Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán năm học 2019-2020 – Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng (Đề thi chính thức)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO
HẢI PHỊNG
-----------------ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Bài 1. (1,5 ñiểm)
Cho hai biểu thức:

A=

(

B=

x + 2 x x −9
+
(với x > 0 ).
x
x +3

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2019 - 2020
MƠN THI: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
---------------------

)

20 − 45 + 3 5 : 5;

a) Rút gọn các biểu thức A, B.
b) Tìm các giá trị của x sao cho giá trị biểu thức B bằng giá trị biểu thức A.

Bài 2. (1,5 điểm)
a) Tìm các giá trị của tham số m ñể ñồ thị hai hàm số y = ( m + 4 ) x + 11 và y = x + m 2 + 2 cắt nhau
tại một ñiểm trên trục tung.

2
1

3 x − y + 1 = − 2

b) Giải hệ phương trình 
⋅
2 x + 1 = 2

y +1
Bài 3. (2,5 ñiểm)
1. Cho phương trình x 2 − 2mx + 4m − 4 = 0 (1) ( x là ẩn số, m là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi m = 1.
b) Xác ñịnh các giá trị của m ñể phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2

thỏa mãn điều

kiện x12 + ( x1 + x2 ) x2 = 12.
2. Bài tốn có nội dung thực tế
Cho một thửa ruộng hình chữ nhật, biết rằng nếu chiều rộng tăng thêm 2 m, chiều dài giảm đi 2m thì
diện tích thửa ruộng đó tăng thêm 30 m2 ; và nếu chiều rộng giảm ñi 2 m, chiều dài tăng thêm 5m thì diện tích
thửa ruộng giảm đi 20 m 2 . Tính diện tích thửa ruộng trên.
Bài 4. (3,5 điểm)
1. Từ điểm A nằm ngồi đường trịn ( O ) vẽ hai tiếp tuyến AD, AE ( D, E là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến

ABC của đường trịn ( O ) sao cho ñiểm B nằm giữa hai ñiểm A và C ; tia AC nằm giữa hai tia AD và

AO. Từ ñiểm O kẻ OI ⊥ AC tại I .
a) Chứng minh năm ñiểm A, D, I , O, E cùng nằm trên một đường trịn.
b) Chứng minh IA là tia phân giác của DIE và AB. AC = AD 2 .
c) Gọi K và F lần lượt là giao ñiểm của ED với AC và OI . Qua ñiểm D vẽ ñường thẳng song
song với IE cắt OF và AC lần lượt tại H và P. Chứng minh D là trung điểm của HP.
2. Một hình trụ có diện tích xung quanh 140π (cm2 ) và chiều cao là h = 7 (cm). Tính thể tích của hình trụ
đó.
Bài 5. (1,0 điểm)


1 1 1
+ +  ≥ 9⋅
x y z

a) Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh ( x + y + z ) 

b) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A=

ab
bc
ca
+
+
⋅
a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b

-------- Hết -------Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO

HẢI PHỊNG

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ðIỂM MƠN TỐN
Năm học 2019 - 2020

Bài

ðáp án

ðiểm

a) (1,0 ñiểm)

A=

(

)

(

)

20 − 45 + 3 5 : 5 = 2 5 − 3 5 + 3 5 : 5

0,25

A=2
Với x > 0

B=

Bài 1
(1,5 ñiểm)

0,25

x+2 x
x −9
+
x
x +3

B=

x+2 x
x−9
+
= x +2+
x
x +3

(

x −3

)(

x +3

)

0,25

x +3

B = x + 2 + x − 3 = 2 x −1

0,25

b) (0,5 ñiểm)
ðể giá trị biểu thức B = A

0,25

2 x −1 = 2 ⇔ 2 x = 3

⇔x=

9
(thỏa mãn)
4

0,25

9
Vậy x = thì B = A .
4
a) (0,75 điểm) Tìm các giá trị của m ñể ñồ thị hàm số y = ( m + 4 ) x + 11 và

y = x + m 2 + 2 cắt nhau tại một ñiểm trên trục tung.

m + 4 ≠ 1

Bài 2
(1,5 ñiểm)

Do hai ñồ thị hàm số cắt nhau tại một ñiểm trên trục tung nên 

0,25

m ≠ −3
⇔ 2
m = 9

0,25

 m ≠ −3
⇔
⇔ m=3
m
=
±
3

Vậy m = 3 thì hai ñồ thị hàm số trên cắt nhau tại một ñiểm trên trục tung.

