Tính toán khả năng mang dòng của cáp ngầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn bậc cao
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.48 MB, 85 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
LUẬN VĂN THẠC SĨ
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG
CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
GVHD
: TS. VŨ PHAN TÚ
SVTH
: NGUYỄN VIỆT _ 01807305
Chuyên ngành
: Thiết bị, mạng và nhà máy điện
TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 07 năm 2011
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên:
Nguyễn Việt ; MSHV:
Ngày, tháng, năm sinh: 22/09/1967 ; Nơi sinh:
Chuyên ngành:
01807305.
Lâm Đồng.
Thiết bị, mạng nhà máy điện Mã số:
I. TÊN ĐỀ TÀI:
Tính tốn khả năng mang dịng của cáp ngầm bằng phương pháp
Phần tử hữu hạn bậc cao.
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
Chương I : Tổng quan.
Chương II : Phương pháp phần tử hữu hạn bậc cao thích nghi.
Chương II : Giới thiệu về khả năng mang tải của cáp ngầm.
Chương IV : Tính tốn trường nhiệt và khả năng mang tải của cáp ngầm.
Chương V : Kết luận.
III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 14/02/2011.
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 01/07/2011.
V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS. Vũ Phan Tú.
Tp. HCM, ngày …… tháng…… năm 2011
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
(Họ tên và chữ ký)
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO
(Họ tên và chữ ký)
TRƯỞNG KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ
(Họ tên và chữ ký)
Page 1
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên tôi xin chân thành cảm ơn thầy Vũ Phan Tú, đã dành nhiều
thời gian hướng dẫn tôi một cách tận tình, chu đáo và động viên tơi trong
q trình thực hiện luận văn tốt nghiệp này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô Bộ môn Hệ Thống
Điện Trường Đại học Bách khoa TP. HCM đã giúp đỡ tơi trong suốt thời
gian khóa học vừa qua. Qua sự hướng dẫn của quý thầy, cô tôi cũng đã được
bổ sung khá nhiều kiến thức mà trong q trình cơng tác, học tập trước đây tơi
chưa có điều kiện tiếp xúc, tìm hiểu. Và đó cũng chính là hành trang giúp tơi
hồn thành thành tốt luận văn này.
Và nhân đây, tôi cũng xin tỏ lời cám ơn đến bạn Nguyễn Ngọc Khoa, đã
cung cấp cho tôi khá nhiều tài liệu liên quan, để tơi có thể hồn thành luận
văn của mình.
Những lời cảm ơn sau cùng xin dành cho vợ và các con đã hết lòng quan
tâm và tạo điều kiện tốt nhất để tơi hồn thành được luận văn tốt nghiệp này.
Cuối cùng, tôi xin chúc quý thầy, cô cùng gia đình ln mạnh khỏe và
ln đạt được ước nguyện trong cuộc sống.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2011
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Việt
Page 2
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
MỤC LỤC
Chương I: Tổng quan
I.1. Giới thiệu vấn đề ......................................................................................... 05
I.2. Phạm vi nghiên cứu và điểm mới của đề tài ............................................... 08
I.2.1. Phạm vi nghiên cứu ............................................................................. 08
I.2.2. Điểm mới của đề ................................................................................ 08
Chương II: Phương pháp phần tử hữu hạn bậc cao thích nghi
II.1. Lịch sử về phương pháp phần tử hữu hạn .................................................... 10
II.2. Các bước cơ bản của FEM cho lời giải PDEs.............................................. 11
II.2.1. Sự rời rạc hóa ...................................................................................... 11
II.2.2. Lựa chọn hàm nội suy ......................................................................... 11
II.2.3. Thành lập hệ thống phương trình ........................................................ 12
II.3. Hàm nội suy ................................................................................................. 13
II.3.1. Khái niệm ............................................................................................ 13
II.3.1.1. Bậc 1 (phần tử tuyến tính) ........................................................ 14
II.3.1.2. Bậc 2 (phần tử bậc 2) ............................................................... 16
II.3.1.3. Bậc 3 (phần tử bậc 3) ............................................................... 17
II.3.2. Xây dựng hàm nội suy ........................................................................ 17
II.3.2.1. Phần tử tuyến tính ..................................................................... 19
II.3.2.2. Phần tử bậc 2 ............................................................................ 20
II.3.2.3. Phần tử bậc 3 ............................................................................ 20
II.4. Phần tử isoparametric................................................................................... 21
II.5. Phép tích phân số học................................................................................... 24
II.5.1. Một chiều ............................................................................................. 24
II.5.2. Hai chiều.............................................................................................. 25
II.6. Khái niệm về pp Phần tử hữu hạn bậc cao (hp-FEM) ................................. 26
