Hướng dẫn giải chi tiết về giới hạn dãy số của hàm số lớp 11 phần 7 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ TỔNG HỢP </b>
<b>Câu 1: Tìm các giới hạn sau:</b>

a).

n 1
lim

n


b).

n 2
lim

n 1


 _c).

2

2

n 3n 5

lim

2n 1

 



d).
2

2

3n n 5

lim

2n 1

 

 _e).

3

3

6n 2n 1

lim

2n n

 

 _f).



 







4 2

2

4n n 1

lim

2n 1 3 n n 2

 

  

.
<b>LỜI GIẢI</b>

a)

n 1 1

lim lim 1 0.

n n

  

 _  _

 

b)

2
1

n 2 _n

lim lim 1.

1

n 1 ₁

n



 

 _

(Chia cả tử và mẫu cho n)
c) Chia cả tử và mẫu cho n2được:

2 ₂ ₂ ₂

2

2 2

3n 5 3 5

1 1

n 3n 5 _n _n _n _n 1

lim lim lim .

1 1 2

2n 1 ₂ ₂

n n

   

   

   

 

    

 _ _ _ _ _ _

   

d)

2 ₂ ₂ ₂

2

2 2

n 5 1 5

3 3

3n n 5 _n _n _n _n 3

lim lim lim .

1 1 2

2n 1 ₂ ₂

n n

   

 

  

 _ _

e) Chia cả tử và mẫu cho n3được:

3 ₃ ₃ ₂ ₃

3

3 2

2n 1 2 1

6 6

6n 2n 1 _n _n _n _n 6

lim lim lim 3.

n 1 2

2n n ₂ ₂

n n

 

  _   _

 

    

 _ _ _ _

  _f)



 







4 2

2

4n n 1

L lim

2n 1 3 n n 2

 



  

Ta có

4 2

4 2 4 4

4 2 4

4n n 1 1 1

4n n 1 n n 4

n n n

 _ _  _ _

   _ _ _   _

 

  _;

2n 1
2n 1 n

n

  

   

 

1
n 2

n

 

 _  _

 _;

3 n 3

3 n n n 1

n n

    

  _ _ _  _

   _và

2

2 2 2

2 2

n 2 2

n 2 n n 1

n n

 _  _ _

  _ _ _  _

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Từ đó ta có:

4 2

2
2

4n n 1

L lim

1 3 2

n 2 n 1 n 1

n n n

 



 _   _   _ 

     

     

4

2 4 ₂ ₄

4

2 2

1 1 ₁ ₁

n 4 ₄

4

n n _n _n

lim lim 2.

2.1

1 3 1 1 3 1

n 2 1 1 2 1 1

n n n n n n

 

  _ _

 

 

   

 _  _  _   _  _  _ 

       

       

<b>Câu 2: Tìm các giới hạn sau:</b>

a).











 



2
2

2

n 2 n 1

lim

n 1 2n 3

 

 

b).
2

2

n 2 n 3

lim

2n n n

 

 

c).
3

2

2n 11n 1

lim

n 2

 

 _d).









 



2n n 1 n 3

lim

n 1 n 2

 

 

<b>LỜI GIẢI</b>

a).











 



2

2 2

2

2 ₂

2 2

2

2 1

n 1 n 1

n 2 n 1 _n _n

lim lim

n 1 2n 3 1 3

n 1 n 2

n n

 _   _ 

   

  _ _ _ _



     

 

   

   

2

2

2

2 1

1 1

n 1

n

lim .

2

1 3

1 2

n n

 _  _ 

  

  

 

  

 

  

  

b).

2

2 2

2 2

2 3

2 n 3 ₁

1

1
n
n n

n n

lim lim .

1 1 2

n n ₂

2 _n

n n

n n

 

 

 

 

 

c).

3

2 2 2 2

2

2
2 2

2n 11n 1 11 1

2n
n

n n n n

lim lim lim 2n .

2

n 2 ₁

n

n n

   

   




d).









 



2n n 1 n 3

n n n

2n n 1 n 3 _{n n} _n

lim lim

n 1 n 2 n 1 n 2

n n

n n

 _   _ 

   

   

  _ _ _ _



       

   

   

1 3

n n 2 n 1

n n n

lim

1 2

n 1 n 1

n n

   

 

   

   



   

 

   

   

1 3

2 1

2.1

n n n

lim 2.

1.1

1 2

1 1

n n

  

 

  

  

  

  

 

  

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

a).

2

9n n 1

lim

4n 2
 

 _b).

4

2

2n 3n 2

lim

2n n 3

 

 

c).

2n 2 n

lim

n
 

d).

2 2

3n 1 n 1

lim

n

  

<b>LỜI GIẢI</b>

a)

2

2
2

1 1

n 9

n n

9n n 1

lim lim

4n 2 2

n 4
n

 _{ } 

 

  _  

  _ 

 

 

2 2

1 1 1 1

n 9 9

3

n n n n

lim lim .

2 2

2 ₄

n 4

n
n

   

  

 _  _

 

 

b).

4

3 4
4

2

2

2

3 2

n 2

n n

2n 3n 2

lim lim

1 3

2n n 3

n 2

n n

 _ _ 

 

  _  

 

  _{ }

 

 

2

3 4 3 4

2

2
2

3 2 3 2

n 2 2

2

n n n n

lim lim .

1 3 2

1 3 ₂

n 2

n n

n n

   

  

 _{ }  _{ }

 

 

c).

2

n 2 n

n

2n 2 n

lim lim

n n

 _ _

 

  _  

2

n 2 n

n
lim

n
 


2

n 2 1

n
lim

n

 

 

 

 

 

 lim 2 2 1 2 1.

n

 

 _   _ 

 

d).

