Giải số bài toán dòng chảy và lan truyền chất ô nhiễm trên mạng lưới kênh sông

-i-

Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
------------

HỒNG NGỌC TÚY

GIẢI SỐ BÀI TỐN DỊNG CHẢY VÀ LAN
TRUYỀN CHẤT Ô NHIỄM TRÊN MẠNG LƯỚI
KÊNH SÔNG

Chuyên ngành: TỐN ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP . HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2011


- ii -

Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
------------

HỒNG NGỌC TÚY

GIẢI SỐ BÀI TỐN DỊNG CHẢY VÀ LAN
TRUYỀN CHẤT Ơ NHIỄM TRÊN MẠNG LƯỚI

KÊNH SƠNG
Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP . HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2011


- iii -

CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS.TSKH Bùi Tá Long…………………………...
……………………………………………………………………………………….…
…………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………….…
…………………………………………………………………………………...
Cán bộ nhận xét 1 : …………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….…
…………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………….…
…………………………………………………………………………………...
Cán bộ nhận xét 2 : …………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….…
…………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………….
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày …. tháng 12 năm 2011

- iv -

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH

ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

Tp. HCM, ngày …. Tháng …. Năm 2011

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên :

Hoàng Ngọc Túy

Phái : Nam

Ngày sinh

24-10-1988

Nơi sinh : Quảng Trị

Toán ứng dụng

MSHV : 10241118

:

Chuyên ngành :
I – TÊN ĐỀ TÀI :

GIẢI SỐ BÀI TỐN DỊNG CHẢY VÀ LAN TRUYỀN CHẤT Ô NHIỄM TRÊN
MẠNG LƯỚI KÊNH SƠNG
II – NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG :
• Tổng quan bài tốn dịng chảy, bài tốn lan truyền chất.
• Giải số bài tốn dịng chảy bằng sơ đồ ẩn 4 điểm Preissmann.
• Giải bài tốn lan truyền trên kênh sơng bằng sơ đồ ẩn 6 điểm Preissmann.
• Mở rộng bài tốn trên mạng lưới kênh sơng.
III – NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 02/2011
IV – NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 12/2011
V – CÁN BỘ HƯỚNG DẪN PGS.TSKH Bùi Tá Long
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CN BỘ MÔN
QL CHUYÊN NGÀNH

PGS.TSKH Bùi Tá Long

PGS.TS Nguyễn Đình Huy


-v-

LỜI CÁM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy hướng dẫn - PGS.TSKH
Bùi Tá Long – Trưởng phịng Tin học Mơi trường, Viện Mơi trường và Tài nguyên,
Đại học Quốc Gia Tp.Hồ Chí Minh, người đã ln khuyến khích , quan tâm giúp đỡ,

truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn tốt
nghiệp này.
Tơi xin bày tỏ lịng biết chân thành đến tập thể Thầy, Cơ giáo bộ mơn Tốn Ứng
Dụng – Khoa Khoa Học Ứng Dụng, phòng Đào Tạo Sau Đại Học – trường đại học
Bách Khoa – Đại học Quốc Gia Tp. HCM; đến các anh chị thuộc phịng Tin Học Mơi
Trường - viện Môi Trường và Tài Nguyên - Đại học Quốc Gia Tp. HCM đã tận tình
giúp đỡ, truyền đạt kiến thức cho tơi trong suốt khóa học.
Tơi xin gửi lời cám ơn đến tập thể các bạn khóa K2009 và K2010 lớp cao học
Toán Ứng Dụng – những người bạn yêu quý đã luôn đồng hành, giúp đỡ và chia sẽ khó
khăn cùng tơi trong suốt q trình học tập.
Cuối cùng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình, những người thân
u nhất, đã ln khích lệ, giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập vừa qua.

Hoàng Ngọc Túy


- vi -

TÓM TẮT
Luận văn bao gồm ba chương. Trong chương 1 trình bày các khái niệm về bài
tốn dịng chảy, bài toán lan truyền chất, điều kiện biên, điều kiện đầu và điều kiện tại
hợp lưu khi xét bài tốn trên hệ thống kênh sơng. Ngồi ra, trong chương này cịn trình
bày cách giải bằng phương pháp sai phân hữu hạn dùng lược đồ hiện, lược đồ ẩn tổng
quát trong bài tốn lan truyền chất.
Trong chương 2 trình bày cách giải bài tốn dịng chảy, bài tốn lan truyền chất
bằng phương pháp dùng lược đồ ẩn Preissmann. Cụ thể, đối với bài tốn dịng chảy ta
dùng lược đồ ẩn 4 điểm Preissmann, đối với bài toán lan truyền ta dùng lược đồ ẩn 6
điểm Preissmann. Và với sự hổ trợ của Matlab ta thu được kết quả tính tốn cho một số
trường hợp thực tế trong bài toán nêu trên.
Trong chương 3 ta xét bài tốn dịng chảy, bài tốn lan truyền trong hệ thống

kênh sơng. Nêu lên cách giải bài tốn bằng cách áp dụng các cơng thức, phương pháp ở
chương 2, xét trường hợp đơn giản.


