- Tài liệu text

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (731.46 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

DOI:10.22144/ctu.jsi.2020.089

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ ĐỐI NGẪU CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA TRỊ SỬ DỤNG

ĐẠO HÀM ĐA TRỊ CLARKE THEO HƯỚNG NÓN

Lê Thanh Tùng1, Trần Thiện Khải2*, Phạm Thanh Hùng3

và Phạm Lê Bạch Ngọc3
1Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Cần Thơ

2Trung tâm Đào tạo và Hợp tác Doanh nghiệp, Trường Đại học Trà Vinh 
3Khoa Sư phạm và Xã hội Nhân văn, Trường Đại học Kiên Giang

*Người chịu trách nhiệm về bài viết: Trần Thiện Khải (email: )

Thông tin chung:

Ngày nhận bài: 04/03/2020 
Ngày nhận bài sửa: 19/03/2020 
Ngày duyệt đăng: 29/06/2020

Title:

Optimality conditions and duality for 
set-valued optimization in terms of 
cone-directed Clarke derivatives

Từ khóa:

Bài tốn tối ưu đa trị, các điều kiện 
tối ưu, đạo hàm Clarke theo hướng

nón, đối ngẫu Mond-Weir, đối ngẫu 
Wolfe

Keywords:

Cone-directed Clarke derivatives, 
Mond-Weir duality, Optimality 
conditions, Set-valued optimization, 
Wolfe duality

ABSTRACT

This paper is to deal with Mond-Weir duality and Wolfe duality for 
constrained set-valued optimization problems in terms of 
cone-directed Clarke derivatives. Firstly, necessary and sufficient 
optimality conditions for constrained set-valued optimizations in 
terms of cone-directed Clarke derivatives for the cone-semilocally 
convex like maps are investigated. Then, the Mond-Weir duality 
and Wolfe duality for a constrained set-valued optimization and 
their weak duality, strong duality and converse duality are 
considered.

TÓM TẮT

Bài báo này khảo sát bài toán đối ngẫu dạng Mond-Weir và Wolfe 
cho bài tốn tối ưu đa trị có ràng buộc sử dụng đạo hàm đa trị 
Clarke theo hướng nón. Trước hết, điều kiện tối ưu cần và đủ cho 
bài tốn tối ưu đa trị có ràng buộc sử dụng đạo hàm đa trị Clarke 
theo hướng nón cho lớp hàm tựa lồi nửa địa phương được khảo 
sát. Sau đó, bài tốn đối ngẫu dạng Mond-Weir và Wolfe cho bài

tốn tối ưu đa trị có ràng buộc và các tính chất về đối ngẫu mạnh, 
đối ngẫu yếu và đối ngẫu ngược được trình bày.

Trích dẫn: Lê Thanh Tùng, Trần Thiện Khải, Phạm Thanh Hùng và Phạm Lê Bạch Ngọc, 2020. Điều kiện tối
ưu và đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa trị sử dụng đạo hàm đa trị Clarke theo hướng nón. Tạp chí
Khoa học Trường Đại học Cần Thơ. 56(Số chuyên đề: Khoa học tự nhiên)(1): 17-27.

1 MỞ ĐẦU

Việc xét bài toán đối ngẫu của các dạng bài toán
tối ưu khác nhau và các liên hệ giữa các dạng
nghiệm của chúng là một trong các chủ đề quan
trọng trong lý thuyết tối ưu và được nhiều tác giả
quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây, chẳng
hạn Sach and Craven (1991), Chen et al. (2009), 
Tung (2017), Tung et al. (2019). Khi xét bài toán

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

toán đối ngẫu dạng Mond-Weir và Wolfe cấp cao
của bài toán tối ưu đa trị trong cơng trình của Chen
et al. (2009). Bài báo của Yu and Kong (2016) sử 
dụng đạo hàm theo tia cấp cao để xét bài toán đối
ngẫu dạng Mond-Weir và dạng Wolfe.

Nón tiếp tuyến Clarke (Clarke, 1983), mặc dù
chứa trong nón contingent và nón theo tia radial,
nhưng là một nón lồi nên có thể áp dụng để xây dựng
các điều kiện tối ưu dạng đối ngẫu trong đó có sử
dụng Định lý tách tập lồi như trong các cơng trình
của Corley (1988), Lalitha and Arora (2008),
Lalitha and Arora (2009). Qua tham khảo các tài liệu

liên quan về chủ đề đối ngẫu có thể thấy rằng chưa
có bài báo nào sử dụng các dạng đạo hàm đa trị
Clarke để khảo sát bài toán đối ngẫu của bài toán tối
ưu đa trị. Từ những quan sát trên, trong bài báo này
đạo hàm đa trị Clarke đã được sử dụng theo hướng
nón để khảo sát bài toán đối ngẫu dạng Mond-Weir
và bài toán đối ngẫu dạng Wolfe của bài toán tối ưu
đa trị.

2 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong bài báo này nếu khơng giả thiết gì thêm,
xét X Y Z, , là các không gian định chuẩn thực,

KY DZ là các nón lồi đóng có đỉnh với phần
trong khác rỗng. Với A , X int , cl ,A A A kí hiệu
tương ứng cho phần trong, bao đóng, biên của A.

X là không gian đối ngẫu của X và

x x

,

là
giá trị của ánh xạ tuyến tính liên tục *

x 

X* tại

X

x

và BX,BY là hình cầu đơn vị đóng trong

X Y. Với x0X,

( )

x0 là tập các lân cận của x0

. Với AX u, X, các nón sau thường được dùng





coneA:=   a 0,aA ,





cone+A:=   a 0,aA ,

( )

cone

(

)

A u = A u+ .
Ký hiệu





: * *| *, 0,

K+ = k Y k y   y K ,





: * *| *, 0,
D+ = d Z d z   z D

lần lượt là nón đối ngẫu của K và D.

