Toàn cảnh đề thi toán THPT Quốc gia từ 2017 đến 2019 - Số phức - Sách Toán - Học toán

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (343.53 KB, 18 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Câu 1. (Tham khảo THPTQG 2019) Điểm nào trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn số phức
1 2

 

z i?

O x

y

 2

12
P

M
N
Q

1


A. N . B. P . C. M . D. Q .

Lời giải

Số phức z 1 2i có điểm biểu diễn là điểm Q



1;2



.

Câu 2. (Tham khảo THPTQG 2019) Tìm các số thực a và b thỏa mãn 2a



b i i



 1 2i với i
là đơn vị ảo.

A. a0, b2. B. 
1

, 1

 

a b

. C. a0,b1. D. a1,b2.
Lời giải

Ta có 2a



b i i



 1 2i 



2a1



bi 1 2i

1
2


 




a

b .

Câu 3. (Tham khảo THPTQG 2019) Kí hiệu z z là hai nghiệm phức của phương trình1, 2
2 3z 5 0

  

z . Giá trị của z1  z2 bằng

A. 2 5 . B. 5 . C. 3. D. 10.

Lời giải

Ta có :

1
2

3 11

3 5 0

3 11

 





   

 





i
z

z z

i
z

. Suy ra z1 z2  5 z1  z2 2 5.
Câu 4. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Số phức  3 7i có phần ảo bằng:

A. 3 B. 7 C. 3 D. 7

Lời giải

Câu 5. (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Số phức 5 6i có phần thực bằng

A.  .5 B. 5 C.  .6 D. 6 .

Lời giải
Số phức 5 6i có phần thực bằng 5, phần ảo bằng 6 .

Câu 6. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là

A.  1 3i B. 1 3i C.  1 3i D. 1 3i

Lời giải

Câu 7. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102)Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là

A. 3 4i . B. 4 3i . C. 3 4i . D. 4 3i .
Lời giải

2 1 1

2
a
b

 


</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là: z 3 4i.

Câu 8. (Tham khảo 2018) Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức

A. z2i B. z 1 2i C. z 2 i D. z 1 2i
Lời giải

Theo hình vẽ M



2;1



 z 2 i

Câu 9. (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho số phức z  . Tính 2 i z .

A. z 3 B. z 5 C. z 2 D. z  5

Lời giải

Ta có z  22 1 5.

Câu 10. (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho số phức  z 2 3i . Tìm phần thực a của z ?

A. a2 B. a3 C. a2 D. a3

Lời giải

Số phức  z 2 3i có phần thực 2a .

Câu 11. (THPT QG 2017 Mã đề 105) Tìm tất cả các số thực ,x y sao cho    x2 1 yi 1 2i .
A. x 2 , y2 B. x 2 ,y2 C. x0, y2 D. x 2 ,y2

Lời giải

Từ x2 1yi 1 2i

    



   




 


2

0
1 1

2
2

x
x

y
y

Câu 12. (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho hai số phức z1 4 3i và  z2 7 3i . Tìm số phức  z z1 z2

A. z 3 6i B. z11 C. z 1 10i D. z 3 6i
Lời giải

Ta có zz1 z2 



4 3 i

 

 7 3 i



 3 6i .

Câu 13. (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho số phức   z 1 i i . Tìm phần thực a và phần ảo b của z .3

A. a1,b2 B. a2,b1 C. a1,b0 D. a0,b1

Lời giải

Ta có:   z 1 i i3   1 i i i2.     1 i i 1 2i (vì i2 1)
Suy ra phần thực của z là 1a , phần ảo của z là  2b .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

A. z 7 4i B. z 2 5i C. z 3 10i D. 14
Lời giải

 5 7  2 3  7 4

z i i i .

Câu 15. Số phức nào dưới đây là số thuần ảo.

A. z2 3 i B. z3i C.

z



3 

i

D. z 2
Lời giải

Số phức

z

được gọi là số thuần ảo nếu phần thực của nó bằng 0 .