- vii -

ABSTRACT
Thesis consists of three chapters. In Chapter 1 presents the concept of flow
problem, the problem is spreading nature, boundary conditions, initial conditions and
conditions at the store when looking at the problem in the river channel system. In addition, this chapter also presents the solution by means of finite difference scheme is
used, the general schema hidden nature of the problem spread.
In Chapter 2 shows how to solve the flow, the problem spread nature of the method used by hidden Preissmann schema. Specifically, for the flow problem we use 4
points Preissmann hidden schema, for the transmission problem we use the hidden
scheme Preissmann 6 points. And with the help of Matlab we obtained calculation results for a number of actual cases in the two papers mentioned above.
In Chapter 3 we consider the flow problem, the problem is spreading in the river
channel system. How to solve the problem raised by applying the formulas and methods in Chapter 2, consider the simple case.


- viii -

MỤC LỤC
LỜI CÁM ƠN ................................................................................................................ V
TÓM TẮT .................................................................................................................... VI
ABSTRACT ................................................................................................................ VII
MỤC LỤC ................................................................................................................. VIII
DANH MỤC BẢNG ...................................................................................................... X
DANH MỤC HÌNH ..................................................................................................... XI
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN TÀI LIỆU ....................................................................... 3
1.1. Hệ phương trình cơ bản...................................................................................... 3

1.1.1. Phương trình chuyển tải .................................................................................. 3
1.1.2. Phương trình khuếch tán ................................................................................. 4
1.1.3. Phương trình lan truyền chất .......................................................................... 5
1.2. Phương pháp sai phân hữu hạn ......................................................................... 5
1.3. Hệ phương trình Saint - Venant ........................................................................ 9
1.3.1. Hệ phương trình cơ bản .................................................................................. 9
1.3.2. Điều kiện biên, điều kiện đầu, điều kiện tại các hợp lưu.............................. 10
1.3.3. Đánh giá phương pháp giải ........................................................................... 11
1.4. Phương trình lan truyền chất trên kênh sơng ................................................ 11
CHƯƠNG 2. GIẢI SỐ MƠ HÌNH DỊNG CHẢY VÀ LAN TRUYỀN CHẤT
CHO MỘT ĐOẠN SÔNG ........................................................................................... 14
2.1. Giải số bài tốn dịng chảy ................................................................................ 14
2.1.1. Ứng dụng lược đồ Preissmann...................................................................... 14
2.1.2. Lời giải số bài tốn dịng chảy cho một đoạn sơng ...................................... 21
2.2. Giải số bài tốn lan truyền ............................................................................... 22
2.3. Lời giải số trên ví dụ cụ thể .............................................................................. 31
CHƯƠNG 3. GIẢI SỐ MƠ HÌNH DỊNG CHẢY VÀ LAN TRUYỀN CHẤT
CHO MẠNG SƠNG CĨ HỢP LƯU .......................................................................... 36


- ix -

3.1. Các bước giải số tính tốn dịng chảy .............................................................. 37
3.2. Các bước giải số bài toán lan truyền ............................................................... 38
3.3. Ví dụ giải số mơ hình lan truyền chất ............................................................. 40
KẾT LUẬN ................................................................................................................... 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 54
PHỤ LỤC 1 .................................................................................................................... A
PHỤ LỤC 2 .................................................................................................................... E
PHỤ LỤC 3 .................................................................................................................... F