II.7. Các ứng dụng ............................................................................................... 26
II.8. Ví dụ bài toán nhiệt chuẩn (Benchmark thermal problem) ......................... 29
Page 3
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
Chương III: Giới thiệu về khả năng mang tải của cáp ngầm
III.1. Giới thiệu về khả năng mang tải của cáp ngầm ........................................... 32
III.2. Phương trình truyền nhiệt của cáp ............................................................... 33
III.3. Các bước tính tốn khả năng mang tải của cáp ngầm.................................. 36
Chương IV: Tính tốn trường nhiệt và khả năng mang tải của cáp ngầm
IV.1. Tính tốn trường nhiệt ................................................................................. 41
IV.1.1. Cáp 3 pha, 01 mạch, bố trí nằm ngang được chôn trực tiếp trong đất
đồng nhất ........................................................................................... 41
IV.1.1.1. Miền không gian khảo sát là hình chữ nhật ............................. 43
IV.1.1.2. Miền khơng gian khảo sát là nữa hình trịn .............................. 45
IV.1.2. Cáp 3 pha, 01 mạch, bố trí nằm ngang được đặt trong hầm cáp....... 47
IV.1.3. Cáp 3 pha, 02 mạch, bố trí nằm ngang được chơn trực tiếp trong đất
đồng nhất ........................................................................................... 52
IV.1.3.1. Miền khơng gian khảo sát là hình chữ nhật ............................. 52
IV.1.3.2. Miền không gian khảo sát là nữa hình trịn .............................. 55
IV.1.4. Cáp 3 pha, 02 mạch, bố trí nằm ngang được đặt trong hầm cáp...... 58
IV.2. Khảo sát các yếu tố ảnh hưởng đến khả năng mang tải của cáp ........ 62
IV.2.1. Ảnh hưởng của nhiệt trở suất ............................................................ 62
IV.2.1.1. Ảnh hưởng của nhiệt trở suất của hầm cáp .............................. 63
IV.2.1.2. Ảnh hưởng của nhiệt trở suất của nắp hầm cáp ....................... 65
IV.2.1.3. Ảnh hưởng của nhiệt trở suất của lớp đất tự nhiên .................. 67
IV.2.2. Ảnh hưởng của nhiệt độ môi trường ................................................. 69
IV.2.3. Ảnh hưởng của tốc độ gió ................................................................. 70
Chương V:
Kết luận ............................................................................................................ 72
Tài liệu tham khảo ............................................................................................ 75
Danh sách các ký hiệu ...................................................................................... 78
Danh sách các hình ........................................................................................... 79
Danh sách các bảng .......................................................................................... 82
Page 4
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
CHƯƠNG I
TỔNG QUAN
I.1. GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ
Đường dây truyền tải điện trên không được xem như là một giải pháp truyền
thống để truyền tải điện năng đi xa với công suất lớn. Trên thế giới, hiện nay cấp
điện áp truyền tải lớn nhất của đường dây trên không là 1,125kV. Tuy nhiên, vấn đề
hạn chế lớn nhất của đường dây trên không là chiếm nhiều diện tích đất đai và
khoảng khơng gian rộng lớn cho hành lang an toàn lưới điện. Để khắc phục nhược
điểm này, trong một số trường hợp không sử dụng đường dây trên không mà phải
sử dụng đường cáp ngầm cao áp để truyền tải điện năng.
Đối với cáp ngầm vận hành ở điện áp cao phụ thuộc rất nhiều vào công nghệ
chế tạo vật liệu cách điện. Hiện nay, trên thế giới đã sản xuất được cáp ngầm cách
điện XLPE vận hành với điện áp AC 500kV và điện áp DC 800kV.
Một số lý do chính mà người ta cần sử dụng đường cáp ngầm như sau:
-
Bảo tồn cảnh quan của thành phố, cơng viên, khu di tích lịch sử, …
-
Bảo đảm cung cấp điện an toàn, liên tục cho những khu vực có mật độ sử dụng
điện cao.
-
Những khu vực khơng thích hợp cho việc xây dựng đường dây trên không
đồng thời phải bảo đảm nghiêm ngặt về tiêu chuẩn an toàn.
Tuy nhiên, đối với đường cáp ngầm truyền tải điện cao áp cũng có một số
khiếm khuyết trong quá trình đầu tư xây dựng và quản lý vận hành như sau:
Chi phí đầu tư xây dựng khá lớn so với chi phí xây dựng đường dây truyền
tải điện trên khơng, ước tính chi phí đầu tư gấp từ 4-5 lần.
Việc sửa chữa đường cáp điện ngầm khi xảy ra sự cố rất phức tạp và mất
nhiều thời gian thực hiện, nhằm phục hồi vận hành.
Page 5
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
Ảnh hưởng đến các chế độ vận hành của hệ thống điện khi thao tác đóng
ngắt đường cáp điện ngầm vào lưới điện quốc gia.
Đặc biệt là khả năng mang tải của cáp ngầm, bị giới hạn do ảnh hưởng bởi
nhiệt độ phát nóng của cáp và mơi trường xung quanh cáp trong q trình
vận hành.
Chính vì những lý do trên, việc vận hành một hệ thống cáp ngầm bảo đảm độ
tin cậy cao, an tồn và ổn định ln là sự mong đợi và ưu tiên hàng đầu của các
Công ty Điện lực. Xét về khía cạnh kỹ thuật, việc tính tốn trường nhiệt (Thermal
Field) của cáp ngầm là cơ sở cho việc tính tốn khả năng mang dịng cho phép làm
việc lâu dài của cáp (Cables Ampacity) nhằm bảo đảm hệ thống cáp vận hành an
tồn, khơng bị q tải do q nhiệt và đó cũng chính là nhiệm vụ vô cùng quan
trọng của các Công ty Điện lực trong công tác thiết kế cũng như quản lý vận hành
hệ thống cáp ngầm đó.