2 2

2 2

2 2

1 1

n 3 n 1

n n

3n 1 n 1

lim lim

n n

 _ _  _ 

   

   _    

2 2

2 2

1 1

1 1 _n ₃ ₁

n 3 n 1 _n _n

n n

lim lim

n n

 

  

 

   _ _

 

 

2 2

1 1

lim 3 1 3 1.

n n

 

 _    _ 

 

<b>Câu 4: Tìm các giới hạn sau:</b>

a).

n n

n n

3 5.4

lim

4 2



 _b).

n n

n

3 2.5

lim
7 3.5



 _c).

n n n 2

n 1 n 2 n 1

2 3 5

lim

2 3 5



  

 

  _d).

n n 1

n n

4.3 5

lim

3.2 5






</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

a).

n

n n

n n _n _n

n n n n n

n n

3

3 5.4 ₅

4

3 5.4 ₄ ₄ 5

lim lim lim 5.

1

4 2 4 2 ₂

1

4 4 ₄

 


  

 _ _   _{ }

 _ _{ }

  
 

b).

n

n n

n n _n _n

n n

n

n n

3

3 2.5 ₂

5

3 2.5 ₅ ₅ 2

lim lim lim .

7 3

7 3.5 7 3.5 ₃

5

5 5

  _

  

 _{ }

   

 _



c).

n n n 2 n n 2 n

n 1 n 2 n 1 n 2 n n

2 3 5 2 3 5 .5

lim lim

2 3 5 2.2 3 .3 5.5



  

   



   

n n

n n 2 n

n n n

n 2 n n n n

n n n

2 3

2 3 5 .5 ₂₅

5 5

5 5 5

lim lim 5.

2.2 3 .3 5.5 ₂ ₃

2. 9. 5

5 5 5 ₅ ₅

  _  _

     

   

  

   

  _{ } _ _{ } _

   

d).

n n 1 n n

n n n n

4.3 5 4.3 5.5

lim lim

3.2 5 3.2 5



 



 

n

n n

n n

n n n

n n

3

4.3 5.5 _4. ₅

5

5 5

lim lim 5.

3.2 5 ₂

3. 1

5 5 5

  _

  

 

  

 

 _{ } _

 

<b>Câu 5: Tìm các giới hạn sau:</b>

a).

 

 

n
n

n
n

2 5

lim

2.3 3. 5

 

 

b).

n

n

9 1

lim

3 1


 _c).

 

n _{5n 1}
5n 2

1 .2
lim

3






d).

2

n

n n 1

lim
n.3

 

<b>LỜI GIẢI</b>

a).

 

 

 

 

 

 

 

 

n
n

n n n

n

n n

n _n

n n

5
2

2 5 5 5

lim lim

2.3 3. 5 _2.3 3. 5

5 5




   



  



 

n

n

2
1

5 1

lim .

3
3

2. 3

5

   _

 

 

 

   _

 

 

b).

n

n n n

n n

n
n

1

9 1 ₁

9 1 3 9

lim lim lim 1.

1

3 1 3 1 ₁

3
3

 _



  

  _

c).

 

n _{5n 1}

 

n _5n

5n 2 2 5n

1 .2 1 .2.2

lim lim

3 3 .3




 



 

5n

1 .2 ₂

lim . 0.

9 3

  

 _{ } 

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

d).

2

2 ₂

n n n n 2

1

n n 1 ₁ ₁

n n 1 _n _n 1 1

L lim lim lim lim 1 1

n.3 n.3 3 3 n

n

  _ _

 

 

    _   _

 

. Có

2

1

lim 0

n  _nên n

1

lim 1 1 2

n

 

  

 

 

  _và n

1

lim 0.

3  _{Do đó}L0_.

<b> Câu 6: Tìm các giới hạn sau:</b>

a).
2

3 2

n 4n 5

lim

3n n 7

 

  _b).

2

4

2n n 2

lim

3n 5

  

 _c).

2

2

2n n

lim
1 3n



 _d).

sin 3n

lim 1

4n

 



 

 

<b>LỜI GIẢI</b>

a).

2 ₂

3 2

4 5

1

n 4n 5 _n _n 1

lim lim lim 0.

7 3n 1

3n n 7 _{3n 1}

n
 

 

  



  _{ }

b).

2 ₂

4 2

2
2

1 2

2

2n n 2 _n _n 2

lim lim lim 0.

5

3n 5 _3n 3n

n
  

   

  

 _

c).

2

2

2

1

2n n ₂

2n n _n _n 2

lim lim lim lim 0.

1 1 3n

1 3n _3n _3n

n n

 _



   



 _ _

d).

sin 3n sin 3n

lim 1 lim 1

4n 4n

 

  

 

 

Ta có: 1 sin 3n 1

1 sin 3n 1

4n 4n 4n

   

Mà:

1 1 sin 3n

lim lim 0 lim 0.

4n 4n 4n

 

    

 

  _Vậy

sin 3n

lim 1 1.

4n

 

  

 

 

<b> Câu 7: Tìm các giới hạn sau:</b>

a).

1
lim

3n 2  2n 1 _b). n n

5
lim

4 2 _c).

n n

n n

3 5.4

lim

7 2



 _d).

 

 

n _n

n 1 _{n 1}

5 4

lim

7  4 

 

 

<b>LỜI GIẢI</b>

a).

1 1

lim lim

3n 2 2n 1 2 1

n 3 n 2

n n



    _ _  _ 

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>





1 1

lim lim 0.

2 1 n 3 2

n 3 2

n n

  

  _

  

 

 

 

b).

n

n n n

1
5.

5 ₄

lim lim 0.

4 2 ₁

1
2

 

 _{ }

  _{ }

Do

n
n

1 1

lim lim 0

4
4

 

 _{ } 

  _và

n
1

lim 0

2
 


 

  _.

c).

n
n

n

n n

n n n

n
n

3

4 5

4

3 5.4

lim lim

7 2 2

7 1

7

 



 

 _ _



 





 

 

n

n

n

3
5
4
4

lim 0.

