Toán tử đơn điệu và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
--------------------

NGUYỄN VĂN DƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 36

TP. HỒ CHÍ MINH 12-2014

-1-


LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA –ĐHQG -HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học :TS. Lê Xuân Đại ........................................
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)
Cán bộ chấm nhận xét 1 : ...........................................................................
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)
Cán bộ chấm nhận xét 2 : ...........................................................................
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ
Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp. HCM, ngày 30 tháng 12 năm 2014.

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ)
1. PGS. TS. Nguyễn Đình Huy – Chủ tịch Hội đồng
2. TS. Nguyễn Quốc Lân– Thư ký Hội đồng
3. TS. Nguyễn Bá Thi
4. PGS. TS. Mai Đức Thành
5. TS. Nguyễn Tiến Dũng
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên
ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG NGÀNH

PGS. TS. Nguyễn Đình Huy

TRƯỞNG KHOA

TS. Huỳnh Quang Linh

-2-


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: Nguyễn Văn Dương

MSHV: 12240566

Ngày, tháng, năm sinh: 21-11-1981

Nơi sinh: Ninh Bình

Chun ngành: Tốn Ứng Dụng

Mã số: 60 46 36

I. TÊN ĐỀ TÀI:
TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ
TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIẾN PHÂN
III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 21/ 12/2013
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 21/12/2014
V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS. LÊ XUÂN ĐẠI

Tp. HCM, ngày . . . . tháng .. . . năm 20....
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM NGÀNH ĐÀO TẠO

TS. LÊ XUÂN ĐẠI

PGS.TS. NGUYỂN ĐÌNH HUY
TRƯỞNG KHOA

TS. HUỲNH QUANG LINH

-3-


LỜI CẢM ƠN

Xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn tận tình của thầy TS. Lê Xn Đại.
Thầy đã ln khuyến khích, giúp đỡ, truyền đạt kiến thức giúp tơi hoàn thành luận văn
này.
Xin chân thành cảm ơn tập thể thầy cơ giáo bộ mơn Tốn Ứng Dụng –Khoa Khoa
Học Ứng Dụng –Đại Học Bách Khoa Tp.HCM đã tận tình truyền đạt kiến thức cho tơi
suốt khóa học.
Xin chân thành cảm ơn Khoa Khoa Học Ứng Dụng, bộ mơn Tốn Ứng Dụng–Đại Học
Bách Khoa Tp.HCM đã tạo mọi điều kiện để luận văn được hoàn thành.
Xin chân thành cảm ơn các bạn học cùng lớp cao học K2012 đã động viên tơi hồn
thành luận văn.

Nguyễn Văn Dương

-4-


TĨM TẮT LUẬN VĂN
Tốn tử đơn điệu là một lớp hàm quan trọng, được sử dụng khá nhiều trong các phương
trình vi – tích phân. Xuất phát từ bài tốn cổ điển F (u)  b , u, b   , với hàm F đơn điệu,
liên tục và F (u)   khi u   . Khi đó phương trình trên có nghiệm. Nếu F đơn điệu
ngặt thì nghiệm đó là duy nhất.
Từ bài tốn trên, ta tổng qt hóa kết quả trên lên phương trình tốn tử :

(*)
Au  b , u  X
Với các giả thiết :
(i)
X là khơng gian Banach thực phản xạ. Tốn tử A : X  X * đơn điệu, tức là
Au  Av, u  v  0

(ii)

, u, v  X

A là nửa liên tục, tức là ánh xạ t  A(u  tv), w liên tục trên đoạn [0,1],
u, v, w  X

(iii)

A kháng từ, tức là lim

u 

Au, u
u

 

Khi đó, định lý 2.2.3 khẳng định rằng, với mỗi b  X , bài tốn (*) có nghiệm. Hơn
nữa, nếu A đơn điệu ngặt thì nghiệm đó là duy nhất.
Trong bài luận này, tôi nghiên cứu một số tính chất và ứng dụng của tốn tử đơn điệu
tuyến tính và phi tuyến.
Bài luận văn gồm 3 chương

Chương 1. Cơ sơ lý thuyết
Trong chương này, tơi trình bày một số khái niệm, định lý cơ bản của giải tích hàm,
trong đó khái niệm khơng gian Sobolev và phương pháp xấp xỉ Galerkin để giải
phương trình tốn tử.
Chương 2 : Tốn tử đơn điệu và một số tính chất
Trong chương này, tơi trình bày khái niệm tốn tử đơn điệu, một số tính chất của tốn
tử đơn điệu, điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình tốn tử Au = b trong 2 trường
hợp A tuyến tính và A phi tuyến, phương pháp Galerkin để tìm nghiệm xấp xỉ của
phương trình tốn tử, mối quan hệ giữa tốn tử đơn điệu với hàm lồi, hàm kháng từ
và bài toán cực tiểu.
Chương 3 : Một số ứng dụng của toán tử đơn điệu
Trong phần này, tơi trình bày về vấn đề sau :
- Sự tồn tại nghiệm của bài toán cực tiểu dạng toàn phương dạng đơn giản
F (u )  (A u | u )  2(f | u )!, u C với A xác định dương và dạng tổng quát
-5-


-

1
 (u , u )  b(u )  min!, u  C với  (.,.) là ánh xạ song tuyến tính xác định
2
dương.
Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình Eliptic


i , j 1 xi
N



 u 
 aij
  cu  f
 x 
j 


( với aij ( x )  a ji ( x ) , aij ( x )  C1 (G ) , f  L2 (G ) , c( x ) liên tục

trên G , thỏa: tồn tại số p  0 sao cho với mọi vecto thực (1 ,..., N ) ta có: x  G ,
N

N

i , j 1

i 1

 aij ( x ) i j  p  i

2

, c( x )  0, x  G

)

thỏa các điều kiện biên Dirichle, Newmann, Newton và điều kiện biên hỗn tạp
-

Chứng minh sự tồn tại nghiệm và phương pháp xấp xỉ nghiệm của phương trình
Eliptic tựa tuyến tính:
N

2

 Di ( ( Du )Di u)  f trên G
i 1

Với các điều kiện biên
u = g trên 1G
2

 ( Du )

u
 h trên  2G
n

-6-


LỜI CAM ĐOAN
Tuy kiến thức trình bày trong luận văn khơng mới, có tham khảo tài liệu liên quan
nhưng luận văn được viết bởi chính sự tìm tịi, học hỏi và hiểu biết của tơi. Tơi xin cam
đoan chính tơi là người viết luận văn này.