Như chúng ta đã biết, để phân tích một hệ thống kỹ thuật thì mơ hình toán học
tương ứng được xây dựng để diễn tả hệ thống đó; như vậy việc xây dựng mơ hình
tốn học để mô tả hành vi nhiệt của cáp ngầm cũng phải được xem xét một cách tỉ
mỹ, để bảo đảm rằng kết quả tính tốn là chính xác. Trong q trình xây dựng mơ
hình tốn đó, một số giả thiết được đặt ra để đơn giản hóa thủ tục tính tốn. Những
mơ hình tốn này thơng thường chứa những phương trình vi phân cùng với các điều
kiện ràng buộc của chúng. Với lời giải - giải tích, rất khó để có thể đạt được độ
chính xác cao, đồng thời có thể mô tả đầy đủ hành vi của hệ thống, nhất là đối với
các hệ thống được mô tả bằng những phương trình vi phân phức tạp. Tuy nhiên,
cùng với khả năng tính tốn nhanh chóng và chính xác của các hệ thống máy tính
ngày càng cao, thì các phương pháp tốn số cũng được phát triển để tìm các lời giải
xấp xỉ nhưng khá chính xác của các phương trình vi phân phức tạp này.
Hiện nay trên thế giới, một số phương pháp toán số đang phát triển mạnh như:
Phương pháp Sai phân hữu hạn (FDM – Finite Difference Methods), Phương pháp
Phần tử biên (BEM – Boundary Element Methods), Phương pháp Thể tích hữu hạn
Page 6
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
(FVM – Finite Volume Methods), Phương pháp Phần tử hữu hạn (FEM – Finite
Element Methods), Phương pháp Lưới tự do (MFree – Mesh Free Methods)…. Các
phương pháp này ngày càng thể hiện sự vượt trội, đó là những cơng cụ tính tốn
hiện đại, mạnh mẽ, độ chính xác cao, có khả năng giải quyết các vấn đề phức tạp
một cách nhanh chóng mà đối với phương pháp giải tích cổ điển sẽ gặp khó khăn
hoặc thậm chí khơng thể tìm được lời giải.
Để tính tốn khả năng mang dịng của cáp ngầm, có hai phương pháp đã được
các kỹ sư cũng như các nhà nghiên cứu sử dụng: Phương pháp giải tích và Phương
pháp số hiện đại như đã nêu trên. Ngày nay, phương pháp giải tích vẫn được sử
dụng và hai hiệp hội tiêu chuẩn quốc tế lớn nhất trên thế giới là IEEE và IEC đã
chấp nhận phương pháp giải tích là phương pháp cơ sở của họ. Ngoài ra, khả năng
mang dịng của cáp được tính tốn theo phương pháp số hiện đại chủ yếu dựa trên
FDM, FEM… Đặc biệt là Phương pháp phần tử hữu hạn bậc cao thích nghi hpFEM được sử dụng rộng rãi do tính thích nghi cao của nó đối với nhiều dạng cấu
trúc lắp đặt hình học của các sợi cáp (3 pha nằm ngang mạch đơn, mạch đơi, 3 pha
hình tam giác mạch đơn, mạch đôi …).
Thông thường, khi cáp mang tải, sẽ có một phần năng lượng trong cáp tiêu hao
dưới dạng nhiệt (tổn thất năng lượng qua điện trở nội sợi cáp). Nguồn nhiệt này sẽ
truyền từ lõi dẫn của cáp ra môi trường xung quanh cáp. Nếu như môi trường đất và
các vật liệu xung quanh cáp có độ dẫn nhiệt kém thì nhiệt lượng tỏa ra từ cáp sẽ
được truyền đi với hiệu quả kém. Điều này có thể dẫn đến hậu quả là làm cho nhiệt
độ của sợi cáp ngày càng tăng cao, dẫn đến giảm khả năng mang dịng tải của cáp,
thậm chí là gây sự cố phá hủy lớp cách điện cáp do quá nhiệt. Do vậy, khả năng
mang dòng của cáp ngầm, phụ thuộc phần lớn vào đặc tính nhiệt của mơi trường
xung quanh sợi cáp và nhiệt độ vận hành cho phép của cáp. Chính vì lẽ đó, tính tốn
phân bố trường nhiệt gây ra bởi tổn thất trong cáp ngầm là điều hết sức cần thiết để
từ đó làm cơ sở tính tốn chính xác khả năng mang tải của cáp ngầm, bảo đảm cho
đường dây truyền tải cáp ngầm vận hành an toàn, ổn định trong việc cấp điện cho
phụ tải.
Page 7
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
Thấy được ưu điểm nổi bật của phương pháp số, sự cần thiết của việc tính tốn
phân bố trường nhiệt quanh sợi cáp, từ đó có thể tính tốn chính xác khả năng mang
tải của đường dây truyền tải điện cáp ngầm cao áp là những lý do để luận văn này
tìm hiểu, nghiên cứu và thực hiện.
