NCKH giải phương trình bậc cao bằng máy tính cầm tay để nâng cao hơn nữa chất lượng học sinh khá, giỏi ở trường THCS

MỤC LỤC
I. TÓM TẮT ĐỀ TÀI............................................................................................1
II. GIỚI THIỆU.....................................................................................................2
1. Hiện trạng..........................................................................................................2
2. Giải pháp thay thế..............................................................................................3
3. Một số nghiên cứu gần đây liên quan đến đề tài...............................................3
4. Vấn đề nghiên cứu.............................................................................................3
5. Giả thuyết nghiên cứu.......................................................................................4
III. PHƯƠNG PHÁP.............................................................................................4
1. Khách thể nghiên cứu........................................................................................4
2. Thiết kế nghiên cứu...........................................................................................4
3. Quy trình nghiên cứu.........................................................................................5
4. Đo lường............................................................................................................6
4.2. Kiểm chứng độ giá trị nội dung......................................................................6
IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ....................................8
1. Trình bày kết quả...............................................................................................8
2. Phân tích dữ liệu................................................................................................8
3. Bàn luận.............................................................................................................9
V. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ.................................................................11
1. Kết luận...........................................................................................................11
2. Khuyến nghị....................................................................................................11
VI. TÀI LỆU THAM KHẢO..............................................................................12
VII. CÁC PHỤ LỤC CỦA ĐỀ TÀI....................................................................13
Phụ lục 1: Các dạng toán và phương pháp giải phương trình bậc cao................13
Phụ lục 2: Giáo án mà GV có sử dụng “Giải phương trình bậc cao bằng Máy
tính cầm tay để nâng cao hơn nữa chất lượng học sinh khá, giỏi ở trường THCS
Nguyễn Trung Trực”...........................................................................................28
TIẾT 2: THỰC HÀNH........................................................................................31
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI BẰNG MÁY TÍNH CASIO......................31
Phụ lục 3: Đề, đáp án kiểm tra trước tác động và sau tác động..........................34
Phụ lục 4: Bảng tổng hợp bảng điểm kiểm tra trước tác động và sau tác động. .42

I. TĨM TẮT ĐỀ TÀI
Như chúng ta đã biết, tốn học là bộ môn khoa học đặc biệt quan trọng
trong chương trình giáo dục phổ thơng cũng như trong các chương trình giáo
dục khác. Đây là mơn học được coi là nền tảng cho các môn học tự nhiên giúp
cho học sinh có được những vốn kiến thức về tự nhiên và thực hiện tính tốn
một cách nhanh, chính xác, nhờ vào sự hỗ trợ trực tiếp của máy tính casio.
Trong các mơn học ở phổ thơng, mơn tốn giữ một vị trí quan trọng. Qua
việc học tốn học sinh được rèn luyện về mọi mặt như: trí thơng minh, phương
pháp tính tốn hợp lý, nhanh gọn, tạo cho bộ óc làm việc ngăn nắp, có kế hoạch.
Từ cuộc sống hàng ngày của con người như: cân đo, đong đếm,… cho đến các
ngành công nghiệp phát triển đều rất cần đến toán học.
Cùng với sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật như hiện nay,
đòi hỏi người học và người dạy phải thường xuyên tự trang bị cho mình những
kiến thức cơ bản phục vụ cho chuyên môn. Một trong những ảnh hưởng trực tiếp
của sự phát triển đó là việc ứng dụng những tiến bộ khoa học cơng nghệ vào q
trình truyền đạt và tiếp thu tri thức ở trường phổ thông, thông dụng và hiệu quả
nhất là sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi (máy tính cầm tay) Casio fx.
Casio fx là một trong những công cụ hỗ trợ cho học sinh học tốt các môn
khoa học tự nhiên, thực hành nhiều nhất trên mơn tốn học, bên cạnh đó máy
tính bỏ túi cịn đồng hành cùng các em trải qua các kỳ thi đầy cam ro thử thách.
Đặc biệt trong quá trình cải cách giáo dục hiện nay các kỳ thi thường áp dụng
hình thức trắc nghiệm, địi hỏi người học ngồi việc nắm vững kiến thức cần
phải tự rèn luyện cho mình những kỹ năng trả lời trắc nghiệm một cách nhanh
nhất và chính xác nhất.
“Giáo dục là quốc sách hàng đầu, nhiệm vụ của ngành giáo dục là nâng
cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Việc bồi dưỡng học sinh giỏi
là một trong những công tác mũi nhọn của ngành Giáo dục và Đào tạo huyện

Vạn Ninh nói chung, của trường THCS Nguyễn Trung Trực nói riêng nên việc
phát triển bồi dưỡng học sinh giỏi nuôi dưỡng nhân tài là một việc làm thường
xuyên, liên tục. Môn tốn là một trong những bộ mơn thường xun tổ chức thi
học sinh giỏi nên đòi hỏi từng cơ sở phải xây dựng được đội ngũ học sinh giỏi
cho đơn vị mình. Với tâm huyết nghề nghiệp tơi ln cố gắng phấn đấu để đào
tạo và bồi dưỡng ngày càng nhiều học sinh giỏi các cấp bằng cách đi sâu nghiên
cứu và giúp các em nắm chắc, sâu từng phần từng nội dung trong chương trình
tốn lớp 9. Phương trình bậc cao là một đề tài hấp dẫn, thú vị của tốn học, vì
vậy phương trình bậc cao đã được rất nhiều nhà toán học nghiên cứu. Tuy nhiên,
với người học thì giải phương trình bậc cao là một vấn đề khó. Qua các năm
giảng dạy mơn Tốn ở bậc trung học cơ sở tôi nhận thấy mảng giải phương trình
bậc cao được đưa ra ở sách giáo khoa lớp 8, 9 là rất khiêm tốn, nội dung sơ lược,
mang tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho nó là q ít ỏi, trong
chương trình học lại khơng có một bài học cụ thể nào. Bên cạnh đó là các nội
dung bài tập ứng dụng thì rất phong phú, đa dạng và phức tạp. Phương trình bậc
1


cao là một nội dung thường gặp trong các kỳ thi ở Bậc THCS và đặc biệt trong
các kỳ thi tuyển sinh vào THPT. Chính vì vậy tơi quyết định chọn đề tài “Giải
phương trình bậc cao bằng Máy tính cầm tay để nâng cao hơn nữa chất lượng
học sinh khá, giỏi ở Trường THCS Nguyễn Trung Trực”. Để giúp các em tìm
hiểu được nhiều hơn về phương pháp giải, cách giải đối với các dạng phương
trình bậc cao. Qua đó giúp học sinh dễ hiểu, có kỷ thuật giải tốn một cách có hệ
thống, chặt chẽ và hiệu quả.
Nghiên cứu được tiến hành trên hai nhóm tương đương: Nhóm 1 (lớp 9/4)
và Nhóm 2 (lớp 9/5) của Trường THCS Nguyễn Trung Trực.
Lớp Nhóm 1 làm lớp thực nghiệm và Nhóm 2 làm lớp đối chứng. Lớp
thực nghiệm được thực hiện giải pháp thay thế khi hướng dẫn học sinh có sử
dụng máy tính cầm tay để giải phương trình bậc cao. Kết quả cho thấy tác động

