BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - HÀ NỘI
----------------------------------------
Họ và tên : Nguyễn Sơn Định
NGHIÊN CỨU XÁC ĐỊNH CHẾ ĐỘ CẮT TỐI ƯU
TRÊN MÁY TIỆN CNC
LUẬN VĂN THẠC SỸ CƠ KHÍ
Hà Nội – năm 2005
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - HÀ NỘI
----------------------------------------
Họ và tên : Nguyễn Sơn Định
NGHIÊN CỨU XÁC ĐỊNH CHẾ ĐỘ CẮT TỐI ƯU
TRÊN MÁY TIỆN CNC
LUẬN VĂN THẠC SỸ CƠ KHÍ
Giảng viên hướng dẫn:
Hà Nội – năm 2005
PGS.TS Trần xuân việt
Đề tài:
Nghiên cứu xác định chế độ cắt tối ưu trên máy tiện CNC
Mục tiêu:
Công nghệ gia công trên các máy CNC đắt tiền đã bắt đầu
được triển khai ứng dụng ở nước ta. Hiệu quả kinh tế trong sản xuất của loại máy
này phụ thuộc vào mức độ khai thác khả năng của chúng về kỹ thuật và thời gian.
Như vậy, muốn tăng năng suất gia công trên máy CNC cần phải tìm biện pháp
khống chế (giảm) thời gian cắt (thời gian cơ bản: t0) thông qua việc xác định chế độ
cắt tối ưu (s, t, v) theo điều kiện giới hạn kỹ thuật nhất định. Hiện nay, vấn đề
nghiên cứu xác định chế độ cắt tối ưu để khai thác có hiệu quả các máy gia cơng
CNC chưa được quan tâm ở nước ta.
Đề tài này nghiên cứu phương pháp xác định chế độ cắt tối ưu cho máy tiện
CNC nhằm góp phần nâng cao hiệu quả sử dụng các máy tiện CNC.
Nội dung:
-
Tổng kết lý luận về phương pháp xác định chế độ cắt tối ưu (Hàm số,
phương pháp quy hoạnh tuyến tính).
-
Gia cơng CNC nói chung và tiện CNC.
-
Xây dựng mơ hình tốn xác định chế độ cắt tối ưu cho máy tiện CNC.
-
Kiểm nghiệm, kết nối với máy tiện CNC của Nhật (phần mềm, xác định chế
độ cắt tối ưu).
-
Cắt với chế độ tối ưu với các cặp vật liệu dao/phôi khác nhau.
-
Xử lý kết quả thực nghiệm.
-
Hiệu chỉnh hàm số sau khi kiểm nghiệm.
1
Phần 1 – Tổng kết lý luận về phương pháp xác định chế độ cắt tối ưu (Hàm số,
phương pháp quy hoạnh tuyến tính). ..........................................................................4
1. Các khái niệm cơ bản của quá trình tạo phoi ......................................................4
1.1. Mặt phẳng trượt ............................................................................................4
1.2. Các thông số của chế độ cắt và lớp kim loại bị cắt ......................................6
2. Các đại lượng đặc trưng cho quá trình cắt ..........................................................8
2.1. Năng suất cắt ................................................................................................8
2.2. Đại lượng đặc trưng về năng lượng cho quá trình cắt..................................8
3. Các đại lượng đặc trưng về chi phí gia cơng cho quá trình cắt ...........................9
4. Một vài khái niệm cơ bản về tối ưu hố q trình gia cơng cắt gọt ..................10
4.1. Tối ưu hoá tĩnh ...........................................................................................10
4.2. Tối ưu hoá động .........................................................................................11
5. Phương pháp xác định chế độ cắt tối ưu ...........................................................13
6. Lý thuyết toán tối ưu .........................................................................................14
6.1. Tổng quan...................................................................................................14
6.2. Phương pháp đơn hình (SIMPLEX) của tác giả DANTZIG cho hàm mục
tiêu MAX ..........................................................................................................16
6.3. Phương pháp đối ngẫu (DUALPROBLEM) ..............................................17
6.4. Ví dụ ứng dụng ...........................................................................................17
Phần 2 - Gia cơng CNC nói chung và tiện CNC .......................................................34
1. Điều khiển số .....................................................................................................34
1.1. Quá trình phát triển của CAD/CAM - CNC ..............................................34
1.2. Khái niệm về các hệ thống thành phần CIM ..............................................37
1.3. Các hệ thống điều khiển số ........................................................................39
2. Máy công cụ điều khiển theo chương trình số ..................................................46
2.1. Các hệ trục toạ độ và chiều các chuyển động ............................................46
2.2. Các dạng điều khiển ...................................................................................52
2.3. Các hệ thống đo dịch chuyển, đo góc và điều khiển vị trí .........................55
3. Lập trình gia cơng trên máy NC và CNC..........................................................58
2
3.1. Các hình thức tổ chức lập trình ..................................................................58
3.2. Ghi kích thước trên bản vẽ .........................................................................61
3.3. Cấu trúc của chương trình NC ...................................................................61
4. Tiện CNC ..........................................................................................................62
4.1. Các bộ phận chính của máy tiện CNC .......................................................62
4.2. Đặc tính kỹ thuật cơ bản của máy tiện CNC: SL-253 A/500 ....................66
4.3. Một số thiết bị bên ngồi ............................................................................66
4.4. Lập trình cho máy tiện CNC ......................................................................67
Phần 3 - Xây dựng mơ hình tốn xác định chế độ cắt tối ưu cho máy tiện CNC .....69
1.
Chỉ tiêu kỹ thuật về thời gian .........................................................................70
2. Lập mô hình tốn học ........................................................................................72
2.1. Hàm mục tiêu .............................................................................................72
2.2. Hàm giới hạn ..............................................................................................72
3. Xác định chế độ cắt tối ưu.................................................................................78
3.1. Sử dụng các bảng tra ..................................................................................78
3.2. Sử dụng công thức để xác định chế độ cắt .................................................78
Phần 4 – Xử lý kết quả thí nghiệm, hiệu chỉnh hàm số sau khi kiểm nghiệm và kết
luận ............................................................................................................................83
Phụ lục – Chương trình Xác định chế độ cắt trên máy tiện CNC .............................87
3
PHẦN 1 – TỔNG KẾT LÝ LUẬN VỀ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CHẾ ĐỘ CẮT TỐI ƯU (HÀM
SỐ, PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠNH TUYẾN TÍNH).
