Hướng dẫn giải các bài toán về phương trình lượng giác lớp 11 phần 5 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (479.81 KB, 45 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chủ đề 2.4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN CĨ ĐIỀU KIỆN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Các phương trình có dạng sinx m ; cosx m ; tanx m ; cotx m được gọi là các phương 
trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình sinx m

 

 Trường hợp m 1 thì phương trình

 

1 vơ nghiệm.
 Trường hợp m 1 thì phương trình

 

1 có nghiệm.

 Nếu  là một nghiệm của phương trình

 

1 thì nghiệm của phương trình

 

1 là:

(

)

x k

k

x k

a p

p a p

ộ = +

ờ ẻ

ờ = - +
ở

2 Â

Chỳ ý: Với m £ 1thì PT

 

1 ln có duy nhất một nghiệm thuộc đoạn ;
2 2
 

 



 

  . Nghiệm này

kí hiệu là arcsin m . Do đó nghiệm của PT

 

1 là: arcsin ,

(

)

arcsin

x m k

k

x m k

p

p p

é = +

ê Ỵ

ê = - +

2 ¢

 Nếu sinx sina thì nghiệm của

 

1 là x k ,



k



x k

 



   





a p

p a p

2 .

Tổng quát: sin f x

 

sing x

 

thì nghiệm của

 

1 là

 





f x g x k

k

f x g x k

 






  





p

p p

2 .

 Nếu sinx sinb thì nghiệm của

 

1 là x k ,



k



x k

  




  



 

   

b
b
360

180 360 .

 Đặc biệt





sinx 1 x p k2p, k 

2 .





sinx 1 x pk2p, k 

2 .





sinx 0 x k p, k  .
2. Phương trình cosx m

 

 Trường hợp m 1 thì phương trình

 

2 vơ nghiệm.
 Trường hợp m 1 thì phương trình

 

2 có nghiệm.

 Nếu  là một nghiệm của phương trình

 

2 thì nghiệm của phương trình

 

2 là:





x k

k

x k

 





 




a p

2
2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chú ý: Với m £ 1 thì PT

 

2 ln có duy nhất một nghiệm thuộc đoạn



0;p



. Nghiệm này kí
hiệu là arccos m. Do đó nghiệm của PT

 

2 là: arccos ,





arccos

x m k

k

x m k

 





  




p

p
2

 Nếu cosx cosa thì nghiệm của

 

2 là x k ,



k



x k

 




  





a p

2 .

Tổng quát: cos f x

 

cosg x

 

thì nghiệm của

 

2 là

 





f x g x k

k

f x g x k

 






 




p

p
2

2 .

 Nếu cosx cosb thì nghiệm của

 

2 là x k ,



k



x k

  




 


 

  

b

360

360 .

 Đặc biệt





cosx 1 x k 2p, k  .





cosx 1 x p k2p, k  .





cosx 0 x p kp, k 

2 .

3. Phương trình tanx m

 

 m phương trình

 

3 ln có nghiệm thỏa điều kiện x p kp,



k 



2 .

 Nếu  là một nghiệm của phương trình

 

3 thì nghiệm của phương trình

 

3 là:





,
x a kp k 

Chú ý: Với m thì PT

 

3 ln có duy nhất một nghiệm thuộc đoạn  ; 

 

p p

2 2 . Nghiệm này
kí hiệu là arctan m. Do đó nghiệm của PT

 

3 là: xarctanm k p,



k 



 Nếu tanx tana thì nghiệm của

 

3 là x a kp,



k 



Tổng quát: tan f x

 

tang x

 

thì nghiệm của

 

3 là f x

 

g x

 

kp,



k 



.
 Nếu tanx tanb thì nghiệm của

 

3 là xbk180,



k



 Đặc biệt





tanx 1 x p kp, k 

4 .





tanx 0 x k p, k  .

4. Phương trình cotx m

 

 m phương trình

 

4 ln có nghiệm thỏa điều kiện x k p,



k 



.

 Nếu  là một nghiệm của phương trình

 

4 thì nghiệm của phương trình

 

4 là:





,
x a kp k 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 Nếu cotx cota thì nghiệm của

 

4 là x a kp,



k 



Tổng quát: cot f x

 

cotg x

 

thì nghiệm của

 

4 là f x

 

g x

 

kp,



k 



.
 Nếu cotx cotb thì nghiệm của

 

4 là xbk180,



k



 Đặc biệt





cotx 1 x p kp, k 

4 . cotx  x k ,



k 



p p

2 .

 

tan f x cotg x  tan f x tan  g x 

 

p
2

 



 



tan f x  tang x  tan f x tan g x
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

1. Khi giải phương trình lượng giác có tanx, cotx hoặc phương trình có chứa ẩn ở mẫu, 
trước hết ta cần tìm điều kiện xác định của phương trình. Sau đó sử dụng các cơng thức 
lượng giác để biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P x( ), hoặc giá trị của x làm biểu thức P x( ) không xác định.
Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P x( ) trên từng khoảng của bảng xét dấu.
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 1. [1D1-1] Giải phương trình tan x  

 

p 3

Giải:

Ta có: tan x  

 

p 3

3  tan x tan

 

 

 

 

p p

3 3  x  k

p p p

3 3  x k k p,  .
Vậy phương trình có một họ nghiệm x k k p,  .

Câu 2. [1D1-1] Giải phương trình tan x 



3 300



 3

3
Giải:
Ta có tan x 



3 300



 3

3  tan



x 



tan







0 0

3 30 30  x k 600,k .

Vậy phương trình có một họ nghiệm x k 600,k .

Câu 3. [1D1-1] Giải phương trình tan x tan  x

   

p p

2 0

6 3

Giải:

Điều kiện , .

m

x m x

m

x m x m

 

    

 

 

 

      

 

 



p p p p p

p p p

p p

6 2 6 2

3 2 6

PT  tan x  tan  x  tan x tan x x k k,  .

        

p p p p p p

2 2

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Kết hợp với điều kiện ta suy ra phương trình có một họ nghiệm xpk kp,  .
2

Câu 4. [1D1-2] Giải phương trình tanx  cot x

   

p p

6 3

Giải:

Điều kiện , .

x m x m

x m m

x m x m

 

    

 

    

 

     

 

 



p p p p p

p p

p p

6 2 3

3 3

PT  tanx cot x tanx tan  x  x k ,k .

        

p p p p p p

6 3 6 6 6 2

Kết hợp với điều kiện ta được x p k kp,  

6 .

Câu 5. [1D1-2] Giải phương trình  tan x  

 

p

3 3 2 0

3 với x



 

p 2p

4 3 (Dạng 2.5)
Giải:

Phương trình tương đương với tan x   x k ,k .

  

p p p

2 3

3 3 2

k k

x

Vì p 2p  p p  p2p 7p p p  7k2

4 3 4 3 2 3 12 2 3 6 3

Do k   nên k  



1 0;



.
Với k 1 thì xp

6 , với k 0 thì x 
p
3.
Vậy xp

6 và x 
p

3 thỏa mãn u cầu bài tốn.

Câu 6. Giải phương trình tan xtan  x

   

p p 2 0

3 6 .

Đáp số xpkp,k .

6 3

Câu 7. Giải phương trình cot x   cot x 

 3 1  2 1 0(1)

Điều kiện:





sin

,
sin

x x

k x k

k

x x x k

k

 

 

   

 

  

  




   

 

 



p p

p
p

0 3

3 3

2
0

2 2

 





cot cot

x x x

k x k

k

x x x

k x k

   

      

   

        

          

   

   



p p p p

1 0 1 3

3 3 3 4 4

1 0 1 2

2 2 2 4 2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Vậy phương trình có nghiệm: x3pk3p,x pk2p,



k 



4 2 .

Câu 8. Giải phương trình tan



x 300



cos



2x1500



0 (1)

Điều kiện: cos



x 300



 0 x 300900k1800 x1200k1800,



k 



 













tan

,
cos

x k x k

x

x k x k k

x

x k x k

     

    



          

    

     

 



0 0 0 0

0 0 0 0 0

30 180 30 180

30 0

1 2 150 90 360 120 180

2 150 0

2 150 90 360 30 180

So với điều kiện nghiệm x1200k1800 loại.
Vậy phương trình có nghiệm: x300k1800,



k 



Câu 9. Giải phương trình



3tanx 3 2





sinx 1



0(1).
Điều kiện cosx 0 x p kp,



k 



2 .

 





tan

,
sin

sin

x k

x
x

x k k

x

x k



 









   



      



  

  

   




p

p

p
p

p p

5
6

3 3 0 3

1 2

2 1 0 1

2 2

6
So với điều kiện các nghiệm này thỏa.

Vì tập các giá trị x k ,k 

 

p p

5 2

6 là tập con của tập các giá trị x k k,

 

  

 

 

p p

6 .

Vậy phương trình có các nghiệm: x5pk xp,  p k2p,



k 



6 6

Câu 10. Giải phương trình cos xcotx 

 

p

2 0

4 (1)

Điều kiện sinx   x k  x k ,



k



 



p 0 p p p p

4 4 4

 

cos
cot

k

x x k x

x

x k x k

 



      



       

 

        

  

  

p p p p

p p p p

p p

2 0 2

2 4 2

0 3

4 4 2 4

Mức độ vận dụng
Câu 1. sin cos

cos

x x

x

  1

3 (ĐH An ninh 98)

Điều kiện: cosx 0 x p kp.
2

Với điều kiện trên, phương trình sin cos tan tan

cos cos

x x



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

tan

tan tan

tan

x k
x

x x

x k

x









     

  





p
p

p

2 3 0 0

(thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là , .
x k

k Z

x k




 

  


p

p p

Câu 2. tan sin

sin
x
x

x


   

 

   

   

p

2 1

3 2

2 (Hệ CĐ trường ĐH SGòn khối A_2007)
cot

sin sin sin

x

x x x

 3 2  22  2  32  22 1 0

sin

( )

sin

x x k

vo nghiem
x






    

 



p
p

1 1

1 1 2

Câu 3. 1sinxcosxtanx0 (Hệ CĐ trường ĐH SGòn khối B_2007)
sin

sin cos (sin cos )

cos cos

x

x x x x

x x

 

         

 

1 0 1 0

sin cos

tan

, .

cos
cos

x x

x x k

k Z

x x k

x

 

 

  



 

    

     

 




p p

p p

0 1

1 1

1 0 2

Câu 4. sin

cosx sinx x

 

    

 

p

1 1 2

4 (*) (CĐ CNTP khối A_2007)

Điều kiện: cosx0, sinx0

Với điều kiện trên, (*) 2(sinxcos ) sinx  2x(cosxsin )x
(sinx cos )(x sin x)

  1 2 0

sinx cosx tanx

   0 1

, .

x k k Z

  p p 

4 .

