Đáp án đề thi đại học môn Toán khối D năm 2004 | dethivn.com

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

1
<b>Bộ giáo dục và đào tạo </b> <b> Đáp án - Thang điểm </b>

<b> ... </b> <b> đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004 </b>

...

<b> §Ò chÝnh thøc</b>

<b> Môn: </b>

<b>Toán,</b>

<b>Khối D</b>

(Đáp án - thang điểm có 4 trang)

<b>Câu </b> <b>_ý</b> <b>Néi dung </b> <b>§iĨm</b>

<b>I </b> <b> 2,0 </b>

<b>1 </b> <i>Khảo sát hàm số (1,0 điểm) </i>

1
9
6

2 = 3 − 2 + +

= y x x x

m .

a) Tập xác định: R .
b) Sự biến thiên:

y ' 3x= 2−12x 9 3(x+ = 2 −4x 3)+ ; y' 0= ⇔ =x 1, x 3<b>= . </b> _0,25
y_C§ = y(1) = 5 , y_CT = y(3) =1. <b> y'' = 6x 12</b>− = 0 ⇔ x = 2 y = 3. Đồ thị hàm

số lồi trên khoảng (; 2), lõm trên khoảng (2;+) và có điểm uốn là

)
3
;
2
(

U . _0,25

Bảng biến thiên:

x 1 3 + ∞

y' + 0 − 0 +

y 5 + ∞

−∞ 1

<i>0,25 </i>

c) Đồ thị:

<i><b> Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 1). </b></i>

<i>0,25 </i>
<b>2 </b> <i>Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số ...(1,0 điểm)</i>

y = x3 ₋_3mx2_{+ 9x + 1 (1); y' = 3x}2 ₋_{6mx + 9; y'' = 6x}₋_{6m .}

y"= 0 ⇔ x = m ⇒ y = −2m3 ₊ _{9m + 1.} _0,25
y" đổi dấu từ âm sang d−ơng khi đi qua x = m, nên điểm uốn của đồ thị hàm số

(1) lµ I( m; −2m3_{+ 9m +1).} _0,25

I thuộc đờng thẳng y = x + 1 ⇔ −2m3 + 9m + 1 = m + 1 <i>0,25 </i>
⇔ 2m(4 − m2_{) = 0}⇔ m = 0 hc m=±₂_.

<i>0,25 </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2

<b>II </b> <b>2,0 </b>

<b>1 </b> <i>Giải phơng trình (1,0 ®iÓm) </i>

( 2cosx −1) (2sinx + cosx) = sin2x − sinx

⇔ ( 2cosx −1) (sinx + cosx) = 0. 0,25

• 2cosx − 1= 0 ⇔ cosx =1 x k2 , k

2 3

π

<b>⇔ = ± + π ∈Z . </b>

0,25

• sinx + cosx = 0 ⇔ tgx = −1 ⇔ x k , k

4
π

<b>= − + Z . </b>

<i>0,25 </i>
Vậy phơng trình có nghiệm lµ: x k2

3
π

= ± + π vµ x k , k
4

π

<b>= − + π ∈Z . </b>

<i>0,25 </i>
<b>2 </b> <i>Tìm m để hệ ph−ơng trình có nghiệm (1,0 điểm) </i>

Đặt: u = x , v= y, u 0, v 0.≥ ≥ Hệ đã cho trở thành: u v 1₃ ₃
u v 1 3m

+ =
⎧
⎨

+ = −

⎩ (*) 0,25

u v 1
uv m
+ =
⎧
⇔ ⎨

=

⎩ ⇔ u, v lµ hai nghiƯm cđa phơng trình: t
2

t + m = 0 (**).

0,25
Hệ đã cho có nghiệm (x; y) ⇔ Hệ (*) có nghiệm u ≥ 0, v ≥ 0 ⇔ Ph−ơng trình

(**) cã hai nghiƯm t không âm. <i>0,25 </i>

⇔

1 4m 0

1

S 1 0 0 m .

4
P m 0

∆ = − ≥
⎧

⎪ _{= ≥} _{⇔ ≤ ≤}

⎨

⎪ = ≥

⎩ <i>0,25 </i>

<b>III </b> <b>3,0 </b>

<b>1 </b> <i>Tính toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC và tìm m... (1,0 điểm) </i>
Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ:

x_G xA xB xC 1; y_G yA yB yC m

3 3 3

+ + + +

= = = = . VËy G(1; m

3 ). 0,25

Tam giác ABC vuông góc tại G ⇔ GA.GB 0JJJG JJJG= . 0,25

m m

GA( 2; ), GB(3; )

3 3

− − −

JJJG JJJG

.