đã có ảnh hưởng rõ rệt đến kết quả học tập của học sinh lớp thực nghiệm và đã
đạt kết quả học tập cao hơn so với lớp đối chứng. Điểm kiểm tra đầu ra của lớp
thực nghiệm có giá trị trung bình là 8,6. Điểm kiểm tra đầu ra của lớp đối chứng
là 7,6 kết quả kiểm chứng T-test cho thấy p = 0,000030653466< 0,05 có nghĩa là
có sự khác biệt lớn giữa điểm trung bình của lớp thực nghiệm và điểm trung
bình của lớp đối chứng. Điều đó chứng minh rằng giải phương trình bậc cao
bằng Máy tính cầm tay có tác động rất lớn để nâng cao khả năng giải phương
trình bậc cao cho học sinh lớp 9 trường THCS Nguyễn Trung Trực.
II. GIỚI THIỆU
1. Hiện trạng
Trong chương trình tốn học trung học cơ sở và trong các đề thi chúng ta
vẫn thường gặp các bài toán về giải phương trình bậc 3, 4, 5…Khi tiến hành giải
phương trình đó bằng cách đưa về phương trình tích để giải. Các em học sinh
khi gặp dạng tốn này khơng chịu nghiên cứu khảo sát kĩ từng dạng phương
trình theo nhiều cách hoặc sử dụng thiếu linh hoạt.
Xuất phát từ vấn đề trên và qua việc giảng dạy mơn tốn ở trường THCS,
qua đọc tài liệu tham khảo và đặc biệt qua việc bồi dưỡng đội tuyển học sinh
giỏi ở khối 9. Tơi nhận thấy rằng giải một phương trình bậc 3, 4, 5… là tương
đối khó đối với học sinh THCS và đặc biệt hơn nữa các phương pháp giải
phương trình đó khơng hề có trong chương trình tốn THCS do đó đã gây khó
khăn khơng nhỏ đối với học sinh trong khi gặp phải dạng tốn này. Học sinh
khơng có một phương pháp cụ thể nào mà chỉ biết mò mẫm một cách vô hướng.
Khi được tiếp xúc với các dạng phương trình bậc cao khơng những rèn
luyện cho học sinh các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng
các mơn học khác ở trường THCS. Mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào
thực tế, cịn góp phần rèn luyện cho học sinh những đức tính cẩn thận, sáng
tạo…
Qua việc dự giờ đồng nghiệp và theo dõi quá trình học tập của học sinh
tôi nhận thấy:
2

+ Giáo viên nặng về cung cấp bài giải sẵn cho học sinh tiếp thu, thường
chú trọng yêu cầu của chương trình thực hiện chưa đảm bảo cái cơ bản của bài
tập, ít khi cho học sinh tự phân tích vì sợ mất thời gian, thường bằng lịng và kết
thúc cơng việc khi đã tìm ra một cách giải nào đó, chưa chú ý hướng dẫn học
sinh tìm cách giải (hay phương pháp) khác hay hơn… kết quả là học sinh biết
làm bài nhưng chưa hiểu sâu sắc về bài mình vừa làm.
+ Bên cạnh đó khi gặp phải dạng tốn giải phương trình bậc cao là các em
rất ngại “sợ” và lúng túng trước đề bài tốn: khơng biết làm gì?, bắt đầu từ đâu?
đi theo hướng nào? khơng biết liên hệ những kiến thức trong bài với những kiến
thức đã học, khơng phân biệt được cái gì đã cho, cái gì cần tìm nên khơng biết
cách giải.
+ Việc suy luận kém, chưa hiểu cách giải phương trình bậc cao cho nên
lập luận thiếu căn cứ, khơng chính xác, không chặt chẽ, không nắm được
phương pháp cơ bản để giải, suy nghĩ hời hợt, máy móc, khơng biết rút kinh
nghiệm về các bài giải đã làm, nên thường lúng túng trước những bài tốn có đề
bài hơi khác một chút. Trình bày bài giải khơng tốt, rõ ràng, ngơn ngữ, ký hiệu
tùy tiện, lập luận thiếu khoa học, logic…
2. Giải pháp thay thế
Bài tập toán giúp cho học sinh củng cố những kiến thức cơ bản một cách
có hệ thống (về tốn học nói chung cũng như về phần phương trình bậc cao khi
giải quy về phương trình bậc hai trong chương trình dạy tốn lớp 9 để giải) theo
phương pháp tinh giảm dễ hiểu.
Bài tập về “phương pháp quy về phương trình bậc hai” nhằm rèn luyện
cho học sinh những kĩ năng thực hành giải toán về phương trình bậc hai. Rèn
luyện cho học sinh các thao tác tư duy, so sánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá,
tương tự...
Rèn luyện cho học sinh các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp
thu dễ dàng các môn học khác ở trường THCS. Mở rộng khả năng áp dụng kiến

thức vào thực tế.
Bài tập “Phương trình bậc cao quy về phương trình bậc hai” cịn góp phần
rèn luyện cho học sinh những đức tính cẩn thận, sáng tạo.
3. Một số nghiên cứu gần đây liên quan đến đề tài
Sáng kiến kinh nghiệm: Giải phương trình bậc cao của cô Vũ Thị Thúy
Hằng Trường THCS Thuận Tiến- Hòn Đất - Kiên Giang (Sưu tầm tham khảo).
4. Vấn đề nghiên cứu
Việc vận dụng máy tính cầm tay để giải phương trình bậc cao có nâng cao
chất lượng học sinh khá, giỏi ở trường THCS Nguyễn Trung Trực hay khơng?
Mong rằng qua đề tài này các tổ tốn ở các trường THCS nghiên cứu vận dụng ?