7 ₂

1
7

_{ } 

_{ }  

    

 _{  } _

  _   _

  

 _{ } 

  _Do

n
3

lim 0

4
 


 

  _,

n
2

lim 0

7
 


 

  _nên

n

n
3

5
4

lim 5

2
1

7

_{ } 

_{ }  

_{ } 



 

 

 

  

 _{ } 

  _và

n

4

lim 0

7
 


 

  _{. Nên}lim un 0_.

d).

 

 

 

 

 

 

n
n

n
n _n

n 1 _{n 1}

n
n

n

4

5 1

5

5 4

lim lim

7 4 _4.4

7 7

7

 _

 

 

 

 _ 

  _ _



 

 

 

  

 _ 

 

n

n

n

4
1

5
5

lim

7 ₄

7 4.
7

 _ _ 

  _ _ 

     

 _{  } _

  _    _

   

 _ _ 

 _{. Do}

n n

4 4

lim lim 0

5 7

   

   

   

    _nên

n

n
4
1

5 1

lim

7
4

7 4.
7

 _ _ 

 _{ }_ _ 

   _{ }

 

 

 

   

 _ _ 

  _và

n

5

lim 0

7

  _

 

  _.

Từ đó suy ra lim un 0_.

<b>Câu 8: Tìm các giới hạn sau:</b>

a).





2

lim n  n n

b).





2

lim n   n 1 n

c).





2 2

lim 4n  n 4n 2

d).





2 2

lim n_ n  1 n 2 _

 

<b>LỜI GIẢI</b>

a).





2 2

2

2

n n n

lim n n n lim

n n n

 

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

2

n n 1 1

lim lim lim .

2
1

1 1 ₁ ₁

n 1 n n 1 1

n

n n

  

   

 

 _ _ _{ } _{ }

 

  _ _

  _ _

b).





2 2

2

2

n n 1 n

lim n n 1 n lim

n n 1 n

  

   

  

2

2 2

1
n 1

n
n 1

lim lim

1 1 1 1

n 1 n n 1 1

n n n n

 



 

  

 

 

 _{ } _ _{ } _

 

  _ _

  _ _ 2

1

1 ₁

n

lim .

2

1 1

1 1

n n



 

  

c).









2 2

2 2

2 2

4n 4n 2

lim 4n n 4n 2 lim

4n n 4n 2

 

   

  

2 2

2
2

n 2 n 2

lim lim

1 2

1 2 _{n 4} _{n 4}

n 4 n 4

n n

n n

 

 

 _ _  _  _{ } _

   

   

2
2

2 ₂

n 1 ₁

n _n 1

lim lim .

4

1 2

1 2 ₄ ₄

n 4 4

n n

n n

 _ 



 

 

  

 

  

  

 

 

 

d).







2







2 2

2 2

n n 1 n 2

lim n n 1 n 2 lim

n 1 n 2

 _{ } _ 

 

 _{ } _ _

 

  _{ } _

2 2

2 2 2 2

n n

lim lim

1 2 1 2

n 1 n 1 n 1 1

n n n n

 

 

 

 _ _  _  _ _ _

 

    _ _

    _ _

2 2

1 1 1

lim lim .

1 1 2

1 2

1 1

n n

 

   



  

<b>Câu 9: Tìm các giới hạn sau:</b>

a).





2

lim n 2n n 3 

b).





2

lim 4n 3n 1 2n 1  

c).





2 4

lim 1 n  n 3n 1

d). lim n



n 1 n



 _{ } 

 

 _.

<b>LỜI GIẢI</b>

a).









2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

2 2

2

2

n 2n n 2n

lim 3 lim 3

2

n 2n n

n 1 n

n

 

   

 

  _ _

 

 

2n 2

lim 3 lim 3

2

2 ₁ ₁

n 1 1

n
n

   

 

 
 

 

 

  _{1 1}2  3 4.

b).









2 2

lim 4n 3n 1 2n 1   lim 4n 3n 1 2n  1

2 2

2

2

2

4n 3n 1 4n 3n 1

lim 1 lim 1

3 1

4n 3n 1 2n

n 4 2n

n n

   

   

 

   _{ } _

 

   _{2 2}3_  1 7₄.

c).









2 4 2 4

lim 1 n  n 3n 1  1 lim n  n 3n 1





4 4

2 4

2 4

3 4

n n 3n 1 _{3n 1}

1 lim 1 lim

3 1

n n 3n 1

n n 1

n n

   _ _

   

 

   _ _ _

 

 

2

2 4

1

n 3

n 3

1 lim 1 lim 1 0 1.

n

3 1

n 1 1

n n

_{ } 

  _

 

      

 

  

 

 

 

d).









n n 1 n

lim n n 1 n lim

n 1 n

 

 _{ } _

 

  _{ }

n n n

lim lim lim .

2

1 1

n 1 n n 1 1

n n

    

 

 

     

  _ _

  _ _

<b>Câu 10: Tìm các giới hạn sau:</b>

a).





3 3

lim n 2  n

b).





3 3

lim n n  n 2

c).





3 3

lim 2n n  n 1

d).





3 3 2

lim n 2n  n 1

<b>LỜI GIẢI</b>

a).









 

3 3

2 2

3 3 3 3

n 2 n

lim n 2 n lim

n 2 n 2. n n

 

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

 

2

2

3 3

3 3

2
lim

2 2

n 1 n 1 . n n

n n



 _ _ _ _

 _  _  _  _ 

 _ _ _ _

 

 

2 2

3 ₃ ₃

2
lim

2 2

n 1 1 1

n n



_ _ 

_ _ _ _ _{ } 

 

_ _ 

 

 

2
3

2

lim 0.

3 n

 

b).









3 3 3 3

lim n n  n 2 lim n n n 2





3 3

2

3 3 3 3 2

n n n

lim 2

n n n n .n n

 

 

   

2

3 3 2

3 3

2 2

n

lim 2

1 1

n 1 n 1 .n n

n n

 

 _ _ _ _

 _  _  _  _ 

 _ _ _ _

 

2

2 ₃ ₃

2 2

n

lim 2

2 1

n 1 1 1

n n

 

_ _ 

_ _ _ _ _{ } 

 

_ _ 

 

1

lim 2 0 2 2.

