)
(gọi là phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng (ứng với +bx) và hệ số đối xứng lệch
(ứng với −bx)).
Cách giải
Phương trình khơng nhận x = 0 là nghiệm, nên chia hai vế cho x2 được
1
1
2
+ c = 0.
a x + 2 +b x±
x
x
1
đưa phương trình về dạng ay 2 + by + c ∓ 2a = 0.
x
Bài 10. Giải phương trình: 3x4 − 4x3 + mx2 + 4x + 3 = 0.
Đặt y = x ±
(1)
a) Với giá trị nào của m thì phương trình vơ nghiệm ?
b) Giải phương trình với m = −5.
Lời giải
Phương trình (1) không nhận x = 0 là nghiệm, chia hai vế cho x2 được
1
1
2
+ m = 0.
3 x + 2 −4 x−
x
x
1
phương trình trên trở thành 3t2 − 4t + m + 6 = 0
(2)
x
a) Phương trình (1) vơ nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) vơ nghiệm, khi và chỉ khi
Đặt t = x −
∆0 = 3m − 14 ≤ 0 ⇔ m ≥ −
14
.
3
1
b) Với m = −5 thì phương trình (2) có dạng 3t2 − 4t + 1 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = .
3
√
1− 5
1
x=
2√
• Với t = 1 thì x − = 1 ⇔ x2 − x − 1 = 0 ⇔
1+ 5
x
x=
2 √
1 − 37
1
1
1
x=
2√
• Với t = thì x − = ⇔ 3x2 − x − 3 = 0 ⇔
1 + 37
3
x
3
x=
2 √
√
√
√
1 − 37 1 − 5 1 + 5 1 + 37
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S =
;
;
;
.
2
2
2
2
Dạng 10. Phương trình dạng ax4 + bx3 + cx2 + bkx + ak 2 = 0 (ak 6= 0)
5
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI
(gọi là phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng tỷ lệ).
Cách giải
Phương trình khơng nhận x = 0 là nghiệm, nên chia hai vế cho x2 được
k
k2
2
+ c = 0.
a x + 2 +b x+
x
x
Đặt y = x +
k2
k
suy ray 2 = x2 + 2 + 2k , phương trình trên trở thành bậc hai ẩn y
x
x
ay 2 + by + c − 2ak = 0.
Bài 11. Giải phương trình: 2x4 − 21x3 + 34x2 + 105x + 50 = 0
(1)
Lời giải
105
50
= −5 và k 2 =
= 25 nên phương trình (1) là phương trình bậc bốn có
−21
2
hệ số đối xứng tỷ lệ.
25
5
2
(1) ⇔ 2 x + 2 − 21 x −
+ 34 = 0
(2)
x
x
Ta thấy k =
Đặt t = x −
5
25
suy ra t2 = x2 + 2 − 10.
x
x
Phương trình (2) trở thành 2t2 − 21t + 54 = 0 ⇔
t=6
9
t=
2
√
x
=
3
−
14
5
.
• Với t = 6 thì x − = 6 ⇔ x2 − 6x − 5 = 0 ⇔
√
x
x = 3 + 14
9−
√
161
x=
9
5
9
4
√
• Với t = thì x − = ⇔ 2x2 − 9x − 10 = 0 ⇔
9 − 161
2
x
2
x=
4
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là
√
√
√
√
9 − 161
9 + 161
S=
; 3 − 14; 3 + 14;
.
4
4
Dạng 11. Phương trình dạng
a1
a2
an
+
+ ... +
= A.
x + b1 x + b2
x + bn
Cách giải
Nhóm từng cụm phân thức để làm xuất hiện thừa số chung.
1
1
1
1
1
+
+
+
= 0.
Bài 12. Giải phương trình: +
x x+1 x+2 x+3 x+4
Lời giải
6
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI
Điều kiện x 6= {−1; −2; −3; −4; 0}.
Ta biến đổi phương trình thành
1
1
1
1
1
+
+
+
+
x x+4
x+1 x+3
x+2
2 (x + 2)
2 (x + 2)
1
⇔ 2
+ 2
+
=0
x + 4x
x + 4x + 3 x + 2
1
1
1
⇔ 2
+ 2
+
= 0.
x + 4x x + 4x + 3 2 (x2 + 4x + 4)
Đặt u = x2 + 4x, phương trình trở thành
√
−25 + 145
1
1
1
5u2 + 25u + 24
u=
10√
+
+
=0⇔
=0⇔
−25 − 145
u u + 3 2 (u + 4)
2u (u + 3) (u + 4)
u=
10
√
−25 + 145
2
x + 4x =
10√
Do đó
−25 − 145
2
x + 4x =
10
Từ đó ta tìm được tập nghiệm của phương trình là
(
)
r
r
r
r
√
√
√
√
15 + 145
15 + 145
15 − 145
15 − 145
S = −2 −
; −2 +
; −2 +
; −2 −
.
