Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán 8 năm 2020-2021 có đáp án - Trường THCS Liên Châu (Lần 1)

PHÒNG GD& ĐT YÊN LẠC
TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU

ĐỀ KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP 8 LẦN 1
NĂM HỌC 2020 – 2021
MÔN: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu 1:(1.5 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x 4  4
b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020.
Câu 2 : (1.5 điểm) Cho a – b = 5 và a.b = 2. Tính :
a ) A = a3 – b3
b) B = 3(a4 + b4) + 2(a5 – b5)
Câu 3: (2 điểm)Tìm số tự nhiên n để:
a)

A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố.

b)

B= n5-n+2 là số chính phương.

( n  N; n  2 )

Câu 4: (1 điểm)
a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
a
b
c



3
bca acb abc

b)Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với :
x=

1 a
1 b
; y=
2
1 a  a
1  b  b2

Câu 5: (1,5 điểm)
a)Tính tổng: S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015
Câu 6 : (2,5 điểm) Cho hình vng ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vng góc
với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.
a) Chứng minh  AQR và  APS là các tam giác cân.
b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác
AMHN là hình chữ nhật.
c) Chứng minh P là trực tâm  SQR.
d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC.
e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.


PHÒNG GD- ĐT YÊN LẠC
TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU
Câu

Nội dung
a )x + 4 = (x + 4x + 4) - 4x = ( x2+2)2- (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)
4

Câu 1
(1,5đ)

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN 8 .
NĂM HỌC 2020 - 2021

4

2

2

b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020 =  x 4  x    2020x 2  2020x  2020 

Điểm
0,5

0.5

= x  x  1  x 2  x  1  2020  x 2  x  1 =  x 2  x  1 x 2  x  2020 

0,5

a) A = (a – b)(a2 + ab + b2) = 5[(a – b)2 + 3ab] = 5(25 + 3.2) = 155

0,5

b)

Câu 2
(1.5đ)

Câu 3
(2đ)

Câu 4
(1đ)

a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = [(a – b)2 + 2ab]2 – 2a2b2
= (25 + 2.2)2 – 2.22
= 833
5
5
2
2
3
3
a – b = (a + b )(a – b ) + a2b3 – a3b2
= [(a – b)2 + 2ab] . (a – b)(a2 + ab + b2) + a2b2(b – a)
= [(a – b)2 + 2ab] . (a – b) [(a – b)2 + 3ab] + a2b2(b – a)
= (25 + 4) . 5. (25 + 6) – 4.5
=4475
Vậy B = 3. 833 + 2 . 4475 = 11449

a) p = n3 - n2 + n - 1= (n2 + 1)(n - 1)
+)Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài
+)Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (22 + 1)(2 - 1) = 5
+)Nếu n > 3 khơng thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là
1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1
- Vậy n = 2 thìp = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố
b) B=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
=n(n-1)(n+1) n 2  4  5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2
mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)  5 (tích của 5số tự nhiên liên tiếp)
và 5 n(n-1)(n+1)  5 Vậy B chia 5 dư 2
Do đó số B có tận cùng là 2 hoặc 7nên B khơng phải số chính phương
Vậy khơng có giá trị nào của n để B là số chính phương
a) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
Từ đó suy ra a=

yz
xz
x y
;b 
;c 
;
2
2
2

0.25

0,5
0,25

0.25

0.5

0.25
0.5
0.25
0.25
0,25


=>A=

yz xz x y 1 y x
x z
y z 


 (  )  (  )  (  )
2x
2y
2z
2 x y
z x
z y 
1
2

Từ đó suy ra A  (2  2  2) hay A  3

0.25

b)Ta có x,y > 0 và
1 1  a  a2
a2
1
1
1
1

 1
 1
 1
 1

1

a
1
1
1
1
x
1 a
1 a
y


2
2

2
a
a
a
b b
1
1
1 1
Vì a> b > 0 nên 2  2 và  . Vậy x < y.
a
b
a b

.

0,5

a)S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019.

= (31 + 32 + 33 + … + 32019) – (21 + 22 + 23 + …+ 22019)
Đặt A = 31 + 32 + 33 + … + 32019, B = 21 + 22 + 23 + …+ 22019
 A=3 +3 +3 +…+3
1

2

3

2018

+3

0.25

2019

3A = 32 + 33 + 34 + … + 32019 + 32020
 3A – A = 32020 - 31

3 2020  3
A =
2

0,25

 B = 21 + 22 + 23 + …+ 22018 + 22019
Câu 5
(1,5 đ)

2B = 22 + 23 + 24 + … + 22019 + 22020
 2B – B = 22020 - 21
 B = 22020 – 2

0,25

3 2020  3
3 2020  2 2021  1
2020
 2
2 

Vậy S =
2
2





b )A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015
= y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015
= y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015
= (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010
1
2
Chứng tỏ A  2010, dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi (x = ; y =  )
3
3
1
2
Vậy min A = 2010 khi (x = ; y =  )
3
3

0,25

0,25

0,25

Hình vẽ.

Vẽ đúng hình, cân đối đẹp.
a)  ADQ =  ABR vì chúng là hai tam giác vng (2 góc có cạnh t.ư
vng góc) và DA = BD (cạnh hình vng). Suy ra AQ=AR, nên
 AQR là tam giác vng cân. Chứng minh tương tự ta có:
 ABP =  ADS
do đó AP =AS và  APS là tam giác cân tại A.
0,5
b) AM và AN là đường trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và

APS nên AN  SP và AM  RQ.
Mặt khác : PAN  PAM = 450 nên góc MAN vng. Vậy tứ giác AHMN
có ba góc vng, nên nó là hình chữ nhật.
0,5
c) Theo giả thiết: QA  RS, RC  SQ nên QA và RC là hai đường cao
của  SQR. Vậy P là trực tâm của  SQR.
0,5
1
2

d) Xét tam giác vng cân AQR có MA là trung tuyến nên AM = QR
 MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C.

Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vng 0,25đ
SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trung
trực của AC
0,25đ
e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách
khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm

trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng.
0,5đ
Chú ý:
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Học sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì khơng chấm bài hình.