Tài Liệu Học Toán Lớp 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (733.98 KB, 27 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TÀI LIỆU HỌC TOÁN LỚP 9

*

Chuyên đề 1

:

MéT Sè DạNG TOáN CƠ BảN Về CĂN BậC HAI

A.Kiến thức cơ bản :

1.Khái nim: x là cn bc hai ca s không âm a x2 = a. KÝ hiệu: x a.

2.Điều kiện x¸c định của biểu thức A

Biểu thức A x¸c định( cã nghÜa )  A0.

3.Hằng đẳng thức căn bậc hai

2 A khi A 0

A A

A khi A 0



  

 



4.C¸c phÐp biến đổi căn thức

1) A.B A. B



A0; B0



2) A A



A 0; B 0



B  B  

3) A B2  A B



B0



4) A 1 A.B



A.B 0; B 0



B  B  

5) 







 2

C A B

C

A b

A B (víi A  0 vµ A B

)

6) 








C A B

C

A B

A B (víi A  0 , B  0 vµ A B )

7) A2 B  m2 m.n  n



m n



2  m n

với m n A

m.n B
 


 

 ( m,n > 0 )

8) NÕu A 0 th× A = ( A)2  A2  A

*Chó ý : Khi ¸p dụng các công thức trên ta th-ờng áp dụng một cách linh hoạt theo

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

B.Một số dạng bài tập th-ờng gặp :

Dng 1: Tớnh toỏn,thu gọn biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai số học

I.Mét sè vÝ dô :

VÝ dô 1: TÝnh:

1) 12 3 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2006 - 2007,Ngày thi: 15/6/2006)
2) 100 81 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2006 - 2007,Ngµy thi: 17/6/2006)
3) 2. 8 - 3 (§Ị thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2007 - 2008, Ngµy thi: 26/6/2007) 
4) 3 2 2 2 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2008- 2009,Ngày Thi: 22/6/2008)

5) 4. 25 (§Ị thi tun sinh vào lớp 10 năm 2009- 2010,Ngày thi: 08/7/2009)
6) 9  4 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2009- 2010 , Ngày thi: 10/7/2009)
7)



5 3



5 3



(§Ị thi tuyển sinh vào lớp 10 ptth năm học 2010-2011,Ngµy 01/07/2010) 
8) 2 2

20 16 (§Ị thi tun sinh vào lớp 10 ptth năm học 2010-2011,Ngày 03/7/2010)

9) 3. 27 144 : 36 (§Ị thi tun sinh líp 10 thpt năm học 2011-2012,Ngày thi : 01/7/2011)

Ví dụ 2 : Tính: (áp dụng quy tắc khai ph-ơng một tích )

1) 9.16 2) 250.360 3) 12,1.1960 4) 2 2

25  5) 125.180
6)

81
63
2
.
25
14
2
.
16

3 7) 2 2

58 

VÝ dụ 3: Tính ( áp dụng quy tắc nhân,chia các căn bậc hai ):

1) 12. 3 2) 75. 3 3) 0,4. 90 4) 3 5. 3 5 5)

2
1

.
32

2
72

5
,
0
18

8) ( 0)
3

3 x

x
x

VÝ dô 4 : TÝnh :



3 2



2 2)



21

 

2  21



2 3)



32 2



.32 2





 



2
3
2

3  

5) 32 2  32 2

Ví dụ 5 :Tính, trục căn thức :

2
2

3
2

3) 2

3 1



 4)3 2 2 3
6

 5) 2010 2009
1


6)

1
2

 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2005 - 2006, Ngµy thi 02/7/2005)

VÝ dơ 6 : So sánh các biểu thức sau ( không sử dụng máy tính ):

1) a= 20 5 và b = 4 5

2) a=2 3 vµ b=3 2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

4) a 1997  1999 và b2 1998

* Chú ý : Để so sánh A và B trong đó A , B là các biểu thức chứa căn bậc 2 ta th-ờng

lµm nh- sau :

+ Thực hiện phép biến đổi A = C và B = D rồi so sánh B và D(B và Dso sánh

đ-ợc).

+XÐt hiƯu A-B råi so s¸nh víi 0.
+Sử dụng tính chất bắc cầu.

+So sỏnh A2 và B2 ( A,B > 0 ) từ ú so sỏnh A v B

II.Bài tập áp dụng :

Bµi 1 : TÝnh :

27
12
)

1  2)3 25 82 50 3) 2 45 80 245

108
27

12
3
)

4  

12
1
3
1

4
3
)

5   6) 0,4  2,5

2
)
18
72
2
)(

7   8)(3 5 2)(3 5 2)

Bµi 2 : TÝnh

1) 2 3 3 12 2) 2 2 5 18 20 3)3 3 12 24
4)2 27 6 48 4 75 5) 28 2 14 7 63 6) 3 5 4 20 2 125

     

      

Bµi 3 : TÝnh :

:
)
3
27
12
)(

1   2)( 27 12 108): 3 3) 3): 3
3

4
3
1

(  

4)( 4 16 25) 4 5)(4 3 2)(4 3 2) 6)( 62)( 3 2)

Bµi 4: Rót gän c¸c biĨu thøc sau :

3
2
4
)

1  2)2 62 5 3) 3 5  3 5
4) 84 3 84 3 5) 94 5  94 5 6)

1
5

5
2
6




7) 166 7  166 7 8) 62 5 13 48

Bµi 5 : Rót gän c¸c biĨu thøc sau

1) G 4 7  4 7 2) I 94 5  94 5

3)N 3 5 3 5

3 5 3 5

 

 

  4)R  3 13 48

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

1) 3 5  3 5 .

2) 3 5.( 10  2).(3 5)

Bµi 7 : TÝnh :

1)A =
2010
2009
2009
2010
1
....
...
3
2
2
3
1
2
1
1
2
1






2)B =
2007
2006
1

...
3
2
1
2
1
1






3) G
4
3
2
4
8
6
3
2







4) H

45
27
2
18
3
20
12
2
8
3






Bµi 8 :

Chøng minh : 2

2004
2005
1
...
3
4
1
2
3
1

1
2
1





 (§Ị thi tun sinh líp 10 năm 2005 - 2006)

Bài 9 : So sánh (không dùng máy tính )

1) 3+ 5 và 2 2  6

2) 2 34 vµ 3 2 10

3) 27  26 1vµ 48

4) 105 101vµ 101 97

5) 15 14 vµ 14 13

6) 5 3 vµ 3 5
7) 2009 2011 vµ 2010

8)
36
1
...
2

1
1
1


 vµ 14

Dạng 2: tìm điều kiện xác định của căn thức
I .Kiến Thức cơ bản :

1.Định nghĩa : Với A là biểu thức đại số ,ta gọi A là căn thức bậc hai của A.Khi đó
A gọi là biểu thức lấ y căn hay biểu thức d-i du cn .