10
10
10
10
Dạng 12. Phương trình dạng
a1 x + b 1 a2 x + b 2
an x + b n
+
+ ... +
= A.
x + c1
x + c2
x + cn
Cách giải
Biến đổi phương trình thành
a1 +
d1
d2
dn
+ a2 +
+ . . . + an +
= A.
x + c1
x + c2
x + cn
và dễ dàng đưa về phương trình dạng 9.
x+4 x−4 x+8 x−8
8
Bài 13. Giải phương trình:
+
−
−
=− .
x−1 x+1 x−2 x+2
3
Lời giải
Biến đổi phương trình thành
5
−5
10
10
8
10
40
8
+
−
+
=− ⇔ 2
− 2
=− .
x−1 x+1 x−2 x+2
3
x −1 x −4
3
Đặt u = x2 (u 6= 1, u 6= 4, u ≥ 0) dẫn đến phương trình
u = 16
4u2 − 65u + 16 = 0 ⇔
1
u=
4
7
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI
Tìm được tập nghiệm của phương trình đã cho là S =
1
1
− ; −4; ; 4
2
2
Dạng 13. Phương trình dạng
a1 x + b1
a2 x + b2
an x + b n
+
+
.
.
.
+
= A.
p 1 x2 + q 1 x + r 1 p 2 x2 + q 2 x + r 2
pn x2 + qn x + rn
với ∆i = qi2 − 4pi ri > 0 i = 1, n
Cách giải
Với pi x2 + qi x + ri i = 1, n có ∆i = qi2 − 4pi ri > 0 thì
ai x + b i
Mi
Ni
=
+
, nên dễ dàng đưa phương trình về dạng 9.
2
pi x + qi x + ri
x + ki x + hi
1
1
1
1
Đẳng thức hay dùng
=
−
·
.
(x + a) (x + b)
x+a x+b
b−a
x+6
x+2
x+5
x+1
+ 2
= 2
+ 2
.
Bài 14. Giải phương trình: 2
x + 2x x + 12x + 35
x + 4x + 3 x + 10x + 24
Lời giải
Điều kiện x 6= {−7; −6; −5; −4; −3; −2; −1; 0}.
Biến đổi phương trình thành
x+1
x+6
x+2
x+5
+
=
+
x (x + 2) (x + 5) (x + 7)
(x + 1) (x + 3) (x + 4) (x + 6)
x+1 1
1
x+6
1
1
⇔
−
+
−
2
x x+2
2
x+5 x+7
x+2
1
1
x+5
1
1
=
−
+
−
2
x+1 x+3
x
x+4 x+6
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
⇔
+
=
+
x x+7
x+2 x+5
x+1 x+6
x+3 x+4
1
1
1
1
⇔ (2x + 7)
+
−
−
=0
x2 + 7x x2 + 7x + 10 x2 + 7x + 6 x2 + 7x + 12
7
x=−
2
⇔
1
1
1
1
+ 2
− 2
− 2
=0
2
x + 7x x + 7x + 10 x + 7x + 6 x + 7x + 12
(*)
Đặt u = x2 + x thì phương trình (*) có dạng
1
1
1
1
1
1
1
1
+
−
−
⇔
−
+
−
=0
u u + 10 u + 6 u + 12
u u+6
u + 10 u + 12
⇔u2 + 18u + 90 = 0
Mặt khác u2 + 18u + 90 = (u + 9)2 + 9 > 0 với mọi u. Do đó phương trình (*) vơ nghiệm.
7
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = − .
2
Dạng 14. Phương trình dạng
a1 x 2 + b 1 x + c 1 a2 x 2 + b 2 x + c 2
an x 2 + b n x + c n
+
+ ... +
= A.
m1 x + n1
m2 x + n2
mn x + nn
8
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI
với ai mi 6= 0 i = 1, n
Cách giải
d
ax2 + bx + c
= kx + h +
, ta cũng đưa phương trình về dạng 11.
mx + n
mx + n
x2 + x + 1 x2 + 2x + 2 x2 + 3x + 3 x2 + 4x + 4
Bài 15. Giải phương trình:
+
−
−
= 0.
x+1
x+2
x+3
x+4
Phân tích
Lời giải
Điều kiện x 6= {−4; −3; −2; −1}.
Biến đổi phương trình thành
1
4
2
3
−
+
−
=0
x+1 x+4
x+2 x+3
1
3
+
=0
⇔x
x2 + 5x + 4 x2 + 5x + 6
x=0
⇔
3
1
+ 2
=0
2
x + 5x + 4 x + 5x + 6
2
3
4
1
+
−
−
⇔
x+1 x+2 x+3 x+4
(*)
1
11
3
+
=0⇔u=− .
Đặt u = x2 + 5x thì phương trình (*) trở thành
2
√ u+4 u+6
−5 ± 3
Từ đó ta có 2x2 + 10x + 11 = 0 ⇔ x =
.
2
√
√
−5 − 3 −5 + 3
;
.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = 0;
2
2
Dạng 15. Phương trình dạng
A1 x
A2
An x
+
+
.
.
.
+
= A.
ax2 + b1 x + c ax2 + b2 x + c
ax2 + bn x + c
với abi A 6= 0 i = 1, n
Cách giải
Do x = 0 không là nghiệm của phương trình nên đặt y = ax +
c
và đưa phương trình về
x
dạng 13.
A1
A2
An
+
+ ... +
= A.
y + b1 y + b2
y + bn
Chú ý. Ta cũng thường dùng phương pháp này đối với các phương trình có dạng sau:
mx
nx
a) Dạng 1: 2
+ 2
= p.
ax + bx + d ax + cx + d
ax2 + mx + c ax2 + px + c
b) Dạng 2: 2
+ 2
= 0.
ax + nx + c
ax + qx + c
ax2 + mx + c
px
c) Dạng 3: 2
+ 2
= 0.
ax + nx + c
ax + qx + c
4x
3x
+ 2
= 1.