1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA QUÁ TRÌNH TẠO PHOI
Các khái niệm cơ bản của quá trình tạo phoi rất phong phú và cần thiết cho
việc gắn liền nghiên cứu với thực tiễn cũng như cho việc trao đổi giữa các nhà khoa
học của các nước khác nhau.
Các khái niệm cơ bản của quá trình tạo phoi phải được sử dụng được cho tất
cả các phương pháp gia công cắt gọt và các dụng cụ cắt khác nhau.
Ở các nước công nghiệp phát triển các khái niệm này đều đã được tiêu chuẩn
hố.
1.1. MẶT PHẲNG TRƯỢT
Phoi
h'
Goc
truo
t
MỈt phẳng tr-ợt
Dao
2
h
1
3
4
Vc
Phôi
Hỡnh 1: Mụ hỡnh tỏc ng trong quỏ trỡnh tạo phoi
Quá trình tạo phoi liên quan trực tiếp đến lực cắt, nhiệt cắt, sự mòn dao, chất
lượng bề mặt của chi tiết được gia cơng... Q trình tạo phoi được phân tích kỹ
trong vùng tác động (hình 1) bao gồm:
4
Vùng 1: Vùng biến dạng thứ nhất là vùng vật liệu phôi nằm trước mũi dao
được giới hạn giữa vật liệu phoi và vùng vật liệu phôi. Dưới tác dụng của lực tác
động trước hết trong vùng này xuất hiện biến dạng dẻo (còn gọi là vùng biến dạng
dẻo thứ nhất). Khi ứng suất do lực tác động gây ra vượt quá giới hạn bền của kim
loại thì xuất hiện hiện tượng trượt và phoi được hình thành. Trong quá trình cắt,
vùng tạo phoi 1 ln ln di chuyển cùng dao.
Vùng 2: Vùng ma sát thứ nhất là vùng vật liệu phoi tiếp xúc với mặt trước
của dao.
Vùng 3: Vùng ma sát thứ hai là vùng vật liệu phôi tiếp xúc với mặt sau của
dao.
Vùng 4: Vùng tách là vùng bắt đầu q trình tách kim loại khỏi phơi để tạo
thành phoi.
Muốn tạo ra phoi phải tác động lên phôi thông qua dụng cụ cắt một lực gọi là
lực chủ động nhằm:
Tạo ra trong kim loại ở vùng biến dạng dẻo thứ nhất ứng suất vượt quá giới
hạn bền của vật liệu gia công.
Thắng được lực cản ma sát xuất hiện do sự biến dạng của bản thân vật liệu
cũng như giữa vật liệu và các mặt phẳng của dao. Các lực cản ma sát đó bao gồm:
+ Lực ma sát xuất hiện trong mặt phẳng trượt do sự trượt của lớp vật liệu
được tách ra để tạo thành phoi.
+ Lực ma sát xuất hiện do chuyển động tương đối giữa lớp vật liệu mặt sau
của phoi với mặt trước của dao cũng như do ma sát tiếp xúc giữa vật liệu phôi với
mặt sau của dao ở trong mặt phẳng cắt.
Khi ứng suất do lực tác động gây ra vượt q giới hạn bền của vật liệu gia
cơng thì trong vùng biến dạng thứ nhất sẽ xẩy ra hiện tượng trượt theo nhiều mặt
phẳng khác nhau. Để có thể xác định được góc trượt người ta đưa ra mơ hình mặt
phẳng trượt lý tưởng (hình 2).
Vị trí của mặt phẳng trượt xác định bởi góc trượt được tạo thành giữa mặt
phẳng trượt và phương của chuyển động cắt.
5
Phoi
h'
Mặt phẳng tr-ợt
Goc
truo
t
h
Dao
Vc
Phôi
Hỡnh 2: Mụ hỡnh mt phng trt lý tưởng.
Độ lớn của góc trượt có ý nghĩa hết sức quan trọng khi nghiên cứu quá
trình tạo phoi nên đã được nhiều tác giả tập trung nghiên cứu và công bố các kết
quả, tuy nghiên các kết quả được công bố đều gần giống nhau.
Xét về mặt năng lượng ta thấy rằng, trong quá trình cắt cần phải đạt được
góc lớn. Điều này có thể đạt được thơng qua:
Tăng góc trước tối đa tới giá trị ứng với giá trị giới hạn bền của chêm cắt.
Giảm hệ số ma sát thông qua việc sử dụng vật liệu dụng cụ cắt và vật liệu bơi
trơn thích hợp.
1.2. CÁC THÔNG SỐ CỦA CHẾ ĐỘ CẮT VÀ LỚP KIM LOẠI BỊ CẮT
Tốc độ cắt khi tiện
Trong mặt phẳng làm việc Plv, tốc độ cắt vc theo hướng cắt khi tiện được xác
định như sau:
vc = vn + vs
Với:
6
- v n : là tốc độ theo phương vuông góc với bán kính góc quay của phơi;
- v s : là tốc độ tiến dao.
- Vì vn >> vs, nên:
vc vn =
.Dph .nph
1000
Trong đó: Dph Đường
kính
của
phơi
(mm).
Trong mặt phẳng
Vs
đáy xác định được các đại
Vc
L-ìi c¾t phơ
lượng sau đây:
Chiều sâu cắt t là
L-ìi c¾t chÝnh
khoảng cách giữa bề mặt
đã gia công với bề mặt
chưa gia công.
