dề thi chất lướng toán 11

TRƯỜNG THPT BẢO LỘC KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM MÔN TOÁN 11
TỔ TOÁN - TIN Thời gian: 45’
Bài 1: (1,5 điểm) Chứng minh rằng:
2
2
2 2
2 2
sin sin cos
) sin cos
sin cos tan 1
sin( )sin( )
) cos sin
1 tan .cot
x x x
a x x
x x x
a b a b
b a b
a b
+
− = +
− −
+ −
= −
−
Bài 2: (0,5 điểm) Tìm tập xác định của các hàm số sau:
2
3
) cos
1
) cot 3

4
a y
x
b y x
π
 
=
 ÷
−
 
 
= +
 ÷
 
Bài 3: (1,5điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số y=f(x) sau:
) 3 cosa y x=
trên R
) cot
4
b y x
π
 
= +
 ÷
 
trên
3
;
4 3
π π

 
− −
 
 
Bài 4: (3,5 điểm) Giải các phương trình sau:
2 2 2 2
)2sin .cos 2cos 3sin 3
)cos5 .cos sin 6 .sin2 cos6
)sin sin 2 sin 3 sin 4 2
sin
) 2 cot
1 cos
a x x x x
b x x x x x
c x x x x
x
d x
x
= + −
− =
+ + + =
= −
+
Bài 5: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho
(3; 4)u = −
r
, M(1;6), đường thẳng d có phương trình
3 2 7 0x y− + =
và đường tròn ( C ) có phương trình
2 2

6 10 30 0x y x y+ − + − =
a) Tìm ảnh của điểm M, đường thẳng d, đường tròn ( C) qua phép tịnh tiến theo vectơ
u
r
.
b) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng qua trục Ox.
c) Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng qua đường thẳng d.
Bài 6: (1 điểm) Cho 2 điểm phân biệt M và N cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường
tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác AMN, I là trung điểm của MN
a) Chứng minh:
2AH OI=
uuur uur
b) Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm H của tam giác AMN di động trên một
đường tròn.
------------------------------------------------------------------------------------
ĐÁP ÁN
Bài 1:
2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
sin sin cos
) sin cos
sin cos tan 1
sin cos (sin cos ) sin cos
sin cos sin cos sin cos
sin( )sin( )
) cos sin

1 tan .cot
(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )
si
1
x x x
a x x
x x x
x x x x x x
VT VP
x x x x x x
a b a b
b a b
a b
a b a b a b a b
VT
+
− = +
− −
+ −
= − = =
− − −
+ −
= −
−
+ −
=
−
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2

(sin cos cos sin )
n .cos cos .sin sin .cos
cos .sin cos .sin
a b a b
VP
a b a b a b
a b a b
−
= =
−
Bài 2:
a)
2
3
cos
1
y
x
 
=
 ÷
−
 

\{ 1;1}D R= −
) cot 3
4
b y x
π
 

= +
 ÷
 

\{ }
12 3
D R k k Z
π π
= − + ∈
Bài 3:
) 3 cosa y x=
trên R
Ta có:
1 cos 1 3 3 cos 3x x− ≤ ≤ => − ≤ ≤
Vậy
max 3
R
y =
khi
cos 1 2x x k
π
= ⇔ =
;
min 3
R
y = −
khi
cos 1 2x x k
π π
= − ⇔ = +

) cot
4
b y x
π
 
= +
 ÷
 
trên
3
;
4 3
π π
 
− −
 
 
Ta có:
3
4 3 2 4 12
x x
π π π π π
− ≤ ≤ − => − ≤ + ≤ −
Vì hàm số y=cotx nghịch biến trong
( )
0;
π
nên
cot cot cot
12 4 2

x
π π π
     
=> − ≤ + ≤ −
 ÷  ÷  ÷
     
cot cot 0
12 4
x
π π
   
=> − ≤ + ≤
 ÷  ÷
   

Ta có:
tan tan
3 1
3 4
tan tan 2 3
12 3 4
3 1
1 tan .tan
3 4
π π
π π π
π π
−
−
 

= − = = = −
 ÷
+
 
+
=>
1
cot 2 3
12
tan
12
π
π
= = +
Vậy
(2 3) 0y− + ≤ ≤
hay
3
;
4 3
max 0y
π π
 
− −
 
 
=
,
( )
3

;
4 3
min 2 3y
π π
 
− −
 
 
= − +
Bài 4:
)2sin .cos 2cos 3 sin 3
sin 1
2
2
2cos (sin 1) 3(sin 1) 0 (sin 1)(2cos 3) 0
3
cos
2
2
6
)cos5 .cos sin 6 .sin2 cos6
1 1
(cos6 cos 4 ) (cos4 cos8 ) cos6 cos8
2 2
a x x x x
x
x k
x x x x x
x
x k

