nghiên cứu khoa học giảng dạy và học tập

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (299.68 KB, 23 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chng 5 C LNG THAM S

111

Chương

5

Ước lượng tham số

Giả sử ñặc trưng của tổng thể cần nghiên cứu ñược biểu diễn bởi một biến
ngẫu nhiên X, xác ñịnh trên một khơng gian mẫu M. Có thể nói gọn là "tổng thể

X". Tổng thể X có các giá trị cần biết như kỳ vọng, phương sai . . . , ñược gọi là 
các tham số của tổng thể (gọi tắt là tham số). Vì chúng ta khơng nghiên cứu trên 
tồn bộ tổng thể, nên các tham số này chưa được biết một cách chính xác, mà chỉ
được ước tính nhờ các quan sát trên mẫu.

Một trong những bài toán quan trọng của thống kê toán là ước lượng giá trị
của một hoặc nhiều tham số tổng thể. Lời giải đáp cho vấn đề này có thể có dạng
một giá trị duy nhất, gọi là Ước lượng ñiểm, hoặc có dạng một khoảng, gọi là

Ước lượng khoảng.

1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

Giả sử chúng ta ñã biết dạng của h.m.ñ. f của BNN X, nhưng giá trị của f 
phụ thuộc một tham số θ, với θ có thể lấy bất kỳ giá trị nào trong một tập hợp Ω.
Giá trị của f ñược viết dưới dạng f (x;θ ), θ ∈ Ω. Tập hợp Ω được gọi là khơng 
gian tham số. Như vậy, chúng ta có một họ các h.m.đ. được ký hiệu bởi {f (x; θ ), 
θ ∈ Ω}.

Với mỗi giá trị của θ , có tương ứng một phần tử của họ. Cũng có thể dùng
ký hiệu riêng của phân phối thay cho h.m.ñ. của phân phối đó. Thí dụ, họ phân
phối chuẩn {n (θ ,1), θ ∈ }; một phần tử của họ là N(0,1).

Xét họ h.m.ñ. {f (x;θ ), θ ∈ Ω}. Giả sử chúng ta muốn chọn chính xác một 
phần tử của họ đó làm h.m.đ. cho BNN X đang nghiên cứu, i.e. chúng ta cần một 
ước lượng ñiểm cho θ .

Xét mẫu (X1, X2, ..., Xn) ñược thành lập từ BNN X có h.m.đ. là một trong 
các phần tử của họ {f (x;θ ), θ ∈ Ω}, i.e. mẫu đó được thành lập từ phân phối có 
h.m.đ. f (x;θ ), θ ∈ Ω. Bài tốn được đặt ra là:

Tìm một thống kê T = u

(X1, X2, ..., Xn) sao cho nếu (x1, x2, ..., xn) là một

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chng 5 C LNG THAM S

112

1.1. Định nghĩa. Giả sử (X1, X2, ..., Xn) là mẫu ñược thành lập từ phân
phối có h.m.đ. f (x;θ ), θ ∈ Ω. Một thống kê T = u

(X1, X2, ..., Xn) khơng phụ

thuộc θ được gọi là một ước lượng điểm (nói gọn là một ước lượng) của tham 
số θ nếu giá trị của nó tại một mẫu cụ thể được dùng để tính xấp xỉ θ . Giá trị đó
được gọi là một giá trị ước lượng của θ.

Các nhà thống kê ñã nêu lên một số tiêu chuẩn ñể chọn ước lượng tốt nhất 
cho tham số θ .

1.2. Định nghĩa. Giả sử (X1, X2, ..., Xn) là mẫu ñược thành lập từ phân
phối có h.m.đ. f (x;θ ), θ ∈ Ω, và T = u

(X1, X2, ..., Xn) là một ước lượng của θ .

(a) T ñược gọi là một ước lượng không chệch của θ nếu E(T ) = θ. 
(b) Nếu T là một ước lượng không chệch của θ và D(T) không lớn hơn 
phương sai của bất kỳ một ước lượng khơng chệch nào khác của θ, thì T ñược gọi 
là một ước lượng hiệu quả của θ .

(c) T ñược gọi là một ước lượng vững của θ nếu nếu với mọi ε > 0,

(

)

lim P 1

n

T

∞ − θ < ε = .

Thí dụ. Giả sử (X1, X2, ..., Xn) là mẫu ñược thành lập từ phân phối có kỳ
vọng µ và phương sai σ2. Xét thống kê 1

1
n

i
n

i

X

=

∑

, chúng ta có:
E(

X

) = µ

và

(

)

lim P 1

→ ∞

− µ < ε =

n

X (do Định lý Chebyshev),

nên

X

là một ước lượng không chệch và vững của µ .

Tương tự, thống kê 2 1 2

1
1

( )

n
i
n

i

S X X

−
=

∑

− là một ước lượng không chệch

và vững của σ2.

1.3. Định nghĩa. Cho BNN X có h.m.đ. f (x;θ ), θ ∈ Ω. Người ta gọi số

thực

(

ln ( , )

)

I( ) E ∂ f X θ

∂θ

 

θ =  

  ,

nếu nó tồn tại, là Lượng thơng tin Fisher của X.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chng 5 C LNG THAM S

113

Giả sử (X1, X2, ..., Xn) là một mẫu ñược thành lập từ BNN X có h.m.đ.

f (x;θ), θ ∈ Ω, tồn tại I(θ ), và T = u

(X1, X2, ..., Xn) là một ước lượng không

chệch của θ. Khi đó,

2 1

.I( )

T n θ

σ ≥

• Như vậy, nếu tồn tại I(θ ) thì một ước lượng không chệch của θ sẽ là một 
ước lượng hiệu quả của θ nếu nó có phương sai bằng .I( )1

n θ .

Thí dụ. Giả sử (X1, X2, ..., Xn) là một mẫu ñược thành lập từ BNN X có
phân phối chuẩn n(θ , σ2), θ ∈ . Thống kê 1

1
n

i
n

i

X

=

∑

là một ước lượng hiệu
quả của θ .

Thật vậy, với mọi số thưc x và θ , giá trị của h.m.ñ. của X là:

2
2

( )
1

2 2

( ; ) exp − θ

σ π σ

 

θ = − 

 

x

f x > 0

nên

ln ( ; )f x x

∂ θ − θ

∂θ

=

σ

Do đó,

(

)

4 2 2

ln ( ; ) E ( ) 1

I( ) = E ∂ f X θ X− θ

∂θ σ σ

 

θ   = =

 

Chúng ta ñã biết

X

là một ước lượng khơng chệch của θ ; ngồi ra,

2 1

.I( )

D ( )

n n

X

=

,
nên

X

là một ước lượng hiệu quả của θ.