So với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x pk k Zp,  .
4

Câu 5. tan x sin2x 2sin2x3



cos2xsin x cosx



Điều kiện: cosx 0.

Chia hai vế phương trình cho cos2x, ta được:



os sin sin x cos



tan tan

c x x x

x x

c x

 

 

2 2

3 2

2 3





tanx

tan x tan x tan x t anx t

t t t




      

   



3 2 2

3 2

2 3 1

3 3 0









tanx tanx

, .

tanx

x k

t

k Z

t t

x k



 


   



      

    

 

  



p p

1 4

1 3 0 3

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

So với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x pk xp;  p k k Zp,  .

4 3

Câu 6. 5sinx 2 3 1 (  sin ) tanx 2x (ĐH B-2004)
Điều kiện: cos x 0 (*)

Phương trình sin ( sin )sin
cos

x

x x

x

   

5 2 3 1

sin sin

sin ( sin ) sin

sin sin

x x

x x x

x x

      

 

2 2

3 3

5 2 1 5 2

1 1

sin

sin sin ; .

sin
x

x x x k x k

x





         






p p

2 3 2 0 2 2 2

6 6

So với điều kiện (*), nghiệm của phương trình là: x p k2p;x5pk2p,k Z .

6 6

Câu 7. cos cot sin
cot cos

x x x

x x

 




2 3 2 4

2 2 (1) (ĐHKT HCM 90)

Điều kiện:
sin

sin

cos cos

sin
x

x

x x

x








  

   

   

  

 



2 0

4 0

2 1 0 2 0

k
x

  p

4
Với điều kiện trên, (1)  cos2x3cot2xsin4x2(cot2x cos2x)

cos x cot x sin x

 3 2  2  4 0 cos sin

sin

x x

x

 

     

 

2 3 2 2 0

2
sin

sin x x

 3 1 2 2 0

2 (vì cos2x0)  sin x sin x 
2

2 2 3 2 1 0

sin

, .

sin

x x k

k Z

x x k



  

 



   

   






(lo¹i) p p

p
p

2 1

1 5

2 12

Câu 8. sin sin cos

cos

x x x

x

  



2 2

4 2 6 3 2 9 0 (*) (ĐHBK HN 94)

Điều kiện: cos x 0 x p kp
2

(*) 4sin22x6sin2x 3cos2x 9 0  4 1(  cos22x)3 1(  cos2x) 9 3 cos2x0

cos x cos x ... x k

 2 22 3 2   1 0   p p
3

Câu 9. cos (cos sin ) sin (sin )
sin

x x x x x

x

  




2 3 2 1

2 1 (ĐH Thủy sản NT 2001)

Điều kiện: s in2x  1 0

Phương trình tương đương cos (cosx x2sin )x 3sin (sinx x 2) sin 2x1

sin sin sin

x k

x x x

x k



 


       

  


p p

1 4

2 3 2 2 0

2 2

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

So với điều kiện nghiệm phương trình là x pk2p

4 .

Câu 10. sin tan

sin cos

x

x x






2 2

2 4 (1)

Giải: Ta có sin22x 4cos2x4sin2xcos2x 4cos2x
cos (sinx x ) cos x

4 2 2  1 4 4 .

Điều kiện: sin cos cos
cos

x x

x
x

  

 






22 4 2 0

0
0

Với cos x 0, pt sin sin

sin cos cos

x x

x x x



 



2 2

2 2 2

2 2

2 4

 

1  sin22x 24cos2xsin2x 2sin22x 2 sin2x1

cos x x k x k

 2  0 2  p p  p p

2 4 2 (thỏa đk cos x 0)

Câu 11. sin cos sin sin
cot

x x

x

 



 2

1 2 2 2 2

1 (ĐH A-2011)

Điều kiện: sin x 0 x k p

Với điều kiện trên, phương trình đã cho
 sin (2x1s in2xcos2x)2 2sin2xcosx

sin x cos x cosx
 1 2  2 2 2

cos (cosx xsinx )

2 2 0 cosx = 0 hay cosx + sinx = 2
 cosx = 0 hay sin x  

 

p
1

4  x = k

p p

2 hay x = k
p 2p

4 (k  Z)

Câu 12. tan cot sin

sin

x x x

x

   1

2 2 2

2 (1)
Điều kiện: sin

cos

x k

x
x




 






p
0

0 2

Ta có:

sin cos sin cos sin

tan cot

cos sin sin cos sin

x x x x x

x x

x x x x x

 

    

2 2 2

2 2 1

2 1

2
2

Với điều kiện trên,

 

sin sin

(sin ) sin
sin

sin

x x

x
x

 

     

2 2

1 2 2 1

1 1 2 1 2 2 1

2
2

sin sin ( cos ) ( cos )

cos cos cos ( cos )

cos
cos

cos

x x x x

k

x k x

x
x

x x k

         

      

 

   

 




     

 

     

 

 

p p p

p

p
p

2 2 2

2 2 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0

2 2 2 0 2 1 2 2 0

2 0 2 4 2

1 2 2 0 1

2 6

Câu 13. s n2 cos sin
tan

i x x x

x

  




2 1 0

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Điều kiện: tan
cos
x
x

 









3
0

Với điều kiện trên, phương trình s n2i x2cosx sinx 1 0
sin cosx x cosx (sinx )

 2 2  1 0





cosx sinx (sinx )

 2 1  1 0



sinx



( cosx )
 1 2 1 0

cos
sin

x k

x

x x k



 

 




  

 

  





p p

p
p

1 2

3
2

1 2

So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x p k2p (k )

3 Z

Câu 14. ( sin cos )sin cos
tan

x x x

x
x

 

    

  



p

1 2

1
4

1 2

(*) (ĐH A-2010)

Điều kiện: cos
tan

x
x





 



1 0

Với điều kiện trên, (*) sinx ( sinxcos x) ( tan ) cosx x

 

p

2 1 2 1

sin cos

(sin cos )( sin cos ) .cos

cos

x x

x x x x x

x


  1  2 

sinx cos x sin x sinx

  2  0 2 2  1 0

sin ( )

, .

sin

x loai x k

k Z
x

x k



  

 



   

   



 

p
p

1 2

1 7

2 6

Câu 15. ( sin ) cos
( sin )( sin )

x x





 

1 2 3

1 2 1 (*) (ĐH A-2009)

Điều kiện: sin
sin

x
x

 




 



1 2 0

1 0 (1)

Với điều kiện trên, (*) (1 2 sin ) cosx x 3 1 2(  sin )(x 1 sin )x

cosx sinx sin x cos x

  3  2  3 2  cosx cos x 

   

p 2 p

3 6

, .

x x k x k

k Z

x x k x k

 

     

 

    

       

 

 

p p p p p

p p p p p

2 2 2

3 6 2

2 2

3 6 18 3

Kết hợp với điều kiện (1), nghiệm phương trình là x p k2p

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Câu 16. sinx sin x sin x

 

    

    

 

 

p
p

1 1 4 7

3 4

(ĐH A-2008)

Điều kiện:
sin
sin
x

x





  

 

 



 



p
0

3
0
2

Phương trình (sin cos )

sinx cosx x x

 1  1 2 2 

sin cos

(sin cos )
sin cos

x x



 2 2  0

(sin cos )

sin cos

x x

 

    

 

1 2 2 0

sin cos

sin
sin cos

x k

x x

x

x x



 

 

 

 

 

   






p p

1 2 2 0

2
2

;

x k

x k x k



 


 

    



p p

p p

8 8

(thỏa điều kiện)

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT

Câu 1. Nghiệm của phương trình sin . cosx



2 x  3



0 là:

A. 
x k

x k





  


p

p 2p
6

, k  . B.

x k

x k





  


p

p p

, k  .

C. 
x k

x k





  


p

p p

2
2
3

, k  . D. x p k2p

6 , k  .
Hướng dẫn giải

Chọn A.





sin . cosx 2 x  3 0

sin
cos

x

x







 



0
3
2

x k

x k






  


p

p 2p
6

, k  .

Câu 2. Phương trình tanx tanx

2 có họ nghiệm là
A. x k 2p



k 



. B. x k p



k 



.
C. x p k2p



k 



. D. xpk2p



k 



.

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Điều kiện x  p kp x p k2p



k 



</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ta có tanxtanx  x x kp x k 2p



k 



2 2

Câu 3. Nghiệm của phương trình sin4x cos4x0 là
A. x pkp.

4 B. x k .

p p

4 2 C. x k .

p p

3 2

4 D. x k .

p 2p

4
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Cách 1:





sin4x cos4x 0 cos2x sin2x 0 cos2x 0 2x p kp x p kp, k .

2 4 2

Cách 2:

sin4x cos4x 0 sin2x cos2x0sin x2 1
2

sin

sin
x

x















2
2

sin sin

sin sin
x

x








 

  

 

  



p

p
4

x k



 




  


 

  




 




p
p

p p

2
4

3 2

2
4

5 2





x k k

  p p  

4 2

Câu 4. Giải phương trình: tan x 2 3 có nghiệm là
A. x pkp.

3 B. x k .

p
p

3 C. vơ nghiệm. D. x k .
p

p
3
Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có: tan tan ,





tan

x k

x

x k

x x k



 

  

     



 

  





p p

2 3 3 3

3
Câu 5. Giải phương trình tanxcotx

A. x p kp;k 

4 2 . B. x k k;  

p p

4 .

