Hướng dẫn giải các bài toán về biến cố và tổ hợp xác suất lớp 11 phần 3 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHƯƠNG II: </b>
<b>BÀI 3: NHỊ THỨC NIUTƠN</b>
<b>PHÂN 1 – LÝ THUYẾT</b>

<b>1. Nhị thức Newton</b>

<i><b> Định lí: </b></i>

n

n k n k k

n
k 0

(a b) C a  b



 

_

C a0 nn C an1 n 1b C an2 n 2 2b ... Cnn 1abn 1 C bn nn

   

     

<b>2. Nhận xét</b>

<b> </b> Trong khai triển Newton (a b) n có các tính chất sau
* Gồm có n 1 _{số hạng}

* Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n
* Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

* Các hệ số có tính đối xứng: Ckn Cn kn



* Số hạng tổng quát : Tk 1 C ank n k kb

 

<b>VD: Số hạng thứ nhất </b>T1T0 1 C a0 nn , số hạng thứ k:

   
 

  k 1 n k 1 k 1
k (k 1) 1 n

T T C a b

<b>3. Một số hệ quả</b>

<b> Hệ qủa: Ta có : </b>(1 x) n Cn0 xC1nx C2 2n ... x C n nn

Từ khai triển này ta có các kết quả sau
* C0nC1n... C nn2n

* Cn0  C1nCn2  ... ( 1) C  n nn 0

<b>PHẦN 2 – CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN</b>

<b>Dạng 1: Xác định hệ số của số hạng chứa </b>_xm<b>_{trong khai triển}</b>



_axp__bxq



n

với x 0 ₍p,q_{là các hằng số khác nhau).}

<b>Phương pháp giải: Ta có:</b>



p q



n n k

  

p n k q



k n k n k k np pk qk

n n

k 0 k 0

ax bx C ax  bx C a  b x  

 

 

_



_

Số hạng chứa xm ứng với giá trị k_thỏa:np pk qk  m_.

Từ đó tìm

m np
k

p q






Vậy hệ số của số hạng chứa xm_là:C ak n kn .bk


với giá trị k_{đã tìm được ở trên.}

Nếu k_{khơng ngun hoặc}k n _{thì trong khai triển khơng chứa}_xm_{, hệ số phải tìm bằng 0.}

<b>Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa </b>xm_{trong khai triển}

 



p q



n

P x a bx cx

được viết dưới dạnga0a x ... a x1   2n 2n.

Ta làm như sau:

* Viết

 









n

n k

p q k n k p q

n
k 0

P x a bx cx C a  bx cx



   

_



;

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng





k

p q

bx cx

thành một đa thức theo
luỹ thừa của x.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Ví dụ điển hình</b>

<b>Ví dụ 1. Tìm hệ số của </b>x5 trong khai triển đa thức của:









5 ₂ 10

x 1 2x x 1 3x

<b>Lời giải.</b>

Đặt









5 ₂ 10

f(x)x 1 2x x 1 3x

Ta có :

 

 

5 10

k i

k k 2 i

5 10

k 0 i 0

f(x) x C 2 .x x C 3x

 



_

 

_

 

5 10

k

k k 1 i i i 2

5 10

k 0 i 0

C 2 .x  C 3 .x

 



_

 

_

Vậy hệ số của x5_{trong khai triển đa thức của}f(x)_{ứng với}k 4 _vài 3 _là:

 

4

4 3 3

5 10

C 2 C .3 3320
.

<b>Ví dụ 2.Tìm hệ số cuả </b>_x8_{trong khai triển đa thức}





8
2

f(x)1 x 1 x  

 

<b>Lời giải.</b>
<b>Cách 1:</b>





8









2





3

2 0 1 2 2 4 3 6

8 8 8 8

1 x 1 x C C x 1 x C x 1 x C x 1 x

 _ _  _ _ _ _ _ _ _

 













4 5 8

4 8 5 10 8 16

8 8 8

C x 1 x C x 1 x ... C x 1 x

     

Trong khai triển trên ta thấy bậc của x_{trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của}x_{trong 4 số}
hạng cuối lớn hơn 8. Do đó x8 chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là:

3 2 4 0
8 3 8 4
C .C , C .C _.

Vậy hệ số cuả x8_{trong khai triển đa thức}





8
2

1 x 1 x
 _ _ 

  _là:

3 2 4 0

8 8 3 8 4

a C .C C .C 238_.