Câu 16. Cho số phước  z 1 2 .i Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w iz trên mặt phẳng

tọa độ

A. N



2;1



B. P



2;1



C. M



1; 2



D. Q



1; 2



Lời giải





  1 2  2

w iz i i i

Câu 17. (Đề minh họa lần 1 2017)Cho số phức z 3 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z :
A. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i B. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2
C. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i D. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2

Lời giải

3 2 3 2

z  i z   i. Vậy phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2

Câu 18. (Đề minh họa lần 1 2017)Cho số phức z 2 5 .i Tìm sớ phức w iz z 

A. w 7 3i. B. w 3 3i. C. w 3 7 .i . D. w 7 7i
Lời giải

Ta có w iz z i  (2 5 ) (2 5 ) 2 i   i  i 5 2 5  i 3 3i

Câu 19. (Đề tham khảo lần 2 2017) Kí hiệu a b, lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức 3 2 2i .

Tìm a, b .

A. a3;b2 B. a3;b2 2
C. a3;b 2 D. a3;b2 2

Lời giải

Số phức 3 2 2i có phần thực là a  và phần ảo là 3 b 2 2.

Câu 20. (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Kí hiệu

z

0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương

trình 4z216z170. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức

w iz



0?

A. 1
1

;2
2

M  

 . B. 2

1
;2
2

M  

 . C. 3

1
;1
4

M  

 . D. 4

1
;1
4

M  

 .
Lời giải

Xét phương trình 4z216z170 có

 

2
64 4.17 4 2i


     .

Phương trình có hai nghiệm 1 2

8 2 1 8 2 1

2 , 2

4 2 4 2

i i

z     i z     i

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

z

0 là nghiệm phức có phần ảo dương nên 0

1
2

z   i

Ta có 0

1
2
2

w iz   i
.

Vậy điểm biểu diễn

w iz



0 là 2

;2
2

M  

 .

Câu 21. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)Tìm hai số thực x và y thỏa mãn



2x 3yi

 

 1 3 i



 x 6i với i
là đơn vị ảo.

A. x1;y3 B. x1;y1 C. x1;y1 D. x1;y3
Lời giải

Ta có



2x 3yi

 

 1 3 i



 x 6i  x  1



3y 9



i0

1 0

3 9 0

x
y
 

 

  



3
x
y



 



 .

Câu 22. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Xét các số phức z thỏa mãn



z i z





2



là số thuần ảo. 
Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường trịn có bán kính bằng

A.1 B.

4 C.

2 D.

3
2
Lời giải

Đặt z x yi x y  ,



 





z i z





2



x



1 y i



  



x2



yi

là số thuần ảo  x x



2



y y



1



0

2 2 2 0

x y x y

     .

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường trịn có tâm

1 5

1; ,

2 2

I  R

  .

Câu 23. (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Tìm hai số thực

x

và y thỏa mãn



3x yi

 

 4 2 i



5x2i

với i là đơn vị ảo.

A. x  ; 2 y 4 B. x  ; 2 y 4 C. x  ; 2 y 0 D. x  ; 2 y 0
Lời giải



3x yi

 

 4 2 i



5x2i



2x 4



4 y i



0



2 4 0

4 0

x
y

 




 





2
4
x
y







 .

Câu 24. (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Xét các số phức z thỏa mãn



z 2i z

 

 2



là số thuần ảo.

Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường trịn có bán kính

bằng

A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Vì



z2i z

 

 2



x



2 y i



  



x 2



yi x x



 2



 y



2 y



xy



x 2 2

 

 y i



 là số
thuần ảo nên có phần thực bằng khơng do đó x x



 2



 y



2 y



0









2 2

1 1 2

x y

     . Suy ra tập

hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường trịn có bán kính bằng 2 .

Câu 25. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn



2x 3yi

 

 3 i



5x 4i

với i là đơn vị ảo.

A. x1;y1. B. x1;y1. C. x1;y1. D. x1;y1.
Lời giải



2 3

 



5 4



2 3

 

3 1



5 4 2 3 5 1

3 1 4 1

x x x

x yi i x i x y i x i

y y

  

 

              

  

 

Câu 26. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Xét các số phức z thỏa mãn



z 2i z





2



là số thuần ảo. 
Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường trịn có bán kính 
bằng?

A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 4

Lời giải
Gọi z a bi  , a b  ,

Ta có:







 







2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

z i z  a bi  i a bi  a  a b  b a b  i

Vì



z 2i z





2



là số thuần ảo nên ta có









2 2

2 2 2 2 0 1 1 2

a  a b  b  a  b  .

Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường trịn có bán kính
bằng 2 .

Câu 27. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102)Tìm hai sớ thực x và y thỏa mãn



3x2yi

 

 2i



2x 3i với
i là đơn vị ảo.

