Đề và đáp án casio toán 12 Hải Dương

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
NĂM HỌC 2009-2010
MÔN TOÁN LỚP 12 THPT
Ngày 08 tháng 01 năm 2010
(Thời gian làm bài 150 phút)
Sử dụng máy tính cầm tay giải các bài toán sau đây (Cần trình
bày sơ lược cách giải; Phần thập phân trong kết quả tính toán không
làm tròn).
Bài 1(5 điểm)
Cho hàm số
2
4 2
2 3 1
4 5
x x
y
x x
− +
=
+ +
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại điểm có hoành độ
3 5x
= −
.
Bài 2(5 điểm)
Cho hàm số

4 2
sin (2 1) 5sin (2 1) 4y x x= + − + +
(1)
a) Tìm cực trị của hàm số (1).
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (1).
Bài 3(5 điểm)
Giải phương trình:
1 1 1
-
sinx cosx 2
=
Bài 4(5 điểm)
Xét các tam giác ABC có một góc không nhỏ hơn 150
0
; Hãy tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức sau:
M cosA + cosB + cosC
=
.
Bài 5(5 điểm)
Cho S(x;n) =
2 1
1
n
k k
n
k
k C x
−
=

∑
a)Rút gọn S(x;n).
b)Tính giá trị S(x;n) với x =
812
2009
; n = 20.
Bài 6(5 điểm)
a) Giải phương trình:
2,1
log 6x x
= −
.
b) Giải phương trình:
2,1 4,2 3,3 5,6
log log ( 2) log ( 1) log ( 3)x x x x
+ + = + + +
.
Bài 7(5 điểm)
Đặt I(m) =
1
0
x x mdx
−
∫
( m là tham số).
a) Tính I(
1
2
).
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của I(m) khi m thay đổi.

Bài 8(5 điểm)
Cho chóp tam giác đều S.ABC; AB = 5 cm; SA = 7,5 cm. Điểm M
thuộc miền tam giác ABC; kẻ MA’ song song với SA, cắt mặt phẳng (SBC)
tại A’; MB’ song song với SB, cắt mặt phẳng (SAC) tại B’; MC’ song song
với SC, cắt mặt phẳng ( SAB) tại C’. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ
diện MA’B’C’.
Bài 9(5 điểm)
Cho dãy số
{ }
n
U
:
2 1
1 2 3 3 2 1
2 1
2 3 ( 3 ; *)
1; 2; 3;( *) 2 3 1 ( 3 1; )
3 2 ( 3 2; )
n n n
n n n n
n n n
U U U n k k N
U U U n N U U U U n k k N
U U U n k k N
+ +
+ + +
+ +
+ + = ∈



= = = ∀ ∈ = + + = + ∈


+ + = + ∈

Lập quy trình bấm phím liên tục tính
( *)
n
U n N∀ ∈
. Tính chính xác
24
U
.
Bài 10(5 điểm)
Cho hệ phương trình:
2 2
2
1
25 9
4 8
x y
y x x

+ =



= +

a) Chứng minh hệ đã cho có 4 nghiệm (

; )( 1;2;3;4)
i i
x y i =
thỏa mãn:

1 2 3 4
5 2 1 0 1x x x x− < < − < < − < < < <
.
b) Giải hệ đã cho.
HẾT
Họ và tên thí sinh:................................................
Số báo danh:............................
Họ tên và chữ ký giám thị 1:.....................................................
Họ tên và chữ ký giám thị 2:.....................................................
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN THPT(8/1/2010)
(Viết trên máy CASIO FX 570 ES)
(Để cho tiện, trong hướng dẫn này các giá trị gần đúng cũng viết bởi
dấu bằng)
Bài 1(5đ)
Tập xác định:R
(3 5) 0,044980205y B
− = − →
;
'(3 5) 0,043249967y A
− = →
B - A(3- 5 ) = - 0,078020240
PT Tiếp tuyến cần tìm: y = 0,043249967 x – 0,07802024
Bài 2(5đ)
' 2sin(4 2)( os(4x+2)+4)= - sin(8x+4) - 8sin(4x+2)y x c
= − +

Y’=0
2
4 2
4
k
x k x
π
π
−
⇔ + = ⇔ =
Y”=
8cos(8 4) 32cos(4 2)x x
− + − +
Y”(
2
4
k
π
−
)=
24( 2 1)
40( 2 )
k l
k l
= +


− =

.

Do đó
D
1 (2 1) 2
( ) 4; ( ) 0
2 4
C CT
l l
y y y y
π π
− + −
= = = =
;
1,570796327. 0,5
CD
x l= −
;
0,7853981634.(2 1) 0,5
CT
x l= + −
Bài 3(5đ)
ĐK: sinx, cosx
≠
0
Pt trở thành: 2(cosx-sinx)=sinx cosx.
Đặt t = cosx-sinx =
2 os(x+ ); 2
4
c t
π
≤

. PT trên trở thành: t
2
+4t -1=0

1 2
2 5; 2 5t t
= − − = − +
. Loại t
1
Thay và giải tiếp có:
0,617687809 2
2,188484136 2
x k
x k
π
π
= +