-x-

DANH MỤC BẢNG
Bảng 2-1 Nồng độ theo thời gian và không gian tại bước 1 .......................................... 32
Bảng 2-2 Nồng độ theo thời gian và không gian tại bước 2 .......................................... 33
Bảng 2-3 Nồng độ theo thời gian và không gian tại bước 41 ........................................ 34
Bảng 3-1 Nồng độ theo thời gian và không gian tại bước 1 .......................................... 41
Bảng 3-2 Nồng độ theo thời gian và không gian tại bước 2 .......................................... 42
Bảng 3-3 Nồng độ theo thời gian và không gian tại bước 41 ........................................ 43
Bảng 3-4 Nồng độ theo thời gian và không gian tại bước 1 .......................................... 45
Bảng 3-5 Nồng độ theo thời gian và không gian tại bước 2 .......................................... 46
Bảng 3-6 Nồng độ theo thời gian và không gian tại bước 61 ........................................ 48
Bảng 3-7 Nồng độ theo thời gian và không gian tại bước 1 .......................................... 50
Bảng 3-8 Nồng độ theo thời gian và không gian tại bước 2 .......................................... 51
Bảng 3-9 Nồng độ theo thời gian và không gian tại bước 121 ...................................... 52


- xi -

DANH MỤC HÌNH
Hình 1.1 Các ký hiệu đi kèm với mặt cắt ......................................................................... 9
Hình 1.2 Hợp lưu của 3 nhánh sơng .............................................................................. 11
Hình 2.1 Vị trí 7 mặt cắt trên nhánh sơng ...................................................................... 14
Hình 2.2 Sơ đồ 4 điểm Preissmann ................................................................................ 15
Hình 2.3 Sơ đồ rời rạc một nhánh sơng trong tính tốn ................................................. 21
Hình 2.4 Sơ đồ 6 điểm Preissmann ............................................................................... 23
Hình 3.1 Các ký hiệu được sử dụng ............................................................................... 37

-1-

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Trong sự phát triển của xã hội ngày nay con người phải đối mặt với rất nhiều vấn
đề tự nhiên và xã hội cần thiết phải giải quyết. Với một quốc gia đang phát triển như
nước ta, vấn đề đầu tư phát triển công nghiệp, vấn đề xây dựng các nhà máy là một lựa
chọn để phát triển kinh tế hiện nay. Công nghiệp hóa giải quyết nhiều vấn đề tích cực
cho xã hội, tuy nhiên, hậu quả mà nó để lại cũng khơng nhỏ nếu như chúng ta khơng
kiểm sốt chặt chẽ các chất thải công nghiệp.
Sự phát triển công nghiệp của nước ta trong những năm qua đã làm gia tăng đáng
kể phát thải vào môi trường, môi trường nước ta bị xuống cấp một cấp nhanh chóng: đất
đai xói mịn, chất lượng nguồn nước bị giảm, khơng khí bị ơ nhiễm nặng, khối lượng
phát sinh và mức độ độc hại của các chất ngày càng tăng, tài nguyên thiên nhiên bị khai
thác q mức, khơng có quy hoạch, đa dạng sinh học bị đe dọa nghiêm trọng, điều kiện
vệ sinh môi trường, cung cấp nước sạch ở nhiều nơi không đảm bảo. Bên cạnh đó các
ngành dịch vụ và quá trình đơ thụ hóa đang gây áp lực lớn lên môi trường, và đặt công
tác bảo vệ môi trường nước ta trước những thách thức gay gắt.
Các bài tốn dịng chảy và lan truyền chất ơ nhiễm hịa tan được xác định bởi các
hệ phương trình vi phân riêng mơ tả các định luật vật lý cơ bản. Vấn đề số hóa mơ hình
ngày càng trở nên phổ biến, vì giúp làm giảm các quan sát trực tiếp tốn kém chi phí và
dự báo hệ sinh thái một cách thống nhất. Từ giúp chúng ta biết trước các hệ quả để có
biện pháp ngăn chặn.
Bài tốn dịng chảy và lan truyền chất ô nhiễm trên kênh sông trong thực tế
không thể xét đơn thuần trên một nhánh sông, đoạn sông mà ta phải xem xét trên một hệ
thống, mạng lưới kênh sơng nhất định.
Xuất phát từ vấn đề đó đề tài: “Giải số bài tốn dịng chảy và lan truyền chất ô
nhiễm trên mạng lưới kênh sông” được thực hiện với mục tiêu phân tích, kiểm sốt
dịng chảy và mức độ lan truyền chất ô nhiễm trong môi trường nước.

