Tài liệu TOÁN LỚP 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Tích Phân - </b>

<b>Ứng dụng tích phân - Tính diện tích hình phẳng </b>

<b>- </b>

<b>Tính thể tích </b>

Tích Phân - Ứng dụng tích phân - Tính diện tích hình phẳng - Tính thể tích

Bài tốn tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể trịn xoay trong chương
trình Giải Tích 12 là một trong những dạng toán cơ bản, thực tế và quen thuộc. Tuy
nhiên các em học sinh thường chưa có sự phân tích và tư duy thực tế dẫn tới mắc
sai lầm và đưa ra những lời giải sai, chưa chính xác. Việc hệ thống hố các phương
pháp giải, chỉ ra một số sai lầm khi giải toán sẽ cho phép nhìn nhận các bài tốn
theo một hệ thống nhất quán từ đó giúp các em học sinh có thể thấy được thuật
tốn chung cũng như tránh được những sai lầm khi giải các bài toán có liên quan.
Khắc phục được khó khăn và sửa chữa được các sai lầm đó là rất cần thiết, giúp
cho q trình giải tốn được dễ dàng, thuận lợi và đạt hiệu quả cao. Đồng thời phát
triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập mơn tốn cũng như các
mơn học khác. Xuất phát từ thực tế trên, tôi mạnh dạn đề xuất một ý kiến nhỏ
“Phân loại các bài tập ứng dụng tích phân – Chương III- Giải tích 12 nâng cao”

<b>I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: </b>

1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong:

Nếu hàm số liên tục trên đoạn thì diện tích S của hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là

(1)

<i><b>Để khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức f(x) ta thường thực hiện: </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

( Chú ý: Nếu f (x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có: )

Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn để suy ra dấu của f
(x)

trên đoạn đó .

Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía dưới trục hồnh thì

Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hồnh
thì

Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc (a ; b)

thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk; b) biểu thức f(x) có dấu khơng đổi .

Khi đó để tính tích phân ta có thể tính như sau :

Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , đường
thẳng x=3, trục tung và trục hoành.

Giải: Đặt . Ta thấy trên và trên . Theo cơng

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục
hoành, đường thẳng x =-3 và đường thẳng x= 4.

Giải: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm x = -2, x = 0, x= 2.

Cách 1: Lập bảng xét dấu ta có:

trên và trên

Khi đó diện tích S của hình đang xét là:

Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số:

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Dựa vào đồ thị ta có:

Cách 3: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm x = -2, x = 0, x= 2.

Khi đó diện tích cần tìm:

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Hình 16

Giải

Trục tung có phương trình x = 0

Diện tích S cần tìm là

Đặt

Do đó (đvdt)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Ví dụ 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ,
trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 3

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và hai đường thẳng
.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số liên tục
trên đoạn và hai đường thẳng , ta có cơng thức sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Trong công thức trên:

Trường hợp hình 1. ta có cơng thức khai triển của S:

nếu

Trường hợp hình 2. ta có cơng thức khai triển của S:

nếu

Trường hợp hình 3. ta có cơng thức khai triển của S:

( trong đó c là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số )

Một cách thức chung người ta thường thực hiện các bước sau:

Bước1: Nếu hai đường <i>đề bài cho thiếu một hoặc cả hai </i>
thì giải phương trình để tìm.

Bước 2: Áp dụng công thức (2).

Bước 3: Rút gọn biểu thức , sau đó xét dấu của hiệu này.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàn

số và hai đường thẳng x =-1, x= 3.

Giải: Trước hết ta tìm hồnh độ giao điểm các đồ thị của hai hàm số đã cho. Ta có

phương trình hồnh độ giao điểm: .

Khi đó ta có :

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi .

Giải:

Phương trình hồnh độ giao điểm

Bảng xét dấu

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

– 0 +

.

Vậy (đvdt).

Ví dụ 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi .

Giải

Ta có, phương trình hồnh độ giao điểm:

.

Vậy diện tích cần tìm (đvdt).

Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đồ thị các hàm
số:

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Từ hình vẽ ta suy ra hồnh độ giao điểm A, B là nghiệm của phương
trình:

Khi đó

:

(đvdt)

Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Giải: Ta có: . Do đó đồ thị là nửa phía trên của

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Hoành độ của hai giao điểm A, B là nghiệm phương

trình:

Khi đó, diện tích cần tính:

<i>Chú ý: ở các bài tập này học sinh có thể gặp lúng túng khi xác định các cận </i>
<i>lấy tích phân. Lưu ý học sinh khi các bài tốn có thể vẽ được đồ thị, khơng q rắc </i>
<i>rối và khó khăn (có thể vẽ phác họa) thì việc vẽ hình sẽ giúp nhận diện được hình </i>
<i>cần tính một cách dễ dàng. </i>

<i>Trong trường hợp việc vẽ hình khó thực hiện, chưa xác định được dấu của biểu </i>
<i>thức </i> <i>thì nên sử dụng cơng thức tính bằng cách khử dấu giá trị tuyệt đối. </i>

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường

cong và

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số:

Khi đó diện tích cần tìm:

Khi 0<x<1 thì ta có nên:

Vậy diện tích cần tìm: S = (đvdt)

II. Thể tích vật thể trịn xoay:

Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai
đường thẳng x = a , x = b , trong đó ( a < b) .

Quay hình phẳng (H) quanh trục hồnh ta được một vật thể trịn xoay .

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn
bởi các đường y = x2_–2x, y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục hồnh Ox.

Giải: Theo cơng thức (2), ta có:

(đvtt)

Ví dụ 2: Tính thể tích hình cầu do hình trịn quay quanh Ox.

Giải:

Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là .

Phương trình

Theo cơng thức tính thể tích, ta có

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Vậy thể tích cần tim (đvtt).

Ví dụ 3: Tính thể tích khối trịn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn
bởi các đường

Giải:

Ta có phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số

( do x>0)

Khi đó thể tích vật thể cầm tìm:

Đặt

Ta có :

Vậy thể tích cần tìm (đvtt)

Ví dụ 4: Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn
bởi bốn đường sau quanh trục hồnh Ox.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Giải: Theo cơng thức tính thể tích, ta có:

(đvtt)

Đặt

Do đó

Đặt

Vậy Thể tich cần tìm = π(e – 2) (đvtt)

<i>Chú ý: Trong trường hợp hình phẳng được giới hạn hai đường </i>

<i>cong </i> <i>khi đó thể tích vật thể trịn xoay được tính theo cơng thức </i>

<i>sau: </i>

Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường

, và quay quanh trục

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Ví dụ 1: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các

đường quay quanh Ox.

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hai hàm số:

Thể tích cần tìm:

Vậy V= ( đvtt)

Ví dụ 2: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường
, quay quanh Ox.

Giải:

Hoành độ giao điểm .

.

</div>

<!--links-->