A. x2;y2. B. x2;y1. C. x2;y2. D. x2;y1.

Lời giải

Ta có:



3x2yi

 

 2i



2x 3i





3x 2 2y 1 2x 3i

     

3 2 2 2

2 1 3 2

x x x

y y

  

 

   

  

  .

Câu 28. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102)Xét các số phức z thỏa mãn



z 3i

 

z 3



là số thuần
ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường trịn có bán kính
bằng:

A.

2 . B. 3 2 . C. 3 . D.

3 2
2 .
Lời giải

Gọi z x yi, với x y , R.

Theo giả thiết, ta có



z3i

 

z 3



3 3i 9i

z z z

   

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2 2 3 3 0

x y  x y . Đây là phương trình đường trịn tâm

3 3
;
2 2
I 

 , bán kính

3 2
2

R 

Câu 29. (Tham khảo 2018) Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 4z2 4z 3 0. Giá trị của

biểu thức z1  z2 bằng:

A. 3 2 B. 2 3 C. 3 D. 3

Lời giải

Xét phương trình 4z2 4z 3 0 ta có hai nghiệm là: 
1

1 2

2 2

1 2

2 2

z i



 





 




1 2

3
2

z z

  

 z1  z2  3

Câu 30. (Tham khảo 2018) Cho hàm số f x( ) xác định trên

1
\

R   

  thỏa mãn

 

2  

'

,

0 1,

1

2

1 f x

f

x





. Giá trị của biểu thức f 

 

1 

 

3 bằng

A. 4 ln15 B. 2 ln15 C. 3 ln15 D. ln15
Lời giải

 

2 ln 2

1

2 x



1 dx



x





C



f x



Với

1

2 x





C



nên f 

 

1  1 ln 3

Với

1

2 x





C



nên f

 

3  2 ln 5
Nên f 

 

1 

 

3  3 ln15

Câu 31. (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm số phức z thỏa mãn z 2 3i 3 2i.
A. z 1 5i. B. z  .1 i C. z 5 5i. D. z  .1 i

Lời giải

2 3 3 2

z  i  i  z 3 2i 2 3 i  .1 i

Câu 32. (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho số phức z1 1 2i, z2   . Tìm điểm biểu diễn của 3 i

số phức z z 1 z2 trên mặt phẳng tọa độ.

A. N



4; 3



B. M



2; 5



C. P  



2; 1



D. Q 



1;7



Lời giải

1 2 2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Câu 33. (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Kí hiệu z , 1 z là hai nghiệm của phương trình 2 z  2 4 0. Gọi
M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z , 1 z trên mặt phẳng tọa độ. Tính T OM ON2   với O là gốc tọa

độ.

A. T  2 B. T 2 C. T 8 D. 4

Lời giải

Ta có:

1
2

2
2
4 0

z i

z

i
z



    



Suy ra M



0; 2



;N



0;2



nên





2 2

2 2 4

T OM ON    

Câu 34. (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho số phức z thỏa mãn | | 5z  và |z3 | |  z 3 10 |i . Tìm
số phức w z  4 3 . i

A. w 3 8 .i B. w 1 3 .i C. w 1 7 .i D. w 4 8 .i
Lời giải

,( , )

z x yi x y  . Theo đề bài ta có

2 2 25

x y  và (x3)2y2 (x3)2(y10)2.

Giải hệ phương trình trên ta được x0;y5. Vậy z5i. Từ đó ta có w 4 8i.

Câu 35. (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho hai số phức z1 1 3i và  z2 2 5i . Tìm phần ảo b của số

phức  z z1 z .2

A. b2 B. b3 C. b3 D. b2

Lời giải
Ta có  z z1 z2  3 2i b2

Câu 36. (THPT QG 2017 Mã đề 105) Kí hiệu z z là hai nghiệm phức của phương trình   1, 2 z2 z 6 0.

Tính

 

1 2

1 1

P

z z .

A. 
1

12 B.

6 C. 

6 D. 6

Lời giải

Theo định lí Vi-et, ta có

  





1 2

1
6
z z

z z nên


   1 2 

1 2 1 2

1 1 1

. 6

z z

P

z z z z

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

A. z1 1 2i B. z1 1 2i C. z1 2 i D. z1 2 i
Lời giải

Điểm M



2;1



là điểm biểu diễn số phức z1 2 i

Câu 38. (THPT QG 2017 Mã đề 110) Kí hiệu z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 3z2  z 1 0

. Tính Pz1 z2 .