2. PHƯƠNG PHÁP TÌM ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

Có một số phương pháp để tìm hàm ước lượng tốt nhất cho một tham số θ
như phương pháp moment, phương pháp hợp lý cực ñại, …. Giáo trình này chỉ
nêu phương pháp hợp lý cực ñại.

2.1. Phương pháp họp lý cực ñại.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Chng 5 C LNG THAM S

114

thể (x1, x2, ..., xn) là:

1 2

( , ). ( , ). . . ( , )

n

f x

θ

f x

θ

f x

θ

Xác suất trên có thể được xem như là một hàm của θ và ñược ký hiệu là
L(θ ).

Hàm L: θ

֏

L(θ ) xác ñịnh trên Ω ñược gọi là hàm hợp lý của X.

Giả sử rằng chúng ta có thể tìm được một hàm u ño ñược trên n sao cho,
khi θ lấy giá trị u(x1, x2, ..., xn) thì hàm L đạt cực đại. Khi đó, thống kê u

(X1,

X2, ..., Xn) ñược gọi là một ước lượng hợp lý cực ñại cho θ, và ñược ký hiệu là

ˆθ, i.e.

ˆθ = u

(X1, X2, ..., Xn)

u(x1, x2, ..., xn) ñược gọi là giá trị ước lượng hợp lý cực ñại cho θ .

Chú ý: Nếu L > 0 thì hàm hợp lý L và ln

L ñạt giá trị cực ñại tại cùng một điểm,

nên đơi khi người ta dùng ln

L thay cho L.

2.2. Thí dụ. Cho (X1, X2, ..., Xn) là một mẫu ñược thành lập từ phân phối
chuẩn n(θ,1), θ ∈ . Hãy tìm một ước lượng hợp lý cực ñại cho θ .

Giải.

Giá trị của h.m.ñ. của vectơ ngẫu nhiên (X1, X2, ..., Xn) tại một mẫu cụ thể
(x1, x2, ..., xn) hay giá trị của hàm hợp lý L là:

( )

1 1 2

2 1

L ( ) nexp n ( i )

i

x

 

θ = − − θ 

 

 

∑

Vì L(θ ) > 0 với mọi θ ∈ , nên

1 2

2
1

ln (L( )) n ( i ) ln( 2 )

i

x n

θ = −

∑

− θ − π

ln (L( )) n ( )

d

i
d

i

x

θ =

∑

− θ

d ln (L( ))

dθ θ = 0 ⇔

1
1
n

i
n

i

x

θ =

∑

Ngoài ra,

2 ln (L( )) 0

d

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Chng 5 C LNG THAM S

115

nên L ñạt cực ñại tại duy nhất ñiểm 1

1
n

i
n

i

x

θ =

∑

Do đó, thống kê

1
1

ˆ n

i
n

i

X X

θ =

∑

là ước lượng hợp lý cực ñại duy nhất của kỳ vọng θ, và giá trị trung bình mẫu

1
1
n

i
n

i

x

=

∑

là giá trị ước lượng hợp lý cực ñại cho θ.

X

cũng là một ước lượng không chệch, vững và hiệu quả của θ .

2.3. Chú ý. ( Trường hợp nhiều tham số )

Cho (X1, X2, ..., Xn) là một mẫu ñược thành lập từ tổng thể X có h.m.đ. phụ 
thuộc k tham số:

f (x ; θ1, θ2, …, θk ), (θ1, θ2, …, θk ) ∈ Ω

1 2
1

( ;

,

,. . . .,

)

n

i k

i

f x

θ θ

θ

∏

Xác suất trên có thể được xem như là một hàm của (θ1, θ2, …, θk) ∈ Ω và
ñược ký hiệu là L(θ1, θ2, …, θk).

Hàm L: (θ1, θ2, …, θk)

֏

L(θ1, θ2, …, θk ) xác ñịnh trên Ω ñược gọi là

hàm hợp lý của X.

Giả sử rằng chúng ta có thể tìm được các hàm ño ñược u1, u2, …, uk xác
ñịnh trên n sao cho, khi θ1, θ2, …, θk, theo thứ tự, lấy giá trị u1(x1, x2, ..., xn),
u2(x1, x2, ..., xn), …, uk(x1, x2, ..., xn) thì hàm L đạt cực đại. Khi đó, các thống kê

ˆθ

= u1

(X1, X2, ..., Xn);

ˆθ

2 = u2

(X1, X2, ..., Xn); …;

ˆ

k

θ

= uk

(X1, X2, ..., Xn)

theo thứ tự, ñược gọi là một ước lượng hợp lý cực ñại cho θ1, θ2, …, θk.

3. KHÁI NIỆM ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Chng 5 C LNG THAM S

116

một giá trị ngẫu nhiên được tính từ một mẫu ngẫu nhiên. Do vậy, người ta phải
dùng thêm phương pháp ước lượng khoảng.

Giả sử, dựa vào mẫu (X1, X2, ..., Xn), chúng ta muốn ước lượng tham số θ 
của tổng thể. Nếu tìm ñược hai thống kê T1 = u1

(X1, X2, ..., Xn) và T2 =

u2

(X1, X2, ..., Xn) sao cho

P( T1 ≤ θ ≤ T2 ) = γ, với γ ∈ (0,1) cho trước

thì khoảng (t1, t2), trong ñó t1 và t2 lần lượt là giá trị của T1 và T2 tại một
mẫu cụ thể, ñược gọi là Khoảng ước lượng của θθθθ với ñộ tin cậy γγγγ (hay nói 
gọn là khoảng tin cậy γγγγ của θ ). α = 1 − γ ñược gọi là mức xác suất sai lầm của 
khoảng ước lượng.

4. KHOẢNG TIN CẬY CHO TRUNG BÌNH TỔNG THỂ

Giả sử tổng thể X tuân theo luật phân phối chuẩn N(µ, σ2), nhưng chưa
biết kỳ vọng µ, i.e. µ là một hằng số nào đó mà giá trị của nó chưa được biết.
Chúng ta phải tìm khoảng ước lượng cho µ . Phân biệt hai trường hợp

4.1. Trường hợp 1: Biết σσσ σ
Khi đó, BNN U= (X− µ) n

σ tn theo luật phân phối N(0,1). 
Cho trước γ ∈ (0, 1), có số c sao cho:

P(| U | < c) = γ 
hay

( )

n n

P X−c σ < µ <X+ c σ = γ
Ngồi ra,

P(| U | < c) = γ ⇔

P (

U

<

c

)

=

1+ γ2

nên c = 1

u

+ γ

Vậy, với mẫu cụ thể, khoảng tin cậy γ cho µ là :
(

x

− e;

x

+ e),

trong ñó e = 1
2

.

n

u

+ γ σ ,

và 1
2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Chng 5 C LNG THAM S

117

e ñược gọi là Sai số ước lượng (ở ñộ tin cậy γ hay ở mức sai lầm a = 1 − 
γ).