Bước
S
tiến
S
Vs Vc
là
t
khoảng cách liên tiếp giữa
VÕt cđa m.ph¼ng l.viƯc
2 điểm của lưỡi cắt sau khi
dao
dịch
chuyển
b
đoạn
a
đường ứng với một vịng
TiÕt diƯn ngang cđa phoi
quay của phơi (mm/vịng).
a là chiều dày của
Hình 3: Các thơng số khi tiện
phoi:
a = S.sin
(với là góc tạo bởi lưỡi cắt với phương tiến dao).
b là chiều rộng của phoi:
b = t sin
(với t là chiều sâu cắt).
Tiết diện ngang A của phoi:
A = a.b
mm2
7
2. CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CHO QUÁ TRÌNH CẮT
Để đánh giá và so sánh được hiệu quả của các phương pháp gia công người
ta xây dựng các đại lượng cho quá trình cắt như sau:
Nhu cầu năng lượng riêng.
Năng suất cắt.
Giá thành gia công.
Các đại lượng đặc trưng này được tính tốn xuất phát từ các thơng số động
học và hình học của quá trình tạo phoi.
2.1. NĂNG SUẤT CẮT
Các đại lượng đặc trưng cho quá trình cắt bao gồm:
a. Thể tích phoi Qph tạo thành trong 1 đơn vị thời gian là tích số của diện tích
tiết diện ngang của phoi với véctơ tốc độ cắt.
Thể tích phoi Qph khi tiện:
Qph = a.b.vc = t.S.vc
Thể tích phoi Q’ph tạo thành trong 1 đơn vị thời gian tính trên 1 mm chiều dài
lưỡi cắt được xác định bằng biểu thức:
Q’ph = S.vc
Thời gian cơ bản 0 là thời gian dùng để thay đổi hình dạng, kích thước của
phơi để thu được chi tiết có hình dạng kích thước u cầu, 0 tỷ lệ nghịch với Q’ph.
0 ~
1
'
Q ph
b. Thời gian cơ bản 0 là tỷ lệ giữa đoạn đường dao phải di chuyển với tốc độ
di chuyển của dụng cụ trên đoạn đường ấy:
0 =
l
vd
Trong đó:
l là chiều dài đoạn đường dao cần phải di chuyển.
vd là tốc độ chuyển động dọc của bàn xe dao (khi tiện)
2.2. ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG VỀ NĂNG LƯỢNG CHO QUÁ TRÌNH CẮT
Đại lượng đặc trưng về năng lượng cho quá trình cắt là công suất cắt.
8
Vì tốc độ tiến dao vs rất nhỏ so với tốc độ cắt nên công suất cắt được xác
định như sau:
Pc = Fc.vc
(trong đó: Fc là lực cắt; vc là tốc độ cắt)
Công suất cắt đơn vị Qcđv được xác định bằng tỷ số:
Qcđv =
Pc
Q ph
Với: Pc – là công suất cắt; Qph – thể tích phoi cắt được trong 1 đơn vị thời
gian.
Công suất cắt đơn vị dùng để đánh giá và so sánh tiêu hao về năng lượng
trong q trình tạo phoi của các phương pháp gia cơng cắt gọt khác nhau.
3. CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG VỀ CHI PHÍ GIA CƠNG CHO Q TRÌNH CẮT
Để đánh giá tính kinh tế của q trình cắt người ta sử dụng đại lượng chi phí
về giá thành gia cơng và thời gian gia công. Đây là hai đại lượng biến đổi phụ thuộc
vào các thông số công nghệ của quá trình cắt.
Giá thành gia cơng K được xác định như sau:
K = KML. 0 + Kd.
C
T
Trong đó:
+ KML: là hệ số khấu hao máy và chi phí lương cho người công nhân đứng
máy trong 1 đơn vị thời gian (đồng/giờ, đồng/phút);
+ 0 là thời gian cơ bản;
+ C là thời gian cắt (thời gian lưỡi cắt trực tiếp tiếp xúc với phơi;
+ Kd là chi phí liên quan đến 1 lần thay dao (đồng/lần thay dao);
+ C/T là số lần thay dao;
+ T là tuổi bền của dụng cụ cắt;
Chi phí về thời gian gia cơng được xác định như sau:
= 0 + tthd.
C
T
Trong đó:
+ tthd là chi phí về thời gian cho 1 lần thay dao.
9
+
C
là số lần thay dao.
T
4. MỘT VÀI KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TỐI ƯU HỐ Q TRÌNH GIA CƠNG CẮT GỌT
Tối ưu hố q trình gia cơng cắt gọt là phương pháp xác định chế độ cắt tối
ưu thông qua việc xây dựng mối quan hệ toán học giữa hàm mục tiêu kinh tế của
q trình gia cơng với các thông số của chế độ cắt tương ứng với một hệ thống các
giới hạn về các mặt chất lượng, kỹ thuật và tổ chức của nhà máy.
Như vậy thực chất của việc xác định chế độ cắt tối ưu là giải bài tốn tìm cực
trị trong đó ít nhất có một điều kiện biên là một bất phương trình. Quá trình đó bao
gồm 3 bước sau đây:
Xây dựng hàm mục tiêu.
Xây dựng miền giới hạn của bài toán.
Giải và biện luận kết quả.
Trong thực tế, hiện nay tồn tại hai dạng bài toán tối ưu: tối ưu hoá tĩnh và tối
ưu hố động.
4.1. TỐI ƯU HỐ TĨNH
Tối ưu hố tĩnh là q trình nghiên cứu và giải quyết bài tốn xác định chế
độ cắt tối ưu dựa trên mơ hình tĩnh của q trình gia cơng.
Nhược điểm cơ bản của phương pháp tối ưu hố tĩnh là khơng chú ý tới động
học của q trình cắt, nghĩa là khơng chú ý tới các đặc điểm mang tính ngẫu nhiên
và thay đổi theo thời gian như:
Độ cứng vật liệu gia công khơng đồng nhất.
Lượng dư gia cơng khơng đồng đều.
Lượng mịn của dao thay đổi theo thời gian.
Sau khi xác định được các thông số cắt hợp lý người ta tiến hành điều chỉnh
máy làm việc theo các thơng số đó. Trong q trình làm việc các thơng số này
khơng được điều chỉnh lại.