I.2. PHẠM VI NGHIÊN CỨU VÀ ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI
I.2.1. Phạm vi nghiên cứu:
Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi tập trung vào việc sử dụng
phương pháp Phần tử hữu hạn bậc cao thích nghi (Adaptive Higher-Order Finite
Element Method _ hp-FEM) trong việc tính tốn phân bố trường nhiệt và khả năng
mang tải của cáp ngầm cao áp trong trạng thái ổn định. Một số đường dây truyền tải
điện cáp ngầm cao áp 110kV thực tế của Tổng Công ty Điện lực TPHCM, với nhiều
cấu hình lắp đặt khác nhau sẽ được chúng tơi áp dụng phương pháp hp-FE khảo sát,
tính tốn. Kết quả tính tốn trường nhiệt dùng hp-FEM sẽ được kiểm chứng thơng
qua việc so sánh kết quả đã được tính toán bởi phương pháp Phần tử biên (BEM),
đồng thời kết quả sẽ được so sánh với dữ liệu thực tế (dùng cơng thức giải tích theo
tiêu chuẩn IEC 60287), cung cấp bởi nhà sản xuất.
I.2.2. Điểm mới của đề tài:
Đối với Việt Nam chúng ta, từ trước đến nay phương pháp Phần tử hữu hạn
bậc cao thích nghi (hp-FEM) vẫn chưa được nghiên cứu, phát triển một cách rộng
rãi, lý thuyết này cịn tương đối mới mẻ. Trong khi đó, trên thế giới phương pháp
này đã được nghiên cứu từ rất lâu như đã đề cập ở trên, chúng được sử dụng để tính
tốn trường nhiệt của các hệ thống cáp ngầm cao áp. Qua đó làm cơ sở tính tốn
khả năng mang dịng của các hệ thống cáp ngầm đó. Kết quả có thể được dùng để
kiểm tra dữ liệu thực tế của các nhà sản xuất cáp, nhà thầu lắp đặt cáp cho các Công
ty Điện lực. Hơn thế nữa, nó cịn giúp cho người kỹ sư hiểu rõ bản chất khả năng
mang tải của cáp ngầm, chủ động nắm bắt mọi công nghệ trong công tác quản lý và
vận hành đường dây truyền tải điện cáp ngầm. Xem xét chi tiết hơn, đề tài có những
điểm mới nổi bậc như sau:
Page 8
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
i. Về phương diện tốn học, chúng tơi phát triển thành cơng giải thuật Delaunay
đối với việc tạo lưới thích nghi trong phương pháp Phần tử hữu hạn bậc cao.
Những ưu điểm nổi bật của giải thuật này sẽ được chứng minh rõ trong
Chương 2, đó là với bậc cao của hàm nội suy đã mang lại kết quả của lời giải
có độ chính xác cao. Từ đó làm nền tảng cho việc tính tốn trường nhiệt và
khả năng mang tải của cáp ngầm được trình bày trong Chương 4.
ii. Về ý nghĩa vật lý, thơng qua việc tính tốn trường nhiệt của cáp ngầm, nội
dung của luận văn có đề cập và giải quyết triệt để một giả thiết trong tiêu
chuẩn IEC 60287 đó là: Tiêu chuẩn IEC 60287 chấp nhận trường nhiệt của
mỗi sợi cáp hoạt động như là một nguồn nhiệt và trường nhiệt của bản thân nó
khơng bị “bóp méo” bởi trường nhiệt của các sợi cáp khác. Đối với đề tài
này, khi tính tốn trường nhiệt dùng phương pháp Phần tử hữu hạn bậc cao
thích nghi hp-FEM có xét đến ảnh hưởng này.
iii. Đối với thực tiễn, kết quả tính tốn trước khi được kiểm với dữ liệu thực tế đã
được so sánh với các kết quả của bài báo liên quan áp dụng phương pháp Phần
tử biên (BEM). Hơn nữa, như đã nói ở trên, liên quan đến vấn đề này thì chưa
có một cơng trình nghiên cứu tương tự nào tại Việt Nam được công bố. Do đó,
có thể nói nội dung luận văn có ý nghĩa thực tiễn đối với các Công ty Tư vấn
và Công ty Điện lực khi thiết kế và quản lý vận hành các đường dây truyền tải
điện cáp ngầm. Đề tài có thể cung cấp cho người dùng một cơng cụ mạnh và
hữu ích trong việc tính tốn, kiểm tra, kiểm chứng các số liệu được cung cấp
bởi nhà sản xuất.
iv. Đề tài khảo sát sự phân bố trường nhiệt quanh sợi cáp với các miền khảo sát
khác nhau (hình chữ nhật, nữa hình trịn) và khảo sát trường hợp cáp ngầm
được chôn trong đất tự nhiên, nhiều lớp (đi trong hầm cáp có nắp đậy, lớp đất
tự nhiên ở trên). Đây là trường hợp rất gần với điều kiện thực tế mà cáp ngầm
vận hành. Như vậy, kết quả lời giải của bài tốn sẽ chính xác với điều kiện
thực tế, từ đó sẽ là cơ sở vững chắc bảo đảm việc vận hành an toàn, ổn định và
tin cậy cho hệ thống đường dây truyền tải điện cáp ngầm.