C. x p k kp;  

4 . D. x k ;k 

p p

4 4 .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có

tan

tan cot ;

tan

x k

x

x x x k k

x

x k



 





        



   




p

p p p

p
p

1 4

1 4 2

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Câu 6. Họ nghiệm của phương trình tan x   

 

p 3 0

5 là

A. 8pk kp;  

15 . B.  k k;  

p
p
8

15 . C.  k ;k 
p

p
8

15 . D. k ;k 

p
p
8

15 .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có tanx    x  k  x k k; 

  

p 3 0 p p p 8p p

5 5 3 15 .

Câu 7. Các họ nghiệm của phương trình cos2x sinx0 là
A. pk2p p; k2p;k 

6 3 2 . B. k ; k ;k

 

   

p 2p p 2p

6 3 2 .

C. pk2p;pk2p;k 

6 3 2 . D. k ; k ;k



   

p 2p p 2p

6 3 2 .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có





sin

cos sin sin sin

sin

x k

x

x x x x x k k

x

x k



 


 






         



 




  





p p

p
p

p
p
2

2
2
1

2 0 1 2 1 2

2 5

2
6

Câu 8. Họ nghiệm của phương trình tan2x tanx0 là:
A. pk kp,  .

6 B. k k,  .

p p

3 C. k k,  .

p p

6 D. k k  p, .

Hướng dẫn giải.

Chọn D.

Điều kiện: cos
cos

x
x









2 0

0  ,

k
x

k

x k



 







  






p p

p
p

4 2

Phương trình tan2x tanx0 tan2xtanx 2x x k  p x k k p,  
Câu 9. Nghiệm của phương trình tan3x.cot2x 1 là

A. kp,k  .

2 B.  k ,k .

p p

4 2

C. k k  p, . D. Vô nghiệm.

Hướng dẫn giải.

Chọn D.

Điều kiện: cos
sin

x
x









3 0

2 0  , .

x k

k
k

x


 







 





p p

p

6 3

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Phương trình tan3x.cot2x 1 tan

cot
x

x

 3  1

2  tan3xtan2x  3x2x k p x k p
loại do điều kiện x kp

2 .

Câu 10. Phương trình nào sau đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan x 1?
A. sin x  2

2 B. cos x 
2

2 C. cot x 1 D. cot x 

2 1

Lời giải
Chọn đáp án C

Ta có: tanx 1 sinxcosx cotx1
MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU

Câu 1. Với giá trị nào của m thì phương trình sin x m có nghiệm:

A. m 1. B. m 1. C.  1 m1. D. m 1.
Hướng dẫn giải

Chọn C.

Với mọi x  , ta ln có  1 sin x1

Do đó, phương trình sin x m có nghiệm khi và chỉ khi  1 m1.
Câu 2. Phương trình cos x m 0 vô nghiệm khi m là:

A. m
m

 

 


1 . B. m 1. C.  1 m1. D. m  1.
Hướng dẫn giải

Chọn A.

Với mọi x  , ta ln có  1 cos x1

Do đó, phương trình cosx m có nghiệm khi và chỉ khi m
m

 

 


1
1 .

Câu 3. Cho phương trình: 3cos x m 1 0 . Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm:
A. m  1 3. B. m  1 3.

C. 1 3m 1 3. D.  3m 3.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: cosx1 m

3 có nghiệm khi và chỉ khi

m

 1 1 1

3  1 3m 1 3.
Câu 4. Cho x p kp

2 là nghiệm của phương trình nào sau đây:

A. sin x 1. B. sin x 0. C. cos x 2 0. D. cos x 2 1.
Hướng dẫn giải

Chọn D.

Thay giá trị x p kp

2 vào từng phương trình ở các phương án để thử lại.

Ta có: sin . Khi ;

. Khi ;

k m m

k

k m m

 



 

 

 

   

  



p

p 1 2

1 2 1

2 nên các phương án A và B sai.

Lại có cos xcos  k cos



k



cos 

 

p p p p p

2 2 2 1

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Câu 5. Nghiệm của phương trình sin x 2 1 là:
A. x k 2p, k  . B. x p kp

2 , k  .
C. x p k2p, k  . D. x p k2p

2 , k  .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

Ta có: sin2x 1 1 cos2x 1 cos2x 1 2x p k2p x p kp

2 2 ,

k  .

Câu 6. Nghiệm của phương trình sin – x 3cosx 0 là:
A. x p k2p

6 , k  . B. x k
p 2p

3 , k  .
C. x p kp

6 , k  . D. x k

p p

3 , k  .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Ta có sin – x 3cosx 0 1sin – x 3cosx0

2 2

sinx 

   

 

p
0
3

x k

  p p

3 , k  .

x k

  p p

3 , k  .
Câu 7. Nghiệm của phương trình 2.sin .cosx x 1 là:

A. x k 2p, k  . B. x p kp

4 , k  .
C. x k p

2, k  . D. x k p, k  .

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Ta có 2.sin .cosx x 1 sin x2 1

x k

2  p 2p

2 , k  .

x k

  p p

4 , k  .
Câu 8. Nghiệm của phương trình sin3xcosx là:

A. x k p; x k p

2, k  . B. x k ; x k

p p p p

8 2 4 , k  .

C. x k p; x p kp

4 , k  . D. x k ; x k

p

p p

2 2

2 , k  .
Hướng dẫn giải

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

sin xcosx sin xsin  x

 

p

3 3





x x k x k

k

x x k x k

 

    

 

    

       

 

 



p p p p

p p

p p p

3 2

2 8 2

3 2

2 4

Câu 9. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin4xcos5x0 theo thứ tự là:
A. x p ; xp

18 2, k  . B. x ; x

p 2p

18 9 , k  .
C. x p ; xp

18 6, k  . D. x ; x

p p

18 3, k  .
Hướng dẫn giải

Chọn C.

sin4xcos5x 0 cos5x sin4x
cos x cos x

    

 

p

5 4





x x k x k

k

x x k x k

 

    

 

    

      

 

 



p p p p

p p p p

5 4 2 2

2 2

5 4 2

2 18 9

Với nghiệm x p k2p

2 ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là 
p
3

2 và
p
2
Với nghiệm x p k2p

18 9 ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là 
p
18 và

p
6
Vậy hai nghiệm theo yêu cầu đề bài là  p

18 và
p
6

Câu 10. [1D1-3.5-2] Phương trình: sin3x



cosx 2sin3x



cos3 1x



sinx 2cos3x



0 có nghiệm
là:.

A. x p kp

2 . B. x k

p p

4 2. C. x k
p 2p

3 . D. Vô nghiệm.
Lời giải

Chọn D.













sin cos sin cos sin cos

sin cos cos sin sin cos

sin sin (VN).

x x x x x x

x x

    

    

    

2 2

3 2 3 3 1 2 3 0

3 3 2 3 3 0

4 2 0 4 2

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Câu 1. [1D1-3.3-3] Phương trình: sinx cosx  cos x  

     

p p 2 p

2 3 2 3 1

8 8 8 có nghiệm là:

A.

x k



 




  



p
p

p
p
3

8
5
24

. B.

x k



 




  



p
p

p
p
3

4
5
12

. C.

x k



 




  



p
p

p
p
5

4
5
16

. D.

x k



 




  



p
p

p
p
5

8
7
24

Lời giải

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

sinx cosx  cos x  

     

p p 2 p

2 3 2 3 1

8 8 8

sin x  cos x 

        

   

p p

3 2 1 2 3 1

4 4

sin x  cos x  sin x  cos x 

             

       

p p 3 p 1 p 3

3 2 2 3 2 2

4 4 2 4 2 4 2

cos sin x  sin cos x  sin

      

   

p 2 p p 2 p p

6 4 6 4 3





sin sin sin sin

x k

x x k

x k



  



   

           

       





p p p

p p p p p

p p

p

2 2

12 3

2 2

4 6 3 12 3

2 2

12 3





x k

k

x k



 



  

  





p p

p
p
5
24
3

Câu 2. [1D1-3.1-3] Phương trình 3cosx2| sin |x 2 có nghiệm là:

A. x p kp

8 . B. x k

p p

6 . C. x k

p p

4 . D. x k

p p

2 .

Lời giải

Chọn D.

cosx | sin |x   | sin |x   cosx

3 2 2 2 2 3

sin cos cos

cos

x x x

x

   


 






2 2

4 4 12 9

2
3



cos



cos cos

cos

x x x

x

    



 






2 2

4 1 4 12 9

2
3

cos

cos cos

cos (L)

cos

x

x x

x
x



   

 

  

 



 



2 0

13 12 0

12
2

13
3





x k k

  p p  

Câu 3. [1D1-3.6-3] Phương trình:



sinx sin2x

 

sinxsin2x



sin23x có các nghiệm là:

A. 
x k

x k





 


p

p
3

. B.

x k

x k





 


p

p
6

. C. x k

x k









p

p
2

3 . D. x k

x k







p
p
3
2 .

Lời giải

Chọn A.



sinx sin x

 

sinxsin x



sin x  cos xsin x   sin xcosxsin x

   

2 3 3 2

2 2 3 2 2 3

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>





sin xsinx sin x sin x sin x sinx

  3  23  3 3  0





sin

sin sin cos sin

cos

x x k

x x x x x k k

x
x k


 



       


 
   



p
p
p p

3 0 3

2 3 2 0 2 0 2

0
2









k
x
x k
k

x k k

x k
x k


 
  
     

 
 
  


 
p
p
p
p
p p
3
3
2
2
2
.

Câu 4. [1D1-3.2-3] Phương trình: 3cos24x5sin24x 2 2 3sin4xcos4x có nghiệm là:
A. x pkp

6 . B. x k

p p

12 2. C. x k

p p

18 3. D. x k

p p

24 4.
Lời giải

Chọn D.

cos cos

cos2 x sin2 x  sin xcos x 1 8x 1 8x   sin x

3 4 5 4 2 2 3 4 4 3 5 2 3 8

2 2

sin x cos x sin x cos x

 3 8  8 2 3 8  1 8 1

2 2

sin xcos cos xsin

 8 p 8 p1

6 6









sin x  x k k x k k .