-7-

Mục lục
Lời giới thiệu
Chương I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1 Một số kiến thức cơ bản……………………………………………….9
1.2 Khơng gian sobolev……………………………………………………….14
1.3 Tốn tử co. Định lý điểm bất động………………………………………..15
1.4 Dãy các toán tử co………………………………………………………...16
1.5 Một số phương pháp xấp xỉ……………………………………………….17
Chương 2: TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ
2.1 Khái niệm toán tử đơn điệu……………………………………………….20
2.2 Định lý về toán tử đơn điệu và các phương pháp xấp xỉ…………………22
2.3 Toán tử đơn điệu và hàm lồi. Bài toán cực tiểu ……………………….....26
2.4 Toán tử đơn điệu và hàm kháng từ....……………………………………29
Chương 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU
3.1 Cực tiểu dạng tồn phương……………………………………………….32
3.1.1 Bài tốn dạng tồn phương với tốn tử tuyến tính…………………32
3.1.2 Dạng tồn phương tổng qt………………………………………..33
3.2 Áp dụng cho phương trình Elip với các điều kiện biên…………………..35
3.3 Định luật bảo tồn dừng phi tuyến………………………………………..38
3.3.1 Bổ đề………………………………………………………………...38
3.3.2 Bài tốn bảo tồn dừng phi tuyến.…………………………………..41
3.3.3 Phương pháp lặp – chiếu cho bài tốn bảo tồn dừng phi tuyến…...41
3.4 Tốn tử đơn điệu và phương trình elip tựa tuyến tính
3.4.1 Tính liên tục yếu và nửa liên tục……………………………………42
3.4.2 Tính chất tốn tử đơn điệu và nửa liên tục…………………………44
3.4.3 Định lý cơ bản trên tốn tử đơn điệu……………………………….44
3.4.4 Phương trình Eliptic tựa tuyến tính …………………………….….49
KẾT LUẬN…………………………………………………………………..53
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………….54

-8-


Chương I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1 Một số khái niệm cơ bản:
 Định nghĩa 1.1.1 [2]
Không gian metric là cặp (X,d) với X   là một tập hợp và d là hàm số:
X  X  R thỏa các điều kiện:
a) d ( x, y )  0, x, y  X
d ( x, y )  0  x  y

b) d ( x, y )  d ( y, x), x, y  X
c) d ( x, z )  d ( x, y )  d ( y, z ), x, y, z  X
 Định nghĩa 1.1.2 [2]
Cho X là không gian vectơ trên trường K ( K có thể là trường số thực  hay
trường số phức  ). Ta định nghĩa chuẩn trên X là ánh xạ . : X   thỏa:
a)

x  0, x  X ,

x 0 x0

b)  x   x ,   K , x  X
c)

x  y  x  y , x, y  X

Khi đó, X gọi là khơng gian định chuẩn
Ta có, khơng gian định chuẩn là khơng gian metric với mietric
d ( x, y )  x  y , x, y  X

Trong không gian định chuẩn, ta định nghĩa:
a) Dãy un  u khi n   nếu un  u  0 khi n  
b) Dãy (un ) được gọi là dãy Cauchy nếu   0, n0 ( ), un  um   , n, m  n0 ( )
 Định nghĩa 1.1.3 [2]
Không gian định chuẩn đầy đủ là không gian định chuẩn có mọi dãy Cauchy đều hội tụ.
Khơng gian Banach trên trường K là không gian định chuẩn đầy đủ trên trường K
Ví dụ 1.1.1:
1/2

 N
2
a) Khơng gian  ( N  1) có chuẩn x    xi 
 i 1

N

( x  ( x1 ,..., xN )   N )

b) Không gian C(G) với G   N là tập các hàm thực liên tục trên G có chuẩn là
u  sup u ( x)
xG

c) Khơng gian Lp (G ) là gồm tất cả các hàm số f : G   sao cho tồn tại
1/ p



G

f ( x) dx , có chuẩn là u
p

p



p
   u( x ) dx 
G


-9-

, u  L p (G )




Định nghĩa 1.1.3 [2]
Cho X là không gian vectơ trên trường K ( K có thể là trường số thực  hay trường số
phức  ) . Tích vơ hướng trên X là hàm số (u , v)  (u | v) xác định trên X  X vào K
thỏa các tính chất:
Với mọi u , v, w  X ,  ,   K , ta có:
(i) (u |  v   w)   (u | v)   (u | w)
(ii) (u | v)  (v | u )
(iii) (u | u )  0 khi và chỉ khi u  0
Ta nói u và v trực giao nếu (u | v)  0
Ta có:
(u | v)  u v , u , v  X



Định nghĩa 1.1.4 [2]
Khơng gian X được trang bị tích vơ hướng được gọi là khơng gian tiền Hilbert.
Ta có, không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn với chuẩn là
u  (u | u )1/2 , u  X



Định nghĩa 1.1.5 [2]
Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đầy đủ với chuẩn cảm sinh từ tích vơ
hướng.
Ví dụ 1.1.2: Không gian L2 (G ) gồm các hàm số bình phương khả tích Lesbesgure trên G
, có tích vô hướng là:
( f | g )   f ( x) g ( x)dx,

f , g  L2 (G )

G

Hơn nữa, L2 (G ) là không gian đầy đủ.