Với A , nón contingent Y T A y của

(

)

A

tại yclA được định nghĩa như sau:

(

)





, :

| 0, : ,

    →n n + n n 

T A

h Y t h h t h A

y

y n

Dễ dàng kiểm tra được, định nghĩa trên tương
đương với

(

)





, :

| 0, : , ( ) .

    n n n→ n n− →
T A

h Y y y

y

y y

y A h

Nón tiếp tuyến Clarke TC( , )A y của A tại
cl

y A được cho như sau:

(

)





, :

| , 0, : , .

  →    → +  

C

n n n n n n

T A

h Y y t h h h

y

A

y y t n

Nhận xét 2.1. (Khan et al, 2016, trang 127)

(i) TC

( )

A,y T A

( )

 

)

= 
.

(ii) a được gọi là điểm cực tiểu địa phương yếu
của A đối với K , và ký hiệu là aWMinK A nếu

và chỉ nếu tồn tại U

( )

a sao cho

(

A −U a

) (

 −intK

)

= 
.

(iii) a được gọi là điểm cực đại địa phương
(Pareto) của A đối với K, và ký hiệu là

MaxK

a A, nếu và chỉ nếu tồn tại U

( )

a sao
cho

(

AU−a

)



(

K\ 0

 

)

= 
.

(iv) a được gọi là điểm cực đại địa phương yếu
của A đối với K , và ký hiệu là aWMaxK A nếu

và chỉ nếu tồn tại U

( )

a sao cho

(

A −U a

)

intK= 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Nếu U= , cụm từ “địa phương” sẽ được lược Y
bỏ, nghĩa là khái niệm toàn cục tương ứng được
khảo sát.

Với ánh xạ đa trị H X →: 2Y, tập xác định, đồ

thị, trên đồ thị của H được định nghĩa như sau:

( )





( )





dom : | ,

gr : , | ,

H x X H x

H x y X Y y H x

=   

=   

( )





epiH:= x y,  X Y y| H x +K .
Ánh xạ profile của H , kí hiệu H+, định

nghĩa bởi H+

( )

x :=H x

( )

+K.

Định nghĩa 2.2. Cho H X →: 2Y là ánh xạ đa
trị,

(

x y,

)

grH .

(i) (Aubin and Frankowska, 1990) Đạo hàm
contingent DH x y

(

)

của H tại

(

x y,

)

grH là
ánh xạ đa trị từ X vào Y thỏa

( )

(

( )

)

grDH x y, =T grH x y, , , nghĩa là

(

)( )



( )

(

gr ,

(

)



DH x y u = vY u v T H x y

với mọi uX.

(ii) (Jahn, 2009) Đạo hàm contingent của H theo

hướng nón K là đạo hàm contingent của H+K tại

(

x y,

)

grH epiH, nghĩa là ánh xạ đa trị từ X

vào Y thỏa

( )

(

( )

)

(

( )

)

grDH+ x y, =T grH ,+ x y, =T epiH x y, , ,
hay

(

)( )



( )

(

epi ,

(

)



DH+ x y u = vY u v T H x y

với mọi uX.

Định nghĩa 2.3. Cho H X →: 2Y là ánh xạ đa

trị,

(

x y,

)

grH .

(i) (Aubin and Frankowska, 1990) Đạo hàm
Clarke C

(

)

D H x y của H tại

(

x y,

)

với mọi uX.

(ii) (Sach and Craven, 1991) Đạo hàm Clarke
của H theo hướng nón K là đạo hàm Clarke của

H+K tại

(

x y,

)

grH epiH, nghĩa là ánh xạ đa

trị từ X vào Y thỏa

( )

(

( )

)

( )

(

)

gr , gr , ,

epi , , ,

+ = +

C C

C

D H x y T H x y

T H x y

hay

(

)( )

( )

(

)





, :

, epi , , ,

+ =

 

C

C
D H x y u

v Y u v T H x y

với mọi uX .

3 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU SỬ DỤNG ĐẠO 
HÀM THEO HƯỚNG NÓN CLARKE

Cho X Y Z, , là các không gian định chuẩn
thực, KY D, Z là các nón lồi đóng có đỉnh với
phần trong khác rỗng và F X: →2 ,Y G X: →2Z là
2 ánh xạ đa trị.

Xét bài toán tối ưu đa trị dạng tổng quát như sau:

(

)

( )

( ) ( )

WMin

WSOP K F x

G x D



  −  



nghĩa là tìm tất cả các giá trị x0A mà tồn tại

( )

0 0

y F x sao cho y0WMinKF

( )

A , trong đó

( ) ( )





A= x X G x  −D   .

Tập các điểm chấp nhận được của bài toán
(WSOP) ký hiệu là

(

)

( )



là một nghiệm của (WSOP) thì tồn

tại

(

k*,d*

)

K D \



(

0Y*,0Z*

)



+ +

 

sao cho với mọi

(

)

(

) (

0, 0, 0

)( )

C

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

*, *, 0

k y + d z 

và d*,z0 =0

.

Chứng minh. Lấy z0G x

( )

0  −D, ta đặt

(

) (

0 0 0

)( ) (

)

: C , , , 0 , .

Y
x X

B D F G + x y z x z



 

= +

 

Trước hết, chứng minh rằng B là tập lồi bằng
cách chứng minh B1= −B

(

0 ,Y z0

)

lồi. Lấy

(

y1,z1

) (

, y2,z2

)

B1. Khi đó, tồn tại x x 1, 2

sao cho

(

)

(

) (

0, 0, 0

)( )

, 1, 2

C

i i i

y z D F G + x y z x i= ,
nghĩa là

(

, ,

)

(

epi

(

) (

, 0, 0, 0

)

, 1, 2.