            

 

 

p p p p p p

8 1 8 2

6 6 2 24 4

Câu 5. [1D1-3.5-3] Phương trình cos sin cos
sin
x
x x
x
 

2

1 2 có nghiệm là:

A. 
x k
x k
x k

 


  



 

p
p
p p
p
2
4
8
2
. B. 
x k
x k
x k

 


  





p
p
p p
p
2

2 . C.

x k
x k
x k

 


  





p
p
p p
p
3
4
2
2
2
. D. 
x k
x k
x k


 


  


 

p
p
p p
p
5
4
3
8
4
.
Lời giải
Chon C.

ĐK sin x 2 1





cos cos sin

cos sin cos sin

sin sin cos

x x x

x x x x

x x x


    
 
2 2
2
2
1 2



 







cos sin cos sin
cos sin

sin cos

x x x x

x x
x x
 
  
 2





cos sin

cos sin cos sin

sin cos sin cos

x x

x x x x

  

       

   

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

sin
cos sin
sin cos
sin
x
x x
x x
x
  

 
 

 
   
  
    
  
  
 

p
p
2 0
0 4
1
2 1
4













x k x k

x k

x k k x k k x k k

x k
x k
x k
 

    
   

 

 
            
 

 

 

     
 
 
  

p p p p p

p

p p p p p p

p

p p p p p

4 4 4

2 2 2

4 4 2

5 2 2 2

4 4

Câu 6. [1D1-3.4-3] Phương trình sin23x cos24xsin25x cos26x có các nghiệm là:

A. 
x k
x k




 

p
p
12
4
. B.

x k
x k




 

p
p
9
2

. C. x k

x k






p
p

6 . D. x k

x k







p
p
3
2
.
Lời giải
Chọn B.

sin23x cos24xsin25x cos26x sin23x sin25xcos24x cos26x



sin x sin x

 

sin x sin x

 

cos x cos x

 

cos x cos x



 3  5 3  5  4  6 4  6

cos xsin . sinx xcosx sin xsin . cosx xcosx

 2 4 2 4 2 5 2 5

sin xsin x sin xsin x

  8 2  10 2





sin x sin x sin x

 2 10  8 0

sin x. sin xcosx

 2 2 9 0









x k

x k k k

x k
x k


 
  

     

 


  

 
p

p
p
p
p p
2
2
9
9
2

Câu 7. [1D1-3.3-3] Phương trình: sin .sinx x .sinx cos x

   

p 2p

4 3 1

3 3 có các nghiệm là:

A. 
x k
x k

 


 

p p

p
2
6 3
2
3
. B. 
x k
x k

 


 

p p
p
4
3

. C. x k

x k

 




p p
p

3 . D.

x k
x k

 


 

p p
p
2
2
4
.
Lời giải
Chọn A.

sin .sinx x .sinx cos x

   

p 2p

4 3 1

3 3





sinxcos  cos x  cos x

      

 

p p

2 2 3 1

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

sinx cos x cos x

    

 

2 2 3 1





sinx sin x sin x cos x

  3    3 1

sin x cos x

 3  3 1

sin x 

   

 

p

2 3 1

sin x  sin

   

 

p p

4 4





x k

k

x k





  

  



p

p p

2
3

6 3

Câu 8. [1D1-3.5-4]Giải phương trình tanxtan2x sin3x.cos2x.
A. x kp

3 , x p k2p.B.

k

x  p

3 , x k

p

p
2 2 .
C. x kp

3 . D. x k 2p.

Lời giải
Chọn A

Điều kiện:

x k



 





  




p p

p p

4 2

sin
sin

sin cos

cos cos cos cos

pt x x x x

x x x x




  

 



 3 3 2 3 0 2

2 1 2 0

sin x3  0 x k p
3









cos cosx x cosx cos x cosx cos x cos x

 2            

1 2 0 2 1 4 0 2 1 1 3 1 5 0

cos
cos

cos
cos
x

x
x

x x k




      



 



p p

1 0

1 0 1

1 5 0

3 .

Câu 9. [1D1-2.4-3]Giải phương trình tan  x.tan  x

   

p p

3 3 2 1.

A. x p kp

6 . B. x k

p p

3 . C. x k

p p

6 . D. Vô nghiệm.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Điều kiện:

x k x k

 

    

 



 

      

 

 

p

p p p p

p p p p

2 6

2 12 2

pt tan  xcot  x  x   x k  x k

   

p p p p p p

p p

3 3 2 3 2 3 2 6 (Loại).

Câu 10. [1D1-3.5-4]Giải phương trình cot



cos sin



.sin
cos sin

x x x

x

x x






2 2

6 6

8 2 .

A. x pkp

4 . B.

k

x  p p

4 2 . C. x k

p

4 . D.

k

x  p p

4 2 .

Lời giải

Chọn D

Điệu kiện: sin

cos sin
x

x k

x x




 



 



p

6 6

2 0

2
0





cos cos .sin

pt cos sin cos cos sin

sin sin cos

x x x

x x x x x

x x x

    



2 2 2

2 2

2 2 2

8 8 2 1 3 2 2

2 1 3









cos

cos sin sin

sin
x

x x x x k

x VN






       

 



p p

2 2

2 0

2 8 6 2 2 0 8

4 2

2
7

Câu 11. [1D1-2.4-4]Phương trình tanxtanx tanx 

   

p 2p

3 3 3 3 tương đương với phương

trình.

A. cot x  3. B. cot x 3 3. C. tan x  3. D. tan x 3 3.
Lời giải

Chọn D

Điều kiện:
cos
cos

cos
x

x

x


 



  

 

  

 



  

 

  

 



p

p
0

0
3

2 0









sin

sin sin sin

cos cos cos cos cos cos

x

x x x

x x x x x



     

     

   

     

     

p

p p p p

2 2 2

3 3 3 3

2 2

3 3 3





sin sin sin sin cos sin cos

cos cos cos cos

sin sin sin sin sin

tan tan

cos cos cos

x x x x x x x

x x x x

x x x x x

x x

x x x

 

    

 

   

     

 

4 2 3 3 2 2 4 2 3 3

1 2 2 1 2 2

3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3

Câu 12. [1D1-2.4-3]Giải phương trình sin tan
sin

x

x
x



 


2

2
2

1 4

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

A. xpk p

3 2 . B. x k

p

6 2 . C. x k

p

3 . D. x k

p

6 .

Lời giải
Chọn C

Điều kiện: cos x 0 x p kp

2 .

sin sin cos

cos c

os c

x x x

 

  

   

2 2

2 2 2

1 1 1 2 1

4 4

2 4 cos x  x k

p p

1
2

2 3

PHẦN 3: ÔN TẬP

Bài 1. Giải phương trình:



2cosx 1 2

 

sinxcosx



sin2x sin x

 



Bài giải



2cosx1 2

 

sinxcosx



sin2x sin x

 



(

)(

)

(

)

Û 2cosx 1 2sinx- +cosx - sinx 2cosx 1- =0

(

) (

)

(

)(

)

Û 2cosx 1 2sinx- ëéê +cosx - sinxúûù= Û0 2cosx 1 sinx- +cosx =0

(

)

2cosx 1 0 cosx cos3 x 3 k2 k;l

sinx cosx 0 tanx 1

x l

é p

é p ê = ± + p

é - = ê = ê

ê ê

Û ê Û Û ê Ỵ

+ = ê p

ê =

-ë êë ê = - + p

¢ .

Bài 2. Giải phương trình: cos3x+cos2x cosx 1 0- - =

( )

*
Bài giải tham khảo

( )

* Û 4cos x 3cosx 2cos x 1 cosx 1 03 - + 2 - - - = Û 2cos x cos x 2cosx 1 03 + 2 - - =

(

) (

)

(

)

(

)

Û cos x 2cosx 12 + - 2cosx 1+ = Û0 2cosx 1 cos x 1+ 2 - =0

(

)

(

)

2cosx 1 sin x2 0 sinx 0 x k k;l

1 2

cosx x l2

2 3

é = é = p

ê ê

Û - + = Û Û p Î

ê = - ê = ± + p

ê ê

ë ë

¢ .

Bài 2. Giải phương trình: sinx cosx 1 sin2x cos2x+ + + + =0

( )

Bài giải

( ) (

* Û sinx+cosx

)

+2sinxcosx 2cos x+ 2 =0

(

)

(

)

Û sinx+cosx +2cosx sinx+cosx =0

(

)(

)

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

(

)

sinx cosx tanx 1 x k

4 k;l

1 2 2

cosx cosx cos x l2

2 3 3

é p

é = - é = - ê = - + p

ê ê ê

ê ê

Û Û p Û ê Ỵ

ê = - ê = ê = ± + pp

ê ê ê

ë ë ë

¢ .

Chủ đề 2.5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN CÓ NGHIỆM THOẢ
MÃN

ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN (trình bày như trong phần 2.4)
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

Khi giải phương trình lượng giác có nghiệm thỏa điều kiện cho trước, ta làm như sau:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2. Giải phương trình để tìm nghiệm.

Bước 3. So sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình và điều kiện cho trước của 
bài toán để loại những nghiệm không thỏa

C. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Mức độ nhận biết

Câu 1. [1D1-2] Giải phương trình  tan x 

 

p

3 3 2 0

3 với x



 

p 2p

4 3

Giải:

Phương trình tương đương với tan x   x k ,k .

  

p p p

2 3

3 3 2

k k

x

Vì p 2p p p  p2p 7p p p  7k2

4 3 4 3 2 3 12 2 3 6 3

Do k   nên k  



1 0 .;



Với k 1 thì xp

6 , với k 0 thì x 
p
3.
Vậy xp

6 và x 
p

3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2. Tìm nghiệm 0 x   của phương trình sin 2 1.