<b>Cách 2: Ta có: </b>





8 8





n 8 n

 

k

2 n 2n n k 2n k

8 8 n

n 0 n 0 k 0

1 x 1 x C x 1 x C C 1 x 

  

 _ _  _ _ _ _

 







với 0 k n 8   _.

<b>Số hạng chứa </b>x8 ứng với 2n k 8   k 8 2n  _{là một số chẵn.}

Thử trực tiếp ta được k0; n4_vàk2, n3_.
Vậy hệ số của x8_làC .C83 32C .C48 04 238.

<b>Ví dụ 3. Đa thức </b>

 





10

2 20

0 1 20

P x  1 3x 2x  a a x ... a x 

. Tìm a15
<b>Lời giải.</b>

Ta có:

 









10

10 k

2 k 2

10
k 0

P x 1 3x 2x C 3x 2x



   

_



10 k 10 k

k i k i 2 i k i k i i k i

10 k 10 k

k 0 i 0 k 0 i 0

C C (3x)  .(2x ) C C .3  .2 x 

   



_

_



_

_

với 0  i k 10 . Do đó k i 15  _{với các trường hợp}
k 10,i 5_hoặck9,i6_hoặck8,i7

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Ví dụ 4. Tìm hệ số khơng chứa </b>x trong các khai triển sau

3 2 n
(x )

x


, biết rằng Cn 1n Cn 2n 78
 _  _

với x 0

<b>Lời giải.</b>

Ta có:

n 1 n 2

n n

n! n!

C C 78 78

(n 1)!1! (n 2)!2!

 _  _ _ _ _

 

2
n(n 1)

n 78 n n 156 0 n 12

2


        

.

Khi đó:

12 ₁₂

3 k k 36 4k

12
k 0
2

f(x) x C ( 2) x

x




 

_  _  

 



Số hạng không chứa x_{ứng với}k : 36 4k 0   k 9

Số hạng không chứa x là: ( 2) C 9 912112640

<b>Ví dụ 5. Với n là số nguyên dương, gọi </b>a3n 3 là hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa thức

của (x21) (x 2)n  n. Tìm n_đểa3n 3 26n
<b>Lời giải.</b>

<b>Cách 1:Ta có :</b>









n

2 0 2n 1 2n 2 2 2n 4 n

n n n n

n _{0 n} _{1 n 1} ₂ _{2 n 2} _n _n

n n n n

x 1 C x C x C x ... C

x 2 C x 2C x 2 C x ... 2 C

 

 

     

     

Dễ dàng kiểm tra n 1 _,n2_{khơng thoả mãn điều kiện bài tốn.}
Với n 3 _{thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích}

3n 3 2n n 3 2n 2 n 1

x  x .x  x  .x 
<b>Do đó hệ số của </b>_x3n 3

<b> trong khai triển thành đa thức của </b>



2



n





n

x 1 x 2

là : a3n 3 2 .C .C3 0n 3n 2.C .C1n n1.

Suy ra



2



3n 3

2n 2n 3n 4 ₇

a 26n 26n n

3 2



 

    

hoặcn 5

Vậy n 5 _{là giá trị cần tìm.}

<b> Cách 2:</b>

Ta có:









n n

n _n

2 3n

2

1 2

x 1 x 2 x 1 1

x
x

   

   _  _{ }  _

 

 

i k

n n n n

3n i k 3n i 2i k k k

n ₂ n n n

i 0 k 0 i 0 k 0

1 2

x C C x C x C 2 x

x
x

 

   

 

   

 _ _ _ _   

 

  _ _









Trong khai triển trên , luỹ thừa của x là 3n 3 _khi
2i k 3 2i k 3

      _.

Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là i0, k3_hoặc
i1,k1_(vìi, k_nguyên).

<b>Hệ số của </b>_x3n 3

<b> trong khai triển thành đa thức của </b>









n _n

2

x 1 x 2

Là :a3n 3 C .C .2n0 3n 3C .C .21n 1n .

Do đó



2



3n 3

2n 2n 3n 4 ₇

a 26n 26n n

3 2



 

    

hoặcn 5

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Ví dụ 6. Tìm hệ số của số hạng chứa </b>x26trong khai triển nhị thức Newton của

 



 

 

n
7
4
1

x

x _{, biết}

1 2 n 20

2n 1 2n 1 2n 1

C _ C _ ... C _ 2  1_.