Định nghĩa 1.1.6
Tập M được gọi là trù mật trong không gian định chuẩn X nếu với mọi u  X , luôn tồn
tại dãy (un )  M (un  u ) sao cho un  u khi n   . Nói cách khác, M trù mật trong X
khi và chỉ khi M  X
Không gian định chuẩn X được gọi là khả ly nếu tồn tại tập con đếm được trù mật trong
X.

Ví dụ 1.1.3: Khơng gian L2 (G ) là không gian khả ly



Định nghĩa 1.1.7
Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên trường K và ánh xạ A : X  Y
- A được gọi là ánh xạ tuyến tính hay tốn tử tuyến tính
nếu A( u   v)   Au   Av,  ,   K , u , v  X
-

A được gọi là bị chặn nếu tồn tại c  0 sao cho Au  c u , u  X

-

A được gọi là liên tục nếu un  u khi n   thì Aun  Au khi n  

Nhận xét: Ánh xạ tuyến tính A liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn.
- 10 -




Định nghĩa 1.1.8
Cho X là không gian Hilbert trên K . Ánh xạ tuyến tính f : X  K được gọi là phiếm hàm
tuyến tính trên X.
Ta kí hiệu X * là không gian chứa tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X và
được gọi là không gian liên hợp của X.
Cho f  X * . Ta có thể thay kí hiệu f (u ) bằng f , u
Cho f  X * . Ta có chuẩn trên X * là: f  sup f (u ) . Khi đó, ta có
u 1

f (u )  f u , u  X



Định nghĩa 1.1.9
Cho G là tập con không rỗng trong  N , N  1
C (G ) là tập các hàm số liên tục trên G
C k (G ) là tập hợp các hàm u : G   có đạo hàm riêng liên tục tới cấp k ( k  1 )
C  (G ) là tập hợp các hàm u : G   có đạo hàm riêng liên tục tới cấp tùy ý.
C  (G ) là tập hợp các hàm u : G   có đạo hàm riêng liên tục tới cấp tùy ý và có thể

thác triển liên tục lên G .
C  (G ) là tập hợp các hàm u  C  (G ) triệt tiêu bên ngoài 1 tập con compact K của G ( tập
0

K phụ thuộc vào u )
 Mệnh đề 1.1.1 [2]: Cho G là tập con khác rỗng trong  N , N  1 . Lấy u  L2 (G ) và
giả sử rằng  uvdx  0 , v  C0 (G )
G

Khi đó, u( x )  0 hầu khắp nơi trên G
 Mệnh đề 1.1.2 [2]: C  (G ) trù mật trong L2 (G )
0

 Mệnh đề 1.1.3 [2]: (Cơng thức tích phân từng phần – Định lý Green)
Cho G là tập con của  N có biên Lipchitz. Cho f ( x)  f ( x1 ,..., xN ) và g ( x)  g ( x1 ,..., xN )
là các hàm liên tục trên G và có các đạo hàm riêng liên tục trên G  G  G . Khi đó,
f

 x

G

i

gdx 



G

fgni dO   f
G

g
dx
xi

Với n  (n1 ,..., nN ) là vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài của biên G
 Mệnh đề 1.1.4 [2]: ( định lý Riesz)
Cho X là không gian Hilbert trên trường K, f : X  K là phiếm hàm tuyến tính liên
tục. Khi đó, tồn tại duy nhất phần tử v  X sao cho
f (u )  (v | u ),
u  X .
Hơn nữa, ta có f  v
- 11 -




Định nghĩa 1.1.10 [2].
Cho X là không gian Hilbert trên trường K.
Toán tử J : X  X * , J (v)  f với u  X , f (u )  (v | u ) , được gọi là tốn tử liên hợp
Khi đó, J là đẳng cấu và đẳng cự



Định nghĩa 1.1.11 [6]
Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn, dãy phần tử ( xn ) của X gọi là hội tụ yếu đến
phần tử x0 của X nếu ( xn ) hội tụ đến x0 đối với tôpô yếu  ( X , X * ) .
y
Kí hiệu xn 
 x0
y
Khi đó, ta có xn 
 x0  f ( xn )  f ( x0 ), f  X *



Định nghĩa 1.1.12
Cho D là tập con của không gian Hilbert trên trường  và tốn tử tuyến tính A xác định
trên D
a) A được gọi là toán tử đối xứng nếu ( Au | v)  (u | Av), u, v  D
b) A được gọi là toán tử dương trên D nếu A đối xứng và ( Au | u)  0, u  D ,
( Au | u)  0  u  0

c) A được gọi là xác định dương trên D nếu A đối xứng và tồn tại số c  0 thỏa
2

( Au | u)  c u , u  D

Ví dụ 1.1.4: Cho D là khơng gian các hàm u(x) có đạo hàm cấp 1, cấp 2 liên tục trên
đoạn [a,b] và thỏa u(a) = u(b) = 0. Khi đó, D  C 2 ([a, b]) . Tích vơ hướng trên C 2 ([a, b])
b

là (u | v)   u( x )v( x )dx
a

Toán tử A xác định trên D được xác định bởi công thức Au  u . Khi đó, A là tốn tử
dương và xác định dương trên D.
Thật vậy, ta có:
b

( Au | v)   uvdx  (u | Av) nên A đối xứng
a

b

( Au | u)   (u)2 dx  0 , u  D
a

b

( Au | u)   (u)2 dx  0  u  0
a

Vậy A là toán tử dương
Theo bất đẳng thức Schawarz
u (x) 