Giữa ñộ tin cậy γ, sai số cho phép và cỡ mẫu n có quan hệ mật thiết với
nhau. Nếu độ tin cậy γ càng lớn thì sai số càng lớn và do đó ước lượng ít có giá
trị. Muốn giảm bớt sai số ước lượng mà khơng giảm độ tin cậy thì phải tăng cỡ
mẫu n.

Thí dụ: Giả sử khối lượng của mỗi nam sinh viên năm thứ nhất trường ñại

học A tuân theo luật phân phối chuẩn với ñộ lệch chuẩn 3kg. Chọn ngẫu nhiên 25
nam sinh viên năm thứ nhất, người ta tính được khối lượng trung bình là 52 kg.

(1) Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho khối lượng trung bình của mỗi nam
sinh viên năm thứ nhất trường ñại học A.

(2) Với mẫu trên, nếu muốn bề rộng của khoảng ước lượng trung bình tổng
thể là 1,8 kg thì độ tin cậy là bao nhiêu?

Giải.

Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ khối lượng mỗi nam sinh viên năm thứ nhất 
trường ñại học A thì X ~ N(µ, 32), và chúng ta phải ước lượng µ.

(1). Khoảng tin cậy 95% cho µ là: (

x

− e;

x

+ e),
với

x

= 52 và

e = 0,975 35

25 1,960. 1,176

u σ = =

Vậy, khoảng tin cậy 95% cho khối lượng trung bình của mỗi nam sinh
viên năm thứ nhất trường ñại học A là (50,824; 53,1766) (kg).

(2). Xác ñịnh ñộ tin cậy γ:

Theo giả thiết, sai số ước lượng là e = 0,9. Khi ñó,
1

25 0,9

u + γ = ⇔ 1
2

u

+ γ = 1,5 ⇔ 1+ γ2 = 0,9332

Vậy, γ = 86,64%.

4.2. Trường hợp 2: Không biết σσσσ

Khi đó, BNN (X ) n

S

T

=

− µ , trong đó S là độ lệch chuẩn mẫu, tuân theo 
luật phân phối Student với n

−

1 bậc tự do.

Với γ (0, 1) cho trước, lý luận tương tự như trên, khoảng ước lượng với
ñộ tin cậy γ cho µ là:

(

x

− e ;

x

+ e),
trong đó e = 1

(n 1)

.

s
n

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Chng 5 C LNG THAM S

118

và

1
2

(n 1)

t

+ γ− là bách phân vị mức 1+ γ2 của phân phối t (n

−

1).

Thí dụ. Biết rằng chiều cao của các thanh niên cùng một lứa tuổi tuân theo 
luật phân phối chuẩn. Khảo sát ngẫu nhiên chiều cao của 80 thanh niên cùng lứa
tuổi đó, người ta tính ñược chiều cao trung bình là 162cm và ñộ lệch chuẩn là
14cm. Hãy ước lượng chiều cao trung bình của mỗi thanh niên ở lứa tuỏi trên
bằng khoảng tin cậy 92%,

Giải.

Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ chiều cao của một thanh niên cùng lứa tuổi 
trên thì X ~ N(µ, σ 2), với σ chưa biết và cần phải ước lượng µ.

Khoảng tin cậy 92% cho µ là: (

x

− e;

x

+ e),
với

x

= 162 và

(79) 14

0,96 80

1,7735

80

2,7760

=

s

=

e

t

Khoảng tin cậy phải tìm là:

(

x

− e ;

x

+ e) = (159,224; 164,775) (cm).

4.3. Chú ý. Trường hợp luật phân phối của tổng thể X chưa ñược biết,

các khoảng tin cậy trong 4.4.1 và 4.4.2 vẫn dùng ñược với ñiều kiện là cỡ mẫu n
phải khá lớn (n > 30). Có được điều này là do Định lý giới hạn trung tâm.

4.4. Trường hợp mẫu nhỏ.

Khi mẫu nhỏ (n < 30) và không biết luật phân phối của tổng thể X thì cả 
phân phối chuẩn lẫn phân phối t ñều khơng dùng được trong việc xây dựng
khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể. Tuy nhiên, trong trường hợp này, bất

ñẳng thức Chebyshev lại tỏ ra hữu hiệu.

Với mọi k > 1 cho trước, chúng ta có:

(

)

P X 1

k

X − µ ≤ σk ≥ −
Vậy, khoảng tin cậy

1

12

k

−

cho µ là:

(x − σk X ; x + kσX ).

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Chng 5 C LNG THAM S

119

(

)

2
2

1 0,97

1 1

0,03 33,33

0, 03
5, 77

X

P X k

k
k
k

k
k

− µ < σ ≥ − ≥

⇒ ≤ ⇒ ≥ =

⇒ ≥
⇒ =

Do đó khoảng tin cậy 97% cho trung bình tổng thể là

(

;

)

5 6 ;5 61 1

(

3, 75;6, 25

)

4 4

X X

x− σk x+ σk = − + =

 

GIảI

VÌ

5. KHOẢNG TIN CẬY CHO TỈ LỆ TỔNG THỂ.

Giả sử X ~ B(p) và chúng ta muốn tìm khoảng tin cậy cho p. Với mẫu (X1,
X2, ..., Xn), nX = nP có phân phối B(n, p). Phân phối chuẩn sẽ ñược dùng như 
một xấp xỉ của phân phối nhị thức trong việc xây dựng khoảng tin cậy cho tỉ lệ
tổng thể p khi n ≥ 30, np ≥ 5 và n(1 − p) ≥ 5. Tuy nhiên, nhiều nhà thống kê tốn
đề nghị mẫu cỡ n ≥ 100.

