Phương pháp phổ để giải số phương trình boltzmann cho các chất khí có độ nhớt

BỘ GIÁO DỤC VÀO ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG

ĐINH PHAN CAO NGUYÊN

PHƯƠNG PHÁP PHỔ ĐỂ GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH
BOLTZMANN CHO CÁC CHẤT KHÍ CĨ ĐỘ NHỚT

LUẬN VĂN THẠC SĨ

KHÁNH HÒA - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀO ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG

ĐINH PHAN CAO NGUYÊN

PHƯƠNG PHÁP PHỔ ĐỂ GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH
BOLTZMANN CHO CÁC CHẤT KHÍ CĨ ĐỘ NHỚT
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Ngành:

Cơng nghệ thông tin

Mã số:

8480201

Quyết định giao đề tài:

453/QĐ-ĐHNT ngày 04/5/2019

Quyết định thành lập hội đồng:

1523/QĐ-ĐHNT ngày 27/11/2019

Ngày bảo vệ:

23/12/2019

Người hướng dẫn khoa học:
GS. Trần Minh Bình
TS. Nguyễn Đức Thuần
Chủ tịch Hội đồng:
TS. Đinh Đồng Lưỡng
Phòng Đào tạo sau đại học:

KHÁNH HÒA - 2019


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan mọi kết quả của đề tài: "Phương pháp phổ để giải số phương
trình Boltzmann cho các chất khí có độ nhớt" là cơng trình nghiên cứu của cá nhân tôi
dưới sự đề xuất và hướng dẫn của GS. Trần Minh Bình và chưa từng được cơng bố trong
bất cứ cơng trình khoa học nào khác cho tới thời điểm này.
Tôi xin cam đoan những lời trên đây là hoàn toàn đúng sự thật và tơi xin chịu tồn
bộ trách nhiệm về lời cam đoan của mình.
Khánh Hịa, Ngày 8 tháng 1 năm 2020
Tác giả luận văn

ĐINH PHAN CAO NGUYÊN

iii


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Quý Thầy, Cô trong Khoa Công nghệ thông tin
trường Đại học Nha Trang đã quan tâm, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tơi được
hồn thành luận văn này.
Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS. Trần Minh Bình đã đề xuất và
hướng dẫn tôi thực hiện nghiên cứu và TS. Nguyễn Đức Thuần đã tận tình hướng dẫn tơi
hồn thành luận văn này.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình và tất cả bạn bè đã giúp
đỡ, động viên tơi trong suốt q trình học tập và thực hiện đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Khánh Hòa, Ngày 8 tháng 1 năm 2020
Tác giả luận văn

ĐINH PHAN CAO NGUYÊN

iv


MỤC LỤC

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Danh mục hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Trích yếu luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

Chương 1. Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 2. Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1 Phương trình Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.1 Toán tử va chạm Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.2 Định lý Cauchy cho các phương trình Boltzmann đồng nhất . . . . .

7

2.2 Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.2 Công thức Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2.3 Mơ hình quả cầu rắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 Chuỗi Fourier lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.2 Chuỗi Fourier hàm số mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.3 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.4 Hàm đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.5 Hàm delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Chương 3. Phương pháp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 Phương pháp phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Phương pháp phổ Fourier cho phương trình vi phân từng phần . . . . . . . . 28
3.3 Phép chiếu phổ của phương trình Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Thuật giải bằng phương pháp phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
v

3.5 Tính tốn các B(x,y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.1 Không gian 2 chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.2 Không gian 3 chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Chương 4. Thực nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1 Biến đổi toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Không gian 2 chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.1 Chất khí khơng có ma sát phân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.2 Chất khí có ma sát phân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.3 Kết quả số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Không gian 3 chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.1 Chất khí khơng có ma sát phân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.2 Chất khí có ma sát phân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.3 Kết quả số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4 Một số kết quả khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Chương 5. Kết quả và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Danh mục cơng trình đã cơng bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Danh mục tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

vi


DANH MỤC HÌNH

Hình 2.1 Va chạm giữa hai hạt nhân trên một đường thẳng . . . . . . . . . . .

5

Hình 2.2 Va chạm giữa hai hạt nhân trong không gian 3 chiều . . . . . . . . .