<i>0,25 </i>
GA.GB 0JJJG JJJG= 6 m2 0

9

⇔ − + = ⇔ = ±m 3 6<i><b>. </b></i>

<i>0,25 </i>
<b>2 </b> <i>Tính khoảng cách giữa B₁C và AC₁,... (1,0 điểm) </i>

a) Từ giả thiết suy ra:

1 1

C (0; 1; b), B C (a; 1; b)JJJJG= −

1 1

AC = −( a; 1; b), AB = −( 2a;0; b)

JJJJG JJJJG

0,25

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

3

(

)

1 1 1

1 1 ₂ ₂

1 1

B C, AC AB _ab
d B C, AC

a b
B C, AC

⎡ ⎤

⎣ ⎦

= =

⎡ ⎤ ₊

⎣ ⎦

JJJJG JJJJG JJJJG

JJJJG JJJJG .

0,25
b) áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có:

1 1 ₂ ₂

ab ab 1 1 a b

d(B C; AC ) ab 2

2

2ab 2 2

a b

+

= ≤ = ≤ =

+ . 0,25

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2.

Vậy khoảng cách giữa B₁C và AC₁ lín nhÊt b»ng 2 khi a = b = 2. 0,25
<b>3 </b> <i>Viết phơng trình mặt cầu (1,0 điểm) </i>

I(x; y; z) là tâm mặt cầu cần tìm I (P) và IA = IB = IC .

Ta cã: IA2_{= (x}−₂₎2_{+ y}2_{+ ( z}−₁₎2 _; _IB2_{= (x}−₁₎2_{+ y}2_{+ z}2_;
IC2_{= (x}−₁₎2_{+ (y}−₁₎2_{+ ( z}−₁₎2

<b>_.</b>

0,25
Suy ra hệ phơng trình:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
−
+
+
2
2
2
2
0
2
IC
IB
IB

IA
z
y
x

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
=
+
=
+
+
⇔
1
2
2
z
y
z
x
z
y
x
0,25
⇔x=z=1; y=0. _0,25

=
=IA 1

R Phơng trình mặt cầu là ( x 1)2 + y2 + ( z −1)2 =1. 0,25

<b>IV </b> <b>2,0</b>

<b>1 </b> <i>TÝnh tÝch phân (1,0 điểm) </i>

I =
3

2
2

ln(x x) dx

. Đặt

2

2
2x 1

du dx

u ln(x x)

x x

dv dx _{v x}

−
⎧
⎧ ₌ ₋ _⎪ ₌
⇒ ₋
⎨ ⎨
=
⎩ _{⎪ =}_⎩ .
0,25
3 3
3
2
2
2 2

2x 1 1

I x ln(x x) dx 3ln 6 2ln 2 2 dx

x 1 x 1

− ⎛ ⎞

= − − = − − _⎜ + _⎟

− ⎝ − ⎠

∫

∫

0,25

(

)

3

2
3ln 6 2ln 2 2x ln x 1

= − − + − .

0,25
I = 3ln6 − 2ln2 − 2 − ln2 = 3ln3 2. _0,25
<b>2 </b> <i>Tìm số hạng không chứa x... (1, 0 điểm) </i>

Ta có:

( )

7 ₇ k

7 k
k
3 3
7
4 4
k 0

1

1

x

C

x

x

x

−
=

⎛

⎞

⎛

⎞

+

=

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

∑

⎝

⎠

0,25

7 k k 28 7k

7 7

k ₃ ₄ k ₁₂

7 7

k 0 k 0

C x

x

C x

− − −

= =

=

=

.

0,25
Số hạng không chứa x là số hạng tơng ứng với k (kZ, 0 k 7)≤ ≤ tho¶ m·n:

0 4
12
7
28
=

=

k _k

.

0,25
Số hạng không chứa x cần tìm là C₇4 =35. _0,25

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

4
<b>V </b> <i>Chứng minh phơng trình có nghiệm duy nhất </i> <b>1,0 </b>

x5 −_x2 −_2x−_{1 = 0 (1) .}

(1) ⇔ x5_{= ( x + 1)}2≥ 0 ⇒ x ≥ 0 ⇒ (x + 1) 2≥ 1 ⇒ x5≥ 1 ⇒ x ≥ 1. _0,25
Với x ≥ 1: Xét hàm số f (x) x= 5−x2−2x 1− . Khi đó f(x) là hàm số liên tục

víi mäi x ≥ 1.
Ta cã:

f(1) = − 3 < 0, f(2) = 23 > 0. Suy ra f(x) = 0 cã nghiÖm thuéc ( 1; 2). (2) 0,25
f '( x) = 5x4−2x 2 (2x− = 4−2x) (2x+ 4− + . 2) x4

=2x(x3− +1) 2(x4− +1) x4 > ∀ ≥ .0, x 1 <i>_0,25</i>

Suy ra f(x) đồng biến trên [ 1; +∞) (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra ph−ơng trình đã cho có đúng một nghiệm. <i>0,25 </i>

</div>

<!--links-->