Ứng dụng phương pháp sai phân hữu hạn cho bài toán hóa rắn trong làm nước đá

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN ĐẠI PHÚ

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CHO
BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

CHUN NGÀNH:
MÃ SỐ:

KỸ THUẬT NHIỆT
60520115

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 7 năm 2017


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG -HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Minh Phú

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS. Lê Minh Nhựt

Cán bộ chấm nhận xét 2: TS. Nguyễn Văn Tuyên

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp. HCM
ngày 18 tháng 07 năm 2017
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ)

1. GS. TS Lê Chí Hiệp
2. TS. Hà Anh Tùng
3. TS. Nguyễn Thế Bảo
4. TS. Nguyễn Văn Tuyên
5. TS. Lê Minh Nhựt
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên
ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA CƠ KHÍ


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên:

NGUYỄN ĐẠI PHÚ

MSHV:

7140920

Ngày, tháng, năm sinh:

20/02/1988

Nơi sinh:

Tp. HCM

Chuyên ngành:

KỸ THUẬT NHIỆT

Mã số :

6052115

I. TÊN ĐỀ TÀI:
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CHO
BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
Tìm hiểu lý thuyết phương pháp sai phân hữu hạn.
Ứng dụng PP SPHH vào bài tốn hóa rắn trong làm nước đá.
 Xây dựng mơ hình tốn học.
 Phân tích sai phân các phương trình đạo hàm riêng.
 Viết code chương trình tính tốn bằng phần mềm Matlab.
 Đánh giá kết quả đạt được.
Rút ra các kết luận và kiến nghị.
III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ :

06/02/2017

IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ:

18/06/2017

V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:

TS NGUYỄN MINH PHÚ
Tp. HCM, ngày . . . . tháng .. . . năm 2017

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

TS NGUYỄN MINH PHÚ

CHỦ NHIỆM BỘ MƠN ĐÀO TẠO

GS.TS LÊ CHÍ HIỆP

TRƯỞNG KHOA CƠ KHÍ


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

LỜI CÁM ƠN
Để hoàn thành được luận văn này, học viên xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc:
 Đến Thầy hướng dẫn – TS Nguyễn Minh Phú – đã dành nhiều thời gian quý báu
tận tình hướng dẫn, sửa chữa và giúp học viên hoàn thành các nội dung nghiên cứu
trong luận văn.
 Đến tập thể lớp cao học ngành Kỹ Thuật Nhiệt khóa 2014 đã hỗ trợ và động viên
tinh thần giúp học viên hồn thành luận văn.
 Đến q Thầy Cơ trong Bộ môn Công Nghệ Nhiệt Lạnh – Trường ĐH Bách Khoa
– ĐHQG Tp.HCM đã giúp đỡ, động viên trong suốt thời gian học viên thực hiện
luận văn.

 Đến gia đình và bạn bè, những người luôn bên cạnh, đồng hành, giúp đỡ, động
viên học viên trong thời gian qua.
Một lần nữa học viên xin chân thành cám ơn!
HỌC VIÊN

HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

1


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

TÓM TẮT LUẬN VĂN
Nội dung của Luận văn tập trung vào mục đích ứng dụng phương pháp số (CFD:
Computational Fluid Dynamics), cụ thể là phương pháp Sai Phân Hữu Hạn vào bài toán
kỹ thuật đặc thù trong ngành nhiệt.
Phương pháp sai phân hữu hạn chỉ là một công cụ toán học đơn lẻ với rất nhiều
phạm trù cần phải tìm hiểu trong đó. Học viên khơng có đủ kiến thức và thời gian để
nghiên cứu toàn diện nên học viên lựa chọn thực hiện luận văn dựa theo bài báo khoa học
"Effect of tube diameter on the specific energy consumption of the ice making process"
của tác giả Tangthieng (tài liệu tham khảo [1]).
Trong bài báo, Tangthieng đặt ra vấn đề là dùng phương pháp số để tính tốn, mơ
phỏng q trình hình thành bề dày lớp đá khi làm đá viên tinh khiết. Và Ơng dùng các
cơng cụ toán học như sau:
‒ Dùng phương pháp sai phân hữu hạn để phân tích các phương trình vi phân
của q trình truyền nhiệt. Cụ thể là dùng sai phân trung tâm để phân tích các
đạo hàm riêng, và phân tích sai phân ẩn để chuyển phương trình vi phân sang
dạng hệ phương trình đại số.
‒ Dùng phương pháp Thomas để giải hệ phương trình đại số.
Điểm đặc biệt của bài tốn này là giải quyết vấn đề có điều kiện biên loại 5. Đây là

dạng tốn khó nhất trong 5 dạng tốn của CFD bởi vì tại lớp biên có sự chuyển pha và vị
trí của lớp biên thay đổi theo thời gian.
Học viên đặt ra các mục tiêu cho luận văn như sau :
 Viết code chương trình cho ra kết quả giống với kết quả được trình bày trong
tài liệu [1]. Chương trình sử dụng ở đây là Matlab.
 Chứng minh lại các phân tích tốn học của Tangthieng.
 Mở rộng chương trình tính cho nhiều loại mơi chất lạnh khác nhau.
 Mở rộng bài toán sang bài toán xả đá.

HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

2


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

ABSTRACT
The content of the dissertation focuses on the purpose of applying numerical
method. In particular, finite difference method is used in the thermal engineering
problem.
The finite difference method is a single mathematical tool with many categories to
learn in it. Student does not have enough knowledge and time to study comprehensively,
therefore student chooses to do the research based on scientific articles : "Effect of tube
diameter on the specific energy consumption of the ice making process" by Tangthieng
author [1].
In the article, Tangthieng developed the problem of using the numerical method to
calculate the formation of ice thickness in pure ice making. And he uses mathematical
tools as follows:
‒ Use the finite difference method to analyze differential equations of heat
transfer. Specifically, student uses the center difference to analyze the partial

derivatives, and analyze implicit differential equations to convert the
differential equation to the algebraic equation system.
‒ Use the Thomas method to solve the algebraic equation system.
The special feature of this problem is the solution to the problem of boundary
condition type of 5. This is the most difficult mathematical form of the five mathematical
forms of CFD because there is a phase change at the boundary and the position of the
boundary depends on time.
Student sets goals:
 Create program code that produces the same results as shown in the
document [1]. Matlab is used.
 Derive and Verify Tangthieng's mathematical equations.
 Extend the program for many different types of refrigerants.
 Extend the problem to the Contact Melting problem.

HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

3


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

LỜI CAM ĐOAN
Học viên xin cam đoan về những nội dung trình bày trong quyển luận văn này là do chính
học viên tự tìm hiểu và nghiên cứu. Các nội dung trích dẫn từ các nguồn tài liệu khác đều
có ghi rõ nguồn gốc.
Học viên

HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

4

ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

GIẢI THÍCH KÝ HIỆU
Bi
Cp
CBi
D
h
∆H
k
L
r
rˆ
R
R1
R2
Rr
SEC
Ste
t
tˆ

T
V

hệ số Biot
nhiệt dung riêng, J/kg K
hệ số không thứ nguyên

chiều dày thành ống, m
hệ số trao đổi nhiệt đối lưu, W/m2 K
nhiệt ẩn đông đặc, kJ/kg
hệ số dẫn nhiệt, W/m K
chiều dài ống, m
khoảng cách theo phương bán kính, m
khoảng cách theo phương bán kính khơng thứ ngun
bán kính lớp nước đá, m
tỷ lệ trữ nhiệt giữa vách ống và nước đá
tỷ lệ dẫn nhiệt giữa vách ống và nước đá
tỷ lệ giữa đường kính trong và độ dày của ống
tiêu thụ năng lượng riêng, kJ/g
hệ số Stefan
thời gian, giây hoặc phút
thời gian không thứ nguyên
nhiệt độ, °C hoặc K
thể tích nước đá thành phẩm, m3
Giải thích ký hiệu La mã

α
φ

ρ

hệ số khuếch tán nhiệt, m2/s
chiều dày lớp nước đá không thứ nguyên
nhiệt độ khơng thứ ngun
khối lượng riêng, kg/m3
Giải thích chỉ số

f
i
0
s
w
∞

điểm đóng băng
mặt trong của ống
mặt ngoài của ống
vùng nước đá
vùng vách ống
trạng thái bão hòa

HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

5


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

MỤC LỤC HÌNH
Hình 1: Sơ đồ nhánh của CFD ........................................................................................ 9
Hình 2: Josef Stefan (1835–1893) ................................................................................ 12
Hình 3: Vị trí biên thay đổi theo thời gian ................................................................... 15
Hình 4: Lưới sai phân ................................................................................................... 20
Hình 5: Trình tự tính toán tổng quát cho bài toán dùng PP SPHH .............................. 24
Hình 6: Vector trường nhiệt độ của một phân tố .......................................................... 25
Hình 7: Tháp làm đá viên dạng ống ............................................................................. 27
Hình 8: Giản đồ điều kiện tính tốn 1 chiều ................................................................. 29

Hình 9: Sơ đồ bố cục dữ liệu ........................................................................................ 40
Hình 10: Sơ đồ giải thuật .............................................................................................. 41
Hình 11: Giao diện chương trình .................................................................................. 42
Hình 12: So sánh độ chính xác với tài liệu [1] ............................................................. 42
Hình 13: Độ dày lớp đá theo thời gian của bốn loại ống............................................... 44
Hình 14: Năng suất làm đá theo thời gian của bốn loại ống ........................................ 44
Hình 15: Tải lạnh theo thời gian của bốn loại ống ....................................................... 45
Hình 16: So sánh tiêu thụ năng lượng của bốn loại ống .............................................. 46
Hình 17: Giao diện chương trình cho nhiều loại mơi chất khác nhau .......................... 51
Hình 18: Mơ hình xả đá trong máy làm đá ................................................................... 51
Hình 19: Giao diện chương trình xả đá ........................................................................ 53
Hình 20: Vận tốc viên đá rơi ........................................................................................ 54
Hình 21: Vị trí của viên đá rơi ...................................................................................... 55

MỤC LỤC BẢNG
Bảng 2.1: Phân loại điều kiện biên ............................................................................... 23
Bảng 3.1: Tính chất vật lý của lớp nước đá và Inox .................................................... 31
Bảng 3.2: Bảng tra Rr và CBi theo kích thước ống ...................................................... 32
Bảng 4.1a: Bảng tra CBi theo đường kính ống và nhiệt độ bão hịa của NH3 ............. 49
Bảng 4.1b: Bảng tra CBi theo đường kính ống và nhiệt độ bão hòa của R134a .......... 49
Bảng 4.1c: Bảng tra CBi theo đường kính ống và nhiệt độ bão hòa của R22 .............. 50
Bảng 4.1d: Bảng tra CBi theo đường kính ống và nhiệt độ bão hịa của R32 ............. 50

HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

6


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................................ 9
CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU ................................................................................................ 11
1.1.
1.2.