3


5. Giả thuyết nghiên cứu
Việc vận dụng máy tính cầm tay để giải phương trình bậc cao sẽ nâng cao
kết quả giải phương trình cho học sinh khá, giỏi ở Trường THCS Nguyễn Trung
Trực.
III. PHƯƠNG PHÁP
1. Khách thể nghiên cứu
Giáo viên: Nguyễn Thành Thi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9
Trường THCS Nguyễn Trung Trực trực tiếp thực hiện việc nghiên cứu.
Về phía học sinh tơi chọn hai nhóm của 2 lớp 9/4 và 9/5 để tham gia
nghiên cứu có nhiều điểm tương đồng nhau về giới tính, thành tích học tập năm
học 2016 - 2017 như sau:
Bảng 1: Giới tính và kết quả học tập của 2 lớp trường THCS Nguyễn Trung Trực

Nhóm
Nhóm thực nghiệm
Lớp 9/4

Nhóm đối chứng
Lớp 9/5

Số HS các nhóm

Kết quả năm học 2016 - 2017

Tổn Na
g số m

Nữ

Giỏi

Khá

20

7

13

8

12

18

4

14

6

12

Về ý thức học tập, tất cả học sinh ở hai lớp đều tích cực chủ động trong
học tập.
Về chất lượng học tập của năm học trước, hai lớp tương đương nhau về
chất lượng bộ mơn tốn.
2. Thiết kế nghiên cứu
Chọn 2 lớp: Lớp 9/4 làm nhóm thực nghiệm, Lớp 9/5 làm nhóm đối
chứng.
Dùng bài kiểm tra 120 phút làm bài kiểm tra trước tác động. Kết quả kiểm tra
này cho thấy điểm trung bình của hai nhóm có sự khác nhau, do đó tơi dùng
phép kiểm chứng T-test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình
của hai nhóm trước khi tác động kết quả:
Bảng 2: Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
4


Thực nghiệm

Đối chứng

TBC

7,60

7,50

P

0,751

p = 0,751> 0,05 từ đó kết luận điểm số trung bình của hai nhóm thực
nghiệm và đối chứng là khơng có ý nghĩa tức là xảy ra do ngẫu nhiên, hai nhóm
được coi là tương đương.
Sử dụng thiết kế 2: kiểm tra trước tác động và sau tác động đối với các
nhóm tương đương (được mơ tả ở bảng 3)
Bảng 3: Thiết kế nghiên cứu
Nhóm

Nhóm thực nghiệm
Lớp 9/4

Nhóm đối chứng
Lớp 9/5

KT
TĐ

trước Tác động

KT
TĐ

O1

Dạy học có sử dụng “Giải

phương trình bậc cao bằng
Máy tính cầm tay để nâng cao
O3
hơn nữa chất lượng học sinh
khá, giỏi ở trường THCS
Nguyễn Trung Trực”

O2

Dạy học khơng có sử dụng
“Giải phương trình bậc cao
bằng Máy tính cầm tay để
O4
nâng cao hơn nữa chất lượng
học sinh khá, giỏi ở trường
THCS Nguyễn Trung Trực”

sau

Ở thiết kế này tôi sử dụng phép kiểm chứng T-test độc lập.
3. Quy trình nghiên cứu
* Chuẩn bị bài của giáo viên
Nhóm 1 là nhóm thực nghiệm: thiết kế bài dạy có sử dụng “Giải phương
trình bậc cao bằng Máy tính cầm tay để nâng cao hơn nữa chất lượng học sinh
khá, giỏi ở trường THCS Nguyễn Trung Trực”
Nhóm 2 là nhóm đối chứng: Thiết kế bài dạy khơng có sử dụng “Giải
phương trình bậc cao bằng Máy tính cầm tay để nâng cao hơn nữa chất lượng
học sinh khá, giỏi ở trường THCS Nguyễn Trung Trực”
* Tiến hành thực nghiệm:

5


Thời gian tiến hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch dạy và học của
nhà trường và theo thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan, cụ thể:
Thời gian thực hiện
Thứ ngày
Thứ 3
8/10/2017
Thứ 3
9/11/2017

Môn /Lớp

Tiết theo PPCT

Bài tập

Đại số 9

31

tự soạn

Đại số 9

55

tự soạn

4. Đo lường
4.1. Sử dụng công cụ đo, thang đo: Bài kiểm tra viết của học sinh.
Sau khi thực hiện dạy xong các bài tập của chương tôi tiến hành bài kiểm
tra một tiết (nội dung kiểm tra trình bày ở phần phụ lục)
Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra 120 phút do giáo viên dạy cùng
với tổ chuyên môn của trường ra đề kiểm tra chung cho học sinh khối 9.
Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra 120 phút do giáo viên dạy cùng
với tổ chuyên môn của trường ra đề kiểm tra chung cho học sinh khối 9.
Tiến hành kiểm tra và chấm bài theo đáp án đã được xây dựng.
4.2. Kiểm chứng độ giá trị nội dung
Kiểm chứng độ giá trị nội dung của các bài kiểm tra bằng cách giáo viên
trực tiếp dạy chấm bài hai nhóm thực nghiệm (nhóm 1) và lớp đối chứng (nhóm
2).
Ví dụ: Phân tích đa thức f(x) = x 5 + 5x4 – 3x3 – x2 +58x - 60 thành nhân tử? từ
đó tìm nghiệm phương trình
Nhận xét: Nghiệm ngun của đa thức đã cho là Ư(60).
Ta có Ư(60) = { �1; �2; �3; �4; �5; �6; �10; �12; �15; �20; �30; �60}
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức:
Gán: -1 → X
Nhập vào máy đa thức: X5 + 5X4 – 3X3–X2 +58X -60 rồi ấn dấu  máy báo kq
-112
Gán tiếp: -2 → X / # /  /

máy báo kq -108

Gán tiếp: -3 →X/ # /  /

máy báo kq 0

Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho

(x+3). Khi đó bài tốn trở về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x-3).
6


Sử dụng sơ đồ Hoocner để tìm đa thức thương và đa thức dư
Hệ số

1

5

-3

-1

58

-60

-3

1

2

-9

26

-20

0

Khi đó ta có f(x) = (x+3)(x4+2x3-9x2+26x-20)
* Ta lại xét đa thức g(x) = x4+2x3-9x2+26x-20
Nghiệm nguyên là ước của 20.
Dùng máy ta tìm được Ư(20) = { �1; �2; �4; �5; �10; �20}
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x):
Gán: -1 → X
Nhập vào máy đa thức: x4+2x3-9x2+26x-20 rồi ấn dấu  máy báo kq = 96
Gán tiếp: -2 → X / # /  /

máy báo kq -148

Gán tiếp: -4 → X / # /  /

máy báo kq -180

Gán tiếp: -5 → X / # /  /

máy báo kq 0

Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên g(x) chia hết
cho (x+5). Khi đó bài tốn trở về tìm thương của phép chia đa thức g(x) cho
(x+5).
Sử dụng sơ đồ Hoocner để tìm đa thức thương và đa thức dư
Hệ số

