DẤU TAM THỨC VÀ MỘT SỐ VẬN DỤNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (418.13 KB, 15 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

I. Dấu của biểu thức

1. Dấu của tam thức bậc 2: f x

 

ax2bxc a, 0 
Tính  b24ac

TH1:  0 thì f x

 

luôn cùng dấu với a,  x



x  

 

f x Cùng dấu với a

TH2:  0 thì f x 

 

0 có nghiệm kép

b
x

a

 

và f x

 

luôn cùng dấu với a, \
2

b

x

a

 

   

 



x 
2

b
a

 

 

f x cùng dấu với a 0 cùng dấu với a
TH3:  0 thì f x 

 

0 có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 (giả sử x1 x2)

x  x1 x2 

 

f x cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a
Ví dụ: Xét dấu của f x

 

1) f x

 

2x23x4
2) f x

 

4x24x1
3) f x

 

 2x2 5x2

Hướng dẫn giải:
1) f x

 

2x23x4

Ta có:

 

3 4.2.4 23 0

2 0

f x x

a



       

   



  



2) f x

 

4x2 4x1

 

2 1

0 4 4 1 0

f x   x  x   x (nghiệm kép)

x 
1

2 

 

f x + 0 +

Vậy

 

0 \ 1

f x   x   
 



3) f x

 

 2x25x2

 

2 1

0 2 5 2 0 2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2
x

 1

2 2 

 

f x - 0 + 0 -

Vậy

 

0 1; 2
2

f x   x  

 

 

0 ;1





f x   x   

 

2. Dấu của biểu thức chứa tích, thương của các nhị thức, tam thức

Giả sử cần xét dấu biểu thức

   

 

f x g x
P

h x



Cách thực hiện:

Bước 1: Cho từng nhị thức, tam thức bằng 0 tìm nghiệm (nếu có)

 

0 ...

f x

g x
h x

 

Bước 2: Lập bảng xét dấu:

- Sắp xếp các nghiệm từ nhỏ đến lớn theo chiều từ trái sang phải
- Mỗi nhị thức, tam thức ta xét dấu 1 dòng

- Dòng cuối là dấu của biểu thức P:
Dòng tổng hợp dấu này ta thực hiện như sau:

 Tại vị trí các nghiệm, nghiệm nào làm tử bằng 0 thì P = 0 ta để số 0, nghiệm nào làm mẫu
bằng 0 thì P khơng xác định ta để dấu

 Dấu của P được tổng hợp theo qui tắc nhân, chia số âm, dương thông thường (để đơn giản ta
chỉ cần đếm dấu “-”, nếu lẻ dấu “-” thì khoảng đó sẽ mang dấu “-” cịn chẵn dấu “-” thì
khoảng đó sẽ mang dấu “+”)

x  

 

f x

 

g x

 

h x

Bước 3: dựa vào bảng xét dấu ta kết luận

Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức f x

 





3x24x



2x2 x 1



Hướng dẫn giải:

 3 2 4 0 0 4

x  x  x  x

 2 2 1 0 1 1

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 1
2

 0 1 4

3 

3x 4x + + 0 - - 0 +

2x  x 1 + 0 - - 0 + +

 

f x + 0 - 0 + 0 - 0 +

Vậy

 

0 ; 1



0;1



2 3

f x   x     

   

 

0 1;0 1;4

2 3

f x   x   

   

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức

 









2
2

3 1 2

4 3

x x x

f x

x x

 



  

Hướng dẫn giải:

 3 2 0 0 1

x x  x  x

 1 2 0 1

x x

   

 4 2 3 0 1 3

x x x x

        

x  -1 0
1

3
1

2
3

4 

3x x + + 0 - 0 + + +

1 2x + + + + 0 - -

4x x 3

   - 0 + + + + 0 -

 

f x - + 0 - 0 + 0 - +

Vậy

 



1; 0



1 1; 3;

3 2 4

f x   x    

   

 



; 1



0;1 1 3;

3 2 4

f x   x     

   

Ví dụ 3: Xét dấu biểu thức

 







2 2

6 9

4 1 4

x x

f x

x x x

 



   

Hướng dẫn giải:
 x26x 9 0 x3 (nghiệm kép)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

x  -2 2 3 

6 9

x  x + + + 0 +

4x x 1

   - - - -

x  + 0 - 0 + +

 

f x - + - 0 -

Vậy f x

 

0  x



2; 2



 



; 2

 

2;3

 



f x     x   

II. Một số ứng dụng

1. Giải bất phương trình và hệ bất phương trình 
 Để giải bất phương trình

Bước 1: Biến đổi bất phương trình về một trong các dạng:

 

f x  f x  f x  f x 

Bước 2: Lập bảng xét dấu

Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình 
 Để giải hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi giao nghiệm lại