2
x 

Giải:

Ta có sin 2 1
2

x   sin 2 sin
6
x   

 



2 2

x k





 



 




   



 12

7
12

x k








 




  



</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

- Trường h p 1: ợ

x  k. Do 0 x   nên 0

12 k


 

    1 13

12 k 12

   .

Vì k   nên ta chọn được k  thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm 1 11
12
x  .

- Trường h p 2: ợ 7
12

x  k . Do 0 x   nên 0 7
12 k



 

   7 5

12 k 12

    .

Vì k   nên ta chọn được k  thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm 0 7
12
x  .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 11 , 7 .

12 12

x  x 

Câu 3. Tìm nghiệm

2 x 2

 

   của phương trình sin 1.
2
x 

Giải:

Ta có sin 1
2

x   sin sin
6
x 

 



2
6

x k





 



 




   




2
6
5

2
6

x k








 




  



, k  .

- Trường h p 1: ợ
6

x k . Do

2 x 2

 

   nên 2

2 6 k 2

  



    1 1

3 k 6
    .
Vì k   nên ta chọn được k 0 thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm

6
x .

- Trường h p 2: ợ 5 2
6

x  k  . Do

2 x 2

 

   nên 5 2

2 6 k 2

  



    2 1

3 k 6

    .
Vì k   nên ta không chọn được giá trị k thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm
6
x .

Câu 4. Tìm nghiệm   x 3 của phương trình sin 1

4
x 

 

 

 

 

Giải:

Ta có sin 1
4
x 

 

 

 

   x 4 2 k2

 


    2

x k  , k  .

Do   x 3 nên 2 3
4 k


      3 11

8 k 8

   .

Vì k   nên ta chọn được k 1 thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm 9
4
x  .

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất 9
4

x  .

Câu 5. Tìm nghiệm 0 x 2 của phương trình 2 cos 1

3
x 

 

 

 

 

Giải:
3

2 cos 1 cos cos

3 3 4

x  x  

   

    

   

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

3
2

3 4

3
2

3 4

x k

 



 




  


 

   



, k  .

5
2
12

13
2
12

x k








 


 

  



, k  .

Vì 0 x 2 nên
5

0 2 2

12
13

0 2 2

12
k

k


 



 



  




   



5 19

24 24

13 37

14 24

k

k


  


 

  



1
k
k



  



Vậy phương trình trên có hai nghiệm 5 , 11 .

12 12

x  x 

Câu 6. Giải phương trình 2 cos 1

3
x 

 

 

 

  với 0 x 2
Giải:

2 3 4

2 cos 1 os os

3 3 2 4

3 4

x k

x c x c

x k

 


  

 




  



   

       

   

      




2
12

7
2
12

x k








 


 

  





k Z



Xét 2

x  k  : Vì 0 x 2 nên 23
12
x 

Xét 7 2

x  k  : Vì 0 x 2 nên 17
12
x 

Vậy tập nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện là 23 ;17
12 12

S   

 

Câu 7. Tìm nghiệm x



180 ;180 



  của phương trình 2sin 2



x 40



 3
Giải:

Ta có 2sin 2



x 40



  sin 2



40



x 

  





sin 2x 40 sin 60

   2 40 60 360

2 40 120 360

x k

  

   

 

  



, k  .

2 100 360

2 160 360

x k

 

  

 

 



, k  . 50 180
80 180

x k

 

  

 

 



, k  .

- Với k  thì 0 x 50 , x 80

 

- Với k  thì 1 x 130 , x 100

  .

Vậy có 4 nghiệm thuộc



180 ;180 



 là x 50 , x 80 , x 130 , x 100 .

   

Câu 8. Tìm nghiệm của phương trìnhsin 2 3

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Ta có:

2 2

3 3 6

sin 2 , ,

2
2

2 2

3 3

x k x k

x k k

x k x k

 

 

   

 

      

     

 

 

Z Z .

 Cách 1: Dựa vào đường trịn lượng giác ta có số nghiệm của phương trình là 6.

Cách 2: Giải lần lượt:

1 17

0 3 0,1, 2

6 k 6 k 6 k



 

         .

1 8

0 3 0,1, 2

3 k 3 k 3 k



 

         .

Vậy các nghiệm của phương trình thuộc



0;3



là ; ;7 ;4 ;13 ;10 .

6 3 6 3 6 3

     

Câu 9. Giải phương trình 2 tanx 2cotx 3 0 v i ớ ;
2




 



 

 

Giải:
Điều kiện: sin 2x  .0

Phương trình: 2 tanx 2cotx 3 0 .

tan 2

2 tan 3 tan 2 0 1

tan

2
x

x x

x





    

 



Dùng đường tròn lượng giác ta thấy trên khoảng ;
2




 



 

  phương trình có 3 nghiệm.

Mức độ thơng hiểu

Câu 10. Tìm nghiệm của phương trình cos2x– cosx 0 thỏa điều kiện 0 x 
  .
Giải:

Ta có cos2 x– cosx 0  cosx



cosx1



0
cos 0

cos 1 0
x
x




   

 22





x k

k
x k







 


 







Với 0 x   0 2





0 2

k

k
k



 
 


  



 



 









1 1

2 2

1
0

2
k

k
k



  


  

  


 k 0

VN


 

 x 2.



 

Vậy nghiệm của phương trình có nghiệm
2

x thỏa điều kiện đề bài.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

cos 2 sin 0 cos 2 sin cos 2 os
2
x x  x x x c x 

 





2 2

2
2

2 2

6 3

x k

x x k

k
k
x

x x k






 







 

   



    



     



 

 .

Mà x



0;2



 x 2 6;7;116

 .

Câu 12. Giải phương trình sin 3 0

cos 1
x

x  với [2 ; 4 ] 
Giải:

Điều kiện: cosx  1 0 x  k2 . Trên



2 , 4  , điều kiện



x3.
Ta có cossin 3xx1 0 sin 3x 0 3x k   x k 3;k

 .

Vì x



2 , 4 



nên 2 4 6 12; 7;8;9;10;11
3

k k k k

        

7 8 10 11

2 , , , 3 , , , 4

3 3 3 3

x        .

So với điều kiện, ta chỉ còn x2 , 73 , 83 , 103 , 113 , 4.

Câu 13. Giải phương trình cos2x cosx 0

  v i ớ 3

2 x 2

 

 
Giải:

cos xcosx0 cos 0

cos 1

x
x




  



x k

k

x k




 



 


 



 


.

Do 3

2 x 2 x

 



 

 

Câu 14. Giải phương trình 2sin2x 3sinx 1 0
   v i ớ 0

2
x 
 
Giải:

Đ t ặ tsinx



  1 t 1



, phương trình tr thành: ở 2

2 3 1 0 1

2
t

t t

t




   

 

V i ớ t 1, ta có: sin 1 2





x  x k  k 

Do 0

2
x 

  nên 0 2

2 k 2

 



   1 0.

4 k


   Vì k  nên khơng t n t i k.ồ ạ

V i ớ 1
2

t  , ta có: sin 1 sin

2 6

x  

2
6
5

2
6

x k








 


 

  



Do 0

2
x 

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

V y phậ ương trình có nghi m ệ
6

x th a đi u ki n ỏ ề ệ 0

2
x 
  .

Câu 15. Giải phương trình 2cos2 x 3sinx 3 0

   với 0

2
x 

 
Giải:

2cos x3sinx 3 0  2 1 sin



 2 x



3sinx 3 0

2sin x 3sinx 1 0

   

sin 1
1
sin

2
x

x






 



2 ,
6

5
2
6
x k

x k k

x k







 



   




  



.

Do 0

2
x 

  nên ta ch n ọ
6
x .

Câu 16. Tìm m để phương trình cos2

2 4
x

m


 

 

 

  có nghiệm.
Giải:

0 cos 1, 0 1

2 4
x

x m



 

        

   .

Vậy với 0 m 1 thì phương trình có nghiệm.
Câu 17. Giải phương trình sin2 x sinx 0

  với 0x  :
Giải:





2 sin 0

sin sin 0 sin sin 1 0 ;

sin 1 2

2
x k
x

x x x x k

x x k










 

        



  





TH1. x k k ;  . Vì 0 x   nên 0k   0k   .1 k

TH2. 2 ;

x k  k .

Vì 0 x   nên

1 1

0 2 0

2 k 4 k 4 k x 2

 

           .

Câu 18. Giải phương trình sin2 x sinx 0

  với

2 x 2

 

  
Giải:

Ta có sin2 sin 0 sin 0 3 ;

sin 1 2

2
x k
x

x x k










 

     



  



.

TH1. x k k ;  

Vì

2 x 2

 

   nên 1 1; 0

2 k 2 2 k 2 k k

 



</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

TH2. 3 2 ;

x  k  k 

Vì

2 x 2

 

   nên 3 2 5 1;

2 2 k 2 3 k k k

  



           .

Mà 0.

2 x 2 x

 

    

Câu 19. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin 3 .cosx xsin 2x thuộc



0; 2



Câu 20. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 3 2 2 2 2

sin x sin x sin cosx x thuộc 0;
Giải:





2
2

3 2 2

1 2

3 3

1 2

2 3 0

3 3

2 2

2
3

sin sin sin cos

cos

sin sin( ) sin

cos

sin

sin sin

sin
sin

x x x x

x

x x x

x

x x

x k
x

x k k

x

x k






 



    



 

  





  

 

    

  

 



 






Xét trên 0; , phương trình đã cho có 4 nghiệm lần lượt là 0 2

3 3
; ;  ; .

 

 

 

Câu 21. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 5 3 7 5

sin xcos xsin xcos x thuộc 0
2
;

 

 

 

Giải:

Ta có sin5xcos3xsin7xcos5x sin2xsin8xsin2xsin12x





8 12

20 10


 





    

  





sin sin .

k
x

x x k

k
x

Trong 0 2 ;

  phương trình đã cho có các nghiệm là:

2 7 9

20 20 4 20 20 2

     

; ; ; ; ; ; .