5

Hình 2.3 Quả cầu Svv∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Hình 2.4 Hàm tuần hồn f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Hình 2.5 Hàm f (x) = Ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Hình 2.6 Chuỗi Fourier với chu kỳ 1, 3, 10, 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Hình 2.7 Hàm f (x) = ±A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Hình 2.8 Hàm tuần hoàn bước lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Hình 2.9 Hàm khơng tuần hồn bước lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Hình 2.10 Hàm khơng tuần hồn bước lẻ chu kỳ N L . . . . . . . . . . . . . . . 17
Hình 2.11 Hàm Gaussian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Hình 2.12 Xấp xỉ Gaussian (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Hình 2.13 Xấp xỉ Gaussian (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Hình 2.14 Tổng từ k = −4 đến k = 4 với ∆k = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Hình 2.15 Xấp xỉ Gaussian (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Hình 2.16 Hàm hệ số mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Hình 2.17 Biến đổi Fourier của hàm hệ số mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Hình 2.18 Hàm sóng vng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Hình 2.19 Biến đổi Fourier của hàm sóng vng . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Hình 2.20 Hàm sóng vng cao và mỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Hình 2.21 Biến đổi Fourier của Gaussian với a = 0.02 . . . . . . . . . . . . . . . 25
Hình 2.22 Biến đổi Fourier của Lorentzian với b = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . 25
Hình 2.23 Biến đổi Fourier của hàm sóng vng với a = 40 . . . . . . . . . . . 26
Hình 3.1 Biểu diễn hình học của va chạm (v, v∗ ) ↔ (v , v∗ ) . . . . . . . . . . . 31
Hình 4.1 Hàm mật độ f (v, t) tại thời gian t = 0, 0.12, 0.24, 0.37, 0.5 và ε = 0 . . 38
Hình 4.2 Hàm mật độ f (v, t) tại thời gian t = 0, 0.12, 0.24, 0.37, 0.5 và ε = 0.1 . 38
Hình 4.3 Hàm mật độ f (v, t) tại thời gian t = 0, 0.12, 0.24, 0.37, 0.5 và ε = 0.2 . 39

Hình 4.4 Hàm mật độ f (v, t) tại thời gian t = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

vii


Hình 4.5 Hàm mật độ f (v, t) tại thời gian t = 0.24 và t = 0.5, với ε = 0, 0.1, 0.2

40

Hình 4.6 Hàm mật độ f (v, t) theo thời gian với ε = 0, 0.1, 0.2 . . . . . . . . . . 40
Hình 4.7 Hàm mật độ f (v, t) với ε = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Hình 4.8 Hàm mật độ f (v, t) với ε = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Hình 4.9 Hàm mật độ f (v, t) với ε = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Hình 4.10 Hàm mật độ f (v, t) với ε = 0, N = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Hình 4.11 Hàm mật độ f (v, t) với ε = 0, N = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Hình 4.12 Hàm mật độ f (v, t) với ε = 0, N = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Hình 4.13 Hàm mật độ f (v, t) theo thời gian với ε = 0, N = 2 . . . . . . . . . . 45
Hình 4.14 Hàm mật độ f (v, t) theo thời gian với ε = 0, N = 7 . . . . . . . . . . 46

viii


TRÍCH YẾU LUẬN VĂN

Phương trình Boltzmann mơ tả chuyển động của các phân tử của các chất khí lý
tưởng. Nghiệm số của phương trình có tầm quan trọng nhiều ứng dụng, đặc biệt là ngành
Vật Lý học. Phương trình Boltzmann nổi tiếng có dạng
∂f
+ ξ · ∇x f = Q(f )
∂t

Có hai phương pháp được sử dụng để tìm nghiệm cho phương trình Boltzmann là
phương pháp xác suất Monte Carlo và phương pháp phổ. Phương pháp xác suất Monte
Carlo là phương pháp sử dụng các biến số ngẫu nhiên để tìm nghiệm cho phương trình,
tuy nhiên tốc độ và độ chính xác của phương pháp này chưa đáp ứng được nhu cầu thật
tế. Phương pháp phổ sử dụng công cụ là phương pháp biến đổi Fourier.
Trong luận văn này chúng tơi đề xuất một phương pháp giải tích số - phương pháp
phổ cho phương trình Boltzmann cho các chất khí có ma sát giữa các phân tử. Đây là
phương pháp số đầu tiên của phương trình Boltzmann cho các chất có ma sát. Chúng tơi
biểu diễn giá trị hàm mật độ của chất khí và so sánh các kết quả trong các trường hợp có
ma sát giữa các phân tử và trường hợp khơng có ma sát trong khơng gian 2 và 3 chiều.
Chúng tơi dự đốn rằng giá trị hàm mật độ của các chất khí có ma sát giữa các phân tử
khi va chạm sẽ giảm dần về 0, giá trị của ma sát càng lớn thì tốc độ giảm giá trị của hàm
mật độ của chất khí về 0 càng nhanh.
Phương pháp nghiên cứu của chúng tôi là tiến hành biến đổi đại số và lập trình mơ
phỏng nghiệm của phương trình Boltzmann cho các chất khí lý tưởng. Kế thừa kết quả
này chúng tôi tiếp tục tiến hành lập trình mơ phỏng nghiệm của phương trình Boltzmann
cho các chất khí có ma sát phân tử theo đề xuất. Các bước nghiên cứu cụ thể như sau:
- Bước 1: Tìm hiểu phương trình Boltzmann và biển đổi Fourier.
- Bước 2: Khai triển các bước biến đổi đại số phép chiếu phổ của phương trình Boltzmann cho trường hợp các chất khí lý tưởng sau đó lập trình mơ phỏng các kết quả
nghiệm số của phương trình Boltzmann cho các chất khí lý tưởng.
- Bước 3: Kế thừa kết quả thu được từ bước 2 chúng tôi khai triển và mơ phỏng
nghiệm số của phương trình Boltzmann cho các chất khí có ma sát phân tử.
ix


