Tải bản đầy đủ (.pdf) (6 trang)

Sự tồn tại, tính chất nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm và dạng Volterra

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (838.46 KB, 6 trang )

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

Sự tồn tại, tính chất nghiệm của phương trình tích phân
ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm và dạng Volterra
Existence, solution properties of the linear random
integral equation Fredholm and Volterra forms
Nguyễn Thị Huệ
Email:
Trường Đại học Sao Đỏ
Ngày nhận bài: 02/7/2020
Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 28/9/2020
Ngày chấp nhận đăng: 30/9/2020
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tơi xét bài tốn phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm
và dạng Volterra. Chứng minh sự được tồn tại nghiệm của phương trình ứng với các điều kiện của hạch
K (x,y) chỉ ra được dạng nghiệm tương ứng. Xét được tính chất bình phương liên tục của nghiệm, thiết
lập sự tồn tại của hàm hiệp phương sai Rf (x1,x2) của nghiệm.
Từ khóa: Phương trình tích phân; phương trình tích phân Fredholm; phương trình tích phân Volterra;
hạch; hàm giải thức; hàm hiệp phương sai.
Abstract
In this paper, we consider the following linear random integral equation Fredholm and Volterra forms. To
prove the existence of the solution of the equation to the conditions of kernel K (x,y) indicating the
corresponding solution. Considering the average square of the solution, establish the existence of the
covariance function Rf (x1,x2) of the solution.
Keywords: Integral equation; the integral equation Fredholm form; the integral equation Volterra form;
kernel; solver function; covariance function.
1. GIỚI THIỆU
Nhiều vấn đề trong toán học cũng như các bài toán
thực tế của cơ học, vật lý, kỹ thuật dẫn đến phương
trình mà các hàm chưa biết nằm dưới dấu tích
phân, đó chính là dạng phương trình tích phân. Lý


thuyết tổng qt về các loại phương trình tích phân
tuyến tính được xây dựng từ cuối thế kỉ XIX đầu thế
kỉ XX, chủ yếu là trong các công trình của Volterra,
Fredholm và Hilbert. Trong các tài liệu [4, 5, 6, 7],
các tác giả đã trình bày tổng quát về phương trình
tích phân tuyến tính dạng tất định. Tuy nhiên, khi
cả hàm cần tìm và các yếu tố đã cho trong phương
trình tích phân đều chứa biến ngẫu nhiên thì được
lớp phương trình tích phân ngẫu nhiên.
Nghiên cứu về bài tốn về phương trình tích phân
ngẫu nhiên ta thường quan tâm đến các vấn đề:

Sự tồn tại, tính duy nhất, dạng biểu diễn và các tính
chất nghiệm của các dạng phương trình tích phân.
Trong bài viết này, chúng tơi tập trung vào phương
trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng
Fredholm và dạng Volterra tương ứng là:
b

ò

f ( x,w ) - K ( x, y ) f ( y ,w ) dy = g ( x,w ) .

(1)

a
x

ò


f ( x,w ) - K ( x, y ) f ( y ,w ) dy = g ( x,w ) .

(2)

a

Trong đó:
x ≥ 0, w là một điểm của Ω;
g (t, w) là hàm ngẫu nhiên xác định với x ≥ 0, w ∈ Ω;
f (t, w) là hàm ngẫu nhiên chưa biết với x ≥ 0;
hạch ngẫu nhiên K (x,y) xác định với 0 ≤ x ≤ y<∞.
2. MỘT SỐ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ

Người phản biện: 1. PGS. TS. Khuất Văn Ninh
2. TS. Nguyễn Viết Tuân

Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng một số kí
hiệu như:

70 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 3 (70) 2020


NGÀNH TỐN HỌC
- ( W, F ,P ) là khơng gian xác suất, đo được.
- L2 [a,b] là không gian các hàm thực bình phương
khả tích trên [a,b].

các đại lượng ngẫu nhiên zn đơi một khơng tương
quan với kì vọng 0 và dãy hàm tất định fn ( t ) sao
cho "t ẻ [a; b] ta cú khai trin sau:

Ơ

nh nghĩa 1 (Xem [2]):

x (t ) = m (t ) +

Quá trình ngẫu nhiên {x ( t )} là họ các biến ngẫu
tỴT
nhiên { x ( t ) : t Î T } được xác định trên không gian
xác suất ( W, F ,P ) với tham số t của tập chỉ số T .