2



x

a

u(t )dt



2

x

x

x

a

a

a

  12 dx. (u(t ))2 dt  ( x  a) (u(t ))2 dt

- 12 -

Do đó,
b



b

a

  u2 ( x )dx 
a

b

b

a

a

u2 ( x )dx   u2 (t )dt. ( x  a)dx 
2
( a  b )2



b

a

(b  a)2
2



b

a

u2 (t )dt

u 2 ( x )dx

2

 ( Au | u)  C u , với C 

2
( b  a )2

Ví dụ 1.1.5: Trong không gian Hilbert L2 (G ) , cho đa tạp tuyến tính D gồm các hàm
u  C 2 (G ) thỏa điều kiện u  0 trên biên G . Ta xác định toán tử A trên D như sau :

  2u
 2u 
Au  u    2  ...  2 
 x
x N 
 1

Khi đó, A là tốn tử dương
Thật vậy, ta có
  2u
 2u 
( Au | v)    u.vdx     2  ...  2  vdx
G
G  x
x N 
 1

Theo công thức tích phân từng phần,
 2u
u
u v
u v
G x 2 vdx  G xi v.ni dO  G xi xi dx  G xi xi dx (vì v  0 trên G )
i
N

u v
dx  (u | Av) nên A đối xứng
G x x
i
i

Do đó, ( Au | v)   
i 1

 u

Giả sử ( Au | u)    
G x
i 1
 i
N

2


u
 0, i  1,.., N
 dx  0 , suy ra

x
i


Nên u  co nst trên G
Mà u  0 trên G nên ta được u  0 trên G


Định nghĩa 1.1.13 [4]
Cho D là đa tạp tuyến tính trong khơng gian Hilbert X và A là toán tử xác định dương
trên tập D. Ta định nghĩa :
(u | v) A  ( Au | v) , u, v  D
Khi đó, (. | .) A là tích vơ hướng và được gọi là tích vô hướng trong theo A



Định nghĩa 1.1.14 [7]:

Cho X là khơng gian Hilbert và ánh xạ song tuyến tính a : X  X  
i) a được gọi là đối xứng nếu a ( x, y )  a ( y, x), x, y  X
ii) a được gọi là liên tục nếu tồn tại C  0 sao cho: a( x, y )  C x y ,

x, y  X

iii) a được gọi là xác định dương mạnh (V- eliptic) nếu tồn tại   0 sao cho :
a ( x, x )   x ,
2

x  X

- 13 -


 Định nghĩa 1.1.12 [1]
Miền G được gọi là miền có biên Lipschitz nếu nó bị chặn và tồn tại các hằng số dương
 ,  , một số hữu hạn m tọa độ x1(r ) ,..., x N(r ) , r  1,.., m ; m hàm số ar ( x1(r ) ,..., x N(r) 1 ) liên tục
trong hình hộp K (r ) N-1 chiều: xi(r )   , i  1,..., N  1 , sao cho:
a) Mỗi điểm x thuộc biên G có thể biểu diễn dưới dạng x  [( x1(r ) ,..., x N(r) 1 ), ar ( x1(r ) ,..., x N(r) 1 )]
b) Điểm x  ( x1(r ) ,..., x N(r) 1 , x N(r ) ) thỏa điều kiện xi(r )   , i  1,..., N  1 và
ar ( x1(r ) ,..., x N(r) 1 )  x N(r )  ar ( x1(r ) ,..., x N(r) 1 )  

hoặc ar ( x1(r ) ,..., x N(r) 1 )    x N(r )  ar ( x1(r ) ,..., x N(r) 1 ) nằm trong G hoặc G
c) Mỗi hàm ar ( x1(r ) ,..., x N(r) 1 ) thỏa điều kiện Lipschitz trên hình hộp K (r )
 Mệnh đề 1.1.5 ( định lý Friedrich) [4]
Cho G   N là miền bị chặn có biên Lipschit. Khi đó, tồn tại các số không âm c1 , c2 phụ
thuộc C1 (G ) , thỏa
 u


G u ( x )dx  c1 

i 1 G  xi
N

2

2


2
1
 dx  c2  u (s)ds , u  C (G )
G


1.2 Không gian Sobolev
1/ p

Lấy u  L p (G ) . Ta có u

p



p
   u( x ) dx 
G


Với x  ( x1 ,..., x N )   N , ta kí hiệu D j 


x j

Ta gọi vectơ đa chỉ số là   (1 ,..., N ) với  j là các số nguyên không âm. Đặt
  1  ...   N
N

1

Kí hiệu D u  D1 ....DN u 




1 ... N

u

1

N

x1 ...x N





 u
1

N

x1 ...x N

và D 0u  u

Với u, v  C  (G ) , ta đặt
1/ p

(u | v)m ,2 

 

0   m

G

D uD vdx và u

Khi đó, (u | v )m ,2 







0   m

m, p



p
    D u( x ) dx 
 0   m G




(D  u | D v ) và u

m, p

- 14 -


   D u
 0   m


1/ p

p







Cụ thể:
+ Nếu m=0, ta có u

0, p

 u

p

và (u | v)0, p  (u | v) 2

+ Nếu m=1, G  (a, b) , ta có (u | v)1,2   uvdx   u vdx
G

G

u v
u v
.
dx  
.
dx
x1 x1
x2 x2
G
G

+ Nếu m=1, G   2 , ta có (u | v)1,2   uvdx  
G

+ Nếu m=2, G  (a, b) , ta có (u | v)1,2   uvdx   u vdx   u vdx
G

G

G

+ Nếu m=2, G   , ta có
2

u v
u v
 2u  2 v
 2u
 2v
 2u  2 v
.
dx  
.
dx   2 . 2 dx  
.
dx   2 . 2 dx
x1 x1
x2 x2
x1 x1
x1x2 x1 x2
x2 x2