C
i i i

x y z T F G x y z i=

)(

2, 2, 2

)

(

epi

(

) (

, 0, 0, 0

)

C

x y z x y z T F G x y z

 + − 

với mọi  

 

0, 1 . Nên

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 , 1

1 2 1 2

, 0, 0, 0 1 1 2 ,

y y z z

C

D F G x y z x x

 + −   + − 

 +  + − 

với mọi  

 

0, 1 . Do đó,

(

1, 1

)

(1 )

(

2, 2

)

 y z + − y z B , nên

B

1 và B lồi.

Tiếp theo, chứng minh



int int



B − K − D . Giả thiết phản chứng tồn

tại

(

x y zˆ ˆ ˆ, ,

)

sao cho

(

)

(

) (

)( ) (

)





0 0 0 0 0

ˆ, ˆ , , ˆ

int int ,

, 0 ,

C

Y

y z z D F G x y z x

K

z

D

 − 


−



+  +

(1)

nghĩa là,

(

)

(

) (

)

(

) (

)

0 0 0

ˆ ˆ ˆ, , epi , , , ,

epi , , , ,

  

  

C

x y z T F G x y z

T F G x y z

Khi đó, tồn tại dãy (x y zn, n, n)epi

(

F G,

)

,
nghĩa là xnX, ynF x( )n +K, znG x( )n +D,

0 0 0

( ,x y zn n, )n →( ,x y z, )

và dãy  n 0 sao cho

0 0 0 ˆ ˆ ˆ

( , , ) ( , , )

n xn x yn y zn z x y z

 − − − → .

Từ (1), ta có yˆ−intK. Do

(y y0) y intK
n n

 − →  − mở, tồn tại N1 sao cho

( ) int

n yn y K

 − − , với nN1

và do  n 0 và K là một nón nên

0 int

n

y − −y K, với nN1. (2)
Tương tự, do D là một nón, z z+ −0 intD và

0 0 ˆ 0

( )

n zn z z z z

 − + → + , suy ra tồn tại N2

n(zn−z0)+ −z0 intD với mọi nN2. (3)

Hơn nữa, tồn tại Nmax

(

N1,N2

)

sao cho

1
N

  . Nếu ngược lại, nghĩa là  n 1 với mọi n 
đủ lớn, thì do yn →y0 và

(

)

0 | n yn−y | | yn−y | nên

(

)

n yn y Y

 − → , mâu thuẫn với yˆ−intK.
Từ (3) ta có

0 0 0

( ) [ N (1 1/ ) ] int ,

N zN z z N z − N z D

 − + =  −  −

và do đó zN− − (1 1/ N)z0−intD. Nhưng
0−

z D và 1 1/−  N 0, vì  N 1 nên

(1 1/− N)z −D. Do đó,

(

(1 1 / ) 0

)

(1 1 / ) 0

int int .

N N N N

z z z z

D D D

= − −  + − 

 − −  − (4)

Mặt khác, do yNF x( N)+K, zNG x( N)+D, tồn

tạiyˆNF x( N), kNK, zˆNG x( N) và dND
sao cho yN =yˆN+kN, zN = +zˆN dN. Từ (2) và (4),
ta có

0 0

ˆN ( N ) N int int ,

y − =y y −y − −k K K−  − K

ˆN N N int int .

z =z −d − D D−  − D

Do đó, chúng ta chỉ ra sự tồn tại
ˆ

, ( ) , ( )

N N N N N

x X z G x −D y F x sao cho

ˆN int

y − −y K . Điều này dẫn đến mâu thuẫn với
giả thiết ( ,x0 y0) là một nghiệm của (WSOP). Do

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Tiếp theo, sử dụng Định lý tách để tách B và
intK intD

− − . Theo định lý tách Eidelhei, tham
khảo trang 74 sách chuyên khảo của Jahn (2009),
tồn tại k*Y d*, *Z* không đồng thời là hàm
không, và số thực  sao cho:

*, *, , ( , ) ,
k y + d z    y z B

*, *, , ( , ) int int .
k y + d z    y z  − K − D

(5)

Nhưng do ( , )y z −intK−intD có thể được
lấy tùy ý gần với (0 , 0 )Y Z và tính liên tục của

*, *

k d từ (5) thì  0.

Tuy nhiên, nếu giả sử rằng

*, 0
*,

k y d z

  +  với một

( , )y z −intK−intD.

Khi đó, k*,y + d*,  z , với

*, *, 0

k y + d z



   đủ lớn, trong khi

(  −y, z) intK−intD, mâu thuẫn với (5). Điều

này cho thấy rằng  phải bằng 0, nghĩa là

*, *, 0, ( , ) ,

k y + d z   y z B (6)

*, *, 0, ( , ) int int .
k y + d z   y z  − K − D

(7)

Từ (7), bằng cách lấy y−intK tùy ý gần với
0Y, theo tính liên tục của k*, dẫn đến kết luận

*, 0, int .

d z   z D Do đó,

*, 0, cl(int )

d z   z D D, nênd*D+.
Tương tự có thể chứng minh được k*K+.

Để chứng minh d*,z0 =0, trước hết ta có

*, 0

d z  ; từ (6) và (0 , )Y z0 B theo Nhận xét

2.1. Nhưng z0−D và d*D+ nên d*,z0 0.

Do vậy, d*,z0 =0.

Cuối cùng, mệnh đề k*,y + d*,z 0 với
mọi x X thỏa. Thật vậy, với x X , do

(

)

( ,0 0, 0)( )+(0 ,Y 0) ,
C

D F G + x y z x z B từ (6),

*, *, 0

k y + d z+z  . Nhưng do d*,z0 =0

dẫn đến k*,y + d*,z 0.