Bài 16. Giải phương trình: 2
4x − 8x + 7 4x − 10x + 7
Lời giải
9
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI
Do x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức
7
ở vế trái của phương trình cho x, rồi đặt y = 4x + ta được
x
4
3
+
= 1.
y − 8 y − 10
Phương trình trên có hai nghiệm y = 16, y = 9.
• Với y = 9 thì 4x +
7
= 9 ⇔ 4x2 − 9x + 7 = 0. Phương trình này vơ nghiệm.
x
7
• Với y = 16 thì 4x +
= 16 ⇔ 4x2 − 16x + 7 = 0. Phương trình này có hai nghiệm
x
1
7
x= ; x= .
2
2
1 7
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S =
;
.
2 2
Dạng 16. Phương trình quy về dạng (A ± B)2 = 0 ⇔ A ± B = 0
Bài 17. Giải phương trình: x2 x4 − 1 x2 + 2 + 1 = 0.
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với
x2 x2 + 1 x2 − 1 x2 + 2 + 1 = 0 ⇔ x 4 + x2 x4 + x2 − 2 + 1 = 0
2
2
⇔ x4 + x2 − 2 x4 + x2 + 1 = 0 ⇔ x4 + x2 − 1 = 0 ⇔ x4 + x2 − 1 = 0.
)
( r√
r√
5−1
5−1
;
.
Giải phương trình trùng phương trên ta được tập nghiệm là S = −
2
2
2
2
x−2
x+2
x2 − 4
Bài 18. Giải phương trình: 20
+5
− 20 · 2
= 0.
x+1
x−1
x −1
Lời giải
ĐK: x 6= ±1.
x−2
x+2
Đặt
= y;
= z , phương trình đã cho chuyển thành
x−1
x−1
20y 2 + 5z 2 − 20yz = 0 ⇔ 5 (2y − z)2 = 0 ⇔ 2y = z.
Do đó
2·
10
x−2
x+2
=
⇔ 2 (x − 2) (x − 1) = (x + 2) (x + 1) ⇔ 2x2 − 6x + 4 = 0 = x2 + 3x + 2
x+1
x−1
√
9 + 73
x=
2√
⇔ x2 − 9x + 2 = 0 ⇔
(tmđk).
9 − 73
x=
2
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S =
√
9−
2
73 9 +
;
√
73
2
Dạng 17. Phương trình quy về dạng (A ± B)2 = (C ± D)2 ⇔
.
A±B =C ±D
A ± B = − (C ± D)
Bài 19. Giải phương trình: x4 = 24x + 32.
Lời giải
Thêm 4x2 + 4 vào hai vế của phương trình ta được
2
x4 + 4x2 + 4 = 4x2 + 32x + 36 ⇔ x2 + 2 = (2x + 6)2
2
x + 2 = 2x + 6
x2 − 2x − 4 = 0 (1)
⇔
⇔
x2 + 2 = −2x − 6
x2 + 2x + 8 = 0 (2)
Phương trình (1) có nghiệm x = 1 ±
√
5.
Phương trình (2) vơ nghiệm.
√
√
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 1 − 5; 1 + 5 .
11
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI
BÀI TẬP BỔ SUNG
Bài 1. Giải phương trình: x4 + 3x3 − 2x2 − 6x + 4 = 0.
Lời giải
Cách 1.
• x = 0 khơng là nghiệm của phương trình.
• Xét x 6= 0, chia hai vế cho x2 ta được:
4
6
x + 3x − 2 − + 2 = 0 ⇔
x x
2
Đặt y = x −
4
x + 2
x
2
2
+3 x−
x
2
4
4
⇒ y 2 = x2 − 4 + 2 ⇒ x2 + 2 = y 2 + 4 .
x
x
x
Phương trình có dạng: y 2 + 4 + 3y − 2 = 0 ⇔ y 2 + 3y + 2 = 0 ⇔
− 2 = 0.
y1 = −1
y2 = −2
x=1
2
= −1 ⇔ x2 + x − 2 = 0 ⇔
x
x = −2.
√
x
=
−1
+
3
2
* Với y1 = −2, ta có x − = −2 ⇔ x2 + 2x − 2 = 0 ⇔
√
x
x = −1 − 3.
√
√
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 1; −2; −1 + 3; −1 − 3 .
* Với y1 = −1, ta có x −
Cách 2. Ta biến đổi như sau:
x4 − 4x2 + 4 + 3x3 − 6x + 2x2 = 0 ⇔ x2 + 2
2
+ 3x x2 − 2 + 2x2 = 0
2
⇔ x2 − 2 + x x2 − 2 + 2x x2 − 2 + 2x2 = 0
⇔ x2 − 2 x2 − 2 + x + 2x x2 − 2 + x = 0
⇔ x2 + x − 2 x2 + 2x − 2 = 0
x2 + x − 2 = 0 (1)
⇔
x2 + 2x − 2 = 0 (2)
* Giải phương trình (1): x2 + x − 2 = 0 ⇔ x1 = 1; x2 = −2.
√
√
* Giải phương trình (1): x2 + 2x − 2 = 0 ⇔ x3 = −1 + 3; x4 = −1 − 3.
√
√
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 1; −2; −1 + 3; −1 − 3 .
Bài 2. Giải phương trình: x2 − 3x + 2 x2 + 15x + 56 + 8 = 0.