G
G
G
G
G

(u | v) 2,2   uvdx  
G

 Định nghĩa 1.2.1 [2]: Cho G là tập con không rỗng của  N , N  1 và p, m   , p, m  1
Không gian Sobolev W pm (G ) là tập hợp tất cả các hàm u  L p (G ) có đạo hàm riêng đến
cấp m thỏa D u  Lp (G ) ,  :   m
Khi m = 0, ta đặt Wp0 (G )  Lp (G )


Wpm (G ) là bao đóng của C 0 (G ) trong W pm (G )

 Mệnh đề 1.2.1 [2]:
a/ W pm (G ) là không gian Banach với chuẩn . m, p
b/ W2m (G ) là không gian Hilbert với tích vơ hướng (. | .) m,2


c/ Wpm (G ) là không gian Banach với chuẩn . m, p


d/ W2m (G ) là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (. | .) m,2
c/ Nếu G bị chặn và có biên Lipschitz thì C  (G ) trù mật trong W2m (G )
Chứng minh: [2]
1.3 Toán tử co. Định lý điểm bất động
 Định nghĩa 1.3.1 (toán tử co) [1]

Cho ( X , d ) là không gian metric. Toán tử T : X  X được gọi là tốn tử co nếu tồn tại
số thực khơng âm q  1 sao cho
d (T ( x), T ( y ))  qd ( x, y ), x, y  X
Nếu bất đẳng thức trên vẫn đúng khi 0  q   thì ta nói T liên tục Lipschitz

- 15 -


 Mệnh đề 1.3.1 ( Định lý điểm bất động Banach) [1]
Cho ( X , d ) là không gian Banach. T : X  X là ánh xạ co. Khi đó, tồn tại duy nhất
một điểm x*  X sao cho T ( x* )  x* .

x* được gọi là điểm bất động của ánh xạ T.
Hơn nữa, điểm bất động x* được xác định như sau: lấy bất kỳ x0  X , đặt xn  T ( xn 1 ) ,
n  1, 2,3,..... . Khi đó, dãy ( xn ) hội tụ về x* và thỏa mãn tốc độ hội tụ như sau :

qn
d ( x , xn ) 
d ( x1 , x0 )
1 q
*

1.4 Dãy các toán tử co:
Ta xét  0


Như vậy, ta có
N
 u
u u

( A1u | u)    aij
dx   cu 2 dx    aij 
 x
x j xi
G i , j 1
G
G i , j 1
 j
N

2


p
u
 dx 

c
1


2

Vậy A1 là toán tử xác định dương

b) Với điều kiện biên Neumann Nu  0 trên G
Ta có
N

( A2 u | u)    aij

G i , j 1

u u
dx   cu2 dx
x j xi
G

Giả sử rằng c( x )  c0  0 trên G
 u
( A3u | u)  p   
xi
G i , j 1 
N

2


2
 dx  c0  u ds  c0 u
G


2

Vậy A2 là toán tử xác định dương.
c) Với điều kiện biên Newton Nu   u  0 ( (S )   0  0)
N

( A3u | u)    aij
G i , j 1

u u
dx   cu 2 dx    u 2 ds
x j xi
G
G

 u
 p   
xi
G i , j 1 
N

2


2
 dx   0  u ds
G


Theo bất đẳng thức Friedrichs , ta có
 u
u   u dx  c1   
xi
G
G i 1 
2

2

N

2


2
 dx  c2  u ds với c1 , c2  0
G


- 37 -

trên G


 p 0 
, 
c
 1 c2 

2

Do đó, ( A3u | u)  C 2 u với C 2  min 
Vậy A3 là toán tử dương.

Như vậy, phương trình Eliptic với các điều kiện biên (3.2.5) (3.2.6) (3.2.7) đều có
nghiệm duy nhất và có thể tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp Galerkin.
Chú ý rằng, để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình Eliptic với các điều kiện biên (3.2.5)
(3.2.6) (3.2.7), ta có thể tìm nghiệm của bài toán cực tiểu lần lượt đối với các hàm sau:

N

F1u    aij
G i , j 1

N

F2 u    aij
G i , j 1

N

u u
dx   cu 2 dx  2  fudx
x j xi
G
G
u u
dx   cu 2 dx  2  fudx
x j xi
G
G

F3 (u)    aij
G i , j 1

u u
dx   cu2 dx    u2 ds  2 fudx
x j xi
G

G
G

3.3 Áp dụng đối với bài tốn bảo tồn dừng phi tuyến:
3.3.1 Bổ đề 3.3.1
Cho các hàm số sau:
 :      liên tục.
 :    ,  ( s) 

1 s2
 (t )dt
2 0

 :  N   với  ( x )   ( x )
2

Khi đó,  ( x ) | h   ( x ) x | h , x , h   N
(a)
(b)

Nếu  là hàm lồi (ngặt) thì  cũng lồi (ngặt)
Nếu   đơn điệu mạnh ( tức là tồn tại d >0 sao cho
 (t )   (s)  d (t  s) , t, s  , t  s )
thì   cũng đơn điệu mạnh ( tức là  ( x )   ( y ) | x  y  d x  y

(c)

, x , y   N )

Cho  là C1 . Nếu  lồi trên khoảng (a,b) thì dạng toàn phương

2

2

2

 ( x )h 2  2 ( x ) x | h   ( x ) h

2

(3.3.1)

là dương trên  N với mọi x thỏa a  x  b
(d)

2

Nếu   liên tục Lipschit, tức là tồn tại L > 0 thỏa
 (t )   (s)  L t  s ,

t, s    ,

thì   cũng liên tục Lipschit, tức là
- 38 -


 ( x )   ( y )  3L x  y ,

x , y   N

Chú ý rằng, cho hàm  :      lồi và đơn điệu tăng, thì hàm x   ( x ) lồi trên  N .
Thật vậy, x , y   N , t  [0,1] , ta có
 ( tx  (1  t )y )   (t x  (1  t ) y )
 t  ( x )  (1  t ) ( y )