Lý do lựa chọn đề tài ................................................................................... 11
Mục tiêu của luận văn ................................................................................. 11

1.3.
1.4.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................... 11
Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 14

1.5.
1.6.

Ý nghĩa khoa học ........................................................................................ 14
Tổng quan về các cơng trình liên quan ....................................................... 16

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN ........ 18
2.1.
2.2.
2.3.

Phương trình chủ đạo .................................................................................. 18
Cơ sở toán học ............................................................................................. 19
Mục tiêu sau khi sai phân ............................................................................ 21

2.4.
2.5.

Phân loại sai phân ....................................................................................... 21
Phân loại điều kiện biên .............................................................................. 23

2.6.

Trình tự tính tốn khi áp dụng PP SPHH .................................................... 24

CHƯƠNG 3: BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ VIÊN .................. 25
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.

Phương trình truyền nhiệt tổng qt ........................................................... 25
Mơ hình tính tốn ........................................................................................ 27
Phương trình truyền nhiệt tổng quát trong hệ tọa độ trụ ............................. 28
Phương trình truyền nhiệt và các điều kiện ban đầu, điều kiện biên .......... 29
Biến đổi không thứ nguyên và chuyển điều kiện biên về dạng cố định ..... 30

3.6.

Thiết lập hệ phương trình đại số bằng phương pháp ADI .......................... 32
3.6.1. Xét các điểm nút của lưới .............................................................. 32
3.6.2. Xét nút tại mặt tiếp giáp giữa lớp đá với vách ống

rˆ

s

 rˆw  0 ................................................................................... 33

3.6.3.

Xét nút tại mặt ngoài của vách ống rˆw  1 ................................... 34

3.6.4.

Xét nút nằm trên bề mặt phía trong của băng rˆs  1 ................. 35

3.7.

3.6.5. Hệ phương trình đại số được thiết lập bằng pp ADI ..................... 36
Giả hệ phương trình đại số bằng thuật tốn Thomas .................................. 37

3.8.

Tóm lược các phương trình cần dùng để viết chương trình code ............... 38

HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

7


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

3.9.

Sơ đồ bố cục dữ liệu .................................................................................... 40

3.10. Sơ đồ giải thuật ........................................................................................... 41
3.11. So sánh với kết quả bài báo ......................................................................... 42
CHƯƠNG 4: PHẦN MỞ RỘNG ĐỀ TÀI ................................................................... 47
4.1.
4.2.

Tính cho các mơi chất lạnh khác ................................................................. 47
Bài tốn xả đá .............................................................................................. 51
4.2.1. Mơ hình tốn ......................................................................................... 51
4.2.2. Kết quả .................................................................................................. 53

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO ...................... 56
5.1.
5.2.

Kết luận về kết quả đạt được và chưa đạt được ........................................... 56
Hướng nghiên cứu tiếp theo ......................................................................... 56
PHỤ LỤC CODE CHƯƠNG TRÌNH ....................................................... 57
Phụ lục code 1 ............................................................................................. 57
Phụ lục code 2 ............................................................................................. 61
Phụ lục code 3 ............................................................................................. 73
Phụ lục code 4 ............................................................................................. 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... 84

HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

8

ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

LỜI NÓI ĐẦU
Thế kỷ 20 chứng kiến sự phát triển mạnh mẽ của máy tính. ‘Sức mạnh’ của máy
tính được sử dụng để giải quyết rất nhiều bài tốn khúc mắc trong mọi lĩnh vực, trong đó
có cơ học chất lưu. Ưu điểm của việc sử dụng máy tính để giải quyết các bài tốn kỹ
thuật là máy tính sử dụng các ‘thuật tốn số’ để giải quyết các bài toán động lực học chất
lưu mà phương pháp giải tích gặp khó khăn. Phương pháp áp dụng máy tính để giải các
bài tốn bằng các giải thuật số được gọi là CFD (Computational Fluid Dynamics), tạm
dịch là động lực học lưu chất tính tốn.
Các phương pháp CFD được xây dựng và phát triển từ năm 1970 bao gồm (hình 1):
‒ Phương pháp sai phân hữu hạn - Finite Deference Method (FDM).
‒ Phương pháp phần tử hữu hạn - Finite Element Method (FEM).
‒ Phương pháp thể tích hữu hạn - Finite Volume Method (FVM).
CFD sử dụng toán học và ngơn ngữ lập trình cùng với cơng nghệ máy tính làm công
cụ chủ yếu để giải quyết các vấn đề mà nó xem xét. Sự khác biệt mà các phương pháp
CFD giải quyết bài toán cơ lưu chất là:
‒ FDM là một phương pháp xấp xỉ bài tốn phương trình vi phân.
‒ FEM là một phương pháp xấp xỉ lời giải phương trình vi phân.
‒ FVM là một phương pháp rời rạc phương trình đạo hàm riêng.