Trong đó:

Biến ngẫu nhiên x (t) có các đặc trưng như: Kì
vọng, phương sai, hàm tự tương quan...
Định nghĩa 2 (Xem [2]):

åx f
n=

n n

(t )

- m(t) là hàm trung bình của x (t);
- Dãy fn ( t ) là cơ sở trực chuẩn của L2 [a,b] và là
các hàm riêng của tốn tử tích phân A: L2 [a,b] →
L2 [a,b] cho bởi:
b


ò

Cho x (t) t ∈ T là một q trình ngẫu nhiên. Khi đó:

Ax ( t ) = K ( s, t ) x ( s ) ds

- Hàm trung bình của quá trình ngẫu nhiên {x ( t )}tỴI

Ở đó:

là m (t ) = Ex (t ), t ỴT .

- Hàm tự tương quan của q trình ngẫu nhiên
{x (t )} là:
tỴI

K ( s, t ) = cov ëé x ( s ) , x ( t ) ûù = Ex(s )x(t ) - m(s )m(t ).
- Hàm hiệp phương sai của hai quá tình ngẫu nhiên
x (s ), y (t ), s,t ỴT là:

R ( s, t ) = cov éë x ( s ) , y ( t ) ùû
= E é x (s ) - E ( x (s ) ) y (t ) - E ( y (t ) ) ù .
ë
û
Định lí 1 (Xem [2]):

(

)(


)

Hàm ngẫu nhiên x (t), t ∈ T = [a,b] là hàm L2 khả
tích trên T khi và chỉ khi hàm trung bình m (t) khả
tích trên T và hàm tự tương quan K (s,t) khả tích
trên T × T. Khi đó ta có:
b

b



b





E x ( t ) dt = Ex ( t ) dt = m ( t ) dt ;
a

a

b

ò

Var x ( t ) dt =
a


a

K (s,t) là hàm tự tương quan của x (t).

Exn = 0, Var xn = ln
Trong đó:
ln là giá trị riêng của A ứng với hàm riêng fn ( t )
Sự hội tụ của chuỗi (1.37) là hội tụ trong L2 .
Định nghĩa 3 (Xem [2]):
Hàm g (x,w) với x Ỵ [a, b] là hàm bình phương liên
tục nếu g (x,w) là hàm ngẫu nhiên bậc hai thỏa mãn
điều kiện:

ì1. E g x,w 2 < ¥, " x Î a, b .
( )
[ ]
ïï
í
2
ï2. lim g ( x + h,w ) - g ( x,w ) = 0, "x ẻ [a, b ].
ùợ h đƠ
Nghim ca phng (1); (2) là một hàm ngẫu nhiên
f (x,w), mà tính chất ngẫu nhiên của nó phụ thuộc
vào tính chất ngẫu nhiên của hàm g (x,w).

{

}

{


}

bb

Ta có định lý về nghiệm của phương trình tích phân
tuyến tính ngẫu nhiên.

aa

Định lí 3:

ịị K (s,t ) dsdt ;

d
ổb

Cov ỗ x ( t ) dt, x ( t ) dt ữ =


c
ốa


ũ

a

ũ


bd

ũũ K (s,t ) dsdt.
ac

Nếu
i. K ( x, y ); x, y Ỵ [a, b] là hạch Fredholm và

K ( x, y ) < 1 .

Nếu x (t ),t ỴT = [a; b], y ( t ),t ỴT = [c;d ] là L2 khả
tích trên T = [a,b] thì

ii. g (x,w) với x, y Î [a, b];w Î W là hàm ngẫu nhiên
bậc hai thỏa mãn điều kiện bình phương liên tục.

