Đề thi và đáp án Giải tích 2 đề số 2 kỳ 2 năm học 2013-2014 - UET - Tài liệu VNU

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ </b>

<b>--- </b>

<b>ĐỀ THI HẾT MÔN </b>

<b>HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2013 - 2014 </b>
<b>--- </b>

<b>Đề thi số: 2 </b>

<b>Bài thi mơn: Giải Tích II. </b> <b>Số tín chỉ: 5. </b>

<b>Hệ đào tạo: Chính quy. </b>

<b>Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề). </b>

<b>Câu 1: (2đ) </b>

a. Tính giới hạn:

lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2_𝑦
𝑥2_{+ 𝑦}2 .

b. Cho mặt cong có phương trình 𝑧 = ln (√𝑥3 − √𝑦4 + 1). Viết phương trình mặt
phẳng tiếp xúc với mặt cong tại điểm 𝐴 = (1,1). Tính gần đúng 𝑧(1.03; 0.96).
<b>Câu 2: (2đ) Tính diện tích của phần mặt </b>𝑧 = 𝑥

2
𝑎 +

𝑦2

𝑏 (𝑎 > 0, 𝑏 > 0) nằm trong mặt
trụ 𝑥2

𝑎2 +
𝑦2

𝑏2 = 1.

<b>Câu 3: (2đ) Tính tích phân: </b>

𝐼 = ∮(2𝑥5_{+ 3𝑦}2 _{+ 𝑠𝑖𝑛}2_{𝑥)𝑑𝑥 + [(𝑥 + 𝑦)}2_{+ 𝑠𝑖𝑛}2_{𝑦]𝑑𝑦}
𝐶

,

𝐶 là biên của miền 𝐷 được giới hạn bởi các đường: 𝑦 = 𝑥2_{, 𝑦 = 2 − 𝑥. Chiều của 𝐶 là}
chiều ngược chiều kim đồng hồ.

<b>Câu 4: (2đ) Tính tích phân: </b>

𝐼 = ∬ 4𝑥3_{𝑑𝑦𝑑𝑧 + 4𝑦}3_{𝑑𝑧𝑑𝑥 − 6𝑧}2_{𝑑𝑥𝑑𝑦}
𝑆

,

𝑆 là phần mặt trụ 𝑥2_{+ 𝑦}2 _{= 𝑎}2_{, 0 ≤ 𝑧 ≤ ℎ, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0. Hướng dương của mặt 𝑆 là}
phía trên, nhìn từ hướng dương của trục 𝑂𝑦.

<b>Câu 5: (2đ) Giải phương trình vi phân: </b>

𝑦′′_{+ 2𝑦}′ _{+ 𝑦 = 𝑥}2_{+ 4𝑥 − 1 + 4𝑒}𝑥_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ </b>
<b>--- </b>

<b>ĐỀ THI HẾT MÔN </b>

<b>HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2013 - 2014 </b>
<b>--- </b>

<b>Đáp án đề thi số: 2 </b>

<b>Bài thi mơn: Giải Tính II. </b> <b>Số tín chỉ: 5. </b>

<b>Hệ đào tạo: Chính quy. </b>

<b>Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề). </b>
<b>Câu 1: (2đ) </b>

<i><b>a. (0.5) |</b></i> 𝑥2𝑦
𝑥2_+𝑦2| ≤

𝑥2_|_𝑦_|
2|𝑥𝑦| =

|𝑥|
2
<i><b>(0.25) Vì </b></i> lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)
|𝑥|

2 = 0.
<i><b> (0.25) Nên </b></i> lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2𝑦

𝑥2_+𝑦2 = 0.
<i><b>b. (0.25) </b></i>𝑧_𝑥 = 1

3 (3√𝑥−4√𝑦+1)3√𝑥2, 𝑧𝑦 =

−1

4 (3√𝑥−4√𝑦+1)4√𝑦3 .
<i><b> (0.25) (</b></i>𝑥₀, 𝑦₀) = (1,1) → 𝑧₀ = 0.

<i><b>(0.25) Phương trình mặt tiếp diện: </b></i>𝑧 = 𝑧(𝑥₀, 𝑦₀) + 𝑧_𝑥(𝑥₀, 𝑦₀)(𝑥 − 𝑥₀) + 𝑧_𝑦(𝑥₀, 𝑦₀)(𝑦 − 𝑦₀)

=1

3(𝑥 − 1) −
1

4(𝑦 − 1).

<i><b>(0.25) 𝑧(1.03; 0.96) ≈</b></i>1

3(1.03 − 1)−
1

4(0.96 − 1)= 0.02 .

<b>Câu 2: (2đ) </b>

<i><b>(0.25) Diện tích: </b></i>𝐷𝑡 = ∬ 𝑑𝑆_𝑆 .

<i><b>(0.25) Phương trình mặt </b></i>𝑆:𝑧 = 𝑥
2
𝑎 +

𝑦2
𝑏 .

𝑧_𝑥 =2𝑥
𝑎 , 𝑧𝑦 =

2𝑦
𝑏 .

<i><b>(0.25) </b></i>𝑑𝑆 = √𝑧_𝑥2+ 𝑧_𝑦2+ 1𝑑𝑥𝑑𝑦 = √1 +4𝑥2

𝑎2 +
4𝑦2

𝑏2 𝑑𝑥𝑑𝑦 .

<i><b>(0.25) </b></i>𝐷(𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦):𝑥2
𝑎2+

𝑦2

𝑏2 ≤ 1, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0} .

𝐷𝑡 = ∬ √1 +4𝑥2
𝑎2 +

4𝑦2
𝑏2 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷(𝑥,𝑦) .