Hình 1: Sơ đồ nhánh của CFD
HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

9


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

Kết quả CFD hoàn toàn tương đồng với kết quả làm thực nghiệm trong phịng thí
nghiệm. Tuy nhiên, một mơ hình thực nghiệm thường nặng nề, cồng kềnh, tốn kém nhiều
thời gian làm mơ hình và tiến hành thực nghiệm. Trong khi một chương trình máy tính là
thứ có thể mang theo một cách đơn giản, gọn nhẹ và thời gian tiến hành thí nghiệm số
được rút ngắn đáng kể. Hơn thế, một chương trình máy tính có thể truy cập được từ nhiều
người dùng khác nhau mà không phụ thuộc vào khoảng cách thông qua mạng chia sẻ.
Một chương trình máy tính, như đã giải thích, là một công cụ di động, sử dụng và chia sẽ
sử dụng một cách dễ dàng, tiện dụng.
Phương pháp cổ điển nhất được ứng dụng trong CFD là phương pháp sai phân hữu
hạn (FDM). Ngày nay, cùng với các phương pháp hiện đại như phương pháp phần tử hữu
hạn (FEM), phương pháp thể tích hữu hạn (FVM) … thì phương pháp sai phân hữu hạn
tiếp tục phát triển và phát huy thế mạnh của mình.
FDM có thể giải mọi bài tốn về truyền nhiệt (hoặc khoa học kỹ thuật nói chung) ổn
định và không ổn định 1, 2 hoặc 3 chiều, với các điều kiện vật lý bất kỳ, điều kiện biên
bất kỳ, có nguồn hoặc khơng có nguồn nhiệt. Nói chung, cho mọi trường hợp, với các
thông số của điều kiện đơn trị (k, ρ, α, Tw ,Tf , q, qv ) = f(x,y,z,t) đều có thể dùng FDM.
Chú thích:
k
ρ
α
Tw
Tf
q
qv
f
x, y, z
t

hệ số dẫn nhiệt.

khối lượng riêng.
hệ số khuếch tán nhiệt
nhiệt độ bề mặt.
nhiệt độ mơi trường xung quanh.
dịng nhiệt.
cơng suất sinh nhiệt tự phát.
hàm số phụ thuộc các biến độc lập x, y, z, t
các biến độc lập chỉ tọa độ trong không gian.
biến độc lập chỉ thời gian.

Với vật có biên dạng khơng quy tắc phải tốn cơng lớn khi lập cân bằng nhiệt cho
các nút biên, khi đó FDM tỏ ra kém hiệu quả.
Khi điều kiện biên phi tuyến tính (ví dụ khi cho biết nhiệt độ mơi trường Tf và dịng
nhiệt bức xạ đi qua biên theo luật q = εσ0 (T4 – Tf4 ) thì việc áp dụng FDM khơng có gì
trở ngại. Đối với những trường hợp đó ta thường dùng FDM.

HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

10


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU
1.1.

Lý do lựa chọn đề tài

Phương pháp Sai Phân Hữu Hạn (pp SPHH) rất hữu hiệu trong việc giải nhiều bài
toán truyền nhiệt phức tạp mà phương pháp giải tích gặp khó khăn. Bởi vậy trong các

giáo trình truyền nhiệt hiện đại, pp SPHH được trình bày khá kỹ trong chương trình đại
học (sách của Holman ...).
Và để nghiên cứu một cách tiếp cận khác các bài toán trong lĩnh vực nhiệt động mà
học viên chọn hướng nghiên cứu theo hướng sử dụng thế mạnh của cơng cụ máy tính và
ứng dụng các phương pháp toán học mới để giải quyết các vấn đề kỹ thuật.
Vì lý do trên học viên chọn đề tài "Ứng dụng phương pháp Sai Phân Hữu Hạn cho
bài tốn hóa rắn trong làm nước đá".
1.2.

Mục tiêu của luận văn
Mục tiêu của luận văn là ứng dụng phương pháp số vào bài toán kỹ thuật trong
ngành nhiệt. Cụ thể là học viên nghiên cứu ứng dụng phương pháp Sai Phân Hữu
Hạn vào bài tốn hóa rắn trong q trình làm nước đá tinh khiết.

1.3.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán hóa rắn trong làm nước đá được khởi sướng bởi nhà khoa học vật lý
Josef Stefan. Và quá trình hình thành lớp nước đá được gọi là bài toán Stefan.
Học viên đã tham khảo tài liệu [1] và thấy hứng thú với cách mà tác giả
Tangthieng sử dụng các công cụ toán học hiện đại để giải bài toán Stefan. Do đó
học viên sẽ sử dụng những cơng cụ được nêu ra trong bài báo để thực hiện lại kết
quả như tài liệu [1] đã trình bày.

1.3.1.

Giới thiệu nhà khoa học Josef Stefan

HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

11


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

Hình 2: Josef Stefan (1835–1893)
Josef Stefan (hình 2) sinh ngày 24/03/1835 và mất ngày 07/01/1893. Là một nhà vật
lý người Slovenia sinh ra ở làng Sveti Peter, ngày nay là quận Klagenfurt thuộc nước Áo.
Ơng có nhiều đóng góp quan trọng trong lĩnh vực vật lý năng lượng có thể kể đến định
luật vật lý nổi tiếng như định luật Stefan – Boltzmann. Và có gần 80 cơng trình bài báo
khoa học được đăng trên bản tin của viện hàn lâm khoa học Vienna.
1.3.2.