Tiếp theo, điều kiện cần tối ưu dạng KKT cho
bài tốn (WSOP) được thiết lập sử dụng định tính
ràng buộc Slater và điều kiện tính tựa lồi nửa địa
phương.

Định nghĩa 3.1. (i) Tập S được gọi là dạng X
hình sao địa phương tại điểm x0S nếu với bất kỳ
x , tồn tại một số thực dương S a x( , ) x0 1 sao

cho (1−)x0+xS với 0   a x x( , 0). Nếu S

có dạng hình sao địa phương tại mỗi x S ,S được
gọi là tập hình sao địa phương.

(ii) Nếu S là tập hình sao địa phương, khi đó
ánh xạ đa trị : 2Y

H SX→ được gọi là K -tựa
lồi nửa địa phương, tham khảo trong cơng trình của
Arora and Lalitha (2005), tại điểm x0S nếu với

mọi xS y, H x( ) và y0H x( )0 thì tồn tại một

số thực dương d x y(( , ),( ,x y0 0))a x x( , 0) sao cho

(1−)y +  y H S( )+K

với

0 0

0  d x y(( , ),( ,x y ))
.

-tựa lồi nửa địa
phương trên

S

với a x( ,x0)=1 và

0 0

(( , ), ( , )) 1

d x y x y = với mọi

0, , ( )

x xS yH x và y0H x( 0) ,

H

là

K

-lồi trên

S

.

Ví dụ 3.1. Tập S =]0, 2[]3,5[ là tập hình sao
địa phương trên nhưng không phải là tập lồi trên

Ví dụ 3.2. (Lalitha and Arora, 2008) Nếu

K= + thì ánh xạ đa trị : 2

Y

H S → là

K

-tựa lồi
nửa địa phương trên

S

, trong đó S =[0, 1] và

1 2 1 2

1 2 2

{( , ) | 1}, khi [0,

( ) 1[

{( , ) | 2} , khi 1.
x

x

y y y y

H x

y y y

   


= 

 

 =

Tuy nhiên,

H

khơng là

K

-lồi, vì với x =0,

0 1,

x = 4 4,

3 3

y=  

 , 0

( )

4 7
,
3 3

y = − H x

  và

1
2

 = , 0

(1 ) 0, ( )

y y   H S K

−  +  =  +

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Mệnh đề 3.2. Cho H S: X →2Ylà ánh xạ

đa trị (x0,y0)grH. Nếu H là K-tựa lồi nửa địa

phương xác định trên tập hình sao S và

0 0

( , )( )

C

y
x

D H+ x tồn tại với mỗi

x S



thì

0 0 0 0

( ) C ( , )( ), .

H x −y D H+ x y x−x  x S

Chứng minh. Với

x S



và yH x( ), cần
chứng minh 0 ( 0, 0)( 0)

C

y−y D H+ x y x−x , nghĩa
là ( 0, 0) (epi ,( 0, 0))

C

x−x y−y T H x y .

Lấy (xn,yn)→(x0, y0) với (xn, yn)epiH và 
n

t → 

với t n 0. Do

S

là tập hình sao địa phương

nên tồn tại một số thực a x( , xn)1 sao cho

(1− )xn+  x X

với 0  a x x( , n). Rõ ràng là

) ( )
(

yH x H S +K

và

( ) ( )

n n

y H x +KH S +K

do (xn,yn)epiH. Tập H S( )+K là tập hình

sao địa phương vì

H

là ánh xạ đa trị

K

-tựa lồi
nửa địa phương, và do đó tồn tại một số thực dương

( , n) 1

b y y  sao cho (1−)yn+  y H S( )+K với

0  b y y( , n). Với mỗi n xác định

( , , n, n) min{ ( , n), ( , n)}

c x y x y = a x x b y y . Khơng

mất tính tổng qt, có thể giả sử rằng

0 1/ tn c x y x( , , n, yn) với mỗi n. Đặt

(1 1/ ) (1/ )

n n n n

x = − t x + t x

và yn= −(1 1/tn)yn+(1/tn)y,

với 0 1/ tn c x y x( , , n, yn). Do đó, với mỗi n

, ta có xnS y, nH x( n)+K, { } →xn x0,

{ } →yn y . Điều này kéo theo (xn,yn)epiH,

0 0)

(x y, )→(x y, và

0 0

( , ) ( , ) ( , )

{ − }→ − −

n n n n n

t x y x y x x y y .

Định nghĩa 3.2. (Lalitha and Arora, 2008) Bài

toán (WSOP) thỏa mãn định tính ràng buộc Slater
dạng tổng quát nếu tồn tại

x

'



X

sao cho

( ') ( int )

G x  − D  .

Mệnh đề 3.3. (Điều kiện cần dạng 
Karush-Kuhn-Tucker)

Giả sử ( , ) : 2Y 2Z

F G X →  là ánh xạ đa trị

(KD)-tựa lồi nửa địa phương xác định trên tập
hình sao S, trong đó

{ | ( ) ( ) }

A= x X G x  −D   S và S là tập con

của X và (WSOP) thỏa định tính ràng buộc Slater
dạng tổng quát. Nếu (x0, y0) là một nghiệm địa
phương của (WSOP) thì tồn tại k* K \ {0Y*}

 và

d D+ sao cho với mọi

0 0 0

( , ) C( , ) ( , , )( )
y z D F G + x y z X ,

*, *, 0

k y + d z  và d*,z0 =0.