- Bước 4: Dự đoán kết quả nghiệm số của phương trình Boltzmann cho các chất khí
lý tưởng.
Chúng tơi sử dụng ngơn ngữ lập trình Python để mơ phỏng các kết quả này, đây là
một ngôn ngữ tối ưu cho việc mơ phỏng các thuật tốn nhờ các thư viện toán học khổng

lồ và cộng đồng lớn.
Kết quả thực nghiệm là chính xác theo dự đốn của chúng tơi. Tuy nhiên, trong
luận văn này chúng tơi chưa chứng minh tốn học cho sự đúng đắn của đề xuất này. Đây
là hướng nghiên cứu sẽ được chúng tơi trình bày trong đề tài tiếp theo.
Bố cục luận văn gồm 4 chương:
• Chương 1 Tổng quan. Trong chương này chúng tôi tổng quan các cơng trình nghiên

cứu, lý thuyết và xu thế nghiên cưu của các nhà khoa học liên quan đến phương
trình Boltzmann.
• Chương 2 Cơ sở lý thuyết. Chúng tơi trình bày các cơ sở lý thuyết được sử dụng

trong luận văn bao gồm lý thuyết toán học được sử dụng trong thuật giải phương
trình Boltzmann và lý thuyết tốn học của biến đổi Fourier.
• Chương 3 Phương pháp phổ. Trong chương này chúng tơi trình bày cơ sở lý thuyết

và các bước biến đổi đại số để giải số cho phương trình Boltzmann.
• Chương 4 Kiểm tra số. Sau các phép đổi đại số cho hàm f (0) đã chọn, chúng tơi

tiến hành lập trình mơ phỏng các kết quả của các bài kiểm tra số của phương trình
Boltzmann trong không gian 2 và chiều đối với hai trường hợp chất khí có và khơng
có ma sát giữa các phân tử.
• Chương 5 kết luận và kiến nghị.

Từ khóa: Phương trình Boltzmann, giải tích số, phương pháp phổ, ma sát phân tử,
hàm mật độ.

x


CHƯƠNG 1.

TỔNG QUAN

Ludwig Eduard Boltzmann là một nhà khoa học nổi tiếng người Áo. Ông sinh ngày
20 tháng 2 năm 1844, mất ngày 5 tháng 9 năm 1906. Ơng có nhiều đóng góp vĩ đại cho
các lĩnh vực khoa học gồm cơ học thống kê và nhiệt động lực học thống kê. Ơng là một
trong những nhân vật có đóng góp lớn trong việc bảo vệ cho thuyết nguyên tử, ông cũng
là người có công đầu đề xuất ý tưởng cho thuyết lượng tử.
Thành tựu khoa học vĩ đại của Boltzmann đó là phương trình Entropy, phương trình
này được khắc trên bia mộ của ơng. Phương trình có dạng:
S = k log W

Phương trình Boltzmann mơ tả chuyển động của các phân tử của trong các chất khí
lý tưởng trong đó sự tương tác của các phân tử là va chạm đàn hồi nhị phân, đây là một
trong những phương trình nổi tiếng của ơng. Phương trình Boltzmann có dạng
∂f
+ ξ · ∇x f = Q(f )
∂t

Việc xây dựng các phương pháp tính cho phương trình Boltzmann có tầm quan
trọng trong nhiều ứng dụng, từ động lực học khí hiếm (RGD), vật lý plasma, dòng chảy
dạng hạt, chất bán dẫn, và lý thuyết cơ học lượng tử ([4–6, 9, 11–18, 22–33]).
Ứng dụng trong động lực học chất hiếm và vật lý Plasma
Đối tượng nghiên cứu của lý thuyết động học là mơ hình hóa một chất khí (Plasma,
hoặc bất kỳ hệ thống nào được tạo thành từ một số lượng lớn các hạt) bằng một hàm phân
phối trong không gian pha hạt. Không gian pha này bao gồm các biến vĩ mơ, nghĩa là vị
trí trong khơng gian vật lý, nhưng cũng có các biến vi mơ, mơ tả trạng thái của các hạt.
Trong các khảo sát hiện tại các hệ thống được tạo thành từ một loại hạt duy nhất (khơng
có hỗn hợp) và tn theo các định luật cơ học cổ điển (không tương đối, không lượng tử)
được hạn chế biến thời gian thời gian. Do đó, các biến vi mơ sẽ khơng sẽ khơng cịn ảnh

hưởng đến giá trị các thành phần vận tốc. Luận văn này là một đề tài thuộc nhóm ứng
dụng trong động lực học chất hiếm của phương trình Boltzmann.
Ứng dụng trong cơ học lượng tử