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:



2x1





x2 x 30



0

Hướng dẫn giải:
Đặt f x

  

 2x1





x2 x 30



 2 1 0 1

x   x 

 x2 x 300 x 5 x 6
Bảng xét dấu:

x  -6 1
2

 5 
2x 1 - - 0 + +

x  x + 0 - - 0 +

 

f x - 0 + 0 - 0 +

Vậy tập nghiệm của bất phương trình: 6; 1





S     

 

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:

2
2

9 14

5 4

x x

 



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Hướng dẫn giải:
Đặt

 

2
2

9 14

5 4

x x

f x

x x

 



 

 x29x140 x 2 x7
 x25x40 x 1 x4
Bảng xét dấu:

x  1 2 4 7 

9 14

x  x + + 0 - - 0 +

5 4

x  x + 0 - - 0 + +

 

f x + - 0 + - 0 +

Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S  



 

 2; 4

 

 7;



Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 22 5 1
3

6 7

x

x x






 

Hướng dẫn giải:
Ta có:

2 2

2 5 1 2 5 1

3 3

6 7 6 7

x x

x x x x

 

   

 

   



























2 2

2 2

2 5 3 6 7 5 22

0 0

6 7 3 6 7 3

x x x x x x

x x x x x x

      

   

     

Đặt

 









2
2

5 22

6 7 3

x x

f x

x x x

 



  

 x2 5x220: phương trình vơ nghiệm
 x26x70 x  1 x7

 x 3 0 x3
Bảng xét dấu:

x  -1 3 7 

5 22

x  x + + + +

6 7

x  x + 0 - - 0 +
3

x  - - 0 + +

 

f x - + - +
Vậy tập nghiệm của phương trình: S   



 

 3;7



Ví dụ 4: Giải hệ bất phương trình:

2
2

2 3 0 (1)

11 28 0 (2)

x x

   




  




</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2 3 0 1 3

x  x   x  x

x  -1 3 

2 3

x  x + 0 - 0 +
Tập nghiệm của (1): S   1



; 1

 

 3;



Giải bất phương trình (2)

11 28 0 4 7

x  x   x x

x  4 7 

11 28

x  x + 0 - 0 +
Tập nghiệm của (2): S  1



 

 7;



Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình: S S1S2   









7;



2. Tìm tham số để f x

 

luôn dương, luôn âm 
Cho tam thức f x

 

ax2bxc a, 0



 

0, 0

a
f x   x   

 






 

0, 0

a
f x   x   

 






 

0, 0

a
f x   x   

 






 

0, 0

a
f x   x   

 




Chú ý: * Ta có thể thay  bởi '

* Khi giải bài tập mà hệ số a chứa tham số ta phải xét thêm trường hợp a 0

Ví dụ 1: Tìm m để f x

 

x2



m2



x8m1 ln dương

Hướng dẫn giải:

 

f x luôn dương  f x

 

0, x











1 0
0

0 2 4. 8 1 0

a

m m





 

  

     

 

28 0

m m

   (do 1 > 0: luôn đúng)

0 m 28

  

Vậy 0m28 thì f x

 

ln dương

Ví dụ 2: Tìm m để f x

  

 m4



x2



m1



x2m1 luôn âm

Hướng dẫn giải:

 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

7
x 

7
5

 

 

f x - 0 +

 

0, ; 7

f x     x  

 

không thỏa (*) nên ta loại m 4
TH2: m  4 0

 

0, 0

a
f x   x   

 














4 0

1 4 4 2 1 0

m

m m m

 



 

    




7 38 15 0

m

m m




 

   




3
3

7
5

m

m m





  

  




Vậy 3

m  thì f x

 

ln âm.

Bài tốn có thể hỏi dưới dạng: bất phương trình nghiệm đúng với mọi x, bất phương trình vô 
nghiệm, hàm số xác định trên R …

 Bất phương trình f x 

 

0 nghiệm đúng  x



 f x

 

0, x



 Bất phương trình f x 

 

0 vô nghiệm  f x

 

0, x



 Hàm số y f x

 

có tập xác định là R  f x

 

0, x



Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình:



m1



x22



m1



x3m 3 0 nghiệm đúng  x



Hướng dẫn giải:
Đặt f x

  

 m1



x22



m1



x3m3

 

f x  nghiệm đúng  x



 f x

 

0, x



(*)
TH1: m 1 0 m  1 f x

 

4x6

x  3

2 

 

f x - 0 +

 

0, 3;
2

f x   x   

  không thỏa (*) nên ta loại m  1
TH2: m  1 0

 

0, 0

' 0

a
f x   x   

 


</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>











1 0

1 1 3 3 0

m

m m m

 



 

    




2 2 4 0

m

m m

 


 

   




2 1

m

m m

 