3n

    

c).









3 3 3 3

lim 2n n   n 1 lim 2n n n 1





3 3

2

3 3 3 3 2

2n n n

lim 1

2n n 2n n .n n

 

 

   

3

3 3 2

3 3

2 2

2n

lim 1

2 2

n 1 n 1 .n n

n n

 

 _ _ _ _

 _  _  _  _ 

 _ _ _ _

 

2

2 ₃ ₃

2 2

2n

lim 1

2 2

n 1 1 1

n n

 

_ _ 

_ _ _ _ _{ } 

 

_ _ 

 

2

lim 1 0 1 1.

3n

     

d)









3 3 2 3 3 2

lim n 2n   n 1 lim n 2n n 1





3 2 3

2

3 3 3 3 2

n 2n n

lim 1

n 2n n 2n.n n

 

 

   

2

2

3 3 2

3

2 2

2n

lim 1

2 2

n 1 n 1 .n n

n n



 

 _ _ _ _

 _  _  _  _ 

 _ _ _ _

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

2

2

2 ₃ ₃

2 2

2n

lim 1

2 2

n 1 1 1

n n



 

_ _ 

_ _ _ _ _ _ 

 

_ _ 

 

2

3 3

2 2

2 2 1

lim 1 1 .

3 3

2 2

1 1 13

n n



     

 

   

 

 

 

<b>Câu 11: Tìm các giới hạn sau:</b>

a).





3 3 2

lim 8n 3n   2 5 2n

b)





3 3 2 3 2 3

lim 8n 3n  2 5n 8n

c)



3 3



lim n._ n  n n _

 _d).lim38n32n2  1 3 2n

<b>LỜI GIẢI</b>

a).





3 3 2

lim 8n 3n   2 5 2n __lim



3_8n3__3n2_{ }_{2 2n}



_₅





3 2 3

2

3 3 2 3 3 2 2

8n 3n 2 8n

lim 5

8n 3n 2 8n 3n 2.2n 4n

  

 

     

2

2

3 3 2

3

3 3

3n 2

lim 5

3 2 3 2

n 8 n 8 .2n 4n

n n n n



 

 _ _ _ _

 _   _  _   _ 

 _ _ _ _

 

2
2

2

2 ₃ ₃

3 3

2

n 3

n

lim 5

3 2 3 2

n 8 8 .2 4

n n n n

 _ 

 

 

 

_ _ 

_ _{ } _ _ _{ } _ 

 

_ _ 

 

2

3 3

2 3

2
3

n

lim 5

3 2 3 2

8 8 .2 4

n n n n



 

 

     

 

 

  _{4 4 4} 3    5 1₄ 5 21₄.

b).





3 3 2 3 2 3

lim 8n 3n  2 5n 8n









3 2 2 3

2 2

3 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3

8n 3n 2 5n 8n

lim

8n 3n 2 8n 3n 2. 5n 8n 5n 8n

   



</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

=

2

2 2

3 3 3 3

3 3 5 3

3 3

8n 2

lim

3 2 3 2 5 5

n 8 n 8 n 8 n 8

n n n n n n



 _ _ _ _ _ _  _ _

 _   _  _   _ _  _ _  _

 _ _ _ _ _ _  _ _

   

2
2

2 3

2 ₃ ₃ ₃ ₃

2 3

2

n 8

n

lim

3 2 3 2 5 5

n 8 8 . 8 8

n n n n n n

 _ 

 

 



_ _ _ _ 

_ _{ } _ _ _{ } _{ }_ _ _ 

   

_ _ _ _ 

 

2

2 3

3 3

3 3

2 3

2
8

8 2

n

lim .

4 4 4 3

3 2 3 2 5 5

8 8 . 8 8

n n n n n n



  

 

   

       

   

   

   

c)





3 3

lim n._ n  n n _

 









3 3

2

3 3 3 3 2

n n n n

lim

n n n n.n n

 


   

2

2

3 3 2

3 3

2 2

n
lim

2 1

n 1 n 1 .n n

n n



 _ _ _ _

 _  _  _  _ 

 _ _ _ _

 

2

2

2 ₃ ₃

2 2

n
lim

2 1

n 1 1 1

n n



_ _ 

_ _ _ _ _ _ 

 

_ _ 

 

2

3 3

2 2

1 1

lim .

3

2 1

1 1 1

n n

 

 

   

 

 

 

d). Hoàn toàn tương tự câu a).
<b>Câu 12: Tìm các giới hạn sau:</b>

a).

1
lim

n 2  n 1 _b). 2 2
1
lim

3n 2n 3n 1

c).





3 3

lim n 1 n

d)





3 3 2

lim 8n 3n  4 2n 1

<b>LỜI GIẢI</b>

a).





1 n 2 n 1

lim lim

n 2 n 1

n 2 n 1

  



  

  

2 1 1 1

lim n 1 n 1 lim n 1 1

n n n n

 _ _ _ _  

 

 _ _  _ _  __ _    _

    _ _

 

 

lim 2 n .

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

b).



 



2 2

2 2

2 2

1 3n 2n 3n 1

lim lim

3n 2 3n 1

3n 2n 3n 1

  



  

  

2 2

2
2

2 1

2 1 _n ₃ ₃

n 3 n 3

n n

n n

lim lim

2n 1 1

n 2
n

 

 _ _  _  _ _{ } _ _

     

     

 

  _ 

 

 

2

2 1

3 3

3 3 2 3

n n

lim 3.

2 2 2

2
n

  



   



c).