1


Vật lý lượng tử là chuyên ngành vật lý giải thích các hiện tượng ở quy mơ ngun
tử hay nhỏ hơn (hạ nguyên tử). Các hạt hạ nguyên tử là các hạt nhỏ hơn nhiều lần so với
các nguyên tử, là một khái niệm để chỉ các hạt cấu thành nên nguyên tử, cùng các hạt
được giải phóng trong các phản ứng hạt nhân hay phản ứng phân rã. Electron, proton,
neutron là những hạt hạ nguyên tử thường được nhắc đến.
Trong "On a quantum Boltzmann quation for a gas of phontons"[8], nhóm tác giả
đã chứng minh sự tồn tại và tính độc của giải pháp của phương trình Boltzmann đồng
nhất mô tả sự tương tác của photo - electron và chỉ ra rằng sự phân bố mật độ photon
ngưng tụ tại điểm gốc không theo triệu chứng trong thời gian khi tổng số lượng photon
lớn hơn một hằng số dương cho trước. Phương trình Boltzmann-Compton được sử dụng
có dạng [8]
k

2 ∂f

∂t

∞

f (1 + f )B(k , k; θ) − f (1 + f )B(k, k , θ) dk

=
0

Lịch sử của lý thuyết động học bắt đầu với phương trình Boltzmann cổ điển, mơ tả
động lực học của các khí đơn chất loãng. Nghiên cứu lý thuyết của vật lý vật chất ngưng
tụ bao gồm sử dụng các mơ hình lý thuyết nhằm hiểu được tính chất của trạng thái vật
chất. Có 3 trạng thái vật chất trong tự nhiên: rắn, lỏng, khi. Trạng thái vật chất thứ 4 là
plasma và trạng thái thứ năm là trạng thái nhân tạo ngưng tụ Bose-Einsten.
Ngưng tụ Bose-Einstein được tạo ra bởi các nhà khoa học vào năm 1995. Eric
Cornell và Carl Weiman, các nhà khoa học tại Viện Vật lý thiên văn Lab ở Boulder,
Colorado đã sử dụng kết hợp laser và nam châm để làm lạnh một mẫu rubidium trong
một vài độ của độ không tuyệt đối. Ở nhiệt độ cực thấp này, chuyển động phân tử đến
rất gần dừng lại. Vì hầu như khơng có động năng nào được truyền từ nguyên tử này sang
nguyên tử khác, các nguyên tử bắt đầu kết tụ lại với nhau. Khơng cịn hàng ngàn nguyên
tử riêng biệt, chỉ là một "siêu nguyên tử".
Một ngưng tụ Bose-Einstein được sử dụng để nghiên cứu cơ học lượng tử ở cấp độ
vĩ mô. Ánh sáng dường như chậm lại khi đi qua Bose-Einstein, cho phép các nhà khoa
học nghiên cứu nghịch lý hạt / sóng. Một Bose-Einstein cũng có nhiều đặc tính của một
siêu lỏng, hoặc một chất lỏng chảy mà không ma sát. Bose-Einstein cũng được sử dụng
để mơ phỏng các điều kiện có thể tồn tại trong các lỗ đen.
Khi nhiệt độ của khí Bose bị giữ lại thấp hơn nhiệt độ chuyển tiếp Bose-Einstein
và trên độ khơng tuyệt đối, khí này bao gồm hai thành phần riêng biệt: ngưng tụ Bose2


Einstein và đám mây kích thích nhiệt. Động lực của các kích thích có thể được mơ tả
bằng các mơ hình lượng tử Boltzmann. Một chứng minh chỉ ra rằng các phương trình vi
phân rời rạc cho các mơ hình Boltzmann lượng tử này hội tụ đến một điểm cân bằng.
Hơn nữa, điểm này là duy nhất cho tất cả các điều kiện ban đầu đáp ứng các luật bảo tồn
tương tự. Các thiết lập mối liên hệ giữa các mơ hình Boltzmann lượng tử và mạng phản
ứng hóa học, và cho thấy câu hỏi về sự hội tụ của trạng thái cân bằng của phương trình
động học lượng tử tương tự như phỏng đốn của lực hấp dẫn tồn cục đối với các mạng
phản ứng hóa học. Một phương pháp hệ động lực học sử dụng để chứng minh phỏng

đoán để nghiên cứu sự hội tụ đến trạng thái cân bằng của một số loại phương trình động
học lượng tử đã được sử dụng. Những kết quả hội tụ này cũng áp dụng cho phương trình
Boltzmann nhiễu loạn yếu cho các tương tác phonon trong tinh thể anharmonic ([4]).
Mô hình lượng tử Boltzmann của đám mây nhiệt ([4])
f1
= C12 [f1 ] + C22 [f1 ] + C13 [f1 ]
∂t