2.Một số tr-ờng hợp th-ờng gặp:

+) A xác định A0

+) 2

A xác định với xR

A
m

xác định  0

0
0








A
A
A
+)
2
A
m

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

A
m

xác định A0

+) A.Bxác định A.B0 



















0
0
0
0
B
A
B
A

( ta cã thÓ lËp b¶ng xÐt dÊu )

B
A

xác định 0

B
A 

















0
0
0
0
B
A
B
A

( ta cã thÓ lËp b¶ng xÐt dÊu )

II.Mét sè vÝ dơ :

VÝ dơ 1 :

a) Tìm x để x2 có nghĩa. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2008- 2009,Ngày Thi: 22/6/2007)
b) Với giá trị nào của x thì x5có nghĩa?. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2007- 2008,

Ngµy 28/6/2007)

Ví dụ 2: Tìm x để các biều thức sau có nghĩa :

1) 2x 2) 15x 3) 2x1 4) 3 6x
5)
x

2
1
6)
1
3
2
x

7) 2x23 8)

2
5

x

II.Bài tập áp dụng :

Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau ):

3
x
1
6x

10)

x
7
3
x

9)

9
x
8)

1
2x

7)

7
3x
x

6)

14
7x
1

5)
2
x

4)

2x
5

3)

3
x

2)

1
3x

1)
2
2
2
2















D¹ng 3 : Rót gon biĨu thøc - ph©n thøc - căn thức bậc hai và các bài toán phụ 
I.Kiến thức cơ bản :

1.Cỏc b-c c bn lm bài tốn rút gọn :

-Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của biểu thức .

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

- Quy đồng mẫu chung ( nếu có )

-Thùc hiƯn c¸c phÐp to¸n thu gän biĨu thøc .

*Chó ý : Nắm vững thứ tự thực hiện các phép tính.

 



 



 

.; an    ,: ,
và các phép tính về đơn thức, đa thức, phân thức, cn thc.

*Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử cần nhớ :

1) x 2

)
1
(
1

2   

 x x ( víi x0)

2) x 2

)
(

2 xy  y x  y

 ( víi x,y0)

3) x - y =



x  y



. x  y



( víi x,y0)

4)x x  y y= x3  y3 



x y



.x x.y  y



( víi x,y0)
5) x y y x= xy( x y) ( víi x,y0)

6) x 1 ( x1)( x1)( víi x,y0)

2.Mét vµi bài toán phụ th-ờng gặp :

2.1. Tính giá trị cđa biĨu thøc A(x) víi x = m.

+ H-íng dÉn:

- Nếu biểu thức đã rút gọn chứa căn, giá trị của biến chứa căn, ta biến đổi giá trị của
biến về dng HT.

- Nếu giá trị của biến chứa căn ở mẫu, ta trục căn thức ở mẫu tr-ớc khi thay vµo biĨu
thøc.

2.2 Tìm giá trị của x để : A(x) = a. ( a là hằng số )

+ H-íng dÉn: - Thực chất là giải PT :

A

(x) = a.

- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
 2.3. Tìm giá trị của x để : A(x) lớn hơn, hoặc bé hơn một số ( một biểu thức).

+ H-ớng dẫn: - Thực chất là giải BPT :

A

(x) > B(x) ( hoặc

A

(x) < B(x)).
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.

2.4. Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức đã rút gọn nhận giá trị nguyên.

+ H-ớng dẫn: - Tách phần nguyên, xét -ớc.

- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.

2.5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đã rút gọn.

+ H-ớng dẫn: Có thể đánh giá bằng nhiều cách, tuỳ bài toán cụ thể mà ta chọn cách
nào đó cho phù hợp.

2.6. So sánh biểu thức đã rút gọn với một số hoặc một biểu thức.

+ H-íng dÉn: XÐt hiƯu A - m so s¸nh víi 0

- NÕu A - m > 0 th× A > m.
- NÕu A - m < 0 th× A < m.
- NÕu A - m = 0 th× A = m.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

VÝ dơ 1. (§Ị thi vào 10 THPT năm 2011-2012 (01/7/2011)- Bắc Giang)

Rút gän biÓu thøc

3 2 . 1 1

3 1

a a a

A

a a

     
     

   

  , víi a0;a1

VÝ dụ 2. (Đề thi vào 10 THPT năm 2010-2011 (03/7/2010)- B¾c Giang)
Cho biĨu thøc

3 3

2 2

1 1

a a

P

a a a a

 

 

    (víi aR)
a) Rót gän P

b) Tìm a để P > 3.

VÝ dơ 3. Cho biĨu thøc: 1 1 : 1 3

x x x x x

A

x x x x x

      
      

  

   
a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của biểu thøc A khi x62 5

c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
d) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng -3.

e) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A nhỏ hơn -1.

VÝ dô 4. Cho biÓu thøc

A =       


    

 

1 1 2

1 1

a

a a a a

a) Rót gän biĨu thøc A

b) Tính giá trị A biết a = 4 +2 3

c) Tỡm a A < 0 .

III.Bài tập áp dụng :

Bài 1: (Đề thi vào 10 THPT năm 2009-2010 (10/7/2009)- Bắc Giang)

Rót gän biĨu thøc A = 























1
1
1

1 x

x
x
x

x
x

với x0;x1

Bài 2: (Đề thi vào 10 THPT năm 2008-2009(22/6/2008)- Bắc Giang)

Rót gän biĨu thøc: P = 























 1 1

2
:
1
1

2
x

x

x víi -1 < x < 1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Rót gän biểu thức: P =

b
a
b
a
ab
b
a

1
:
2

Bài 4: (Đề thi vào 10 THPT năm 2007-2008(26/6/2007)- Bắc Giang)

Cho biểu thức: A = x

x
x
x
x
x 







1
1
1
1
2

1. Rót gän A

2. Tìm xz để z
A

Bµi 5: (Đề thi vào 10 THPT năm 2007-2008(28/6/2007)- Bắc Giang) 
Rót gän biĨu thøc: A =

1
2
2
2
1
2
2
2







Bµi 6: Cho biĨu thøc

2
1
x
3
x
P

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P nÕu x = 4(2 - 3).
c) TÝnh gi¸ trị nhỏ nhất của P.