Chứng minh: [3]
3.3.2 Bài toán bảo toàn dừng phi tuyến:
Cho x  ( x1 ,..., x N ) , đặt Di 

N

DuDv   Di uDi v

Du  ( D1u,..., DN u)
2

N

Du   Di u


xi
i 1

2

i 1

(Ta viết Du thay cho gradu ).
Ta xét bài toán :

N

2

 Di ( ( Du )Di u)  f trên G

(3.3.2)

i 1

Với các điều kiện biên
u = g trên 1G
2

 ( Du )

u
 h trên  2G
n

Trong đó,
G là miền bị chặn trong  N , N  2 ,có biên Lipschitz . Hơn nữa 1G,  2G là 2 tập con
mở rời nhau của G thỏa G  1G   2G

(3.3.3)

n là vectơ đơn vị pháp tuyến ngồi trên G
Xét bài tốn cực tiểu tương ứng Bài toán biến phân (3.3.2) trở thành
(3.3.4)
 ( ( Du )  fu)dx   hudO  min!

G

 2G

u  g trên 1G

Dùng (3.3.1) , ta có :
2

N

2

N

 (Du)D 2  2 ( Du )  Di uD j uDi D j   ( Du ) Di2
i , j 1

i 1

Do đó, phương trình (75) có thể được viết dưới dạng
( ( Du)D 2 )u  f trên G

- 39 -

(3.3.5)


Phương trình (3.3.5) được gọi là phương trình eliptic (tương ứng eliptic yếu) tại điểm x
nếu dạng toàn phương tương ứng x   (Du( x ))h2 là dương ngặt (tương ứng dương) trên

N

Từ bổ đề 3.3.1, ta có kết quả sau :
 Mệnh đề 3.3.1 [3]
Cho  :      là C1 và cho u là 1 nghiệm của phương trình (3.3.2).
Nếu  là hàm lồi trên 1 lân cận của điểm Du( x ) , thì phương trinh (3.3.2) là eliptic yếu
tại điểm x.

 Mệnh đề 3.3.2 [3]
Cho G là miền bị chặn trong  N thỏa (3.3.3). Giả sử rằng, các hàm  , f , g đủ trơn. Khi
đó, mỗi nghiệm đủ trơn u của bài toán biến phân (3.3.3) cũng là nghiệm của bài toán biên
(3.3.2)
Chứng minh :
Ta viết lại (3.3.3) thành dạng F (u)  min!
u = g trên 1G
Và ta đặt  (t )  F (u  tv) với v là hàm đủ trơn trên G và v  0 trên 1G
Nếu u là nghiệm của (3.3.3) thì  (0)  0 , tức là

 ( ( Du

2

)DuDv  fv)dx 

G

 hvdO  0

 2G

(chú ý rằng  (s)   (s2 )s ).
Lấy tích phân từng phần ta được

 Avdx  

G

BvdO  0

(3.3.6)

 2G

2

Với A   Di ( ( Du )Di u)  f
i

2

B  h   ( Du )

u
n

Đặc biệt, (3.3.6) vẫn đúng khi v  C0 (G ) . Do đó, A  0 . Suy ra B  0 .

- 40 -

3.3.3 Phương pháp lặp chiếu cho bài tốn bảo tồn dừng phi tuyến :
N

2

Ta đặt Lu   Di ( ( Du )Di u)
i 1

Và xét bài toán biên :
Lu  f trên G

(3.3.7)

u = g trên 1G
2

 ( Du )


 h trên  2G
n

Đặt  (s) 

1 s2
 (t )dt
2 0

s2
Trường hợp đặc biệt,   1 , ta có  (s) 

và vấn đề (3.3.2) trở thành bài tốn biên của
2

phương trình Poisson
Ta có các giả thiết sau:
(H1) G là miền bị chặn trong  N thỏa điều kiện (3.3.3) và 1G  
(H2) Hàm  :      liên tục và   đơn điệu mạnh và thỏa điều kiện Lipschitz, tức là
tồn tại số d  0 và L  0 thỏa:
 (t )   ( s )  d (t  s ) với mọi số thực t  s ,
 (t )   ( s )  L t  s với mọi số thực t , s  0

(H3) Ta đặt X  {w  W21 (G ) : w( x)  0 , x  1G } , và ta trang bị trên X một tích vơ hướng
sau:
(u | v)   DuDvdx
G

Khi đó, X trở thành không gian Hilbert. Hơn nữa, hai chuẩn u 1,2 và u  (u | u )1/2 là
tương đương trên X
(H4) Cho f  X * , g  W21/2 (1G ) , h  W21/2 ( 2G )*
( Các điều kiện trên sẽ thỏa nếu cho f  L2 (G ) , g  W21 (G ) , h  L2 ( 2G ) )

(3.3.8)

(H5) Cho (Ym ) là lược đồ Galerkin trong X với Ym  span{w1m ,..., wmm }
 Định nghĩa 3.3.1 ( bài toán tổng quát của (3.3.7) ) [3]
Ta tìm u  W21 (G ) thỏa
a (u , v)  b(v)

, v  X

(3.3.9)

u  g trên 1G

Với a (u , v)    ( Du ) DuDvdx ,
2

G

b(v)   fvdx 
G

 hvdO

1G

Nếu các hàm đủ trơn thì ta có được (3.3.9) bằng cách nhân (3.3.7) với v  X và lấy tích
phân từng phần.
- 41 -


Cho g  W21 (G ) là hàm mở rộng của hàm g : 1G   .
Ta thiết lập phương pháp lặp chiếu như sau:
Với m  1, 2,... , ta tìm hàm
um  Ym  g thỏa
u0  g trên G

Và (um | wkm )  (um 1 | wkm )  t[a (um 1 , wkm )  b( wkm )],

k  1,.., m

(3.3.10)

Từ um   ckm wkm  g , ta được hệ phương trình tuyến tính với các ẩn c1m ,..., cmm
k