3 3

lim n 1 n





3 3

2

3 3

2 3 3

n 1 n

lim

n n 1 n 1 n

 



   

2

2 3 3

3 3

3 3

1
lim

1 1

n n n 1 n 1

n n



 

  _  _

 _  _ _  _

 

  _  _

2
2

2 ₃ ₃

3 3

1 1

lim lim 0.

3n

1 1

n 1 1 1

n n

  

 _ _ 

 _ _{ }_ _ _ 

 

 _ _ 

 

d).





3 3 2

lim 8n 3n  4 2n 1 __lim



3_8n3__3n2_{ }_{4 2n}



_₁





3 2 3

2

3 3 2 3 3 2 2

8n 3n 4 8n

lim 1

8n 3n 4 8n 3n 4.2n 4n

  

 

     

2
2

2 ₃ 2 ₃ 2

3 3

3n 4

lim 1

3 4 3 4

n 8 2n . 8 4n

n n n n



 

 

     

 

 

 

2
2
2

2 ₃ 2₃ 2

3 3

4

n 3

n

lim 1

3 4 3 4

n 8 2n . 8 4n

n _n n _n

 



 

 

 

 

     

 

 

 

2
2

3 3

3 3

4
3

1 5

n

lim 1 1

4 4

3 4 3 4

8 2. 8 4

n n n n



    

 

     

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>Câu 13*: Tìm các giới hạn sau:</b>

a)

2

2

4n 1 2n

lim

n 4n 1 n

 

   _b)

2

3 3

4n 1 2n

lim

n 4n 1 n

 

  

c)



3 3



2

n 4 n n

lim

4n 1 2n

 

  _d)

3

2 6

4 2

n 1 n

lim

n 1 n

 

 

<b>LỜI GIẢI</b>

a)

2

2

4n 1 2n

lim

n 4n 1 n

 

  

Ta có:

2 2

2

2 2

4n 1 4n 1

4n 1 2n

4n 1 2n 4n 1 2n

 

   

   

Ta có:

2 2

2 2

2

1 n 4n 1 n n 4n 1 n

4n 1

n 4n 1 n

n 4n 1 n

     

 



  

  

Vậy









_

_

2

2
2

2

2
2

4 1

n 1 n

n n

n 4n 1 n

lim lim

1

4n 1 2n 2n 1

n 4 2n 2n 1

n

 

  

 

   _  

 _ _ 

   _ _ _ _ _

 

 _ _ 

 

2 ₂

2 2

4 1 ₄ ₁

n 1 1 ₁ ₁

n n _n _n

lim lim

1 1 1 1

n 4 2 n 2 n 4 2 2

n n

n n

 

  

  _{ } _

 

 

 

  _ _  _ _

     

  _ _  _ _

  _ _  _ _

   



2



1

lim lim 0.

4n
n 2 2 2

  



b).

2

3 3

4n 1 2n

lim

n 4n 1 n

 

  

















2

3 3

2 2 3 3 2

2 3 3

4n 1 4n n 4n 1 n n 4n 1 n

lim

4n 1 2n n 4n 1 n

 

  _       _

 



    





2

3 3 2

3

2 3 2 3

2
2

4 1 4 1

n 1 n n 1 n

n n n n

lim

1

n 4 2n 4n 1

n

 _ _ _ _

 _   _  _   _

 _ _ _ _

 



 _ _ 

 _  _  

 _ _ 

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

2
2 ₃

2 3 2 3

2

4 1 4 1

n 1 1 1

n n n n

lim

1 1

n 4 2 n 4

n
n

_ _ 

_ _ _ _ _ _ _ _ 

 

_ _ 

 



 _{ } _

  

 _{ } _

 _{ } _

 

2
3

2 3 2 3

2

4 1 4 1

1 1 1

n n n n

lim

1 1

4 2 4

n
n

 

     

 

 

 



 _{ } _

  

 _{ } _

 _{ } _

 





1 1 1 3

lim .

16
2 2 4

 

 



c).



3 3



2

n 4 n n

lim

4n 1 2n

 

 









3 3 ₂

2 2 2

3 3 3 3 2

n 4 n n _4n _{1 2n}

lim .

4n 1 4n

4 n n 4 n n

  _{ }



 

   

2
2

2

3 3 2

3 3

3 3

1

4n n 1 2n

n
lim

4 4

n 1 n n 1 n

n n

 _ _ 

 

 _ _ 

 

 

 



 _ _ _ _

 _  _  _  _

 _ _ _ _

 

2

2

2

2 ₃ ₃

3 3

1

4n 4 2

n
lim

4 4

n 1 1 1

n n

 

 

 

 

 



_ _ 

_ _ _ _ _{ } 

 

_ _ 

 





2

2

3 3

3 3

1

4 4 2

n 4 2 2 ₁₆

lim .

1 1 1 3

4 4

1 1 1

n n

 

 

 

  _

 

  

 

 

   

 

 

 

d).

3

2 6

4 2

n 1 n

lim

n 1 n

 

 

6 6 4 2

4 4

3

4 2 6

n 1 n n 1 n

lim .

n 1 n

n n . 1 n

   



 

 





4 2

2

3 3

4 2 6 6

n 1 n

lim

n n 1 n 1 n

 


   





4 2

4

2

3 3

4 2 6 6

1

n 1 n

n
lim

n n 1 n 1 n

 _ _

 

 



   

2

4

2

4 ₃ ₃

6 6

1

n 1 1

n
lim

1 1

n 1 1 1

n n

 

 

 

 

 



 _ _ 

 _ _{ }_ _ _ 

 

 _ _ 

  2

2

lim 0.

3n

 

<b>Câu 14: Tìm các giới hạn sau:</b>

a). 2

1 2 3 ... n
lim

3n 1

   

 _b).





2

1 3 5 7 ... 2n 1

lim

n 3n 1

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

c).





2

2 5 8 ... 3n 1

lim

4n 1

    

 _d).

2 3 n

2 3 n

1 2 2 2 ... 2

lim

1 3 3 3 ... 3

    

    

e).