Câu 22. Tìm m đ phể ương trình 2sin x2 



2m1



sinx m 0 có nghi m ệ ;0
2
x   

 .
Giải:

V i ớ ;0 1 sin 0

x      x

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>





2sin x 2m1 sinx m 0

sin

2
sin

x

x m











Phương trình có nghi m ệ x  2;0  1 sinx0 1 m 0.

 

  



Câu 23. Giải phương trình 2cos 22 3cos 2 5 0

3 3

x  x 

   

    

   

    v i ớ

3 3
;
2 2

 

 



 

 

Giải:









cos 2 1

2cos 2 3cos 2 5 0

3 3 5

cos 2

3 2

cos 2 1 2 2

3 3 6

x

x x

x Loai

x x k x k k



 



  

 

  

 

 



 

    

     

   



     

 

  

 



 

        

 

  

Theo đề ra

7
6
1

3 3 4 5

2 6 2 3 3 6

1 5

x
k

x k k k x

k

x


   










 

 

            

 

  



 


Câu 24.

Mức độ vận dụng-vận dụng cao

Câu 25. Tìm nghiệm của phương trình cos 4 tan 2

cos 2 
x

x

x trong khoảng 0; 2


 

 

 

Giải
Điều kiện: cos 2x 0 sin 2x1

Ta có : cos 4 tan 2
cos 2 

x

x  cos 4xsin 2x

1 2sin 2 sin 2

  x x  2sin 22 xsin 2x1 0

 

sin 2 1
1
sin 2

 




 



x l

x n

3








 


 

  


x k



k 



Vì 0;
2


 

  

 

x ;

6 3

 

 x x

Câu 26. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>













sin 8 cos 4 1 2 sin 2 .cos 6

sin 8 cos 4 1 2. sin 8 sin 4
2

cos 4 sin 4 1

2 sin 4 1

4 2

2 4 4 2

sin 4

4 2

8 2

4 4

  

     

  

 

   

 






   



 

        

         



 



x x x x

x x

x

k
x

x k

k
x

x k




 




 

Các nghiệm thuộc khoảng



  của phương trình là:;



 2; 0;2 8; ;58 ; 38 ; 78 .

 

     

Câu 27. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 3 sin 3 2 sin .sin 2 cos

0
sin

x x x x

x

 

 thuộc

2 2
 

 



 

 ; 
Giải:

Điều kiện sinx 0 xk



k 











3 sin 3 2 sin .sin 2 cos

0
sin

3 sin 3 2 sin .sin 2 cos 0
1

3 sin 3 2. cos 3 cos cos 0
2

3 sin 3 cos 3 2 cos

sin 3 sin

6 2

3 2

6 2 12 2

3 2

6 2

x x x x

x

x x x x

x x x

x x

k

x x k x

k

x k

x x k

 



   



    

  

   

      

   

 

     

 

    

        

 





 

   



 



 

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:





12 2

6
k
x

k

x k



 






  




 




Các nghiệm thuộc ;
2 2

 



 

 

 

của phương trình là: ; 5 ;1 .
12  12 6



 

Câu 28. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sinxsin 2xsin 3x0 thuộc



0; 



Giải:









        

 




 

    


  

   





sin sin 2 sin 3 0 2 sin 2 .cos sin 2 0 sin 2 . 2 cos 1 0

sin 2 0 2

2
2 cos 1 0

2
3

x x x x x x x x

k
x
x

k
x

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Các nghiệm thuộc



0; 



của phương trình là:  ;2.
2 3

Câu 29. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin 3 2 sin2 2 sin cos 2

x x x x thuộc đoạn 0; 2
?

Giải:









2
2

sin 3 sin 2 sin cos 2
3

2 1

sin 3x sin 2. sin 3x sin
2

sin 0
2 3

sin sin 0 3 2 ,

3 sin 3

2 2

2
3

 

    





  

 

        

  

 



 






x x x x

x x

x k
x

x x x k k

x

x k






Câu 30. Vậy các nghiệm thuộc 0; 2 của phương trình là:  0; ; 2 ; ;2 .
3 3

 

  Tìm nghiệm của

phương trình 2 2 2 3

sin sin 2 sin 3
2

x x x trong khoảng ;
2 2
  



 

 

Giải









      

  

 


     


   




2 2 2 3

sin sin 2 sin 3 cos 2 cos 4 cos 6 0
2

8 4
cos 4 2 cos 2 1 0

x x x x x x

x k

x x k

x k

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng ;
2 2
  



 

 là:
3

, , ,
8 8 3 3
   



Câu 31. Tìm nghiệm của phương trình sin 2 sin  1  1 2 cot 2

2 sin sin 2

x x x

x x trong khoảng



0;



.
Giải

  1  1 

sin 2 sin 2 cot 2

2 sin sin 2

x x x

x x (1), điều kiện :sin 2x0
(1)  sin 22 xsin 2 sinx x cosx 1 2 cos 2 x

 

    

   

 

         

  



2 2

2
sin 2 1 cos (2 sin 1) 2 cos 2

cos 2 cos 2 .cos 2 cos 2 0

cos 2 (cos 2 cos 2) 0

cos 2 0

cos 2 (2 cos cos 1) 0 ;

4 2

2 cos cos 1 0 ( )

x x x x

x x x

x k

x x x x k

x x VN ¢

Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc



0; 



là

 ; 3.

4 4

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Câu 32. Phương trình cos 22x3cos18x3cos14xcos10x0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
0;

 
 
 

Giải

























cos 22 3cos18 3cos14 cos10 0
cos 22 cos10 3 cos18 cos14 0
2 cos16 cos 6 cos 2 2 cos 2 0
2 cos16 cos 6 cos 2 2 cos 2 0
2 cos16 2 cos 4 cos 2 2 cos 2 0
8 cos16 .cos 2 0

32 16

4 2

x x x x

x x

x k

k

x k

   

    

   

  

 

  

 


  

 
  




Vậy các nghiệm thuộc khoảng 0;
2
 
 

  thỏa mãn:





0 8 0,1,2,3,4,5,6,7

32 k16 2 2 k k

  

        

0 1 0

4 k2 2 2 k k
  

        

Vậy phương trình có 8 nghiệm thuộc khoảng 0;
2
 
 
 

Câu 33. Tìm m để phương trình

2 sinx mcosx



 

1 m

(1)

có nghiệm ;

2 2

x  

 
 .

Giải
(1 ) 1 2sin

m cosx   x
Vì:   

 

 2 2; 

x nên 1cosx0 do đó:

2
2

1 4sin

1 2sin 2 2 1

(tan 1) 2 tan

1 2 2 2 2

x x

cos

x x x

m m m

cosx cos x




      


2

2 tan 4 tan 1

2 2

x x

m

   

Cách 1: 2 tan2 4 tan 1 2 (2 tan )2 3

2 2 2

x x x

m    m  

Vì   

 

 2;2

x nên

2 2

1 tan 1 1 2 tan 3 1 (2 tan ) 9 2 (2 tan ) 3 6

2 2 2 2

x x x x

                

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Đặt: tan
2
x

t  ta có   

 

 2;2

x thì t  



1;1



khi đó ta có: 2m  t2 4 t 1

 với t  



1;1



( ) t 4 t 1 ( )

P t    P

Do ( )P là parabol có hệ số a 0 và đỉnh I(2; 3) nên ( )P đi xng trên



1;1



do đó đường
thẳng y2m cắt ( )P với t  



1;1



khi: P( 1) 2 m  P(1) 2 2 m   6 1 m3

Câu 34. Tìm nghiệm của phương trình sin 42 3.sin 4 .cos 4 4.cos 42 0

  

x x x x khoảng 0 ;

2


 

 

 

Giải

Nhận thấy cos 4x0 không là nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho cos 4x, ta
được phương t:





2 tan 4 1 16 4

tan 4 3. tan 4 4 0 , .

tan 4 4 1

arctan 4

4 4

 




 






       



    




k

x

x x k

x k

x

Do 0 ; ;5 ; arctan 41





; arctan 41





2 16 16 4 4 4 2

    

 

       

 

 

x x

Câu 35. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos5 cos cos4 cos 2 3cos2 1

  

x x x x x thuộc khoảng



 ;



.

Giải:

Phương trình  cos5 cosx xcos 4 cos 2x x3cos2x1









1 1

cos6 cos4 cos6 cos2 3cos 1

2 2

 x x  x x  x

2
cos 4 cos 2 6cos 2

 x x x

2cos 2 1 cos 2 3 3cos 2 2

 x  x  x

2 cos 2 1

2cos 2 4cos2 6 0 , .

cos 2 3( ) 2







         





x

x x x k k

x PTVN

Vậy các nghiệm thuộc khoảng



 ;



của phương trình là , .