Bài 7: Xét biểu thức 1.

a
a
2a
1

a
a
a
a
A
2







a) Rót gän A.

b) Biết a > 1, hãy so sánh A với A .
c) Tìm a A = 2.

d) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa A.

Bµi 8: Cho biĨu thøc

x
1
x
2
x
2
1
2

x
2
1
C







a) Rót gọn biểu thức C.
b) Tính giá trị của C víi

9
4

x  .

c) Tính giá trị của x để .
3
1
C 

Bµi 9: XÐt biĨu thøc .

x
3
1
x

2
2
x
3
x
6
x
5
x
9
x
2
Q











a) Rót gän Q.

b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.

c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị t-ơng ứng của Q cũng là số ngun.

Bµi 10 Cho biĨu thøc:

2 2 2 1

1 2 1 2

x x x x

M

x x x

     

  

  

 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

b) CMR nÕu 0 <x < 1 th× M > 0.

c) Tính giá trị của biểu thức M khi

25
4



x .
d) Tìm giá trị của x để M = -1.

e) Tìm giá trị của x để M < 0 ( M > 0 ).
f) Tìm giá trị của x để M > -2 .

g) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
h) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M đạt GTLN.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

*

Chuyên đề 2

:

Hàm số và đồ thị (

Hàm số y = ax+b v y = ax

2

)

A.KIếN THứC CƠ BảN :

1. Hµm sè: y = ax + b (a 0)

a)TÝnh chÊt : 
* TX§ :  x R.
* Sù biÕn thiªn :

+ Nếu a > 0 hàm số đồng biến trên R
+ Nếu a < 0 hàm số nghịch biến trên R

b) Đồ thị: Là đ-ờng thẳng song song với đồ thị y = ax .

- Nếu b 0. cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng b.Trùng với đồ thị y = ax nếu b = 0
 (b đ-ợc gọi là tung độ gốc)

c) Cách vẽ đồ thị: Lấy hai điểm khác nhau thuộc đ-ờng thẳng y = ax + b (a 0) Biểu

diễn hai điểm trên hệ trục Oxy kẻ đ-ờng thẳng đi qua hai điểm đó.
Cụ thể nh- sau :

- Cho x = 0 y = b ta đ-ợc điểm A ( 0 ; b) thuéc trôc 0y
- Cho y = 0 x =

a
b

ta đ-ợc điểm B (

a
b

 ; 0) thuéc trôc 0x

Vẽ đ-ờng thẳng đi qua A và B ta đ-ợc đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)

* §å thị hàm số y = ax + b (a 0) còn gọi là đ-ờng thẳng y = ax + b .
d) Chú ý :

- Đ-ờng thẳng y = ax + b (a 0) cã a gäi lµ hƯ sè gãc.

- Ta có: tg= a (Trong đó  là góc tạo bởi đ-ờng thẳng y = ax + b (a 0) với
chiều d-ơng trục Ox)

- NÕu a > 0 th× : 0 <



< 900
- NÕu a < 0 th× : 900 <



< 1800

Minh Ho¹ : y

y

y = ax + b ( a > 0 )

 x  x 
 0 0

y = ax + b ( a <0 ) 
e.Quan hệ giữa hai đường thẳng.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

(d2) : y= a2x + b2.

a) (d1) cắt (d2) a1 a2.
b) (d1) // (d2)

c) (d1) (d2)

d) (d1) (d2) a1 a2 = -1

f) Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hà m số y = f(x) yA = f(xA).

2. Hµm sè: y = ax2 (a 0)

a) TÝnh chÊt : 
*TX§ : x R.
* Sù biÕn thiªn :

- Nếu a > 0 hàm số đồng biến với mọi x > 0 ; nghịch biến vứi mọi x < 0.
- Nếu a < 0 hàm số đồng biến với mọi x < 0 ; nghịch biến với mọi x > 0.
b)Đặc điểm của giá trị hàm số y = ax2 (a 0)

 Khi a > 0 : Giá trị hàm số luôn > 0 với mọi x khác 0. y = 0 khi x = 0  0 là giá
trị nhỏ nhất của hàm số đạt đ-ợc khi x = 0.

 Khi a < 0 : Giá trị hàm số luôn < 0 với mọi x khác 0. y = 0 khi x = 0  0 là giá
trị lớn nhất của hàm số đạt đ-ợc khi x = 0.

c) Đặc điểm của đồ thị hàm số : y = ax2 (a 0)

- Là đ-ờng cong ( Parabol) đi qua gốc toạ độ nhận trục Oy là trục đối xứng. 
* Nếu a > 0 đồ thị nằm phía trên trục hoành. O là điểm thấp nhất của đồ thị.
* Nếu a < 0 đồ thị nằm phía d-ới trục hồnh. O là điểm cao nhất của đồ thị.
Minh hoạ :

y y

y=ax2 ( a > 0 ) x

y=ax2 ( a < 0 )

3. Điểm thuộc và không thuộc đồ thị hm s.

*) Điểm thuộc đ-ờng thẳng.

- Điểm A(xA; yA) (d): y = ax + b (a0) khi vµ chØ khi yA = axA + b
- §iĨm B(xB; yB) (d): y = ax + b (a0) khi vµ chØ khi yB= axB + b
*) §iĨm thc Parabol : Cho (P) y = ax2 (a0 )

- §iĨm A(x0; y0) (P) y0 = ax0
2

.
- §iÓm B(x1; y1) (P) y1  ax1

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

4. T-ơng giao của đ-ờng cong Parabol y = ax2 (a 0) và đ-ờng thẳng y = bx + c

-Toạ độ giao điểm (Nếu có) của Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đ-ờng thẳng
(d) : y = bx + c là nghiệm của hệ ph-ơng trình:










c
bx
y

ax

y 2

- Hay ph-ơng trình hồnh độ giao điểm (nếu có) của ( P ) và ( d) là nghiệm của
ph-ơng trình : ax2 = bx + c (1) Vậy:

+ Đ-ờng thẳng (d) không cắt (P) ph-ơng trình (1) vô nghiệm.