-2-

2. Mục tiêu
Nghiên cứu các phương pháp giải số phương trình tốn học xuất hiện trong mơ
hình dịng chảy, lan truyền chất trên kênh sông – trường hợp một chiều.
3. Nội dung nghiên cứu
Để đạt mục tiêu trên, luận văn sẽ thực hiện những nội dung cơ bản sau:
• Tổng quan bài tốn dịng chảy, bài tốn lan truyền.
• Phương pháp giải cho bài tốn dịng chảy, lan truyền.
• Nghiên cứu lược đồ ẩn Preissmann.
• Sử dụng matlab, cho kết quả của bài tốn thực tế.
• Mở rộng bài tốn dịng chảy, lan truyền trên hệ thống sơng.
4. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp nghiên cứu sau đây được sử dụng trong đề tài:
• Phương pháp tham khảo tài liệu: tìm hiểu cơ sở lý thuyết và thực tiễn.
• Phương pháp mơ hình hóa: xây dựng mơ hình và các phép tốn cho các
biến mơ hình.
5. Tính mới.
Các phép biến đổi tốn học từ phân tích Taylor dẫn tới sơ đồ sai phân trong Luận
văn này được trình bày chi tiết, phần này chưa có trong bất cứ tài liệu nào tiếng Việt hay
tiếng Anh được công bố trước đây.


-3-

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN TÀI LIỆU
Trong chương này luận văn nêu một số dạng phương trình lan truyền chất được
sử dụng trong các bài tốn mơi trường, trình bày các khái niệm về dịng chảy (mơ hình

thủy lực), lan truyền trong bài tốn mơi trường. Giới thiệu phương trình khuếch tán,
phương trình lan truyền, phương trình dịng chảy. Các điều kiện biên, điều kiện đầu, điều
kiện hợp lưu khi xét trong hệ thống sông. Tiếp theo là phương pháp sai phân hữu hạn để
giải bài tốn, trong đó dùng lược đồ hiện, lược đồ ẩn tổng quát.
1.1. Hệ phương trình cơ bản
1.1.1. Phương trình chuyển tải
C : nồng độ (g/m3); V : thể tích (m3); Q : lưu lượng (m3/s); Q = u . A; u : vận tốc
(m/s); A : diện tích (m2); s : lượng chất khuếch tán trong 1 đơn vị diện tích (g/ m2)

Vận tốc trung bình
của dịng chảy u
Mặt cắt ngang

C1

Δx

C2

Chuyển tải: là sự di chuyển của các chất hòa tan hay chất vật liệu hạt rất mịn ở
một vận tốc dòng theo một trong ba hướng: dọc, ngang, thẳng đứng.
Khuếch tán (phân tán): liên quan đến q trình trong đó các chất trên hịa trộn với
nhau trong cột nước.
Lan truyền: sự lan truyền hóa chất độc trong nước chủ yếu dựa vào hai cơ chế
chuyển tải và khuếch tán.


-4-

Giả thiết bỏ qua quá trình khuếch tán. Áp dụng định luật bảo tồn khối lượng, ta

có:
∆ (Vc ) = ( Q1c1 − Q2 c2 ) ∆t
∆ (Vc )
= ( Q1c1 − Q2 c2 )
∆t
∂c
1 ∂ ( Qc )
∂c
⇒
=− .
= −u
∂t
A ∂x
∂x

⇒

đây là phương trình tải một chiều khơng gian.
Điều kiện biên: có 2 điều kiện biên, mỗi điều kiện ở mỗi đầu sơng:
• Điều kiện biên Dirichlet: c ( t , 0 ) = f ( t ) ,
• Điều kiện biên Neumann:

c (t, L ) = g (t )

∂c
(t, 0) = f (t ) ,
∂x

c ( t, L ) = g (t )

Điều kiện đầu: c ( 0, x ) = ψ ( x )
1.1.2. Phương trình khuếch tán
Giả sử có một chất bị đổ vào song tĩnh, nó sẽ lan ra như thế nào?
Lượng chất khuếch tán qua mặt cắt ngang bất kỳ: s = − Aε
Lượng chất tích lại:

∂c
∂x

∂ ( Ac )
∂t

Áp dụng định luật bảo toàn khối lượng;
∂ ( Ac ) ∂s
+ =0
∂t
∂x

Nếu A, ε là hằng số thì ta có:

hay

∂ ( Ac ) ∂ 
∂c 
+  Aε  = 0
∂t
∂x 
∂x 

∂c

∂ 2c
=ε 2
∂t
∂x

đây là phương trình khuếch tán một chiều khơng gian.
Điều kiện biên: có 2 điều kiện biên, mỗi điều kiện ở mỗi đầu sơng.
• Điều kiện biên Dirichlet: c ( t , 0 ) = f ( t ) ,
• Điều kiện biên Neumann:

∂c
(t, 0) = f (t ) ,
∂x

c (t, L ) = g (t )
c ( t, L ) = g (t )