1

2

-9

26

-20

-5

1

-3

6

-4

0

Khi đó ta có g(x) = (x+5)(x3-3x2+6x-4)
* Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên của đa
thức h(x) = x3-3x2+6x-4
Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = 1 nên chia h(x) cho (x-1) ta được: h(x)
= (x-1)(x2-2x+4)
Ta thấy đa thức (x2-2x+4) vơ nghiệm nên khơng thể phân tích thành nhân tử.
Vậy f(x) = (x+3)(x+5)(x-1)(x2-2x+4). Đến đây học sinh tìm được nghiệm
phương trình bậc cao nhờ sự trợ giúp của máy tính.
Nhận xét của giáo viên để kiểm chứng độ giá trị nội dung của dữ liệu:
+ Về nội dung đề bài: Phù hợp với trình độ của học sinh nhóm thực

nghiệm và nhóm đối chứng
+ Các câu hỏi có phản ảnh các vấn đề của đề tài nghiên cứu
Nhận xét về kết quả hai lớp:
Nhóm thực nghiệm có điểm trung bình là 8,6.
7


Nhóm đối chứng có điểm trung bình là 7,6 thấp hơn nhóm thực nghiệm là
1,0. Điều đó chứng minh rằng lớp thực nghiệm vận dụng Máy tính cầm tay để
giải phương trình bậc cao đã nâng cao chất lượng học sinh khá, giỏi ở trường
THCS Nguyễn Trung Trực” nên kết quả cao hơn.
IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ
1. Trình bày kết quả
* Mơ tả dữ liệu:
Mốt, trung vị, giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của nhóm thực nghiệm,
nhóm đối chứng.
Nhóm 1 thực nghiệm:
Cơng thức

Giá trị nhóm TN

Mốt

=MODE(F8:F27)

9,0

Trung vị

=MEDIAN(F8:F27)

9,0

Giá trị TB

=AVERAGE(F8:F27)

8,6

Độ lệch chuẩn

=STDEV(F8:F27)

0,50

Nhóm 2 đối chứng:
Cơng thức

Giá trị nhóm ĐC

Mốt

=MODE(K8:K25)

8,0

Trung vị

=MEDIAN(K8:K25)

8,0

Giá trị TB

=AVERAGE(K8:K25)

7,6

Độ lệch chuẩn

=STDEV(K8:K25)

0,72

2. Phân tích dữ liệu
Phép kiểm chứng T-test so sánh các giá trị trung bình các bài kiểm tra
giữa nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng
Bảng 4: So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động
Thực nghiệm

Đối chứng

ĐTB

8,6

7,6

Độ lệch chuẩn

0,50

0,72

Giá trị p của T-test

0,000030653466
8


Chênh lệch giá trị trung bình
1,39
chuẩn (SMD)
Như trên đã chứng minh rằng kết quả hai nhóm trước tác động là tương đương.
Sau tác động kiểm chứng chênh lệch ĐTB bằng T-test cho kết quả.
p = 0,000030653466 (p=0,000030653466 < 0,05) cho thấy sự chênh lệch giữa
điểm trung bình nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng là rất có ý nghĩa, tức là
chênh lệch kết quả ĐTB nhóm thực nghiệm cao hơn nhóm đối chứng là khơng
phải ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD =

8,6 - 7,6
= 1,39
0,72

Điều đó cho thấy mức độ ảnh hưởng của việc dạy học “Giải phương trình
bậc cao bằng Máy tính cầm tay để nâng cao hơn nữa chất lượng học sinh khá,
giỏi ở trường THCS Nguyễn Trung Trực” đã ảnh hưởng đến học tập của nhóm
thực nghiệm là rất lớn. Mô tả bằng biểu đồ sau:
Giá trị trung bình

Nhóm thực nghiệm

Nhóm đối chứng

Trước tác động

7,6

7,5

Sau tác động

8,6

7,6

3. Bàn luận
* Ưu điểm:

9


Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là TBC=
8,6, kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng là TBC= 7,6. Độ chênh
lệch điểm số giữa hai nhóm là 1,0.
Điều đó cho thấy điểm TBC của hai lớp đối chứng và thực nghiệm đã có sự khác
biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm TBC cao hơn lớp đối chứng.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD= 1,39.
Điều này có mức độ ảnh hưởng của tác động là rất lớn.

Phép kiểm chứng T-test ĐTB sau tác động của hai lớp là p=
0,000030653466< 0,05. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch ĐTB của hai
nhóm khơng phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động.
* Hạn chế:
Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 8, 9 cũng có thể BDHSG lớp 8, 9. Bên
cạnh đó đề tài áp dụng được sau khi học sinh học xong phần kiến thức về
phương trình bậc nhất (ở lớp 8) và phương trình bậc 2 (ở lớp 9) và từ thời gian
đó đến các kỳ thi khơng cịn nhiều thời gian. Chính vì vậy người thầy phải chủ
động phần kiến thức cơ bản và trọng tâm của kiến thức đại số THCS, ơn luyện
cho học sinh một cách có hệ thống thơng qua các dạng bài tập.
Khó khăn khi áp dụng của sáng kiến: kiến thức có liên quan từ lớp 6, 7, 8,
9 rất nhiều học sinh nắm kiến thức còn hời hợt chưa chắc chắn, nhiều học sinh
cịn ngại học và tính tổng hợp kiến thức của học sinh chưa cao. Nhưng với học
sinh khá, giỏi thì phương pháp này thật sự hữu hiệu khi được đưa ra áp dụng để
giải toán.
Để cho học sinh làm quen và rèn kỹ năng “Giải phương trình bậc cao
bằng Máy tính cầm tay để nâng cao hơn nữa chất lượng học sinh khá, giỏi” giáo
viên cần đưa ra những yêu cầu bắt buộc trong khi thực hiện.
Hệ thống được các kiến thức đã tiếp thu, kiến thức đó phải được lặp đi lặp lại
nhiều lần và thật chính xác. Bên cạnh đó học sinh cịn biết thể hiện các nội dung
kiến thức bằng ngơn ngữ tốn học.
Giáo viên phải chuẩn bị hệ thống câu hỏi hợp lý kèm theo sơ đồ để có thể từng
bước hướng dẫn học sinh biết thực hiện phân tích.
Từng bước cho học sinh làm quen dần cách phân tích và từ từ cho học sinh áp
dụng phương pháp này khi học ở lớp 9, đồng thời hướng dẫn thao tác tổng hợp
để trình bày lại bài giảng.
Phương pháp này phải được áp dụng thường xuyên thì học sinh mới hiểu và có
thói quen sử dụng thường xuyên.