Chứng minh. Do (x0, y0) là nghiệm của

(WSOP), nên theo Mệnh đề 3.1, tồn tại

* *

( *, *) \ {(0 , 0 )}

Y Z

k d K+D+ sao cho với mọi

0 0 0

( , ) C( , ) ( , , )( )
y z D F G + x y z X ,

*, *, 0

k y + d z  và d*,z0 =0.

Áp dụng Mệnh đề 3.2 cho ánh xạ đa trị ( , )F G ,
với mỗi ( , ) ( ) ( )

x X

y z F x G x





 , thì

0 0 0 0 0 0

( , ) ( , ) C( , ) ( , , )( )
y z − y z D F G + x y z x−x .

Điều này dẫn đến k*,y−y0 + d*,z−z0 0,

và do đó k*,y−y0 + d*,z 0.

Giả thiết phản chứng k =* 0Y* thì d * 0Z*và do

đó

*, 0, ( )




 

x X

d z z G x (7)

Do (WSOP) thỏa mãn định tính ràng buộc Slater
dạng tổng quát nên tồn tại

x

'



X

sao cho

( ') ( int )

G x  − D  , nghĩa là tồn tại

' ( ') ( int )

z G x  − D . Do z' −( intD) nên ta có

*, ' 0

d z  với ' ( ') ( )

x X

z G x G x



  , mâu thuẫn

với (7). Do đó, ta có k * 0Y*dẫn đến điều phải

chứng minh.

Mệnh đề 3.4. (Điều kiện đủ dạng KKT)

Cho ( , ) : →2Y2Z

F G X là ánh xạ đa trị

(KD)-tựa lồi nửa địa phương xác định trên tập

hình sao S, trong đó

{ : ( ) ( ) }

=   −   

A x X G x D S và S là tập con 
của X. Nếu x0A y, 0F x( 0), z0G x( )0  −( D),

( *,k d*)K+\ {0Y }D+ thỏa

*, + *, 0

k y d z và d*,z0 =0 (8)

với mọi ( , ) ( , ) ( 0, 0, 0)( )
C

y z D F G + x y z X , thì

0 0

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Chứng minh. Giả sử (x0, y0) không là một
nghiệm của (WSOP). Khi đó, tồn tại

x



A

sao cho

(F x( )−y0) −( intK) .

Do đó, tồn tại yF x( ) và zG x( ) − sao ( D)

choy−y0 −intK.

Lưu ý rằng do k*K+\{ }0 , nên

*, 0

k y−y 

Theo Mệnh đề 3.2 ta có:

0 0 ( , 0 0 0 0

( , )( ) ( , ) C ) ( , , )( ).

F G x − y z D FG + x y z x−x

Điều này cùng với (8) suy ra rằng

0 0

*, *, 0.

k y−y + d z−z 
Do d*,z0 =0 và

z

−

D

, nên

0 0

*, *, *, 0,

k y−y  − d z−z = − d z 
dẫn đến mâu thuẫn.

Định nghĩa 3.3. (Jahn and Khan, 2002; Jahn,

2009) Ánh xạ đa trị F X →: 2Y được gọi là



-tựa
lồi tại điểm (x0,y0) nếu sự tồn tại điểm

x



A

, với

xx và

(

F x

( )

−

 

y

0

)

  

dẫn đến
( 0, 0)( 0)

C

D F+ x y x−x    .

Mệnh đề 3.5. (Điều kiện đủ dạng KKT) Giả sử

A−x X với ( ,x y z0 0, 0)gr( , )F G . Nếu tồn tại

* \ {0 }

Y

k K+ và d*D+ sao cho d*,z0 =0

và điều kiện sau thỏa:

*, *, 0

k y + d z  , với mọi

0 0 0 0

( , ) C( , ) ( , , )( )

y z D F G + x y z x−x , (9)

với mọi

x



A

.

Khi đó, điểm (x0, y0) là điểm cực tiểu nếu ánh

xạ ( , )F G là



-tựa lồi tại (x0, y0,z0) với

( ) ( 0 0 )

: K\ {0 }Y D cone(z ) cone(z )

 = −  − + − .

Chứng minh. Đặt

( )



0 0



: x A |G x( ) D cone(z) cone(z)

 =   − + −  

Đề chứng minh Mệnh đề cần kiểm tra điểm

0 0

(x , y ) là điểm cực tiểu của

F

trên



và do

A  

nên (x0, y0) cũng là điểm cực tiểu của bài

toán (WSOP). Trước hết, kiểm tra khẳng định với
mỗi

x



A

, điều kiện sau đây thỏa:

0 0 0 0

( , ) ( , , )( )

C

D F G + x y z x−x   = .

Thật vậy, nếu khẳng định nêu trên không thỏa,
thì tồn tại

x



A

và

0 0 0 0

( , ) C( , ) ( , , )( )

y z D F G + x y z x−x  

và hơn nữa suy ra y  −K\ {0 }Y và
( cone( 0) cone( 0))

z − +D z − z .

Bởi vì * \ {0 }
*
k K

Y
+

 và d*,z0 =0, nên

*, *, 0

k y + d z  ,mâu thuẫn với (9). 
Do đó ( , ) ( 0, 0, 0)( 0)

C

D F G + x y z x−x   = 
và khẳng định này cùng với tính



-tựa lồi của

( , )F G dẫn đến



(F,G)( )x −{(y0,z0)}



  = , với mọi

x



A

Điều này suy ra không tồn tại

x



A

sao cho
(F( )x −{y0}) ( −K\ {0Y}) 

và (G x( )−z0) ( − +D cone(z0)−cone(z0)) .

Từ đây, suy ra rằng (x0, y0) cũng là điểm cực
tiểu của bài toán (WSOP).