éb
ù éd
ù
E ê x ( t ) dt ú ê y ( t ) dt ú =
êa
ú êc
ú
ë
ûë
û

bd

Khi đó: Hàm f (x,w) được xác định bởi:


ac

f ( x,w ) = g ( x,w ) - G ( x, y ) g ( y ,w ) dy

ò

ò

d
éb
ù
cov ê x ( t ) dt , y ( t ) dt ú =
êa
ú
c
ë
û

ò

ò

òò Ex (s ) y (t ) dsdt ;
bd

òò cov éë x (s ), y (t )ùû dsdt.
ac

Định lí 2 (Xem [2]):

(Khai triển Karunen-Loève) cho x (t), t ∈ T = [a,b]
là hàm ngẫu nhiên L2 liên tục. Khi đó tồn tại dãy

b



(3)

a

Với x, y Ỵ [a, b];w ỴW và G ( x, y ) là giải thức liên kết

với K (x,y) sẽ là nghiệm của phương trình Fredholm
(1) trên [a,b] × Ω.
Chứng minh:
Đối ứng từ phương trình (1) là:

Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 3 (70) 2020

71


NGHIấN CU KHOA HC

ũ


ỗ G x, y g y ,w dy ữ dx



aốa

bổb
b

2
2
< ỗ G ( x, y ) dy g ( y ,w ) dy ữdx


aốa
a


ũũ

b

g ( x,w ) = f ( x,w ) - G ( x, y ) g ( y ,w ) dy

(4)

a

Trong đó:

ịị

b


G ( x, y ) là giải thức liên kết với K (x,y) được xác



=

định như sau:
G ( x, y ) = -

¥

å K ( ) ( x, y )
n

(1)

Với K ( x, y ), K
như sau:

(5)

( 2)

( x, y )... được xác nh quy np

b


g ( y ,w ) ỗ K ( x, y ) + G ( x, y ) - K ( x, z ) G ( z, y ) dz ữ dy = 0.



a
a


b

( n -1)

( x, z ) K ( z, y ) dz,

ò

n = 3,4....

Với giả thiết K ( x, y ) < 1 thì giải thức liên kết loại
Neumann (5) là hội tụ tuyệt đối.
Từ g (x,w) là hàm ngẫu nhiên bậc hai thỏa mãn
điều kiện bình phương liên tục ta có:

ị g ( x, w )

2

dx < ¥ (h.c.c).



Khi sắp xếp lại, được kết quả là:

b

bb

ò

g ( y ,w ) K ( x, y ) dy -

a

b

ị G ( x, y )

2



a



[a,b] × Ω. Từ đó, ta có thể kết luận rằng:
b





( h.c.c ) .


a

Áp dụng kết quả của định lý Tonelli cho tích phân
thứ 2 trong vế trái của (8) ta được:
bb

aa

a

Là định nghĩa tốt trên [a,b] × Ω.

=

Bây giờ ta chứng minh rằng



b

a

ỉb
ư
K ( x, z ) ỗ G ( z, y ) g ( y ,w ) dy ữdz.


ốa



G ( x, y ) g ( y ,w ) dy Ỵ L2 [a, b ]

a

Với hầu hết mọi "w Ỵ W .
Ứng dụng bt ng thc Holders, ta cú:

ũ

b
ổb
ử b
2
2
ỗ G ( x, y ) g ( y ,w ) dy ÷ < G ( x, y ) dy g ( y ,w ) dy .


a
ốa
ứ a

ũ

ũ

2

b



K ( x, z ) ỗ g ( z,w ) - G ( z, y ) g ( y ,w ) dy ữ dz


a



ũ

b

ũ

Do ú:

b

a

2

ũ

= - G ( x, y ) g ( y ,w ) dy .
a

Sử dụng định nghĩa của f (x,w) cho bởi (3), biu
thc trờn tr thnh:


b

b
ỗ G ( x, y ) g ( y ,w ) dy ÷ dx
K ( x, z ) f ( z,w ) dz = - G ( x, y ) g ( y ,w ) dy .
a


a
aốa

bổb
b

2
2
ỗ G x, y dy g y ,w dy ữdx


aốa
a

72 Tp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 3 (70) 2020

òò

ò

b


òg
a

y ,w

ò

2

bb

òò G

dy .

aa

x, y

(9)

Với tích phân đầu trong vế trái của (8), ta đổi biến
từ y sang z và sử dụng (9) thì ta viết lại được (8)
như sau:

b

òò

từ


b

K ( x, z ) dz G ( x, y ) g ( y ,w ) dy < ¥

ịị K ( x, z ) G ( z, y ) g ( y,w ) dzdy

ò

f ( x,w ) = g ( x,w ) - G ( x, y ) g ( y ,w ) dy

bỉb

dy Ỵ L2 [a, b ], ( h.c.c )

K ( x, z ) Î L2 [a, b ], "x Î [a, b ] ta có:

a

G ( x, y ) g ( y ,w ) dy tồn tại trên

2

a

ò

a

ò


ò G ( x, y ) g ( y , w )

Từ
b

b

Do đó, tích phân



a

b

dy < ¥, "x Ỵ [a, b ].