Giới thiệu bài toán Stefan

Ta có phương trình đạo hàm riêng tuyến tính bậc 2 tổng quát của một hiện tượng
vật lý như sau :

x, y

: là các biến độc lập chỉ không gian
: là hàm số cần tìm và phụ thuộc x, y
: các hàm số tuyến tính của x, y
: là hàm đã xác định theo x, y

Ta có cách phân loại như sau :
‒ Nếu b2 – 4ac > 0 thì bài tốn có dạng Hyperbol
‒ Nếu b2 – 4ac < 0 thì bài tốn có dạng Ellip
HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

12


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

‒ Nếu b2 – 4ac = 0 thì bài tốn có dạng Parabol
 Ví dụ phương trình cho bài tốn Ellip ta có :
: Phương trình Laplace

: Phương trình Poisson
 Bài tốn Ellip mơ tả trạng thái cân bằng.
 Ví dụ phương trình cho bài tốn Hyperbol ta có :
: Phương trình sóng

: Phương trình đối lưu
Bài tốn Hyperbol mơ tả vấn đề lan truyền.
 Ví dụ phương trình cho bài tốn Parabol ta có :
: Phương trình Fourier
Bài tốn Parabol mơ tả vấn đề khuếch tán.

Bài tốn xác định biên trong phương trình Ellip và Parabol là một bài toán hết sức
quan trọng trong khoa học và cơng nghệ, đó là bài tốn nhờ những quan sát biến đổi ở
trên biên của quá trình vật lý được mơ tả bằng phương trình Ellip và Parabol để xác định
lại miền vật lý mà ở đó q trình biến đổi pha xảy ra.
Trong những năm qua, nhiều nhà khoa học đã nghiên cứu bài toán xác định biên
cho phương trình đạo hàm riêng. Người đi tiên phong trong lĩnh vực này này là Stefan.
Vào những năm cuối của thế kỷ XIX, ơng nghiên cứu bài tốn xác định biên của một
khối nước đá tan chảy do tác động của nhiệt độ bên ngồi. Kể từ đó đến nay, do đòi hỏi
của khoa học kỹ thuật cũng như do đòi hỏi nội tại của chính bản thân Tốn học, các bài
toán biên tự do, bài toán xác định biên trong phương trình đạo hàm riêng được nghiên

cứu sâu rộng. Các bài toán trước đây thường cho hai điều kiện bổ sung trên biên chưa
biết và một điều kiện trên biên tiếp cận được. Mặc dù đó là bài tốn rất khó, độ phi tuyến
HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

13


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

cao, nhưng thường là những bài toán ổn định theo nghĩa: sai số nhỏ trong dữ kiện bổ
sung dẫn đến sai số nhỏ trong lời giải, tức là sai số nhỏ trong biên cần tìm. Nhưng gần
đây, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu bài toán khi trên biên cần tìm chỉ có một điều kiện
biên, cịn trên biên tiếp cận được ta có hai điều kiện biên. Đây là bài toán rất lý thú và
thường xuyên xuất hiện trong kỹ thuật hồng ngoại, thử nghiệm không phá hủy, vật lý
plasma...
Trong luận văn này sẽ tập trung nghiên cứu bài tốn Stefan về sự hình thành lớp
nước đá trong máy sản xuất nước đá tinh khiết bằng phương pháp Sai Phân Hữu Hạn.
1.4.

Phương pháp nghiên cứu

Dựa trên kết quả của các nhà khoa học trong và ngoài nước để phát triển mở rộng
bài tốn cho trường hợp hình thành lớp nước đá trên bề mặt phía trong của ống làm nước
đá.
Để đạt được mục tiêu đó cần có hiểu biết sâu sắc về lý thuyết “sai phân”; Cần sử
dụng thành thạo các công cụ của phương pháp sai phân hữu hạn, các thuật tốn giải hệ
phương trình đại số; Biết thực hiện các tính tốn số minh họa cho tính hữu hiệu của
phương pháp qua chương trình tính tốn được viết bằng ngơn ngữ lập trình hiện đại (ví
dụ: Matlab…).
Thơng qua việc mơ phỏng trên phần mềm mơ phỏng đã được thương mại (ví dụ:

Ansys Fluent…) để nhìn thấy trực quan quá trình hình thành chiều dày lớp nước đá trong
không gian 1 chiều, 2 chiều. Và để phần mềm mơ phỏng chạy ra kết quả đúng thì cần
hiểu rõ hoạt động của phần mềm, cũng như cách thức xây dựng mơ hình, thiết lập các
điều kiện ràng buộc cho mơ hình trong khơng gian mơ phỏng.
Kết quả nghiên cứ sẽ được đúc kết từ việc so sánh giữa kết quả lập trình với kết quả
mơ phỏng, thực nghiệm.
1.5.