4 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU MOND-WEIR

Trong phần này, luôn giả sử là ( ', ')x y gr ,F

' ( ')

z G x  −D và

dom C( , ) ( ', ', ')
x y

D F G + z =X . Bài toán đối ngẫu
Mond-Weir (Mond and Weir, 1981) của (WSOP) sử
dụng đạo hàm đa trị Clarke ký hiệu là (MWDP) xác
định bởi

WMax ( ', ', ', *, *) ',

s.c. *, *, 0,

( , ) ( ', ', ')( ),

*, ' 0,

( *, *) ( \ { ) .
( , )

0}
K

x X
C
h x y z k d y

k y d z

D

y z F G x y z x

d z

k d K D



+ +

 =



 + 

  




 



  



</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

: {( ', ', ', *, *) ( \ {0}) |

MW x y z k d X Y Z K D

+ +

 =     

*, ' 0, *, *, 0 , ( , )

( ', ', ')( ) .

( , )

}

x X
C
D

d z k y d z y

F G

z
x y z x

+


 +  



Điểm

(

x y z k d', ', ', *, *

)

MWlà nghiệm của
bài toán (MWDP) nếu, với mọi y'F x( ') với

( ', ', ', *, *)x y z k d MW, ta có

(

h x y z k d( ', ', ', *, *)−h x y z k d( ', ', ', *, *)

)

int K= 

Mệnh đề 4.1. (Đối ngẫu yếu)

Giả sử ( ,F G) :X →2Y2Z là ánh xạ đa trị

(KD)-tựa lồi nửa địa phương xác định trên tập

hình sao S, trong đó

{ : ( ) ( ) }

A= xX G x  −D   S và S là tập con 
của X. Nếu ( , )x y , ( ', ', ', *, *)x y z k d MW

thì

( ', ', ', *, *) int

y−h x y z k d  − K.
Chứng minh. Giả thiết phản chứng

( ', ', ', *, *) int

y−h x y z k d  − K, nghĩa là

' int

y− −y K

Khi đó, vì k* K \ {0 }Y*
+

 nên

*, ' 0

k y−y  . (10)

Do ( , )x y , nên G x( ) −   và ( D)

( )

yF x . Theo Mệnh đề 3.2,

', ' ( , )

( , )( ) ( ) C ( ', ', ')( ' .)
y z D F G x y z

x x

F G −  + x−

Bởi vì G x( ) −( D) , nên tồn tại
( ) ( D)

zGx  − và từ d*D+, d*,z 0.

Do ( ', ', ', *, *)x y z k d MW, nên d*,z' 0,

dẫn đến d*, z−z' = d*,z − d*,z' 0.

Hơn nữa, từ ( ', ', ', *, *)x y z k d MW và

( ', ') ( , )( ) ( ', ')

( , ) ( ', ', ')( '),

C

y z

D F G x y z x
y y z z F G x

x

− −  −

 −

dẫn đến

*, ' *, ' 0

k y−y + d z−z  .
Khi đó, suy ra được

*, ' *, ' 0,

k y−y  − d z−z 

mâu thuẫn với (10).

Mệnh đề 4.2. (Đối ngẫu mạnh)

Giả sử ( , ) : 2Y 2Z

F G X →  là ánh xạ đa trị

(KD)-tựa lồi nửa địa phương xác định trên tập
hình sao S, trong đó

{ : ( ) ( ) }

A= xX G x  −D   S và S là tập con
của X và (WSOP) thỏa định tính ràng buộc Slater
dạng tổng quát. Nếu (x y0, 0) là nghiệm địa
phương của bài tốn (WSOP) thì tồn tại

( *, *)k d K+\ {0 }Y D+ sao cho (x0,y0,z0, *, *)k d
là nghiệm của (MWDP).

Chứng minh. Theo Mệnh đề 3.3, tồn tại

( *, *)k d K+\ {0 }Y D+

sao cho với mọi

0 0 0

( , ) C( , ) ( , , )( )
y z D F G + x y z X ,

*, *, 0

k y + d z  và d*,z0 =0,

và do đó (x0,y0,z0, *, *)k d  MW.

Mệnh đề thỏa nếu chứng minh được

0 0 0

(x,y,z , *, *)k d là nghiệm của (MWDP). Giả thiết
phản chứng (x0,y0,z0, *, *)k d không là nghiệm của

(MWDP), nghĩa là tồn tại y'F x( ')với

( ', ', ', *, *)x y z k d MWsao cho

(

h x y z k d( ', ', ', *, *)−h x y z k d( ,0 0, 0, *, *)

)

int K= 

Khi đó, tồn tại y'F x( ')với

( ', ', ', *, *) x y z k d MWsao cho y'− y0 intK.

Do đó, tồn tại (x y0, 0) và

( ', ', ', *, *)x y z k d MWsao cho y0−  −y' int ,K
mâu thuẫn với Mệnh đề 4.1.

Mệnh đề 4.3. (Đối ngẫu ngược)

Cho( ', ')x y gr ,F z'G x( ') −Dvà

( ', ', ', *, *)x y z k d MW. Nếu ( , ) : 2Y 2Z

F G X → 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Chứng minh. Vì ( ', ')x y gr ,F

' ( ') −

z G x Dvà ( ', ', ', *, *) x y z k d MWnên

( *, *)k d K+\ {0 }Y D+ và k*,y + d*,z 0,

( , ) C( , ) ( ', ', ')( )

x X

y z D F G+ x y z x



  và d*,z' 0.

Chứng minh tương tự Mệnh đề 3.4, ta có ( ', ')x y

là một nghiệm của (WSOP).