A. 
14
3
P

B. 
2
3
P

C. 
3
3
P

D. 
2 3

3
P

Lời giải

Xét phương trình 3z2 z 1 0 có   

 

  
2

1 4.3.1 11 0

. Căn bậc hai của  là i 11.

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt



  

1 11 1 11

;

6 6 6

i

z i 2 1 11  1 11

6 6 6

i

z i

Từ đó suy ra:

 1  2 

P z z   

1 11 1 11

6 6 i 6 6 i

   

          

   

       

2 2

1 11 1 11

6 6 6 6  3 3

3 3 

2 3
3

Cách khác: Sử dụng máy tính Casio FX 570ES Plus hỗ trợ tìm nghiệm phương trình bậc 2 sau đó vào mơi trường sớ

phức (Mode 2 CMPLX) tính tổng mơđun của 2 nghiệm vừa tìm được.

Câu 39. (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho số phức z a bi a b



, ¡



thoả mãn z  2 i z . Tính
4 

S a b .

A. S4 B. S2 C. S2 D. S4

Lời giải

Ta có



 



    

          

 




2 2

2 2 2 , 2

2 2 1

1 0

a a b a

z i z a b i a b

b







  

 

       

  

 

  

2 2

3
1

4 4

2 1 1

b a

S a b

a a b

Câu 40. Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức

1 

2i

và

1 

2i

là nghiệm.
A. z2 2z 30

B. z22z30

C. z2 2z30

D. z22z 30

Lời giải

Theo định lý Viet ta có

  





1 2

1 2
2
. 3

z z

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Câu 41. Cho số phức z a bi a b  , ,



¡



thỏa mãn z 1 3i z i0.Tính   3S a b .

A. S5 B. 

7
3

S

C. S5 D. 

7
3

S

Lời giải

Ta có:

 
  

 

              



   

 

 

2 2

1
1 0

1 3 0 1 3 0 4

3 0

3
a
a

z i z i a bi i a b i

b

b a b

 S a 3b5.

Câu 42. (Đề minh họa lần 1 2017)Cho hai số phức z1  1 i và z2  2 3i. Tính mơđun của sớ phứcz1z2.
A. z1z2  13. B. z1z2  5. C. z1z2 1. D. z1z2 5.

Lời giải





1 2 1 2 3 3 2

z z   i  i   i nên ta có: z1z2  3 2i  3222  13.

Câu 43. (Đề minh họa lần 1 2017)Cho số phức z thỏa mãn (1i z)  3 .i Hỏi điểm biểu diễn củazlà điểm nào
trong các điểm M N P Q, , , ở hình bên?

A. Điểm P B. Điểm Q C. Điểm M D. Điểm N

Lời giải







 





 



3 1

3 2 4

1 3 1 2

1 1 1 2

i i

i z i z i

i i i

 

        

   .Vậy điểm biểu diễn của zlà Q



1; 2



.

Câu 44. (Đề minh họa lần 1 2017)Kí hiệu z z z1, ,2 3vàz4 là bớn nghiệm phức của phương trìnhz4 z212 0 .

Tính tổngT z1  z2 z3  z4

A. T 4 B. T 2 3 C. T  4 2 3 D. T  2 2 3

Lời giải
2

4 2

3 3

12 0

2
4

z z i

z z

z
z

   

      




 



1 2 3 4 3 3 2 2 2 3 4

T z  z  z  z i i     

Câu 45. (Đề tham khảo lần 2 2017) Tính mơđun của số phức z biết z 



4 3 1 i

 

i



.

A. z 25 2 B. z 7 2 C. z 5 2 D. z  2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>



4 3 1

 



z   i i  7 i  z 7 i  z 5 2

Câu 46. (Đề tham khảo lần 2 2017) Kí hiệu z z là hai nghiệm của phương trình 1; 2 z2   . Tínhz 1 0
2 2

1 2 1 2
P z z z z .

A. P 1 B. P 2 C. P 1 D. P 0

Lời giải

Cách 1

1 3

2 2

1 0

1 3

2 2

z i

z z

z i



 



   



 




2 2

2 2
1 2 1 2

1 3 1 3 1 3 1 3

2 2 i 2 2 i 2 2 i 2 2 0

P z z z z         i

       

  

      

    



Cách 2: Theo định lí Vi-et: z1z2 1; z z 1. 2 1.

Khi đó





2 2 2

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 0
Pz z z z  z z  z z z z    .

Câu 47. (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z.

