Vẽ thêm đoạn song song kết nối các giả thiết tìm lời giải 1 câu hình học thú vị

Vẽ thêm đoạn song song kết nối các giả thiết tìm lời giải 1 câu hình học thú vị
AD; BE ; CF
ABC
H
Cho tam giác
có ba góc nhọn ;ba đường cao
và có trực tâm là
.Vẽ hai đường
B; C
M;N
MN = DE + DF
EF
thẳng qua
lần lượt vng góc
tại
.Chứng minh :
( nguồn tham khảo ý cuối bài hình học đề thi tuyển sinh vào 10 tỉnh Thái Bình năm 2019-2020)
Phân tích và tìm hướng giải :

Ta nhận định đây là bài toán khai thác 1 cấu hình bài tốn quen thuộc :”Tam giác nhọn có ba chân
đường cao và cho thêm điểm trực tâm “ tuy nhiên vấn đề câu hỏi đặt ra không quen lắm đối với các bài
tốn xoay quanh mơ hình này
A+B =C
Đề toán yêu cầu chứng minh 1 đẳng thức đoạn thẳng có dạng :
thì thơng thường đối với
loại tốn này ta thường có hai hướng giải quyết :
A B
A+B =C Û
+ =1
C C
Hướng 1:

( loại này thường áp dụng cho các bài toán đã xuất hiện sự song
A; B; C
song trong hình vẽ và
là các đoạn song song hoặc cùng nằm trên 1 đường thẳng
DE + DF = MN
Nhìn vào hình vẽ cần cm :
do các đoạn này khơng thỏa tiêu chí đã đưa ra ở trên nên
có lẽ ta không nên đi theo hướng này
E; F
A = E; B = F
C
C = E +F
Hướng 2: tách đoạn thành 2 đoạn
nào đó
rồi chứng minh
hoặc
A = F; B = E


+)Mình cố xoay xở theo hướng này đã thử lấy 1 điểm

T

MN

MT = DF ; TN = DE

trên đoạn
sao cho
T

tuy nhiên loay hoay mãi vẫn không định vị được vị trí điểm để thỏa u cầu trên
PQ
-Mình chuyển qua nghĩ theo hướng : ‘Hay là cố tạo ra 1 đoạn trung gian
nào đó rồi bằng kiến thức
DE + DF = PQ; PQ = MN
PQ
hình học đang có của bản thân chứng minh :
(tách
ra 2 đoạn ; 1 đoạn
= DE; 1 đoạn =DF )
PQ = MN
Để tạo ra 1 quan hệ bằng nhau dạng
thì mình thấy rằng bài tốn này đã xuất hiện yếu tố
M;N
B; C
vng góc và cả yếu tố song song (BM//CN) mà
lại là chân hai đường vng góc từ
lên
CQ / / NM
B; C
BP / / MN
EF
nên từ
có thể dựng đường song song
hay
để tạo ra các hình chữ nhật
BP = MN ; CQ = MN
và
Tuy nhiên mình đã thử dựng và vẫn khơng thể tìm ra kết quả cminh được
BP = DE + DF hay CQ = DE + DF

= MN

Như thế ta cần tạo ra 1 đoạn song song và
và đoạn song song này vẫn có thể nối kết được
DE ; DF
quan hệ với
CH DF
DE
Ta nhận thấy
là 1 dây cung nội tiếp đường trịn đường kính
;
là 1 dây cung nội tiếp
BH
đường trịn đường kính
mà ta biết rằng để chứng minh hai dây cung bằng nhau trong một đường
tròn thường khơng khó lắm ( chuyển hóa qua góc bằng nhau –rất thích hợp chương trình tốn 9 HK2 )
H
(có lẽ điểm
lúc này khơng cịn “vơ dụng “)
BM ; CN
P; Q
PQ = MN
H
Do vậy qua
kẻ đường //MN cắt
lần lượt ở
khi đó
P; F ; H ; D; B
Q; E ; H ; C ; D

BH
Khi đó
cùng thuộc đường trịn đường kính
; các điểm
cùng thuộc
HC
đường trịn đường kính
·
·
·
·
·
·
HP = DF Û FBD
= PBH
Û 90°- FAH
= 90°- FEH
Û FEH
= FAH
Ta đi cm :
( đúng vì tứ giác
EAFH
nội tiếp )
·
·
ECD
= QCH
HQ = DE
Tương tự dễ dang chứng minh được :
nên

DE + DF = HP + HQ = PQ = MN Þ dpcm
Vậy


Nhận xét :
+)Ta đã sử dụng pp chứng minh 2 vế cùng bằng 1 vế trung gian thông qua việc kẻ song song tạo hình
chữ nhật
+) việc chứng minh 2 đoạn bằng nhau ( 2 đoạn đã là 2 dây cung trong 1 đường trịn ) thường khơng q
khó như các pp chứng minh bằng nhau đã học ở lớp 7 và lớp 8
+Bài tốn cịn có một số cách giải khác ( đã xuất hiện trong sách hoặc đáp án của sở Thái bình và mình
có tham khảo thêm lời giải của thầy Hồng trí quang trên Facebook ) nhưng do mình chỉ giải quyết đúng
1 câu này nên khơng để ý nội dung các câu a;b;c( có thể gợi ý ra lời giải câu cuối này )
Học toán nâng cao THCS:
/>Youtube : />