= − +

Các nghiệm trên đều thỏa đk vì nếu sinx hoặc cosx bằng 0 thì sinxcosx=0
hay
2
1
0 1
2
t
t
−

= ⇒ = ±
trái với t=t
2
=
5 2
−

Bài 4(5đ)
Không mất tổng quát giả sử A
0 0 0 0
150 75 90 sin 75 sin 1
2 2
A A
≥ ⇒ ≤ < ⇒ ≤ <
Có M = cosA+2
A
cos cos osA+2sin
2 2 2
B C B C
c
+ −
≤
. Dấu bằng có
B C
⇔ =
Nên M
2
2sin 2sin 1
2 2
A A

≤ − + +
.
Xét hàm số
2
( ) 2 2 1f t t t= − + +
; lập bảng biến thiên suy ra M
0
( ) (sin 75 ) 1,065826249f t f≤ ≤ =
;
Vậy M lớn nhất bằng
1,065826249
khi B=C và A= 150
0
và các hoán vị của
nó.
Bài 5(5đ)
a)Có (1+x)
n
=
0
( )
n
k k
n
k
C x x
=
∀
∑
1 1

1
(1 ) ( )
n
n k k
n
k
n x kC x x
− −
=
⇒ + = ∀
∑
1
1
.(1 ) ( )
n
n k k
n
k
nx x kC x x
−
=
⇒ + = ∀
∑

2 1 1 2
1
( ; ) ( ) (1 ) ( 1) (1 )
n
k k n n
n

k
S x n k C x x n x n n x x
− − −
=
⇒ = ∀ = + + − +
∑
b) Do đó tổng cần tìm S =
19 18
812 812 812
20(1 ) 20.19. .(1 ) 81828,73161
2009 2009 2009
+ + + =
Bài 6(5đ)
a) ĐK x>0
Chứng tỏ rằng pt có không quá một nghiệm.
Bấm:
2,1
log 6 ; SOLVE; X? ; 1; =x x SHIFT
− +
Nghiệm duy nhất là x= 4,098675275
b) TXĐ: x>0
Chuyển vế (sang trái)pt ; Xét đạo hàm vế trái; chứng tỏ được đạo hàm
luôn dương.
PT có không quá một nghiệm làm như câu a)
Pt có nghiệm duy nhất: x= 1,901665855
Bài 7(5đ)
a) I(
1
2
)=

1/ 2 1
2 2
0 1/ 2
1
( ) ( ) ...
2 2 8
x x
x dx x dx
− + − = =
∫ ∫
b) I(m)=
( )
( )
( ) ( )
1
2
0
1
2
0
1
3
2 2
0
1
( 0)
3 2
1
( 1)
2 3

1
(0 1)
3 2 3
m
m
m
x mx dx m
m
x mx dx m
m m
x mx dx x mx dx m

− = − ≤




− + = − ≥




− + + − = − + < <


∫∫
∫
∫ ∫
Lập bảng biến thiên của hàm I(m) ta có giá trị nhỏ nhất của I(m) bằng
2 2

0,09763107294
6
−
=
khi m=
1
0,7071067812
2
=
Bài 8(5đ)
Goị I là giao của AM và BC thì S,A’, I
thẳng hàng. Lấy A” đối xứng với A’
qua trung điểm O của SM thì MA’ song
song và bằng SA”
Theo Talet có
" '
MBC
ABC
S
SA MA IM
SA SA IA S
∆
∆
= = =

Hoàn toàn tương tự , viết hai hệ thức
nữa , cộng lại ta có
" " "
1
SA SB SC

SA SB SC
+ + =

. ' ' ' . " " "
. .
". ". " 1
. . 27
M A B C S A B C
S ABC S ABC
V V
SA SB SC
V V SA SB SC
⇒ = = ≤

( BĐT Cô- Si)
Hay
3
. ' ' ' .
1
0,1974766033( )
27
M A B C S ABC
V V cm
≤ =
( Chứng tỏ được
2 3
.
1 5 3 5
. . 7.5 5,331868288( )
3 4 3

S ABC
V cm
= − =
)
Dấu bằng có khi
1
;
3
MI
IA
=
và hai đẳng thức tương tự
M
⇔
là trọng tâm tam
giác ABC
Bài 9(5đ)
1 ;2 ;3 ;1 ;2 ;3A B C X Y D
→ → → → → →
X=X+3:A=2C+3B+A:Y=Y+3+B=3A+C+2B:D=D+3:C=B+2A+3C
CACL; =; =;=; ….
Có U
21
=693778661 ; U
22
= 2664501411; U
23
= 9465552718
Thay vào công thức có U
24

= 16875891523 (Bấm trực tiếp chỉ cho gần đúng-
Tràn máy).
Bài 10(5đ)
a) Thay y=4x
2
+ 8x vào Pt thứ nhất ta có:
400x
4
+ 1600x
3
+1609x
2
- 225=0(*)
C1: Dùng bảng biến thiên f(x)= VT(*)
C2: f(-5)=90000>0;f(-2)=-189<0;f(-1)=184>0;f(0)=-225<0;f(1)=3384>0
Và dùng tính chất hàm số liên tục suy ra điều phải chứng minh.
O
A
B
C
S
I
M
A'
A"