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.

A. Phần thực là4và phần ảo là 3 B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4 i

C. Phần thực là 3 và phần ảo là 4D. Phần thực là4và phần ảo là 3i
Lời giải

Nhắc lại:Trên mặt phẳng phức, số phức z x yi được biểu diễn bởi điểm M x y( ; ).
Điểm M trong hệ trục Oxy có hoành độ x3 và tung độ y4.

Vậy số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là 4.

Câu 48. (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tìm số phức liên hợp của số phức z i i



3 1



.
A. z  3 i . B. z  3 i . C. z  3 i . D. z  3 i .

Lời giải



3 1



z i i   i

nên suy ra

z

 

3 i

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

A. z  34 B. z 34 C.

5 34
3

z 

D.

34
3

z 

Lời giải





13 1

z  i  i



 





 



1 13 2
1 13

3 5

2 2 2

i i

i

z z z i

i i i

 



      

   . z  32 

 

5 2  34.

Câu 50. (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho số phức z a bi a b 



,  



thỏa mãn



1i z



2z  3 2 .i

Tính P  .a b

A. 
1
2

P 

B. P 1 C. P 1 D.

1
2

P 

Lời giải



1i z



2z  3 2 . 1i

 

. Ta có:  z a bi



z a bi

 

.

Thay vào

 

1 ta được



1i a bi

 





2



a bi



 3 2i









3 2

 a b i  a b   i 



a b i







3a b



 3 2i
1

2 2

3 3 3

2
a
a b

P
a b

b




 

 

     

 

  




Câu 51. (Tham khảo THPTQG 2019) Xét các số phức z thỏa mãn



z2i z





2



là số thuần ảo. 
Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường trịn đó có tọa độ là 
A.



1; 1



. B.

 

1;1 . C.



1;1



. D.



1; 1



Lời giải

Gọi z x yi x y  , ,



 



. Điểm biểu diễn cho z là M x y



;



.

Ta có:



z2i z





2







x yi 2i x yi

 

 2













 



x x y y i x  y  xy

là số thuần ảo









 x x y y 









2 2
 x  y 

Vậy tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của z là một đường trịn có tâm I



1; 1



.

Câu 52. (Tham khảo THPTQG 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 
2

2 4

  

z z z

và

1 3 3

    

z i z i

A. 4 . B. 3. C. 1. D. 2 .

Lời giải

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

2 4

  

z z z 2 2 4 4

 x y  x 

 

2 2

4 4 0, 0 1

4 4 0, 0 2

     

 

    



x y x x

1 3 3

    

z i z i 



x1



2



y1



2 



x 3



2



y3



2  4x8y16 x2y4

 

3 .

+ Thay

 

3 vào

 

1 ta được:



2y4



2 y2 4 2



y4



 4 0 5y28y 4 0

 

2 24

5 5

2 0



  






  



y x n

.
+ Thay

 

3 vào

 

2 ta được:



2 4



2 2 4 2



4



4 0

     

y y y 5 2 24 28 0

 y  y 

 

2 0

14 8

5 5

  





   



y x l

y x n

.
Vậy có 3 số phức thỏa điều kiện.

Câu 53. (Tham khảo 2018) Cho số phức z a bi a b 



,  



thỏa mãn z  2 i z



1i



0 và z 1.
Tính P a b  .

A. P 1 B. P 5 C. P 3 D. P 7

Lời giải

Ta có: z  2 i z



1i



0  a bi   2 i a2b2



1i



0





 

2 2

2 2 2 2

2 2

2 0 1

2 1 0

1 0 2

a a b

a a b b a b i

b a b

    



          

    



Lấy

 

1 trừ

 

2 ta được: a b   1 0 b a 1. Thế vào

 

1 ta được:













2 2

2 2 2

2 1 0 2 2 2 1

2 2

4 4 2 2 1 2 3 0

a a a a a a

a

a a

a tm

a a a a a a

a tm

         




 

  

 




     



       

 

   



Với a 3 b4; a 1 b0.

Vì

1 3 4 3 4 7

4
a

z z i P a b

b



           



 .

Câu 54. (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn
tại duy nhất số phức z thỏa mãn .z z  và 1 z 3 i m. Tìm số phần tử của S .