10

V. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
Việc vận dụng máy tính cầm tay để giải phương trình bậc cao đã nâng cao
kết quả học tập của học sinh khá, giỏi năm học 2016- 2017 đến nay tôi áp dụng
dạy học lớp 9 ở trường THCS Nguyễn Trung Trực thấy học sinh tiến triển rất
tốt.
2. Khuyến nghị
Đối với cấp lãnh đạo cần trang bị thêm sách tham khảo cho giáo viên, cần
phân chia đúng đối tượng cho phù hợp học sinh từng lớp giúp giáo viên giảng
dạy phù hợp đối tượng nhằm nâng cao hiệu quả đào tạo.
Đối với giáo viên không ngừng tự học, tự bồi dưỡng, nâng cao, đổi mới
trong các phương pháp giảng dạy.
Với kết quả đề tài này, tôi mong rằng các bạn đồng nghiệp quan tâm, chia
sẻ và đặc biệt là giáo viên giảng dạy tốn có thể áp dụng đề tài này vào việc dạy
học để nâng cao kết quả học tập cho học sinh ở các lớp học.

Vạn Khánh, ngày 28 tháng 2 năm 2018
DUYỆT CỦA HIỆU TRƯỞNG

Chủ nhiệm đề tài

Nguyễn Thành Thi

11


VI. TÀI LỆU THAM KHẢO
1) Tài liệu tập huấn nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng dự án Việt

Bỉ - Bộ GD&ĐT.
2) Sách giáo khoa, sách bài tập Toán 9. Nhà xuất bản Giáo dục.
3) Sách giáo viên Toán 9. Nhà xuất bản Giáo dục.
4) Một số vấn đề phát triển đại số 9. Nhà xuất bản Giáo dục.
5) Bài tập nâng cao và một số chuyên đề đại số 9, tác giả Vũ Dương
Thụy- Nguyễn Ngọc Đạm.
6) Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS. Nhà xuất bản Giáo dục.
7) Mạng Internet: giaoandientu.com.vn; thuvientailieu.bachkim.com;
thuvienbaigiangdientu.bachkim.com; giaovien.net ....

12


VII. CÁC PHỤ LỤC CỦA ĐỀ TÀI
Phụ lục 1: Các dạng tốn và phương pháp giải phương trình bậc cao
* Kiến thức cơ bản trong giải phương trình bậc cao
1. Các định nghĩa
1.1 Định nghĩa phương trình
Giả sử A(x) = B(x) là hai biểu thức chứa một biến x. Khi nói A(x) = B(x)
là một phương trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tương ứng
của hai biểu thức này bằng nhau.
Biến x được gọi là ẩn. Giá trị tìm được của ẩn gọi là nghiệm.
Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình. Mỗi biểu thức gọi là một vế của
phương.
1.2. Tập xác định của phương trình
Là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phương trình có
nghĩa.
1.3. Định nghĩa hai phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp
nghiệm.

1.4. Các phép biến đổi tương đương
Khi giải phương trình ta phải biến đổi phương trình đã cho thành những
phương trình tương đương với nó (nhưng đơn giản hơn). Phép biến đổi như thế
được gọi là phép biến đổi tương đương.
2. Các định lý biến đổi tương đương của phương trình:
2.1. Định lý 1: Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một
phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã
cho.
Ví dụ: 2x = 7 � 2x + 5x = 7 +5x.
* Chú ý: Nếu cộng cùng một biểu thức chứa ẩn ở mẫu vào hai vế của một
phương trình thì phương trình mới có thể khơng tương đương với phương trình
đã cho.
Ví dụ: x -2 (1) Khơng tương đương với phương trình x - 2 +

1
1
=
(2)
x -2 x -2

Vì x = 2 là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2)
* Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một
phương trình được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
Ví dụ: 8x -7 = 2x + 3 � 8x- 2x = 7 + 3
13


* Hệ quả 2: Nếu xoá hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phương
trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
Ví dụ: -9 - 7x = 5(x +3) -7x � -9 = 5(x + 3)

* Chú ý: Nếu nhân hai vế của một phương trình với một đa thức của ẩn thì
được phương trình mới có thể khơng tương đương với phương trình đã cho.
2.2. Định lý 2: Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình
thì được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
Ví dụ:

1 2
3 
x - 3x =
2x2 - 12x = 3 (Nhân hai vế với 4)
2
4

3. Những phương pháp giải phương trình
a. Phương trình bậc nhất một ẩn
Phương trình có dạng ax + b = 0, với a, b là những hằng số; a  0 được
gọi là phương trình bậc nhất một ẩn số, b gọi là hạng tử tự do.
* Cách giải:
Phương trình tổng quát: ax+ b = 0 (a  0)

(1)

Dùng phép biến đổi tương đương, Phương trình (1) trở thành:
-b
ax = -b  x=
a
Phương trình này có nghiệm duy nhất: x =

-b
(a 0)

a

b. Phương trình bậc hai một ẩn
Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng ax 2+bx+c= 0;
trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số đã cho; a  0.
*Cách giải:
Ta dùng các phép biến đổi tương đương, biến đổi phương trình đã cho về
các dạng phương trình đã biết cách giải (phương trình bậc nhất, phương trình
dạng tích) để tìm nghiệm của phương trình
Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai ax 2+bx+c= 0(a 0)
cần đặc biệt quan tâm tới biệt số  của phương trình:
 = b2- 4ac. Vì biểu thức  = b2- 4ac quyết định nghiệm số của phương
trình bậc hai. Ta thấy có các khả năng sau xảy ra:
+  < 0  phương trình bậc hai vơ nghiệm
+  = 0  phương trình bậc hai có hai nghiệm kép (hai nghiệm trùng
-b
nhau): x 1 = x 2 =
2a
+  > 0  phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:
14


x1 =

 b 
;
2a

x2 =

b  
2a

* Chú ý:
Nếu a và c trái dấu, nghĩa là a.c < 0 thì phương trình bậc hai có 2 nghiệm
phân biệt (vì a.c < 0 =>b2- 4ac > 0 hay  > 0 )
Đối với một số phương trình bậc hai đơn giản (với hệ số nguyên) trong
trường hợp có nghiệm (  0) ta có thể dùng định lí Vi-ét để tính nhẩm nghiệm
* Định lí Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 (1) (a  0 ) có hai
nghiệm là: x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm là:
c
-b
S = x1 +x2=
P= x1x2 =
a
a
Cách nhẩm nghiệm:
c
a
-c
+ Nếu a-b+c = 0 thì phương trình (1) có các nghiệm là x1 = -1; x 2 =
a
+ Nếu a+b+c = 0 thì phương trình (1) có các nghiệm là x1 =1; x 2 =