<i><b>(0.25) Đổi biến sang hệ tọa độ cực, đặt: </b></i>𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑏𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑.

𝐷(𝑟, 𝜑) = {(𝑟, 𝜑): 0 ≤ 𝑟 ≤ 1,0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋}.

<i><b>(0.25) </b></i>𝐷𝑡 = ∬_{𝐷(𝑟,𝜑)}√1 + 4𝑟2. 𝑎𝑏𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜑
= 𝑎𝑏 ∬ √1 + 4𝑟2_{. 𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜑}

𝐷(𝑟,𝜑)

<i><b>(0.25) = 𝑎𝑏 ∫ 𝑑𝜑</b></i>₀2𝜋 ∫ √1 1 + 4𝑟2_{. 𝑟. 𝑑𝑟}

0
<i><b>(0.25) =</b></i> 𝑎𝑏𝜋₆ (5√5 − 1) .
<b>Câu 3: (2đ) </b>

<i><b>(0.25) 𝑃(𝑥, 𝑦) = 2𝑥</b></i>5_{+ 3𝑦}2 _{+ 𝑠𝑖𝑛}2_{𝑥; 𝑄(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)}2_{+ 𝑠𝑖𝑛}2_𝑦.

𝑄_𝑥 = 2(𝑥 + 𝑦), 𝑃_𝑦 = 6𝑦.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

𝐼 = ∬_{𝐷(𝑥,𝑦)}(𝑄_𝑥 − 𝑃_𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2 ∬_{𝐷(𝑥,𝑦)}(𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦.

<i><b>(0.25) </b></i>𝐷(𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 ≥ 𝑥2, 𝑦 ≤ 2 − 𝑥}.
<i><b>(0.25) Giao điểm của hai đường: </b></i>𝐴(1,1), 𝐵(−2,4).
<i><b>(0.25) </b></i>𝐷(𝑥, 𝑦) = {(𝑥, 𝑦): −2 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 2 − 𝑥}.
<i><b>(0.25) </b></i>𝐼 = 2 ∫ 𝑑𝑥₋₂1 ∫_𝑥2−𝑥2 (𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦.

<i><b>(0.25) </b></i>= 2 ∫ (𝑥₋₂1 4− 𝑥3− 2𝑥2+ 6𝑥 − 4)𝑑𝑥
<i><b>(0.25) </b></i>= −333

10.

<b>Câu 4: (2đ) </b>

<i><b>(0.25) Phương trình mặt </b></i>𝑆:𝑥2+ 𝑦2 = 𝑎2.

𝑆: 𝑥 = √𝑎2_{− 𝑦}2_{, vector pháp tuyến của mặt 𝑆: 𝒍 = (1, −𝑥}
𝑦, 0).

<i><b>(0.25) 𝑥</b></i>_𝑦 = −𝑦

√𝑎2_−𝑦2 .

<i><b>(0.25) </b></i>𝐷(𝑦, 𝑧) = {(𝑦, 𝑧): 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑎, 0 ≤ 𝑧 ≤ ℎ}.
<i><b>(0.25) </b></i>𝐼 = ∬ [4𝑥3+ 4𝑦3 𝑦

√𝑎2_−𝑦2] 𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐷(𝑦,𝑧) .

= ∬ [4(√𝑎2_{− 𝑦}2₎3_{+ 4𝑦}3 𝑦

√𝑎2_−𝑦2] 𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐷(𝑦,𝑧) .

<i><b>(0.25) = 4 ∫ 𝑑𝑧</b></i>₀ℎ ∫ [(√𝑎2_{− 𝑦}2₎3_{+ 𝑦}3 𝑦

√𝑎2_−𝑦2] 𝑑𝑦
𝑎

0 .

<i><b>(0.25) </b></i>= 4ℎ ∫ [(√𝑎2− 𝑦2)3+ 𝑦3 𝑦

√𝑎2_−𝑦2] 𝑑𝑦
𝑎

0 .

<i><b>(0.5) </b></i>=3𝜋ℎ𝑎

4
2 .

<i>Chú ý: SV có thể sử dụng cơng thức Gauss, hoặc tham số hóa mặt S qua hệ tọa độ trụ, kết </i>
<i>quả đúng vẫn chấm điểm tối đa. </i>

<b>Câu 5: (2đ) </b>

<i><b>(0.25) Pt đặc trưng: </b></i>𝑘2+ 2𝑘 + 1 = 0 có nghiệm 𝑘_1,2 = −1.

<i><b>(0.25) Pt thuần nhất tương ứng: </b></i>𝑦′′+ 2𝑦′+ 𝑦 = 0 có nghiệm tổng quát:

𝑦 = 𝐶1𝑒−𝑥+ 𝐶2𝑥𝑒−𝑥

<i><b>(0.25) Pt: </b></i>𝑦′′+ 2𝑦′+ 𝑦 = 𝑥2+ 4𝑥 − 1 có nghiệm riêng dạng: 𝑦₁ = 𝐴𝑥2+ 𝐵𝑥 + 𝐶.
<i><b>(0.5) Dùng phương pháp hệ số bất định, tìm được: </b></i>𝑦₁ = 𝑥2− 3.

<i><b>(0.25) Pt: </b></i>𝑦′′+ 2𝑦′+ 𝑦 = 4𝑒𝑥 có nghiệm riêng dạng: 𝑦₁ = 𝑒𝑥𝐴.
<i><b>(0.25) Dùng phương pháp hệ số bất định, tìm được: </b></i>𝑦₂ = 𝑒𝑥.

<i><b>(0.25) Nghiệm tổng quát của ptvp: </b></i>

𝑦 = 𝐶₁𝑒−𝑥_{+ 𝐶}

</div>

<!--links-->