<b>Lời giải.</b>

Do Ck2n 1 C2n 1 k2n 1 k 0,1,2,...,2n 1
 

     

0 1 n n 1 n 2 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
C _ C _ ... C _ C _ C _ ... C _

       

Mặt khác: C2n 11  C22n 1 ... C 2n 12n 1 22n 1

0 1 2 n 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1

2(C _ C _ C _ ... C _ ) 2 

     

1 2 n 2n 0 2n

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1

C _ C _ ... C _ 2 C _ 2 1

       

2n 20

2 1 2 1 n 10

      _.

Khi đó:





10 ₁₀ ₁₀

7 4 7 k 4 10 k 7k

10
4

k 0
1

x x x C (x ) .x

x

  



 

   

 

 



10

k 11k 40
10
k 0

C x 





_

Hệ số chứa x26 ứng với giá trị k : 11k 40 26   k 6 _.

Vậy hệ số chứa _x26_là:C6₁₀210_.

<b>CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP</b>

<b>Bài 1 Tìm hệ số của số hạng thứ 4 trong khai triển </b>

10
1

<i>x</i>
<i>x</i>

 



 

 

<b>Bài 2 Tìm hệ số của </b><i>x</i>31 trong khai triển:

40
2

1

<i>x</i>
<i>x</i>

 



 

 

<b>Bài 3 Tìm hạng tử chứa </b><i>x</i>2 trong khai triển:





7
3

<i>_x</i>

2

<i>_x</i>



<b>Bài 4 Cho khai triển </b>

12

3 2

3

3 2

4 <i>a</i> 3 <i>a</i>

 

  

 

  _{Tìm xem hạng tử thứ mấy chứa}<i>a</i>7

<b>Bài 5 (A - 2003) Tìm hệ số của số hạng chứa x</b>8_{trong khai triển}

n
5
3

1
x
x

 



 

  _{biết rằng}





n 1 n

n 4 n 3

C  C 7 n 3

    

<b>Bài 6 Tìm hạng tử khơng chứa x trong các khai triển </b>

15

2 1

<i>x</i>
<i>x</i>

 



 

  _;

12
28

3 15

x. x x

 



 

  _;

12

3
3

<i>x</i>
<i>x</i>

 



 

 

<b>Bài 7 Tìm hệ số của </b><i>x y trong các khai triển </i>12 13





25

<i>x y</i>

;





25

2<i>x</i> 3<i>y</i>

<b>Bài 8 Tìm hạng tử của các khai triển </b>





6

3 15

;





9
3

3 2

là số nguyên

<b>Bài 9 Trong khai triển nhị thức </b>

21
3

3

a b

b a

 



 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Bài 10* </b>

  















2 3 20 ₂ ₂₀

0 1 2 20

1 2. 1 3. 1 ... 20 1 ...

<i>P x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i> <i>a</i> <i>a x a x</i>  <i>a x</i>

Tìm <i>a ?</i>15

<b>Bài 11 </b>

  











9 10 14 ₁₄

0 1 14

1 1 ... 1 ...

<i>P x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i> <i>A</i> <i>A x</i> <i>A x</i>

. Tìm <i>A ?</i>9

<b>Bài 12 </b>

  















2 3 15 ₂ ₁₅

0 1 2 15

1 2. 1 3. 1 ... 15 1 ...

<i>P x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i> <i>a</i> <i>a x a x</i>  <i>a x</i>
.
Tìm <i>a ?</i>7

<b>Bài 13* Tìm hệ số của hạng tử chứa </b><i>x</i>4 trong khai triển:





10
2

1 2 <i>x</i>3<i>x</i>

<b>Bài 14 (A - 2004) Tìm hệ số của hạng tử chứa </b><i>x</i>8 trong khai triển:





8
2

1 <i>x</i> 1 <i>x</i>

   

 

<b>Bài 15 (D - 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a</b>3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành

đa thức của









n n

2

x 1 x 2

. Tìm n để a3n-3 = 26n

<b>Bài 16 Cho khai triển: </b>





5

2 3 2 15

0 1 2 15

1 <i>x x</i> <i>x</i> <i>a</i> <i>a x a x</i> ...<i>a x</i>

Tính <i>a , </i>10 <i>A a</i> 0<i>a</i>1...<i>a</i>15_,<i>B a</i> 0 <i>a</i>1<i>a</i>2 ... <i>a</i>15

<b>Bài 17 (D - 2007). Tìm hệ số của </b><i>x</i>5 trong khai triển









5 ₂ 10

1 2 1 3

<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i>

<b>Bài 18 Tìm hệ số của </b><i>x</i>2 trong khai triển





5
2

2 <i>x</i> 3<i>x</i>
<b>Dạng 2: Xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn</b>

