Đề thi và đáp án Đại số đại cương (K61 Toán tin) kỳ 1 năm học 2018-2019 – HUS - Tài liệu VNU

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Ôi Hồc Quốc Gia H Nởi

Trữớng Ôi Håc Khoa Håc Tü Nhi¶n Mỉn håc: „I SÈ „I CìèNGHồc kẳ 1 nôm hồc 2018-2019

 THI HC K

Dnh cho lợp: K61 ToĂn tin,

MÂ hồc phƯn: MAT3450, Thới gian lm b i: 120 phót.
Khỉng sû dưng t i li»u.

C¥u 1 (1 iºm). Tẵch trỹc tiáp Z/2 ì Z/4 cõ phÊi l mởt nhõm xyclic? Vẳ sao?

CƠu 2 (2 im). Cho hai php th¸ trong S5:

α =1 2 3 4 5
3 4 5 2 1



, β =1 2 3 4 5
2 4 3 5 1


.
(a) Tẳm cĐp, dĐu cừa php thá v tẵnh 2019_.

(b) Tẳm php thá x trong S5 sao cho x = .

CƠu 3 (3 im). Xt nhõm thay phiản A4 bao gỗm cĂc php thá chđn trong nhõm ối xựng S4. Chựng minh cĂc

khng nh sau Ơy.

(a) Têp con V4 = {Id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} cõa A4 l  mët nhâm con chu©n t­c.

(b) Nhõm thữỡng A4/V4 ng cĐu vợi nhõm cyclic Z/3.

CƠu 4 (2 iºm). Cho I 6= {0} l  mët i¶an cõa v nh a thùc Q[X].

(a) Gåi f(X) ∈ I l  mët a thực khĂc khổng cõ bêc nhọ nhĐt cõ th. Chùng minh r¬ng I = hf(X)i.

(b) Gi£ sû I = hX6_{+ X}5_{+ 2 X}3_{+ X − 2, X}4_{+ 2 X}3_{+ X}2_{− 1i}. T¼m mët a thùc f(X) sao cho I = hf(X)i.

C¥u 5 (2 iºm). X²t v nh a thùc Q[X, Y ] v  i¶an hX2 _{+ 1, Y − 2i}_{cõa Q[X, Y ].}

(a) Chùng minh r¬ng Q[X, Y ]/ hX2_{+ 1, Y − 2i ∼}

= Q[i] trong â i ∈ C l  ìn và £o.

(b) i¶an hX2_{+ 1, Y − 2i} _{cõa v nh a thùc Q[X, Y ] câ ph£i l mởt iảan cỹc Ôi ? Vẳ sao?}

Hát.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Ôi Hồc Quốc Gia H Nởi

Trữớng Ôi Hồc Khoa Hồc Tü Nhi¶n

¡p ¡n — THI HÅC Kœ

Mỉn håc: „I SÈ I CìèNG, Dnh cho lợp: K61 ToĂn tin,
Hồc kẳ 1 n«m håc 2018-2019, Thíi gian l m b i: 120 phót.

Khỉng sû dửng ti liằu.

CƠu 1 (1 im). Tẵch trỹc tiáp Z/2 × Z/4 câ ph£i l  mët nhâm xyclic? V¼ sao?

Líi giÊi. Mởt phƯn tỷ x bĐt kẳ cừa Z/2 ì Z/4 cõ dÔng x = (a + 2Z, b + 4Z) vợi a, b Z. Ta thĐy
4x = 4(a + 2Z, b + 4Z) = (4a + 2Z, 4b + 4Z) = (0 + 2Z, 0 + 4Z).

Do â, cĂc phƯn tỷ cừa Z/2 ì Z/4 cõ cĐp khổng qu¡ 4. M°t kh¡c, Z/2 × Z/4 l  mët nhâm cĐp 8. Do õ, Z/2 ì Z/4
khổng phÊi mởt nhõm xyclic.

C¥u 2 (2 iºm). Cho α, β ∈ S5 l  hai php thá sau Ơy

=1 2 3 4 5
3 4 5 2 1



, β =1 2 3 4 5
2 4 3 5 1


.
(a) Tẳm cĐp, dĐu cừa php thá v tẵnh 2019_.

(b) GiÊi phữỡng trẳnh x = trong S5.

Lới giÊi. (a) Viát dữợi dÔng tẵch cĂc xẵch rới rÔc

= (1, 3, 5)(2, 4).

Do õ, cĐp cõa α l  lcm(3, 2) = 6 v  d§u cõa l (1)(31)+(21) _{= 1}_{. Vẳ cĐp cừa l 6 n¶n}

α2019 = α2019 mod 6= α3 = (2, 4).
(b) Ta câ

αx = β ⇔ x = α−1β ⇔ x =1 2 3 4 5
4 2 1 3 5


.

C¥u 3 (3 im). Xt nhõm thay phiản A4 bao gỗm cĂc php thá chđn trong nhõm ối xựng S4. Chựng minh cĂc

khng nh sau Ơy.

(a) Têp con V4 = {Id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} cõa A4 l  mët nhâm con.

(b) V4 l  mët nhâm con chu©n tưc cừa A4.

(c) Nhõm thữỡng A4/V4 ng cĐu vợi nhõm cyclic Z/3.