2 2

 

 

x x

Câu 36. Tìm các nghiệm thuộc khoảng 2 ;6
5 7

 

 

 

 của phương trình: 3 sin 7x cos 7x 2.
Giải:

3 1 2

sin 7 os7 sin 7 sin

2 2 2 6 4

PT  x c x   x   

 

5 2 2 5 2 6 2 5 2 6 5

* :

84 7 5 84 7 7 5 84 7 7 84

53
2

k k k

Khi x

k x

     



          

   

2 3

11 2 2 11 2 6 2 11 2 6 11

* :

84 7 5 84 7 7 5 84 7 7 84

35 59

1, 2 ;

84 84

k k k

Khi x

k x x

     

 

          

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Câu 37. Tìm các nghiệm thuộc khoảng ;3
2




 

 

  của phương trình:

5 7

sin 2 3cos 1 2sin

2 2

x  x  x

   

    

   

    (*)

Giải:

(*) 2 2 3cos 4 1 2sin

2 2

sin x   x   x

         

   

os2 3sin 1 2sin 1 2sin 1 sinx

c x x x x

       

sinx 0

2sin sinx 0 1 6

sinx

5
2

2
6
x k

x k

x

x k






  






  



    

  




  




1 2 3 4 5

13 5 17

( ;3 ) ; 2 ; ; ;

2 6 6 6

Do x    x  x   x   x   x  

Câu 38. Tìm m để phương trình s inxmcosx m có 4 nghiệm thuộc khoảng ;7
3




 



 

 

Giải:

cos 1 0 à 2

s inx (1 cos ) s inx s inx

(*)

1 cos 1 cos

x x v x

PT m x

m m

x x



  

 

 

    

   

 

 

Vậy để phương trình ban đầu có 4 nghiệm thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;7
3



 



 

 

Nhưng số nghiệm của (*) thuộc khoảng ;7
3




 



 

  lại chính là số giao điểm của đường thẳng

y m với

đồ thị (C) có phương trình: s inx ê ;7

1 cos 3

y tr n D

x




 

   

  





cos 1

ét àm : ' 0

1 cos
x

X h y x D

x


   



Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị m cần tìm là 3

m
m

 





Câu 39. Tìm m để m(sinxcosx1) 1 2sin cos  x x có nghiệm thuộc 0;
2

 
 
 
Giải:

Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x 

 

Ta có: 0 3

2 4 4 4

x   x  

      2 sin 1 1 2

2 4

 

       

x  t

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Khi đó phương trình trở thành: m t( 1) 1 (  t21)

2
1
t
m

t

 


Xem hàm số ( ) 2 , t 1, 2

1
t
f t

t  

  







2 2

'( ) 0, 1, 2

2
1

t t

f t t

t


 

    

 



Suy ra ( ) 2 , t 1, 2
1

t
f t

t  

 

 

 là hàm tăng trên
1, 2

 

  .

Do đó phương trình có nghiệm  f(1)mf( 2) 1 2



2 1



2 m

   

Câu 40. Cho phương trình: 2 cos 2x sin2xcosx sin cosx 2 x m(sinx cos )x

    (1). Tìm m để phương

trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc 0;
2

 
 
 

GIẢI

Ta có: 2 cos 2x sin2 xcosx sin cosx 2 x

 



2 2



2 cos x sin x sin cos (sinx x x cos )x

   





2(cos sin )(cos sin ) sin cos (sin cos )
(sin cos ) 2(cos sin ) sin cos

x x x x x x x x

x x x x x x

    

   

Do đó (1) (sinxcos ) 2(cosx



x sin ) sin cosx  x x m



0
sin cos 0 (2)

2(cos sin ) sin cos 0 (3)

x x

x x x x m

 



     



Ta có (2) sin cos 1

4
 x x tgx  x  k
Đặt cos sin 2 cos( )

t  x x x ,t  2

Khi đó phương trình (3) trở thành :2 1 2 0
2

t

t   m t2 4 2 1 0 t m  (*)

Ta có: 0 3

2 4 4 4

x   x  

     

Nhận x é t: Nghiệm của (2) không thuộc 0,
2

 
 
 .
Do đó: Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc 0,

2

 
 
 .
Suy ra phương trình (*) có nghiệm thuộc



1;1



Ta có: (*)t2 4 1 2 t  m
Xét hàm số f t( ) t2 4t

  trên



1;1



'( ) 2 4 0, [1, 1]

f t t t

      

( ) 4

y f t t t

    là hàm số giảm trên



1;1



Vậyycbt  f(1) 1 2  mf( 1)    3 1 2m  5 2m2.
Câu 41.

Câu 42.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Giải:

Ta có sin 2xcos 2x3 sinx cosx 2 0

      

     

2 sin cos 1 2 sin 3 sin cos 2 0
2 sin (2 cos 3) sin cos 1 0 (1)

x x x x x

x x x x

Chú ý : (1) là phương trình bậc 2 với biến sin x
Ta có :  (2 cosx3)2 8(cosx1) (2 cos x1)2

Nghiệm của (1) :

   

  




  

  



2 cos 3 2 cos 1

sin cos 1

2 cos 3 2 cos 1 1
sin

4 2

x x

x

 

 

         

 

sin cos 1 sin cos 1 sin sin

4 2 4

x x x x x

 



  


 

  


2
;
2
2

x k

k

x k ¢

Vậy, nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là 

x .

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT

Câu 1. Phương trình sin 1
2

x  có nghiệm thỏa mãn

2 x 2

 

   là :

A. 5 2

x  k  , k  . B.

x , k  .

C. 2

x k  , k  . D.

x , k  .
Hướng d n gi iẫ ả

Ch n ọ B.
Ta có sin 1

x   sin sin
6
x  

 



2
6

x k





 



 




   




2
6
5

2
6

x k








 




  



, k  .

Trường h p 1: ợ
6

x k . Do

2 x 2

 

   nên 2

2 6 k 2

  



    1 1

3 k 6
    .
Vì k   nên ta chọn được k 0 thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm

6
x .

Trường h p 2: ợ 5 2
6

x  k . Do

2 x 2

 

   nên 5 2

2 6 k 2

  



    2 1

3 k 6

    .
Vì k   nên ta không chọn được giá trị k thỏa mãn.

1 6

sin sin ;

2 6

2
6


 


    

  



x k








</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Vậy phương trình đã cho có nghiệm
6
x .

Câu 2. Phương trình sin 2 1
2

x  có bao nhiêu nghiệm thõa 0 x   .

A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.

Hướng d n gi iẫ ả
Ch n B.ọ

Ta có sin 2 1

x   sin 2 sin
6
x  

 



2 2

x k





 



 




   



 12

7
12

x k








 




  



, k  .

Trường h p 1: ợ

x  k. Do 0 x   nên 0

12 k


 

    1 13

12 k 12

   .

Vì k   nên ta chọn được k  thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm 1 11
12
x  .

Trường h p 2: ợ 7
12

x  k. Do 0 x   nên 0 7
12 k



 

   7 5

12 k 12

    .

Vì k   nên ta chọn được k  thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm 0 7
12
x  .
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Câu 3. Phương trình sin 1
2

x  có nghiệm thỏa mãn

2 x 2

 

   là :

A. 5 2

x  k  , k  . B.

x , k  .

C. 2

x k  , k  . D.

x , k  .
Hướng d n gi iẫ ả

Ch n ọ B.
Ta có sin 1

x   sin sin
6
x  

 



2
6

x k





 



 




   




2
6
5

2
6

x k








 




  



, k  .

Trường h p 1: ợ
6

x k . Do

2 x 2

 

   nên 2

2 6 k 2

  



    1 1

3 k 6
    .
Vì k   nên ta chọn được k 0 thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm

6
x .

Trường h p 2: ợ 5 2
6

x  k . Do

2 x 2

 

   nên 5 2

2 6 k 2

  



    2 1

3 k 6

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Vậy phương trình đã cho có nghiệm
6
x .

Câu 4. Nghiệm của phương trình cos2x– cosx 0 thỏa điều kiện 0 x   :
A.

x , k  . B.
2

x , k  . C.

x , k  . D.

x  , k  .
Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có cos2 x– cosx 0  cosx



cosx1



0
cos 0

cos 1 0
x
x




   







2
2

x k

k
x k






 


 







Với 0 x   0 2





0 2

k

k
k



 
 


  



 



 









1 1

2 2

1
0

k

k
k



  


  

  


 k 0

VN


 

 2

x 

 

Câu 5. Phương trình: sin 1
2

x  có nghiệm thỏa mãn

2 x 2

 



  là

A. 5 2

x  k  . B. 
6

x . C. 2

x k  . D. 
3
x .
Hướng dẫn giải

Chọn B.





1 6

sin sin sin ,

2 6

2
6

x k

x x k

x k









 


     

  



 .

Mà

1 1

2 6 2 6 6 0

5 2 1

2 2

2 6 2 3 6

k k

x k

k k

  



 

  




 

     

 



       



      

 

 

Với 0

6
k   x .

Câu 6. S nghi m c a phố ệ ủ ương trình sinxcosx trong đo n ạ



 ;



là

A. 2. B. 4. C. 5. D. 6.

Hướng d n gi i.ẫ ả
Ch n A.ọ

Ta có s inx cos x sinx cos x0 sin 0
4
x 

 

   

  x 4 k k, .




    



;



x      k  5 3
4 k 4

    0

1
k
k



  



</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Câu 7. Nghi m c a phệ ủ ương trình lượng giác : cos2x cosx 0

  th a đi u ki n ỏ ề ệ 0 x   là
A.

x . B. x 0. C. x  . D.

2
x .
Hướng d n gi i:ẫ ả

Ch n ọ A.

cos x cosx0 coscosxx10



,
2

x k

k
x k






 


 






.

Do 0 x   nên ta ch nh n nghi m ỉ ậ ệ
2
x .

Nh n xét: Ch c n ki m tra đi u ki n ậ ỉ ầ ể ề ệ 0 x   ta ch n A.ọ
Câu 8. Nghi m c a phệ ủ ương trình lượng giác: 2cos2x 3sinx 3 0

   thõa đi u ki n ề ệ 0

2
x 
  là:
A.

x . B.

x . C.

x . D. 5

6
x  .
Hướng d n gi i:ẫ ả

Ch n ọ C.
2

2cos x3sinx 3 0  2 1 sin



 2 x



3sinx 3 0

2sin x 3sinx 1 0

   

sin 1
1
sin

2
x

x






 



2 ,
6

5
2
6
x k

x k k

x k







 



   




  



.

Do 0

2
x 

  nên ta ch n ọ
6
x .

Câu 9. Nghi m c a phệ ủ ương trình sin2x sinx 0

  th a đi u ki n: ỏ ề ệ

2 x 2

 

  
A.

x . B.x 0 . C.

x . D. x  .

Hướng d n gi iẫ ả
Ch n Bọ

sin xsinx0 sinsinxx01


 2

,
x k

x k k










 

  



 .

2 x 2

 

    x0

MỨC ĐỘ THƠNG HIỂU

Câu 1. Số nghiệm của phương trình sin 1
4
x 

 

 

 

  với   x 3 là:

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Ta có sin 1
4
x 

 

 

 

   x 4 2 k2

 


  

 2

x k  , k  .

Do   x 3 nên 2 3

4 k


      3 11

8 k 8

   .

Vì k   nên ta chọn được k 1 thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm 9
4
x  .