0,25

2

11 = m + 2


2
1

3
x
−
=

y +1 2

b) (0,75 điểm) Giải hệ phương trình 
2 x + 1 = 2

y +1
2
1

3
x
−
=

y +1 2

ðiều kiện y ≠ −1 hệ phương trình có dạng 
4 x + 2 = 4


y +1


7 x =
⇔
2 x +


9

 x = 14
⇔
1
 1 = 2 − 2x
=2
y +1
 y + 1
9
2

0,25

0,25

9
9


9
9



=
=
x
x
 x = 14
 x = 14


14
14
⇔
⇔
⇔
⇔
 1 = 2 − 2. 9
 1 =5
 y +1 = 7
 y = 2 ( tm )


14
5
5
 y + 1
 y + 1 7
9

 x = 14

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: ⇔ 
.
2
y =

5
3.1 a) (0,5 điểm) Giải phương trình x 2 − 2 x + 4m − 4 = 0

0,25

(1) khi m = 1.

Với m = 1 phương trình (1) có dạng: x 2 − 2 x = 0

0,25

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 0; x2 = 2 .
Vậy khi m = 1 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 0; x2 = 2

0,25

3.1 b) (1,0 điểm) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phâ biệt

x1 ; x2 thỏa mãn x12 + ( x1 + x2 ) x2 = 12.
Tính ∆' = m 2 − 4m + 4 = ( m − 2 )
Bài 3
(2,5 điểm)

2

0,25

ðể phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì

∆' > 0 ⇔ ( m − 2 ) > 0 ⇔ m ≠ 2.
2

 x1 + x2 = 2m
.
 x1 .x2 = 4m − 4

Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có: 

0,25

Theo bài ra ta có: x + ( x1 + x2 ) x2 = 12 ⇔ x + x + x1 x2 = 12
2
1

2
1

2
2

⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 12 ⇔ ( 2m ) − ( 4m − 4 ) = 12 ⇔ 4m2 − 4m − 8 = 0
2

⇔ m −m−2=0
2

2

0,25


Giải phương trình ta được m = 2; m = −1
ðối chiếu với ñiều kiện m ≠ 2 ta ñược m = −1
0,25

Vậy m = −1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

x12 + ( x1 + x2 ) x2 = 12.
3.2 (1,0 ñiểm) Cho một thửa ruộng hình chữ nhật, biết rằng nếu chiều rộng tăng lên 2m,
chiều dài giảm đi 2m thì diện tích tăng thêm 30m2; và nếu chiều rộng giảm ñi 2m, chiều
dài tăng thêm 5m thì diện tích thửa ruộng giảm ñi 20m2. Tính diện tích thửa ruộng trên.

Gọi chiều dài thửa ruộng là x ( m ) ; chiều rộng thửa ruộng là y ( m ) ðiều kiện

x > 2 ; y > 2; x > y

0,25

Nếu chiều rộng tăng lên 2m, chiều dài giảm đi 2m thì diện tích tăng thêm
30m2 nên ta có phương trình ( x − 2 )( y + 2 ) = xy + 30 ⇔ x − y = 17

(1)

Nếu chiều rộng giảm đi 2m, chiều dài tăng thêm 5m thì diện tích thửa ruộng

0,25

giảm đi 20m2 nên ta có phương trình

( x + 5)( y − 2 ) = xy − 20 ⇔ −2 x + 5 y = −10 ( 2)
Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình

 x − y = 17
 2 x − 2 y = 34
3 y = 24
 x = 25
(thỏa
⇔
⇔
⇔

x
y
x
y
x
y
y
−
2
+
5
=
−
20

−
2
+
5
=
−
10
−
=
17
=
8





0,25

mãn)
Vậy diện tích hình chữ nhật là 25.8 = 200m2

Bài 4
(3,5 điểm)