  

   



Vậy m 1 thỏa u cầu bài tốn

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số: y



m2



x22



m1



x4 xác định trên 

Hướng dẫn giải:
Đặt f x

  

 m2



x22



m1



x4

Hàm số y



m2



x2 2



m1



x4 xác định trên R  f x

 

0, x



(*)
TH1: m 2 0m  2 f x

 

6x4

x 
2
3

 

 

f x - 0 +

 

0, 2;

f x    x   

  không thỏa (*) nên ta loại m  2
TH2: m 20

 

0, 0

' 0

a
f x   x   

 












2 0

1 4 2 0

m

m m

 



 

   




6 7 0

m

m m

 


 

  




1 7

m

m
m

 


    

  



3. Tìm tham số để phương trình bậc 2 có nghiệm, vơ nghiệm, có nghiệm thỏa điều kiện

Nhắc lại:

Xét phương trình: ax2bx c 0
Phương trình có nghiệm kép 0
0

a 


 

 


Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0
0

a 


 

 


</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 0
0

P

 

 




Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

0
0

S
P

 



  

 



Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

S
P

 



 

 



Phương trình có nghiệm

0
0

a
b

a

b c

a

 






 

 

 









  


(khi làm toán ta nên xét 2 trường hợp a 0 và a 0)

Phương trình vơ nghiệm

0
0
0

0
0

a
b
c

a

 









 

 







  


(khi làm toán ta nên xét 2 trường hợp a 0 và a 0)

Trong đó: S b; P c

a a

  

Chú ý: Ta có thể thay  bằng '

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: x22



m1



x9m 5 0 có 2 nghiệm âm phân biệt

Hướng dẫn giải:

Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt













1 1. 9 5 0

' 0

0 2 1 0

0 9 5 0

m m

S m

P m

    

 

 

 

     

  

 

 



7 6 0 1 6

1 0 1

9 5 0 5

m m m m

m m

m



       

 

      

   

  



1 6

9 m m

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình:



m2



x22mxm 3 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

Hướng dẫn giải:

Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt







2 3 0

' 0

0 0

2
0

3
0
2

m m m

m
S

m
P

m
m



   


 

 

 

   



  

  



 



6 0 6

0 2 0 2

3 2 3 2

m m

m m m m

   

 

 

        

         

 

2 6

m
m

 


   



Ví dụ 3: Tìm m để phương trình:



m5



x24mxm 2 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải:
TH1: m 5 0m5

20 3 0

pt   x 

x

 

Phương trình có nghiệm 3
20

x  nên ta nhận m 5
TH2: m 5 0m5

Phương trình có nghiệm   ' 0







4m m 5 m 2 0

    

2 10

3 7 10 0 1

m m m m

        

Kết hợp điều kiện m 5 ta có: 10 1
5
3

m
m

m



   




Vậy 10 1

m  m thì phương trình đã cho có nghiệm.

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình:



m2



x22 2



m3



x5m 6 0 vơ nghiệm.

Hướng dẫn giải:
TH1: m 2 0m2

2 4 0

pt  x 
x 2

Phương trình có nghiệm x  2 nên ta loại m 2
TH2: m 2 0m2

Phương trình vơ nghiệm   ' 0



2m 3





m 2 5



m 6



</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

4 3 0

m m

    

1 3

m m

   

Vậy m 1 m3 thì phương trình đã cho vơ nghiệm.

4. Giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong căn bậc 2

Cần nhớ:



 

2
0

g x

f x g x

 



  

  

  





 



 



 

f x hay g x

f x g x

 



  








 

2
0

f x

f x g x g x

f x g x

 




   



  

  





 

2
0

g x

f x

f x g x

g x

f x g x

 







 

 




  

  



(khi làm toán ta nên chia 2 trường hợp)

Chú ý: Nếu g x

 

2 bậc lớn thì ta có thể đặt ẩn phụ để giải

Ví dụ 1: Giải phương trình: x22x4 x2

Hướng dẫn giải:
Ta có:





2
2

2 0

2 4 2

x

x x x

 




      

    




2 6 0

x

x x





 

 




2 3

0 3

x

x x




  

  



Vậy tập nghiệm của phương trình: S 

 

3 .