-5-

Điều kiện đầu: c ( 0, x ) = ψ ( x )
1.1.3. Phương trình lan truyền chất
Giả sử có một chất bị đổ vào sơng, nó sẽ lan truyền như thế nào? Dòng chất dịch
chuyển qua mặt cắt ngang bất kì gồm 2 thành phần tải và khuếch tán:
∂c 

s = A  uc − ε 
∂x 


Lượng chất tích lại:

∂ ( Ac )
∂t

Áp dụng định luật bảo tồn khối lượng:
∂ ( Ac ) ∂s
+ =0
∂t
∂x

hay

∂ ( Ac ) ∂ 
∂c 
+  Qc − Aε  = 0
∂t
∂x 
∂x 

∂c
∂c
∂ 2c
Nếu A, ε là hằng số thì ta có:
+u =ε 2
∂t
∂x
∂x

đây là phương trình lan truyền một chiều khơng gian.

Điều kiện biên: có 2 điều kiện biên, mỗi điều kiện ở mỗi đầu sơng.
• Điều kiện biên Dirichlet: c ( t , 0 ) = f ( t ) ,
• Điều kiện biên Neumann:

∂c
(t, 0) = f (t ) ,
∂x

c (t, L ) = g (t )
c ( t, L ) = g (t )

Điều kiện đầu: c ( 0, x ) = ψ ( x )
Ta sẽ nghiên cứu bài tốn theo quy trình sau:
1. Đưa ra phương pháp giải.
2. Đánh giá hiệu quả của phương pháp.
3. Đưa ra thuật toán.
1.2. Phương pháp sai phân hữu hạn
∂c
∂c
∂ 2c
+u =ε 2
∂t
∂x
∂x

Điều kiện biên: có 2 điều kiện biên, mỗi điều kiện ở mỗi đầu sơng.
• Điều kiện biên Dirichlet: c ( t , 0 ) = f ( t ) ,

c (t, L ) = g (t )

-6-

• Điều kiện biên Neumann:

∂c
(t, 0) = f (t ) ,
∂x

c ( t, L ) = g (t )

Điều kiện đầu: c ( 0, x ) = ψ ( x )
Sơ đồ hiện đơn giản:
Sử dụng sai phân tiến đối với thời gian và sai phân trung tâm đối với không gian.
c nj +1 − c nj
∆t

+u

c nj +1 − c nj −1
2∆x

=ε

c nj +1 − 2c nj + c nj −1

( ∆x )

2

∆t n
∆t
c j +1 − c nj −1 ) = ε
c n − 2c nj + c nj −1 )
(
2 ( j +1
2∆x
( ∆x )

⇔

c nj +1 − c nj + u

⇔

c nj +1 = c nj − 0.5σ ( c nj +1 − c nj −1 ) + D ( c nj +1 − 2c nj + c nj −1 ) ,

⇔

c nj +1 = (1 − 2 D ) c nj − ( 0.5σ − D ) c nj +1 + ( 0.5σ + D ) c nj −1

σ =u

∆t
∆t
,D =ε
2
∆x
( ∆x )

Sai số của phương pháp sai phân và sai số do đạo hàm được đánh giá thơng qua số dư
trong phân tích Taylor:
2
c nj +1 − c nj
∂c
(tn , x j ) ≈
+ ε1 với ε1 = − ∂ c2 (ζ n , x j ) ∆t , ζ n ∈ ( tn , tn+1 )
∂t
∆t
2
∂t

c j +1 − c j −1
∂c
(tn , x j ) =
+ ε3
∂x
2 ∆x
n

n

 ∂ 3c
 ( ∆x )
∂ 3c
với ε 3 = −  3 (tn , ζ j ) + 3 (tn , µ j ) 
∂x
 ∂x
 2.3!

2

; ζ n , µ n ∈ ( x j −1 , x j +1 )

c nj +1 − 2c nj + c nj −1
∂ 2c
(t n , x j ) =
+ ε4
2
∂x 2
∆
x
( )
2
2
 ∂ 4c
∆x ) ∂ 4 c
∆x ) 
(
(
với ε 4 = −  4 (tn , ζ j ).
+ 4 (tn , µ j ).
,
4!
∂x
4! 
 ∂x

ζ n , µ n ∈ ( x j −1 , x j +1 )

-7
∆t
∆t 
; r = u
,D =ε

2

∆x
( ∆x ) 


