conduongcoxua welcome to my blog

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Nội dung

<b>A. Tên đề tài:</b>

<b>Một số kinh nghiệm giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải phương</b>
<b>trình vô tỷ ở lớp 9 THCS</b>

<b>B. Lý do chọn đề tài</b>

<b>I. Cơ sở phương pháp luận:</b>

Căn cứ vào thực tế dạy và học hệ thống bài tập về phương trình vơ tỷ
của chương trình Đại số 9 tơi thấy hệ thống bài tập trong sách giáo khoa,
sách bài tập do Bộ giáo dục - Đào tạo ấn hành còn đơn giản, chưa sâu, chưa
đáp ứng đầy đủ yêu cầu của dạng toán này bởi trên thực tế bài tập về
phương trình vơ tỷ rất đa dạng, phong phú và là một thể loại tốn khó của
Đại số THCS. Khi dạy phần này, nhất là đối với học sinh khá giỏi đòi hỏi
giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn ... vì thế mà nội dung giảng
dạy chưa thống nhất. Là giáo viên, chúng ta luôn mong muốn cung cấp cho
học sinh “chiếc chìa khố” để giải từng dạng cụ thể của phương trình. Song
khơng phải dạng phương trình nào cũng có một quy tắc nhất định. Qua q
trình giảngdạy, tham khảo đồng nghiệp và học hỏi các thầy cơ tơi mạnh
dạn phân dạng phương trình vơ tỷ và cách giải từng dạng đồng thời đưa ra
một số cách giải phương trình vơ tỷ với mục đích giúp học sinh hiểu sâu
sắc phương trình vơ tỷ dưới nhiều góc độ hơn và làm nhẹ nhàng quá trình
giải phương trình vô tỷ cho học sinh.

<i><b> Khi dạy học sinh giải phương trình vơ tỷ HS cần nắm được</b></i>
<i><b>những vấn đề sau:</b></i>

<b>1. Khái niệm về phương trình, tập xác định, nghiệm của phương trình.</b>

- Các định nghĩa, định lý biến đổi hai phương trình tương đương.
- Cách giải các loại phương trình cơ bản.

<b>2. Phương trình vơ tỷ.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

- Các kiến thức căn bản về căn thức, phương pháp giải phương trình
vơ tỷ.

<i><b>II. Cơ sở thực tiễn</b></i>

Phương trình vơ tỷ là dạng toán tương đối khó đối với học sinh
THCS. Dạng tốn giải phương trình vơ tỷ có rất nhiều cách giải, vì vậy địi
hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức một cách linh hoạt. Có những lời
giải xem ra “thiếu tự nhiên” nhưng thật ra rất độc đáo. Các bài tốn về
phương trình vơ tỷ thường hay được đưa vào dạy cho học sinh khá và giỏi,
trường chuyên, lớp chọn và rất ít đề cập trong sách giáo khoa. Song thực
chất học sinh được làm quen với các bài tốn giải phương trình từ bậc Tiểu
học với cách hỏi đơn giản hơn ở dạng bài “Tìm x” và kiến thức loại này
được nâng cao dần ở các lớp trên nhưng với phương trình vơ tỷ, các em chỉ
được làm quen ở lớp 9 dưới dạng đơn giản và được học nhiều ở bậc Trung
học phổ thông. Tốn “giải phương trình vơ tỷ” được đề cập nhiều trong các
loại sách tham khảo, do vậy giáo viên rất khó khăn trong việc sưu tầm,
tuyển chọn.

Để góp phần vào việc giải quyết các vấn đề khó khăn trên tơi đã
mạnh dạn thực hiện sưu tầm, tuyển trọn một số dạng bài tập về phương
trình vơ tỷ và phương pháp giải, áp dụng cho từng dạng để viết thành đề tài
<i><b>nghiệp vụ: “Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ ở THCS” giúp</b></i>
cho việc dạy và học đạt kết quả cao.

<b>C. Nội dung chính của đề tài</b>
<b>I. Phương hướng, nội dung chính</b>
<b>1. Đại cương về phương trình.</b>
<b>a. Khái niệm:</b>

Phương trình là một đẳng thức (mệnh đề) có chứa biến số f(x) = g(x).
+ Biến số x trong biểu thức gọi là ẩn số.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

+ Mỗi giá trị của biến x thuộc tập xác định để có một đẳng thức đúng
gọi là một nghiệm của phương trình.