1 1 1

lim

1 2 2 1 2 3 3 2 n n 1 (n 1) n

 

   

 

    

 

 

<b>LỜI GIẢI</b>

a). 2

 

1 2 3 ... n

lim 1

3n 1

   

 _{. Ta có:}





n n 1
1 2 3 ... n

2

    

(đã chứng minh bằng
phương pháp quy nạp ở chương III).

Vậy

 





2

2
2

2

2 2

1

n n 1 _n ₁ 1

1

n 1

2 n

1 lim lim lim .

6

1 1

3n 1

n 3 2 3

n n

 

 _



 

 

   

   

 _ _

   

   

b).



_{  }

2

1 3 5 7 ... 2n 1

lim 1

n 3n 1

     

 

Ta có:





2

1 3 5 7 ... 2n 1     n

(đã chứng minh bằng phương pháp quy nạp ở
chương III).

Vậy

 

2

2

2

n 1

1 lim lim 1.

3 1

n 3n 1 ₁

n n

  

  _{ }

c)



_{  }

2

2 5 8 ... 3n 1

lim 1

4n 1

    



Ta có dãy số: 2; 5; 8;...; 3n 1







là một cấp số cộng với u12, u2 5  d 3_{. Số}
hạng tổng quát:umu1



m 1 d



3n 1 2  



m 1 .3



3n 1 3m 1 n m

      _{cấp số cộng có n số hạng.}













1
n

n 2u n 1 d n 4 n 1 3 n 3n 1

S

2 2 2

        

   

  

 





2

2

n 3n 1 ₁

3 ₃

2 n

1 lim lim .

8
1

4n 1

2 4
n




  

 

 _

 

 

d)

 

2 3 n

2 3 n

1 2 2 2 ... 2

lim 1

1 3 3 3 ... 3

    

    

Ta có:1, 2, 2 , 2 ,..., 22 3 n là một dãy số thuộc cấp số nhân, vớiu1 1, q2.
Số hạng tổng quát:

n m 1 n m 1

m 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Vậy cấp số nhân này có



n 1



số hạng

m n 1

n 1

m 1

1 q 1 2

S u . 2 1

1 q 1 2





 

   

 

Tương tự ta tính được:

n 1

2 3 n 3 1

1 3 3 3 ... 3 .

2

 _

     

 

n 1 1
n 1
n 1

n 1

n 1

2
3
3

2 1

1 lim lim 2 2.0 0.

1

3 1 ₁

3
2









  _

 

  

   

 _

e).

1 1 1

L lim

1 2 2 1 2 3 3 2 n n 1 (n 1) n

 

      

    

 

 

Ta có:





1 1 n 1 n 1 1

n n 1 (n 1) n n n 1 n n 1 n n 1 n n 1

 

   

       

Vậy:

1 1 1

1 2 2 1 2 3 3 2 n n 1 (n 1) n

   

    

1 1 1 1 1 1 1

1

1 2 2 3 n n 1 n 1

         

 

Vậy

1

L lim 1 1

n 1

 

 _  _



 

<b>Câu 15: Tìm các giới hạn sau:</b>

a).

n

n

1 1 1

1 ...

2 4 2

lim

1 1 1

1 ...

3 9 3

   
   

b)





2 4

1 4 7 ... 3n 1

lim

2n n 2n 1

    

   _c)



 



1 1 1

lim ...

1.3 3.5 2n 1 2n 1

 

  

 

 

 

 _d)





1 1 1

lim ...

1.3 2.4 n n 2

 

  

 



 

 

<b>LỜI GIẢI</b>

a).

 

n

n

1 1 1

1 ...

2 4 2

lim 1

1 1 1

1 ...

3 9 3

   
   

Ta tính tổng: n

1 1 1

1 ...

2 4 2

   

. Ta có:

2

1 2

1

u

1 1

u 1, u q .

2 u 2

    

Số hạng tổng quát:

m 1

m n 1

1

u u .q

2



</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

m 1 n m 1

n

1 1 1 1

n m 1 m n 1.

2 2 2

2

 

     

 _{ } _{ } _{ }      

     

m 1

n 1
m

m 1

1
1

q 1 2 1

S u . 1 .2

1

q 1 2

1
2





 


  _ _

   _   _

   _{  }

 

 _ _ _{ } _

Tương tự tổng:

n 1

n

1 1 1 3 1

1 ... 1

3 5 3 2 3



 _{ } 

 

     _{  }

 _{ } 

 

Vậy

 

n 1

n 1

1

1 .2

2 4

2

1 lim .

3 3

1 3

1 .

2
2
3





 _ 

 

 

  

 _ 

 

 

b)





2 4

1 4 7 ... 3n 1

lim

2n n 2n 1

    

  

Ta tính tổng: 1 4 7 ... 3n 1  







. Ta có: u1 1, u2   4 d u2u13
Số hạng tổng quát:um3n 1 u  1



m 1 d







3n 1 1 m 1 3

     __{3n 1 3m 2}_{ } _{ }_m_{ }_{n 1}







 

 



m

n 1 3n 2

m n 1

S 2m m 1 d 2 3n

2 2 2

 



 

 _   _  

Vậy:



 



2

2 4

2

3 4

1 2

n 1 3n 2 _n ₁ ₃

n n

2

lim lim

2 1

2n n 2n 1

n 4 2 1

n n

  

  _ _

  

  



 

   _ _ _

 

 

 

3 4

1 2

1 3

n n 3 1

lim .

6 2

2 1

4 2 1

n n

 _  _ 

  

  

  

  

c).



 



1 1 1

lim ...

1.3 3.5 2n 1 2n 1

 

  

 

 

 

 



 



1 2 2 2

lim ...

2 1.3 3.5 2n 1 2n 1

 

     

 

 

 



 





 



2n 1 2n 1

1 3 1 5 3

lim ...

2 1.3 3.5 2n 1 2n 1

      

     

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

1 1 1 1 1 1

lim 1 ...

