Tiet 49 gioi han cua day so

Chương IV: GIỚI HẠN
§1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Giáo viên
Bài giảng tại lớp …………
TiÕt 49, 50, 51 vµ 52

Ng Quốc Tuấn-PTTH Đào Duy Từ-TP
Thanh hoá-Email:tuacahivuong@y
ahoo.com.vn


I/ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ









1
Câu hỏi 1> Cho dãy số ( un )uvới
n =
n
a/ Hãy viết dãy số dưới dạng khai triển :

1 1 1 1
1
1

1
1, , , , ,...,
,...,
,...,
,...
2 3 4 5
10
100
2008

b/ Hãy biểu diễn các số hạng của dãy trên
trục số:
Hãy tính các khoảng cách từ u4 ; u10 ; u100;
u2008; … đến 0
Em có nhận xét gì về các khoảng cách này
khi n trở nên rất lớn ?
Ng Quốc Tuấn-PTTH Đào
Duy Từ-TP Thanh hoá-Em


Câu hỏi 2: Bắt đầu từ số hạng thứ bao
nhiêu thì khoảng cách này nhỏ hơn 0,001;
nhỏ hơn 0,00001 ?
 Vậy khi n lớn dần đến vơ cùng thì
khoảng cách này tiến dần đến 0,
hay ta nói rằng un dần đến 0.


Ta ký hiệu: un



ĐỊNH NGHĨA 1: ( SGK )




0

n
(
− 1)
=

un
n2
VÝ dơ 1: Cho d·y
limsè
u (u
=n)0víi
n → +∞

Chøng minh r»ng

n

Ng Quốc Tuấn-PTTH Đào
Duy Từ-TP Thanh hoá-Em

ĐỊNH NGHĨA 2 (SGK)





6n − 1
Ví dụ 2: Cho dãy số ( uu
=
n)n với
3n + 2
Chứng minh rằng
6n − 1
lim
=2
n → +∞ 3n + 2

1
1
Một vài giới hạn đặc biệt:
a) lim = 0; lim k = 0
n → +∞ n
n → +∞ n
b) lim q n = 0
n → +∞

c) lim c = c
n +
Với k là số nguyên dơng
và /q/<1, c const

Ng Quc Tun-PTTH o
Duy T-TP Thanh hoỏ-Em


II* ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN


ĐINH LÝ 1:

a ) NÕulimun = a vµ limvn = b thi :
+ / lim(un + vn ) = a + b
+ / lim(un − vn ) = a − b
+ / lim(un.vn ) = a.b
un
a
+ / lim
= ( NÕub ≠ 0 )
vn
b
b)NÕuun ≥ 0 víi mäin vµlim un = a thia ≥ 0
vµlim un =

a

Ng Quốc Tuấn-PTTH Đào
Duy Từ-TP Thanh hố-Em


Các ví dụ:

Làm thế nào để tìm đợc
giới hạn này ?

VÝ dơ 3: 3n 2 − n
T×m lim 1 + n 2
Lgii: Chia cả tử
Em hÃy cho biết
và mẫu cho n2kết quả tìm đợc của mình?
thì: 3 1

3n 2 − n
n
=
1
1 + n2
+1
2
n

 1
1 
Ta cãlim 3-  = 3 vµ lim 2 + 1 = 1
 n
n

 1
lim 3 − 

2
3n − n
n 3

Nª n lim
=
= =3
2
1+ n
1  1
lim 2 + 1
n


Ng Quốc Tuấn-PTTH Đào
Duy Từ-TP Thanh hoá-Em


Các ví dụ:



Ví dụ 4:
Tìm

1 + 4n
lim
1 2n

2

Có thể tìm đợc giới
hạn mà không phải
dùng phép chia hay
không? Nếu đợc,
HÃy trình bày lời
1
giải ?
n

1+ 4n2
Ta cólim
= lim
1- 2n

= lim

1
+4
2
2
n
=
= −1
1
−2
−2
n

Ng Quốc Tuấn-PTTH Đào

Duy Từ-TP Thanh hoá-Em

2

+4

n
1

n − 2 
n



Bài tập vận


3 n + 5. 4 n
Bài tập 2: Tìm
lim n n
dụng
4 +2

1
Bài tập 1: Biết dãy số (un)unthoả
− 1 < mãn:
;∀n∈ N *
3
n

Chứng minh rằng : lim un = 1
Li gii:
1
Đ ặtvn = un 1 vàwn = 2 .
n
1
Ta cã vn = un − 1 , limwn = lim 2 = 0
n
Do đó |Wn| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý
kể từ một số v
hạng
nào
đó
trở≤đi.
(1) (2)
=
u
−
1
≤
w
w
n
n
n
n
Mặt khác theo giả thiết
Từ (1) và (2) suy ra lim an = 0. Vậy lim un = 1
(đpcm)
Ng Quốc Tuấn-PTTH Đào

Duy Từ-TP Thanh hoá-Em


Hướng dẫn học ở nhà:






1/ Cần nắm vững 2 định nghĩa 1 và
định nghĩa 2 về giới hạn 0 và giới hạn
hữu hạn
2/ Nhớ 3 giới hạn đặc biệt và thuộc
các công thức của định lý về giới hạn
hữu hạn
3/ Làm bài tập 1; bài 3 ( Các câu a, b,
d ) trang 121.