Ví dụ 2: Giải phương trình: x2 2x  2x24x3
Hướng dẫn giải:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Để ý vế phải nếu đặt -2 làm thừa số chung sẽ xuất hiện đại lượng giống biểu thức trong
căn nên ta sẽ đặt ẩn phụ

Đặt t  x22x

2 2

t

t x x




 

 









2 2

2 2 2 3

pt  x  x   x  x 
  t 2t23

2 3 0 3

( )

t

t t

t loai






    

  


2 2 1 2

1 2 1 2 1 0

1 2

x

t x x x x

x

   

         

  


Vậy tập nghiệm của phương trình: S   



1 2; 1  2



.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: x24x21 x3

Hướng dẫn giải:





2
2

4 21 0

4 21 3 3 0

4 21 3

x x

x x x x

x x x

   




       



    




7 3

2 10 12 0

x
x

x x

  


  


  



7 3

3 1 3

6 1

x

x x

  




     

    


Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S 



1;3



.
Ví dụ 4: Giải bất phương trình: x23x10 x2

Hướng dẫn giải:





2
2

2 0

3 10 0

3 10 2

2 0

3 10 2

x

x x

x x x

x

x x x

  


  




     

 







    





TH1: 2

2 0 2

2 5

3 10 0

x x

x

x x

 

  



   

 

   

  

 

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

13
TH2:





2 0 2

14
14

3 10 2

x x

x
x

x x x

 

  



  

 



    




Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S   



; 2

 

 14;



.
Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 2x28x12 x24x6

Hướng dẫn giải:
Đặt t  2x28x12, điều kiện t 0





2 2 2 2 2 12

2 8 12 12 2 4 4

t

t x x t x x x x 

          

12
6
2

t

bpt  t  

2 24 0

t t

   

4 t 6

    . Do t không âm nên t 6

6 2 8 12 6

t   x  x 

2 2

2 8 12 36 2 8 24 0

2 8 12 0 2 8 12 0

x x x x

       

 

 

     

 

 

2 6

x

x
x

  



    







Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S  



2;6



5. Giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong trị tuyệt đối

Cần nhớ:



 

g x

f x g x f x g x

f x g x

 




   




 







 

f x g x

 

  

 




 

f x g x

f x g x g x f x g x

f x g x

 



      

 







 

f x g x

 

  

 


 f x

 

 g x

 

 f x

 

  2 g x

 

  2 f x

 

g x

 

  f x

 

g x

 

  0

Nếu phương trình, bất phương trình chứa nhiều trị tuyệt đối hoặc khơng phải các dạng trên thì 
ta xét dấu rồi chia trường hợp ra để giải.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Hướng dẫn giải:

2 2 2 2

2 2

6 5 0

5 4 6 5 5 4 6 5

5 4 6 5

x x

x x x x x x x x

x x x x

   





           




     





5 1 5 1

11 1 0 1

11
11

2 9 0

x x x x

x x

x

x x

    

      

 

  



    

 


    




Vậy tập nghiệm của phương trình là

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: x2  x 1 2x5

Hướng dẫn giải:

2
2

1 2 5

x x x

    



      

     




2
2

6 0

1 4

3 4 0

x x x

x

x x

     



 

  

    






1 x 4

   

Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S  



1;4



Ví dụ 3: Giải bất phương trình: x6  x25x9

Hướng dẫn giải:









2 2

6 5 9 6 5 9

x  x  x  x  x  x









6 5 9 0

x x x

     







6 5 9 6 5 9 0

x x x x x x

         







6 15 4 3 0

x x x x

       (*)

1 x 3

  

(Giải bất phương trình (*) bằng cách lập bảng xét dấu)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S 



1;3



.
Ví dụ 4: Giải bất phương trình: 3 2

3 1 x

x   

Hướng dẫn giải:

Nhận xét: Bài tốn chứa trị tuyệt đối nhưng khơng phải các dạng đặc biệt như ở trên nên ta phải lập bảng
xét dấu rồi chia từng trường hợp ra để giải.

Bảng xét dấu:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

x  -3 -2 

x  - 0 + +

x  - - 0 +

TH1: x  3
3

2
3 1

bpt x

x

   

  

2 0

4 x

x

   

 

3 2 4 8

0
4

x x x

x

   

 

 

6 5

0
4

x x

x

  

 

  (*)

5 4

x
x

   


   


(Giải bất phương trình (*) bằng cách lập bảng xét dấu)
Kết hợp với điều kiện ta có: S   1



5; 4



TH2:  3 x 2
3

3 1

bpt x

x

   

 

2 0

2 x

x

   



4 7

0
2

x x

x

 

 



2 0

x

   (do x24x70, x



)
2

x  

Kết hợp với điều kiện ta có: S  2
TH3: x  2

2
3 1

bpt x

x

  

 

2 0

2 x

x

   



4 1

0
2

x x

x

  

 

 (*)

2 3

2 2 3

x

   
 

    


Kết hợp với điều kiện ta có: S3   



2; 2 3

</div>

DẤU TAM THỨC VÀ MỘT SỐ VẬN DỤNG

 

 

<i></i>

 

 

 

<i></i>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<i></i>

 

 

 

 

<i></i>

 

 

 

 

 





   

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 





 

 









 

 





 





 







 

 





 



 

 



 

 

 

 