+ Đ-ờng thẳng (d) tiếp xúc với đ-ờng cong(P)Ph-ơng trình (1) có nghiệm kép.
+ Đ-ờng thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ph-ơng trình (1) có hai nghiệm
phân biệt

B.MộT Số DạNG BàI TậP THƯờNG GỈP :

Dang 1 : Tìm giá trị của tham số để hầm số là hàm số bậc nhất, đồng biến, nghịch 
biến :

1) Bài toán : Cho hàm số y = ax + b ( chứa tham số m ) .Tìm m để hàm số

y = ax + b là hàm số bậc nhất,đồng biến ,nghch bin ?

Ph-ơng pháp giải :

- Hm s y = ax + b là hàm số bậc nhất a0
- Hàm số y = ax + b đồng biến a > 0

- Hµm sè y = ax + b nghÞch biÕn a < 0

2) VÝ dơ :

Ví dụ 1 : (đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt, Năm học 2011-2012,Ngày thi : 01/7/2011)

Tìm giá trị của tham số m để hàm số bậc nhất y = (m - 2)x + 3 đồng biển trên R.

Gi¶i :

Hàm số y = (m - 2)x + 3 là hàm đồng biến  m   2 0 m 2

Vậy với m > 2 thì hàm số đã cho đồng biến.

Ví dụ 2 (đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt, Năm học 2009-2010,Ngày thi : 08/7/2009)

Hàm số y = 2009x + 2010 đồng biến hay nghịch biến trên R? vì sao?

Gi¶i :

Vì hàm số có hệ số a = 2009 > 0  hàm số đã cho là hàm số đồng biến.

Ví dụ 3: (đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt, Năm học 2006-2007,Ngày thi : 17/6/2006)
Tìm m dể hàm số y = (2m-1)x + 3 là hàm số bc nht.

Giải :

Hàm số y = (2m - 1)x + 3 lµ hµm bËc nhÊt  2 1 0 1
2

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

VËy víi 1

m thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.

VÝ dơ 4 : Cho hµm sè : y = ( m-3)x + 2 ( tham sè m )

a) Tìm m để hàm số đã cho là hàm bậc nhất ?
b) Tìm m để hàm số đã cho đồng biến ?
c) Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến ?

Gi¶i :

a) Hàm số đã cho là hàm bậc nhất  m-3 0m  3
b) Hàm số đã cho đồng biến m - 3 > 0  m > 3
c) Hàm số đã cho nghịch biến  m - 3 < 0  m < 3
* KL : ...

Dang 2 : Tính giá trị của hàm số:

1) Bài toán : Cho hµm sè y = ax + b (a0) vµ y = ax2 (a0)

Tính giá trị của hàm số tại x = k.

Ph-ơng pháp giải :

Thay x = k vào hàm số để tìm y.

2) VÝ dơ :

a) Cho hµm sè y = x - 1. Tại x = 4 thì y có giá trị bằng bao nhiêu (Đề thi tuyển sinh vào lớp 
10 năm 2009- 2010 , Ngày thi: 10/7/2009)

b) Cho hµm sè f(x) = 2x2 . TÝnh f(1); f(-2). (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ptth năm học 
2010-2011,Ngày 01/07/2010)

Giải:

a) Thay x = 4 vµo hµm sè y = x- 1 ta đ-ợc y = 4-1=3. Vậy tại x = 4 thì y có giá trị
bằng 3.

b) Ta cã f(1) = 2.12 = 2

f(-2) = 2.(-2)2 = 2.4 = 8.

Dang 3 : Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng ( xác định hàm số ) y = ax + b biết đ-ờng 
thẳng ( đồ thị hàm số ) thoả mãn các điều kiện cho tr-ớc :

- Nhận xét : Thực chất việc viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng ( xác định hàm số )

y = ax + b biết đ-ờng thẳng ( đồ thị hàm số ) thoả mãn các điều kiện cho tr-ớc chính 
là đi tìm a,b.

1)Bài tốn : Xác định hàm số y = ax + b biết :

a) Hệ số góc a và đồ thị của nó i qua A( x0 ;y0 )

b) Đồ thị của nó song song với đ-ờng thẳng y = ax + b và đi qua A( x0 ;y0 )
c) Đồ thị của nó vuông góc với đ-ờng thẳng y = ax + b và đi qua A( x0 ;y0 )
d) Đồ thị của nó đi qua A( x0 ;y0 ) vµ B( x1;y1 )

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

f) Đồ thị của nó đi qua A( x0 ;y0 ) và cắt trục tung tại điểm có tung bng y1

Ph-ơng pháp giải :

a) Thay hệ số góc vào hàm số ,Vì đồ thị của nó đi qua A( x0 ;y0 ) nên thay x = x0 ; y =
y0 vào hàm số ta tìm đ-ợc b.

b) Vì đồ thị hàm số y = ax + b song song với đ-ờng thẳng y = a’x + b’ nên a = a’ 
thay a = a’ v¯o h¯m số rồi l¯m tương tự phần b.

c) Vì đồ thị hàm số y = ax + b vuông với đ-ờng thẳng y = a’x + b’ nên ta ta có a.a’ 
= 1 ta tìm đợc a =

-'
1

a ,thay a = - '
1

a vµo hµm sè rồi làm t-ơng tự phần b.

d) Vỡ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x0 ;y0 ) và B( x1;y1 ) nên ta có hệ ph-ơng
trình :








b
ax
y

1
1

0
0

(1) ; Gi¶i hệ ph-ơng trình (1) ta tìm đ-ợc a và b.

e) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x0 ;y0 ) và cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ
bằng x1 tức là đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x0 ;y0 ) và B ( x1;0 ).Sau đó làm t-ơng
tự phần d.

f) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x0 ;y0 ) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
y1 tức là đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x0 ;y0 ) và B ( 0; y1) .sau đó làm t-ơng tự
phần d.