Áp dụng 5.4.1, khoảng tin cậy γ cho p là: 
(

p

− e;

p

+ e ),
trong đó

p

là giá trị tỉ lệ mẫu, và

1
2

(1 )

.

p p

n

e

=

u

+ γ −

Thí dụ. Trong một ñợt ñiều tra về nha khoa, khám ngẫu nhiên 100 trẻ em 
ở một ñịa phương, người ta thấy có 36 trẻ bị sâu răng. Hãy tìm khoảng tin cậy
99% cho tỉ lệ trẻ bị sâu răng ở địa phương đó.

Giải.

Gọi p là tỉ lệ trẻ bị sâu răng ở ñịa phương ñang khảo sát. 
Giá trị tỉ lệ trẻ em bị sâu răng trên mẫu :

p

= 0,36

Chúng ta nhận thấy n

p

= 36 > 5 và n(1−

p

) = 64 > 5 nên khoảng tin cậy
99% cho p là:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Chng 5 C LNG THAM S

120

(1 ) 0,36 0,64

0,995 p n p

2,5758

100

0,1236

e

=

u

−

=

Vậy, khoảng tin cậy 99% cho tỉ lệ trẻ bị sâu răng ở ñịa phương là:
(0,36 − 0,1236 ; 0,36 + 0,1236) = (0,2364; 0,4836)

Chú ý. Trường hợp n lớn và p quá gần 0 hoặc gần 1, người ta xấp xỉ phân
phối nhị thức bằng phân phối Poisson. Trên cơ sở đó, người ta thành lập ñược
bảng số cho phép tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ p gần 0 hoặc gần 1.

Trường hợp mẫu cỡ nhỏ, không thể xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân

phối chuẩn hoặc phân phối Poisson mà phải tính khoảng tin cậy cho từng trường
hợp cụ thể bằng phân phối nhị thức. Vì phép tính phức tạp nên người ta đã tính 
sẵn và lập thành bảng. Nhìn chung, trong trường hợp này, khoảng ước lượng q
rộng, ít có giá trị.

6. KHOẢNG TIN CẬY CHO PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ

Giả sử tổng thể X có phân phối chuẩn N(µ, σ2), trong đó σ2 chưa biết và
chúng ta nuốn tìm khoảng ước lượng cho

σ

2 với ñộ tin cậy γ (0 < γ < 1) cho

trước.

6.1. Trường hợp 1: Biết µµµµ.

Trong trường hợp này, biến ngẫu nhiên 2

(

k

)

n X
n

k

Y

− µ

σ
=

=

∑

tuân theo luật phân phối

χ

2(n).

Với γ cho trước, có hai số a và b sao cho:
P (a < Yn < b) = γ

Các số a, b như thế rất nhiều. Người ta thường chọn a và b sao cho:

1
2

P(Yn < a)=P(Yn > b) = − γ

Từ đó, 1

2 ( )

a = χ − γ n và 1

2 ( )

b = χ + γ n

Vậy, khoảng tin cậy γ cho

σ

2 ñược ñịnh bởi:

a < ( 2 )2

k

n x

k

− µ
σ
=

∑

< b

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Chng 5 C LNG THAM S

121

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

( ) ( )

n n

k k

x x

n n

= =

+ γ − γ

− µ − µ

χ χ

∑ ∑

< σ <

6.2. Trường hợp 2: Khơng biết µµµµ. 
Trong trường hợp này, biến ngẫu nhiên

2
2

( 1)

1 n S

n

Y

−
−

=

có phân phối

χ

2(n −−− 1). Khoảng tin cậy γ cho −

σ

2 ñược xác ñịnh bởi:

2 2

1 1

2 2

( 1) 2 ( 1)
( 1) ( 1)

n s n s

n n

+ γ − γ

− −

χ − χ −

< σ <

6.3. Thí dụ.

6.3.1. Để khảo sát tính chính xác của một cái cân, người ta ñặt quả cân

100g lên cân và ñọc kết quả do cân chỉ. Lặp lại nhiều lần, người ta thu ñược các
kết quả sau:

xk(g): 102 101 97 102 99 101 102 99 98
Tính chính xác của cân thể hiện qua phương sai. Hãy tìm khoảng tin cậy
95% cho phương sai của cân

Giải.

Theo giả thiết, µ = 100. Với mẫu trên, chúng ta tính được Σ(xk − µ)2 = 29.

Với γ = 95% và n = 9,

χ20,025(9) = 2,7 và χ20,975(9) 19= .
Khoảng tin cậy 95% cho phương sai của cân là:

(

29 29

)

19; 2,7 = (1,53 ; 10,74)

6.3.2. Cho biết khối lượng trẻ sơ sinh có phân phối chuẩn. Một mẫu cỡ 20

cho giá trị trung bình mẫu bằng 2982g và giá trị phương sai mẫu bằng 209108.
Tìm khoảng tin cậy 90% cho ñộ lệch chuẩn tổng thể.

Giải.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Chng 5 C LNG THAM S

122

Khoảng tin cậy 90% cho phương sai tổng thể:

2 2

0,95 0,05

19 2 19

(19) (19)

s s

< σ <

Tra bảng:

χ

20,05

(19) 10,117

=

và

χ

20,95

(19)

=

30,144

Khoảng tin cậy 90% cho σ là: ( 363,046; 626,666) (g)

7. KHOẢNG TIN CẬY CHO HIỆU HAI TRUNG BÌNH TỔNG THỂ 
(HAI MẪU ĐỘC LẬP)

Xét hai mẫu ñộc lập: Mẫu 1: (X1, X2, ..., Xn), đặc tính X ~ N(µX,σ2X)

và mẫu 2: (Y1, Y2, ..., Ym), đặc tính Y ~ N(µY,σY2). Tìm khoảng tin cậy cho (µX
- µY)

Dùng các ñịnh lý 3.5.3 và 3.5.4 và phương pháp tìm khoảng tin cậy trong
đoạn 5.4, chúng ta có kết quả sau:

7.1. Trường hợp 1: Biết σσσσX và σσσσY.

Khoảng tin cậy γ cho ( µX - µY ) là: ((

x

−

y

) – e; (

x

−

y

) + e), với

e = 1
2

u

+γ .

