Phương pháp giải hệ đẳng cấp - Phạm Thành Luân

91
Bài 4:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Dạng:
f(x,y) a
g(x,y) b
=
⎧
⎨
=
⎩
với
2
2
f(tx,ty) t f(x,y)
g(tx,ty) t g(x,y)
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩

2. Cách giải:
* Tìm nghiệm thỏa x = 0 (hay y = 0)
* với
x0≠
( hay

y0≠
), đặt
ytx=
(hay
xty=
)
* Đối với hệ
22
22
1111
ax bxy cy d 0
ax bxy cy d 0
⎧
+++=
⎪
⎨
+++=
⎪
⎩

Ta có thể khử y
2
(hay x
2
) rồi tính y theo x ( hay x theo y) rồi thay vào
một trong 2 phương trình của hệ.
II. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1:
Cho hệ phương trình:
22

22
3x 2xy y 11
x 2xy 3y 17 m
⎧
++=
⎪
⎨
++=+
⎪
⎩

1. Giải hệ phương trình với m = 0
2. Với những giá trò nào của m thì hệ có nghiệm ?
(ĐH Kinh Tế TPHCM năm 1998, Khối A)
Giải
1. m = 0 : Hệ
22
22
3x 2xy y 11
(I)
x 2xy 3y 17
⎧
++=
⎪
⇔
⎨
++=
⎪
⎩

Nhận xét x = 0 không là nghiệm của hệ .
Đặt y = tx
Hệ
2222
2222
3x 2tx t x 11
(I)
x2tx3tx17
⎧
++=
⎪
⇔
⎨
++ =
⎪
⎩
22
22
x(3 2t t) 11 (1)
x(1 2t 3t) 17 (2)
⎧
++ =
⎪
⇔
⎨
++ =
⎪
⎩

92
(1) chia (2):
2
2
32tt 11
17
12tt
++
=
++
2
5
16t 12t 40 0 t 2 t
4
⇔ −−=⇔=∨=−

.
22
t 2 : (2) x .11 11 x 1 x 1= ⇔=⇔=⇔=±y2x 2⇒= =±
.
2
543
t:(2)3x16x
43
=− ⇔ = ⇔ =±
553
yx
43
⇒=− =∓
Tóm lại có 4 nghiệm: (1, 2), (-1, -2),

43 53 4353
,,,
33 33
⎛⎞⎛⎞
−−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

2. Đặt 17 + m = k. Hệ
22
22
3x 2xy y 11
x2xy3yk
⎧
+ +=
⎪
⇔
⎨
+ +=
⎪
⎩

Đặt y = tx
⇒
Hệ:
22
22
x(3 2t t) 11 (4)
x(1 2t 2t) k (5)

⎧
++ =
⎪
⎨
++ =
⎪
⎩

2
2
2
(4) 3 2t t 11
: (k 33)t 2(k 11)t 3k 11
(5) k
12t3t
++
=⇔− + − +−=
++

* k = 33:
m16,⇒=
phương trình (6) có nghiệm t = - 2
*
k33:(6)≠
có nghiệm:
2
' (k 11) (k 33)(3k 11) 0⇔ ∆= − − − − ≥
2
k44k1210= −+≤

22 11 3 k 22 11 3
⇔− ≤≤+

với k = m + 17.
22 11 3 m 17 22 11 3
5113 m 5113
⇔− ≤+≤+
⇔− ≤ ≤+

Ví dụ 2:

Với giá trò nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm.
2
2
xy y 12
xxym26
⎧
−=
⎪
⎨
− =+
⎪
⎩

Giải
Hệ
y(x y) 12 (1)
x(x y) m 26 (2)
−=
⎧

⇔
⎨
−=+
⎩


93
(2) chia (1)
2
(m 26)y
(m 26)y
x
x
12
12
y(x y) 12
y(m 14) 144
+
⎧
+
⎧
=
=
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪
−=
+=
⎩

⎩

Vậy hệ có nghiệm khi
m140 m 14+>⇔>−
.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
4.1. Đònh m để phương trình sau có nghiệm:
22
22
xmxyym
x(m1)xymym
⎧
++=
⎪
⎨
+ −+ =
⎪
⎩


4.2. Đònh m để hệ phương trình:
33 2
32 2
1
xmy (m1)
2
xmxyxy1
⎧
−= +
⎪

⎨
⎪
++=
⎩

Có nghiệm và mọi nghiệm đều thỏa: x + y = 0

4.3. Cho hệ phương trình:
22
2
x4xyym
y3xy4
⎧
−+=
⎪
⎨
−=
⎪
⎩

a. Giải hệ khi m = 1
b. chứng minh hệ luôn có nghiệm.