2) VÝ dơ :

Ví dụ 1: Xác định ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) biết:

a) Đ-ờng thẳng (d) đi qua hai điểm A( -1; 3) và B ( 2; -4)

b) Đ-ờng thẳng (d) đi qua M (-2; 5) và song song với ®-êng th¼ng:
(d’): y = - 1

2x + 3

c) Đ-ờng thẳng (d) đi qua N (-3; 4) và vuông góc với đ-ờng thẳng y = 2x + 7

Giải :

Gọi đ-ờng thẳng (d): y = ax + b ( a, b là các số )

a) Vì (d) ®i qua hai ®iĨm A( -1; 3) vµ B ( 2; -4)
nên ta có:

4
2

b
a

3
2
3

b
a

Vậy ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d): y = 7 2

3x 3

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

b) Vì (d) song song với đường th¼ng: (d’): y = - 1

2x + 3 

a = -
 (d): y = 7

3x b

- + mà (d) đi qua M (-2; 5) nªn ta cã: 5 = 14

3 + b  b =
1
3

Vậy ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) : y = 7 1

3x 3

- +

c) Đ-ờng thẳng (d) đi qua N (-3; 4) và vuông góc với đ-ờng thẳng y = 2x + 7
nên ta cã: a.2 = -1  a = 1

- vµ 4 = 3

2+ b  b =
5
2

Vậy ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) : y = 1 5

2x 2

- +

VÝ dô 2 : Cho hµm sè y = (m2 – 2).x + 3m + 2 Tìm các giá trị của m biết: 
a) Đồ thị (d) của hàm số song song với đ-ờng thẳng y = 3x + 2

b) Đồ thị (d) của hàm số vuông góc với đ-ờng thẳng y = -3x -2
c) Đồ thị (d) đi qua điểm A (2; 3)

Giải

a) Vì đồ thị (d) của hàm số song song với đ-ờng thẳng y = 3x + 2
Nên ta có:











2
2
3

3
2

m
m










0
5

m

m 

m = ±

VËy m = ± 5

b) Vì đồ thị (d) của hàm số vng góc với đ-ờng thẳng : y = -3x -2
Nên ta có: (m2 - 2 ).(- 3) = -1 3m2 -6 = 1m2 =

7 

m = ±

VËy m = ± 5

c) Vì đồ thị (d) đi qua điểm A( 2; 3) nên ta có :
3 = 2m2 - 4 + 3m + 2

 2m2 +3m -5 = 0

Ta có a + b + c = 0 theo hệ quả định lí Viet ph-ơng trình có hai nghiệm :
m1 = - 1; m2 =

5
2

- VËy m1 = - 1; m2 =

5
2

-Dang 4: Tìm toạ độ giao điểm của hai đ-ờng thẳng, của đ-ờng thẳng và Parabol.

1) Bài toán 1 : Cho hai đ-ờng thẳng y = ax + b (d) và y = a’x + b’ (d’) (với a a’). 
Tìm toạ độ giao điểm cða (d) v¯ (d).

Ph-ơng pháp giải :

- Cỏch 1 : V đồ thị hai hàm số y = ax + b (d) và y = a’x + b’ (d’) trên cùng một hệ 
trục toạ độ Oxy,sau đó tìm toạ độ giao điểm ( nếu có )

- Cách 2 : Hoành độ giao điểm cða (d) v¯ (d’) l¯ nghiệm cða phương trình : 
ax + b = a’x + b’ (1)

Giải ph-ơng trình (1) tìm x = x0 sau đó thay x = x0 tìm được v¯o (d) hoặc (d’) tìm y=

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

- Cách 3 : Toạ độ giao điểm của y = ax + b (d) và y = a’x + b’ (d’) l¯ nghiệm cða hệ 
ph-ơng trình :








b'
x
a'
y

b
ax
y

(2)

Giải hệ ph-ơng trình (2) tìm đ-ơc x = x0 ;y = y0 Toạ độ giao điểm là A (x0 ; y0)
2) Bài toán 2:

Cho hai đ-ờng thẳng y = ax + b (d) và parabol y = ax2 (P) .Tìm toạ độ giao im ca
(d) v (P).

Ph-ơng pháp giải :

Honh độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của ph-ơng trình :
ax + b = ax2 (1)

Giải ph-ơng trình (1) tìm x sau đó thay x tìm đ-ợc vào (d) hoặc (P) tìm y t-ơng ứng,
Toạ độ giao điểm là A (x ; y).

3) VÝ dô :

Cho hai hàm số y= x+3 (d) và hàm số y = 2x + 1 (d’)
a)Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ.
b)Tìm toạ độ giao điểm nếu có của hai đồ thị.

*Nhận xét : Gặp dạng toán này học sinh th-ờng vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm toạ

độ giao điểm (x;y) tuy nhiên gặp những bài khi x và y khơng là số ngun thì tìm toạ
độ bằng đồ thị sẽ gặp khó khăn khi tìm chính xác giá tri của x; y

Gi¶i:

a) Vẽ đồ thị hai hàm số ( HS tự vẽ )

b) Hoành độ giao điểm là nghiệm của ph-ơng trình:
x + 3 = 2x + 1

2x – x = 3 – 1

x = 2 Thay x = 2 vào y = x + 3 ta đ-ợc y = 3 + 2 = 5
Vậy toạ độ giao điểm cða (d) v¯ (d’) l¯ A ( 2;5 )

Dang 5: Tìm điều kiện của tham số để 3 đ-ờng thẳng đồng quy :

1)Bài toán : Cho ba đ-ờng thẳng: y = ax+ b (d) ; y = a’x+ b’ (d’) và y = a’’x+ b’’ (d’’)
Trong đó y = a’’x + b’’ chứa tham số m.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

- Toạ độ giao điểm cða (d) v¯ (d’) l¯ nghiệm cða hệ phương trình









b'
x
a'
y

b
ax
y

(1)
Giải hệ ph-ơng trình (1) tìm đ-ơc x = x0 ;y = y0 Toạ độ giao điểm là A (x0 ; y0)

- Để 3 đường thẳng đ± cho đồng quy thì (d’’) ph°i đi qua A (x0 ; y0).

- Thay A (x0 ; y0) v¯o phương trình đường thng (d) ta c phng trỡnh n m,gii

ph-ơng trình t×m m .
- KÕt ln :...