(8)

= - G ( x, y ) g ( y ,w ) dy .

(6)

Từ hàm giải thức G ( x, y ) là một hạch L2 trên [a,b],
suy ra:

òò K ( x, z ) G ( z, y ) g ( y,w ) dzdy
aa


a

b

(7)

Nhân cả hai vế (7) với g (x,w) và lấy tích phân trên
[a,b], ta được:

a

b

Cuối cùng, ta chỉ ra rằng hàm ngẫu nhiên f (x,w)
được xác định bởi (4) thỏa mãn phương trình ngẫu
nhiên Fredholm (1) trên [a,b] × Ω hầu chắc chắn.

a

Tổng qt:

( x, y ) = ị K

dxdy < ¥ ( h.c.c ) .

aa

ò

b


b

2

b

a

K

òò G ( x, y )

K ( x, y ) + G ( x, y ) - K ( x, z ) G ( z, y ) dz = 0.

( x, y ) = ò K ( x, z ) K ( z, y ) dz;

(n)

bb

2

g ( y ,w ) dy .

Xét sự độc lập:

1
K ( ) ( x, y ) = K ( x, y ) ;


K



a

n =1

( 2)

2

bỉb

2

dxdy

¥ h.c.c .



(10)


2
ỡổ b
ử ỹù
ùỗ
NGNH

TON
E ớ G x, y g y ,w dy ữ ý


ùố a
ứ ùỵ

b
Vit li (10) v s dng định nghĩa của f (x,w) ta có:
ìï b
üï
2
2
< G ( x, y ) dy E í g ( y ,w ) dy ý < ¥
b
K ( x, z ) f ( z,w ) dz
a
ợù a
ỵù
a

ũ

ũ

ũ

b

ũ


= g ( x,w ) - G ( x, y ) g ( y ,w ) dy - g ( x,w )
a

= f ( x,w ) - g ( x,w ) .

Tức là, biểu thức (10) tương đương với phương
trình Fredholm (1).
Chú ý: Kết quả của Định lí 3 dễ dàng đặc biệt hóa
với phương trình tích phân tuyến tính ngẫu nhiên
Volterra (2).
Khi đó, nghiệm của (2) có dạng:
x

(11)



f ( x,w ) = g ( x,w ) - G ( x, y ) g ( y ,w ) dy .
a

Hệ quả:
Nếu K (x,y) là một hạch Volterra trên [0, r ] ´ [0, r ], r > 0
và nếu g (x,w) là hàm ngẫu nhiên bậc hai trên [0,∞]
× Ω, liên tục trên hình vng [0,r] × [0,r] mà thỏa
mãn phương trình ngẫu nhiên Volterra thì hàm
ngẫu nhiên f (x,w) được xác định bởi (11) trên [0,∞]
× Ω thỏa mãn phương trình (2) trên [0,∞] × Ω.
Vấn đề chỉ ra dạng nghiệm của phương trình tích
phân ngẫu nhiên tuyến tính Fredholm - Volterra đã

được giải quyết.
3. KẾT QUẢ CHÍNH
Trong phần này chúng tơi trình bày các kết quả
nghiên cứu về tính chất của nghiệm của phương
trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính Fredholm Volterra.
3.1. Hàm hiệp phương sai của nghiệm
Định lí 4:

(12)

Rf ( x1, x2 ) = E {f ( x1,w ) f ( x2 ,w )}, x1, x2 Ỵ [a, b ].