2 2

X Y

n m

σ σ

+

7.2. Trường hợp 2: Không biết σσσσX và σσσσY , nhưng biết σσσσX = σσσσY 
Khoảng tin cậy γ cho ( µX - µY ) là: ((

x

−

y

) – e; (

x

−

y

) + e), với

e = 1

(n m 2)

t

++γ − . 2 1

(

)

n m

s

+

trong đó,

2 2

( 1) ( 1)

X Y

n s m s

n m

s

− + −

+ −

=

7.3. Thí dụ. Để tìm hiểu về ảnh hưởng của việc lập kế hoạch trên thu nhập

của các ngân hàng, người ta chọn một mẫu ngẫu nhiên gồm 6 ngân hàng ñược lập
kế hoạch tài chính chính qui thì nhận thấy độ tăng bách phân trung bình hàng năm
của thu nhập rịng là 9,972 và độ lệch chuẩn là 7,470. Một mẫu ngẫu nhiên ñộc
lập với mẫu trên gồm 9 ngân hàng khơng có hệ thống lập kế hoạch chính qui thì
độ tăng này là 2,098 với độ lệch chuẩn là 10,384. Giả sử hai phân phối tổng thể là
phân phối chuẩn có cùng phương sai. Tìm khoảng tin cậy 90% hiệu giữa hai trung
bình tổng thể.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Chng 5 C LNG THAM S

123

Gọi X và Y, theo thứ tự, là BNN chỉ ñộ tăng bách phân hàng năm của thu
nhập rịng của ngân hàng có lập kế hoạch tài chính chính qui và của ngân hàng
không lập kế hoạch. X và Y tuân theo luật phân phối chuẩn có cùng phương sai.

Theo giả thiết,

x

= 9,972, sX = 7,470 với cỡ mẫu n = 6;

y

= 2,098, sY = 10,834 với cỡ mẫu m = 9

2 2

( 1) ( 1)

X Y

n s m s

n m

s

− + −

+ −

=

= 93,6930

Khoảng tin cậy 90% cho ( µX - µY ) là: ((

x

−

y

) – e; (

x

−

y

) + e), với
e =

t

0,95(13).

s

2 1

(

6

+

19

)

= 1,7709 × 5,1016 = 9,0344

Vậy, khoảng tin cậy phải tìm là: (

−

1,160; 16,908).

8. XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪU

Trong các bài toán về ước lượng khoảng cho tỉ lệ và trung bình tổng thể,

chất lượng của ước lượng ñược phản ánh qua ñộ tin cậy và sai số cho phép. Sai số
ước lượng lại phụ thuộc vào kích thước mẫu và độ tin cậy. Bài tốn được đặt ra
như sau:

Để ñạt ñược ñộ tin cậy γ và sai số cho phép tối đa là ε, kích thước mẫu cần
thiết phải là bao nhiêu?

Tuỳ theo từng tình huống cụ thể, từ biểu thức của sai số e tương ứng, chúng
ta tìm được kích thước mẫu n cần thiết. Trong trường hợp chưa có mẫu thì người
ta tiến hành lấy mẫu thăm dị lần đầu để có số liệu mẫu cần thiết.

Chẳng hạn, để ước lượng tỉ lệ tổng thể p với ñộ tin cậy γ và sai số cho phép 
tối ña là ε, người ta tiến hành lấy một mẫu thăm dị và tính được giá trị tỉ lệ mẫu

p . Khi đó, cỡ mẫu n1 phải tìm thỏa:

1
2

(1 )

.

p p

n

u

+ γ −

≤ ε

⇔ (1 ) / 2

1 u . (1 )

n + γ p p

 

≥  −

 

Trường hợp khơng có mẫu thăm dị thì người ta dùng giá trị lớn nhất của
hàm y = p(1 − p) trên khoảng (0, 1); giá trị đó bằng 14 và kích thước mẫu cần
thiết là số nguyên n1 thỏa:

1
2

1 2

u

n

ε
+

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Chng 5 C LNG THAM S

124

Thí dụ. Biết chiều cao của những người cùng lứa tuổi có phân phối N(µ, 
100). Muốn ước lượng chiều cao trung bình µ với sai số khơng q 1cm ở độ tin
cậy 95% thì phải quan sát ít nhất mấy người ?

Giải. 
Theo ñề bài,

0,975

1

n

u

≤

⇔

2
2

(1,96) 100

384,16
1

n ≥ × =

Vậy, phải quan sát ít nhất 385 người.

9. KHOẢNG TIN CẬY MỘT BÊN

Khoảng tin cậy mà chúng ta xây dựng ở trên, lấy

x

làm tâm của khoảng,
được gọi là khoảng tin cậy hai bên. Đơi khi, khoảng tin cậy một bên ñược dùng
thay cho khoảng tin cậy hai bên. Trường hợp này xảy ra nếu chúng ta chỉ quan
tâm ñến giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của trung bình (hoặc tỉ lệ) tổng thể với ñộ
tin cậy γ cho trước. Giả sử tổng thể có phân phối chuẩn.

( )

P X − µ n uγ

 

≤ = γ ⇔

 

  P X u n

σ
γ

 

µ ≥ − = γ

 

 

Vậy, với ñộ tin cậy γ, chúng ta có thể nói rằng trung bình tổng thể không bé
hơn

n

x − uγ σ .

Tương tự, với ñộ tin cậy γ, chúng ta có thể nói rằng trung bình tổng thể
không lớn hơn

n

x + uγ σ .

Chúng ta có kết quả tương tự cho khoảng tin cậy một bên cho tỉ lệ tổng

thể, với các giá trị tương ứng là:

(1 )

. p p

n

p − uγ − và . p(1 p)

n

p +uγ −

Thí dụ. Sản xuất thử 100 sản phẩm trên một dây chuyền tự ñộng, người ta 
thấy có 60 sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Hãy ước lượng tỉ lệ sản phẩm khơng đạt tiêu
chuẩn lớn nhất với ñộ tin cậy 95%.

Giải.

Giá trị tỉ lệ sản phẩm khơng đạt tiêu chuẩn trên mẫu thăm dị là:

p

=

0, 4

Ở độ tin cậy 95%, tỉ lệ sản phẩm khơng đạt tiêu chuẩn lớn nhất ñược xác
ñịnh bởi:

(1 ) 0,4 0,6

0,95. p 100p 0, 4 1, 6449 100 0, 48058

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Chng 5 C LNG THAM S

125

Vậy, Ở ñộ tin cậy 95%, tỉ lệ sản phẩm khơng đạt tiêu chuẩn khơng lớn
hơn 0,48058.

XS

T

K

2

0

8

BÀI TẬP

5.1. Giả sử rằng tuổi thọ của một loại bóng đèn hình TV có độ lệch chuẩn

bằng 500, nhưng chưa biết trung bình. Ngồi ra, tuổi thọ của loại bóng đèn đó
tn theo luật phân phối chuẩn. Khảo sát trên một mẫu ngẫu nhiên gồm 15 bóng
loại trên, người ta tính được tuổi thọ trung bình là 8900 giờ. Hãy tìm khoảng tin
cậy (a) 95% và (b) 92% cho tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn hình nói trên.