Điều kiện bền vững r 2 ≤ 2 D
Sơ đồ sai phân ẩn tổng quát:
Sai phân tại t + θ .∆t :
c nj +1 − c nj
∆t

 c nj ++11 − c nj −+11
 c nj +1 − c nj −1
c nj ++11 − 2c nj +1 + c nj −+11 
c nj +1 − 2c nj + c nj −1 
+ θ u
−ε
−ε
 + (1 − θ ) u
=0
2∆x
∆x 2

2 ∆x
∆x 2





⇔ c nj +1 − c nj + 0.5θ r ( c nj ++11 − c nj −+11 ) − θ ( Dc nj ++11 − 2c nj +1 + c nj −+11 )
+0.5(1 − θ ) r ( c nj +1 − c nj −1 ) − (1 − θ ) D ( c nj +1 − 2c nj + c nj −1 ) = 0,

r =u

∆t
∆t
,D =ε 2
∆x
∆x

Nếu θ = 0 : sơ đồ sai phân hiện
Nếu θ ≠ 0 :sơ đồ sai phân ẩn
• θ = 0.5 : ta có Sơ đồ Crank-Nicolson.
• θ = 1.0 : ta có sai phân ẩn đơn giản.
Hệ phương trình đại số:
Ap c nj +1 − AE c nj ++11 − AW c nj −+11 = Src j

(1)

với các hệ số:
AP = (1 + 2 Dθ ); AE = θ ( D − 0.5σ ); AW = θ ( D + 0.5σ )

Src j = c nj − (1 − θ ) 0.5σ ( c nj +1 − c nj −1 ) − D ( c nj +1 − 2c nj + c nj −1 ) 

Phương trình tại j=1:
Ap c1n +1 − AE c2n+1 = Src1

Với AP = 1; AE = 0; Src1 = c1

(2)
n +1


-8-

Phương trình tại j=N:
Ap cNn +1 − AW cNn +−11 = SrcN

(3)

Với AP = 1; AE = 1; SrcN = 0

Từ (1), (2) và (3) tạo thành hệ N phương trình đại số tuyến tính với N ẩn số dạng ba
đường chéo chính và giải bằng giải thuật Thomas:
 AP1

 − AW2
0

0

.

.

.


AE1

0

.

.

.

AP2

− AE2

0

.

.

− AW3

AP3

− AE3

0

.

0
.
.

.
.
.

.
.
0

.
.
.
.
− AWN −1 APN −1

.

.

.

0

− AWN

 c1n +1   Src 
  n +1   1 
.
 c2   Src2 

 n +1 
.

 c3   Src3 
 .  = .
.


 

.
.
.

 

− AEN −1  cNn +−11   SrcN −1 

 

APN  cNn +1   SrcN 




.

Điều kiện ổn định:
• Trường hợp: 0.5 ≤ θ ≤ 1.0 : sơ đồ ổn định vô điều kiện. Tuy nhiên để tránh
dao động mắt lưới cần Pe ≤ 2 .
• Trường hợp θ = 0 : sơ đồ ổn định với 2 điều kiện: σ 2 ≤ 2 D ≤ 1 .
trong đó điều kiện thứ 2 khắt khe hơn.


-9-

1.3. Hệ phương trình Saint - Venant
1.3.1. Hệ phương trình cơ bản
Như ta đã biết có một số dạng khác nhau của hệ phương trình Saint – Venant,
nhưng về cơ bản các dạng này tương đương với nhau về mặt tốn học. Việc sử dạng nào
tùy thuộc vào từng mơ hình hay tùy vào mức độ quan trọng của các hiện tượng cần mô
phỏng, chẳng hạn việc thủy triều lên xuống chỉ ảnh hưởng ở những đoạn sông giáp biển;
hiệu ứng gió chỉ quan trọng khi xét ở cửa sơng lớn. Khi lập sơ đồ và thuật tốn trên máy
tính cần phải xem xét:
+ Số lượng phép tính cần thực hiện trên máy, càng nhiều phép tính càng tốn thời
gian tính trên máy. Thời gian tính trên máy cịn phụ thuộc vào thuật toán được sử dụng,
chẳng hạn nếu dùng thuật toán lặp sẽ tốn nhiều thời gian hơn.
+ Số ô nhớ cần để lưu trữ các tham số và kết quả: càng nhiều ơ nhớ thì có thể mơ
phỏng bài toán lớn và thời gian dài.
Trên cơ sở phân tích như vậy các phương trình được chọn sẽ có số lượng các số
hạng là ít nhất và chỉ giữ lại các số hạng quan trọng, vì thế dạng sau đây của hệ phương
trình Saint – Venant sẽ được sử dụng:

Hình 1.1. Các ký hiệu đi kèm với mặt cắt


- 10 -

Phương trình liên tục:
∂Q
∂Z
+ Bc
=q
∂x
∂t

Phương trình động lượng (hay phương trình chuyển động):
2
∂Q ∂Q Q 2
∂Z gn Q Q
+
( ) + gA
+
− C w B W Wx = 0
4
3
∂t ∂x A
∂x
AR

Trong đó: Q ( x, t ) là lưu lượng qua mặt cắt ngang; BC là độ rộng mặt cắt ngang
gồm cả phần trữ còn B là độ rộng phần chảy; A là diện tích phần chảy của mặt cắt
ngang; Z ( x, t ) là mực nước so với một độ cao chuẩn; q là lưu lượng gia nhập hoặc mất

đi dọc dòng chảy; W và Wx là vận tốc gió và thành phần theo x của vận tốc gió; CW là
hệ số gió.
1.3.2. Điều kiện biên, điều kiện đầu, điều kiện tại các hợp lưu
Đối với dòng chảy cần phải cho điều kiện biên tại đầu nhánh sông (trường hợp
sông đơn): theo kết quả nghiên cứu lý thuyết, tại thượng lưu cho lưu lượng hay mực
nước, còn ở hạ lưu cho trước dao động mực nước (hoặc ngược lại), không nên cho lưu
lượng cả hai đầu. Tại lúc xuất phát tính ( thời điểm ban đầu) phải cho giá trị mực nước
và lưu lượng tại tất cả các điểm tính tốn, thường gọi là điều kiện ban đầu.
Đối với một hệ thống sơng, ngồi các điểm biên cón có các hợp lưu là nơi gặp
nhau của một số nhánh sông. Theo lý thuyết, tại các điểm hợp lưu hệ phương trình
Saint – Venant khơng cịn đúng nữa mà phải sử dụng phương trình Bernoullie. Theo luật
này nếu bỏ qua bình phương vận tốc so với hai lần gia tốc trọng trường ( v 2 / 2 g ), và bỏ
qua sự biến đổi diện tích mặt nước tại hợp lưu thì ta có hai điều kiện sau:
+ Mực nước tại các điểm tính áp sát hợp lưu thuộc các nhánh khác nhau phải
bằng nhau và bằng một giá trị được gọi là mực nước tại hợp lưu.
+ Tổng lưu lượng các nhánh chảy vào hợp lưu phải bằng lưu lượng của các nhánh
chảy ra từ hợp lưu ( điều kiện cân bằng lưu lượng ).


- 11 -

Hình 1.2 Hợp lưu của 3 nhánh sơng

Với Hình 1.2 thì các điều kiện hợp lưu như sau:
Z1 = Z 2 = Z 3 = Z
Q1 + Q2 = Q3

1.3.3. Đánh giá phương pháp giải
Bằng cách sai phân để đưa phương trình vi phân về một hệ phương trình đại số.
Giải hệ phương trình đó ta được giá trị của hàm c ( t , x ) tại các điểm trên nút lưới. Kết

quả có thể biểu diễn bằng một bảng số. Bài toán đã được giải quyết, tuy ta khơng tìm
được chính xác nghiệm bằng một biểu thức giải tích, nhưng tại các điểm trên nút lưới ta
hoàn toàn xác định được với một sai số ở mức cho phép. Điều này đủ để phản ánh thực
tế của bài tốn.
1.4. Phương trình lan truyền chất trên kênh sơng
Phương trình lan truyền chất trong dịng chảy một chiều cho một chất bất kỳ có
nồng độ C có dạng sau:
∂ ( AC ) ∂ 
∂C 
+ QC − DA  = A ⋅ S + qc
∂t
∂x 
∂x 

(*)

Trong đó C ( x, t ) là nồng độ chất lan truyền được trung bình trên tồn bộ mặt cắt
ngang sơng. A diện tích mặt cắt ngang; Q( x, t ) : là lưu lượng của dòng chảy qua mặt cắt


- 12 -

ngang; qc : lưu lượng khối chất tải đổ vào trên một đơn vị chiều dài kênh; D : hệ số
khuếch tán (dispersion); S : số hạng nguồn, mơ tả cho q trình sinh ra hoặc mất đi phi
cơ học của chất tải. Phương trình trên được biến đổi như sau:
∂ ( AC ) ∂ 
∂C 
+ QC − DA  = A ⋅ S + qc
∂t
∂x 