Do các đặc điểm trên đây nên tối ưu hoá tĩnh chưa giải quyết vấn đề thật triệt
để. Mặc dầu vậy ngày nay tối ưu hoá tĩnh vẫn được nghiên cứu và ứng dụng rộng
10
rãi vì phương pháp nghiên cứu đơn giản, khơng cần tới đo lường chủ động và vẫn
đảm bảo được tính hiệu quả.
4.2. TỐI ƯU HỐ ĐỘNG
Tối ưu hố động (cịn gọi là tối ưu hố trong các q trình cắt gọt) là q
trình nghiên cứu dựa trên mơ hình động của q trình cắt, do đó trong q trình
nghiên cứu có chú ý tới các đặc điểm mang tính ngẫu nhiên và thay đổi theo thời
HƯ thèng xư lý nhanh
HƯ thèng ®o l-êng
gian như lượng dư khơng đều, độ cứng vật liệu khơng đồng nhất, lượng mịn của
So
So, Vo, to
HƯ thống tự động điều chỉnh chế độ cắt
Hỡnh 4: S đồ nghiên cứu tối ưu hoá động khi
dao thay đổi theotiện
thời gian...
Theo hình 4, trong quá trình cắt người ta đo các đại lượng xuất hiện trong
q trình gia cơng như kích thước, chiều cao nhấp nhơ bề mặt, sai số hình dạng của
bề mặt gia cơng, độ mịn dao, lực cắt, nhiệt cắt, rung động của hệ thống công nghệ...
Sau đó bộ phận xử lý nhanh chóng xác định ngay chế độ cắt tối ưu và chuyển kết
11
quả cho bộ phận điều khiển để tiến hành tự động điều chỉnh máy làm việc theo chế
độ công nghệ tương ứng với thời điểm đó.
Trong q trình làm việc mặc dù xuất hiện các yếu tố ngẫu nhiện và thay đổi
theo thời gian như: độ cứng vật liệu cũng như lượng dư gia cơng khơng đều, lượng
mịn của dao thay đổi theo thời gian... nhưng nhờ có các tín hiệu do hệ thống đo
lường chủ động cung cấp, hệ thống xử lý nhanh luôn xác định được chế độ cắt hợp
lý ở các thời điểm tương ứng để cung cấp kịp thời cho hệ thống điều khiển tự động
đảm bảo cho máy luôn làm việc với chế độ tối ưu.
Như vậy, khác với tối ưu hoá tĩnh, ở tối ưu hố động chế độ gia cơng chẳng
những được điều chỉnh trước mà còn được tự động điều chỉnh ngay trong q trình
cắt.
Tối ưu hố động giải quyết vấn đề triệt để hơn so với tối ưu hoá tĩnh nhưng
cũng phức tạp hơn tối ưu hố tĩnh rất nhiều vì tối ưu hoá động gắn liền với đo lường
chủ động và điều khiển thích nghi. Tuy nhiên, do tính hiệu quả của nó, tối ưu hố
động sẽ được phát triển rất mạnh trong thế kỷ 21 này.
Hiệu quả của tối ưu phụ thuộc và mức độ phù hợp của mô hình nghiên cứu
so với quá trình cắt thực và mức độ chính xác của mơ hình tốn học được xây dựng
để mơ tả q trình cần khảo sát. Do đó muốn thực hiện tối ưu hố q trình gia cơng
cắt gọt phải xây dựng mơ hình nghiên cứu dựa trên các điều kiện công nghệ cụ thể.
Về mặt thực tiễn nếu xét được càng nhiều yếu tố ảnh hưởng tới q trình gia cơng
thì vấn đề được giải quyết càng tồn diện và triệt để nhưng về mặt tốn học thì q
trình nghiên cứu sẽ càng phức tạp và khó áp dụng vào sản xuất. Ngược lại , nếu bỏ
qua nhiều yếu tố ảnh hưởng tới q trình gia cơng thì kết quả thu được khơng chính
xác, hiệu quả kinh tế của việc áp dụng tối ưu hoá sẽ thấp.
Như vậy, trước hết cần dựa vào các thông tin tiên niệm hoặc các nghiên cứu
thăm dò để xác định được mức độ ảnh hưởng của các thông số công nghệ tới hàm
mục tiêu nhằm co hẹp bài toán, nghĩa là sau khi nghiên cứu thăm dò chỉ nên giữ lại
các yếu tố ảnh hưởng mạnh, bỏ qua các yếu tố ít ảnh hưởng để bài toán đơn giản và
dễ áp dụng.
12
Trong q trình nghiên cứu thăm dị người ta có thể sử dụng phương pháp
qui hoạch thực nghiệm của Taguchi. Nội dung của phương pháp này là khi nghiên
cứu bằng thực nghiệm sẽ xét đến ảnh hưởng của tất cả các đại lượng của đầu vào.
Sau khi xử lý số liệu sẽ thu được hàm mục tiêu. Trên cơ sở phân tích hàm mục tiêu
sẽ biết được các đại lượng ít ảnh hưởng tới hàm mục tiêu. Từ đó lại bỏ bớt các đại
lượng ít ảnh hưởng, chỉ tập trung nghiên cứu ảnh hưởng của các đại lượng còn lại.
Như vậy, kết quả nghiên cứu sẽ dễ áp dụng hơn.
Thực chất của phương pháp tối ưu hoá là xây dựng và giải bài tốn tìm cực
trị để xác định phương án tối ưu cho quá trình sản xuất. Nhận xét đó cho thấy:
Tối ưu hố là một phương pháp, là một công cụ cho các nhà nghiên cứu kinh
tế và cơng nghệ.
Tối ưu hố gắn liền với mơ hình hố, hay nói các khác mơ hình hố là bước
thứ nhất của tối ưu hố.
Tối ưu hố ln ln gắn liền với điều kiện cơng nghệ cụ thể, vì thế mỗi
quốc gia phải tự giải quyết bài toán tối ưu của mình trong điều kiện sản xuất cụ thể.
5. PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CHẾ ĐỘ CẮT TỐI ƯU
Để điều khiển được q trình gia cơng một cách kinh tế nhất trên cơ sở đảm
bảo được độ chính xác yêu cầu cần phải xây dựng được các mơ hình của các đại
lượng đặc trưng xuất hiện trong và sau quá trình cắt. Mơ hình lực tạo phoi và mơ
hình mài mịn dụng cụ cắt là hai mơ hình quan trọng nhất trong các mơ hình đó.
Dựa trên mơ hình lực tạo phoi người ta xác định được yêu cầu về năng lượng và
tính chất biến dạng của hệ thống cơng nghệ. Dựa trên mơ hình mài mịn sẽ xác định
được tuổi bền của dụng cụ, từ đó xác định được các thơng số cơng nghệ hợp lý
trong q trình gia cơng.
Thơng thường người ta sử dụng hai phương pháp sau đây để xây dựng các
mơ hình dưới dạng các biểu thức giải tích:
- Phương pháp thứ nhất: Dựa trên các tiên đề rồi dùng phương pháp diễn giải
để mô tả cơ chế tác động hợp lý của quá trình tạo phoi, từ đó rút ra các biểu thức
giải tích mơ tả các đại lượng xuất hiện trong và sau quá trình cắt. Khi sử dụng
13
phương pháp này người ta phải đơn giản hoá các điều kiện biên của bài tốn. ví dụ
phải giả thiết rằng vật liệu luôn đồng nhất và đẳng hướng, do đó độ chính xác của
mơ hình đạt được thấp.
- Phương pháp thứ hai: Nghiên cứu bằng thực nghiệm dựa trên cơ sở lý
thuyết qui hoạch thực nghiệm kết hợp với sử lý số liệu theo phương pháp thống kê
để rút ra các mơ hình. Nhược điểm của phương pháp này là mơ hình khơng mang
tính tổng qt mà chỉ có giá trị tương ứng với các điều kiện công nghệ cụ thể,
nhưng lại có ưu điểm là đạt được độ chính xác cao và dễ áp dụng vào thực tiễn sản
xuất. Đặc biệt, do sự tiến bộ của công nghệ đo lường và cơng nghệ thơng tin, thời
gian thí nghiệm va sử lí số liệu rút ngắn đáng kể, vì vậy phương pháp này vừa đảm
bảo tính kinh tế trong q trình nghiên cứu vừa đạt được độ chính xác cao và dễ
triển khai áp dụng vào sản xuất. Do đó, hiện nay phương pháp này chẳng những
được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu công nghệ cắt gọt mà còn được sử dụng
rộng rãi cho việc nghiên cứu trong các lĩnh vực khác.
Mơ hình lực cắt và q trình mài mòn – tuổi bền của dụng cụ cắt được thiết
lập dựa trên bản chất vật lý của quá trình cắt cũng như dựa trên các tính chất đặc
trưng của từng ngun cơng...
6. LÝ THUYẾT TỐN TỐI ƯU
6.1. TỔNG QUAN
Tốn tối ưu (TTƯ) được áp dụng trong kỹ thuật và kinh tế trên cơ sở mô
phỏng các vấn đề kinh tế, kỹ thuật dưới dạng các mơ hình tốn học (tuyến tính, phi
tuyến). Người ta có thể chuyển đổi các mơ hình tốn phi tuyến thành mơ hình tốn
tuyến tính thơng qua phép lơgarit hố.
Từ năm 1939 giáo sư KANTOROVICH đã đề xuất phương pháp giải tốn
quy hoạch tuyến tính (Linear Optimisation). Năm 1947, DANTZIG đề xuất phương
pháp đơn hình (SIMPLEX) để giải các bài tốn tối ưu tuyến tính. Đó là phương
pháp giải tương đối đơn giản và vạn năng nên được áp dụng rộng rãi trong kỹ thuật
và kinh tế.
Trong chuẩn bị công nghệ, việc áp dụng lý thuyết tốn tối ưu (TTƯ) là rất
cần thiết bởi vì:
14
Phải lập các phương án, so sánh để chọn phương án tối ưu cho q trình
cơng nghệ (QTCN) và dây chuyền công nghệ (DCCN) theo điều kiện và quy mô
sản xuất, đạt các chỉ tiêu kinh tế kỹ thuật, đảm bảo sản xuất tin cậy và linh hoạt.
Các phương án cơng nghệ được so sánh trên cơ sở hao phí thời gian lao
động, vật liệu, năng lượng, năng suất lao động, giá thành sản xuất ứng với sản
lượng dự kiến.
Tạo tiền đề sử dụng máy tính trong thiết kế cơng nghệ.
Mơ hình TTƯ ứng với lĩnh vực thiết kế cơng nghệ được xác định, xây dựng
từ 2 nhóm hàm số sau:
Hàm mục tiêu, được xác định theo chỉ tiêu nhất định mà từ đó phải tìm cực
trị (max, min), ví dụ chi phí nhỏ nhất, năng suất cao nhất, lãi suất lớn nhất. Hàm
mục tiêu bao gồm các đại lượng có quan hệ với chỉ tiêu tối ưu, các đại lượng này là
các biến số của hàm mục tiêu mà trị số của chúng cần phải xác định.
Các hàm giới hạn, được xác lập từ các điều kiện giới hạn, gọi là điều kiện
biên mà trong các điều kiện này cực trị (max, min) của hàm mục tiêu được phép tồn
tại và được chấp nhận. Các hàm giới hạn này phụ thuộc vào giới hạn thực tế về kỹ
thuật sản xuất và tổ chức sản xuất; chúng phải được xác định sao cho không mâu
thuẫn nhau (nghĩa là đảm bảo tính tương thích của chúng).
Đường lối giải các bài tốn tối ưu tuyến tính (quy hoạch tuyến tính) gồm các
bước sau:
Bước1:
Lập mơ hình tổng quan để mơ phỏng gần đúng đối tượng kinh
tế kỹ thuật bằng các ký hiệu toán học theo chỉ tiêu tối ưu, nghĩa là xác định đại
lượng cần đạt cực trị (max, min).