Page 9
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
CHƯƠNG II
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ
HỮU HẠN BẬC CAO THÍCH NGHI
II.1. LỊCH SỬ VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Phương pháp phần tử hữu hạn bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các vấn đề về
tính linh hoạt phức tạp và phân tích các cấu trúc trong lĩnh vực dân sự và kỹ thuật
hàng khơng. Sự phát triển của nó có thể phát xuất từ công việc nghiên cứu của
Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1942). Trong quá trình nghiên
cứu bởi những người tiên phong này có những quan điểm khác biệt nhau rất nhiều,
song tựu trung họ cùng chia sẻ một đặc điểm thiết yếu, cơ bản: Tạo lưới có tính chất
gián đoạn của miền liên tục thành tập hợp các miền con rời rạc, mà các miền con
này thường được gọi các phần tử.
Đối với Hrennikoff thì rời rạc miền khảo sát bằng cách sử dụng lưới loại suy,
trong khi đó Courant lại chia miền khảo sát thành các phân miền tam giác hữu hạn
cho lời giải phương trình vi phân riêng phần Ellipse bậc 2 ( PDEs ), mà ý tưởng này
phát sinh từ vấn đề về độ xoắn của hình trụ. Đóng góp của Courant vơ cùng to lớn,
hình thành nên phần cốt lõi của các kết quả trước đây cho lời giải PDEs được phát
triển bởi Rayleigh, Ritz, và Galerkin.
Việc phát triển phương pháp phần tử hữu hạn bắt đầu từ rất sớm, từ giữa đến
cuối thập niên 1950, tại trường Đại học Stuttgart thơng qua cơng trình nghiên cứu
của John Argyris khi phân tích, tính tốn động lượng cho cấu trúc, khung sườn của
máy bay. Còn tại Berkeley vào những năm 1960, Ray W.Clough qua cơng trình
nghiên cứu của mình về phương pháp phần tử hữu hạn để ứng dụng trong kỹ thuật
xây dựng.
Page 10
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
Đến cuối thập niên 1950, khái niệm chính về ma trận độ cứng và ma trận lắp
dần các phần tử cơ bản hình thành và tồn tại, sử dụng mãi cho đến ngày nay. Các
khái niệm này đã được NASA đề xuất và phát triển trong phần mềm về phần tử hữu
hạn NASTRAN vào năm 1965. Đến năm 1973 Phương pháp này được hỗ trợ đắc
lực bởi nền tảng tốn học qua cơng bố của Strang và phép phân tích phần tử hữu
hạn của Fix, vì vậy chúng đã được khái qt hố và đưa vào một nhánh của toán
học ứng dụng cho mô phỏng bằng số của hệ thống vật lý, áp dụng trong rất nhiều
ngành công nghệ, chẳng hạn như điện từ và động lực.
II.2. CÁC BƯỚC CƠ BẢN CỦA FEM CHO LỜI GIẢI PDEs
II.2.1.
Sự rời rạc hóa
Hình 2.1. Ví dụ về việc hình thành lưới trong miền 2D và 3D
II.2.2.
Lựa chọn hàm nội suy
Phương trình vi phân có thể được định nghĩa bởi:
£u = f
(2.1)
Trong đó:
£ là tốn tử vi phân;
u là đại lượng chưa biết;
f là hàm số kích thích hoặc ràng buộc;
Page 11
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
Hàm số chưa biết ue của phần tử eth có thể được viết lại như sau:
u e ej u ej e u e u e
n
T
j 1
T
e
(2.2)
Trong đó:
n là số nút của mỗi phần tử;
u ej là giá trị của u tại nút j của phần tử e;
ej là hàm hình dáng của nút j;
1 if i j
(được biết như là tam giác Kronecker) là giá
0 if i j
Với ie ( N j ) ij
trị của ie tại nút N j
II.2.3.
Thành lập hệ thống phương trình
Có nhiều phương pháp như là: Phương pháp của Ritz, của Galerkin và phương
pháp sắp đặt theo thứ tự, …. Các phương pháp này được dùng để thành lập hệ thống
phương trình. Dưới đây, chúng tơi sẽ mơ tả phương pháp Galerkin;
Phương pháp Galerkin
Phương pháp Galerkin cho phần tử e được viết là
Rie
w £u
e
i
e
f d
i 1, 2,3,..., n
(2.3)
e
Trong đó wie là hàm số đối trọng. Đối với phương pháp Galerkin, hàm số đối trọng
được xem như là các phần được dùng trong phần mở rộng của lời giải xấp xỉ gần
đúng. Vì vậy, hàm số đối trọng được chọn là: wie ie . Thay thế (2.2) vào (2.3) ta sẽ
được:
Rie
£
e
i
e T
i
d u e
e
f ie d
i 1, 2,3,..., n
(2.4)
e
e
e
e
Re
A
u b
(2.5)
Với:
R e R1e , R2e ,..., Rme
T
(2.6)
Page 12
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
Aije
£ ej d
(2.7)
f ie d
(2.8)
e
i
e
bie
e
Cuối cùng, ta được:
R
R
Ne
e 1
e
A u b 0
Ne
e
e
e
(2.9)
e 1
Trong đó:
R R1 , R2 ,..., RNn trong đó Nn là tổng số nút, Ne là tổng số phần tử
Trước khi giải hệ thống phương trình, chúng ta cần áp điều kiện biên cho nó
(Có nhiều loại điều kiện biên như là: Dirichlet, Neuman and Cauchy).