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất 9
4
x  .

Câu 2. Số nghiệm của phương trình: 2 cos 1
3
x 

 

 

 

  với 0 x 2 là :

A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

2 cos 1 cos cos

3 3 4

x  x  

   

    

   

   

3
2

3 4

3
2

3 4

x k

 



 




  


 

   



, k  .

5
2
12

13
2

x k








 


 

  



, k  .

Vì 0 x 2 nên
5

0 2 2

12
k

k


 



 



  




   



5 19

24 24

13 37

14 24

k

k


  


 

  



0
1
k
k



  


Vậy phương trình trên có hai nghiệm.

Câu 3. Số nghiệm của phương trình: sin 1
4
x 

 

 

 

  với   x 5 là

A. 1. B. 0. C. 2. D.3.

Hướng dẫn giải
Chọn D.





sin 1 2 2

4 4 2 4

x  x   k  x  k  k

 

         

 

   .

Mà 5 2 5 3 19



0;1; 2



4 4 8

x  k k k

                .

Vậy phương trình có 3 nghiệm trong



 ;5



Câu 4. Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos 15 sin
2

x

 

 

 

 



. Khi đó

A. 290X . B. 250X . C. 220X . D. 240X .
Hướng dẫn giải

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Ta có cos 15 sin cos 15 cos 90





2 2

x x

x x x

   

     

   

   

  

15 90 360 50 240

2 ;

210 720

15 90 360

2
x

x k x k

k

x x k x k



   

   

    

 



     



  

 

  



Vậy 290X .

Câu 5. Số nghiệm của phương trình 2

sin xsinx0 thỏa

2 x 2

 

   là

A. 3 . B. 2. C. 0 . D. 1.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Ta có sin2 sin 0 sinsin 01 3 ;
2
2
x k
x

x x k










 

     



  



.

TH1. x k k ;  

Vì

2 x 2

 

   nên 1 1; 0

2 k 2 2 k 2 k k

 



         .

TH2. 3 2 ;

x  k  k 

Vì

2 x 2

 

   nên 3 2 5 1;

2 2 k 2 3 k k k

  



           .

Câu 6. Số nghiệm của phương trình cos 0
2 4
x 

 

 

 

  thuộc khoảng



  là,8



A. 2. B. 4. C. 3 . D. 1.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Ta có cosx24 0 2x4 2k  x2k2 ; k

  .

Vì x



 ,8



nên  2k2 8  41k154 ;k k1; 2;3 5 , 9 , 13

2 2 2

x    .

Câu 7. Số nghiệm của phương trình sin 3 0
cos 1

x

x  thuộc đoạn [2 ; 4 ]  là

A. 2. B. 6 . C. 5 . D. 4.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Điều kiện: cosx  1 0 x  k2 . Trên



2 , 4  , điều kiện



x3.
Ta có cossin 3xx1 0 sin 3x 0 3x k   x k 3;k

 .

Vì x



2 , 4 



nên 2 4 6 12; 7;8;9;10;11
3

k k k k

        

7 8 10 11

2 , , , 3 , , , 4

3 3 3 3

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

So với điều kiện, ta chỉ còn x2 , 73 , 83 , 103 , 113 , 4 .

Câu 8. Số nghiệm của phương trình 2 cos 1
3
x 

 

 

 

  với 0 x 2 là

A. 3. B.2. C. 0 . D.1.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

2 3 4

2 cos 1 os os

3 3 2 4

3 4

x k

x c x c

x k

 


  

 




  



   

       

   

      




2
12

7
2
12

x k








 


 

  





k Z



Xét 2

x  k  : Vì 0 x 2 nên 23
12
x 

Xét 7 2

x  k  : Vì 0 x 2 nên 17
12
x 

Vậy tập nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện là
23 17

;
12 12
S   

  Có 2nghiệm.

Câu 9. Số nghiệm của phương trình tan tan3
11

x  trên khoảng ; 2
4




 

 

 

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Ta có tan tan3 3





11 11

x   x  k k 
3

2 0, 027 1,72 0;1.

4 11

k

k k k

 



        



Câu 10.S nghi m c a phố ệ ủ ương trình sinxcosx trong đo n ạ



 ;



là

A. 2. B. 4. C. 5. D. 6.

Hướng d n gi i.ẫ ả
Ch n A.ọ

Ta có s inx cos x sinx cos x0 sin 0
4
x 

 

   

  x 4 k k, .




    



;



x      k  5 3
4 k 4

    0

1
k
k



  



 phương trình có 2 nghi m ệ
trong đo n ạ



 ;



.

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Câu 1. [1D1-3.6-3]Tìm m để phương trình cos 2x



2m1 cos



x m  1 0 có nghiệm 3
2; 2
 

 

  

 

x .

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Lời giải
Chọn B

Ta có cos 2x



2m 1 cos



x m 1 0 2cos2x



2m 1 cos



x m 0

          .

Đặt tcosx, 3





2; 2 1;0
x    t

  .

Phương trình trở thành 2





 

1
2t 2m 1 t m 0 t 2 L

t m





    





YCBT   1 m0.

Câu 2. [1D1-3.6-3]Tìm m để phương trình



cos 1 cos 2

 

cos



sin2

  

x x m x m x có đúng 2 nghiệm

2
;

3
0 

 



 

 

x .

A. 1 m1 . B. 0 1
2

m . C. 1 1

 m- . D. 1 1
2

 m .
Lời giải

Chọn C

Ta có



cosx 1 cos 2

 

x mcosx



msin2x

  



cosx 1 cos 2

 

x mcosx



m



1 cosx

 

1 cosx



     

cos 1 cos 1

cos 2 cos cos cos 2

x x

x m x m m x x m

 

 

   

   

 

Với cosx 1 x  k2 : khơng có nghiệm ;2
3
0 

 



 

 

x .

Với cos 2 cos2 1
2
m
x m  x  .

Trên 0;2
3



 

 

 , phương trình cos x a có duy nhất 1 nghiệm với

1
;1
2
a   

 

Do đó, YCBT

1 1

1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2

2 2

1 1

2 2

m

m m

m

m m

m



  

      

 

  

            




  




  

 




Câu 3. [1D1-2.5-3]Các nghiệm thuộc khoảng 0;

2


 

 

  của phương trình

3 3 3

sin .cos 3 cos .sin 3
8

 

x x x x là:

A. ,5
6 6
 

. B. ,5

8 8
 

. C. ,5

12 12

 

. D. ,5

24 24

 

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Chọn D

Ta có sin .cos33 cos .sin 33 3 sin . 4 cos3



3 3cos



cos . 3sin3



4sin3



8 8

x x x x  x x x  x x x 



2 2



3 3 3 1

3sin cos sin cos sin 2 cos 2 sin 4

8 2 8 2

x x x x x x x

       

4 2

6 24 2

5 5

4 2

6 24 2

k

x k x

k

x k x

  



  



 

   

 

   

     

 



. 0; ; 5

2 24 24

x   x x 

  .

Câu 4. [1D1-2.5-3] Các nghiệm thuộc khoảng



0; 2 của phương trình:



4 4 5
sin cos

2 2 8

x x

là:

A. 
6


; 5
6



;  . B.

3


; 2
3


; 4

3


. C.

4


;
2


; 3
2


. D.

8


; 3
8


; 5

8


.
Lời giải

Chọn B
Ta có

4 4 5 2 2 2 2 5

sin cos sin cos 2sin .cos

2 2 8 2 2 2 2 8

x x  x x x x

      

 

1 3 3

sin sin

2 x 8 x 2

    .

Với

3 3

sin

2
2

2
3

x k

x

x k








 


  

  





0; 2



; 2

3 3

x   x x  .

Với

3 3

sin

4
2

2
3

x k

x

x k








 


  

  





0; 2



3
x   x  .

Câu 5. [1D1-3.9-3] Cho phương trình cos5 cosx x cos 4 cos 2x x 3cos2x 1

   . Các nghiệm thuộc

khoảng



 ;



của phương trình là:
A. 2 ,

3 3
 

 . B. ,2

3 3
 

 . C. ,

2 4
 

 . D. ,

2 2

 

 .

Lời giải
Chọn D

Phương trình tương đương 1



cos 4 cos6





cos6 cos 2



3 1 cos 2 1

2 2 2

x

x x  x x    

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>









1 1 1 cos2

cos4 cos6 cos6 cos 2 3 1

2 2 2

cos 4 4cos2 5
cos 2 4cos 2 6 0

cos2 1
cos2 3( )

x

x x x x

x x

x

x loai



 

      

 

  

   




  



2
x  k

  

Các nghiệm thuộc khoảng



 ;



của phương trình là ,
2 2
 

 .

Câu 6. [1D1-3.9-4] Cho phương trình: sin sin 3 cos3 3 cos 2

1 2sin 2 5

x x x

x

 

 

 

 



  . Các nghiệm của phương

trình thuộc khoảng



0;2 là:



A. ,5
12 12

 

. B. ,5

6 6
 

. C. ,5

4 4
 

. D. ,5

3 3
 

.
Lời giải

Chọn C

Điều kiện : 1 2sin 2 x0

Phương trình tương đương 5 sin 2sin sin 2 sin 3 cos3 3 cos 2
1 2sin 2

x x x x x

x
x

  

 

 

 



 





2
sin cos cos3 sin 3 cos3

5 3 cos 2

1 2sin 2
1 2sin 2 cos

5 3 cos2

1 2sin 2

5cos 3 cos 2 2cos 5cos 2 0

1
cos

3
cos 2 ( )

x x x x x

x
x

x x

x
x

x x x x

x

x k

x loai




   

 

   



 



 

   



 

      






   






Vì



0;2



, 5

3 3

</div>

Hướng dẫn giải các bài toán về phương trình lượng giác lớp 11 phần 5 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

 

 

 

 

 

(

)

 

 

(

)

 





 

 

<sub> </sub>

 

 

 

 





 

















 

 

 

 

 





 





 





 





 

 

<sub> </sub>

 

 

 

 





 

















 

 





 

 





 

 





 