Bước 2:
Phân tích mơ hình tổng qt đã lập để xác định các thơng số
cần thiết có liên quan, ví dụ: nhu cầu vật tư, thời gian lao động, chi phí sản xuất,
vốn đầu tư, quãng đường vận chuyển, lãi suất ...
Bước 3:
Lập mô hình tốn chính xác bằng cách đưa các thơng số đặc
trưng cần thiết (xác định ở trước 2) vào mô hình tổng qt (theo bước 1), nghĩa là
xác định mơ hình tốn theo quan hệ giữa chỉ tiêu tối ưu và các thông số đặc trưng.
15
Bước 4:
Giải bài tốn theo mơ hình tốn đã lập ở bước 3 (hàm mục tiêu
MAX giải theo phương pháp đơn hình (SIMPLEX), hàm mục tiêu MIN giải theo
phép đối ngẫu (DUALPROBLEM) kết hợp với phương pháp đơn hình (SIMPLEX).
Bước 5:
Biện luận theo lời giải từ bước 4, so sánh các phương án lời
giải, xác định phương án lời giải thích hợp với điều kiện thực tế, chú ý điều kiện
không âm ( 0) của giá trị các biến số trong hàm mục tiêu (MAX, MIN).
Nếu hàm mục tiêu (MAX. MIN) chỉ có 2 biến số thì có thể giải đáp bước 4
bằng phương pháp đồ thị. Ở đây (phương pháp đồ thị) các đường thẳng tương ứng
với các hàm giới hạn (đã tuyến tính hố) sẽ cắt nhau và tạo ra một đa giác lồi
(konvex polyeder): tập hợp các điểm ứng với đa giác lồi đó là phạm vi giá trị giá trị
có thể chấp nhận của các biến số trong hàm mục tiêu cần đạt cực trị (MAX, MIN).
6.2. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH (SIMPLEX) CỦA TÁC GIẢ DANTZIG CHO HÀM MỤC TIÊU MAX
Các bước cơ bản của thuật giải đơn hình (SIMPLEX – Algorithm) do tác giả
DANTZIG đề xuất:
Bước 1:
Tuyến tính hố (lơgarit hố) đối với mơ hình tối ưu phi tuyến).
Bước 1.1:
Chuyển đổi mơ hình gốc (hệ bất phương trình) thành hệ
phương trình (thơng qua phép khử dấu bằng cách thêm vào hệ gốc các ẩn số phụ –
biến giả tạo.
Bước 1.2:
Lơgarit hố hệ phương trình phi tuyến đã lập ở bước 1.1.
Bước 2:
Xác định lời giải đầu tiên của hệ phương trình đã lơgarit hố
bằng cách cho các biến số của hàm mục tiêu (MAX) có giá trị 0.
Bước 3:
Hồn thiện lời giải đầu tiên thông qua các phép lặp (chuyển
đổi) hữu hạn cần thiết cho đến khi đạt được lời giải tối ưu.
Bước 4:
Kiểm tra q trình tính tốn theo các điều kiện thích hợp (do
phương pháp đơn hình quy định).
Bước 5:
Thực hiện phép đối lôgarit (đối với hệ phi tuyến gốc) để xác
định giá trị của các biến số trong hàm mục tiêu MAX gốc thoả mãn các điều kiện
giới hạn.
16
6.3. PHƯƠNG PHÁP ĐỐI NGẪU (DUALPROBLEM)
Phương pháp đối ngẫu dựa trên định lý đối ngẫu là ứng với một hàm số gốc
(primal) là một hàm đối ngẫu (dual) nghĩa là: hàm mục tiêu gốc (Z p) = Hàm mục
tiêu gốc đối ngẫu (Zđ). Điều đó tạo điều kiện chuyển các bài tốn gốc (primal) tìm
giá trị cực tiểu (MIN) thành các bài tốn đối ngẫu tìm giá trị cực đại (MAX) để có
thể giải bằng phương pháp đơn hình (SIMPLEX).
Các bước giải cơ bản theo phương pháp đối ngẫu:
Bước 1:
Xác định hệ đối ngẫu (mơ hình đối ngẫu) trên cơ sở hệ gốc
(mơ hình gốc) có chú ý đảo dấu bất phương trình (ví dụ: hệ gốc có dấu thì hệ đối
ngẫu có dấu ).
Bước 2:
Giải hệ đối ngẫu (dual) theo thuật giải đơn hình.
Bước 3:
Xác định lời giải cho hệ gốc (primal) từ bảng đối ngẫu (dual)
đơn hình (SIMPLEX) cuối cùng ứng với thuật giải đơn hình.
(Zp = Zđ)
Bước 4:
=
(Zmin = Zmax)
Nghiệm lại hệ gốc (primal) theo các giá trị của các biến số của
nó (đã xác định ở bước 3).
6.4. VÍ DỤ ỨNG DỤNG
Cần phải tổ chức quá trình sản xuất sao cho được lãi suất cao nhất theo các
dữ liệu sau đây:
Bảng 1: Thời gian gia công 1 chiếc (h) và Quỹ thời gian máy 1 năm (h)
Thời gian gia công (h/chiếc)
Quỹ thời gian máy
Chi tiết 1
Chi tiết 2
(h/năm)
M1
30
10
3000
M2
40
30
6000
M3
10
20
2000
Máy
Lãi suất tính cho một chi tiết là:
Chi tiết 1:
Lãi suất 20 đồng/chiếc.
Chi tiết 2:
Lãi suất 10 đồng/chiếc.
Ta ứng dụng toán tối ưu để giải đáp như sau:
17
Lãi suất tổng cộng cần đạt trong sản xuất khi số lượng chi tiết 1 là X1 và số
lượng chi tiết 2 là X2, sẽ là:
(a)
20X1 + 10X2 = Z → Max (Hàm mục tiêu).