 Định lý 3.3.3 ( bài toán biên hỗn tạp cho định luật bảo tồn) [3]
Giả sử ta có giả thiết từ (H1) đến (H5). Khi đó,
(Sự tồn tại duy nhất). bài tốn tổng qt (3.3.9) có nghiệm duy nhất u

(i)

2d
, thì dãy (um ) (được xây
9 L2
dựng bằng phương pháp lặp chiếu (3.3.10) ) hội tụ về u trong W21

( phương pháp lặp chiếu) Nếu t là số cố định thỏa 0  t 

(ii)

(iii)

(Bài tốn tuyến tính). Trường hợp đặc biệt, khi   1 , ta được bài toán giá trị biên cho
phương trình Poisson. Ở đây, nghiệm duy nhất u của (3.3.9) thỏa sai số:
u w  const ( f X  g Y  h Z ) với mọi f  X * , g  Y , h  Z *
*

*

Với W  W21 (G ) , X  {w  W : w  0 tren 1G}
Y  W21/2 (1G ) ,

Z  W21/2 ( 2G )

Đặc biệt, nếu cho f  L2 (G ) , g  W21/2 (1G ) , h  L2 ( 2G ) , ta có:
f  X * , g  Y , h  Z * và nghiệm duy nhất u của (84) thỏa sai số:
u

w

 const ( f

L2 ( G )

 g

W21/2 ( 1G )

 h

L2 (  2G )

)

Chứng minh : [3]
3.4 Toán tử đơn điệu và phương trình elip tựa tuyến tính
Trong chương này ta xét phương trình tốn tử Au  b, u  X với A : X  X * là toán tử
đơn điệu trên khơng banach X
3.4.1 Tính liên tục yếu và nửa liên tục

Định nghĩa 3.4.1 [3]: Cho A : X  X * là tốn tử trên khơng gian banach thực X
a) A được gọi là liên tục yếu (demicontinuous) nếu un  u khi n  
y
 Au khi n  
thì Aun 

b) A được gọi là nửa liên tục (hemicontinuous ) nếu hàm thực
t   A(u  tv), w  liên tục trên đoạn [0,1] với mọi u, v, w  X
y
 u khi n  
c) A được gọi là liên tục mạnh nếu un 

- 42 -


thì Aun  Au khi n  
d) A được gọi là bị chặn nếu A biến tập bị chặn thành tập bị chặn.

Để thuận tiện, ta có giả thiết tổng quát:
(H)
Cho toán tử A : X  Y với X , Y là các không gian Banach thực phản xạ.
Ta xét mối liên hệ giữa liên tục mạnh và tính compact
 Mệnh đề 3.4.1 [3]:
Cho tốn tử A : X  Y với X , Y là các không gian Banach thực phản xạ. Khi đó, các
khẳng định sau là đúng:
a)
Nếu A liên tục mạnh thì A compact
b)
Nếu A tuyến tính và compact thì A liên tục mạnh.
Trong (b), ta khơng cần tính phản xạ của khơng gian banach.

Chứng minh:
a) Giả sử (un ) là dãy bị chặn trong X. Vì X phản xạ nên tồn tại dãy con hội tụ yếu
y
un 
 u khi n   . Do đó, Aun 
 Au khi n   . Vì vậy A compact

b) Xem trong [2]
 Định nghĩa 3.4.2 [3]
A được gọi là bị chặn địa phương nếu với mỗi u  X , tồn tại một lân cận U (u) thoả
A(U (u)) bị chặn.
 Mệnh đề 3.4.2 [3]:
Cho toán tử A : X  Y với X , Y là các không gian Banach thực phản xạ. Khi đó, các
khẳng định sau là đúng:
a)
Nếu A là demicontinuous thì A bị chặn địa phương
b)
A là demicontinuous nếu và chỉ nếu A liên tục trong vai trị là một tốn tử từ X
vào Y, trong trường hợp X được trang bị topo theo chuẩn và Y được trang bị topo yếu.
Chứng minh:
a) Giả sử A không bị chặn địa phương, khi đó tồn tại u  X và dãy un  u khi n   thỏa
y
Aun   khi n   . Vì A demicontinuous nên Aun 
 Au khi n  

Do đó, dãy ( Aun ) bị chặn. mẫu thuẫn với Aun  
b) Cho A : X  Y là demicontinuous. Nếu A không liên tục trên X( với topo theo chuẩn)
vào Y ( với topo yếu), thì khi đó tồn tại 1 điểm u  X và 1 lân cận V ( Au) của Au trong
topo yếu của Y, và một dãy un  u thỏa Aun  V ( Au), n . Điều này mâu thuẫn giả thiết
y

Aun 
 Au khi n  

Ngược lại, hiển nhiên (theo định nghĩa)
- 43 -


3.4.2 Tính chất tốn tử đơn điệu và nửa liên tục
Mệnh đề 3.4.3 [3]
Cho A : X  X * là tốn tử trên khơng banach thực X. Khi đó:
a)
Nếu A đơn điệu thì A bị chặn địa phương
b)
Nếu A tuyến tính và đơn điệu thì A liên tục
c)
Nếu A đơn điệu và nửa liên tục trên không gian Banach phản xạ X thì A
demicontinuous
Chứng minh:
a/ Giả sử ngược lại, A khơng bị chặn địa phương. Khi đó, tồn tại u  X và dãy (un ) thoả

un  u và Aun   khi n  
Khơng mất tính tổng quát, ta giả sử u  0 . Đặt an 

1
1  Aun un

Vì A đơn điệu nên ta có:
 an  Aun , v   an ( Aun , un    A( v), un  v )

 an ( Aun un  A( v) un  v )

