Toán 12 BTtich phan cac hàm số dac biet

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (661.23 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Baøi 1: Tính các tích phân sau:
a)

∫

0
3

dx
x

4 ; b)

∫

−
2

1
3

2
1

dx

x ; c)

∫

1 x

; d)

∫

−

−
1

2
3

dx
x ;
e)

∫

−

)
1
2

( x dx; f)

∫

1
dx

x ; g)

∫

1
3

dx

x ; h)

∫

−

)
1

(x dx;

∫

−

3 1)dx

( ; j)

∫

x 2)dx

( ; k)

∫

)
1

( dx

x

x ; l)

∫

−

+
−
+

2
3 1 1 1)

( dx

x
x

x .

Baøi 2: Tính các tích phân sau:
a) I =

∫

− +

5
,
0

3 cos )

3
2

( x dx

x

x ; b) J =

∫

+ −

1
1

( dt

t
t

t ; c) K =

∫

1
3

dx
x
x

;

d) L = dx

x
x 1 )
1

(

3
2

+
−

∫

; e) M =

∫

−

2
)
2
3

( s s ds.
Bài 3: Tính các tích phân sau:

∫

+
1

3dx

)
1
x
2

( ; b)

∫

−

)
1
x
2
(

; c)

∫

2 2 1

dx

x ; d) x 3dx

∫

− ;

∫

−

0 25 3x

; f)

∫

−

+
2

1
1
2
1

dx

e x ; g)

∫

−

−
−
1

2
2
1

2 xdx; h)

∫

)
2
2
sin(
π

dx

x ;

∫

−x dx
3

)
3
cos(
π

; j)

∫

−

0
2

)
1
(
cos

dx

x ; k)−

∫

− +
2

5
,
0
2

)
5

( x x e x dx; l)

∫

−

)
2
sin
2
cos
2

(
π

dx
x

x .

Bài 1: Tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối:
a)

∫

−

1dx

x ; b)

∫

−

−
+
1

3
2

x dx; c)

∫

x− dx
2

2 ; d)

∫

x x dx

−

−
−

2
2

2 ;

∫

−
2

0
2

dx
1

x ; f)

∫

−

0
2

dx
x

x ; g)

∫

−

−
−

2
2

2 dx

x

x ; h)

∫

x x dx

−

−
+

4
2

2 .

Bài 2: Tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối:
a) I =

∫

x− dx

)
1

( ; b) J =

∫

− +

2 4 1

4x x dx; c) K = dx

x
1

x
x
2
1

∫

−

− −

+
−

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 1: Tính các tích phân sau:
a) A =

∫

−

)
1

( x dx

x , ñaët t = 1 - x; b) B = dx

x
x

∫

, đặt t = lnx;

c) C =

∫

exlnx

, đặt t = lnx; d) D =

∫

−

x dx

xe 2 , đặt t = -x2;

e) E =

∫

− +

1
x
x

e
2

dx
e

, đặt t = 2 + ex; f) E =

∫

1 2x 3
dx

)
3
2
(

3
2

+
=

x
t
hoặc

x
t

đặt

;

g) G =

∫

−
9

31 xdx

x ,

)
1
(

1
3

x
t
hoặc

x
t

đặt

−
=

; h) H =

∫

xdx
cos
)
3
x
sin
2
(

, đặt t = 2sinx + 3.
Bài 2: Tính các tích phân sau:

a) x(x 1) dx

2007

∫

− ; b)

∫

3
2 2.x dx

x ; c)

∫

0
2
3

x
dx
x

; d)

∫

1 3

dx
2
x

;

e) x 1 xdx

0
8
2

∫

− ; f)

∫

− + +

1
2

1
1
2

dx
x
x

x

.
Bài 3: Tính các tích phân sau:

∫

0
2
cos

2
sin
π

x

e x dx; b)

∫

−
4

tgxdx
π

; c)

∫

−

2xdx

cos
4

x
2
sin
π

; d)

∫

3
2

xdx
cos
x
sin
π

;

∫

1
2

dx
x

x
ln

; f)

∫

0
5

xdx
sin
π

; g) 2 1 4sin3xcosx3xdx

∫

.
Bài 4: Tính các tích phân sau:

∫

−
2

2
1

1 x dx; b))

∫

+
1

0
2
x
1

; c)

∫

−

2dx
x

4 ; d)

∫

−
1

0 2

x
4

Baøi 1: Tính các tích phân sau:

∫

0
x

xe ; b)

∫

1
2

xdx
ln

x . c)

∫

xdx
cos
x
π

; d)

∫

−

ln
)
1
2

( x xdx.