Các điều kiện giới hạn theo thực tế sản xuất (theo quỹ thời gian máy):
(b)
Máy 1:
30X1 + 10X2 3000
(c)
Máy 2:
40X1 + 30X2 6000
(d)
Máy 3:
10X1 + 20X2 2000
Điều kiện không âm của số lượng chi tiết X1, X2:
X1 0
X2 0
Mơ hình bài toán trên đây được giải bằng phương pháp đồ thị và phương
pháp đơn hình SIMPLEX:
6.4.1. PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
Ta vẽ các đường thẳng ứng với
X2
các điều kiện giới hạn b,c,d trên hệ trục
X1, X2 như sau:
+ Đường g1 ứng với điều kiện
biên (b):
30X1 + 10X2 = 3000
300
+ Đường g2 ứng với điều kiện
biên (c):
40X1 + 30X2 = 6000
+ Đường g3 ứng với điều kiện
biên (d):
200
10X1 + 20X2 = 2000
Các đường thẳng g1, g2, g3 tạo
thành 1 đa giác lồi trên hệ trục P0X1X2
100
đó là đa giác P0P1P2P3 là tập hợp các
60
điểm thoả mãn các điều kiện giới hạn
b,c,d (ở đây điều kiện giới hạn c ứng
với đường thẳng g2 là thừa). Giá trị lớn
50
Po
80
100
150
g1
Zo
Z3
X1
200
g2
Z1 Z2
Hình 5: Đồ thị P0X1X2
g3
18
nhất (Max) của hàm mục tiêu (a) được xác định trong phạm vi đa giác lồi P0P1P2P3,
đó là tập hợp các lời giải có thể chấp nhận được (gồm tất cả các điểm trong và ở
trên đường biên của đa giác P0P1P2P3).
Hàm mục tiêu (a) ứng với các thông số thay đổi X1, X2 gồm 1 tập hợp các
đường thẳng Z trên mặt phẳng P0X1X2. Nếu có 1 điểm Py nào đó tạo tiền đề cho
hàm số Z đạt giá trị Max thì điểm đó phải là giao điểm giữa phạm vi lời giải chấp
nhận được và 1 trong những đường thẳng ứng với Z mà thường là đường thẳng Z c
ứng với giá trị Z = Zc = 0.
Đường khởi suất Z0, ta phải xác định điểm ứng với Zmax trong miền nghiệm
P0P1P2P3 bằng cách dịch song song các đường thẳng Z0 về hướng tăng dần theo giá
trị dương của X1 và X2. So với giá trị gốc P0 tới điểm biên P2 của miền nghiệm
P0P1P2P3 để có đường thẳng Z2; giá trị Zmax ứng với đỉnh của đa giác nghiệm
P0P1P2P3. Quy nạp ở điểm P2. Ta chiếu điểm P2 xuống 2 trục X1, X2 sẽ được giá trị
cần tìm của X1 và X2 để có giá trị Zmax: X1 = 80 và X2 = 60, nghĩa là Zmax = 2200.
Như vậy lời giải cuối cùng của bài toán là: Đạt lãi suất lớn nhất là 2200 đồng
nếu sản xuất với sản lượng: chi tiết 1 là 80 chiếc, chi tiết 2 là 60 chiếc theo các điều
kiện đã cho ứng với điều kiện giới hạn (c - đường thẳng g2), thì quỹ đạo thời gian
của máy M2 là 6000 giờ/năm. ở quỹ đạo thời gian của M2 chưa được sử dụng hết vì
theo điều kiện giới hạn (c) ta có:
40X1 + 30X2 = 40x80 + 30x60 = 5000 h/năm.
Do đó đường thẳng g2 nằm ngồi phạm vi đa giác P0P1P2P3 còn đường thẳng
Z2 đi qua điểm biên P2 và song song với đường thẳng Z0 chính là đường thẳng Zmax,
6.4.2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH SIMPLEX
Đường lối chung của phương pháp giải tích SIMPLEX có thể được nêu như
sau:
Bước 1:
Từ hệ gồm m bất phương trình với n biến số Xi với i = 1...n. Ta
gọi đó là hệ (I) có dạng tổng quát là:
(11)
a11X1 + a12X12+ ... + a1nXn a1
...
19
am1X1 + am2X2 + ... + amnXn am
(1m)
Chuyển đổi từ hệ (I) thành hệ phương trình (khử dấu bất đẳng thức , )
bằng cách thêm vào hệ (I) m ẩn số phụ (biến giả tạo) Wk với k = 1...m, sẽ được hệ
phương trình:
(21)
a11X1 + a12X12+ ... + a1nXn + W1 = a1
...
(2m)
am1X1 + am2X2 + ... + amnXn + Wm = am
Với điều kiện không âm của các biên số:
X1 ... Xn 0
W1...W2 0
Bước 2:
Điều kiện không âm của các biến số X1...Xn và W1...Wm được
đảm bảo ở một lời giải nào đó thì lời giải ấy được chấp nhận.
Khi số biến nhiều hơn số phương trình thì người ta phải phân
Chú ý:
biệt:
Biến cơ sở.
Biến khơng cơ sở.
Nếu một lời giải được chấp nhận (thoả mãn điều kiện khơng âm của các
biến) và có các biến có giá trị 0 và các biến có giá trị dương (các biến thực và biến
giả tạo) thì lời giải đó được coi là một lời giải cơ sở của bài tốn. Các biến số có giá
trị khác 0 (X 0, W 0) được gọi là các biến cơ sở. Các biến có giá trị bằng 0 (X =
0, W = 0) được gọi là biến không cơ sở, nghĩa là:
Biến cơ sở: X hoặc W có giá trị dương khác 0.
Biến không cơ sở: X hoặc W có giá trị 0.
Số lượng các lời giải cơ sở (X, W có giá trị 0) của một bài tốn là hữu hạn,
trong đó có ít nhất một lời giải cho giá trị lớn nhất (Zmax), đó là lời giải tối ưu.
Bước 3:
n
C X
i =1
i
i
Đưa hàm mục tiêu Z vào hệ (II) dưới dạng:
−Z = 0
20
Để tính tốn lời giải tối ưu. Như vậy hệ (II) gồm có (m+1) phương trình với
(n + m + 1) biến số, trong đó n biến thực, m biến giả và Z là đại lượng thay đổi (Z là
biến cơ sở có vị trí đặc biệt trong hệ (II)). Đưa Z vào hệ (II) để tính giá trị của Z ứng
với các biến số của từng lời giải cơ sở để nhận biết giá trị tối ưu đã đạt được chưa.