2.VÝ dơ : Cho 3 đ-ờng thẳng lần l-ợt có ph-ơng trình:

(d1) y = x + 1
(đ2) y = - x + 3
(d3) y= (m

2-1)x + m2 - 5 (víi m

 

Xác định m để 3 đ-ờng thẳng (d1) ,(d2), (d3) đồng quy.

Gi¶i:

- Vì 1- 1 nên (d1) và (d2) cắt nhau . Hoành độ giao điểm A của (d1) ,(d2) là nghiệm
của ph-ơng trình : -x + 3 = x + 1  x = 1

thay x = 1 vào y = x+1 y = 2  A (1;2) để 3 đ-ờng thẳng đồng quy thì (d3)
phải đi qua điểm A nên ta thay x = 1 ; y = 2 vào ph-ơng trình (d3) ta có:

2 = (m2-1)1 + m2 - 5  m2 = 4  m = 2

Vậy với m = 2 hoặc m = -2 thì 3 đ-ờng thẳng (d1) ,(d2), (d3) đồng quy.

Dang 6: Tìm điều kiện để hai đ-ờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung, 
cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.

6.1: Điều kiện để hai đ-ờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Cho (d1): y = a1x + b1 và (d2): y = a2x + b2 
Để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung thì



 


1 2

a a (1)

b b (2)

Gi¶i (1)

Gi¶i (2) và chọn những giá trị thoả mÃn (1).

6.2: Điều kiện để hai đ-ờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.

Cho (d1): y = a1x + b1 và (d2): y = a2x + b2

Để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục hoành thì





1 2

a a (1)

b b

(2)

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

* MộT Số BàI TOáN LIÊN QUAN ĐếN HàM BậC HAI 
Bài toán 1: Cho (P): y = ax2 (a 0) vµ (d): y = bx + c . Tìm tọa độ giao điểm của
(d) và (P).

Ph-¬ng pháp giải :

Cỏch 1 : Dựng th ,v đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) và y = bx + c trên cùng một mặt
phẳng toạ độ .sau đó tìm toạ độ giao điểm .

Cách 2 : Dùng ph-ơng trình hồnh độ :

-Hồnh độ giao điểm nếu có của (P) và (d) nếu có là nghiệm của ph-ơng trình :
ax2 = bx + c (*)

Giải ph-ơng trình (*) tìm nghiƯm

- Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = bx +c hoặc y = ax2 để tìm tung độ
giao điểm.

* Chú ý: Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của (d) và (P).

Bài toán 2: Cho (P): y = ax2 (a 0) và (d): y = bx + c . ( chứa tham số m ) 
Tỡm m để:

a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt.
b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (V) có nghiệm kép.
c) (d) và (P) khơng giao nhau phương trình (V) vơ nghiệm .

Ph-ơng pháp giải :

-Honh giao im nu cú của (P) và (d) nếu có là nghiệm của ph-ơng trình :
ax2 = bx + c (*)

a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (*)có nghiệm kép.
c) (d) và (P) không giao nhau phng trỡnh (*) vụ nghim .

Bài tập áp dụng :

Bài 1: Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số bậc nhất? Xác định a, b và tính

đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.
1) y = 2 - 0,3 x 2) y = 3 - 2 2

x 3) y = 2(x 2) 4) y = -2,5x
5)y = ( 2 1) x3 6)y + 5 = x - 3

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

1)y = (m - 3)x +5 2) y = (2 - 4m)x - 1 3)y = (1 - 2m)x +1

4)y = mx - 2x + 3 5) y = 7 m (x -1) 6)y = 2 100
2

m
x
m

 



Bµi 3: Cho hµm sè y = (m + 1)x - 5 ; y = (6 - 2m)x + 2

a) Tìm m để hàm số đồng biến.
b) Tìm m để hàm số nghịch biến.

Bài 5: Cho hàm số : y = ( m – 1).x + m (d)

a)Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến ?

b)Tìm m để đồ thị hàm số song song với trục hoành.
c)Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A( - 1 ; 1)

d)Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng có phương trình: x – 2y = 1
e)Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm A có hồnh độ b»ng 3.

Bài 6: Cho hàm số: y = ax - 3 . Hãy xác định giá trị của a :

a)Đồ thị hàm số song song với đ-ờng thẳng y = - 2x.
b)Khi x = 4 thì hàm số có giá trị bằng 1.

c)Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;2)

Bài 7:

a)Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;3)và song song với đ-ờng thẳng
y= x.

b)Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) ®i qua ®iĨm A(1;2) vµ B(2;3).

Bài 8: Cho hàm số: y = -x + m . Hãy xác định m biết:

a)Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.
b)Đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1;2).

c)Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng -1.

Bµi 9 : Cho hµm sè y = (m - 1)x + m.

a) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đồ thị y = mx + 3?

b)Tìm m để đồ thị hàm số vng góc với đồ thị y = -mx + 1?

Bµi 10 : Cho parabol (P) : 2

2
1

x
y

a)Vẽ parabol (P).

b)Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) ®i qua A(-2; -2) vµ tiÕp xóc víi (P).

Bµi 11: Cho parabol (P): y = -x2 và đ-ờng thẳng (d); y = 2x + m
a)VÏ parabol (P).

b)T×m giao điểm của (P) và (d) khi m = -15.

c)Xác định m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt? (d) tiếp xúc với (P)?
d)Xác định m để (d) cắt (P) tại điểm có hồnh độ bằng – 3.

Bµi 12*:Cho Parabol ( P) y =

x

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

*

Chun đề 3

:

HƯ hai ph-¬ng trình bậc nhất hai ẩn

A. kiến thức cơ bản :

Hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

- Cho hai ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ
hai ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn 



ax + by = c

a'x + b'y = c' (I)

2. Nghiệm của hệ ph-ơng trình.

- Nếu hai ph-ơng trình ấy cã nghiÖm chung (x0; y0) thì (x0; y0) đ-ợc gọi là một

nghiệm của hệ ph-ơng trình (I). Nếu hai ph-ơng trình không có nghiệm chung thì ta
nói hệ ph-ơng trình (I) vô nghiệm.

- Chó ý : NÕu mét trong hai ph-ơng trình của hệ vô nghiệm thì hệ vô nghiệm.

3. Định nghĩa về giải hệ ph-ơng trình:

- Giải hệ ph-ơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó.

4. Định nghĩa hệ ph-ơng trình t-ơng đ-ơng.