2 3 3 5 2n 1 2n 1

 

 _       _

 

 

1 1 1

lim 1 .

2 2n 1 2

 

 _  _



 

d).





1 1 1

lim ...

1.3 2.4 n n 2

 

  

 



 

 





1 2 2 2

lim ...

2 1.3 2.4 n n 2

 

     



 

 





1 3 1 4 2 n 2 n

lim ...

2 1.3 2.4 n n 2

 _ _ _{ } 

     



 

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1

lim 1 ... lim 1 .

2 3 2 4 n n 2 2 n 2 2

   

 _       _ _  _

 

   

<b>Câu 16: Tìm các giới hạn sau:</b>

a).





2

lim 3n 5  9n 1

b).





3

2 3 2

lim n   n 1 n n

c).



3 3 2 2



lim 8n n  4n  n 5

d).



 





 



4 4

4 4

n 1 n 1

lim

n 1 n 1

  

  

e).



 





 



4 4

4 4

2n 1 n 1

lim

2n 1 n 1

  

  

f).





2

2

3 6

n 1 n

lim

n 1

 


<b>LỜI GIẢI</b>

a).





2

lim 3n 5  9n 1 __{lim 3n}



_ _9n2_{ }₁



₅





2 2

2

9n 9n 1

lim 5

3n 9n 1

 

 

  2

1

lim 5

1
3n n 9

n


 

 

1

lim 5 0 5 5.

6n


     

b).





3

2 3 2

lim n   n 1 n n



2 3 3 2



lim n n 1 n n n n

      



2

 

3 3 2



lim n n 1 n lim n n n

      









3 3 2

2 2

2

2 ₂ ₃ ₃ ₂ ₃ ₃ ₂

n n n

n n 1 n

lim lim

n n 1 n _n _{n n} _n _n _n

 

  

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

2

2

2 ₂ ₃ ₃

3 3

2

n 1 n

lim lim

1 1 ₁ ₁

n 1 n _n _{n n} ₁ _n ₁

n n _n _n

 

 

 _{ } _ _ _  _ _

   _  _ _  _

 

  _ _ _ _ __

2

2

2 ₂

3 3

2

1
n 1

n n

lim lim

1 1 ₁ ₁

n 1 1 _{n 1} ₁ ₁

n n _n _n

 _ 

  _

 

 

   _ _ 

  

   _ _{ }_ _ _ 

  _ _ _ _

  _ _

 

2

3 3

2

1

1 ₁

n

lim lim

1 1 ₁ ₁

1 1 ₁ ₁ ₁

n n _n _n

 _

 

 

   _ _{ }_ _ _

 

 

1 1 1

.

2 3 6

  

c).





3 3 2 2

lim 8n n  4n  n 5



3 3 2 2



lim 8n n 2n 2n 4n n 5

      



3 3 2

 

2



lim 8n n 2n lim 2n 4n n 5

      

_Tính









3 2 3

3 3 2

2

3 3 2 3 3 2 2

8n n 8n

lim 8n n 2n lim

8n n 8n n .2n 4n

 

  

   

2

2

3 3 2

3 3

n
lim

1 1

n 8 n 8 .2n 4n

n n



 _ _ _ _

 _  _  _  _ 

 _ _ _ _

 

2

2

2 ₃ ₃

n
lim

1 1

n 8 8 .2 4

n n



_ _ 

_ _ _ _ _ _ 

 

_ _ 

 

2

3 3

1 1

lim .

12

1 1

8 8 .2 4

n n

 

 

   

 

 

 

_Tính





2

lim 2n 4n  n 5





2 2

2

2

2

4n 4n n 5 _{n 5}

lim lim

1 5

2n 4n n 5

2n n 4

n n

   _

 

 

   _ _{ }

 

 

2
2

5 ₅

n 1 ₁

n _n 1

lim lim .

4

1 5

1 5 ₂ ₄

n 2 4

n n

n n

 

 _

 

 

  

 

  

  

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Vậy giới hạn cần tìm là:

1 1 4 1

.
12 4 123

d).



 





 



4 4

4 4

n 1 n 1

lim

n 1 n 1

  

  



 





 





 



2 2 2 2

4 4

n 1 n 1 . n 1 n 1

lim

n 1 n 1

 _ _ _   _ _ _ 

   

   



  



 

 

 

 

 





 



2 2

4 4

n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1

lim

n 1 n 1

 

            

     



  

2 2

2 2

4 4

4 4

1 1

4n n 1 n 1

n n

lim

1 1

n 1 n 1

n n

 _ _ _ _ 

  

 _ _ _ _ 

     

 



 _  _  _ 

   

   

2 2

3

4
4

4

1 1

4n 1 1

n n ₈

lim lim 0.

2n

1 1

n 1 1

n
n

_ _ _ _ 

  

_ _ _ _ 

    

 

  

_ _{ } _ 

  

_ _{ } _ 

    

 

e).



 





 



4 4

4 4

2n 1 n 1

lim

2n 1 n 1

  

  

4

4 4

4 4

4 4

1 1

n 2 n 1

n n

lim

1 1

n 2 n 1

n n

 _ _  _ 

   

   



 _  _  _ 

   

   

4 4

4 4

4 4 4 4

1 1

2 1

n n 2 1 15

lim .

17

2 1

1 1

2 1

n n

 _  _ _ 

    _

   

  



 _  _ _ 

   

   

f).





2

2

3 6

n 1 n

lim

n 1

 


2 2

2

2 2

2

6 ₃

3 ₆

6

1 1

n 1 n n 1 1

n n

lim lim

1

1 _n ₁

n 1

n
n

   

   

   

   

   

 

 _  _

 

 





2

2
2

3
6

1

1 1

n 1 1

lim 4.

1
1

1
n

 

 

 

  _

 

  



<b>Câu 17: Tìm các giới hạn sau:</b>

a).