<b>Phương pháp giải: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn</b>

Ta làm như sau:

* Tính hệ số ak theo k và n_;

* Giải bất phương trình ak 1 akak 1  ak là hệ số lớn nhất cần tìm.
<b>Ví dụ điển hình</b>

<b>Ví dụ 1. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của: </b>



23x



8
<b>Lời giải.</b>

Đặt





 

  

  

  

_



_



_

 

6 6 6

8 k 6 k k k 6 k k k k k 6 k k

6 6 k k 6

k 0 k 0 k 0

f(x) 2 3x C 2 . 3x C 2 .3 .x a .x a C 2 .3

Giả sử aklà hệ số lớn nhất  ak 1 akak 1

 

 







 









 



 

  

 

  






 _ _ _ _ _

 

 _  _

   _



 _ _ _


6 k 1

k 6 k k k 1 k 1

6 6

6 k 1
k 6 k k k 1 k 1

6 6

6 ! 6 !

2 .3

6 k !.k ! 6 k 1 !. k 1 !

C 2 .3 C 2 .3

6 ! 6 !

C 2 .3 C 2 .3 _.3 _.2

6 k !.k ! 7 k !. k 1 !
















    

 

    

 

 

 _




16
k

2 k 1 3 6 k ₅

k 4
21

3 7 k 2k

k
5

.

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là a4 C 2 .34 26 4 4860.

<b>CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP</b>

<b>Bài 1* Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển: </b>





10

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Bài 2 Giả sử </b>



1 2



0 1 2 2 ...

<i>n</i> <i>_n</i>

<i>n</i>

<i>x</i> <i>a</i> <i>a x a x</i> <i>a x</i>

      _{. Biết}<i>a</i>₀<i>a</i>₁<i>a</i>₂...<i>a_n</i> 729_{, Tìm n và}

hệ số lớn nhất trong các số <i>a a a</i>0, , ,...,1 2 <i>an</i>

<b>Bài 3 (A - 2008) Cho </b>



1 2



0 1 2 2 ...

<i>n</i> <i>_n</i>

<i>n</i>

<i>x</i> <i>a</i> <i>a x a x</i> <i>a x</i>

     

trong đó n N *_{. Biết}

1

0 ... 4096

2 2

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a </i>   

. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển



1 2



<i>n</i>

<i>x</i>


<b>Bài 4 Xét khai triển </b>





9 2 9

0 1 2 9

3x 2 a a x a x ... a x

. Tìm max a ,a ,a ,..., a



0 1 2 9



<b>Bài 5 Xét khai triển :</b>





n ₂ _n

0 1 2 n

1 2x a a x a x ... a x _{. Tìm n để}max a , a , a ,..., a

_

₀ ₁ ₂ _n

_

a₈

<b>Bài 6 Xét khai triển </b>





n

n _k _k _{n k} _n

n 0 1 n

k 0

x 2 C x 2  a a x ... a x



 

_

   

. Tìm n để



0 1 2 n



10

max a ,a ,a ,...,a a

<b>Dạng 3: Bài toán liên quan đến tổng </b>

n

k k
k n
k 0

a C b





<b>.</b>

<b>Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton</b>

n 0 n n 1 1 n 2 2 2 n n

n n n n

(a b) C a a  bC a  b C ... b C _.
Ta chọn những giá trị a, b_{thích hợp thay vào đẳng thức trên.}
Một số kết quả ta thường hay sử dụng:

* Ckn Cn kn



* C0nC1n... C nn 2n

*

n

k k
n
k 0

( 1) C 0



 



*

n n 2n

2k 2k 1 k

2n 2n 2n

k 0 k 0 k 0

1

C C C

2



  

 







*

n

k k n

n
k 0

C a (1 a)



 



.

<b>Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng</b>

- Mấu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức
đặc trưng.

- Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số
chứa k_{) và biến đổi số hạng đó có hệ số khơng chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn}

hoặc đã có sẵn.

<b>Ví dụ điển hình</b>

<b>Ví dụ 1. Tìm số nguyên dương n sao cho: </b>Cn0 2C1n4Cn2 ... 2 C n nn 243

<b>Lời giải.</b>

Xét khai triển: (1 x) n Cn0 xC1n x C2 2n... x C n nn

Cho x 2 _{ta có:}C0n 2C1n4Cn2 ... 2 C n nn 3n

Do vậy ta suy ra 3n24335 n5_.