- Hai hệ ph-ơng trình gọi là t-ơng đ-ơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

5.Các ph-ơng pháp giải hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn th-ờng dùng :

- Ph-ơng pháp thế

- ph-ơng pháp cộng đại số
- ph-ng phỏp t n ph

...

* Giải hệ ph-ơng trình bằng ph-ơng pháp thế.

a. Qui tắc thế (SGK toán 9 tập 2, trang 16)

b. Tóm tắt cách giải hệ ph-ơng trình bằng ph-ơng pháp thế.

1) Dùng qui tắc thế biến đổi hệ ph-ơng trình đã cho để đ-ợc một hệ ph-ơng trình
mới, trong đó có một ph-ơng trình một ẩn.

2) Giải ph-ơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ ph-ơng trình đã cho.

* Giải hệ ph-ơng trình bằng ph-ơng pháp cộng đại số.

a. Qui tắc cộng đại số: (SGK toán 9 tập 2, trang 16)

b.Tóm tắt cách giải hệ ph-ơng trình bằng ph-ơng pháp cộng đại số.

1) Nhân hai vế của mỗi ph-ơng trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ
số của một ẩn nào đó trong hai ph-ơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

2) áp dụng qui tắc cộng đại số để đ-ợc hệ ph-ơng trình mới, trong đó có một
ph-ơng trình một ẩn.

3) Giải ph-ơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ ph-ơng trình đã cho.

6. Giải hệ ph-ơng trình gồm một ph-ơng trình bậc nhất và một ph-ơng trình bậc 
hai hai ẩn.

Th-ờng dùng ph-ơng pháp thế.

7.Mt s bi toỏn liờn quan đến hệ ph-ơng trình chứa tham số :

Bµi toán : Cho hệ ph-ơng trình

)
2
(
'
'
'

)
1
(

c
y
b
x
a

c
by
ax

(I)
a/ Chøng minh hƯ lu«n cã nghiƯm

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

d/Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho tr-c.

Ph-ơng pháp giải : 
 *Cách 1:

a/ Rút x ( hoặc y ) từ (1) (hoặc (2) ) thế vào ph-ơng trình còn lại ,ta đ-a về ph-ơng
trình (3) là ph-ơng trình bậc nhất 1 ẩn.Ta chứng minh ph-ơng trình (3) luôn cã
nghiƯm.

b/ Rót x ( hc y ) tõ (1) (hoặc (2) ) thế vào ph-ơng trình còn lại ,ta đ-a về ph-ơng
trình (3) là ph-ơng trình bậc nhÊt 1 Èn.

HÖ (I) cã nghiÖm duy nhÊt ph-ơng trình (3) có nghiệm duy nhất.

c/ Rút x ( hc y ) tõ (1) (hc (2) ) thÕ vào ph-ơng trình còn lại ,ta đ-a về ph-ơng
trình (3) là ph-ơng trình bậc nhất 1 ẩn.

Hệ (I) vô nghiệm ph-ơng trình (3) vô nghiệm.

d/ Da vào điều kiện cuẩ đề bài ta có ph-ơng pháp giải phù hợp.

*Cách 2: (Dựa vào vị trí t-ơng đối của hai đ-ờng thẳng)

ax by c
a' x b' y c '

 





 

 (a, b, c, a’, b’, c’ khác 0)

+ Hệ có vô số nghiệm nếu a b c

a'  b'  c '

+ HÖ v« nghiƯm nÕu a b c
a'  b'  c '

+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu a b

a'  b '

B.Mét sè vÝ dô :

Dạng1: Giải hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 1: Giải các HPT sau:

a. 2 3

3 7

x y

 


  

 b.

2 3 2

5 2 6

x y

  


  



Gi¶i:

a. Dïng PP thÕ: 2 3

3 7

x y
x y

 


  



2 3 2 3 2 2

3 2 3 7 5 10 2.2 3 1

y x y x x x

x x x y y

     

   

   

      

   

Vậy HPT đã cho có nghiệm là: 2

x
y



 


Dïng PP céng: 2 3

3 7

x y
x y

 


  


5 10 2 2

3 7 3.2 7 1

x x x

x y y y

  

  

  

    

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Vậy HPT đã cho có nghiệm là: 2

1
x
y




-Nhận xét : Để giải loại HPT này ta th-êng sư dơng PP céng cho thn lỵi.
2 3 2

5 2 6

x y
x y
  

  


10 15 10 11 22 2 2

10 4 12 5 2 6 5 2.( 2 6) 2

x y y y x

x y x y x y

       

   

   

        

   

VËy HPT cã nghiƯm lµ 2

2
x
y



  


Bµi 2 :

a) 2 3 13

2 4
x y
x y
 

  

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2011-2012,Ngµy thi : 01/7/2011)

b) 2 3

3 2
x y
x y
 

  

 (§Ị thi tun sinh lớp 10 thpt năm học 2010-2011,Ngày thi : 01/7/2010)
c)

3
5
y
x
y
x

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2009-2010,Ngày thi : 10/7/2009)

Giải:

a) 2 3 13 7 21 3 3

2 4 8 2 2.3 4 2 2 1

x y y y y

x y x x x

    

   

   

       

    

Vậy hệ ph-ơng trình đã cho có nghiệm 1

3
x
y


 


b) 2 3

3 2
x y
x y
 

  


5 5 1 1

3 2 3.1 2 1

x x x

x y y y

  

  

  

     

  

Vậy hệ ph-ơng trình đã cho có nghiệm 1

1
x
y


  

c)








3
5
y
x
y
x

2 8 4 4

5 4 5 1

x x x

x y y y

  

  

  

    

  

Vậy hệ ph-ơng trình đã cho cú nghim 4

1
x
y

Bài 2 : Giải các hệ ph-ơng trình sau :

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

+ C¸ch 1: Sư dơng PP céng. §K: x 1,y0.

2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y
   
 


   
 

2

2 1 1 1 3

2 2

2 5 2

2 5 1 4

1 1

1 1 1 1

y y

y x x

y y
x x
x y
       
     
    
    
   
          
 


VËy HPT cã nghiƯm lµ

3
2
1
x
y
  


 


+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ. ĐK: x 1,y0.
Đặt 1

1 a

x  ;

b

y  . HPT đã cho trở thành:

2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2

2 5 1 2 2 1 1

a b a b a a

a b b b b

        
   
  
        
   
1
2 3
1
2
1
1 1
x
x
y
y
  

   
 
 
   

(TM§K)

VËy HPT cã nghiƯm lµ

3
2
1
x
y
  


 


*L-u ý: - NhiÒu em còn thiếu ĐK cho những HPT ở dạng này.
- Cã thÓ thử lại nghiệm của HPT vừa giải.

x + y 2

+ = 3

3 3

4x - y x

+ = 1

6 4 .