Khó khăn trong việc xây dựng một phương pháp giải cho phương trình Boltzmann
là do cấu trúc đa chiều của tốn tử Q, đây là một phương trình tích phân 5 lớp. Vì vậy,
phương pháp thơng thường là kỹ thuật xác suất Monte Carlo của Bird [1] và Nanbu [19]
(phương pháp cổ điển), đây là một phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên có độ chính xác bậc
1 và thuộc lớp thuật tốn khơng tất định. Tuy nhiên, các phương pháp này có độ chính
xác rất thấp.
Một lớp phương pháp mới dựa trên việc sử dụng các phương pháp phổ trong không
gian vận tốc đã được xây dựng. Phương pháp này có độ chính xác cao ([10, 21]) và thuộc
lớp thuật tốn tất định. Phương pháp này lần đầu tiên được phát triển cho các phương
trình động học trong [20], dựa trên các phương pháp phổ trong cơ học chất lỏng [3] và
việc sử dụng các công cụ biến đổi Fourier trong phân tích phương trình Boltzmann [2].
Nó dựa trên phương pháp xấp xỉ của phương trình Fourier – Galerkin. Các khái quát về
phương pháp và độ chính xác phổ đã được đưa ra trong [21, 34].
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày phương pháp phổ để giải phương trình
Boltzmann trong các chất khí lý tưởng từ đó chúng tơi đề xuất một phương pháp để giải
phương trình Boltzmann trong các chất khí có ma sát giữa các phân tử. Phương trình này
có dạng

3


∂f

+ ξ · ∇x f = Q(f ) + εf,
∂t

Trong đó ε là hệ số ma sát.
Luận văn này là kết quả giải tích số đầu tiên cho phương trình Boltzmann trong
các chất khí có ma sát.

4


CHƯƠNG 2.

2.1
2.1.1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Phương trình Boltzmann
Tốn tử va chạm Boltzmann
Quy ước, các hạt của khí sẽ được mơ hình thành những quả cầu cứng, tất cả đều có

cùng bán kính, va vào nhau với các va chạm đàn hồi hoàn hảo.
Nếu hai hạt di chuyển dọc theo cùng một đường thẳng và va vào nhau với va chạm
đàn hồi, vận tốc của chúng sẽ thay đổi sau khi va chạm (hình 2.1)

Hình 2.1: Va chạm giữa hai hạt nhân trên một đường thẳng

Nếu các hạt va vào nhau ở một cạnh n, thì các thành phần vận tốc của chúng dọc theo n
sẽ được biến đổi, trong khi các thành phần vng cạnh với n sẽ giữ ngun (hình 2.2)

Hình 2.2: Va chạm giữa hai hạt nhân trong khơng gian 3 chiều

Gọi v và v∗ là vận tốc của các hạt trước khi va chạm, và v và v∗ là vận tốc tương ứng của
5


chúng sau khi va chạm, ta có


v

= v − (n · (v − v∗ ))n,


v

= v∗ − (n · (v − v∗ ))n

∗

(2.1)

Trong đó sự biến đổi vận tốc được xác định bởi công thức
v · n = v∗ · n, v∗ · n = v · n

Lưu ý rằng sự đổi dấu của n không ảnh hưởng đến biến đổi tuyến tính trong (2.1). Đặt
V = v − v∗ , v0 =

v + v∗
|v − v∗ |

,ρ =
2
2

vận tốc trước và sau và chạm của các hạt nhân như hình 2.3
Svv∗ = {v ∈ R3 ; |v − v0 | = ρ}

Hình 2.3: Quả cầu Svv∗
Xét quả cầu B(v0 , ρ) với đường kính là đoạn vv∗ , nếu va chạm xảy ra tại cạnh n thì vận
tốc bay ra v , v∗ của hai hạt thu được là giao điểm của mặt cầu Svv∗ với đường thẳng nối
v, v∗ và song song với n.

Cho x, v ∈ Rd (d ≥ 2), phương trình có dạng
∂f
+ v.∇x f = Q(f, f ),
∂t

(2.2)

với f (t, x, v) là hàm không âm mơ tả mật độ của chất khí có vận tốc v ở vị trí x tại thời
gian t > 0. Trong Boltzmann, toán tử va chạm Q là một toán tử bậc 2 của f (t, x). Thời
gian t và vị trí x được xem là các tham số của Q, ta có thể biểu diễn Q như sau ([19])
B(|v − v∗ | , cos θ)(f∗ f − f∗ f ) dx