A. 2. B. 4. C. 1. D. 3.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Gọi z x yi x y  ,( ,   , ta có hệ )









2 2

2 2

1 (1)

3 1 ( 0)

x y

x y m m

  




    




Ta thấy m 0 z 3 không thỏa mãn .i z z  suy ra 1 m  .0

Xét trong hệ tọa độ Oxy tập hợp các điểm thỏa mãn

 

1 là đường trịn ( )C có 1 O(0;0),R  , tập hợp các 1 1

điểm thỏa mãn

 

2 là đường tròn ( )C tâm 2 I



3; 1 ,



R2 m, ta thấy OI  2 R1 suy ra I nằm ngoài
1

( )C .

Để có duy nhất số phức z thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với ( ),( )C1 C tiếp xúc ngoài và 2

tiếp xúc trong, điều này xảy ra khi OI R1R2  m  1 2 m hoặc 1 R2 R OI1  m  1 2 3

Câu 55. (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho số phức z thỏa mãn z3 5 và z 2i  z 2 2 i . Tính
z.

A. z 10 B. z 17 C. z  17 D. z  10

Lời giải

Đặt

  ; , ¡
z x yi x y

Theo bài ra ta có





















    

  

 



 

  

     

 



2 2 2

2 2 2

3 25 3 25

4 4 0

2 2 2

x y x y

x

x y x y

   



   




 



2 3

1
1

y
y

x

x . Vậy z  10

Câu 56. (THPT QG 2017 Mã đề 105) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z3i  13 và  2
z

z là số
thuần ảo?

A. 0 B. 2 C. Vô số D. 1

Lời giải

Gọi số phức z a bi a b, ,



¡



Ta có z3i  13 a bi 3i  13  









2
2

3 13

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

 

 a2 b2 6b 4 0 a2b2  4 6 1b









 

     

     2 2

2 2

1 1 1

2 2 2 2

a bi

z

z z a bi a b













   
 
   
2 2

2 2 2 2

2 2 4 2

2 2

a b a b

i

a b a b









 

 

   

2 2

2 2 2 2

2 2

a b a b

i

a b a b

Do  2
z

z là số thuần ảo nên





 

   

 
   
   

2 2
2 2
2 2

2 0 2

0 2

2 0

a b a

a

a b b

Thay

 

1 vào

 

2 ta có 4 6b2a 0 a3b 2 thay vào

 

1 ta có



3b 2



2b2 4 6 b 0 10b2 6b0

 

 
   

0( )
3 1
5 5
b L
b a

Vậy có một số phức cần tìm.

Câu 57. (THPT QG 2017 Mã đề 110) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z 2 i| 2 2 và







2
1
z

là
số thuần ảo.

A. 0 B. 2 C. 4 D. 3

Lời giải

Gọi số phức  z x yi với



x y, ¡



, vì















 







2 2 2

1 1 y 2 1

z x x yi

là số thuần ảo nên theo đề

bài ta có HPT













    


 


2 2
2 2

2 1 8

x y

Với   1y x , thay vào phương trình đầu, ta được



x2



2



x 2



2  8 x2  0 x0.

Với 3 2x , thay vào phương trình đầu, ra được



x2



2



x



2  8 2x24x 4 0 x 1 3.

Vậy có 3 số phức thỏa mãn.

Câu 58. Có bao nhiêu số phức

z

thỏa mãn z 3i 5 và  4

z

z là số thuần ảo?

A. 0 B. 2 C. Vô số D. 1

Lời giải

Đặt z x yi x y



, ¡



. Điều kiện 4z









 

 3  5   3  5 2  3 2 25 2 2 6 16 1

z i x y i x y x y y








 4  4 
x yi
z

z x yilà số thuần ảo nên phần thực









 

 
    
 
2
2 2
2 2
4

0 4 0 2

x x y

x y x

x y

Từ

 

1 và

 

2 suy ra     

4 6 16 4

x y x y

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

 

      

 

 

2
2
3

4 6 16 0 0

2y y y y hoặc 

24
13

y

Với y0 ta được 4x , suy ra 4z (loại)

Với 

24
13

y

ta được 

16
13

x

và  

16 24
13 13

z i

(thỏa mãn)

Vậy có một số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là  

16 24
13 13

z i

Câu 59. (Đề minh họa lần 1 2017)Cho các số phức z thỏa mãn z 4. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các
số phứcw(3 4 ) i z i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường trịn đó

A. r 4 B. r 5 C. r 20 D. r 22

Lời giải

Giả sử z a bi w x yi a b x y  ;   ; , , ,



 



Theo đề w



3 4 i z i



  x yi 



3 4 i a bi

 





i



3 4

 

3 4 1



3 4 3 4

3 4 1 1 3 4

x a b x a b

x yi a b b a i

y b a y b a

   

 

          

     

  Ta có

















2 1 3 4 4 3 25 2 25 2 25 2 2

x  y  a b  a b  a  b  a b

Mà

2 2

4 16

z   a b 

. Vậy





2 1 25.16 400

x  y  

Bán kính đường trịn là r  400 20 .