Nhờ có định lí Vi-ét mà ta có thể tìm được nghiệm của các phương trình
có dạng đặc biệt. Ngồi ra chúng ta cũng có thể làm được một số bài toán biện
luận về số nghiệm của phương trình bậc hai.
Ví dụ: Giải các phương trình sau
 = 25 – 4.3.7 = 25 - 84 = - 59 < 0

a. 3x2+5x +7 = 0

Vậy phương trình vô nghiệm
 = (2 10 )2 - 4.5.2 = 0

b. 5x2 +2 10 x +2 = 0

Nên phương trình có nghiệm kép x1 = x 2 =
c. 3x2+5x - 1 = 0
Vậy PT có hai nghiệm là: x1 =
d. Giải phương trình

-c -2
=
a 5

 = 52 - 4.3.(-1) = 25+12 =37 > 0

-5 + 37
;
6

x2 =

-5 - 37
6

x 2 -3x + 6 1
=
(1)

x 2 -9
x -3

Phân tích các mẫu thành nhân tử phương trình trở thành
x 2 -3x + 6
1
=
(x -3)(x + 3) x -3
�x + 3 �0
�x �-3
��
TXĐ: �
�x -3 �0
�x �3

MTC: (x-3)(x+3)

Khử mẫu ta được phương trình x2 -3x +6 = x+3
15


Chuyển vế:
 x2 -3x +6-x-3=0

 x2 -4x +3 =0 (2)

a+b+c= 1+(-4) +3 =0
c
Nên x1=1; x2 = = 3 là hai nghiệm của phương trình trung gian
a

Để kết luận nghiệm của (1) ta cần phải kiểm tra xem các nghiệm của (2)
có thuộc TXĐ của (1) hay khơng?
Ở đây ta nhận thấy
x1=1 thỏa mãn điều kiện
x2=3 không thỏa mãn điều kiện
Do đó ta mới kết luận nghiệm của (1) là x =1
* Nhận xét:
Những phương trình được trình bày ở trên là dạng phương trình gặp
nhiều. Khi giải các phương trình này ta cần chú ý những vấn đề sau:
+ Tìm TXĐ của phương trình
+ Sau khi giải được kết quả cần so sánh kết quả và kết luận nghiệm (loại
bỏ những nghiệm của phương trình trung gian khơng nằm trong miền xác định)
* Bài luyện tập: Giải các phương trình
a. 3(x2+x) -2(x2+x) -1= 0,

b. 5x2 - 7x = 0
2x
x 2 - x +8
=
d.
x +1 (x +1)(x - 4)

x + 5 x -3
5
3
=
c.
3
5
x -3 x + 5

c. Phương trình bậc ba:

ax3 +bx2 +cx +d = 0 (trong đó x là ẩn; a, b, c, d là các hệ số; a 0)
* Cách giải:
Để giải một phương trình bậc ba ta thường biến đổi về phương trình tích.
Vế trái là tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai, vế phải bằng 0.
Muốn làm tốt việc này cần đòi hỏi HS phải có kĩ năng phân tích đa thức thành
nhân tử một cách thành thạo.
* Ví dụ: giải phương trình: 2x3 +7x2 +7x + 2= 0
Giải: phân tích vế trái thành nhân tử 2x3 +7x2 +7x + 2
Áp dụng định lý Bơ zu: Đa thức f(x) chia hết cho x – a � f(a) = 0
với x = - 1 thì 2  1  7  1  7(1)  2  0
3

2

suy ra 2x3 +7x2 +7x + 2 = (x+1) (2x2+5x +2)
Nên (x+1) (2x2+5x +2) = 0

16


�
�
x1 = -1
x +1 = 0
�
�
 �
2 + 5x + 2) = 0 � �x 2 = -2

�
(2x
�
�
-1
�
x3 =
2
�

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x1 =-1; x 2=-2; x3 = -

1
2

Hướng dẫn: (máy tính CASIO FX 570ES).
*Ấn mode � EQN(5) � ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (4) � a = 2; b =7 ; c= 7; d =2 � =
1
Kết quả: x1 =-1; x 2=-2; x3 = - .
2
*Nhận xét:
Khi giải một phương trình bậc ba ta khơng nghiên cứu cách giải tổng quát
mà chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về
dạng phương trình tích.
Chú ý: Tính chất của phương trình bậc ba: ax3 +bx2 +cx +d = 0(a 0)
+ Nếu a+b+c +d = 0 thì phương trình có một nghiệm x=1
+ Nếu a-b+c-d = 0 thì phương trình có một nghiệm x= -1
Khi đã nhận biết được một nghiệm của phương trình ta dễ dàng phân tích
vế trái thành nhân tử.
Phương trình: ax3 +bx2 +cx +d = 0 (a 0) với các hệ số ngun. Nếu có

nghiệm ngun thì nghiệm ngun đó phải là ước của hạng tử tự do (định lý sự
tồn tại nghiệm nguyên của phương trình nghiệm nguyên).
Nếu phương trình: ax3 +bx2 +cx +d = 0 (a 0) có 3 nghiệm x1; x2; x3 thì 3
nghiệm đó sẽ thỏa mãn các điều kiện sau:
c
b
d
x1+x2+x3 = - ;
x1x2+ x2x3 +x1x3 = ;
x1x2x3 = a
a
a
* Bài luyện tập: Giải các phương trình
a. 2x3 - 5x2 - 3x = 0;

c. x3 - 5x2 + x + 5 = 0

b. x3 - 7x + 6 = 0;

d. x3 - 13x2 - 42x - 36 = 0

d. Phương trình bậc 4
Phương trình bậc 4 dạng: ax 4 + bx 3+ cx2 + dx +e = 0. Trong đó x là ẩn, a,
b, c, d, e là các hệ số; (a 0).
Một phương trình bậc 4 mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy về PT bậc
hai
d.1. Phương trình tam thức bậc 4 (Phương trình trùng phương)