(I)

H-íng dÉn:

(I)  


x + y = 7
11x - 2y = 12

Hệ ph-ơng trình (I) có tập hợp nghiệm là S = {(x; y) = (2; 5)}.
c/













)

4
)(
3
(
)
7
)(
4
(
)
1
)(
2
(
)
2
)(
5
(
y
x
y
x
y
x
y
x
Gi¶i: 














)
4
)(
3
(
)
7
)(
4
(
)
1
)(
2
(
)
2
)(
5

(
y
x
y
x
y
x
y

x 2 5 10 2 2

7 4 28 4 3 12

xy x y xy x y

      

        

3 8
3 16
x y
x y
  

  

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Dạng2: Hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số.

Bài 1: Tìm m sao cho hệ ph-ơng trình:

mx + y = 3

x + my = 3 (I)

a) V« nghiƯm.

b) Cã nghiƯm duy nhÊt.

H-íng dÉn:

a/ (I) 





 




 2

y = 3- mx

1- m x = 3- 3m *

(I) v« nghiệm khi và chỉ khi (*) vô nghiệm m = - 1.

b/ Hệ ph-ơng trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 1.

Bài 2: Tìm m sao cho hệ ph-ơng trình:

mx + y = 3

4x + my = -1 (I)
a) V« nghiƯm.

b) Cã nghiƯm duy nhÊt.

H-íng dÉn:

a/ (I)  





 

 2

y = 3- mx

4 - m x = 1- 3m *

(I) vô nghiệm khi và chỉ khi (*) vô nghiƯm m = 2 hc m = - 2.
b/HƯ ph-ơng trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 2.

Dạng 3. Giải hệ ph-ơng trình có ph-ơng trình bậc hai hai ẩn.

Bài 1: Giải hệ ph-ơng trình:

2 2

x + y = 5
x + y = 3

H-íng dÉn:





2 2

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

V

 


 

 
  
 
2

(x + y) - 2xy = 5
x + y = 3

x + y = 3
xy = 2

x = 2 x = 1
y = 1 y = 2

Kết luận: Hệ ph-ơng trình có 2 nghiệm: (x;y) = (1; 2) ; (x;y) = (2; 1)

Bµi 2: Giải hệ ph-ơng trình:

x + y - 2xy = - 17

xy - 12 = 0 (I)

H-ớng dẫn:

Hệ ph-ơng trình (I) có tập hợp nghiệm là S = {(3; 4); (4; 3)}.

Bài tập áp dụng :

Bài 1: Giải hệ ph-ơng trình:

7
5
6
4
3
4
,
y
x
y
x
a









0
2
4
3

0
1
16
12
,
y
x
y
x
b

15
3
7
27
6
5
,
y
x
y
x
c
Bài 2: Giải hệ ph-ơng trình:

3
3
5
11
2
,
y
x
y
x
a







23
2
5
5

3
,
y
x
y
x
b

1
)
1
(
7
)
3
(
5
2
1

2
5
1
5
,
y
x
y
x
c

Bài 3: Giải hệ ph-ơng trình:

a)









2
3
3
1
)
2
(

2
3
1
y
x
x
y
b)












6
)
3
(
2
)
2
(
3
6

)
3
(
5
)
2
(
7
y
x
y
x
y
x
y
x

c) 3 5 0

3 0
x y
x y
  

   

d)










1
3
2
5
2
3
y
x
y
x
e)












3

1
2
1 6
2
2
4
3
y
x
y
y
x

f) 0, 2 3 2

15 10
x y
x y
 

  

g)














)
4
)(
3
(
)
7
)(
4
(
)
1
)(
2
(
)
2
)(
5
(
y
x
y
x

y
x
y
x

h) 2 4

3 1
x y
x y
 

  

 k)

3 2

2 4 2007

x y
x y
 

  

l) 1

3 2 3

x y

 


  

 m)

2 5
3 1
x y
x y
 

  

 p)

3 2

3 9 6

x y
y x
 

  

 ;

q) 2 5

2 6
y
x
x y
  


  

t)

2 3 6

5 5
5
3 2
x y
x y
 


  

 v)

2 5

3 3 15

2 4 2

x y
x y
 


  


</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

a)














3

4
5
2
2
1
y
x
y
x
y
x
y

x b)

7
2
13
4
2
2
2

2
y
x
y
x

Bài 5: Cho hệ ph-ơng trình:

a
y
ax
y
x
2
1

a. Giải hệ ph-ơng tr×nh víi a = 3.

b. Tìm điều kiện của a để hệ ph-ơng trình có một nghiệm ? cú vụ s nghim.

Bài 6:Cho hệ ph-ơng trình :









3
2
6
by
ax
b
ay
x

a. Gi¶i hệ ph-ơng trình với a = b = 1.

b. Tìm a, b để hệ ph-ơng trình có nghiệm l (x=1; y= 0).

Bài 7: Cho hệ ph-ơng trình :








m
y

mx
y
x 1

a. Giải hệ ph-ơng trình với m = 1.

b. Tìm m để hệ ph-ơng trình có nghiệm là (x = 2; y = 1).
c. Tìm m để hệ ph-ơng trình có nghiệm duy nhất.

a) Gi¶i hƯ khi a=3 ; b=-2

b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=( 2; 3)

Bµi 8: Giải các hệ ph-ơng trình sau :

</div>

Tài Liệu Học Toán Lớp 9

*

:

MéT Sè DạNG TOáN CƠ BảN Về CĂN BậC HAI









































 











 



 

 

 













<b>A</b>

<b>A</b>

<b>A</b>

<b> Rút gän biÓu thøc </b>

*

:

Hàm số và đồ thị (

<i>Hàm số y = ax+b v y = ax</i>

<i>)</i>





*

:

HƯ hai ph-¬ng trình bậc nhất hai ẩn





 

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub> </sub>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về