∂x 
⇔

∂ ( AC ) ∂ (QC ) ∂
∂C
+
− ( DA ) = A ⋅ S + qc
∂t
∂x
∂x
∂x
⇔A

∂C
∂A
∂C
∂Q ∂ ( DA) ∂C
∂ 2C
+C
+Q
+C
−
− DA 2 = A ⋅ S + qc
∂t
∂t
∂x
∂x
∂x ∂x
∂x

q
∂C C ∂A Q ∂C C ∂Q 1 ∂ ( DA) ∂C
∂ 2C
⇔
+
+
+
−
−D 2 =S+ c
∂t A ∂t A ∂x A ∂x A ∂x ∂x
∂x
A

( chia 2 vế cho A )
⇔

q
∂C  Q 1 ∂ ( DA)  ∂C C  ∂A ∂Q 
∂ 2C
+ −
+
+
=
D
+S+ c


2

∂t  A A ∂x  ∂x A  ∂t ∂x 

∂x
A

Theo hệ phương trình Saint-Venant ta có:
∂A ∂Q
+
=q
∂t ∂x

với q là lưu lượng gia nhập hoặc mất đi dọc dịng chảy
Phương trình trên viết lại là :
qc
∂C  Q 1 ∂ ( DA)  ∂C
∂ 2C
C
+ −
=
D
+
S
+
−q
2

∂t  A A ∂x  ∂x
∂x
A
A

Đặt: ε =

1 ∂ ( AD)
Q ∂x

Nhận xét:
ε rất nhỏ vì:

+ Xét trên một đoạn sơng ngắn thì diện tích mặt cắt thay đổi không đáng kể.
+ D là hằng số vì xét trên một đoạn sơng hệ số khuếch tán khơng thay đổi.
Viết lại phương trình:
q
∂C Q
∂C
∂ 2C
C
+ (1 − ε )
= D 2 +S + c −q
∂t A
∂x
∂x
A
A

(**)


- 13 Q
= U , với U là vận tốc dịng chảy.
A

Ta có:

và do ε rất nhỏ nên ta viết : 1 − ε ≈ 1
Vậy phương trình (**) trở thành :
q
∂C
∂C
∂ 2C
C
+U
= D 2 +S + c −q
∂t
∂x
∂x
A
A
q  q
∂C
∂ 2C
∂C 
⇔
= D 2 −U
+S + c − C
∂t
∂x
∂x 
A A



Nhận xét: +  S +
+



Đặt:  S +

qc 
 là hệ số tự do không phụ thuộc vào C .
A

q
là một số.
A

qc 
q
 = p ; A = K thì phương trình trên viết lại:
A

∂C
∂ 2C
∂C
= D 2 −U
+ p − K ⋅C
∂t
∂x
∂x

(***)

- 14 -

CHƯƠNG 2. GIẢI SỐ MƠ HÌNH DỊNG CHẢY VÀ LAN
TRUYỀN CHẤT CHO MỘT ĐOẠN SƠNG
Trong chương này trình bày cách giải bài tốn dịng chảy, bài tốn lan truyền chất
bằng phương pháp dùng lược đồ ẩn Preissmann. Cụ thể, đối với bài tốn dịng chảy ta
dùng lược đồ ẩn 4 điểm Preissmann, đối với bài toán lan truyền ta dùng lược đồ ẩn 6
điểm Preissmann. Và với sự hổ trợ của Matlab ta thu được kết quả tính toán cho một số
trường hợp thực tế trong bài toán nêu trên.
Bài tốn dịng chảy có dạng:
∂Q
∂Z
+ Bc
=q
∂x
∂t
2
∂Q ∂Q Q 2
∂Z gn Q Q
+
( ) + gA
+
− C w B W Wx = 0
4
∂t ∂x A
∂x
AR 3

Bài toán lan truyền có dạng:
∂C
∂ 2C
∂C
= D 2 −U
+ p − K ⋅C
∂t
∂x
∂x

2.1. Giải số bài tốn dịng chảy
2.1.1. Ứng dụng lược đồ Preissmann
Để tính tốn, mỗi nhánh sơng được chia thành các đoạn nhờ các điểm tính tốn
(hay thường gọi là các mặt cắt) mà tại đây ta cần phải tính tốn các giá trị mực nước Z i
và lưu lượng Qi (hoặc các giá trị về nồng độ), tại đây cũng cần cho số liệu về địa hình.

Hình 2.1 Vị trí 7 mặt cắt trên nhánh sông