Câu 60. (Đề tham khảo lần 2 2017) Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn củasố phức z
(như hình vẽ bên). Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức 2z ?

A. Điểm N B. Điểm Q C. Điểm E D. Điểm P

O x

y

Q E

P
N

M

Lời giải

Gọi z a bi a b 



,  



. Điểm biểu diễn của z là điểm M a b



;



2z 2a 2bi

   có điểm biểu diễn trên mặt phẳng Oxy là M1



2 ;2a b



.

Ta có OM12OM

 
 
 
 
 
 
 

suy ra M1  .E

Câu 61. (Đề tham khảo lần 2 2017) Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện
5

z i 

và z là số thuần ảo?2

A. 2 B. 3 C. 4 D. 0

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Giả sử z a bi   z2 a2 b22abi

Vì z i 5 và z là số thuần ảo ta có hệ phương trình2

2 2

1 25 3

1 25

4
0

1 25

( )

a b a b

b b a b

a b

b a

a b

b a

b b

      

   

         

   

    



    

 

 

   



      


Câu 62. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z



 4 i



2i 



5 i z



A. 2 B. 3 C. 1 D. 4

Lời giải

Ta có z z



 4 i



2i



5 i z







4 2 5

z z z z i i i z

       z z



 5i



4 z 



z  2



i
.
Lấy module 2 vế ta được





2 1









2 2





2 1









 

z z   z z   z  z    z z 



 



 

.
Đặt tz , t 0.

Phương trình

 

1 trở thành





 





2 5 1 4 2

t  t   t t

  

    t t2



2 10t26



17t2  4t4

4 10 3 9 2 4 4 0

t t t t

      



t 1





t3  9t2 4



0

3 2

9 4 0

t

t t



 

  



 

8,95

0,69
1

0,64
t

n

t n

t l

n
t 








 



 .

Ứng với mỗi giá trị t 0, với





4 2

t t i

z

i t

  



  suy ra có một sớ phức z thỏa mãn.

Câu 63. (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z z



 6 i



2i



7 i z



A. 2 B. 3 C. 1 D. 4

Lời giải

Đặt z  a 0,a , khi đó ta có









z z  i  i  i z  a z



 6 i



2i



7 i z







a 7i z



6a ai  2i



a 7 i z



6a



a 2



i

      



a 7i z



6a



a 2



i



a 7



2 1 a2 36a2



a 2



 

     

  a4 14a3 13a2 4a 4 0

     







3 13 2 4



0 3 1 2

12 4 0

a

a a a

a a




      

  

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Xét hàm số

 





3 13 2 0

f a a  a a

, có bảng biến thiên là

Đường thẳng y 4 cắt đồ thị hàm số f a

 

tại hai điểm nên phương trình a312a24 0 có hai

nghiệm khác 1 (do f

 

1 0). Mỗi giá trị của

a

cho ta một số phức z.

Vậy có 3 số phức thỏa mãn điều kiện.

Câu 64. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn



 5



2 



6



z z i i i z

A. 1 B. 3 C. 4 D. 2

Lời giải

Ta có z z



 5 i



2i 



6 i z







z  6i z



5 z 



z  2



i

 

1
Lây môđun hai vế của

 

1 ta có:



z  6



21.z  25z2



z  2



2
Bình phương và rút gọn ta được:

4 3 2

12 11 4 4 0

    

z z z z 



z 1





z311z24



0

3 2

11 4 0

 

 

  


z

z z

10,9667...
0,62...

0,587...

 




 



 


z
z

Do z 0, nên ta có z 1, z 10,9667..., z 0,62.... Thay vào

 

1 ta có 3 số phức thỏa mãn đề bài.

Câu 65. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102)Có bao nhiêu sớ phức z thỏa mãn z z



 3 i



2i



4 i z



A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.

Lời giải









z z  i  i  i z 



z  4i z



3z 



z  2



i
(*)



z 4



2 1.z 9 z2



z 2



     

(1).

