4 Đề thi cuối kỳ môn đại số tuyến tính trường đại học bách khoa Đà Nẵng

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>TÀI LIỆU SINH VIÊN BÁCH KHOA</b>
<b>SINHVIENDOC.COM</b>

<b>————-TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ</b>
<b>BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG</b>

<b>——oOo——-ĐỀ 01</b>

Tổng hợp tài liệu được sưu tầm và soạn lại bởi HNT - Sinhviendoc.Com

<b>Câu 1.</b> (2 điểm) Trong R - không gian vectơ R3cho hệ vectơ.

e1 = (1, 2, 1); e2= (2, 1, 1); e3 = (3,−2, 0).

(a). Chứng minh rằng hệ{e1, e2, e3}là một cơ sở của R3

(b). Tìm tọa độ của vectơ x= (0, 3, 11)đối với cơ sở{e1, e2, e3}

<b>Câu 2.</b> (2 điểm) Trong không gian vectơ thực R3cho tập con.

W =nx = (<i>α</i>1<i>, α</i>2<i>, α</i>3) ∈R3<i>/α</i>1+<i>3α</i>2−<i>α</i>3 =0

o

Chứng minh W là một không gian vectơ con của R3, và tìm số chiều của W.

<b>Câu 3.</b> (2 điểm) Cho<b>R</b>3[x]là R - không gian vectơ gồm các đa thức một ẩn x với hệ số thực,

có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 3. Cho ánh xạ f =<b>R</b>₃[x] →<b>R</b>₃[x]xác định bởi

f(p(x)) =2p(x) − (x+1)p0(x)với mọi p(x) = a+bx+cx2+dx3 ∈<b>R</b>3[x].

(a) Chứng minh rằng f là một phép biến đổi tuyến tính.
(b) Tìm Im(f), Ker(f).

<b>Câu 4.</b> (2 điểm) Cho phép biến đổi tuyến tính f :<b>R</b>3 →<b>R</b>3_{xác định bởi}

f(x1, x2, x3) = (6x1−2x2+2x3;−2x1+5x2; 2x1+7x3),∀(x1, x2, x3) ∈<b>R</b>3.

(a) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc của<b>R</b>3.

(b) Tìm một cơ sở của<b>R</b>3sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.

<b>Câu 5.</b> (2 điểm) Dùng phường pháp Lagrange để đưa ra dạng toàn phương sau về dạng
<i>chính tắc ω</i>(x) = x₁2+2x2₂−2x2₃+4x1x2+2x2x3+4x2x3và tìm cơ sở tương ứng với dạng

chính tắc đó.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>ĐỀ 02</b>

Học học nữa, học mãi, học mệt nghỉ

<b>Câu 6.</b> (2 điểm) Trong không gian vectơ thực P2[x]gồm các đa thức một ẩn x với hệ số thực,

có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2, cho hệ vectơ{u0(x), u1(x), u2(x)}, trong đó

u0(x) = 1, u1(x) =1+x, u2(x) = x+x2

(a) Chứng minh hệ vectơ{u0(x), u1(x), u2(x)}là một cơ sở của P2[x]

(b) Tìm tọa độ của vectơ f(x) = 1+2x+3x2đối với cơ sở{u0(x), u1(x), u2(x)}

<b>Câu 7.</b> (2 điểm) Trong R - không gian vectơ R3, cho hai hệ cơ sở

{e1 = (1, 1, 0), e2= (2, 1, 1), e3 = (1, 0, 0)}và{f1 = (2, 0, 2), f2 = (0, 2, 2), f3= (3, 3, 0)}

Tìm ma trận chuyển cơ sở từ{e1, e2, e3}sang cơ sở{f1, f2, f3}

<b>Câu 8.</b> (2 điểm) Cho ánh xạ f : R3 _→_R3_{xác định bởi}

f(x1, x2, x3) = (x1+2x2−x3, 2x1+x2+x3, 3x1+3x2)

(a) Chứng minh f là một phép biến đổi tuyến tính và tìm hạt nhân của f .
(b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của<b>R</b>3.

<b>Câu 9.</b> (2 điểm) Cho phép biến đổi tuyến tính f trên R3 có ma trận theo cơ sở chính tắc của

R3là A=




7 3 3
10 6 4
8 4 6



. Tìm một cơ sở gồm các vectơ riieeng của f sao cho ma trận của f đối

với cơ sở đó là ma trận chéo.

<b>Câu 10.</b> (2 điểm) Trong R - không gian vectơ R4<i>, cho dạng toàn phương ω</i>(x) = <i>α</i>2₁+<i>2α</i>1<i>α</i>2+

<i>4α</i>2<i>α</i>3−<i>2α</i>2<i>α</i>4. Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng tồn phương về dạng chính tắc

và tìm cơ sở tương ứng với dạng chính tắc đó.