II.3. HÀM NỘI SUY
II.3.1.
Khái niệm:
Hàm nội suy là phần vơ cùng quan trọng trong phép phân tích phần tử hữu
hạn. Có khá nhiều hàm nội suy như là: Lagrange, Hierarchical, Lobatto, …. Trong
phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu hàm hình dáng Lagrange bậc cao (Higher-Order
Lagrange shape functions).
Hàm ẩn u e ( x, y) có thể được xấp xỉ bởi một phần tử dưới dạng một đa thức thức bậc
cao hoàn chỉnh là:
n
u e ( x, y) aie qi ( x, y ) a T q( x, y )
(3.1)
i 1
Trong đó:
n
( p 1)( p 2)
là số nút của mỗi phần tử;
2
q( x, y) 1 x y x 2 xy y 2 ... y p
T
Page 13
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
Hình 2.2. Đơn thức tam giác Pascal (trong miền 2D)
Hình 2.3. Đơn thức hình chóp Pascal (trong miền 3D)
II.3.1.1. Bậc 1 (phần tử tuyến tính):
Từ phương trình (3.1), ví dụ là bậc 1 (p = 1), đa thức có thể có hệ số n = 3.
Chúng ta cần xem xét đến cấu trúc đa thức Lagrange tuyến tính bằng cách đặt lại
các nút tại đỉnh của phần tử tam giác, vì vậy ta có:
u e ( x, y) a1e a2e x a3e y
(3.2)
Page 14
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
Với 3 hệ số của chúng aej , j 1, 2,3 có thể được xác định bằng cách thay vào
(3.2) tại 3 nút:
u1e ( x, y) a1e a2e x1 a3e y1
(3.3a)
u2e ( x, y) a1e a2e x2 a3e y2
(3.3b)
u3e ( x, y) a1e a2e x3 a3e y3
(3.3c)
u1e 1 x1
e
u2 1 x2
u3e 1 x3
y1 a1e
y2 a2e
y3 a3e
(3.4)
Khi chúng được thay vào (3.1), có thể viết lại:
3
u e ( x, y) ie ( x, y)uie
i 1, 2,3.
(3.5)
i 1
Với hàm nội suy được cho bởi:
ie ( x, y)
1
a e a2ei x a3ei y
e 1i
2
i 1, 2,3.
(3.6)
a1ei xej yke xke y ej ; a2ei y ej yke ; a3ei xke xej
Trong đó:
Khi đó
và e
(i, j, k ) (1, 2,3), (2,3,1) or (3,1, 2)
1
a21a32 a22a31 là diện tích của phần tử tam giác eth.
2
Hình 2.4. Hàm hình dáng tuyến tính tại 3 đỉnh của tam giác
Page 15
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
Hình 2.5. Hàm hình dáng của tồn miền
II.3.1.2. Bậc 2 (phần tử bậc 2):
Từ phương trình (3.1), ví dụ là bậc 2 (p = 2) đa thức có thể có hệ số n = 6.
Chúng ta cần xem xét đến cấu trúc đa thức Lagrange bậc 2 bằng cách đặt lại các nút
tại đỉnh và trung điểm của phần tử tam giác, vì vậy ta có:
u e ( x, y) a1e a2e x a3e y a4e x 2 a5e xy a6e y 2
(3.7)
Với 6 hệ số của chúng aej , j 1, 2,...,6 có thể được xác định bằng cách thay vào (3.7)
tại 6 nút:
Khi chúng được thay vào (3.7), có thể viết lại:
6
u e ( x, y) ie ( x, y)uie
i 1, 2,..., 6
(3.8)
i 1
Với hàm nội suy được cho bởi:
ie 2Lei 1 Lei
i 1, 2,3
e4 4 L1e Le2
(3.9a)
(3.9b)
5e 4Le2 Le3
(3.9c)
e6 4 Le3 L1e
(3.9d)
Với:
Lei ( x, y)
1
a e a2ei x a3ei y
e 1i
2
i 1, 2,3
(3.10)
Trong đó: a1ei xej yke xke y ej ; a2ei y ej yke ; a3ei xke xej
Khi đó (i, j, k ) (1, 2,3), (2,3,1) or (3,1, 2) .
Page 16
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
Hình 2.6. Hàm hình dáng Lagrange bậc 2. a) Tại đỉnh 1e ; b) Của đường biên e4
II.3.1.3. Bậc 3 (phần tử bậc 3):
a)
b)
c)
Hình 2.7. Hàm hình dáng Lagrange bậc 3. a) Tại đỉnh 1e ; b) Của đường biên e4 ;
e
c) Của trọng tâm 10
II.3.2.