Chứng minh:
Để thiết lập sự tồn tại của hàm Rf (x1,x2), ta chứng

{

tỏ rằng E f ( x,w )

2

} Ê Ơ,"x ẻ [a,b] , nghĩa là f (x,w)

là hàm ngẫu nhiên bậc hai.
Từ bất ng thc bt ng thc Holders:
2

ổb

ỗ G ( x, y ) g ( y ,w ) dy ữ <



ốa


ũ

b

ũ G ( x, y )
a

V
2
ỡổ b
ử ỹù
ùỗ
E ớ G ( x, y ) g ( y ,w ) dy ÷ ý
÷ ù
ùỗố a
ứ ỵ


ũ

b

ũ
a


2

b

ũ

2

dy g ( y ,w ) dy
a

ũ

Vi "x, y Ỵ [a, b] , từ g (x,w) liên tục trong
ü là
hình vng.ìỉ Như vậy,b nó theo sau từ ư (3)
ù
ù


G
g
x
,
w
x
,
y
g
y

,
w
dy
2
1
1
ùỹ ti
E f ( x,w ) ùỡùốỗổÊ Ơ, "x ẻ [aab, b] , thit lp s ữửứtn
ù
Rf x1, x2
E ùớỗ g x1,w - G x1, y g y ,w dy ÷ ïý
bb R (x ,x ). Phép tính
÷ưư ïü của
của hm hip
ùùỡổỗ phng sai
f
1 2
a
ùố
ứù
ù

ữữ ùýùta cú:
Rfhm
x1, xR2 (x E
G
g tớnh
x12,,w
x
,

y
g
y
,
dy
wtrc
w
-- G
x
,
y
g
y
,
w
dy
ớ) l
ù
,x
tip.
T
(12)
v
(3)
2
1
b
b
f
1 2ùỗ



ữữử ùùử ỹ
ùợùốốổ
aa
ứứữ ỵùữ ù
G
x
,
y
g
y
,
w
dy
x
,
y
g
y
,
dy
w
Rf x1, x2
E ùớỗùỡgỗ gx2x,1w,w- - G
ù
21
b



ù
b

ữửùýữửứ ùỹù
ùợốổxùố
E
g
x
,
w
g
,
w
a a G x , y g y ,w dyứ
ỵữ ù
ù

1
2
g
x
,
w
(
)
(
)
(
)
Rf x1, x2

E
ùỗớùgỗ x2 ,1w - Gb x2 ,1y g y ,w dy ữ ùữ ýù




b
ù
a
ùợốxùố2 ,w
E (gxỡù,xx1,w) =gE

ứ ùỵứữ ùùý
R
ớỗ g x2 ,w -a b G x2 , yï g y ,w dy
1 2
f
ï
- E ớg x1,w ỗổG x2 , y g y ,w dy ý
ữử
E g ỡợù x1,w g xùợùab ốỗ2 ,gw( x ,w ) - a G ( x , yỹỵù) g ( y ,w ) dy ứữ ùỵù
2
- E ớg x1,w ùỗG x22, y g y ,w dy
ữù
ý
a
ứỵ
E ỡùg x1,w gợbbốx2 ,w
ỹùùỵ
a


ù
- E íg x12,,w
G
x
,
y
g
y
,
dy
w
21
ýü
b ,x
= E {ìg ì( x1,ww) g b( xG
2 w )}
ù
ù
ùỹỵ ù
a
a

-E
G x , y g y ,w dy
ý
-E
b x1,2y g y ,w dy ý ü
ígìígx2x,1w,w b G


b
ï
ì
ü
ì
üï
a

ï
ï
ỵï g x ,wa G x2 , y ) g ( y ,w ) dy
ỵù ýỵ
-E
-EEùớớgớG x(x21,1,wy )gGb yx,(w
,
y
g
y
,
dy
w
G
dy
x
,
y
g
y
,
dy

w
ý
1
ý.
2

b
ù
a
ùợa ợỡù
ùỵ ỵỹù
ùỡợE
ùỹ
a G x , y ag y ,w dy
g
x
,
w
E í ìíG x1,2y g b y ,w 1dy G x2 , y gỹý y ,w dy ỵý .
b
b
ùỵỹù
Rf x-1ùợỡù,Exa2ùớợg ( xRg,w x) 1a,G
x2 x , y ag y ,w dy ùỵ
E ớ Gb x1,2y g y ,(w 1dy) Gb( x2 ,)y gý y ,w dy ý .
ỵù
Rf xb1ùợ, xaỡù2ợù Rg x1a, x2
ùỵ üï
a
y g y ,w dy