Phương pháp SIMPLEX được thực hiện từ một lời giải cơ sở đầu tiên rồi xác
định từng bước (theo phép lặp lại) lời giải tối ưu. Các bước lặp là các phép chuyển
đổi hệ phương trình (II) của mơ hình tốn tối ưu tuyến tính cho trước; đó chính là
phép chuyển đổi từ đỉnh này sang đỉnh khác của đa giác lời giải (đa giác lồi xác
định miền nghiệm). Trong thực tế phương pháp lặp lại còn bao gồm cả những bước
nhảy qua các đỉnh của đa giác lời giải để hạn chế số bước lặp. Đối với hệ phương
trình phi tuyến (hàm số mũ) thì phải dùng phép lơgarit hố để có hệ tuyến tính trước
khi áp dựng phương pháp SIMPLEX.
Phép chuyển đổi SIMPLEX được minh hoạ như sau:
Ví dụ:
Phép chuyển đổi SIMPLEX được minh hoa như sau:
Hàm mục tiêu:
20X1 + 10X2 → Max
Các điều kiện giới hạn:
(11)
30X1 + 10X2 3000
(12)
40X1 + 30X2 6000
(13)
10X1 + 20X2 2000
Với
X1, X2 0.
Các bước giải theo phương pháp SIMPLEX:
+ Xác định lời giải đầu tiên:
Chuyển hệ bất phương trình (1), (11), (12), (13) thành hệ phương trình (I)
bằng cách thêm vào các biến giả tạo W để khử dấu (<)0:
(11)
30X1 + 10X2 + W1 = 3000
(12)
40X1 + 30X2 + W2 = 6000
(13)
10X1 + 20X2 + W3 = 2000
(14)
20X1 + 10X2 – Z
Với
X1, X2, W1, W2, W3, Z không âm ( 0)
=0
21
Điều kiện để hệ (I) có một lời giải cơ sở là trong 6 biến số (X1, X2, W1, W2,
W3, Z) phải có 2 biến số có giá trị bằng 0 (hai biến không cơ sở). Đối với lời giải
đầu tiên người ta thường chọn các biến số của hàm mục tiêu Z làm các biến không
cơ sở (biến số có giá trị 0): X1 = 0, X2 = 0.
(11)
W1 = 3000 - 30X1 - 10X2 = 3000
(12)
W2 = 6000 - 40X1 - 30X2 = 6000
(13)
W3 = 2000 - 10X1 - 20X2 = 2000
(14)
- Z = 20X1 + 10X2
=0
Như vậy, lời giải đầu tiên của hệ (I) là:
Các biến không cơ sở:
X1 = 0, X2 =0.
Các biến cơ sở:
W1 = 3000, W2 = 6000, W3 = 2000
Giá trị hàm mục tiêu:
Z = 0.
Đó là lời giải ứng với đường thẳng Z0 đi qua gốc toạ độ P0(0, 0), nghĩa là
chưa tiến hành sản xuất nên chưa có chi tiết và chưa có lãi.
Các bước chuyển đổi tiếp theo để tiến tới lời giải tối ưu dựa trên phép thay
thế (hoán vị) giữa các biến cơ sở với các biến không cơ sở (X i → Xk) để có các hệ
phương trình mới (II, III, IV) mà trong mỗi hệ này từng phương trình chỉ có một
biến cơ sở mới (biến có giá trị dương khác 0).
Chuyển đổi để có hệ (II):
Trước hết phải xác định biến số chuyển đổi (thay thế) theo 2 luận cứ sau:
Luận cứ 1:
Từ Hàm mục tiêu Z = 20X1 + 10X2 ta thấy Z phụ thuộc nhiều
hơn vào biến số X1 (Vì X1 có hệ số lớn hơn X2) nghĩa là X1 cần được chuyển thành
biến cơ sở mới (biến có giá trị dương khác 0).
Luận cư 2:
Xác định biến giả Wk nào có thể thay thế bằng X1 theo giá trị
qmin 0 như sau:
q=
Sè h¹ng tut dèi cđa tõng ph.tr ë hƯ I (trõ hµm sè Z)
hƯ sè cđa X 1 ë tõng pt cđa hƯ I (trõ Z)
Cụ thể:
q1 = 3000 30 = 100
22
q2 = 6000 40 = 150
q3 = 2000 10 = 200
Từ đó: qmin = q1 = 100 ứng với W1, như vậy W1 là biến không cơ sở thay cho
biến X1 và X1 sẽ là biến cơ sở mới.
Ta xây dựng hệ phương trình trung gian II trên cơ sở của hệ I như sau:
Từ hệ I ở (11), ta có:
(21)
30X1 + 10X2 + W1 = 3000 → X1 = 100 - X 2 3 - W1 30
Đưa (21) vào (12) sẽ được:
40(100 - X 2 3 - W1 30 ) + 30X2 + W2 = 6000
Đưa (21) vào (13) sẽ được:
10(100 - X 2 3 - W1 30 ) + 20X2 + W3 = 2000
Đưa (21) vào (14) sẽ được:
20(100 - X 2 3 - W1 30 ) + 10X2 – Z = 0
Rút gọn hệ trung gian trên ta thu được hệ II như sau:
X1 + X 2 3 + W1 30 = 100
50 X 2 3 - 4 W1 3 + W2 = 2000
50 X 2 3 - W1 3 + W3 = 1000
10 X 2 3 - 2 W1 3 - Z = - 2000
ở hệ (II) từng phương trình chỉ có một biến cơ sở nên ta xác định giá trị các
biến số cơ sở đó như sau:
X1 = 100 - X 2 3 - W1 30
W2 = 2000 - 50 X 2 3 + 4 W1 3
W3 = 1000 - 50 X 2 3 + W1 3
23