5.2. Liên hệ bài 5.1 và giả sử phân phối của tổng thể chưa được biết. Tuy

nhiên, trung bình mẫu bằng 8900 được tính trên mẫu cỡ n = 35. Hãy tìm khoảng
tin cậy 95% cho tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn hình đang khảo sát.

5.3. Liên hệ bài 5.2 và giả sử rằng phân phối của tổng thể là phân phối

chuẩn, nhưng khơng biết độ lệch chuẩn tổng thể; tuy nhiên, biết giá trị ñộ lệch
chuẩn mẫu bằng 500. Hãy tìm khoảng tin cậy 90% cho trung bình tổng thể.

5.4. Liên hệ bài 5.1, nhưng khơng biết độ lệch chuẩn tổng thể. Biết giá trị

độ lệch chuẩn mẫu bằng 500. Hãy tìm khoảng tin cậy 99% cho trung bình tổng
thể.

5.5. Khối lượng X của một sản phẩm do một nhà máy sản xuất tuân theo

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Chng 5 C LNG THAM S

126

sản phẩm là 50 ngàn đồng, tìm khoảng tin cậy 95% cho chi phí sản xuất lơ hàng
nói trên.

5.6. Một lơ bút bi của xí nghiệp A sản xuất ra gồm 1000 hộp, mỗi hộp 10

cây. Kiểm tra ngẫu nhiên 50 hộp, thấy có 45 cây bút bị hỏng.

(a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ bút bị hỏng và số bút bị hỏng của lô
hàng.

(b) Với mẫu trên, nếu muốn ước lượng tỉ lệ bút hỏng với độ chính xác
1,5% thì độ tin cậy đạt được là bao nhiêu?

5.7. Quan sát ở một mẫu, người ta có kết quả về chiều cao X(m) của loại

cây công nghiệp ở một nông trường như sau:

xi 3 4 5 6 7 8
số cây 2 8 23 32 23 12

(a) Hãy ước lượng chiều cao trung bình của loại cây đó bằng khoảng tin
cậy 90%.

(b). Để ước lượng chiều cao trung bình của loại cây đó ở độ tin cậy 95%,
với sai số không quá 2 dm thì cần phải quan sát thêm bao nhiêu cây
nữa?

(c). Những cây cao từ 7 m trở lên gọi là cây loại A. Hãy tìm khoảng tin cậy
95,44% cho tỉ lệ cây loại A của nơng trường.

5.8. Độ sâu của biển được xác định bằng một máy đo có sai số hệ thống

bằng 0, còn sai số ngẫu nhiên của nó tn theo luật phân phối chuẩn với độ lệch

chuẩn 20m. Cần phải tiến hành bao nhiêu lần ño ñể xác ñịnh ñược ñộ sâu của biển
với sai số cho phép khơng q 15m ở độ tin cậy 90% ?

5.9. Người ta muốn ước lượng tỉ lệ viên thuốc bị sứt mẻ trong một lô thuốc

rất nhiều viên.

(a) Nếu muốn sai số cho phép không quá 1% ở độ tin cậy 95% thì phải
quan sát ít nhất mấy viên?

(b) Quan sát ngẫu nhiên 200 viên, thấy có 20 viên bị sứt mẻ. Hãy tìm
khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ tổng thể. Nếu muốn sai số cho phép không
quá 1% ở độ tin cậy 95% thì phải quan sát ít nhất mấy viên?

5.10. Để nghiên cứu sản lượng sữa hàng ngày (SLSHN) của một đàn bị,

người ta điều tra ngẫu nhiên trên 100 con bị của nơng trường và có kết quả sau:
SLSHN (kg) 9 10 12 14 15

Số con bò 10 24 42 16 8

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Chng 5 C LNG THAM S

127

(b) Với độ tin cậy 97%, có thể nói sản lượng sữa trung bình hàng ngày của
một con bị nhiều nhất bằng bao nhiêu?

(d) Muốn sai số khi ước lượng sản lượng sữa trung bình mỗi ngày không
vượt quá 0,5kg và sai số khi ước lượng tỉ lệ bị cho SLSHN trên 11kg

khơng vượt quá 12%, với cùng ñộ tin cậy 98%, thì cần điều tra bao
nhiêu con bị?

5.11. Độ dài của một loại chi tiết máy ñược ño 25 lần bằng một máy ño có

sai số hệ thống bằng 0. Biết rằng sai số ngẫu nhiên của việc đo có phân phối
chuẩn với phương sai 100cm2 và ñộ dài trung bình trong 25 lần ño là 100cm. Hãy
tìm khoảng tin cậy 99% cho độ dài của loại chi tiết máy trên.

5.12 . Giả sử đường kính của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có

phân phối N(µ, σ2). Đo 10 sản phẩm, người ta có bảng số liệu:
4,1; 3,9; 4,7; 5,0; 4,4; 4,4; 4,2; 3,8; 4,4; 4,0
Tìm khoảng tin cậy 95% cho µ và khoảng tin cậy 99% cho µ và σ2.

5.13. Nghiên cứu về ñộ bền X (kg/mm2) của một loại thép, người tiến hành

một số quan sát một số tấm thép trên mẫu và có kết quả cho trong bảng sau:
Độ bền (kg/mm2) Số tấm thép

(95, 115]
(115,135]
(135,155]
(155,175]
(175,195]
(195,215]

> 215

19
23
31
29
21
6

(a) Tìm khoảng tin cậy 97% cho độ bền trung bình của loại thép trên.
(b) Sẽ ñạt ñộ tin cậy bao nhiêu nếu muốn ước lượng độ bền trung bình của

loại thép trên bằng khoảng tin cậy có ñộ dài bằng 6?

5.14. Mức tiêu hao nguyên liệu cho một ñơn vị sản phẩm là một biến ngẫu

nhiên X tuân theo qui luật chuẩn. Quan sát 28 sản phẩm ñược chọn ngẫu nhiên, 
người ta thu ñược kết quả cho trong bảng sau:

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Chng 5 C LNG THAM S

128

số sản phẩm 5 6 14 3

Hãy xây dựng khoảng tin cậy 90% cho phương sai tổng thể trong hai
trường hợp:

(a) biết E(X) = 20g;
(b) chưa biết E(X).

5.16. Viện thống kê muốn ước lượng tỉ lệ p người dân khơng đồng ý về

một ñiều luật mới ñược ñề nghị.