Ý nghĩa khoa học

Kết quả của luận văn cho thấy hướng tiếp cận mới – dùng pp SPHH để giải các bài
tốn có biên tự do – là đơn giản hơn, và có thể mở rộng để áp dụng cho các dạng bài toán
phức tạp khác mà phương pháp giải tích gặp khó khăn.
Bài tốn biên tự do là bài tốn mà trong đó một bộ phận của biên khơng được cho
trước. Biên chưa biết này gọi là biên tự do (vì vị trí của chúng thay đổi theo thời gian) và
người ta phải tìm nó cùng với nghiệm của phương trình. Bài tốn biên tự do xuất hiện
trong nhiều lĩnh vực khoa học như: vật lý, cơ học môi trường liên tục, trong cơng nghiệp
hóa học, …
HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

14


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

Mơ hình đầu tiên của các bài tốn biên tự do là bài tốn về sự nóng chảy hoặc đơng
đặc của những chất tinh khiết. Nó thường được gọi là bài tốn Stefan do J. Stefan cơng
bố vào những năm 1890 – 1891. Đó là bài tốn về hiện tượng tan băng. Giả sử có một
thanh băng mỏng, vơ tận về một phía, chiếm một khoảng a ≤ x < ∞ , và giả thiết rằng
nhiệt độ của băng ở khắp nơi đều bằng 0℃ và tại điểm x = a ln duy trì nhiệt độ T , với

T > 0℃ . Khi đó thanh băng bắt đầu tan (chuyển từ trạng thái rắn sang trạng thái lỏng) và
vào mỗi thời điểm t > 0 pha nước sẽ chiếm một khoảng a ≤ x < s (t ) . Kí hiệu u ( x, t ) là
nhiệt độ trong pha nước tại điểm x , ở thời điểm t . Khi đó ta có

 2 u xx  ut  0

a  x  st , t  0

ua, t   T

t>0

ust , t   0

t > 0 (1.1)

Trong đó α là hằng số ≠ 0,  2 

k1
, k1 là hệ số truyền nhiệt của nước, ρ1 là khối
1c1

lượng riêng của nước, c1 là nhiệt dung riêng của nước.
Hình 3 thể hiện vị trí biên thay đổi theo thời gian. Trong đó đường x = s (t ) chính là
biên tự do, phần khơng biết trước của biên, ngăn cách giữa pha nước và pha rắn. Điều
kiện (1.1) thể hiện nhiệt độ tan của thanh băng tại biên tự do là 0℃ . Tuy nhiên, vì biên tự
do là chưa biết trước, do đó muốn cho bài toán được đặt đúng người ta phải bổ sung thêm
một điều kiện trên biên tự do. Điều kiện đó được suy ra từ định luật bảo tồn năng lượng
gọi là điều kiện Stefan (1.2).

st 
 k1u x st , t ,
t

t  0 (1.2)

Lỏng

Hình 3: Vị trí biên thay đổi theo thời gian
HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

15


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

1.6.

Tổng quan về các cơng trình liên quan

CFD là lĩnh vực đã được phát triển mạnh mẽ ở một số nước trên thế giới như Mỹ,
Nga, Đức... Sự phát triển của lý thuyết CFD bắt đầu nhờ sự xuất hiện của máy tính vào
những năm 1950. Cơng cụ đầu tiên được phát triển để giải các phương trình vi phân từng
phần nói chung và CFD nói riêng là phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference
Methods – FDM).

2011: C. Tangthieng, Effect of tube diameter on the specific energy consumption of
the ice making process, Applied Thermal Engineering 31, 701 – 707. Bài báo
trình bày nội dung áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn để giải bài toán
truyền nhiệt không ổn định một chiều ở điều kiện lớp biên di động.

2006: André Cliche, Optimization of ice making in laminar falling films, Energy
conversion and Management 47, 2260 – 2270. Bài báo phân tích phương
trình năng lượng và phương trình động lượng để đưa ra mơ hình tốn tối ưu
cho bài bài tốn hình thành lớp băng trên tấm phẳng đặt đứng.
2005: J. Caldwell, Starting solutions for the boundary immobilization method,
Communicat- ions in numerical methods in engineering (2005) 21, 289 –
295. Bài báo trình bày nội dung biến đổi điều kiện biên di động thành điều
kiện biên cố định để giải bằng phương pháp sai phân hữu hạn.
2004: R. Conde, M.T. Parra, Numerical model for two-phase solidification problem
in a pipe, Applied Thermal Engineering 24, 2501 – 2509. Bài báo trình bày
kết quả mơ phỏng q trình truyền nhiệt 2 chiều của một vài chất lỏng (nước,
dầu Ơ-liêu, xăng, nhơm lỏng) chảy tầng bên trong ống bằng phần mềm
Fluent.
2003: Babak Soltan, Morteza Ardehali, Numerical simulation of water solidification
phenomenon for ice-on-coil thermal energy storage application, Energy
Conversion and Management 44, 85 – 92. Bài báo trình bày một mơ hình số
để dự đốn thời gian đóng băng xung quanh một ống trịn cho các hệ thống
lưu trữ năng lượng nhiệt. Các thuật toán sai phân hữu hạn được sử dụng để
giải quyết các phương trình dẫn nhiệt gần đúng một chiều.
2003: Kamal A.R. Ismail, Modeling of ice crystal growth in laminar falling films
for the production of pumpable ice slurries, Energy Conversion and
Management 44, 65 – 84. Bài báo trình bày nội dung áp dụng phương pháp

HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

16


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

sai phân hữu hạn để khảo sát quá trình hình thành băng trên tấm phẳng đặt
đứng.
2001: Kamal A.R. Ismail, Parametric study of solidification of PCM around a
cylinder for ice-bank applications, International Journal of Refrigeration 24
(2001) 809 – 822. Bài báo trình bày các tham số băng xung quanh một ống
với dòng chảy chất lỏng bên trong. Kỹ thuật cố định được sử dụng để điều
chỉnh các giao diện chuyển động. Các kết quả số thu được bằng cách sử dụng
các phương pháp thể tích hữu hạn.
1999: Kamal A.R. Ismail, Effect of axial conduction on the ice crystal growth in
laminar falling films, International Journal of Refrigeration 22, 389 – 401.
Bài báo trình bày nội dung áp dụng phương pháp thể tích hữu hạn để giải bài
tốn 1 chiều hình thành lớp băng trên một tấm phẳng đặt đứng.
Ở nước ta hiện nay CFD còn là lĩnh vực còn khá mới mẻ, chưa có nhiều nghiên cứu
chuyên sâu về lĩnh vực này. Tuy nhiên, đã có một số trường kỹ thuật như Đại học Bách
Khoa Hà Nội, Đại học Bách Khoa Tp. HCM, Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp. HCM ...
bước đầu đã đưa lĩnh vực này vào trong chương trình nghiên cứu giảng dạy cho sinh
viên. Một vài ví dụ về hoạt động nghiên cứu ứng dụng phương pháp sai phân hữu hạn để
giải các bài toán truyền nhiệt:

2014: Đại học Bách Khoa Tp.HCM, Luận văn Thạc Sĩ, Ứng dụng phần mềm
Autodesk Simulation CFD để thiết kế hệ thống sấy – kiểu buồng, tác giả
Quách Huy Hải.
2013: Tác giả Ôn Ngũ Minh viết bài, Phương pháp số giải phương trình truyền
nhiệt, đăng trên tạp chí Khoa học & Cơng nghệ – 102(02): 155 – 159. Bài
viết trình bày ví dụ giải bài tốn truyền nhiệt bằng phương pháp sai phân hữu
hạn theo hai cách – dùng sai phân hiện và sai phân ẩn.
2009: Đại học Giao Thông Vận Tải Hà Nội, Phương pháp sai phân hữu hạn và
phần tử hữu hạn trong truyền nhiệt, tác giả PGS.TS Trịnh Văn Quang.
2004: Đại học Bách Khoa Tp.HCM, Luận văn Thạc Sĩ, Mơ phỏng số dịng đối lưu
tự nhiên gần tấm nhiệt phẳng thẳng đứng, tác giả Võ Hoàng Anh Kiệt.

2000: Tác giả Vũ Văn Hùng viết bài, Phương pháp sai phân giải xấp xỉ bài tốn
biên đối với phương trình truyền nhiệt hệ số biến đổi, đăng trên tạp chí Tin
học & Điều khiển học – T.16, S.3 (2000), 32 – 38. Bài viết trình bày lược đồ
giải phương trình dẫn nhiệt ổn định và tính ổn định của lược đồ.
HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

17


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
2.1.

Phương trình chủ đạo

Nền tảng của FDM là giải quyết những phương trình chủ đạo cơ bản của động lực
học lưu chất bằng cách xấp xỉ các vi phân trong phương trình tổng quát:
 Phương trình liên tục (The Continuity Equation)

 Phương trình động lượng (The Momentum Equation)

 u
  2u  2u  2 u 
u
u
u 
p
 u  v  w   f x     2  2  2 
x

y
z 
x
 t
 x y z 

 

 u
  2u  2 u  2 u 
u
u
u 
p
   u  v  w   f y     2  2  2 
x
y
z 
y
 t
 x y z 
 u
  2u  2u  2u 
u
u
u 
p
   u  v  w   f z     2  2  2 
x
y

z 
z
z 
 t
 x y
 Phương trình năng lượng (The Energy Equation)
(

)

(

)

(

)

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là bài toán một chiều biến đổi pha từ pha lỏng
sang pha rắn trong máy làm nước đá viên dạng ống do đó phương trình chủ đạo được
xem xét đến là phương trình truyền nhiệt từ nước (lỏng) qua lớp đá sang vách ống Inox
đến môi chất lạnh bên ngồi ống. Do đó phương trình truyền nhiệt sẽ được dẫn ra từ
phương trình năng lượng.
Vì vậy trong luận văn này, phương trình năng lượng sẽ là đối tượng để thực hiện
các phép sai phân.
2.2.

Cơ sở toán học

Tư tưởng của phương pháp sai phân hữu hạn là việc thay một cách gần đúng tất cả

các vi phân, nguyên là những số gia "vô cùng bé", bằng các số gia "bé hữu hạn", gọi là
HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

18


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

các sai phân. Nhờ đó có thể chuyển gần đúng mọi phương trình vi phân thành hệ phương
trình đại số. Hệ phương trình đại số này, mặc dù số ẩn số có thể rất lớn, nhưng ln giải
được bằng máy vi tính.
Giả sử có hàm số f(x) liên tục trên miền D nào đó. Chia miền D thành các đoạn có
độ dài là h, mà sau này ta gọi đó là lưới tính tốn. Khai triển Taylor cho hàm f(x) tại điểm
xi ta có:
h

h
h
h

h

Trong tính tốn bằng phương pháp số ta xấp xỉ nghiệm cần tìm bằng nghiệm gần
đúng. Giả sử cần tính f xi  với độ chính xác bậc nhất, khi đó có thể sử dụng công thức
khai triển Taylor gần đúng ở trên, tức là :

h
h

h

Rõ ràng Δh có thể nhận giá trị bất kì, ngoại trừ 0. Giả sử |Δh| = d > 0 , từ cơng thức
trên ta có các khả năng sau:
(2.1)
Hoặc
(2.2)
Phương pháp sai phân hữu hạn xấp xỉ các toán tử (tốn tử đạo hàm riêng, tốn tử
tích phân, …) để giải các hệ phương trình mà khơng xét đến các đặc tính vật lý của mơ
hình.
Ví dụ, ta xét phương trình đối lưu sau có dạng

u u

 0 trong một miền D nào
t x

đó. Giả sử các điều kiện đầu, điều kiện biên đã biết và có thể cho nếu cần thiết.
Hình 4 thể hiện việc chia lưới và các quan hệ giữa các nút lưới theo trục hoành
(theo vị trí x) và theo trục tung (theo thời gian t).

HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

19


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

t

tn +Δt

tn
xi

xi – h

x
Hình 4: Lưới sai phân
Sử dụng cơng thức (2.1) để xấp xỉ tốn tử đạo hàm riêng theo x cũng như theo t, ta
có:

u xi , t n  t   uxi , t n  uxi , t n   u xi  h , t n 

0
t
h
Từ đó dễ dàng tính được uxi , t n  t  theo các giá trị đã biết là uxi , t n  ,

uxi  h , t n  .

Thêm một ví dụ nữa để minh họa phương pháp sai phân, xét hệ phương trình khí
động lực học một chiều (hệ phương trình Euler một chiều):

 u


0

t
x
 u 

 uu  p   0


t
x



e


 u e  pu   0
 t x
Phương trình thứ nhất của hệ trên là phương trình bảo tồn khối lượng. Sử dụng
biến đổi sai phân như ở hình trên ta rời rạc hóa phương trình định luật bảo toàn khối
lượng như sau:

 xi , t n  t    xi , t n 
t
HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ



u x

i

, t n   u xi  h, t n 
0
h

20


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

Đối với các phương trình cịn lại là phương trình định luật bảo tồn động lượng và
năng lượng ta rời rạc hóa tương tự.
2.3.

Mục tiêu sau khi sai phân

Mục tiêu của pp SPHH là biến phương trình ở dạng vi phân về hệ phương trình đại
số. Từ đó có thể giải ra nghiệm hệ phương trình bằng các cơng thức đại số đã biết.
Từ phương trình vi phân ban đầu có dạng :

u u

0
t x
Sau khi thực hiện biến đổi sai phân sẽ được hệ phương trình tuyến tính có n phương
trình và n ẩn có dạng Ax = b

b1
a
 2



0

c1
b2
a3

c2
b3
an

0   x1  d1 
  x  d 
 2   2 
    
   
cn1     
bn   xn  d n 

Việc giải hệ phương trình đại số có nhiều cách và đơn giản hơn nhiều việc giải một
phương trình vi phân.
2.4.

Phân loại sai phân
Sai phân tiến (không gian) :

Sai phân lùi (không gian) :

Sai phân trung tâm (không gian) :

u
x
u

x
u
x


i, j


i, j


i, j

u i 1, j  u i , j
x
u i , j  u i 1, j
x
u i 1, j  u i 1, j
2x

Sai phân hiện (Explicit) là sai phân tiến kết hợp với lấy xấp xỉ theo thời gian.
Sai phân ẩn (Implicit) là sai phân lùi kết hợp với lấy xấp xỉ theo thời gian.

HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

21


ỨNG DỤNG PP SPHH CHO BÀI TỐN HĨA RẮN TRONG LÀM NƯỚC ĐÁ

Ví dụ xét phương trình truyền nhiệt 1 chiều không ổn định:

T x, t 
 2T  x, t 

t
x 2

(2.3)

A. Trường hợp dùng sai phân hiện để phân tích phương trình (2.3)
Dùng sai phân tiến cho đạo hàm theo thời gian và sai phân trung tâm cho đạo hàm
cấp 2 theo không gian ta được:

T jt 1  T jt



t
T

t 1
j

T jt1  2T jt  T jt1

x 

2

 T  t
t
j

T jt1  2T jt  T jt1

x 

2

t 1
Giá trị T j được xác định “trực tiếp” từ các giá trị của nó và các nút lân cận trong
t
“quá khứ” tức là T j .

B. Trường hợp dùng sai phân ẩn để phân tích phương trình (2.3)
Dùng sai phân lùi cho đạo hàm theo thời gian và sai phân trung tâm cho đạo hàm
cấp 2 theo không gian ta được:

T jt 1  T jt
t
T T
t
j

t 1
j



T jt11  2T jt 1  T jt11

 t

x 

2

T jt11  2T jt 1  T jt11

x 

2

t
Giá trị T j được xác định “gián tiếp” từ các giá trị của nó và các nút lân cận trong
t 1
“tương lai” tức là T j .

 Sự khác biệt giữa sai phân hiện hiện và sai phân ẩn :
Sai phân hiện: mỗi ẩn số tại nút (theo thời gian) được xác định "trực tiếp" từ giá trị
của bản thân và các nút chung quanh ở thời gian cũ. Do đó cần xác định điều kiện hội tụ
của lời giải phụ thuộc vào bước nhảy thời gian.
Sai phân ẩn: các ẩn số nút tạo thành một hệ phương trình tuyến tính và nó sẽ được
xác định khi giải hệ phương trình này (phối hợp với điều kiện biên). Do đó khơng cần xác
định điều kiện hội tụ của lời giải phụ thuộc vào bước nhảy thời gian.
HVTH: NGUYỄN ĐẠI PHÚ

22