Q(f, f )(v) =
Rd ×S d−1

6

(2.3)

với f = f (v), f∗ = f (v∗ ), f = f (v), f∗ = f (v∗ ).
Vận tốc của và chạm là các cặp (v, v∗ ) và (v , v∗ ) có mối quan hệ
v =

v + v∗ |v − v∗ |
v + v∗ |v − v∗ |
+
σ, v∗ =
−
σ,
2
2
2
2

trong đó σ là vector đơn vị của quả cầu S d−1 .
Hạt nhân B của va chạm là một hàm số không âm bởi các đối số vật lý bất biến và
chỉ phụ thuộc vào |v − v∗ | và cos θ = gˆ · σ (với gˆ =

v − v∗
).
|v − v∗ |

Toán tử va chạm Boltzmann có các tính chất cơ bản của bảo tồn khối lượng, động
lượng và năng lượng ([19])
Q(f, f )φ(v) dv = 0, φ(v) = 1, v1 , . . . , vd , |v|2 ,
Rd

và thỏa mãn định lý Boltzmann H nổi tiếng
−

d
dt

f log f dv = −

Rd

Với −

Q(f, f ) log f dv >= 0

Rd

f log f là hệ số Entropy của phương trình. Định lý Boltzmann H phát biểu rằng

bất kỳ hàm phân phối cân bằng nào, hay bất kỳ hàm cực đại của Entropy, đều có dạng
phân phối Maxwellian cục bộ
M (ρ, u, T )(v) =

|u − v|2
ρ
,
exp−
2T
(2πT )d/2

với ρ, u, T là mật độ, vận tốc trung bình, và nhiệt độ của khí, định nghĩa bởi ([19])

ρ=

f (v) dv, u =
Rd

2.1.2

1
ρ

vf (v) dv, T =
Rd

1
dρ

|u − v|2 f (v) dv
Rd

Định lý Cauchy cho các phương trình Boltzmann đồng nhất
Trong miền giới hạn τT = [−T, T ]d (O ≤ T < +∞), lấy f0 ∈ L1 (τT ) là một hàm

không âm, tồn tại duy nhất một hàm f ∈ C 1 (R+ , L1 (τT )) thỏa mãn định lý Cauchy
δf
= Qtr (f, f ), f (t = 0, ·) = f0
δt

,
δf
= QR (f, f ), f (t = 0, ·) = f0

δt

đây là một hàm khơng âm và có khối lượng khơng đổi. Nếu f0 có hệ số entropy hữu hạn
thì giá trị này hữu hạn và khơng tăng theo thời gian. Ngồi ra, nếu f0 có qn tính (năng
lương) hữu hạn trên τT thì qn tính (năng lượng) được bảo tồn theo thời gian.
7


2.2
2.2.1

Khơng gian Lp
Các định nghĩa
Định nghĩa khơng gian Lp .

Kí hiệu Ω là một tập đo được trong Rk . Cho f đo được trên Ω, nếu |f |p (1 ≤ p < ∞) khả
tích trên Ω ta định nghĩa
|f |p )1/p

||f ||p = (
Ω

Tập hợp tất cả các hàm f thỏa |f |p khả tích trên Ω gọi là Lp (Ω)
Định nghĩa hàm đo được - tập đo được.
Hàm f : Rk → C gọi là hàm đo được (theo nghĩa Lebesgue) nếu có một dãy hàm bậc
thang sn ∈ SF (Rk ) sao cho
sn → f

hầu khắp nơi.
Tập hợp Ω ⊆ Rk gọi là đo được nếu χΩ đo được.

Định nghĩa hàm bậc thang.
Cho Q1 , · · · , Qm là các ô trong Rk và α1 , · · · , αm là các số thực (hay phức). Khi đó hàm
số

m

s(x) =

αj χQj ,
j=1

gọi là một hàm bậc thang. Trong đó hàm đặc trưng χA của một tập hợp A là hàm số


1 nếu x ∈ A
χA (x) =
(2.4)

0 nếu x ∈
/A
Định nghĩa ô trong Rk .
Một tập P = I1 × I2 × · · · × Ik với Ij (1 ≤ j ≤ k) là các khoảng bị chặn trong R gọi là
một ô trong Rk . Đại lượng
|P | = |I1 ||I2 | · · · |Ik |

gọi là thể tích của ơ P, với |Ij | là độ dài của khoảng Ij .
Định nghĩa tập hợp đếm được.
Tập A gọi là đếm được nếu có một song ánh từ f : A → N.