Lời giải
12
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI
Cách 1. Ta biến đổi như sau
x2 − 3x + 2
x2 + 15x + 56 + 8 = 0 ⇔ x4 + 12x3 + 13x2 − 138x + 120 = 0
⇔ x4 + 6x3 − 15x2 + 6x3 + 36x2 − 90x − 8x2 + 48x − 120 = 0
⇔x2 x2 + 6x − 15 + 6x x2 + 6x − 15 − 8 x2 + 6x − 15 = 0
⇔ x2 + 8x − 15 x2 + 6x − 8 = 0.
√
x
=
−3
+
2
6
1
• Giải phương trình: x2 + 6x − 15 = 0 ⇔
√
x2 = −3 − 2 6
√
x
=
−3
+
17
3
• Giải phương trình: x2 + 6x − 8 = 0 ⇔
√
x4 = −3 − 17
√
√
√
√
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = −3 + 2 6; −3 − 2 6; −3 + 17; −3 − 17 .
Cách 2. Ta có thể viết
(x − 1) (x − 2) (x + 7) (x + 8) + 8 = 0 ⇔ (x − 1) (x + 7) (x − 2) (x + 8) + 8 = 0
⇔ x2 + 6x − 7 x2 + 6x − 16 + 8 = 0.
Đặt y = x2 + 6x − 7, phương trình có dạng
y (y − 9) + 8 = 0 ⇔ y 2 − 9y + 8 = 0 ⇔
y1 = 1
y2 = 8
x1 = −3 +
√
17
√
x2 = −3 − 17
√
x
=
−3
+
2
6
1
* Với y2 = 8 ta được x2 + 6x − 7 = 8 ⇔ x2 + 6x − 15 = 0 ⇔
√
x2 = −3 + 2 6
√
√
√
√
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = −3 + 2 6; −3 − 2 6; −3 + 17; −3 − 17 .
2x
13x
Bài 3. Giải phương trình 2
+ 2
= 6.
3x − 5x + 2 3x + x + 2
* Với y1 = 1 ta được x2 + 6x − 7 = 1 ⇔ x2 + 6x − 8 = 0 ⇔
Lời giải
Cách 1. Đặt t = 3x2 + 2 phương trình có dạng:
2x
13x
+
= 6.
t − 5x t + x
Quy đồng khử mẫu, thu gọn ta được:
2t2 − 13t + 11x2 = 0 ⇔ (t − x) (2t − 11x) = 0 ⇔
t=x
11x
t=
2
* Nếu t = x, ta có 3x2 − x + 2 = 0 vơ nghiệm.
1
x=
11x
2
* Nếu t =
, ta có 2 3x2 + 2 − 11x = 0 ⇔ 6x2 − 11x + 4 = 0 ⇔
4
2
x=
3
13
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI
1 4
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
;
.
2 3
Cách 2. Xét x = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình, nên ta chia cả tử và mẫu của
mỗi phân thức cho x ta được:
2
13
+
= 6.
2
2
3x + − 5 3x + + 1
x
x
Đặt 3x − 2 +
2
2
13
= t, phương trình có dạng:
+
= 6.
x
t−3 t+3
t1 = −1
7
t2 =
2
2
* Xét t = −1 suy ra 3x − 2 + = −1 ⇔ 3x2 − x + 2 = 0 vô nghiệm.
x
1
x=
7
2
7
2
* Xét t = suy ra 3x − 2 + = ⇔ 6x2 − 11x + 4 = 0 ⇔
4
2
x
2
x= .
3
1 4
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
;
.
2 3
x2 + 3x + 3 x2 + 6x + 3
53
Bài 4. Giải phương trình: 2
+ 2
= .
x − 4x + 3 x + 5x + 3
12
Quy đồng, khử mẫu và thu gọn được: 6t2 − 15t − 21 = 0 ⇔
Lời giải
* Vì x = 0 khơng là nghiệm của phương trình.
* Xét x 6= 0, mỗi phân thức ở vế trái ta chia cả tử và mẫu cho x, ta được
3
x+6+
x +
3
x−4+
x+5+
x
x+3+
3
x = 53
3
12
x
(1)
3
y
y+3
53
+ 3, phương trình (1) trở thành
+
= .
x
y−7 y+2
12
2
Suy ra 12y (y + 2) + 12 (y + 3) (y − 7) = 53 (y + 2) (y − 7) ⇔ 29y − 241y − 490 = 0.
49
Giải ra ta được y1 = 10; y2 = − .
29
√
7 + 37
3
x1 =
2√
* Với y = 10, ta có x + = 7 ⇔ x2 − 7x + 3 = 0 ⇔
7 − 37
x
x2 =
2
√
−68 + 2101
49
3
136
x3 =
29√
* Với y = − , ta có x + = −
⇔ 29x2 + 136x + 87 = 0 ⇔
−68 − 2101
29
x
29
x4 =
29
√
√
√
√
7 + 37 7 − 37 −68 + 2101 −68 − 2101
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
;
;
;
.
2
2
29
29
Bài 5. Giải phương trình: (x − 2) (x − 1) (x − 8) (x − 4) = 4x2 .
Đặt y = x +
14
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI
Lời giải
Cách 1. Ta biến đổi như sau:
(x − 2) (x − 1) (x − 8) (x − 4) = 4x2 ⇔ (x − 2) (x − 4) (x − 1) (x − 8) = 4x2
⇔ x2 06x + 8 x2 − 9x + 8 = 4x2 .