0,25

Vẽ hình đúng cho câu a) Từ một điểm A ở ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp
tuyến AD,AE (D,E là các tiếp ñiểm). Vẽ cát tuyến ABC của đường trịn (O)
sao cho điểm B nằm giữa A và C, tia AC cắt hai tia AD và AO. Từ điểm O kẻ

OI vng góc với AC tại I.
a) Chứng minh năm ñiểm A,D,I ,O,E cùng thuộc một đường trịn;
b) Chứng minh IA là tia phân giác của DIE và AB. AC = AD ;
c) Gọi K và F lần lượt là giao ñiểm của ED với AC và OI. Qua ñiểm D vẽ
ñường thẳng song song với IE cắt OF và AC lần lượt tai H và P. Chứng minh
D là trung ñiểm của HP.
2

0,5


E

O
K

C

I

P

B

A

D
H

F

4.1 a (0,75 ñiểm) Chứng minh năm ñiểm A,D,I ,O,E cùng thuộc một đường trịn;
+ Chứng minh 4 điểm A,D,O,E thuộc một đường trịn (1)
0,25
+ + Chứng minh 4 điểm A,D,O,I thuộc một đường trịn (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra năm ñiểm A,D,I ,O,E cùng thuộc một ñường
0,25
4.1 b (1,0 ñiểm) Chứng minh IA là tia phân giác của DIE và AB. AC = AD 2 ;
Chứng minh ñược tứ giác AEID nội tiếp ⇒ EIA = DIA (3)
Chứng minh ñược tứ AE = AD ⇒ AE = AD (4)
Từ (3) và (4) suy ra IA là tia phân giác của DIE
Chứng minh ∆ABD # ∆ADC
Suy ra

AD AB
=
⇒ AD 2 = AB.AC (ñpcm)
AC AD

4.1 c (0,75 ñi

E

O
C

K
I

P

D
H

m)

F

B

A

0,25
0,25
0,25
0,25


Do : IE / / HP ta chứng minh ñược

HD FD DP DK
;
=
=
( 5)
IE
FE IE
KE

0,25

Chứng minh IK,IF là phân giác trong và ngoài của tam giác IDE nên ta suy ra

DK IP FD ID
;
=
=
(6)
KE IE FE IE

ñược

0,25

+ Từ (5) và (6) suy ra đpcm

(

4.2. (0,5 điểm) Một hình trụ có diện tích xung quanh 140π cm

2

) và chiều cao

h = 7cm. Tính thể tích hình trụ đó.
Theo bài ra ta có: 2π rh = 140π ⇒ r = 10 cm

0,25

0,25

Áp dụng cơng thức tính thể tích hình trụ, ta có:

(

V = π .r 2 .h=π .102.7= 700π cm3

)

0,25

a) (0,25 ñiểm)

x y
+ ≥ 2 cho hai số x > 0; y > 0 ta chứng minh ñược
y x
1 1 1
( x + y + z) + +  ≥ 9
x y z

Áp dụng bất ñẳng thức

0,25

b) (0,75 ñiểm) Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0 . Tìm GTLN của

A=

ab
bc

ca
+
+
.
a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b

Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có:
Bài 5
(1,0 ñiểm)

9ab
9bc
ab
ab
a
bc
bc
b
≤
+
+ ;
≤
+
+ ;
a + 3b + 2c c + a c + b 2 b + 3c + 2a a + c a + b 2
9ca
ca
ca
c
≤

+
+
c + 3a + 2b b + a b + c 2

0,25

Cộng theo các vế của ba bất ñẳng thức trên ta ñược

ab
ab
a
bc
bc
b
ca
ca
c
+
+ +
+
+ +
+
+
c+a c+b 2 a+c a+b 2 b+a b+c 2
bc   ab
ca   bc
ca  a + b + c
 ab
⇔ 9A ≤ 
+

+
+
+
+
+
2
c+a a+c c+b b+c a+b b+a
3
⇔ 9 A ≤ .( a + b + c ) = 9 ⇒ A ≤ 1 .
2
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 2
Vậy MaxA = 1 ⇔ a = b = c = 2.

9A ≤

* Chú ý:
Trên ñây chỉ là ðáp án dự kiến- chưa phải đáp án chính thức.

0,25

0,25