∫

−

dx
e
)
3
x

( ; f)

∫

xdx
ln
x

4 ; g)

∫

−

1
2

xdx
ln
)
x
1

( ; h)

∫

−

2
2

dx
)
1
x
ln(

x .

Bài 2: Tính các tích phân sau:

a) A =

∫

2
cos
π

xdx

x ; b) B =

∫

−

2
ln

0
2

dx

xe x ; c) C =

∫

)
1
2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

d) D =

∫

+
3
0
2
)
2

(x e xdx; e) E =

∫

1
0
2
2
)
1

(x e xdx; f) F =

∫

2 − +

0
2
sin
)
3
2
(
π
xdx
x
x .

Baøi 3: Tính các tích phân sau:

a) I =

∫

2 x
dx

e x

; b) J =

∫

e x+ x+ dx
3

0
1

. ; c) K =

∫

2
0
2
xdx
cos
)
x
sin
x
(
π
;

d) L =

∫

π
0
x

cos
xdx
sin
)
x
e

( ; e) M =

∫

− − +

3
2
)]
1
ln(
)
1

[ln(x x dx.

Baøi 1: Tính các tích phân sau:

∫

+
2
1
2
3
dx
x
x

x

; b) dx

x
x
x
x

∫

4 + −

3 2
2

; c)

∫

− +
−
4
2 3
2
dx
x
x

; d) dx

x
x

∫

+−
1
0 1
1
2
;
e)

∫

−
−
3

22 1

x
x

; f)

∫

+
+

02 1

dx
x
x

; g)

∫

−
− −
−
1
2
3
1
1
dx
x
x

; h)

∫

−
+
−
2
1
2
3
1
2

dx
x
x
x
;
i)

∫

−
− −
+
−
1
2
3
1
1
dx
x
x
x

; j)

∫

+
−
2
1
3
1
1
dx

x
x

; k)

∫

+
−
+
1
0
2
1
1
dx
x
x
x

; l)

∫

− +
+
−
0
1
2
2
3
1
1

2
dx
x
x
x
.
Bài 2: Tính các tích phân sau:

∫

−
+
+
3
2
)
1
2
1
1
( dx
x

x ; b)

∫

x+ x− dx
1

0( 1)( 2)

; c) dx

x
x

dx

∫

4 −

2 ( 1)
;

∫

− + −

2 2 3

dx
x

x ; e)

∫

− +

1
0

2
6
5x
x
xdx

; f)

∫

+
−

2 4 3

1
3
dx
x
x
x
;
g) dx
x
x

∫

3 + −

2
2

3
2

; h)

∫

− − − +
−
0
1
2
2
1
dx
x
x
x

; i) dx

x
x

∫

4− + +

2 2

3
2

.
Bài 3: Tính các tích phân sau:

a) I =

∫

− −
0
1
3
)
1
(
1
dx

x ; b) J =−

∫

+ +

2x dx

x
x

; c) K =

∫

+
+
2
1
2
1
2
1
dx
x
x ;

d) L =

∫

+
−
1
0
2

2
2x
x
dx

; e) M =

∫

+
+
1
0
2
2
x
x
dx

; f) N =

∫

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

1. Tính diện tích hình phẳng:

Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = x2 - 2x + 4, y - 4 = x; b) y = x2 - 2x + 3, y = 5 - x;

c) y = x2 - 2x + 2, y = -x2 - x + 3; d) y = x3 - 3x, y = x;

e) y = x2 - 2x + 4, y - 4 = x; f) y = 2x - x2, x + y = 2;

g) y = x3 - 12x, y = x2; h) y = 2x3 - x2 - 8x + 1, y = 6.

Bài 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

2
x

12
x
10
x
2 2

+
−
−

và
đường thẳng y = 0.

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

1
x

x
x2

+
+
−

và
trục hoành.

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 + 3x2, trục
hoành và các đường thẳng x = -2, x = -1.

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung, đồ thị hàm
số y = x3 - 3x + 1 và đường thẳng x = -1.

Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị
của hàm số y =

1
x

1
x
2

+
+

Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ex, y = 2

và đường thẳng x = 1.

Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và y = x + sin2x

với x ∈ [0; π].

Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn
[0; 2π], trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2π.

Bài 10: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x3, x + y = 2, y = 0; b) y = x, y = 0, y = 4 - x;

c) y = x
e 2

− , y = e-x, x = 1; d) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1.
Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = x3 - 1 và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 1 tại điểm (-1; -2).

b) (P): y = -x2 + 6x - 8, tiếp tuyến tại đỉnh của parabol (P) và truïc tung.

c) y = x3 3x và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hồnh độ x = 
-2
1

2. Thể tích vật thể tròn xoay:

Bài 1: Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các

đường sau đây khi quay quanh trục Ox.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 2: Tính thể tích các hình trịn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau đây quay quanh trục Ox:

a) y = 5x - x2, y = 0; b) y = -3x2 + 3, y = 0.