<b>Ví dụ 2. Tính tổng sau: </b>

n

0 1 3 4 n

n n n n n

1 1 1 1 ( 1)

S C C C C ... C

2 4 6 8 2(n 1)



     



</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Ta có:

n

0 1 2 n

n n n n

1 1 1 ( 1)

S C C C ... C

2 2 3 n 1

 _ 

      

 _ 

 

Vì

k k

k k 1

n n 1

( 1) ( 1)

C C

k 1 n 1




 



  _nên:

n

k k 1
n 1
k 0

1

S ( 1) C

2(n 1)





 





n 1

k k 0

n 1 n 1
k 0

1 1

( 1) C C

2(n 1) 2(n 1)



 



 



    

 

 _



_ 

.

<b>Ví dụ 3. Tính tổng sau: </b>S C 3 n1 n 1 2C 3n2 n 2 3C 3n3 n 3 ... nC nn

<b>Lời giải.</b>

Ta có:

k
n

n k

n
k 1

1
S 3 kC

3


 

 _ _

 



Vì

k k

k k 1

n n 1

1 1

kC n C

3 3



   


   

     _{k 1}_nên

k k

n n 1

n k 1 n 1 k

n 1 n 1

k 1 k 0

1 1

S 3 .n C 3 .n C

3 3



 

 

 

   

 _ _  _ _

   





₃n 1_.n(1 1₎n 1 _n.4n 1

3

  

  

.

<b>Ví dụ 4. Chứng minh đẳng thức sau</b>

<b>1. </b>      

0 k 1 k 1 k 0 k

m n m n m n m n

C C C C ... C C C _vớim,n<i>¥</i> ,0 k min m,n 





<b>2. </b>C2n0 C2n2 ... C 2n2n C12nC32n... C 2n2n 1

<b>3. </b>C C0n nkC Cn1 k 1n 1 ... C C nk n k0 2 Ck kn với 0 k n  .

<b>Lời giải.</b>

<b>1. Xét khai triển: </b>







  

_

m n

m n k k

m n
i 0

f(x) (1 x) C x

(1)
Ta có thể khai triển f(x) theo cách khác như sau

 

 

 

 

    

 _{ } 

 _{ } 





n n

j j

n m i i

n n

i 0 j 0
f(x) (1 x) (1 x) C x C x

(2)
Hệ số của xk trong khai triển (1) là: 

k
m n
C

Hệ số của _xk_{trong khai triển (2) là:}






 





in mj



k in k im
i 0

i 0,n
j 0,m
i j k

C C C C

Từ đó ta suy ra:










k in k im km n
i 0

C C C

.

<b>2. Xét khai triển: </b>(1 x) 2n C02nC x C x12n  2n2 2... C x 2n 2n2n

Cho x1 ta có được:


 0_2n 1_2n _2n2  3_2n  _2n2n 1 2n_2n

0 C C C C ... C C

Hay C2n1 C32n... C 2n 12n C02nC22n... C 2n2n.

<b>3. Ta có: </b>






 

    

i k i
n n i

n! (n i)! n!

C C .

i!(n i)! (n k)!(k i)! i!(n k)!(k i)!

   
k i

n k

n! k!

. C .C

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Suy ra:




  

  







k k k

i k i k i k i k k

n n i n k n k n

i 0 i 0 i 0

C C C C C C 2 C

.

<b>CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP</b>

<b>Bài 1 Chứng minh các đẳng thức sau:</b>

<b>1. </b>C02n C2n2 ... C2n2n C12n C2n3 ... C2n 12n


      

<b>2. </b>C Cm0 nk C C1m k 1n ... C Ckm 0n Ckm n




   

<b>3. </b>

2011

0 2 2 2010 2010

2011 2011 2011

3 1

C 2 C ... 2 C

2


   

.

<b>Bài 2 Tính các tổng sau:</b>

<b>1. </b>

0 1 2 n

1 n n n n

1 1 1

S C C C ... C

2 3 n 1

    

 

<b>2. </b>S2C1n2C2n... nC nn

<b>3. </b>S32.1.Cn2 3.2Cn3 4.3Cn4 ... n(n 1)C  nn.