b x x x x x
x x x x x
π
π
π
π
= + −

=

= +


<=> − − − = <=> − − = <=> <=>


=

= ± +




− =
<=> + − − = <=>
8 6 2
cos6
8 6 2
7
x k

x x k
x x
x x k
x k
π
π
π
π
=

= +


= <=> <=>


= − +
=


2 2 2 2
)sin sin 2 sin 3 sin 4 2
10 5
cos5 0
10 5
cos8 cos 6 cos4 cos 2 0 2cos5 (cos3 cos ) 0
cos3 cos( )
4 2
4 2
2

sin
) 2 cot
1 cos
c x x x x
x k
x k
x
x x x x x x x
x k
x x
x l
x k
x
d x
x
π π
π π
π π
π π π
π
π
+ + + =

= +



= +

=




<=> + + + = <=> + = <=> <=> <=>
= +




= −


= +



−



= +




= −
+
Điều kiện:
sin 0 à cos 1 0x v x
≠ + ≠

2
cos 1( )
2
sin sin cos
6
2 cot 2 sin (1 cos )(2 sin cos ) (1 cos )(1 2sin ) 0
1
5
1 cos 1 cos sin
sin
2
2
6
x loai
x k
x x x
x x x x x x x
x x x
x
x k
π
π
π
π

= −
= +




= − <=> = − <=> = + − <=> + − = <=> <=>


+ +
=

= +



Bài 5:
a)*Ta có:
' ( ) (4;2)
u
M T M= =
r
*Từ biểu thức tọa độ của
v
T
r
, ta có:

' 3 ' 3
' 4 ' 4
x x x x
y y y y
= + = −
 
=>
 

= − = +
 
thay vào phương trình của d ta được:
3( ' 3) 2( ' 4) 7 0 3 ' 2 ' 10 0x y x y− − + + = <=> − − =
Vậy phương trình của d’ là: 3x – 2y -10 =0
*Ta có (C ) có tâm I(3; -5), bán kính R=8.
Gọi
' ( ) (6; 9)
v
I T I= = −
r
và đường tròn ( C’) là ảnh của ( C) qua
v
T
r
thì ( C’) là đường tròn tâm I’, bán kính R’=R=8.
Do đó ( C’) có phương trình:
2 2
( 6) ( 9) 64x y− + + =
b)Gọi d’’ là ảnh của d qua phép đối xứng qua trục Ox. Gọi N’(x’;y’) là ảnh của N(x;y) qua phép đối xứng qua trục
Ox. Khi đó:
' '
' '
x x x x
y y y y
= =
 
=>
 
= − = −

 
Ta có
3 2 7 0 3 ' 2 ' 7 0N d x y x y∈ <=> − + = <=> + + =
<=>N’ thuộc đường thẳng d’’có phương trình 3x+2y+7=0
c)Đường thẳng l qua M và vuông góc với d có phương trình:

1 6
2 3 20 0
3 2
x y
x y
− −
= <=> + − =
−
Giao điểm của d và l là điểm H có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình:
2 3 20 0
19 74
;
3 2 7 0
13 13
x y
H
x y
+ − =

 
=>

 ÷
− + =

 

Từ đó suy ra ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng d là M’’ sao cho H là trung điểm của MM’’, do đó
25 70
'' ;
13 13
M
 
 ÷
 
Bài 6:
a)Vẽ tia MO cắt đường tròn (O) tại B. CM tứ giác ABNH là HBH từ đó
2AH BN OI= =
uuur uuur uuuur

b)Ta thấy
OI
uur
không đổi, nên có thể xem H là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo
2OI
uuuur
. Do đó khi điểm A di động
trên đường tròn ( O) thì H di động trên đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép tịnh tiến theo
2OI
uuuur