Bài 3: Tính thể tích các hình trịn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau đây quay quanh trục Ox:

a) y = 2 - x2, y = 1; b) y = 2x - x2, y = x; c) y = x3, y = 8 vaø x = 3.

Bài 4: Tính thể tích các hình trịn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các
đường (C) y = x2 + 1, x = 0 và tiếp tuyến của (C) tại điểm (1; 2) khi quay quanh trục

Ox.

3. Tổng hợp chung

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1) y = x2 - 2x + 2, y = 0, x = -1, x = 2.

2) y = x2 - 2x, y = 0, x = -1, x = 2.

3) y = -x2 + 4x, y = 0.

4) y = x2 + x + 2, y = 2x + 4.

5) y = x2 - 2x + 2, y = -x2 - x + 3.
6) y = 2

4
1

x , y = 2

2
1

x + 3x.
7) y = x, y = 0, y = 4 - x.

8) y = x2, y = 2

8
1

x , y =
x

.
9) y = x2 − x3 +2 , y = 2.
10) y = x2 − x4 +3, y = x + 3.

11) (P): y = x2, x = 0 và tiếp tuyến với (P) tại điểm có hồnh độ x = 1.

13) (P): y = -x2 + 4x - 3 vaø các tiếp tuyến của (P) tại các điểm M

1(0; -3), M2(3;

0).

14) (P): y = -x2 + 4x vaø các tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(

2
5

; 6).

15) y = tgx, y = 0, x = 0, x =

4
π

16) y = lnx, y = 0, x =
e

, x = e.

17) y =

x

, y = 2

1
1

x

+ .

18) y = - 2

4−x , x2 + 3y = 0.

19) y =

4
4

2
x

− , y =
2
4

x

20) y = x 2

1+x , x = 0, x = 1.

21) y = x
e 2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

23) y2 = 2x + 1, y = x - 1.

24) y = x, x + y - 2 = 0.

Bài 2: Tính thể tích của vật thể trịn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi
các đường sau:

1) y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2, quay xung quanh truïc Ox.
2) y = tgx, y = 0, x = 0, x =

4
π

, quay xung quanh truïc Ox.

3) y =
x

, y = 0, x = 1, x = 4, quay xung quanh truïc Ox.
4) y = xlnx, y = 0, x = 1, x = e, quay xung quanh truïc Ox.
5) y =

3
x

, y = x2, quay xung quanh truïc Ox.

6) y = 2x2, y = 2x + 4, quay xung quanh truïc Ox.
7) y = 5x - x2, y = 0, quay xung quanh truïc Ox.
8) y2 = 4x, y = x, quay xung quanh truïc Ox.

9) y = x ln(1+x3), y = 0, x = 1, quay xung quanh truïc Ox.
10) y = 2

1
2x

e

x

, y = 0, x = 1, x = 2, quay xung quanh truïc Ox.

CHÚC CÁC BẠN NGÀY ĐẦU NĂM MAY MẮN, HẠNH PHÚC

( Rất mong các quý thày cô, các em học sinh giúp mình lập trang riêng)

TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT
1.ÔN TẬP:

Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ

• Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì ( ) 0
a

a

f x dx

−

∫

• Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì

0
( ) 2 ( )

a a

a

f x dx f x dx

−

∫

Vì các tính chất này khơng có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có 
dạng này ta có thể chứng minh như sau:

Bước 1: Phân tích

( ) ( ) ( )

a a

I f x dx f x dx f x dx

− −

∫

( ) ; ( )

a

J f x dx K f x dx

−

 

 = = 

 



∫



Bước 2: Tính tích phân

0
( )

a

J f x dx

−

∫

bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x.

– Neáu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K ⇒ I = J + K = 0 
– Neáu f(x) là hàm số chẵn thì J = K ⇒ I = J + K = 2K

Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:

0
( )

( )
1

x

f x

dx f x dx
a

−

=
+

∫

α α

(với α ∈ R+ và a > 0)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

( ) ( ) ( )

1 1 1

x x x

f x f x f x

I dx dx dx

a a a

− −

= = +

+ + +

∫

α α

( ) ( )

;

1 1

x x

f x f x

J dx K dx

a a

−

 

 = = 

 + + 



∫



Để tính J ta cũng đặt: t = –x.

Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên 0;

 

 

 

thì

2 2

0 0

(sin ) (cos )

f x dx= f x dx

∫

π π

Để chứng minh tính chất này ta đặt:

t= −π x

Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và (f a b x+ − )= f x( ) hoặc (f a b x+ − )= −f x( )

thì đặt: t = a + b – x

Đặc biệt, nếu a + b = π thì đặt t = π – x 
neáu a + b = 2π thì đặt t = 2π – x

Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ

Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm 
của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). 
Ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Tìm hàm g(x).

Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:

2
( ) ( ) ( )

(* )
( ) ( ) ( )

F x G x A x C

F x G x B x C

 + = +

 − = +



Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra ( ) 1

[

( ) ( )

]

F x = A x +B x + là nguyên hàm của f(x). C

2.BÀI TẬP:

BÀI 1. Tính các tích phân sau (dạng 1):

7 5 3

1
cos

x x x x

dx
x

−

− + − +

∫

b)
2

cos ln(x x 1 x dx)
−

+ +

∫

c)
1
2

1
2

1
cos .ln

x

x dx

x

−

 − 
 + 

 

∫

(

)

ln x 1 x dx

−

+ +

∫

4 2

1 1

x dx

x x

−

∫

− +

1 4

2
1

sin
1

x x

dx
x

−
+

∫

5
2

2
sin
1 cos

x
dx
x

− +

∫

h)
2

4 sin

xdx

x

− −

∫

cos
4 sin

x x

dx
x

π
−

+
−

∫

BÀI 2. Tính các tích phân sau (dạng 2):

1 4

12x 1

x
dx

−

∫

1 2

1
1
1 2x

x
dx

−
−
+

∫

1( x 1)( 1)

dx

e x

−

∫

+ +

2
sin
3x 1

x
dx

−

∫

− +

3
2

2
1

dx
x

x f)

1(4x 1)( 1)

dx
x

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

g)
2

sin sin3 cos5

1 x

x x x

dx
e
− +

∫

π
π
h)
6 6
4
4
sin cos

6x 1

x x
dx
−
+
+

∫

π
i)
2 2
2
2
sin
1 2x

x x
dx
− +

∫

π
π

BÀI 3. Tính các tích phân sau (dạng 3):

a)
2
0
cos
cos sin
n
n n
x
dx
x+ x

∫

(n ∈ N*) b)

7
2
7 7
0
sin
sin cos
x
dx
x+ x

∫

π
c)
2
0
sin
sin cos
x
dx
x+ x

∫

π
d)
2009
2

2009 2009
0
sin
sin cos
x
dx

x+ x

∫

π
e)
4
2
4 4
0
cos
cos sin
x
dx
x x
π
+

∫

f)
4
2
4 4
0
sin
cos sin

x
dx
x x
π
+

∫

BÀI 4. Tính các tích phân sau (dạng 4):

a)
2
0
.sin
4 cos
x x
dx
x
−

∫

π
b)
2
0
cos
4 sin
x x
dx
x
+
−

∫

π
c)
2
0
1 sin
ln
1 cos
x
dx
x
 + 
 + 
 

∫

π
d)
4
0

ln(1 tan )+ x dx

∫

π
e)
2
3
0
.cos
x xdx

∫

π f) 3

0
.sin
x xdx

∫

π
g)

01 sin

x
dx
x
+

∫

π
h)
0
sin
2 cos
x x
dx
x
+

∫

π
i)
2

0
sin
1 cos
x x
dx
x
+

∫

π
k)
4
0

sin 4 ln(1 tan )x + x dx

∫

π
l)
2
0
sin
9 4cos
x x
dx
x
+

∫

m) 4

sin cos

x x xdx

∫

BÀI 5. Tính các tích phân sau (dạng 5):

a)
2
0
sin
sin cos
x
dx
x− x

∫

π
b)
2
0
cos
sin cos
x

dx
x− x

∫

π
c)
2
0
sin
sin cos
x
dx
x+ x

∫

π
d)
2
0
cos
sin cos
x
dx
x+ x

∫

π
e)
4
2

4 4
0
sin
sin cos
x
dx
x+ x

∫

π
f)
4
2
4 4
0
cos
sin cos
x
dx
x+ x

∫

π
g)
6
2
6 6
0
sin
sin cos

x
dx
x+ x

∫

π
h)
6
2
6 6
0
cos
sin cos
x
dx
x+ x

∫

π
i)
2
2
0

2sin x.sin2xdx

∫

π
k)
2

2
0

2cos x.sin2xdx

∫

π
l)
1
1
x
x x
e
dx
e e−

−

∫

−
m)
1
1
x
x x
e
dx
e e
−
−
−

∫

−
n)
1

1
x
x x
e
dx
e e−

</div>