Ng Quốc Tuấn-PTTH Đào
Duy Từ-TP Thanh hoá-Em


III/ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn


HÃy nêu nhËnxÐtvỊcÊpsèsau:
1) Kh¸i niƯm:
1 1 1
1

, , ,..., n ,...
2 4 8
2

*/ DÃy số là một cấp số nhân. Vì sao?
*/ Công bội là q = 1/ 2, q < 1
*/ DÃy số là cấp số nhân vô hạn.
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn
có công béi q víi / q / < 1
Ng Quốc Tuấn-PTTH Đào
Duy Từ-TP Thanh hoá-Em


III/ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

y số sau đây có phải là cấp số nhân lùi vô hạn khôn
Nếu phải hÃy chỉ ra công bội của cấp sè ®ã?

1 1 1
 1
1,- , ,− ,...,  − 
3 9 27
 3

n −1

,...

Hãy nêu cơng thức tính tổng Sn của cấp số nhân
lùi vô hạn biết u1 và Cơng bội q, với /q/ < 1.

Tìm giới hạn của tổng Sn khi n —> +∞ ?
Ng Quốc Tuấn-PTTH Đào
Duy Từ-TP Thanh hoá-Em


Lêi gi¶i:
u1 (1 − q n )
Ta cã Sn = u1 + u 2 + ... + u n =
1− q
 u1  n
u1
q
* ViÕtvỊd¹ng: Sn =
− 
1− q 1− q 
 u1
 u1  n 
u1
q  =
Suy ra limSn = lim 
− 
1 − q  1 − q   1 − q
Do limqn = 0

u1
2) TængnS= u1 + u2 + ... + un + ... =
1− q
Ng Quốc Tuấn-PTTH Đào
Duy Từ-TP Thanh hoá-Em

C¸c vÝ dơ:


VÝ dơ 5: TÝnh tỉng cđa c¸c cÊp số
nhân lùi vô hạn (un), sau:
1
1/ Với un = n
3

1 1 1
 1
2/ Víi 1,− , ,− ,+... + 
2 4 8
2

Đáp số: S = 1/ 2

n 1

Đáp số: S = 2/ 3

Ng Quc Tun-PTTH o
Duy T-TP Thanh hoá-Em

+ ...


IV/ Giới hạn vô cực

1) Định nghĩa






Câu hỏi 3: Cho dÃy số tự nhiên un= n
1/ HÃy kể một vài số hạng u2008 ?
2/ Cho un là một số tự nhiên bất kỳ, có thể
chỉ ra đợc những số lớn hơn un không?
3/ HÃy nêu nhận xét về dÃy số vừa xét?
Khoảng cách giữa 0 và un nh thế nào khi n
> + ?

Định nghĩa về giới hạn vô cực: ( SGK )
KÝ hiÖu: limun= +∞ hay un—>+∞ khi n—>+∞
Limun =-∞ hay un—>-∞ khi n—>+∞
NhËn xÐt: limun=+∞ <=> lim(-un) = -∞
Ng Quốc Tuấn-PTTH Đào
Duy Từ-TP Thanh hoá-Em


2/ Một vài giới hạn đặc biệt:



2.1) Lim nk = + với k nguyên dơng
2.2) Lim qn = + nếu q>1

c định lý về giới hạn hữu hạn có còn đúng khi áp dụng
vào giới hạn vô cực không? Ta xét các ví dụ sau.
5

Ví dụ 7:
Tínhcácgiới hạnlim 2 + vàlim3n
n

2n+ 5
Làmthếnàosuyragiới hạnsau: lim
n.3n


(

Ví dụ 8:
Tínhlim - n2 + 5n − 2

)

Ng Quốc Tuấn-PTTH Đào
Duy Từ-TP Thanh hoá-Em


3/ Định lý:
Định lý 2:
un
a)Nếulimun = a vàlimvn = + thilim = 0
vn
b) NÕulimun = a > 0 vµlimvn = 0 víi ∀n thi

un
lim = +∞
vn
c) NÕulimun = +∞ vµlimvn = a > 0 thilimunvn = +∞

Ng Quốc Tuấn-PTTH Đào
Duy Từ-TP Thanh hoá-Em


Hướng dẫn học ở nhà:


1/ Cần nắm vững 2 định nghĩa 1 và
định nghĩa 2 về giới hạn 0 và giới hạn
hữu hạn, và định nghĩa về giới hạn vô
cực






2/ Nhớ 5 giới hạn đặc biệt và thuộc
các công thức của định lý về giới hạn
hữu hạn, giới hạn vô cực.
3/ Làm bài tập 5,6,7,8 trang 122.
4/ Làm bài tập trong sách bài tập gồm
bài 1.9, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14.
Ng Quốc Tuấn-PTTH Đào
Duy Từ-TP Thanh hoá-Em