<b>SINHVIENDOC.COM</b> <b>Tài liệu sinh viên Bách khoa</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>ĐỀ 03</b>

Học để kiếm học bống, lấy tiền học lại!!!

<b>Câu 11.</b> (2 điểm) Trong R - không gian R3 cho hai hệ cơ sở {u1, u2, u3} và{v1, v2, v3}, với

u1 = (1;−1; 2), u2 = (3; 2; 0), u3 = (1; 4; 1); v1 = (12; 8; 5), v2 = (−1; 2; 3), v3 = (8;−3; 5).

Tìm ma trận chuyển từ hệ cơ sở{u1, u2, u3}sang hệ cơ sở{v1, v2, v3}

<b>Câu 12.</b> (2 điểm) Trong R - không gian vecto R4, cho hệ vecto {u1, u2, u3, u4} với u1 =

(0; 1; 1; 1), u2= (1; 2; 3; 4), u3= (−3; 1; 1; 2), u4= (2; 4; 3; 1). Tìm hạng của vecto{u1, u2, u3, u4}

<b>Câu 13.</b> (2 điểm)Gọi M2 là một không gian vecto các ma trận vuông cấp 2 trên trường số

thực R và ánh xạ f được xác định như sau:

f : M2 → M2

a b
c d


7→



a+2b −b+c
a+b+c d



,∀a b
c d


∈ M2

(a) Chứng minh rằng f là phép biến đổi tuyến tính
(b) Tìm Im f , Ker f .

<b>Câu 14.</b> (2 điểm) Cho phép biến đổi tuyến tính f trên R3có ma trận theo cơ sở chính tắc của

R3 là A =




2 4 1
1 1 −1
−2 4 5



. Tìm một cơ sở gồm các vecto riêng của f sao cho ma trận của f

đối với cơ sở đó là ma trận ché.

<b>Câu 15.</b> (2 điểm) Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng tồn phương sau về dạng chính
<i>tắc ω</i>(x) = 9x2₁+6x2₂+6x2₃−6x1x2+12x2x3−6x1x3và tìm cơ sở tương ứng với dạng chính

tắc đó.

<b>SINHVIENDOC.COM</b> <b>Tài liệu sinh viên Bách khoa</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>ĐỀ 04</b>

Nhớ mang tài liệu, điện thoại vào phòng thi, nhà trường sẽ đuổi học bạn!

<b>Câu 16.</b> (2 điểm) Trong R - không gian R3 cho hai hệ cơ sở {u1, u2, u3} và{v1, v2, v3}, với

u1 = (1; 3; 4), u2 = (1; 2; 3), u3 = (1; 5; 1); v1 = (2;−3; 1), v2 =1;−1; 2), v3 = (3;−4; 1). Tìm

ma trận chuyển từ hệ cơ sở{u1, u2, u3}sang hệ cơ sở{v1, v2, v3}

<b>Câu 17.</b> (2 điểm) Trong không gian vectơ thực R3cho tập con.

W =nx = (<i>α</i>1<i>, α</i>2<i>, α</i>3) ∈R3<i>/α</i>1+<i>3α</i>2−<i>α</i>3 =0

o

Chứng minh W là một không gian vectơ con của R3, và tìm số chiều của W.

<b>Câu 18.</b> (2 điểm) Cho ánh xạ f : R4 _→_R4_{xác định bởi}

f(x1, x2, x3, x4) = (x1+2x2+x3−x4, 2x1+x2+x3+x4, x1−x2+x3+x4, 4x1+2x2+

3x3+2x4)

(a) Chứng minh f là một phép biến đổi tuyến tính.
(b) Tìm Im f , Ker f .

<b>Câu 19.</b> (2 điểm) Cho phép biến đổi tuyến tính f :<b>R</b>3 _→<b>_R</b>3_{xác định bởi}

f(x1, x2, x3) = (6x1−2x2+2x3;−2x1+5x2; 2x1+7x3),∀(x1, x2, x3) ∈ <b>R</b>3

(a) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc<b>R</b>3.

(b) Tìm một cơ sở của<b>R</b>3sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.

<b>Câu 20.</b> (2 điểm) Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng tồn phương sau trên khơng
gian vecto R4 <i>về dạng chính tắc ω</i>(x) =<i>α</i>2₁+<i>2α</i>1<i>α</i>2−<i>4α</i>1<i>α</i>3+<i>2α</i>2<i>α</i>4 và tìm cơ sở tương ứng

với dạng chính tắc đó.

<b>SINHVIENDOC.COM</b> <b>Tài liệu sinh viên Bách khoa</b>

</div>

<!--links-->