ý.
- EGìí bxG2 , yx1,Ey gg xy1,,ww dy
g byG,w x2 ,dy
üï
b ï
Rf +xa1E, xỵ2a G (R
a
g x1, x2
y ) g ( y ,w ) dy ýỵ .
- Gí x2 , yx1,Ey ) gg ( xy1,,ww) dy
g yG,w( x2 ,dy
b
Rfb a x1ợù, xa2
Rg x1, x2
a
ỵù
- GbG x1x,2y, yEEg gy ,xw1,wg gx2y,w
,w dy
dy
Rfb ( x1, x2 ) = Rg ( x1, x2 )
a
- a- Gb xG1, xy2 ,Ey gE yg,wx1g,w xg2 ,wy ,w dy dy
b a
G ( x2 , y ) E {g ( x1,w ) g ( y ,w )} dy
ady
b-b bG x1, y E g y ,w g x2 , w
a
w
- a-G xG1, yx1 ,Gy xE
,

y
E
g
x
,
g
x
,
2 2g y ,w g
1 x , w2 w dydy1dy 2

{

ò
ò
ò
òò
òò
ò
ò

}

ò
ò
ò
òò
òò
ò
ò


ò
ò
ò

ò
ò
ò

ò
ò ò
ò
ò ò
òò
òò
(
)
òò
òò ò
- òò -G (xG,(yx ,Gy x) E, y{g (Ey ,gw )xg,w
( xg,wx )},w) dydy dy
ò
bb
aa

-

Nếu hàm ngẫu nhiên f (x,w) là nghiệm của (1), (2)
theo Định lí 3 thì hàm hiệp phương sai của f (x,w)
được xác định bởi:


HỌC

b
a

bb
aa

1

1

11

2

2

2

1

2

2

1

2


òò G x , y G x ,by E g x ,w g x ,w dy dy
R(gG (xx1,, yx2) G-( xò G
x2 ,{yg (R
w )}) dy dy
- òò
x g,w x
) g1,(yx ,dy
b ,y )E
a
RgG xx1,, yx2 G-xò G
w dy dy
- òò
, y xE
x g,w xg1, yx ,dy
2 , yg R
b
a
bb
aa
bb
aa

a

1

1

2


2

1

2

1

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1

1


2

2

1

2

1

2

ò

aa

=bRg ( x1, x2 ) - Gb ( x2 , y ) Rg ( x1, y ) dy

ò
ò
ò
ò
- ò G x , y R y,x dy
-x , y dy
) R ( y , y ) ) dy dy .
òòò G( Gx( x, y, y R) G (y,x
-x , y dyR y , y dy dy .
òòò GGxx, y, y R G y,x
Đặt

- òò G x , y G x , y R y , y dy dy .
H ( x , x ) = R ( x , x ) - ò G ( x , y ) R ( x , y ) dy .
- òò G x , y G x , y R y , y dy dy .
Phép
- ịịtính
G đơn
x , y giản
G xdưới
, y đây
R biểu
y , ydiễndycho
dyR. (x ,x )
của hàm hiệp phương sai R (x ,x ) đặt trong hàm
- GRgx1,xy1, xR2g -ay,xG2 xdy
2 , y Rg x1, y dy
b
b
a
- a GR( gx1,xy1,) xR2g (-y,x
G2 )xdy
2 , y Rg x1, y dy
b
a
b bb
a
b bb
a aa

1


g

11

a

1 g

11 1 g
bb
a aa
1 1
bb
1
g
a a1 2
1 1
bb
aa
1 1

2

2 2 2
2 2 2
2

2

2


b

1

2

1

2

g

1

2

1

2

1

2

1

2

g


2

2

a2

g

2

2

g

1

g

2

1

g

aa

ngẫu nhiên g (x,w):

g


2

1

1

1

2

1

2

f

1

2

2

b

ò

Rf ( x1, x2 ) = H ( x1, x2 ) - G ( x2 , y ) Rg ( x1, y ) dy
a


ìb

üï
2
2
ï
G x, y dy E í g y ,w dy ý ¥
Tạp chí Nghiên
Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 3 (70) 2020
ùợ a cu khoa hc,
ùỵ

ũ

73


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Với hàm g (x,w) là liên tục trong hình vng, hàm
hiệp phương sai của nó Rg (x1,x2) là hàm đối xứng
khơng âm liên tục trên [a,b] × [a,b]. Do đó, từ định
lý Mercer:

Rg ( x1, x2 ) =

¥

ål f
n =1


n n

( x1 ) fn ( x2 ).