8

2.2.2

Cơng thức Euler
Cơng thức Euler là một cơng thức tốn học trong ngành giải tích phức, được xây

dựng bởi nhà tốn học người Thụy Sĩ Leonhard Euler. Cơng thức chỉ ra mối liên hệ giữa
hàm số lượng giác và hàm số mũ phức.
Với mọi số thực x, ta có:
eix = cos(x) + i sin(x)

Khai triển từ công thức trên, các hàm số cos x và sin x có thể được viết dưới lại như
sau:
1
cos(x) = (eix + e−ix )
2
1
sin(x) = (eix − e−ix )
2i

Nếu x = π , ta có:
eiπ = cos(π) + i sin(π) = −1

từ đó dẫn đến cơng thức rút gọn:
eiπ + 1 = 0

2.2.3

Mơ hình quả cầu rắn

Các quả cầu rắn được sử dụng rộng rãi như các hạt mơ hình trong lý thuyết cơ học

thống kê về chất lỏng và chất rắn. Chúng được định nghĩa đơn giản là những quả cầu
không thể xuyên thủng không thể chồng lên nhau trong không gian. Chúng bắt chước
lực đẩy cực mạnh ("nảy vô hạn đàn hồi") mà các nguyên tử và phân tử hình cầu trải qua
ở khoảng cách rất gần. Các hệ thống hình cầu rắn được nghiên cứu bằng các phương tiện
phân tích, bằng các mô phỏng động lực phân tử và bằng nghiên cứu thực nghiệm của
một số hệ thống mơ hình keo.
Định nghĩa. Các quả cầu rắn có đường kính σ là các hạt có khả năng tương tác đơi
một như sau:

V (r1 , r2 ) =



0

nếu |r1 − r2 | ≥ σ


∞

nếu |r1 − r2 | < σ

Với r1 và r2 là các vị trí của hai hạt nhân.

9

(2.5)

2.3

Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier là một lĩnh vực nghiên cứu về cách các hàm tổng quát có thể phân

tách thành các hàm lượng giác hoặc hàm số mũ với tần số xác định. Có hai loại mở rộng
Fourier:
• Chuỗi Fourier: Nếu một hàm là tuần hồn thì có có thể viết lại thành dạng tổng rời

rạc của các hàm lượng giác hoặc hàm số mũ với tần số cụ thể.
• Biến đổi Fourier: một hàm tổng qt khơng nhất thiết là tn hồn có thể viết lại

dưới dạng tích phân liên tục của các hàm lượng giác hoặc hàm số mũ với một tần
số liên tục có thể.
Biến đổi Fourier rất quan trọng trong vật lý là vì nhiều các phương trình vi phân
chi phối các phương trình vi phân chi phối các hệ vật lý là tuyến tính, do đó biến đổi
Fourier cho chúng ta biết rằng bất kỳ hàm nào cũng có thể được viết dưới dạng các hàm
hình sin, chúng ta có thể quan sát và phân tích các hàm này đơn giản hơn khi giải các
phương trình vi phân. Cuối cùng chúng ta có thể xây dựng bất kỳ hàm số khác từ những
chức năng đặc biệt này.
Đây là một phương pháp rất hữu ích, thuật giải cho các hàm số dạng sin luôn đơn
giản hơn so với các hàm tổng quát. Ngoài ra biến đổi Fourier được sử dụng trong các
ứng dụng xử lý ảnh hoặc xử lý âm thanh trong lĩnh vực Công nghệ thơng tin.
2.3.1

Chuỗi Fourier lượng giác

Hình 2.4: Hàm tuần hồn f

Xét một hàm f (x) tuần hoàn trên khoảng 0 ≤ x ≤ L như hình 2.4, Định lý Fourier phát
biểu rằng f (x) có thể viết lại dưới dạng
∞

f (x) = a0 +

[an cos(
n=1

2πnx
2πnx
) + bn sin(
)]
L
L

10

(2.6)


với an và bn là các hệ số được tính theo công thức
an =
bn =

2
L
2
L

L

f (x) cos(

2πnx
) dx
L

(2.7)

f (x) sin(

2πnx
) dx
L

(2.8)

0
L
0

Biểu thức này được gọi là Chuỗi Fourier lượng giác của hàm f (x).
Ví dụ 1: Tìm chuỗi Fourier cho hàm tuần hoàn f (x) = Ax trong đoạn −L/2 < x <
L/2 với chu kỳ L (hình 2.8).

Hình 2.5: Hàm f (x) = Ax

Nhận xét f (x) là hàm lẻ theo x vì vậy chỉ có tốn tử bn là không âm.

11


Giải:
• Tính an

2
an =
L
2
=
L

L
2

f (x) cos(
− L2
L
2

Ax cos(
−L

2πnx
) dx
L

2πnx
) dx

L

2
=

2A 
L
2πnx
x(
) sin(
)
L
2πn
2

L
2

+(
− L2

L 2
2πnx
) cos(
)
2πn
2

L
2




− L2

=0

• Tính bn

2
bn =
L
2
=
L

L
2

f (x) sin(
− L2
L
2

Ax sin(
−L

2πnx
) dx

L

2πnx
) dx
L

2
=

2A 
L
2πnx
−x(
) cos(
)
L
2πn
2

= (−1)n+1

L
2

+(
− L2

L 2
2πnx
) sin(

)
2πn
2

L
2




− L2

AL
πn

• Tính chuỗi lượng giác Fourier f (x)

AL
f (x) =
π

∞

n=1

= sin(

1
2πnx
(−1)n+1 sin(

)
n
L

2πx
1
4πx
1
6πx
) − sin(
) + sin(
) − ···
L
2
L
3
L

Hình 2.6 biểu diễn giá trị của chuỗi Fourier thu được với 4 trường hợp 1, 3, 10 và 50 chu
kỳ. Rõ ràng với số lượng chu kỳ càng lớn thì chuỗi Fourier thu được càng xấp xỉ với hàm
Ax.