(a) Nếu muốn sai số cho phép không quá 2% ở độ tin cậy 90% thì phải hỏi
ý kiến ít nhất mấy người?

(b) Trên một mẫu ngẫu nhiên 344 người ñược hỏi ý kiến, có 83 người
khơng đồng ý. Hãy tìm khoảng tin cậy 90% cho p. Dựa vào số liệu của
mẫu này, hãy giải lại câu (a).

5.17. Để nghiên cứu đường kính X (mm) của một loại sản phẩm do một xí

nghiệp sản xuất, người ta đo ngẫu nhiên 100 sản phẩm của xí nghiệp và có kết quả
cho trong bảng sau:

xi 9,85 9,90 9,95 10,00 10,05 10,10 10,15

Tần số 8 12 20 30 14 10 6

Theo qui ñịnh, những sản phẩm có đường kính từ 9,9 mm đến 10,1
mm là những sản phẩm ñạt tiêu chuẩn kỹ thuật.

(a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ và đường kính trung bình của những
sản phẩm ñạt tiêu chuẩn kỹ thuật.

(b) Để sai số khi ước lượng đường kính trung bình của những sản phẩm đạt
tiêu chuẩn khơng q 0,02 mm và sai số khi ước lượng tỉ lệ sản phẩm
đạt tiêu chuẩn khơng q 5% với cùng ñộ tin cậy 99%, cần ño thêm
bao nhiêu sản phẩm nữa?

5.15. X (đơn vị tính bằng %) là chỉ tiêu của một loại sản phẩm. Điều tra ở

một số sản phẩm (s.ph), người ta có số liệu:

Xi Số sản phẩm

[5,7)
[7,9)
[9,11)
[11,13)
[13,15)

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Chng 5 C LNG THAM S

129

[15,17)
[17,19)
[19,21)

20
10
5

(a) Để ước lượng trung bình chỉ tiêu X với độ tin cậy 92% và độ chính xác 
0,3% thì cần điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?

(b) Người ta xem các sản phẩm có chỉ tiêu X dưới một mức qui ñịnh là loại 
2. Từ số liệu trên, bằng phương pháp ước lượng khoảng tỉ lệ (loại 2),
người ta tính được khoảng tin cậy là (4%, 16%). Tìm độ tin cậy của
ước lượng này.

5.19. Một giống lúa mới ñược gieo trong 10 miếng đất thí nghiệm có các

điều kiện giống nhau, cho các sản lượng tính theo cùng một đơn vị như sau:
25,4; 28,0; 20,1; 27,4; 25,6; 23,9; 24,8; 26,4; 27,0; 25,4.
Biết rằng sản lượng lúa là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(µ, σ2).
Hãy tìm khoảng tin cậy 90% cho µ và σ2.

5.18. X (tính bằng %) và Y (tính bằng cm) là 2 chỉ tiêu của một loại sản

phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên ở một số sản phẩm, người ta có kết quả sau:
 xi

yk

1 2 3 x4

(90, 95] 5 13 2

(95, 100] 19 23 15 8

(100, 105] 12 10 7

(105, 110] 5 2

(a) Để ước lượng trung bình của chỉ tiêu Y với sai số cho phép 0,5 cm và
ñộ tin cậy 90% thì cần điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?

(b) Những sản phẩm có chỉ tiêu Y khơng q 95 cm được gọi là loại II.
Tìm khoảng tin cậy 98% cho trung bình chỉ tiêu X của các sản phẩm

loại II. (Giả thiết rằng chỉ tiêu này có phân phối chuẩn)

(a) Cho biết khoảng tin cậy 96% của chỉ tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy
tính giá trị trung bình và phương sai mẫu của chỉ tiêu X.

5.20. Để ñánh giá trữ lượng cá trong một hồ lớn, người ta ñánh bắt 2000

con cá từ hồ ñó, ñánh dấu rồi thả lại xuống hồ. Vài ngày sau, họ ñánh bắt lại 400
con thì thấy có 80 con có ñánh dấu.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Chng 5 C LNG THAM S

130

(b) Nếu muốn sai số của ước lượng giảm ñi một nửa thì lần sau phải đánh
bắt bao nhiêu con cá?

5.21. Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây trồng, người ta quan tâm

ñến ñường kính X (cm) và chiều cao Y (m) của loại cây đó. Đo chiều cao và
đường kính của 100 cây cùng độ tuổi ñược chọn ngẫu nhiên, kết quả thu ñược cho
trong bảng sau:

yk 
 xi

3 4 5 6 7

(20, 22] 5

(22, 24] 19 25 10

(24, 26] 5 17 8

(26, 28] 7 4

(a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho đường kính trung bình của loại cây này.
(b) Những cây cao từ 6m trở lên là cây loại A. Hãy ước lượng tỉ lệ và

đường kính trung bình của cây loại A bằng khoảng tin cậy 99% (giả
thiết đường kính cây loại A là biến ngẫu nhiên phân phối theo qui luật
chuẩn).

(c) Để ước lượng đường kính trung bình của loại cây này với độ chính xác
đạt được ở câu (a) và ñộ tin cậy 99% thì cần ño thêm bao nhiêu cây
nữa?

5.22. Để khảo sát mức tiêu hao ngun liệu (tính bằng gam) để sản xuất ra

một ñơn vị sản phẩm của một nhà máy, người ta quan sát mức tiêu hao nguyên
liệu trên một mẫu, và thu ñược kết quả sau: (ñơn vị gam )

19; 20; 20; 18; 19; 20; 20; 21; 20; 18; 19; 19; 21; 22; 21;
21; 20; 19; 20; 22; 21; 21; 22; 20; 20; 20; 19; 20; 21; 19;
20; 22; 21; 20; 22; 22; 20; 19; 20; 22; 21; 19; 19; 20; 18;
21; 21; 22; 19; 20.

(a) Tìm khoảng tin cậy 98% cho số tiền trung bình được dùng để mua
ngun liệu để sản xuất trong mỗi q của nhà máy. Biết rằng giá loại
nguyên liệu này là 800 ngàn ñ/kg và sản lượng của nhà máy trong một
quí là 40.000 sản phẩm.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Chng 5 C LNG THAM S

131

5.23. Để nghiên cứu lãi suất ngân hàng giữa hai nhóm nước cơng nghiệp

phát triển và ñang phát triển, người ta ñiều tra lãi suất ngân hàng trong một năm
của 7 nước phát triển và 11 nước ñang phát triển ñược chọn ngẫu nhiên.

