TS Toán chuyên Hà Nội 2016 – 2017

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (409.82 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN 
 HÀ NỘI Năm học 2016 – 2017

Mơn thi: TỐN

ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 09 tháng 6 năm 2016 
 Thời gian làm bài: 150 phút

(Dành cho thí sinh thi chun Tốn)

Bài I (2,0 điểm)

1) Giải phương trình x4 2x3 x 2(x2 x) 0.

2) Giải hệ phương trình















4
2
4

0
4
2

4
2
2

y
y
xy
x

x
y
x

.

Bài II (2,0 điểm)

1) Cho các số thực a ,,b c đôi một khác nhau thỏa mãn a3b3c3 3abc và abc0. Tính

2 2 2
2
2

2
2

b
a
c

ca
a

c
b

bc
c

b

a

ab
P










 .

2) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn 2x.x2 9y2 6y16. 
Bài III (2,0 điểm)

1) Cho các số thực dương a ,,b c thỏa mãn a2b2c2 3. Chứng minh

c
b
a
a
c

c
c

b
b
b

a

a   






 2

2
2

2) Cho số nguyên dương n thỏa mãn 22 12n2 1là số nguyên. Chứng minh 22 12n2 1 là số
chính phương.

Bài IV (3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC cóAB AC và nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BB' CC, ' cắt
nhau tại điểm H. Gọi M là trung điểm BC. Tia MH cắt đường tròn (O) tại điểm P.

1) Chứng minh hai tam giác BPC' và CPB' đồng dạng.

2) Các đường phân giác của các góc BPC', CPB' lần lượt cắtAB,AC tại các điểm E và F. Gọi
'

O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF ;K là giao điểm của HM và AO'.
a) Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp.

b) Chứng minh các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn (O') cắt nhau tại một điểm nằm

trên đường tròn (O).
Bài V (1,0 điểm)

Cho 2017 số hữu tỷ dương được viết trên một đường tròn. Chứng minh tồn tại hai số được viết
cạnh nhau trên đường tròn sao cho khi bỏ hai số đó thì 2015 số cịn lại khơng thể chia thành hai nhóm
mà tổng các số ở mỗi nhóm bằng nhau.

---Hết---

Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm. 
Họ tên thí sinh: ... Số báo danh:...

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐÁP ÁN 
Bài I (2,0 điểm)

1) Giải phương trình x4 2x3 x 2(x2 x) 0.

Điều kiện: 




1
0
x
x

. Ta có: x4 2x3 x 2(x2 x) 0x(x1)(x2 x1) 2x(x1) 0

























0
2
)
1
(
0
)
1
(
0
2
)
1
(
)
1
(
2
2
2
2
x
x

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
2
(
)
1
(

- Giải (1) ta có: 





1
0
)
1
(
x
x

(thỏa mãn)

- Giải (2):

Đặt x2 x a0a3 a 2 0



a 2



a2 a 21



0a 2 (vì a2 a 210)



















2
1
0
)
2
)(

1
(
0
2
2 2
2
x
x
x
x
x
x
x

x (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x



1;0;1;2



2) Giải hệ phương trình













0
4
2
4
4
0
4
2
4
2
2
2
y
y
xy
x
x
y
x
. 
Ta có:


























0
4
2
)
2
(
0
4
2
)
2
(
0

4
2
4
4
0
4
2
2
2
2
4
2
2
2
y
y
x
y
x
y
y
xy
x
x
y
x
)
2
(
)

1
(
.

Cộng từng vế của (1) và (2) ta có:


















2
2
4
2
0
)
2

(
)
2

( 2 2 2 2

y
x
y
x
y
x
x .

Thử lại ta thấy (x;y)(2;2) thỏa mãn hệ phương trình.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y)(2;2).

Bài II (2,0 điểm)

1) Cho các số thực a ,,b c đôi một khác nhau thỏa mãn a3b3c3 3abc và



abc . Tính

2 2 2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
b
a
c
ca
a
c
b
bc
c
b
a
ab
P








 .

Ta có: a3b3c3 3abc(abc)(a2b2c2abbcca)0
Ta ln có: a2b2c2 abbcca. Tuy nhiên vì

c
b

a ,, đôi một khác nhau nên không xảy ra đẳng thức.

Do đó


















b
a
c

a
c
b
c
b
a
c
b

a 0 . Từ đó:

0
2
2
2
2
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2



























 a b c

ca
ca
bc
bc
ab
ab
a
c
a
c
ca
c
b
c
b
bc
b
a
b
a
ab
P .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn 2x.x2 9y2 6y16.

Ta có: 9y2 6y161 (mod 3) 2x.x2 1 (mod 3). Mà x2 0;1 (mod 3)








)
3
(mod
1
)
3
(mod
1
2
2
x
x
.

- Nếu x lẻ, đặt x2k1 (kN)2x 2.4k 2 (mod 3) (sai), suy ra x lẻ loại.

- Nếu x chẵn, đặt x2k (kN)2x 4k 1 (mod 3) (đúng).
Do đó khi x chẵn thì:

15
)

1
3
2
.
2
)(
1
3
2
.
2
(
15
)
1
3
(
)
2
.
2
(
16
6
9
.

2xx2  y2  y  k k 2  y 2  k k  y k k  y  .

Vì y,kN nên 2k.2k 3y12k.2k 3y10.

Vậy ta có các trường hợp:

+ k N

y
k
y
k
y
k k
k
k




















7
1
3
8
2
.
2
15
1
3
2
.
2
1
1
3
2
.
2
(loại).
+
























0
1
1
1
3
4
2
.
2
5
1
3
2
.