<b>Bài 3: Tính tổng </b>

2 n 1

0 1 n

n n n

3 1 3 1

S C C ... C

2 n 1



 

   



<b>Bài 4: </b>

<b>1. Tính tổng </b>

2 n 1

0 1 n

n n n

2 1 2 1

S C C ... C

2 n 1



 

   



<b>2. Tìm số nguyên dương n sao cho :</b>

1 2 2 3 n 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1

C _  2.2C _ 3.2 C _  ... (2n 1)2 C  _ 2005

<b>3. Chứng minh: </b>1.3 .50 n 1Cnn 1 2.3 .51 n 2Cn 2n ... n.3n 1 05 C0n n.8n 1

  _   _ _  _ 

<b>4. Tính tổng </b>S2.1C2n3.2Cn3 4.3Cn4 ... n(n 1)C  nn

<b>5. Chứng minh </b>

     

 

2 2 2 2

0 1 2 n n

n n n n 2n

C  C  C ... C C

<b>Bài 5: Tính các tổng sau</b>

<b>1. </b>S15 Cn 0n 5n 1 .3.Cn 1n 3 .52 n 2 Cnn 2 ... 3 C n 0n

<b>2. </b>S2C020112 C2 22011... 2 2010C20112010

<b>3. </b>S3C1n2C2n... nC nn

<b>4. </b>S42.1.C2n3.2C3n4.3C4n... n(n 1)C  nn

<b>5. </b>



 

   



2 n 1

0 1 n

5 n n n

3 1 3 1

S C C ... C

2 n 1 _.

<b>Bài 6</b>

<b>1. Cho </b>n<i>¢</i>,n2_{. Chứng minh rằng:}

 

_  _ 

 

n
1

2 1 3

n <b>_.</b>

<b>2. Chứng minh rằng </b>xlà số tự nhiên chia hết cho 2002_với









 

 _    _

 

2000 2000

x 1001 1001 1 1001 1

<b>.</b>

<b>3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên </b>n thì tổng







_

n

2k 1 3k
2n 1
k 0

S C .2

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>4. Chứng minh rằng với mọi </b>m,n<i>¥</i> _{ln tồn tại}k<i>¥</i> _{sao cho :}



m m 1



n k k 1

.

<b>5. Chứng minh rằng </b>  
n
(2 3)

là một số tự nhiên lẻ (trong đó   x _{là kí hiệu phần nguyên của}
x_{, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá}x_).

<b>6. Cho </b>m,n_{là hai số tự nhiên,}p_{là số nguyên tố. Giả sử}




 _k k _{k 1} k 1  ₁  ₀
m m p m p ... m p m




 _k k _{k 1} k 1  ₁  ₀
n n p n p ... n p n

Chứng minh rằng: 



_

k
n

n _i

m _mi

i 0

C C (mod p)

(Quy ước Cba 0,ab).

<b>Bài 7 Chứng minh các đẳng thức sau</b>

<b>1. </b>       

0 k 1 k 1 6 k 6 k

6 n 6 n 6 n n 6

C .C C .C ... C .C C

<b>2. </b>

   

   

 

 

 

 

2 2 _n 2 _n

0 1 n n

n n n 2n

C C ... 1 C 1 C

<b>3. </b>



 

 



 





 _

         

2 2 2 _{2n 1} 2

0 1 2 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1

C C C ... 1 C 0

<b>4. </b>

 

    

 

 

n 0 1 2 n n

n n ₂ n _n n

1 1 1

5 C C C ... C 6

5 ₅ ₅

<b>5. </b>2 Cn 0n2n 1 1 1 .7 Cn ... 2.7 n 1 Cn 1n 7 Cn nn9n

<b>6. </b>3 Cn n0 3n 1 1 1 5 6 C1n3n 2 2 2 5 6 C2n... 5 6 C n n nn 33n

<b>7. </b>

 



     

 

n

0 1 2 3 n

n n n n n

1

1 1 1 1 1

C C C C ... C

2 4 6 8 2(n 1) 2(n 1)

<b>8. </b>

 _

    

 

n 1

0 1 2 n

n n n n

1 1 1 1 2 1

C C C ... C

3 6 9 3(n 1) 3(n 1)

<b>9. </b>









    

 

n

1 2 3 n

n n n n

n 1 2 1

1 2 3 n

C C C ... C

2 3 4 n 1 n 1 _.

<b>Bài 8</b>

<b>1. Cho </b>f(x)là một đa thức bậc n_{thỏa mãn}f(x) 2 x_vớix 1,2,3,...,n 1  _{. Tính}f(n 2) _.

<b>2. Hãy tìm tất cả các số nguyên dương </b>n thỏa Cn2n 



2n



k_{, trong đó}_k_{là số các ước nguyên}

</div>

<!--links-->