12


Hình 2.6: Chuỗi Fourier với chu kỳ 1, 3, 10, 50

2.3.2

Chuỗi Fourier hàm số mũ

Một hàm số bất kỳ có thể được viết lại dưới dạng hàm sin và cos thì cũng có thể

viết lại dưới dạng hàm số mũ. Giả sử rằng chúng ta đã có thể viết hàm tuần hồn theo
dạng 2.6, chúng ta cũng có thể viết lại như sau
∞

Cn ei2πnx/L

(2.9)

f (x)e−i2πnx/L dx

(2.10)

f (x) =
n=−∞

với Cn là các hệ số được tính bởi cơng thức
1
Cn =
L

L
0

Phương trình 2.9 là chuỗi Fourier hệ số mũ của hàm f (x).
Ví dụ 2: Tìm chuỗi Fourier hệ số mũ cho hàm tuần hồn f (x) = Ax tương tự ví dụ
1.
Giải:
• Tính Cn

13


L
2

1
Cn =
L

Axe−i2πnx/L dx

− L2


=−

A  xL −i2πnx/L
e
L i2πn

L
2

2

+
− L2

L
e−i2πnx/L
i2πn

L
2




− L2

A (L/2)L −iπn
=− .
(e
+ eiπn )
L i2πn
iAL
= (−1)n
2πn

với (n = 0).

• Tính chuỗi Fourier hệ số mũ f (x)

Nếu n = 0 chúng ta có
C0 =

Ax2
2L

L
2

− L2

Do đó
(−1)n

f (x) =
n=0

iAL i2πnx/L
e
2πn

Sử dụng công thức Euler và i2 (−1)n = (−1)n+1 ta thu được
(−1)n

f (x) =
n=0

AL
=
π

∞

n=1

iAL
2πnx
2πnx
cos
+ i sin
2πn
L
L

1
2πnx
sin
n
L

Kết quả này trùng khớp với kết quả ở ví dụ 1.
2.3.3

Biến đổi Fourier
Chuỗi Fourier cho bởi công thức 2.6 và 2.9 chỉ làm việc đối với các hàm tuần hồn.

Đối với các hàm khơng tuần hồn chúng ta khơng thể biểu diễn dưới dạng tích rời rạc
các hàm lượng giác và hệ số mũ mà thay vào đó là một hàm tích phân liên tục.
Xét hàm f (x) trên đoạn −L/2 ≤ x ≤ L/2. Đặt dn = 1, kn = 2πn/L chúng ta có
dkn = 2π/L. Giả sử L → ∞ thì dkn vô cùng bé và kn là một biến liên tục. Thay kn vào

14


(2.9) ta có

∞

Cn eikn x (dn)

f (x) =
n=−∞
∞

L
dkn
2π

Cn eikn x

=
n=−∞

Vì dkn là vơ cùng bé, do đó theo định nghĩa tích phân chúng ta có
∞

f (x) =

Cn
−∞
∞

L
2π

ekn x dkn

(2.11)

C (kn ) ekn x dkn

=

(2.12)

−∞

với C(kn ) = (L/2π)Cn . Chúng ta có thể sử dụng biểu thức cho Cn trong 2.10 để tính
C(kn ) với L → ∞ như sau
L
L 1
C(kn ) =
Cn =
.
2π
2π L
=

1
2π

∞

f (x)e−ikn x dx

(2.13)

−∞
∞

f (x)e−ikn x dx

(2.14)

−∞

Hai phương trình 2.11 và 2.13 có thể viết lại:
∞

C (kn ) ekn x dkn với C(kn ) =

f (x) =
−∞

1
2π

∞

f (x)e−ikn x dx

(2.15)

−∞

C(kn ) được gọi là biến đổi Fourier của f (x) và ngược lại. Biến đổi Fourier có thể biểu

diễn theo các hàm lượng giác thay vì hàm mũ, nhưng thuật ngữ này thường được dùng
để chỉ sự phân rã theo hàm mũ của hàm.
Ví dụ 3: Tính chuỗi Fourier lượng giác cho hàm f (x) = ±A như hình 2.7.

Hình 2.7: Hàm f (x) = ±A

Giải:
• Chúng ta dễ dàng tính được an = 0

15