Nhận xét. Vì x = 0 khơng là nghiệm của phương trình trên nên ta chia hai vế của
phương trình cho x2 ta được:
8
x−6+
x
8
x−9+
x
= 4.
8
Đặt y = x − 6 + , phương trình có dạng:
x
y (y − 3) = 4 ⇔ y 2 − 3y − 4 = 0 ⇔
y = −1
y = 4.
8
= −1 ⇔ x2 − 5x + 8 = 0 phương trình này vơ nghiệm.
x
√
17
x
=
5
−
8
* Xét y = 4 ta có x − 6 + = 4 ⇔ x2 − 10x + 8 = 0 ⇔
√
x
x = 5 + 17
√
√
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 5 − 17; 5 + 17 .
* Xét y = −1 ta có x − 6 +
Cách 2. Ta biến đổi như sau:
(x − 2) (x − 1) (x − 8) (x − 4) = 4x2 ⇔ (x − 2) (x − 4) (x − 1) (x − 8) = 4x2
⇔ x2 − 6x + 8 x2 − 9x + 8 = 4x2 .
Đặt x2 − 6x + 8 = y , phương trình có dạng:
y (y − 3x) = 4x2 ⇔ 4x2 + 3xy − y 2 = 0 ⇔ (x + y) (4x − y) = 0.
* Nếu x + y = 0 ⇔ x + x2 − 6x + 8 = 0 ⇔ x2 − 5x + 8 = 0, phương
trình vơ√nghiệm.
x = 5 + 17
* Nếu 4x − y = 0 ⇔ 4x − x2 + 6x − 8 = 0 ⇔ x2 − 10x + 8 = 0 ⇔
√
x = 5 − 17
√
√
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 5 − 17; 5 + 17 .
3
x−3
Bài 6. Giải phương trình:
− (x − 3)3 = 16.
x−2
Lời giải
15
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI
ĐK: x 6= 2.
Áp dụng hằng đẳng thức a3 − b3 = (a − b)3 − 3ab (a − b), ta có
3
x−3
x−3
x−3
−x+3 −3·
· (x − 3)
− x + 3 = 16
x−2
x−2
x−2
"
#3
"
#2
(x − 3)2
(x − 3)2
⇔−
−3
= 16
x−2
x−2
(x − 3)2
= y phương trình có dạng:
Đặt
x−2
y+4=0
−y 3 − 3y 2 = 16 ⇔ y 3 + 3y 2 + 16 = 0 ⇔ (y + 4) y 2 − y + 4 = 0 ⇔
y2 − y + 4 = 0
(x − 3)2
+ 4 = 0 ⇔ x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1.
x−2
* Xét y 2 − y + 4 = 0 vô nghiệm.
* Xét y + 4 = 0 ⇔
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1}.
Bài 7. Giải phương trình:
x2 + 3x + 3 x2 + 4x + 4
x2 + x + 1 x2 + 2x + 2
+
=
+
.
x+1
x+2
x+2
x+4
ĐK: x 6∈ {−4; −3; −2; −1}.
Phương trình viết dưới dạng
1
2
3
4
x+1+
+x+1+
=x+1+
+x+1+
x+1 x+2
x+4
x+3
1
4
2
3
−3x
−x
⇔
−
+
−
=0⇔
+
=0
x+1 x+4
x+2 x+3
(x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3)
3
1
⇔x
+
= 0.
(x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3)
* Xét x = 0 là nghiệm của phương trình.
3
1
* Xét
+
= 0.
(x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3)
√
−5 − 3
x=
2 √ (tmđk).
Quy đồng khử mẫu, thu gọn ta được: 4x2 + 20x + 22 = 0 ⇔
−5 + 3
x=
2
√
√
−5 − 3 −5 + 3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 0;
;
.
2
2
16
CÁC
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
- CÁCH
GIẢI
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
1) x3 − 3x2 + x + 1 = 0;
2) x3 − 5x2 + x + 7 = 0;
√
3) x3 + 2x − 5 3 = 0;
√
4) x3 − x − 2 = 0;
5) (x − 2)3 + (x + 1)3 = 8x3 − 1.