2
3
1
3
2
.
2
y
k
y
k
y
k
y
k k
k
k
.

Vậy: (x;y)(2;0).

Bài III (2,0 điểm)

1) Cho các số thực dương a ,,b c thỏa mãn a2b2c2 3. Chứng minh

c
b
a
a
c

c
c
b
b
b
a
a







 2
2
2
2
2
2
2
2
2
.

Ta có: 3

3
)
(

3
2
2
2

2         

a b c a b c a b c . Do đó:

2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
2
2
2
2
2
3
4
2
2
3
4

2
2
3
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
2
2
2
(
2
2
4
2
2
4
2
2
4

2
2
2
a
c
c
b
b
a
c
b
a
c
b
a
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
a
a
c
c

c
b
b
b
a
a



















c
b
a
c
b

a
c
b
a
a
c
c
b
b
a
c
c
b
b
a

a                    

 3
3
9
36
)
(
36
2
2
2
36
2

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
4
2
4 .

Xảy ra đẳng thức khi abc1.

2) Cho số nguyên dương n thỏa mãn 22 12n2 1là số nguyên. Chứng minh 22 12n2 1 là
số chính phương.

Hiển nhiên 22 12n2 1là số nguyên mà 12n2 1 là số lẻ nên tồn tại số tự nhiên k mà
.
3
)
1
(

1
4
4
1
12
)
1
2
(
1

12n2   k 2  n2  k2  k k k  n2 Vì (k;k1)1 nên xảy ra 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: ( , ) 3 1 2
3
1
2
2
2
2














b
a
N
b
a
b
k
a
k

(mod 3)  2 2

a (mod 3) (vơ lí).

- Trường hợp 2:. 2 2 2 2 4 2 2 2

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Vì 2 2
)
2
(

4b  b nên 22 12n2 1 là số chính phương.
Bài IV (3,0 điểm)

1) Chứng minh hai tam giác BPC' và CPB' đồng dạng.

2) Các đường phân giác của các góc BPC', CPB' lần lượt cắtAB,AC tại các điểm E và F. Gọi
'

O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF ;K là giao điểm của HM và AO'.
a) Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp.

b) Chứng minh các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn (O') cắt nhau tại một điểm nằm
trên đường tròn (O).

1) Kẻ đường kính AA' của đường trịn (O).HBA'Clà hình bình hànhHA'đi qua M HA'đi
qua PAPH 90AB'H AC'H PAB'C' nội tiếp PC'APB'APC'BPB'C, mà

'
'

' PCB PBC

PBC   ~ PCB'(g.g)

2) a) Kẻ đường kínhAK' của (O')AEK' AFK'90HC'//K'E//A'B,HB'//K'F//A'C.

Lại có: ' ' ' ' K'

FC
FB
PC

PB
PB
PC
EB
EC






 thuộc HA'K'KAKEFnội tiếp.

Lại có PEA PFA( vì EPB  C PB  B PC FPC

2
'
2

, và PBE PCF) PAFE nội tiếp PEKF nội

tiếp.

b) Có PB'C'~ PCB(c.g.c) HE HF

EB
EC
FC

FB
PC
PB
PB
PC
BC

C
B
HC
HB
HB
HC

,
'

'
'
'
'
'
'

'       

 lần lượt là

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Gọi giao điểm của AKvới (O)là Tvà giao điểm của AKvớiBB'là G.
Ta có: FHB CHB  BAC GAEAEHG

2
2

' nội tiếp AEG AHGAHB'ACBATB

BEGT

 nội tiếp ATEABG 90BAC mà AT EF TEF 90ATEBACET là tiếp
tuyến của (O')mà TETFTFcũng là tiếp tuyến của (O') Tiếp tuyến tại E và F của đường tròn

)
'

(O cắt nhau tại Ttrên (O).

Bài V (1,0 điểm)

Giả sử tồn tại 2017 số hữu tỷ được sắp xếp một cách thoả mãn nếu bỏ 2 số bất kì cạnh nhau
thì 2015 số còn lại chia được thành hai nhóm có tổng bằng nhau. Gọi 2017 số được sắp xếp thoả mãn
là 2017 số có tính chất P.

Vì có 2017 số hữu tỷ có tính chất P nên nếu nhân mẫu của các số hữu tỷ đó lên thì được 2017 số
tự nhiên có tính chất P. Gọi 2017 số đó lần lượt xếp theo chiều kim đồng hồ là a1;a2;....;a2017. Giả sử

trong 2017 số đó có 1 số chẵn, 1 số lẻ thì vì 2017 là số lẻ nên lúc đó trên vòng tròn tồn tại 22 số liền
kề cùng tính chẵn lẻ và 22 số liền kề khơng cùng tính chẵn lẻ. Vì vậy có thể bỏ một trong hai cặp số
đó để tổng 2015 số còn lại lẻ, lúc đó thì khơng thể có cách chia 2015 số còn lại thoả mãn đề bài. Giả
sử tất cả các số trên vòng tròn cùng tính chẵn lẻ, 2017 số đó khơng thể cùng lẻ vì cho dù bỏ đi 22 số
nào thì tổng các số còn lại đều lẻ nên khơng thể chia được. Vậy tất cả các số trên vòng tròn đều chẵn.
Đặt ai 2bivới i chạy từ 1 đến 2017. Vì 2017 số a1;a2;....;a2017tính chất P nên b1;b2;....;b2017 cũng có
tính chất P. Lập luận tương tự b1;b2;....;b2017đều chẵn. Tiếp tục đặt bi 2civà lặp lại vô hạn bước như

</div>

TS Toán chuyên Hà Nội 2016 – 2017















Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về