Đặt mz 0 ta có

 









2 2 2 2

1  m 4 1 .m 9m  m 2 m4 8m3 7m2 4m 4 0

     



m 1





m3 7m2 4



     3 2

7 4 0

m

m m



 

  



 

6,91638
0.80344

0.71982 L

m
m
m

m




 




 




 .

Từ (*) ta suy ra ứng với mỗi z m sẽ có một sớ phức





3 2

m m i

z

m i

 



  thỏa mãn đề bài.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Câu 66. (Tham khảo 2018) Xét số phức z a bi 



a b  ,



thỏa mãn z 4 3 i  5. Tính P a b 
khi z 1 3i   z 1 i đạt giá trị lớn nhất.

A. P10 B. P4 C. P6 D. P8

Lời giải

Goi E là trung điểm của AB và M a b



;



là điểm biểu diễn của số phức z.

Theo giả thiết ta có:









2 2

4 3 5 4 3 5

z  i   a  b   Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là

đường trịn tâm I



4;3



bán kính R  5

Ta có:









1;3

1 3 1

1; 1
A

Q z i z i MA MB

B

 



        






Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường trịn tại D
Ta có: Q2 MA2MB22MA MB.





2 2 2 2 2 2 2 2

Q MA MB MA MB MA MB

      

Vì MElà trung tuyến trong MAB

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 4 2

MA MB AB AB

ME  MA MB ME

      

2 2 2 2 4 2 2

2
AB

Q  ME  ME AB

      

  . Mặt khác ME DE EI ID   2 5 5 3 5





2 4. 3 5 20 200

Q

   





10 2 10 2

4 2( 4) 6

2 6; 4 10

2 2( 3) 4

max

D D

MA MB

Q Q

M D

x x

EI ID M P a b

y y




     




  

 

           

  

 

 

Cách 2:Đặtz a bi  . Theo giả thiết ta có:









2 2

4 5 5.

a  b 

Đặt

4 5 sin
3 5 cos

a t

b t

  




 



 . Khi đó:

















1 3 1 1 3 1 1

Q  z i  z  i a  b  a  b



5 sint 5



2 5cos2t



5 sint 3

 

2 5 cost 4



      





30 10 5 sint 30 2 5 3sint 4cost

    

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>













2 60 8 5 2sin cos 2 60 8 5. 5 200 10 2

Q  t t    

10 2 max 10 2

Q Q

   

Dấu bằng xảy ra khi

2
sin

6
5

10.

1 4

cos
5
t

a

P a b
b

t




  



    

 




 




Câu 67. (Đề tham khảo lần 2 2017) Xét số phức z thỏa mãn z 2 i  z 4 7 i 6 2. Gọi , m M lần 
lượt là giá trị nhỏ nhất cả giá trị lớn nhất của z 1 i. Tính P m M  .

A. P  13 73 B.

5 2 2 73
2

P 

C. P 5 2 73 D.

5 2 73

P 

Lời giải

Gọi A là điểm biểu diễn số phức z, F1



2;1 ,



F2



4;7



và N



1; 1 .



Từ z 2 i  z 4 7 i 6 2 và F F 1 2 6 2 nên ta có A là đoạn thẳng F F . Gọi H là hình chiếu của1 2

N lên F F , ta có 1 2

3 3
;
2 2
H 

  . Suy ra 2

5 2 2 73
.
2
P NH NF   

Câu 68. (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Xét số phức z thỏa mãn





1 2i z 2 .i

z

   

Mệnh đề nào
dưới đây đúng?

A. 
3

2  z  B. z 2. C.

1
.

z 

D.

1 3

.
2 z 2
Lời giải

Ta có

1
2
1

z z

z




Vậy





1 2i z 2 i

z

   



 





 



10 10

2 2 1  . 2 2 1  .

         

   

   

z z i z z z i z

z z









2 4 2 2

10 10

2 2 1 . .

z z z

z z

 
 

     

 

  Đặt z a 0.









2 2 4 2

2 2

1
10

2 2 1 2 0 1 1.

a

a a a a a z

a a

 

 

              



</div>

Toàn cảnh đề thi toán THPT Quốc gia từ 2017 đến 2019 - Số phức - Sách Toán - Học toán























 



<i>z</i>



3



<i>i</i>

<i>z</i>





















<i>z</i>

<i>w iz</i>



 

<i>z</i>

<i>w iz</i>





 





 











































<i>x</i>



 





 



<sub></sub>





<sub></sub>





 





 