6) x4 − 2x3 − x2 − 2x + 1 = 0;
7) x4 − 10x3 + 26x2 − 10x + 1 = 0;
8) x4 + x3 − 4x2 + x + 1 = 0;
9) 2x4 + x3 − 11x2 + x + 2 = 0;
10) x4 − 7x3 + 14x2 − 7x + 1 = 0;
11) x4 + x3 − 10x2 + x + 1 = 0;
12) x4 − 3x3 − 6x2 + 3x + 1 = 0;
13) x4 − 3x3 + 3x + 1 = 0;
14) x4 + 3x3 − 14x2 − 6x + 4 = 0;
15) 6x5 − 11x4 − 11x + 6 = 0;
16) x4 + 9 = 5x x2 − 3 ;
2
17) x2 − 6x − 9 = x x2 − 4x − 9 ;
18) x2 − 2x + 4 x2 + 3x + 4 = 14x2 ;
19) 2x2 − 3x + 1 2x2 + 5x + 1 = 9x2 ;
√
√
20) 4 2x3 − 22x2 + 17 2x − 6 = 0;
√
21) x4 − 12x2 + 16 2x − 12 = 0;
22) x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = 8;
23) x (x − 1) (x + 1) (x + 2) = 3;
24) (x + 2) (x + 3) (x − 7) (x − 8) = 144;
25) (x + 5) (x + 6) (x + 8) (x + 9) = 40;
26) (4x + 3)2 (x + 1) (2x + 1) = 810;
27) (6x + 5)2 (3x + 2) (x + 1) = 35;
3
2
28) 4 x2 − x + 1 = 27 x2 − x ;
29) 3 (x + 5) (x + 6) (x + 7) = 84;
30) (x − 2)3 + (x − 4)3 = 8;
17
CÁC
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
31) (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272;
32) (x + 2)4 + (x + 4)4 = 82;
√
√ 4
33) x + 2 + (x + 1)4 = 33 + 12 2;
34) (x − 2)6 + (x − 4)6 = 64;
2
35) x2 − 6x − 2 (x − 3)2 = 81;
36) x4 + (x + 1) 5x2 − 6x − 6 = 0;
37) x4 + (x − 1) 3x2 + 2x − 2 = 0;
2
38) x2 + 1 + (x + 2) 3x2 − 4x − 5 = 0;
39) x2 (x − 1)2 + x x2 − 1 = 2 (x + 1)2 ;
40) x5 + x2 + 2x + 2 = 0;
41) x4 − x2 + 2x − 1 = 0;
42) x4 − 9x2 + 24x − 16 = 0;
43) x4 = 2x2 + 8x + 3;
2
44) x2 − 16 = 16x + 1;
2
45) x2 − a2 = 4ax + 1;
46) x4 = 4x − 3;
47) x4 = 2x2 − 12x + 8;
48) x4 = 4x + 1;
49) x4 = 8x + 7;
50) x3 − 3x2 + 9x − 9 = 0;
1
51) x3 − x2 − x = ;
3
52) (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2;
3
√ 3
√
√ 3
√
53) x − 2 + x + 2 + 2 − 3 − 2x = 0;
54) x3 − 3abx + a3 + b3 = 0 (a, b là tham số);
55) (a + b + x)3 − 4 a3 + b3 + x3 − 12abx = 0 (a, b là tham số).
56) 2 x2 + 9 x2 + 9x = 22 (x − 1)2 ;
57) 2x4 − 21x3 + 34x2 + 105x + 50 = 0;
3
4
1
= 2
58) 2
−
;
2
4x − 12x + 9 9 − 4x
4x + 12x + 9
1
1
1
3
59) 2
+ 2
+ 2
=
;
x + 5x + 4 x + 11x + 28 x + 17x + 70
4x − 2
x+1 x−2 x−3 x+4
60)
+
+
+
= 4;
x−1 x+2 x+3 x−4
1
1
1
1
61)
−
=
−
;
2008x + 1 2009x + 2
2010x + 3 2011x + 4
2
13
6
62) 2
+ 2
= ;
3x − 4x + 1 3x + 2x + 1
x
18
- CÁCH
GIẢI
CÁC
63)
64)
65)
66)
67)
68)
69)
70)
71)
72)
73)
74)
75)
76)
77)
78)
79)
80)
81)
82)
83)
84)
85)
86)
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
- CÁCH
GIẢI
1
1
+
= 15;
2
x
(x + 1)2
2
2
x+1
x−2
x+1
= 12
+
;
x−2
x−3
x−3
1
1
1
1
+ 2
+ 2
= ;
2
x + 9x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42
18
x−1 x−2 x−4 x−5
−
−
+
= 0;
x+2 x+3 x+5 x+6
1
1
1
1
+
=
−
;
4x
− 2006 5x
+ 2004 15x − 2007 6x − 2005
2
2
x−2
x+2
x2 − 4
10
= 0;
+
− 11 · 2
x+1
x−1
x −1
x3
3x2
x3 +
+
− 2 = 0;
(x − 1)3 x − 1
1
5
1
+
=
;
(2x − 1)2 (3x + 1)2
4 (x + 2)2
1
2
6
+ 2
= 2
;
2
x − 3x + 3 x − 3x + 4
x − 3x + 5
1
1
9
+
=
;
x2 − 2x + 2 x2 − 2x + 3
2 (x2 − 2x + 4)
8
6
+
= 1;
(x + 1) (x + 2) (x − 1) (x + 4)
x2 + 2x + 1 x2 + 2x + 2
7
+ 2
= ;
2
x + 2x + 2 x + 2x + 3
6
2
81x
x2 +
= 40;
(x + 9)2