(13)

Trong (13), φn(x) là dãy hàm số đặc trưng của
Rg (x1,x2) và λn là dãy các giá trị riêng liên kết.
b

ò

lnfn ( x ) = Rg ( r , x ) fn ( r ) dr , x Ỵ [a, b ]
b



Rg r , x fn r dr ,

a

a

x Ỵ ba, b
= fm ( x ) fn ( x ) dx = d xm´n .



b




a

= fm x fn xỞdx
đó,= d xm´n . là delta Kronecker.
a

b

ò

xn (w ) = g ( x,w ) fn ( x ) dx, n = 1,2,3....
a

Biến ngẫu nhiên xn (w ) được xác định từ
b

ò g ( x, w )

2

dx < ¥ (h.c.c) và hàm đặc trưng liên tục

a

¥

trên [a,b]. Trình tự xn (w )n =1 là trực giao trên Ω và


"x Ỵ [a, b] :

å
n =1

Bây giờ ta chứng tỏ rằng nghiệm ngẫu nhiên f (x,w)
là bình phương liên tục nếu hạch K (x,y) của tốn
tử tích phân là liên tục.
Định lý 5.
Cho K (x,y) là hạch Fredholm trên [a,b] × [a,b] và
G ( x, y ) biểu thị cho liên kết giải thức. Nếu K (x,y)
liên tục trên [a,b] × [a,b] thì nghiệm f (x,w) của
phương trình tích phân (1) là bình phương liên tục
trên [a,b].
Chứng minh:
Đặt x0 Ỵ [a, b] . Từ (3) và ứng dụng của bất đẳng
thức Minkowski:
1

Đặt

¥

3.2. Sự bình phương liên tục của nghiệm

1
ln2xn

æ E f x,w - f x ,w 2 ử 2
( ) ( 0 ) ữ





{

}

1

2 ử2
ổ g ( x, w ) - g ( x , w )
0


b


= E
2

+ g ( y ,w ) ( G ( x, y ) - G ( x0 , y ) ) dy ữ
ỗỗ
ữữ
a



ũ(


1

2 2
< ổỗ E g ( x,w ) - g ( x0 ,w ) ửữ



{

2 ỹử2
ổ ỡb
ùữ
ỗ ù
+ ỗ E ớ g ( y ,w ) ( G ( x, y ) - G ( x0 , y ) ) dy ý ữ .
ùữ
ỗ ùa
ỵứ
ố ợ

ũ

L i diện cho g (x,w) với nghĩa sau:

ì
1
N
ï
ï
lim E í g ( x,w ) ln2 xn (w ) fn ( x ) ý = 0.
n đƠ

ù
ù
n =1





t y n ( x ), n = 1,2,3... là nghiệm của phương trình
tích phân (xác định):

Từ g (x,w) là bình phương liên tục.



y n ( x ) - K ( x, y )y n ( y ) dy = fn ( x )y n ( x )
a

b

ò

= fn ( x ) - G ( x, y )y n ( y ) dy .
a

Như trước G ( x, y ) , là giải thức của hạch K (x,y)
Fredholm (hoặc Volterra). Nó có thể chứng tỏ
f (x,w) là nghiệm của (1), nhận y n ( x ) làm đại diện
trực giao.


f ( x,w ) =

å
n =1

(w )y n ( x ),

x Ỵ [a, b ].

Mà theo sau nó là hàm hiệp phương sai Rf (x1,x2)
nhận y n ( x ) làm đại diện trực giao.
Vậy

Rf ( x1, x2 ) =

¥

ål y
n =1

n

n

( x1 )y n ( x2 ).

{

lim E g ( x,w ) - g ( x0 ,w )


x ® x0

2

} = 0.