17

Phương trình trùng phương có dạng tổng qt: ax4 +bx2 +c = 0 (1) .
Trong đó x là ẩn; a, b, c là các hệ số; (a 0)
*Cách giải:
Khi giải phương trình này ta dùng phương pháp đổi biến: Đặt x 2 = t (t 0)
(2)
Khi đó phương trình (1) đưa được về dạng phương trình bậc hai trung
gian: Dạng at2 +bt +c = 0 (3)
Giải phương trình (3) rồi thay giá trị của t tìm được (với t 0) vào (2) ta
được phương trình bậc hai với biến x giải phương trình này ta tìm được nghiệm
của phương trình trùng phương ban đầu
*Ví dụ: Giải phương trình sau: 4x4 - 109x2+ 225 = 0 (1)
Giải:
Đặt x2 = t (t 0) phương trình (1) trở thành 4t2 – 109t +225= 0 (2)
9
Giải phương trình (2) được nghiệm là t1 = ; t2 =25
4
Cả hai nghiệm của phương trình (2) đều thoả mãn điều kiện t 0
+ Với t1 =

3
3
9
9
ta có x2 = � x1= ; x2 = 
2
2
4
4

+ Với t2= 25 ta có x2 = 25 � x3 = 5; x4= -5
3
2

3
2

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là: x1= ; x2=  ; x3 =5; x4= -5
Hướng dẫn: (máy tính CASIO FX 570ES).
*Ấn 4 ALPHA X ^ 4  109 ALPHA X ^ 2 + 225 ALPHA = 0 Ấn
tiếp SHIFT SOLVE. Máy hỏi X? ( máy yêu cầu nhập giá trị ban đầu để dò
nghiệm ) ấn 1 = SHIFT SOLVE ( đợi máy tính tốn giây lát ).
Tương tự: ta có
Kết quả: x1=

3
3
; x2=  ; x3 =5; x4= -5.
2
2

Ta có thể cho giá trị ban đầu lớn hơn hoặc nhỏ hơn nghiệm vừa tìm được
để dị nghiệm (các phương trình khác nếu cho giá trị ban đầu là số lớn thì máy
tính sẽ lâu hơn hoặc sẽ báo ngồi khả năng tính tốn).
* Nhận xét:
Khi nghiên cứu số nghiệm của phương trình trùng phương (1) ta thấy:
Phương trình vơ nghiệm khi:
+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian vơ nghiệm.
+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có cùng hai nghiệm âm.
18

Phương trình trùng phương có hai nghiệm khi:
+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm kép dương.
+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có 2 nghiệm trong đó có
một nghiệm âm và một nghiệm dương.
Phương trình trùng phương có 3 nghiệm khi phương trình bậc hai có 2
nghiệm trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0.
Phương trình trùng phương có 4 nghiệm khi phương trình hai trung gian
có hai nghiệm dương phân biệt.
* Bài luyện tập: Giải các phương trình
a. 4x4 + x2 - 5 = 0

c. 5x4 + 2x2 - 16 = 10 - x2

b. 3x4 + 4x2 + 1 = 0

d. 9x4 - 10x2 + 1 = 0

d.2. Phương trình hệ số đối xứng bậc 4
ax4 + bx3+ cx2 + dx +e =0 (trong đó x là ẩn, a, b, c, d, e là các hệ số; a 0)
Đặc điểm: ở vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số
hạng cuối thì bằng nhau
* Ví dụ: Giải phương trình sau: 10x4-27x3- 110x2 -27x +10= 0 (1)
Ta nhận thấy x= 0 không phải là nghiệm của (1)
Do đó chia cả hai vế (1) cho x2 ta được 10x2-27x–110-

27 10
+ =0
x x2

Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta
1
1
1
(2) . Đặt ẩn phụ x + = t
được 10(x 2 + 2 ) - 27(x + ) -110 = 0
(3)
x
x
x
1
� (x 2 + 2 ) = t 2 - 2 thay vào (2) ta có: 10t2 -27t -130 = 0 (4)
x
5
26
Giải (4) ta được t1= - ; t 2=
2
5
5
1
5
1
+ Với t1=- � (x+ ) = - � 2x2 +5x+2=0 có nghiệm là x1= -2; x2= 
2
x
2
2
26 �
1 26 � 2

(x + ) =
+ Với t 2 =
5x -26x+5 = 0 có nghiệm là x3= 5; x4=
5
x
5
1
5
1 �
�1
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm là S= � ; 2; ;5�
5
�2
Hướng dẫn: (máy tính CASIO FX 570ES).

19


*Ấn 10 ALPHA X^4  27 ALPHA X^3 - 110 ALPHA X^2- 27X + 10 ALPHA =
0. Ấn tiếp SHIFT SOLVE. Máy hỏi X? ( máy yêu cầu nhập giá trị ban đầu
để dò nghiệm ) ấn 1 = SHIFT SOLVE ( đợi máy tính tốn giây lát )
Tương tự: ta có
1 �
�1
Kết quả: S= � ; 2; ;5�.
5
�2
* Nhận xét:
Về phương pháp giải gồm 4 bước
+ Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1)

cho x rồi nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm
ta được phương trình (2)
2

1
1
+ Đặt ẩn phụ: (x + ) = t (3) � (x 2 + 2 ) = t 2  2 thay vào (2)
x
x
+ Giải phương trình đó ta được t
+ Thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1)
1
Về nghiệm số của phương trình: x 0 là nghiệm của (1) thì x cũng là
0
nghiệm của nó.
(ví dụ trên: -2 là nghiệm và

-1
1
là nghịch đảo của nó cũng là nghiệm; 5 và
là
2
5

nghịch đảo của nhau)
* Bài luyện tập: Giải các phương trình
a. x4 - 7x3 + 14 x2 - 7x + 1 = 0
b. x 6 + 3x5 - 30x4 - 29x3 - 30 x2 + 3x + 1 = 0
c. x5 - 5x4 + 4x3 + 4x2 - 5x + 1 = 0
d. x4 - 3x3 - 6x2 + 3x + 1 = 0

e. x4 + 3x3 - 14 x2 - 6x + 4 = 0
d.3. Phương trình hồi quy
Phương trình bậc 4 dạng: ax 4 + bx3+ cx2 + dx +e = 0 (1). Trong đó x là ẩn,
2
c �d �
a, b, c, d, e là các hệ số a 0 và = � �; (c 0)
a �b �
Đối với phương trình hệ số đối xứng bậc 4 chỉ là một trường hợp đặc biệt
của phương trình hồi quy
c
* Chú ý: Khi = 1 hay a = c thì d = ±b ; lúc đó (1) có dạng ax4 + bx 3+ cx2 �bx
a
+e = 0
20


*Cách giải:
Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai vế
d e
cho x2 ta được ax2 +bx + c + + 2 = 0
(2)
x x
e
d
Nhóm hợp lí a(x 2  2 ) + b(x + ) + c = 0
ax
bx
2