x2
x2 +
= 15;
(x + 1)2
x4
2x2 + 1
+
= 2;
2x2 + 1
x4
1
1
3
4 x + 3 = 13 x +
;
x
x
1
1
3
x + 3 = 13 x +
;
x
x
4x
3x
+
= 1;
4x2 − 8x + 7 4x2 − 10x + 7
2x
13x
+ 2
= 6;
2
2x − 5x + 3 2x + x + 3
3x
7x
+
= −4;
x2 − 3x + 1 x2 + x + 1
x2 − 10x + 15
4x
=
;
x2 − 6x + 15
x2 − 12x + 15
x2 − 3x + 5 x2 − 5x + 5
1
− 2
=− ;
2
x − 4x + 5 x − 6x + 5
4
2
4x
x2 +
= 5;
(x + 2)2
25x2
x2 +
= 11;
(x + 5)2
19
CÁC
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
2
2
x−1
x−1
40
+
= ;
x
x−2
9
2
2
x+2
x−2
5 x2 − 4
+
− · 2
= 0;
x+1
x
−
1
2
x
−
1
x (3 − x)
3−x
· x+
= 2;
x+1
x + 1
5−x
x (5 − x)
· x+
= 6;
x+1
x + 1
8−x
8−x
· x−
= 15;
x·
x−1
x−1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
=
+
+
+
;
x x+2 x+5 x+7
x+1 x+3 x+4 x+6
19
(1995 − x)2 + (1995 − x) (x − 1996) + (x − 1996)2
= ;
2
2
49
(1995 − x) −
− x) (x − 1996) + (x −
(1995
1996)
2
2
2
x − 3x + 1 x + 3x + 2 x − 9x + 20 = −30;
2x2 − 3x + 1 2x2 + 5x + 1 = 9x2 ;
87)
88)
89)
90)
91)
92)
93)
94)
95)
96) (x + 2) (x + 3) (x + 8) (x + 12) = 4x2 ;
3
10
1
+ 2
= 2
;
97) 2
2x − x + 1 2x − x + 3
2x − 10x + 7
x (x + 1) (x + 4) (x + 3) + 1
98)
= 3;
(x + 2)2 (x + 5) (x − 1) + 2
x2 + 2x + 2 x2 + 8x + 20
x2 + 4x + 6 x2 + 6x + 12
99)
+
=
+
;
x + 4
x+2
x+3
x + 1
2
2
x+6
x+4
x−6
x+9
x2 + 36
;
100)
+
=2· 2
x−6
x−4
x+6
x−9
x − 36
3
x
2
+ 2
= ;
101) 2
x + 2x − 2 x − 2x+ 3
2
x2 48
x 4
102)
+ 2 = 10
−
;
3
x
3 x
103) 2 (8x + 7)2 (4x + 3) (x + 1) = 7;
x2
104) x2 +
= 3;
(x + 1)2
4x2 + 16
3
5
7
105) 2
− 2
= 2
+ 2
;
x +6
x +1
x + 3 x + 5
106) x2 + x + 2 x2 + 2x + 2 = 2x2 ;
2
2
107) 3 x2 + 2x − 1 − 2 x2 + 3x − 1 + 5x2 = 0;
x
3x
108) 2
− 2
− 2 = 0;
x − x − 2 x − 5x − 2
109) 4 (x + 5) (x + 6) (x + 10) (x + 12) = 3x2 ;
2x
7x
110) 2
− 2
= 1;
3x − x + 2 3x + 5x + 2
4x2
111) x2 +
= 12;
(x + 2)2
2
2
x−2
x+2
x2 − 4
112) 20
−5
+ 48 · 2
= 0;
x+1
x−1
x −1
20
- CÁCH
GIẢI
CÁC
113)
114)
115)
116)
117)
118)
119)
120)
121)
122)
123)
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
- CÁCH
GIẢI
x2
= 3 − 4x;
(x + 1)2
x2 − 2x − 2 x2 − 4x − 2
−
= 2;
x2 − 3x − 2 x2 − 5x − 2
1
1
1
= ;
+
2
2
x
2
(4 − x)
1
5
1
= ;
+
x2 (x + 1)2
4
2
x
x − 2x + 1
=
;
x2 − 3x + 1
x2 + x + 1
9x2
= 16;
x2 +
(x − 3)2
1
1
5
+
= ;
2
2
4
(x2 − x + 1)
(x2 − x + 2)
2x + 1
= x3 − 1;
x4 + 1
x2
= 3x2 − 16x + 8;
(x + 1)2
1
1
8
+
=
;
2
x2 (x + 1)
(2x + 1)2
x3 − 39x + 70 = 0;
124) x3 − 9x + 28 = 0;
√
125) x3 − x − 2 = 0;
126) x3 − 3x2 + 3x + 7 = 0;
127) x3 + 6x2 − 12x + 8 = 0;
128) x4 − 4x3 − 3x2 + 14x + 6 = 0;
129) (x + 1) (2x + 1) (3x + 1) (6x − 1) = 120;
130) x4 − x3 − 14x2 − 3x + 9 = 0;
131) x2 + 3x + 2 x2 + 9x + 18 = 168x2 ;
2
4
132) x2 − x + 1 + 4x4 = 5x2 x2 − x + 1 ;
133) x2 + (x + 1)3 + (x + 2)4 = 2;
134) x4 − 2x2 − 64x − 255 = 0;
135) x4 + (x − 2) x2 − 2x + 4 = 0;
2
2
136) x2 + 3x + 2 = x2 − x − 2 ;
137) 12x2 − 3 (x + 3) + 2x2 + 7x + 3 (x − 3) = 0;
138) x3 − 3x2 − 6x + 8 = 0;
139) 64x3 = (x − 2)3 + (3x + 2)3 ;
140) (x − 1) (x + 2) (x − 6) (x − 3) = 34;
141) x2 − 3x + 3 x2 − 2x + 3 = 2x2 ;
21
CÁC
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