3

lim 2n 3n 5

b). lim 2n45n37n c). lim 1 2n n3   3

d). lim 3n cos n







e).

2 3

2

lim n 3 sin n 5

3

 

 

 

 _f).lim 2n cos n



2 24n3



</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

a). Ta có





3

3 3 3

3 2 3

2n 3n 5 3 5

L lim 2n 3n 5 lim n lim n 2

n n n

_ _ _  _ _

     _ _ _   _

 

  _.

Do 2

3

lim 0

n  _và 3

5

lim 0

n  _nên 2 3

3 5

lim 2 2

n n

 

    

 

  _{(1), ngoài ra}_{lim n  }3

(2). Từ (1) và (2) có L  .

b). Ta có

4 3

4 3 4 2

4 3

2n 5n 7n 5 7

L lim 2n 5n 7n lim n limn 2

n

n n

 _ _ 

    _ _  

  

Do

5

lim 0

n _, 3

7

lim 0

n  _nên 3

5 7

lim 2 2

n n

  

(1) và lim n  2 (2). Từ (1) và
(2) suy ra L  .

c). Ta có

3

3 3 ₃ 3 ₃

3 3 2

1 2n n 1 2

L lim 1 2n n lim n lim n. 1

n n n

 _ _ 

    _ _  

  _{. Ta có}

3
1

lim 0

n  _, 2

2

lim 0

n  _nên

3

3 2

1 2

lim 1 1

n n

 

   

 

 

  _{(1) và}lim n  _{(2). Từ}(1)

và (2) suy ra L  .

d).





3n cos n cos n

L lim 3n cos n lim n lim n 3

n n

      

   _ _ __ _ _  __

   

   _.

Có cosn 1 nên

cos n 1 1

n  n  n_mà

1

lim 0

n _nên

cos n

lim 0

n  _{(1) và}
lim n  _{(2). Từ (1) va (2) suy ra}L  _.

e).

2 3

3

2 2

2 2 2

2

n 3 sin n 5 ₂ _{sin n} ₅

3

L limn limn 3.

3

n n n

 

 

   

   _   _

  _ _

 

  _{. Có} 2

5

lim 0

n  _{, có}

3

2 2

sin n 1

n  n

mà 2

1

lim 0

n  _nên

3
2
sin n

lim 0

n  _{, do đó}

3

2 2

2 sin n 5 2

lim 3.

3 n n 3

 

  

 

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

f).





2 2 3 2

2 2 3 3 3

3

2n cos n 4n cos n

L lim 2n cos n 4n limn limn 2. 4

n
n

 _   

   _ _ _  _

   _{. Ta}

có

2

cos n 1 1

n  n n

mà

2

1 cos n

lim 0 lim 0

n  n  _{do đó}

2
cos n

lim 2. 4 4

n

 

  

 

 

 

(1), ngoài ra limn  3 (2). Từ (1) và (2) có L  .
<b>Câu 18: Tìm các giới hạn sau:</b>

a).

5 4

3 2

n n 3n 2

lim

4n 6n 9

  

  _b).

3

2n 3n 2

lim

4n 5

  

 _c).

3_n6 _7n3 _{5n 8}
lim

n 2

  

 

d).

2
3 2

n 2n 1

lim

n 2n



 _e).lim n2  n 1 n 3 _f).lim 2



n 3 3n 2



_.

<b>LỜI GIẢI.</b>

a).

5 4

5 4 ₅ ₂ ₅

3 2 3 2

3 5

5

n n 3n 2 1 3 2

1

n n 3n 2 n n n n

L lim lim lim n.

6 9

4n 6n 9 4n 6n 9 ₄

n n

n

 

   _{ } _

 

   _ _

  

 

    _ _

 

 

Ta có

2 5

3 5

1 3 2

1

1

n n n

lim

6 9 4

4

n n

 

  

 

  

 _ _ 

 

  _vàlim n  _{. Do đó}L  _.

b). Tương tự câu a).

c).

6 3

6
3

3 6 3 6

n 7n 5n 8

n .

n 7n 5n 8 n

L lim lim

n 2 n 2

  

  

 

 

3 3

3 5 6

7 5 8

n . 1

n n n

lim

n 2

  





3

3 5 6

2

7 5 8

1

n n n

lim n .

2
1

n

 

  

 

 

 _ _



 

 

 _.

Ta có

3

3 5 6

7 5 8

1

n n n

lim 1

2
1

n

 

  

 

 _{ }

 



 

 

  _và_{limn  }2

, từ đó suy ra L  .

d).

2
3 2

n 2n 1

L lim

n 2n




</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

3
3

2 2

2

2 2 2

3 2

2 ₃ ₂

2 3 3

3 ₂ ₂

2

1 1 1

n . 2 n . 2 2

n n n

lim lim lim n .

2 2

n 2n _{n . 1} ₁

n

n n

n

 

 

      

  __ _ _

   _  _

 

 _  _ _ _ _

 

   

  _.

Do

2

3
2
1
2

n

lim 2

2
1

n

 



 

 _{ }

 

  

 

  _và

2
3 2

lim n   

  _nênL  _.

e).

2

Llim_ n   n 1 n 3 _

2 ₂

2

2 2

2
1

n 2 _n

lim lim n.

1 1 1 3

n n 1 n 3 ₁

n _n n _n

 

  

 _ _

  _ _

    _ _{ } _ _ _

 

 

Do

2

2 2

2
1

n

lim 1

1 1 1 3

1

n _n n _n





   

và lim n   nên L  .

f).





_n n

n 3 n 2 n 3 n 2 1

L lim 2 3 lim 8.2 lim 3 8.

9 3 9

    _   _

   _  _ _    _

 

  _ __{. Do}

n
2

lim 0

3
 


 

 

nên

n

2 1 1

lim 8.

3 9 9

 _{ } 

 _{ }   

 _{ } 

  _{ngoài ra}_{lim 3  }n

</div>

<!--links-->