Từ đây, nó biểu din l:
2

b

b

1
ln2xn

}

1

(w )fn ( x )

Ơ

)

lim

x đ x0


ũ g ( y,w ) ( G ( x, y ) - G ( x , y )) dy
0

= 0.

a

Ứng dụng của bất đẳng thức Holder:
2

b

ò ( g ( y,w ) ´ ( G ( x, y ) - G ( x , y ))) dy
0

a

b

<

ò g ( y ,w )
a

2

b

2


ò

dy . G ( x, y ) - G ( x0 , y ) dy .
a

Từ g (x,w) là bình phương liên tục,

ìï b
üï
2
E í g ( y ,w ) dy ý = M < Ơ.
ùợ a
ùỵ
Do ú:
2ỹ
ỡb
ù
ù
E ớ g ( y ,w ) ´ ( G ( x, y ) - G ( x0 , y ) ) dy ý
ùa
ù



ũ

ũ(

)


b

ũ

2

M. G x, y - G x0 , y dy .
74 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ,
ISSN 1859-4190, Số 3 (70) 2020
a

(14)


ìb
ï
E í g y , w ´ G x, y - G x 0 , y
ùa


ũ

b

2ỹ

ù
dy ý
ù



2

ũ

< M. G ( x, y ) - G ( x0 , y ) dy .
a

Bởi vậy, nó cịn được biểu diễn là:
b

lim

x ® x0

ò

2

G ( x, y ) - G ( x0 , y ) dy = 0.

a

Với ε > 0, giả thiết K (x,y) liên tục trên [a,b] × [a,b]
do đó giải thức G ( x, y ) cũng liên tục trên [a,b] ×
[a,b]. Từ G ( x, y ) liên tục đều trên [a,b] × [a,b], ta có
thể chọn d > 0 mà:
b

ò G ( x, y ) - G ( x , y )

0

2

dy < e

a

NGÀNH TOÁN HỌC
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đặng Hùng Thắng, (2013), Xác suất nâng cao,
Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Duy Tiến, (2005), Các mơ hình xác
suất và ứng dụng – Phần II – Quá trình dừng
và ứng dụng, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia
Hà Nội.
[3] Cấn Văn Tuất (2005), Phương trình vi phân và
phương trình tích phân, Nhà xuất bản Đại học
sư phạm.
[4] Bharucha-Reid A.T, (1972), Random Integral
Equations, Academic Press NewYork.

Với x - x0 < d . Điều này thiết lập (14).

[5] T.A.Burton (1983), Volterra Intergral and
Diferential Equations, Academic Press, New York.

4. KẾT LUẬN

[6] Ram.P.Kanwal

(1971), Linear Intergral
equations: theory and technique, Academic
Press, New York.

Bài báo trình bày được các điều kiện tồn tại
nghiệm, xác định dạng nghiệm của phương trình
tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm
và dạng Volterra. Sử dụng tính chất bình phương
liên tục của hàm g (x,w) và tính liên liên tục của
hạch K (x,y) xét được tính bình phương liên tục của
nghiệm, chỉ ra hàm hiệp phương sai của nghiệm.
Hướng mở rộng kết quả của bài báo là xét phương
trình tích phân ngẫu nhiên khơng tuyến tính. Tìm
điều kiện tồn tại nghiệm, tính duy nhất của nghiệm
ngẫu nhiên và sự hội tụ ổn định của nghiệm phương
trình tích phân ngẫu nhiên khơng tuyến tính.

[7] William Vernon Lovitt (1950), Linear
Intergral equations, Dover Pub Publications
Inc, New York.
[8] F.G.Tricomi (1957), Intergral equations,
Interscience Publishers, Inc, New York.
[9] P.A. Cojuhari, (2013), Random Integral
Equations On Time Scales, AGH University of
Science and Technology Press.

THÔNG TIN TÁC GIẢ
Nguyễn Thị Huệ
- Tóm tắt q trình đào tạo, nghiên cứu (thời điểm tốt nghiệp và chương trình đào tạo,
nghiên cứu):

+ Năm 2008: Tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Sư phạm Toán học - Đại học Vinh.
+ Năm 2014: Tốt nghiệp Thạc sĩ chuyên ngành Lý thuyết xác suất thống kê - Trường
Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQGHN.
- Tóm tắt cơng việc hiện tại: Giảng viên, khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học
Sao Đỏ.
- Lĩnh vực quan tâm: Nghiên cứu toán lý thuyết và các ứng dụng của toán trong các
ngành kỹ thuật.
- Điện thoại: 0977944536.
- Email:

Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 3 (70) 2020

75



×