Đổi

x2 +

biến

đặt

d
d
�d �
x+
= t � x 2 + � �+ 2 = t 2
bx
b
�bx �

2

do

�d � c
�b � a
��

nên

c
d
= t2 - 2
2
ax

b

Ta được phương trình (3) trung gian như sau: at2+ bt +c = 0 (3)
Giải (3) ta được nghiệm của phương trình ban đầu
* Ví dụ: Giải phương trình
x4-4x3-9x2+8x+4= 0 (1)
2

4 �8 �
Nhận xét  � �; nên phương trình (1) là phương trình hồi quy
1 �4 �
x= 0 khơng phải là nghiệm của (1). Do đó chia cả hai vế phương trình cho
�2 4 � � 2�
8 4
x2 ta được: x2 -4x -9 + + 2 = 0 � �x + 2 �- 4. �x + �-9 = 0 (2)
x � � x�
x x
�
� 2�
�2 4 � 2
* Đặt �x - �= t (3) � �x + 2 �= t + 4 . thay vào (2)
x �
� x�
�

Phương trình (1) trở thành: t2- 4t -5 = 0 có nghiệm là t1=-1; t2=5
+Với t1=-1 � x2+x-2 = 0 có nghiệm là x1= 1; x2= -2
5 ± 33
+Với t2=5 � x2 -5x -2 = 0 có nghiệm là x ; x =
3 4

2
�
�

1;-2.;
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S= �
�

5 ± 33 �
�
�
2 �

Hướng dẫn: (máy tính CASIO FX 570ES).
*Ấn ALPHA X ^ 4  4 ALPHA X ^ 3 – 9 ALPHA X ^ 2 + 8 ALPHA X+
4 ALPHA = 0. Ấn tiếp SHIFT SOLVE . Máy hỏi X? ( máy yêu cầu nhập giá
trị ban đầu để dò nghiệm ) ấn 1 = SHIFT SOLVE ( đợi máy tính tốn giây lát )
Tương tự: ta có
�
�

1;-2.;
Kết quả : S= �
�

5 ± 33 �
�
�.
2 �

* Nhận xét:
21


Cũng tương tự như giải phương trình bậc 4 hệ số đối xứng, chỉ khác bước đặt ẩn
phụ

m2
2m
x+
= y � x 2 + 2 2 = y2 bx
bx
b
Đặt:
m

d.4. Phương trình dạng: (x+a) (x+b) (x+c) (x+d)=m

(a+d=b+c)

*Cách giải:
Nhóm (x+a) với (x+d); (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó. Khi đó
phương trình có dạng [x2 +(a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c)x +bc ] = 0, do a+d = b+c
nên ta đặt [x2 +(a+d)x + k ] = t (2) (k có thể là ad hoặc bc), ta có phương trình
At2 +Bt+ C =0 (với A=1)
Giải phương trình ta tìm được t thay vào (2) rồi giải tìm được nghiệm x
* Ví dụ:
Giải phương trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7) = -15 (1)
Nhận xét 1+7 = 3+5
Nhóm hợp lý � (x+1) (x+7). (x+3) (x+5) +15 = 0

� (x2 +8x +7) (x2 + 8x + 15) +15 =0 (2)
*Đặt (x2 +8x +7) = t
� t(t+ 8) + 15= 0

(3) thay vào (2) ta được

� y2 +8y +15 = 0 có nghiệm y1=-3; y2=-5
Thay vào (3) ta được hai phương trình
1. x2 +8x +7 = -3 � x2+ 8x +10= 0 có nghiệm x1, 2 = -4  6
2. x2 +8x +7 = -5 � x2 +8x +12 = 0 có nghiệm x3=-2; x4 =-6



Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S = 2; 6; 4 � 6



Hướng dẫn: (máy tính CASIO FX 570ES).
*Ấn (ALPHA X +1).( ALPHA X+3).( ALPHA X+ 5).( ALPHA X +7) ALPHA
= -15. Ấn tiếp SHIFT SOLVE. Máy hỏi X? ( máy yêu cầu nhập giá trị ban
đầu để dò nghiệm ) ấn 1 = SHIFT SOLVE ( đợi máy tính tốn giây lát )
Tương tự: ta có





Kết quả : S= 2; 6; 4 � 6 .
* Nhận xét:
Đối với những phương trình có dạng đặc biệt như trên, nếu ta khai triển vế trái ta

sẽ được phương trình bậc 4 (thường là loại bậc 4 đầy đủ). Đối với học sinh ở
THCS việc giải là rất khó khăn. Vì vậy từ việc nhận xét tổng hai cặp hệ số của

22


phương trình bằng nhau rồi nhóm một cách hợp lí. Khi khai triển mỗi nhóm, ta
đổi biến của phương trình và đưa về phương trình bậc hai trung gian.
Ta thấy nếu phương trình bậc hai trung gian vơ nghiệm thì phương trình ban đầu
cũng vơ nghiệm. Nếu phương trình trung gian có nghiệm thì ta trả biến lại và
giải tiếp phương trình bậc hai đối với biến x, nghiệm của phương trình này là
nghiệm của phương trình ban đầu.
* Bài luyện tập:
1. Giải các phương trình:
a. x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 8;
b. (4x + 3)2 (x + 1) (2x + 1) = 810
c. (x - 4)(x - 5) (x - 6)(x - 7) = 1680;
d. (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + 15 = 0
2. Cho phương trình: (x+3)(x+5)(x+9)(x+7) = m
a. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm
b. Giải và biện luận nghiệm của phương trình
c. Giải phương trình khi m = 5.
d.5. Phương trình dạng: (x+a)4 +(x+b)4 = c (1) (Trong đó x là ẩn số; a, b, c
là các hệ số )
* Cách giải:
Đối với dạng phương trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và
(x+b)
Đặt t = x+

a+b

a -b
a -b
Ta có x+a = t+
; x+b = t 2
2
2

�a  b � 2
�a  b �
Khi đó phương trình (1) trở thành: 2t +2 �
t + 2�
�
�– c = 0
�2 �
�2 �
2

4

4

Đây là phương trình trùng phương đã biết cách giải
* Ví dụ : Giải phương trình sau: (x+3)2 +(x-1)4 = 626
Đặt t = x+1
Ta có phương trình � (t+2)4 + (t – 2)4 = 626
� 9t4+8t3 +24t2+32t +16) � 9t4- 8t3 +24t2- 32t +16) = 626
� t4 +24t2 - 297 = 0 có nghiệm là t=-3 và t=3
Từ đó tìm được x=2 và x=-4 là nghiệm của phương trình đã cho
* Bài luyện tập: Giải các phương trình
a. (x + 5)4 + (x +3)4 = 2

b. (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82

c. (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2
23