Líi gi£i. C¡c ph¦n tû cõa A4 l 

Id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 3), (1, 2, 4), (1, 4, 2).

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

(a) Lêp bÊng nhƠn cừa V4.

(b) Ta thĐy cĂc lợp kà trĂi v kà phÊi cừa V4 trong A4 ·u l 

{Id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} ,
{(1, 2, 3), (2, 4, 3), (1, 4, 2), (1, 3, 4)} ,
{(1, 3, 2), (2, 3, 4), (1, 2, 4), (1, 4, 3)} .
Do â, V4/ A4.

(c) Nhõm thữỡng A4/V4 cõ cĐp bơng |A4| / |V4| = 3. Vẳ 3 l mởt số nguyản tố nản A4/V4 = Z/3.

CƠu 4 (2 im). Cho I 6= {0} l  mët i¶an cõa v nh a thùc Q[X].

(a) Gåi f(X) ∈ I l  mët a thùc kh¡c khæng câ bêc nhọ nhĐt cõ th. Chựng minh rơng I = hf(X)i.

(b) Gi£ sû I = hX6_{+ X}5_{+ 2 X}3_{+ X − 2, X}4_{+ 2 X}3_{+ X}2_{− 1i}_{. T¼m mët a thùc f(X) sao cho I = hf(X)i.}

Líi gi£i. (a) Ta c¦n ph£i chùng minh hf(X)i ⊂ I v  I ⊂ hf(X)i.
ã Vẳ f(X) I v I l mởt iảan nản hf(X)i I.

ã LĐy g(X) I bĐt kẳ. Thüc hi»n ph²p chia Euclid g(X) cho f(X), ta ÷đc
g(X) = f (X)q(X) + r(X).

V¼ r(X) = f(X) − g(X)q(X) n¶n r(X) ∈ I. Tø c¡ch chån cõa f(X) v  deg r(X) < deg f(X) suy ra
r(X) = 0, tùc l g(X) chia hát cho f(X). Vêy g(X) hf(X)i.

(b) °t F (X) = X6_{+ X}5_{+ 2 X}3_{+ X − 2} _{v  G(X) = X}4_{+ 2 X}3_{+ X}2_{− 1}_{. Khi õ, mởt a thực f(X) cƯn tẳm l}

ữợc chung lợn nhĐt cừa F (X) v G(X). Thỹc hiằn liản tiáp c¡c ph²p chia Euclid, ta ÷đc
F (X) = G(X) X2− X + 1
+ X3− 1

G(X) = X3− 1
(X + 2) + X2+ X + 1

X3− 1 = X2+ X + 1
(X − 1).

Do â, f(X) = X2_{+ X + 1}.

C¥u 5 (2 iºm). X²t v nh a thùc Q[X, Y ] v  i¶an hX2 _{+ 1, Y − 2i}cõa Q[X, Y ].

(a) Chùng minh r¬ng Q[X, Y ]/ hX2_{+ 1, Y − 2i ∼}

= Q[i] trong â i ∈ C l  ìn và £o.

(b) i¶an hX2_{+ 1, Y − 2i} cõa v nh a thùc Q[X, Y ] câ phÊi l mởt iảan cỹc Ôi ? Vẳ sao?

Lới giÊi. (a) nh nghắa ỗng cĐu vnh

: Q[X, Y ] → C, f (X, Y ) 7→ f (i, 2).
• Dạ thĐy Im() = Q[i] v hX2_{+ 1, Y 2i Ker()}_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

ã Tiáp theo, ta chựng minh Ker(ϕ) ⊂ hX2_{+ 1, Y − 2i}_{. L§y f(X, Y ) Ker() bĐt kẳ. Sỷ dửng liản tiáp}

cĂc ph²p chia Euclid, ta ÷đc

f (X, Y ) = (Y − 2)q(X, Y ) + r(X), r(X) = X2+ 1
p(X) + (aX + b)
trong â q(X, Y ) ∈ Q[X, Y ], r(X), p(X) ∈ Q[X] v  a, b ∈ Q. Suy ra

f (X, Y ) = (Y − 2)q(X, Y ) + X2+ 1
p(X) + (aX + b).

Vẳ f(i, 2) = 0 nản ai + b = 0, tùc l  a = b = 0. Do â f(X, Y ) = (Y − 2)q(X, Y ) + (X2_{+ 1) p(X)}

hX2_{+ 1, Y 2i}_.

Vẳ ỗng cĐu vnh cõ Ênh l Q[i] v hÔt nhƠn l hX2_{+ 1, Y 2i} _{nản, theo nh lẵ ỗng cĐu Noether, ỗng}

cĐu cÊm sinh ng cĐu vnh

Q[X, Y ]/X2+ 1, Y − 2 ∼= Q[i], f (X) +X2+ 1, Y − 2 7→ f (i, 2).

(b) V¼ v nh Q[i] l mởt trữớng nản theo khng nh (a), vnh th÷ìng Q[X, Y ]/ hX2_{+ 1, Y − 2i} _{l  mởt trữớng.}

Nhữ vêy, hX2_{+ 1, Y 2i} _{l mởt iảan cỹc Ôi cừa Q[X, Y ].}

Hát.

</div>

<!--links-->