5 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU WOLFE

Trong phần này, luôn giả sử là

( ', ')x y gr ,F z'G x( ') −D, k0K\ {0} là một
điểm cố định và domDCK D ( ,F G) ( ',+ x y z', ')=X.
Bài toán đối ngẫu Wolfe (Wolfe, 1961) của (WSOP)
sử dụng đạo hàm đa trị Clarke ký hiệu là (WDP) xác
định bởi

1 0

WMax ( ', ', ', *, *) ' *, ' ,

s.c. *, *, 0,

( , ) ( ', ', ')( ),

*, 1,

( *, *)

( ,

( \ {0}) .
)
K

x X
C
D F

h x y z k d y d z k

k y d z

y z x y z x

k k

k d K D

G



 = +



 + 

  




 =



  



Tập các điểm chấp nhận được của bài toán
(WDP) ký hiệu và xác định bởi

: {( ', ', ', *, *) ( \ {0}) |

W x y z k d X Y Z K D

+ +

 =     

*, 1, *, *, 0 , ( , )

( ', ', ')( ) .

( , ) }

x X
C
D

k k k y d z y

F G

z
x y z x

+


= +  



Điểm

(

x y z k d', ', ', *, *

)

 là nghiệm của bài W
toán (WDP) nếu, với mọi ( ', ', ', *, *)x y z k d W, ta
có

(

h x y z k d1( ', ', ', *, *)−h x y z k d1( ', ', ', *, *)

)

int K.

Mệnh đề 5.1. (Đối ngẫu yếu)

Giả sử ( , ) : 2Y 2Z

F G X →  là ánh xạ đa trị

(KD)-tựa lồi nửa địa phương xác định trên tập 
hình sao S, trong đó A= {x X G x: ( ) −   ( D) } S
và S là tập con của X. Nếu ( , )x y ,

( ', ', ', *, *)x y z k d W thì

1( ', ', ', *, *) int

y−h x y z k d − K.

Chứng minh. Đầu tiên, do

x X



và
( ) ( )

G x  −D  , từ Mệnh đề 3.2 dẫn đến
( )( ) ( )

(

F G, x y z', '

)

DC(F G, ) (x y z', ', ')(x x' .)

−  −

Lấy zG x( ) ( −D), do ( , )x y  và ràng
buộc đầu tiên của bài toán (WDP) dẫn đến

*, ' *, ' 0

k y−y + d z−z 

. (11)

Giả thiết phản chứng

1( ', ', ', *, *) i tn

− −

y h x y z k d K, nghĩa là

(

'

*, ' .

)

int

y

− +

y

d z

k

−

K

.

Bởi vì

z

−

D

và d*D+ nên d*,z 0. Do

đó, d*,z .k0 −K và

(

)

0 0

' *, ' .

*, . ' *, ' .

int int .
y y d z z k

y d z k y d z k

K K K

− + −

= + − +

 − −  −

Do k*K+\ 0 Y* , nên

*,

'

*,

' .

0 k y y

− +

d z z k

−



,
và từ k*,k0 =1, suy ra

*, ' *, ' *,

*, ' *, ' 0,

k y y d z z k k

k y y d z z

− + −

= − + − 

mâu thuẫn với (11). Do đó, thu được kết luận

1( ', ', ', *, *) int

h x y z k d

y− − K.

Mệnh đề 5.2. (Đối ngẫu mạnh)

Giả sử ( , ) : 2Y 2Z

F G X →  là ánh xạ đa trị

(KD)- tựa lồi nửa địa phương xác định trên tập
hình sao S, trong đó A= {x X G x: ( ) −   ( D) } S

và S là tập con của X và (WSOP) thỏa định tính ràng

buộc Slater dạng tổng quát. Nếu (x y0, 0) là
nghiệm địa phương của bài toán (WSOP) thì
tồn tại( *, *)k d K+\ {0 }Y* D+ sao cho ( ,x y z k d0 0, 0, *, *)

là nghiệm của (WDP).

Chứng minh. Theo Mệnh đề 3.3, tồn tại

ˆ ˆ

( *, *)k d K+\ {0 }Y D+sao cho với mọi

0 0 0

( , )y z DC( ,F G) (+ x,y,z )(X), 
ˆ*, ˆ*, 0

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Do k0K\ {0} và kˆ*K+\ {0}nên ta có

: k k*, 0

 =  . Đặt ( *, *)k d =1 ˆ ˆ( *, *)k d
 , thì

( *,k d*) K \ {0 }Y D

+ +

  ,

0 0

1 ˆ 1

*, *, . 1

k k = k k =  =

  .

Hơn nữa, ( , )y z DC( , ) ( ',x y z', ')(x)

x X F G

 

 +

(

)

1 ˆ ˆ

*, *, *, *, 0

k y + d z = k y + d z 

 .

Do đó, tồn tại ( *, *)k d K+\ {0 }Y* D+ sao cho

(

x0,y0,z k0, *, *d

)

là điểm chấp nhận được của bài

toán (WDP) và d*,z0 =1 ˆd*,z0 =0.

Tiếp theo, cần chứng minh (x0,y0,z0, *, *)k d là

nghiệm của (WDP). Giả thiết phản chứng tồn tại

( ', ', ', *, *)x y z k d W sao cho

1( ', ', ', *, *) 1( 0, 0, 0, *, *) int ,

h x y z k d −h x y z k d  K

nghĩa là

( ', ', ', , ) (

y

d z

*,

. ) int

h

x

y

z k

d

−

+

k



K

Từ

d z

*,

=

0

suy ra rằng

0
1( ', ', ', *, *) int

h x y z k d −y  K,
hay tương đương với

0 1( ', ', ', *, *) int ,

y −h x y z k d − K

mâu thuẫn với Mệnh đề 5.1.