Do đó, sup  an Aun , v   , v  X
n

Theo định lý Banach – Steihaus, tồn tại số N thỏa sup an Aun  N
n

Đặt bn  Aun . Khi đó, bn  an1 N  (1  bn un )N với mọi n
Vì un  0 nên dãy (bn ) bị chặn, điều này mâu mâu thuẫn với giả thiết Aun  
b) Áp dụng câu a, và chú ý rằng nếu toán tử A tuyến tính và bị chặn địa phương thì A bị
chặn trên lân cận của 0 và cũng bị chặn trên quả cầu đơn vị đóng. Do đó, Au  k . u (
k là hằng số), với mọi u  X . Vậy A liên tục
c) Xét un  u khi n   . Theo trường hợp (a), vì (un ) bị chặn nên ( Aun ) bị chặn.
y
 b khi n   với (un ) là dãy con của (un ) . Khi đó,
Xét dãy Aun 

 Aun , un    b, u  khi n  
ta có Au  b . Do đó,
y
Aun 
 Au khi n  

3.4.3 Định lý cơ bản trên tốn tử đơn điệu
Ta xét phương trình toán tử
Au  b, u  X

(3.4.1)

Cùng với các phương trình Galerkhin tương ứng:
 (un , wk )  b, wk , k  1,..., n

(3.4.2)

Với  (u, v)  Au, v 

X n  span{w1 ,..., wn}
- 44 -


n

Ta tìm un  X n , un   ckn wk
k 1

ckn là các hệ số thực chưa biết.
 Mệnh đề 3.4.4 (Định lý Browder (1963), Minty (1963)).
Cho toán tử A : X  X * là đơn điệu, kháng từ và hemicontinuous trên không gian
Banach thực phản xạ, tách. Giả sử {w1 , w2 ,...} là một cơ sở trong X. Khi đó:
Tập nghiệm. Với mỗi b  X * , phương trình (1) có nghiệm. Tập nghiệm của (1) bị
chặn, lồi và đóng.
b)
Phương pháp Galerkin. Nếu dim X   , thì với mỗi n   , phương trình
a)

y
u
Galerkin (2) có một nghiệm un  X n và dãy (un ) có dãy con hội tụ yếu về u: un 

trong X, khi n  
với u là nghiệm của (3.4.1).

c)
Sự duy nhất. Nếu toán tử A đơn điệu ngặt thì phương trình (3.4.1)
( tương
ứng phương trình (3.4.2)) có nghiệm duy nhất trong X ( tương ứng, trong X n )
d)

(Toán tử nghịch đảo). Nếu A đơn điệu ngặt, thì tốn tử nghịch đảo A 1 : X *  X
tồn tại. Toán tử này cũng đơn điệu ngặt, demicontinuous và bị chặn.
Nếu A đơn điệu đều thì A 1 liên tục

Nếu A đơn điệu mạnh thì A 1 liên tục Lipchitz
e)
(Phương pháp Galerkin hội tụ mạnh). Cho dim X   . Nếu toán tử A đơn điệu
ngặt thì dãy nghiệm Galerkin (un ) hội tụ yếu trong X tới nghiệm duy nhất u của phương
trình (3.4.1)
Nếu A đơn điệu đều thì (un ) hội tụ mạnh trong X tới nghiệm duy nhất của phương trình
(3.4.1)
Chứng minh:
Ý tưởng của chứng minh là:
(i) ta giải phương trình (3.4.2) bởi định lý điểm bất động Brouwe
(ii) Sự hội tụ của phương pháp Galerkin là cơ sở trên toán tử đơn điệu.
Chứng minh (b)
Bước 1: Nghiệm của phương trình galerkin
Ta đặt g(u)  Au  b, u , gk (u)  Au  b, wk 
Vì A kháng từ nên

g(u)
  khi u  
u

Do đó, tồn tại số R  0 thỏa g(u)  0 với mọi u thỏa u  R (3.4.3)
Phương trình Galerkin có
gk (un )  0, un  X n , k  1,2,..., n (G)

- 45 -


n

Với un   ckn wk
k 1

(G) là hệ phương trình phi tuyến với hệ số thực c1n , c2 n ,...cnn .
Theo mệnh đề 3.4.3c, toán tử A là demicontinuous. Do đó, hàm u  gk (u) liên tục trên
X
Đặc biệt, các hàm gk trong (G) liên tuc với bộ số c1n , c2 n ,...cnn .
Từ (3), ta có với mọi un  X n , un  R ,

n

 g (u )c
k 1

k

n

kn

 g( u )  0

Do đó, phương trình Galerkin (G) có nghiệm.
Bước 2 : Thiết lập priori
Nếu un là nghiệm của phương trình Galerkin (G), thì

g(un )  0
Từ (3.4.3), ta suy ra un  R, n

(3.4.3*)

Nếu u là nghiệm của (1) thì g(u)  0 và (3.4.3) suy ra u  R
Bước 3 : Tính bị chặn của ( Aun )
Theo mệnh đề 3.4.3a, tốn tử A bị chặn địa phương, do đó, tồn tại số thực dương r ,
thỏa :

v  r  Av  
Vì A đơn điệu nên  Aun  Av, un  v   0
Theo phương trình Galerkin (3.4.2),  Aun , un    b, un  , n
Do đó,

 Aun , un   b un  b R, n (theo (3.4.3*) )
Theo định nghĩa của chuẩn trong X * ,

Aun  sup r 1  Aun , v 
v r

 sup r 1[ Av, v    Aun , un    Av, un ]
v r

 r 1 ( r  b R   R )

Bước 4 : Sự hội tụ của phương pháp Galerkin
Không gian Banach X phản xạ, vì thế dãy bị chặn (un ) có dãy con hội tụ yếu, kí hiệu lại
là (un ) , tức là
y
un 
 u trong X

khi n  

Từ phương trình Galerkin (2), ta có


lim  Aun , w  b, w  với mọi w   X n
n 

n 1

- 46 -

(3.4.4)