- CÁCH
GIẢI
142) (6 − x)4 + (x − 8)4 = 16;
1
1
(x − 3)3 −
(x − 5)3 = 0;
143)
27
125
144) 125x3 − (2x + 1)3 − (3x − 1)3 = 0;
145) (x − 3)3 + (x + 1)3 = 8 (x − 1)3 ;
146) x3 − 5x2 + 8x − 4 = 0;
147) x4 − 4x2 + 12x − 9 = 0;
148) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) − 24 = 0;
149) x2 − 3x + 2 x2 + 15x + 56 + 8 = 0;
150) 2x2 − 3x + 1 2x2 + 5x + 1 − 9x2 = 0;
151) (x + 6)4 + (x + 8)4 = 272;
152) (5 − x)4 + (2 − x)4 = 17;
153) x5 = x4 + x3 + x2 + x + 2;
154) 5x3 + 6x2 + 12x + 8 = 0;
155) x2 + 11x + 12 x2 + 9x + 20 x2 + 13x + 42 = 36 x2 + 11x + 30 x2 + 11x + 31 ;
12
1
= 3
;
156) 1 +
2+x
x +8
1
1
1
1
1
157) 2
+ 2
+ 2
+ 2
= ;
x + 4x + 3 x + 8x + 15 x + 12x + 35 x + 16x + 63
5
1
18
18
158) 2
+
= 2
;
x + 2x − 3 x2 + 2x + 2
x + 2x + 1
4x
3x
+ 2
= 1;
159) 2
4x − 8x + 7 4x − 10x + 7
9x2
= 40;
160) x2 +
(x + 3)2
5
2
−3
161) 2
− 2
=
;
x + x − 6 x + 4x + 3
2x − 1
4x2 + 16
3
5
7
162) 2
= 2
+ 2
+ 2
;
x +6
x +1 x +3 x +5
1
2
6
+ 2
= 2
;
163) 2
x − 2x + 2 x − 2x + 3
x − 2x + 4
x2 + 2x + 7
164)
= x2 + 2x + 4;
(x + 1)2 + 2
2x
7x
165) 2
− 2
= 1;
3x − x + 2 3x + 5x
+2
x2 18
x 3
166)
+ 2 = 13
−
;
2
x
2
x
1 1
− 1 = 0;
167) x (x − 1) +
x x
x 2 x 2
168)
+
= 90;
x+ 1 x −1
2
2
x−2
x+2
x2 − 4
169) 20
−5
+ 48 · 2
= 0;
x+1
x−1
x −1
170) x3 − 2x2 − 2x + 1 = 0;
22
CÁC
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
- CÁCH
GIẢI
√
171) x3 + 2x − 5 3 = 0;
√
172) x3 − x − 2 = 0;
√
√
173) x3 + 2x2 + 2 2x + 2 2 = 0;
3
√ 3
√
√ 3
√
174) x − 2 + x + 3 + 2 − 3 − 2x = 0;
175) x3 − 3x2 + 9x − 9 = 0;
1
176) x3 − x2 − x = ;
3
177) x3 + 3x − 3 = 0;
178) x3 + 6x + 2 = 0;
179) x3 + 12x − 2 = 0;
180) 2x4 + 3x3 − 16x2 + 3x + 2 = 0;
181) x5 − 2x4 + x3 + x2 − 2x + 1 = 0;
182) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16;
183) (x + 4) (x + 6) (x − 2) (x − 12) = 25x2 ;
184) (x + 5) (2x + 12) (2x + 20) (x + 12) = 3x2 ;
185) (4x + 1) (12x − 1) (3x + 2) (x + 1) = 4;
√
186) x4 + x2 − 2x + 2 = 0;
187) x4 − 4x = 1;
188) x4 − 8x + 7 = 0;
189) x4 = 3x2 + 10x + 4;
√
√
190) x4 − 2 2x2 − x + 2 − 2 = 0;
191) x4 − 10x3 − 2 (a − 11) x2 + 2 (5a + 6) x + 2a + a2 = 0, (a > −6);
√
192) x6 − 7x2 + 6 = 0;
193) x2 − 16 (x − 3)2 + 9x2 = 0;
194) x4 − 4x3 − 10x2 + 37x − 14 = 0;
2
195) x2 − 6x − 9 = x3 − 4x2 − 9x;
196) x4 − 2x2 − 400x = 9999;
2
197) x2 − a − 6x2 + 4x + 2a = 0;
198) 38 x2 + 11x + 30 x2 + 11x + 31 = x2 + 11x + 12 x2 + 9x + 20 x2 + 13x + 42 ;
1
1
13
+
= ;
199)
2
2
2
2
36
(x + x + 1)
(x + x + 2)
2
2
2
x+3
x−3
x −9
+ 168
− 46
= 0;
200) 3
x−2
x+2
x2 − 4
2
2
2
x−2
x+2
x −4
201) 20
−5
+ 48
= 0;
x+1
x−1
x−1
23
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI
2
2
x+2
x−2
5 x2 − 4
+
−
= 0;
x+1
x−1
2 x2 − 1
3x
4x
+ 2
= 1;
2
4x − 8x + 7 4x − 10x + 7
4x
5x
+
= −1;
x2 − 8x + 7 x2 − 10x + 7
x2 − 10x + 15
4x
= 2
;
2
x − 6x + 15
x − 12x + 15
x2 − 3x + 5 x2 − 5x + 5
1
− 2
=− ;
2
x − 4x +5 x − 6x
+5
4
3−x
3−x
x+
= 2;
x
x + 1
x + 1
8−x
8−x
x
x−
= 15;
x−1
x−1
x 2
2
= 1.
x +
x+1
202)
203)
204)
205)
206)
207)
208)
209)
24