+ S: Là tập hợp nghiệm của phương trình.

<b>b. Tập xác định của phương trình.</b>

Là những giá trị của biến làm cho mọi biểu thức trong phương trình
đều có nghĩa.

<b>c. Hai phương trình tương đương.</b>

Là hai phương trình có cùng một tập hợp nghiệm hoặc nghiệm của
phương trình này cũng là nghiệm của phương trình kia và ngược lại.

<b>2. Phương trình vơ tỷ.</b>
<b>a. Định nghĩa:</b>

Phương trình vơ tỷ là phương trình có chứa ẩn số trong căn thức.

<i>Ví dụ: </i> √<i>3 x −3+1=</i>√<i>1 − x</i>

<b>b. Các bước giải phương trình (dạng chung)</b>

- Điều kiện xác định của phương trình.

- Dùng các phép biến đổi tương đương đưa về dạng phương trình đã học.
- Giải phương trình vừa tìm được.

- Đối chiếu kết quả tìm được với điều kiện xác định và kết luận nghiệm.

<i>Chú ý: Với những phương trình có ĐKXĐ là </i> <i>∀ x ∈ R</i> (trong q
trình biến đổi khơng đặt điều kiện) khi tìm được nghiệm phải thử lại.

<b>c. Các kiến thức cơ bản về căn thức.</b>

- Một số âm khơng có căn bậc chẵn.

- Muốn nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế của phương trình để
được phương trình tương đương phải đặt điều kiện.

√

<i>A</i>2

=|<i>A</i>|

√

<i>A ±</i>√<i>B=</i>

√

<i>A+</i>

√

<i>A</i>

2

<i>− B</i>

2 <i>±</i>

√

<i>A −</i>

_√

<i>A</i>2<i>− B</i>

2 với A > 0; A

2_{> B > 0}

<b>3. Các dạng phương trình cơ bản.</b>

<b>a. Dạng 1: </b>

√

<i>f (x )=g(x )</i> (1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

f(x) = [g(x)]2 ₍₃₎
Giải (2) tìm điều kiện của ẩn

Giải (3) rồi đối chiếu với điều kiện của ẩn để kết luận nghiệm.

<b>b. Dạng 2: </b>

√

<i>f (x )+</i>

_√

<i>g (x)=h(x)</i> (1)
Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình:

f(x) > 0

g(x) > 0 (2)

h (x) > 0

Với điều kiện (2) hai vế của phương trình (1) khơng âm nên bình
phương vế của phương trình (1) rồi rút gọn ta được:

<i>h(x )</i>¿2<i>− f (x )− g (x)</i>

¿

¿

√

<i>f (x ). g(x)=</i>¿

(3)

Phương trình (3) có dạng 1 nên giải theo phương pháp của dạng 1.
Đối chiếu nghiệm tìm được của (3) với điều kiện rồi kết luận nghiệm.

<b>c. Dạng 3: </b>

√

<i>f (x )+</i>

_√

<i>g (x)=</i>

_√

<i>h (x)</i> <b> (Cách giải như dạng 2)</b>
<b>d. Dạng 4: </b>

√

<i>f (x )+</i>

√

<i>g (x)=</i>

√

<i>h (x)+</i>

√

<i>p (x)</i> (1)

Điều kiện có nghĩa của phương trình:
f(x) > 0

g(x) > 0 (2)

h (x) > 0
p (x) > 0

Bình phương hai vế đưa về dạng:

√

<i>F (x )−</i>

_√

<i>G(x )=</i>¿<i>H (x )</i>

Tuỳ theo từng trường hợp để giải phương trình vơ tỷ (căn bậc n).

<b>e. Dạng 5: </b>

√

<i>f (x )+</i>

_√

<i>g (x)+n</i>

_√

<i>f ( x). g(x )=h( x)</i> (1)
Điều kiện: f(x) > 0

g(x) > 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

=>

√

<i>f (x ). g(x )=a</i>

2

<i>− f (x)− g(x )</i>
2

Đưa phương trình (1) về các phương trình đã biết cách giải rồi giải.

<b>4. Các phương pháp giải phương trình vơ tỷ.</b>

Trên đây là 5 dạng phương trình vơ tỷ nhưng không phải bao giờ ta
cũng gặp một trong 5 dạng trên hoặc bất cứ phương trình vơ tỷ nào cũng có
thể đưa về một trong 5 dạng trên. Sau đây là một số phương pháp giải phương
trình vơ tỷ chúng ta thường áp dụng trong giảng dạy ở phổ thông.