Xây dựng hàm nội suy:
Để thuận tiện trong việc phân tích vật thể hình tam giác, một hệ tọa độ mới
(L1, L2 and L3) được định nghĩa bởi mối tương quan tuyến tính dưới đây giữa hệ tọa
độ mới này và hệ tọa độ Đê-cac (the Catersian coordinates system), mà nó có tên
gọi là tọa độ miền (area coordinates)
x L1 x1 L2 x2 L3 x3
(3.11a)
y L1 y1 L2 y2 L3 y3
(3.11b)
1 L1 L2 L3
(3.11c)
Trong phần này, trước tiên chúng ta hãy phân tích tỉ mỹ hàm Lei ( x, y) đã được
Page 17
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
định nghĩa. Xem xét điểm P(x,y) trong phần tử tam giác. Vùng diện tích của hình
tam giác được xác định bởi điểm P này và nút 2 & 3 là:
1 x
1
1 det 1 x2e
2
1 x3e
y
1
y2e x2e y3e x3e y2e x y2e y3e y x3e x2e
2
y3e
1
1 e
e
e
a11 a21
x a31
y
2
(3.12)
(3.13)
Hình 2.8. Tọa độ miền
Hình 2.9. Phần tử tam giác tổng quát
So sánh với (3.10), chúng ta thấy rằng:
L1e
1
1
e
e
e a11e a21
x a31
y
e
2
(3.14a)
Le2
2
1
e
e
e a12e a22
x a32
y
e
2
(3.14b)
Le3
3
1
e
e
e a13e a23
x a33
y
e
2
(3.14c)
Page 18
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
Vì việc lựa chọn điểm P hoàn toàn được xác định L1e , Le2 , Le3 , có thể dùng chúng
đảo ngược để xác định điểm bên trong phần tử tam giác. Vì vậy, L1e , Le2 , Le3 được gọi
là tọa độ miền hay tọa độ tự nhiên. Phương trình (3.14) có thể được rút gọn lại:
L1e
a11e
1 e
e
L2 2 e a21
e
Le3
a31
a12e
e
a22
e
a32
a13e 1
e
a23
x
e
a33 y
(3.15)
Từ đó có thể thấy rằng:
1 1
x xe
1
y y1e
1
x2e
y2e
1 L1e
x3e Le2
y3e Le3
(3.16)
Để xây dựng được hàm nội suy, chúng ta gán mỗi nút trong mỗi phần tử bằng
3 số nguyên I, J and K. Biểu thức của hàm nội suy ie liên quan với nút i, có nhãn
(I, J, K), có thể được viết lại là:
ie PI p L1e PJp Le2 PKp Le3
I J K p
(3.17)
Trong đó: PI p L1e , PJp Le2 , PKp Le3 là các đa thức được định nghĩa:
I 1
PI p L1e
p 0
J 1
p
J
L
p
K
L
P
e
2
p 0
K 1
P
e
3
p 0
pL1e m 1 I 1
pL1e m
I m
I ! p 0
I 0
(3.18a)
pLe2 m 1 J 1
pLe2 m
J m
J ! p 0
J 0
(3.18b)
pLe3 m 1 K 1
pLe3 m
K m
K ! p 0
K 0
(3.18c)
Bây giờ, chúng ta hãy xem xét một ví dụ cụ thể để minh họa ứng dụng của các
biểu thức (3.18).
II.3.2.1. Phần tử tuyến tính:
Chúng ta hãy xem xét phần tử tuyến tính, p = 1 và Pi1 Lei Lei , P01 Lei 1 , ta có:
1e P11 L1e P01 Le2 P01 Le3 L1e
(3.19a)
e2 P01 L1e P11 Le2 P01 Le3 Le2
(3.19b)
Page 19
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
3e P01 L1e P01 Le2 P11 Le3 Le3
(3.19c)
II.3.2.2. Phần tử bậc 2:
Hãy xem xét phần tử bậc 2, p = 2 và
P22 Lei Lei 2Lei 1 , P12 Lei 2Lei , P02 Lei 1
1e P22 L1e P02 Le2 P02 Le3 L1e 2L1e 1
(3.20a)
e2 P02 L1e P22 Le2 P02 Le3 Le2 2Le2 1
(3.20b)
3e P02 L1e P02 Le2 P22 Le3 Le3 2Le3 1
(3.20c)
e4 P12 L1e P12 Le2 P02 Le3 2L1e 2Le2 4L1e Le2
(3.20d)
5e P02 L1e P12 Le2 P12 Le3 2Le2 2Le3 4Le2 Le3
(3.20e)
e6 P12 L1e P02 Le2 P12 Le3 2L1e 2Le3 4L1e Le3
(3.20f)
II.3.2.3. Phần tử bậc 3:
Hãy xem xét phần tử bậc 3, p = 3 và
P33 Lei
1 e
3
Li 3Lei 1 3Lei 2 , P23 Lei Lei 3Lei 1 , P13 Lei 3Lei , P03 Lei 1
2
2
1e P33 L1e P03 Le2 P03 Le3
1 e
L1 3L1e 1 3L1e 2
2
e2 P03 L1e P33 Le2 P03 Le3
1 e
L2 3Le2 1 3Le2 2
2
1
3e P03 L1e P03 Le2 P33 Le3 Le3 3Le3 1 3Le3 2
2
e4 P23 L1e P13 Le2 P03 Le3
9 e
L1 3L1e 1 Le2
2
5e P13 L1e P23 Le2 P03 Le3
9 e e
L1 L2 3Le2 1
2
e6 P03 L1e P23 Le2 P13 Le3
9 e
L2 3Le2 1 Le3
2
e7 P03 L1e P13 Le2 P23 Le3
9 e e
L2 L3 3Le3 1
2
Page 20
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
8e P13 L1e P03 Le2 P23 Le3
9 e e
L1 L3 3Le3 1
2
9e P23 L1e P03 Le2 P13 Le3
9 e