94
Hướng Dẫn Và Giải Tóm Tắt

4.1.
22
22

x mxy y m (1)
x (m 1)xy my m (2)
⎧
++=
⎪
⎨
+− + =
⎪
⎩

(1) – (2) :
2
xy (1 m)y 0 y 0 x (m 1)y+− =⇔=∨= −

Hệ phương trình:
2222
y0 x(m1)y
xmxyymxmxyym
==−
⎧⎧
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
+ += + +=
⎪⎪
⎩⎩

2
2
2

x(m1)y
y0
m
y (4)
xm(3)
2m 3m 2
=−
⎧
=
⎧
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
=
⎪
⎪
⎩
−+
⎩

Hệ đã cho có nghiệm
(3)co ù nghiệm
m0
(4)co ù nghiệm
⎡
⇔ ⇔≥
⎢
⎣

4.2. Giả sử
00
(x ,y )
là nghiệm. Từ x + y = 0 ta có:
00
yx= −

Thế vào hệ :
32
0
3
0
1
x(m1) (m1) (1)
2
x (2 m) 1 (2)
⎧
+= +
⎪
⎨
⎪
−=
⎩

Vế phải (2)khác 0 ⇒ vế trái của (2) cũng khác 0.
2
(1) m 1 1
:(m1)m0m1
(2) 2 m 2

+
=+⇔=∨=±
−

Thử lại:
a/ Với m = 0: hệ cho x và y không thỏa: x + y = 0
m0⇒=
(loại)
b/ Với m = - 1: Hệ đã cho trở thành:
33
32 2
xy0
xxyxy1
⎧
+=
⎪
⎨
− +=
⎪
⎩

32 2
1
x
yx
33
1
xxyxy1
y
33

⎧
=
⎪
=−
⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
−+=
⎪
⎪
⎩
=−
⎪
⎩
thỏa x + y = 0.

95
c/ Với m = 1. Hệ trở thành:
33
32 2
xy2
xxyxy1
⎧
−=
⎪
⎨
++=
⎪
⎩

Đặt y = tx
33
32
x(1 t) 2
x(t t 1) 1
⎧
−=
⎪
⇒
⎨
++ =
⎪
⎩
t1 2 t 1 y x,⇒−=−⇔=−⇒ =−
3
x1x1⇒=⇔= xy0⇒+=

Vậy m 1=± nhận.

4.3. y = 0 không thỏa phương trình:
2
y 3xy 4−=
. Đặt x = ty
Hệ
22
22
2
2
2

y(t 4t 1) m
y(t 4t 1) m
4
y(1 3t)
y(1 3t) 4
y(1 3t) 4
⎧
−+
⎧
=
⎪
−+=
⎪
⇔⇔
−
⎨⎨
−=
⎪
⎪
⎩
−=
⎩

a. Với m = 1: ta có hệ:
2
2
t4t11
(1)
13t 4
y(1 3t) 4 (2)

⎧
−+
=
⎪
−
⎨
⎪
−=
⎩

(1) cho
1
t3t
4
=∨=
.
2
t3:(2) 8y 4VN=⇔−=
.
2
11
t:(2) y4y4
44
=⇔=⇔=±
x = ty = 1±
b. Hệ
22
2
42
x4xy 1 m y 4

x
3y
y4
x
3y 11y (49 9m)y 16 0 (*)
⎧⎧
+= −
=
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
−
⎪⎪
−− −=
⎩⎩

(*) luôn có nghiệm ⇒ ĐPCM.