Với các nước phát triển, lãi suất trung bình là 17,5% và ñộ lệch chuẩn là
3,2%; cịn đối với các nước ñang phát triển, lãi suất trung bình là 15,3% và độ
lệch chuẩn là 2,9%. Với ñộ tin cậy 95%, hãy ước lượng sự chênh lệch về lãi suất
trung bình giữa hai nhóm nước trên. Biết rằng lãi suất ngân hàng của của hai
nhóm nước trên là các BNN tuân theo qui luật chuẩn có cùng phương sai.

5.24. Để nghiên cứu lượng tiền gửi tiết kiệm vào ngấn hàng của hai thành

phố, người ta ñiều tra ngẫu nhiên 23 ngân hàng ở thành phố A và tìm được lượng
tiền gửi trung bình của mỗi khách là 1,317 triệu ñồng. Ở thành phố B, nghiên cứu
32 ngân hàng, tìm được lượng tiền gửi trung bình của mỗi khách là 1,512 triệu
ñồng.

Hãy ước lượng sự chênh lệch trung bình giữa lượng tiền gửi tiết kiệm trung
bình của dân hai thành phố A và B bằng khoảng tin cậy 95%. Biết rằng tiền tiết
kiệm của người dân hai thành phố A và B là các BNN tuân theo luận phân phối
chuẩn, với ñộ lệch chuẩn theo thứ tự, là 0,517 triệu và 0,485 triệu.

5.25. Một kỹ sư lâm nghiệp nghiên cứu chiều cao của một loại cây với giả

thiết là nó có phân phối chuẩn. Trên một mẫu có kích thước n = 10, anh ta tính
được chiều cao trung bình của mỗi cây là 13,78 và khoảng tin cậy 90% của trung
bình tổng thể là (13,063; 14,497). Khơng may, bộ số liệu của mẫu bị thất lạc, anh

ta chỉ còn nhớ các số sau:

12,2; 15; 13; 13,5; 12,8; 15,2; 12; 15,2.
Bạn có thể giúp anh ta tìm lại được các số liệu bị thất lạc không?

5.26. Công ty ABC muốn nghiên cứu nhu cầu tiêu dùng về loại hàng của

công ty ở một khu vực có 4000 hộ gia đình, họ tiến hành ñiều tra về nhu cầu của
mặt hàng đó ở 400 hộ gia đình, được chọn ngẫu nhiên ở khu vực đó. Kết quả điều
tra như sau:

Nhu cầu (kg/tháng) Số gia đình
< 1

[1, 2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6)
[6,8)
> 8

10
35
86
132

78
34
15

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Chng 5 C LNG THAM S

132

(b) Với mẫu trên, khi ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của
toàn khu vực trong một năm, nếu muốn sai số ước lượng là 5,7 tấn, thì
đạt được độ tin cậy bằng bao nhiêu?

5.27. Một lô trái cây của một cửa hàng ñựng trong các sọt, mỗi sọt 100

trái. Người ta tiến hành kiểm tra ngẫu nhiên 50 sọt, thì thấy có 450 trái khơng ñạt
tiêu chuẩn.

(a) Tìm khoảng tin cậy 96% cho tỉ lệ trái cây khơng đạt tiêu chuẩn của lô
hàng.

(b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ trái cây khơng đạt tiêu chuẩn của lơ hàng, với
sai số bằng 0,5% thì độ tin cậy đạt ñược là bao nhiêu?

(c) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ trái cây khơng đạt tiêu chuẩn của lơ hàng, với
độ tin cậy 99% và sai số khơng lớn hơn 1%, thì cần kiểm tra bao nhiêu
sọt?

5.28. Một công ty sản xuất bột giặt muốn thăm dị mức độ tiêu thụ sản

phẩm này trong thành phố H. Công ty tiến hành điều tra 500 hộ gia đình và có kết
quả sau:

Nhu cầu (kg/tháng) < 1 [1; 1,5) [1,5; 2) [2; 2,5)

Số hộ gia đình 21 147 192 78

Nhu cầu (kg/tháng) [2,5; 3) [3; 3,5) ≥ 3,5

Số hộ gia đình 34 16 12

Giả sử thành phố H có 10.000 hộ gia đình.

(a) Hãy ước lượng nhu cầu bột giặt trung bình lớn nhất của tồn thành phố
H trong một năm với ñộ tin cậy 96%

(b) Những hộ có nhu cầu trên 2 kg trong một tháng được gọi là những hộ
có nhu cầu sao. Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ những hộ có nhu cầu
cao ở thành phố H.

(c) Để ước lượng nhu cầu bột giặt trung bình của một hộ trong một tháng
với sai số ước lượng khơng q 50 gam và độ tin cậy 95% thì cần điều
tra thêm bao nhiêu hộ gia đình nữa?

5.29. Để ñánh giá mức tiêu hao nhiên liệu của một loại xe ô tô, người ta

theo dõi lượng tiêu hao nhiên liệu (lít/100 km) của 100 chuyến xe và có kết quả
sau:

Lượng tiêu hao [35; 40) [40; 45) [45; 50) [50; 55) [55; 60)

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Chng 5 C LNG THAM S

133

(a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho lượng tiêu hao nhiên liệu trung bình của
loại xe nói trên

(b) Xe cần ñưa vào kiểm tra kỹ thuật là xe có mức tiêu hao nhiên liệu từ 55
lít/100 km trở lên. Hãy ước lượng tỉ lệ xe cần ñưa vào kiểm tra kỹ thuật
tối thiểu ở ñộ tin cậy 95%.

</div>

nghiên cứu khoa học giảng dạy và học tập

<b>111</b>

<i>Chương </i>

<i><b>5</b></i>

<b>Ước lượng tham số </b>

<b>112</b>

(

)

<i>X</i>

<i>X</i>

=

∑

<i>X</i>

(

)

<i>X</i>

∑

(

)

<b>113</b>

σ ≥

<i>X</i>

<i>X</i>

=

∑

=

(

)

<i>X</i>

D ( )

<i>X</i>

=

=

<i>X</i>

<b>114</b>

( , ). ( , ). . . ( , )

<i>f x</i>

θ

<i>f x</i>

θ

<i>f x</i>

θ

֏

( )

∑

∑

∑

∑

<b>115</b>

∑

∑

<i>x</i>

<i>x</i>

=

∑

<i>X</i>

( ;

,

,. . . .,

)

<i>f x</i>

θ θ

θ

∏

֏

ˆθ

ˆθ

ˆ

θ

<b>116</b>

P (

<i>U</i>

<

<i>c</i>

)

=

<i>u</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

.