L1 3L1e 1 Le3
2
e
10
P13 L1e P13 Le2 P13 Le3 27 L1e Le2 Le3
II.4. PHẦN TỬ ISOPARAMETRIC
Hình 2.10. Phép ánh xạ 2 chiều của một số phần tử
Để giới thiệu khái niệm phần tử isoparametric, chúng ta xem xét hình tam giác
với những cạnh cong trong mặt phẳng x-y. Phần tử này có thể được mơ tả bởi một
phép ánh xạ từ phần tử chuẩn với những cạnh thẳng trong mặt phẳng - sử dụng
phép biến đổi bậc 2 (toàn phương):
x a b c d 2 e f 2
y a' b' c' d ' 2 e' f ' 2
(4.1a)
(4.1b)
Các hệ số chưa biết có thể được xác định bằng giải phương trình mà các
phương trình này thu được bởi các phương trình ràng buộc tại 6 nút đã đề cập ở
Page 21
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
trên. Cách thực hiện này đã mang lại:
6
x ej , x j
(4.2a)
j 1
6
y ej , y j
(4.2b)
j 1
Trong đó:
1e , 1 1 2 2
e2 , 2 1
3e , 2 1
(4.3)
e4 , 4 1
5e , 4
e6 , 4 1
So sánh các biểu thức này với các biểu thức (3.20) cho thấy rằng chúng rất
giống với thực tế miễn là chúng ta cho: L1e 1 , Le2 , Le3 .
Ánh xạ được định nghĩa bởi (4.3) đã cho hình chính xác bậc 2. Để được phép
biến đổi bậc cao, hàm ánh xạ được cho bởi:
ie PI p 1 PJp PKp
I J K p
(4.4)
Trong đó: PI p , PJp , PKp được định nghĩa bởi (3.18)
Sau khi phần tử tam giác được ánh xạ sang mặt phẳng -, một phép nội suy được
cho:
6
u , ej , u ej
e
(4.5)
j 1
Với ie được cho từ (4.3). Phép nội suy bậc cao có thể thu được bằng cách sử dụng
(4.4)
Như chúng ta đã biết, để thực hiện phép phân tích phần tử hữu hạn, điều cần thiết là
ước lượng ma trận phần tử và ma trận vector, các phần tử của chúng được cho bởi:
e
ie ej
ie j
A x
y
ie ej dxdy
x x
y y
e
e
ij
(4.6)
Page 22
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
bie f ie dxdy
(4.7)
e
Để tìm ra biểu thức cần thiết cho
ie
ie
và
, chúng ta thực hiện đạo hàm riêng
y
x
phần của ie đối với và để tìm:
ie ie ie
x
x x
(4.8a)
ie ie ie
y
y y
(4.8b)
Các phương trình này có thể được viết lại:
ie
x x
ie
y y
e
i
x
ie
y
(4.9)
Một cách khác cho việc tính tốn đạo hàm riêng của
ie
ie
và
được cho bên
y
x
dưới:
ie x
ie x
y ie
ie
x
e J xe
y i
i
y
y
n j
ie
ie
yj
1
j 1
x
1
J
e
e
J n j
i
i
xj
y
j 1
j
e
yj i
j 1
n
e
j
xj i
j 1
n
(4.10)
(4.11)
Ngoài ra, chúng ta có:
dxdy J d d 2e d d
(4.12)
Nếu các tham số x , y , , f liên quan với mỗi phần tử không phải là hằng số,
chúng ta có thể tính tốn (4.6) và (4.7) bằng cách sử dụng phép tích phân số học
trong phần V của chương này
Page 23
TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP NGẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO
iqe
x
n _ quad
Aije e wq
e
q 1
iq
y
e
e
e
iq jq jq
e
e
iq jq
y y
y
y
e
e
e
iq jq jq
x x
x
x
(4.13)
bie f ie dxdy e
n _ quad
e
k 1
wq . f .ie q ,q
(4.14)
Nếu các tham số x , y , , f là hằng số, các tham số này sẽ được tính tốn mà chúng
sẽ được trình bày trong phần V của chương này.
II.5. PHÉP TÍCH PHÂN SỐ HỌC
Có nhiều ngun lý về phép tích phân số học, như là phép cầu phương Newton
– Cotes, Chebyshev, Lobatto (Radau), Gauss. Trong số chúng, kiểu tích phân Gauss
thường được sử dụng rộng rãi.
II.5.1. Một chiều:
Việc phân tích phần tử hữu hạn trong khơng gian một chiều là cần thiết để tính
tốn các ma trận độ cứng và ma trận lực:
K
e
ij
xre
e
i
e
j
dx
i 1, 2,..., n
(5.1)
xle
xre
b ie fdx
i 1, 2,..., n
e
i
(5.2)
xle
Phép biến đổi tích phân trong khoảng (-1,1) cho được:
2
le
x
x
x
xc
c
le
2
(5.3)
Với xc là điểm trung tâm của phần tử.
Thay thế (5.3) vào (5.1) ta có:
1
le
K ie ej d
2 1
e
ij
i 1, 2,..., n
(5.4)
Page 24