Mệnh đề 5.3. (Đối ngẫu ngược)

Cho( ', ')x y gr ,F z'G x( ') −Dvà

( ', ', ', *, *)x y z k d W. Nếu ( ,F G) :X →2Y2Z
là ánh xạ đa trị (KD)- tựa lồi nửa địa phương xác
định trên tập hình sao S, (WSOP) thỏa định tính ràng
buộc Slater dạng tổng quát và d*,z' =0 thì

( ', ')

x y

là nghiệm của bài tốn (WSOP).

Chứng minh. Vì ( ', ')x y gr ,F z'G x( ') −D

và ( ', ', ', *, *)x y z k d  W nên

( *, *)k d K+\{0Y*}D+ thỏa k*,k0 =1 và

*, *, 0

k y + d z 

( , ) C( , ) ( ', ', ')( )

x X

y z D F G + x y z x



  và

*, 0

d z = .

Chứng minh tương tự Mệnh đề 3.4, ta có ( ', ')x y

là một nghiệm của (WSOP).

6 KẾT LUẬN

Trong bài báo này, điều kiện tối ưu cần và đủ cho

bài toán tối ưu đa trị có ràng buộc sử dụng đạo hàm
đa trị Clarke theo hướng nón cho lớp hàm gần lồi
nửa địa phương đã được khảo sát. Sau đó, các bài
tốn đối ngẫu dạng Mond-Weir và Wolfe cho bài
toán tối ưu đa trị có ràng buộc và các định lý về đối
ngẫu yếu, đối ngẫu mạnh và đối ngẫu ngược sử dụng
dạng đạo hàm đa trị Clarke theo hướng nón được
trình bày. Trong bài báo của Tung et al. (2019), đạo
hàm tiếp liên và các giả thiết lồi đã được sử dụng để
khảo sát điều kiện tối ưu và bài toán đối ngẫu cho
bài toán tối ưu tập. Sử dụng đạo hàm đa trị Clarke
để giảm nhẹ các giả thiết lồi trong điều kiện tối ưu
và bài toán đối ngẫu cho bài toán tối ưu tập trong
cơng trình của Tung et al. (2019) là một chủ đề thú
vị trong các nghiên cứu tiếp theo.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Anh, N.L.H., 2016. Mixed type duality for
set-valued optimization problems via higher-order
radial epiderivatives. Numerical Functional
Analysis and Optimization. 37(7): 823–838.
Arora, R. and Lalitha, C.S., 2005. Proximal proper

efficiency in setvalued optimization. Omega 
-The International Journal of Management
Science. 33(5): 407–411.

Aubin, J.P. and Frankowska, H., 1990. Set-Valued
Analysis. Birkhäuser, Boston, 461 pages.

Chen, C.R., Li, S.J. and Teo, K.L., 2009. Higher order

weak epiderivatives and applications to duality and
optimality conditions. Computers & Mathematics
with Applications. 57(8): 1389–1399.

Clarke, F.H., 1983. Optimization and nonsmooth
analysis. John Wiley, New York, 321 pages. 
Corley, H.W., 1988. Optimality conditions for

maximizations of set-valued functions. Journal of
Optimization Theory and Application. 58(1): 1–10.
Jahn, J., 2009. Vector Optimization. Springer,

Berlin, 481 pages.

Jahn, J. and Khan, A.A., 2002. Generalized contingent
epiderivative in set-valued optimization:

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Khan, A.A., Tammer, C. and Zănilescu, C., 2016.
Set-Valued Opimization. Springer, Berlin, 765 pages.
Lalitha, C.S. and Arora, R., 2008. Weak Clarke

epiderivative in set-valued optimization. Journal
of Mathematical Analysis and Applications.
342(1): 704–714.

Lalitha C.S. and Arora, R., 2009. Proper Clarke
epiderivative in set-valued optimization. Taiwanese
Journal of Mathematics. 13(6A): 1695–1710.

Li, S.J, Teo, K.L. and Yang X.Q., 2008.

Higher-order Mond–Weir duality for set-valued
optimization. Journal of Computational and
Applied Mathematics. 217(2): 339–349.

Mond, B. and Weir, T., 1981. Generalized concavity
and duality. In: S. Schaible, W.T. Ziemba (Eds.),
Generalized Concavity in Optimization and
Economics, Academic Press, New York. 263–279.
Sach, P.H. and Craven, B.D., 1991. Invexity in

multifunction optimization. Numerical Functional
Analysis and Optimization. 12(3–4): 383–394.

Wolfe, P., 1961. A duality theorem for nonlinear
programming. Quarterly of Applied
Mathematics. 19(3): 239–244.

Tung, L.T., 2017. Strong Karush-Kuhn-Tucker
optimality conditions and duality for nonsmooth
multiobjective semi-infinite programming via
Michel-Penot subdifferential. Journal of
Nonlinear Functional Analysis. 2017: 1–21.
DOI: 10.23952/jnfa.2017.49

Tung, L.T., Khai, T.T., Hung, P.T. and Ngoc, P.L.B.,
2019. Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions
and duality for set optimization problems with
mixed constraints, Journal of Applied and

Numerical Optimization. 1(3): 277–291.
Yu, G. and Kong, X., 2016. Optimality and duality

</div>

<b>ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ ĐỐI NGẪU CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA TRỊ SỬ DỤNG </b>

<b>ĐẠO HÀM ĐA TRỊ CLARKE THEO HƯỚNG NÓN </b>

<i>x x</i>

,

<i>x </i>

<i>x</i>

( )









( )

(

)









(

)

(

)





(

)





(

)





( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

 

)

( )

(

) (

)

( )

(

)

(

 

)

( )

(

)

( )





( )

( )





( )

( )





( )

( )

(

)

(

)

(

)

( )

(

( )

)

(

)( )