<b>a. Phương pháp nâng lên luỹ thừa.</b>

Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả 2 vế của phương trình lên luỹ
thừa n. Nếu n chẵn thì ta chỉ thực hiện được khi cả vế của phương trình
khơng âm.

<i>Ví dụ: Giải phương trình: </i> 3

√<i>25+x+</i>√3<i>3 − x =4</i> (1). ĐKXĐ: <i>∀ x ∈ R</i>
Lập phương hai vế của phương trình (1) ta được:

(1) <=> 25 + x + 3 - x + 3. 3

√

(25+x )(3 − x).(√3<i>25+x +</i>√3<i>3 − x)=64</i> (2)
Vì 3

√<i>25+x+</i>3

√<i>3 − x =4</i> (theo 1), (2) <=> 28 + 12 3

√

(25+x ).(3 − x)=64

<=> 12 3

√

(25+ x ).(3 − x)=36 <=> 3

√

(25+ x ).(3 − x)=3

Lập phương hai vế của (3) ta được:

<=> (25 + x)(3 - x) = 27 <=> - x2_{- 22x + 75 = 27}
<=> x2_{+ 22x - 48 = 0 <=> (x - 2)(x + 24) = 0}
<=> x = 2

x = - 24

Thử lại: + Với x = 2 ta có 3

√25+2+√3<i>3− 2=3+1=4</i>
+ Với x = - 24 ta có 3

√<i>−24+25+</i>√33+24=1+3=4
Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x = 2; x = -24

<i>Ví dụ 2: </i> √<i>1− x +</i>√<i>4 +x=3</i> (1)

Điều kiện - 4 < x < 1 (*)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

(1) <=> 1 - x + 4 + x + 2

√

(1 − x)(4+x )=9

<=>

√

(1 − x)(4+x )=2 (2)

Bình phương hai vế của phương trình (2) ta có:

(2) <=> (1 - x)(4 + x) = 4 <=> - x2_{- 3x + 4 = 4 <=> x(x + 3) = 0}
<=> x = 0

x = - 3

Đối chiếu với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình (1) là:
x = 0; x = -3

<b>b. Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị</b>
<b>tuyệt đối. </b>

<i>Ví dụ1: Giải phương trình: x</i>2_{- 4x - 3 =}

√<i>x+5</i> (1)

Điều kiện x > - 5 (*)

Với điều kiện trên: (1) <=> x2_{– 3x +} 9

4 = x + 5 + √<i>x+5</i> +
1
4
<=>

(

<i>x −</i>3

2

)

2

=

(

√<i>x +5+</i>1
2

)

2

<=>

|

<i>x −</i>3

2

|

=√<i>x +5+</i>
1

2 (Vì √<i>x+5</i> +
1

2>0 )

x - 3₂=√<i>x +5+</i>1

2 Nếu x >

3
2

x - 3₂=<i>−</i>_√<i>x+5 −</i>1

2 Nếu x <

3
2
√<i>x+5</i> = x - 2 Nếu x > 3₂

√<i>x+5</i> = - x + 1 Nếu x < 3₂

x > 2 x > 2

x + 5 = x2_{- 4x + 4} _x2_{- 5x -1 = 0}
x < 1 _ x < 1

x + 5 = x2_{- 2x + 1} _x2_{- 3 x - 4 = 0}
<=>

<=>

<=>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

x= 5+√292
2
x = -1

Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm của (1) là: x = 5+√292

2 ; x = -1

<i>Ví dụ 2: Giải phương trình</i>

√

<i>x+2+2</i>√<i>x+1+</i>

_√

<i>x +2− 2</i>√<i>x +1</i> = 2 (1)

Điều kiện: x > -1 (*)

Với điều kiện trên:

(1) <=>

√<i>x +1+1</i>¿2
¿

√<i>x+1 −1</i>¿2
¿
¿
¿

√¿

<=> √<i>x+1+1+</i>|_√<i>x +1− 1</i>|=2

(vì √<i>x+1+1>0</i>¿ <=> |√<i>x+1 −1</i>|=1−√<i>x+1</i>
√<i>x+1 −1 ≤ 0</i>

√<i>x+1 −1 ≥ 0</i>
√<i>x+1 −1=1−</i>√<i>x +1</i>

¿
<i>no</i>

¿{

¿{

¿

<i>⇔− 1≤ x ≤ 0</i>

Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm của (1) là: - 1 < x < 0

<b>c. Phương pháp đặt ẩn phụ.</b>

Việc giải phương trình vơ tỷ thường gây ra nhiều khó khăn, phức tạp:
Nếu cứ nâng lên luỹ thừa để làm mất dấu căn thì dẫn đến phương trình bậc
cao, nhiều khi không biết cách giải. Tuy nhiên, nếu đặt ẩn phụ một cách
thích hợp thì có thể chuyển phương trình vơ tỷ đã cho về một phương trình
hay một hệ phương trình đại số đã có cách giải quen thuộc. Phương pháp
này nói chung khơng làm phức tạp thêm bài tốn. Cách đặt ẩn phụ cịn tuỳ
thuộc vào bài tốn cụ thể, vì vậy phải rất linh hoạt.

<i>Ví dụ 1: Giải phương trình: x = (</i> _√<i>x+2</i>¿.(<i>1−</i>

√

<i>1 −</i>√<i>x</i>)2 (1)
<i>ĐKXĐ: 0 < x < 1 (*). Đặt </i>

_√

<i>1−</i>√<i>x=t</i> (t > 0)

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Khi đó 1 - √<i>x=t</i>2 <=> x = (1 - t2)2 (vì √<i>x ≥ 0</i>¿ . Đến đây phương

trình (1) có dạng: (1 - t2₎2_{= (3 - t}2_{)(1 - t)}2_{<=> (1 - t)}2_{(1 + t)}2_{- (3 - t}2_{)(1 - t}2₎
= 0

<=> (1 - t)2_{(1 + 2t + t}2_{- 3 + t}2_{) = 0 <=> (1 - t)}2_(2t2_{+ 2t - 2) = 0}
<=>

(1 - t)2 _{= 0} _{t = 1}

t2_{+ t - 1 = 0} _{t =} <i>− 1+</i>√5
2
Vì t > 0 nên t = 1

t = <i>− 1+</i>√5
2
Với t = 1 ta có x = 0

Với t = <i>− 1+</i>√5

2 ta có x =

<i>3 −</i>√5
2

Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm của (1) là: x = 0; x = <i>3 −</i>√5
2
Ví dụ 2: Giải phương trình: 4

√<i>97 − x +</i>4

√<i>x −15=4</i> (1)
Điều kiện: 15 < x < 97 (*)

Đặt u = 4

√<i>97 − x</i> (u, v > 0)

v = 4

√<i>x −15</i>

Khi đó, (1) tương đương với hệ phương trình:
u + v = 4

u4_{+ v}4_{= 82}

Mặt khác, u4_{+ v}4_{= [(u + v)}2_{- 2uv]}2_{- 2u}2_v2
Vì: u + v = 4 nên u4_{+ v}4_{= (16 - 2uv)}2_{- 2u}2_v2

Đặt t = u . v (t > 0) ta có: (16 - 2t)2_{- 2t}2_{= 82 (2) <=>t}2_{- 32t + 87 = 0}
<=> t1 = 3, t2 = 29

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Ta có hai hệ phương trình sau:

¿
<i>u+v=4</i>

<i>u . v=3</i>
¿{

¿

(3) và

¿
<i>u +v=4</i>
<i>u . v=29</i>

¿{

¿

(4)

Hệ (3) có hai nghiệm (1, 3); (3,1). Hệ (4) vơ nghiệm.

Vậy ta có:

¿

<i>97 − x=1</i>
<i>x −15=81</i>

¿{

¿

(5) và

¿

<i>97 − x=81</i>
<i>x − 15=1</i>

¿{

¿

(6)

Hệ (5) có nghiệm là x = 96. Hệ (6) có nghiệm là x = 16
Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm của 1 là: x = 96; x = 16

Ví dụ 3: Giải phương trình:

<i>5 −2</i>√6

¿

5+2√6

¿
¿
¿

√¿

(1) ĐKXĐ: x <i>R</i> . Ta

thấy (5 -2 √6¿(5+2_√6)=1

Đặt <i>5 −2</i>√6¿

<i>x</i>

¿
¿

√¿

thì 5+2√6¿

<i>x</i>

¿
¿

√¿

Khi đó phương trình (1) có dạng: u + 1<i>_u</i>=10 _{<=> u}2_{- 10u + 1 = 0}
u = 5 - 2 √6

u = 5 + 2 √6
Nếu u = 5 - 2 √6 thì

<i>5 −2</i>√6¿<i>x</i>
¿
¿

√¿

<=>

<i>5 −2</i>√6¿<i>x</i>
¿

<i>5 −2</i>√6¿2

¿
¿

√¿

<=> x = 2

Nếu u = 5 + 2 √6 thì

<i>5 −2</i>√6¿<i>x</i>
¿
¿

√¿

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<=> <i>5 −2</i>√6¿

<i>x</i>

¿
¿

√¿

<=> x = - 2

Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x = + 2

<b>d. Phương pháp so sánh (hay phương pháp đối lập).</b>

Giải phương trình bằng phương pháp này tức là so sánh vế trái, vế phải
rồi từ đó nhận xét dấu “=” xảy ra khi nào ?

Ví dụ 1: Giải phương trình.

√<i>x −2+</i>√4 − x=x2<i>− 6 x+11</i> (1)

<i>ĐKXĐ: 2 < x < 4 </i> (*)

Ta thấy: (√<i>x −2+</i>√<i>4 − x</i>)2=2+2

_√

(<i>x −2)(4 − x)</i> = 2 + 2

√

<i>− x</i>2+<i>6 x −8</i> =

2 + 2 <i>x − 3</i>¿

2

<i>1 −</i>¿

√¿

=> (√<i>x −2+</i>√<i>4 − x</i>)2<4 vì

<i>x − 3</i>¿2
¿

<i>1 −</i>¿

√¿

=> √<i>x −2+</i>√<i>4 − x</i> < 2
Vậy vế trái đạt GTLN bằng 2 khi x = 3

Mặt khác: x2_{- 6x + 11 = (x - 3)}2_{+ 2 > 2 => Vế phải đạt GTNN}
bằng 2 khi x = 3

Phương trình (1) có nghiệm <=> vế trái = vế phải <=> x = 3
Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm của phương trình (1) là: x = 3
Ví dụ 2: Giải phương trình.

x +

√

<i>8 − x</i>2_{=9 y}2_{+6 y +5} ₍₁₎

ĐKXĐ: -2 √<i>2≤ x ≤ 2</i>√2 (*)

áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxiki cho hai cặp số (1,1) và (x;

_√

<i>8 − x</i>2¿ .

Ta có: (x +

_√

<i>8 − x</i>2

¿2 < (12 + 12)(x2 + 8 - x2) = 16 => x +

√

<i>8 − x</i>2<i>≤ 4</i>

Dấu “=” xảy ra khi x =

_√

<i>8 − x</i>2 _{<=> x = 2}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Mặt khác 9y2_{+ 6y + 5 = (3y + 1)}2_{+ 4 > 4 => vế phải đạt GTNN bằng}
4 khi y = <i>−</i>1

3

Phương trình (4) có nghiệm <=> vế trái = vế phải
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 2 và y = <i>−</i>1

3

<b>e. Phương pháp bất đẳng thức.</b>

Ta dùng bất đẳng thức đánh giá mỗi vế của phương trình để từ đó
suy ra nghiệm của phương trình. Khi giải phương trình vơ tỷ thường dùng
phương pháp bất đẳng thức ở nhiều dạng khác nhau.

<i><b>* Chứng tỏ tập giá trị ở 2 vế là rời nhau, khi đó phương trình vơ nghiệm.</b></i>
Ví dụ: Giải phương trình:

√

<i>x</i>2₊₁₊

√

<i>x</i>2

+4=2 . ĐKXĐ: <i>∀ x ∈ R</i>
Ta thấy x2 _{> 0xR nên}

√

<i>x</i>2_{+1 ≥1} _và

√

<i>x</i>2

+<i>4 ≥2</i> =>

√

<i>x</i>2+1+

√

<i>x</i>2+<i>4 ≥ 3</i>
Hay vế trái lớn hơn hoặc bằng 3 mà vế phải bằng 2

Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
<i><b>* Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:</b></i>

3

√<i>2 x −1+</i>√3 <i>x −1=1</i> (*) ĐKXĐ: <i>∀ x ∈ R</i>
Dự đoán nghiệm: x = 1

Với x = 1 ta có:Vế trái 3

√2. 1− 1+√1 −1=1+0=13

=> vế trái = vế phải = 1 => x = 1 là nghiệm của phương trình (1)
Nếu x > 1 thì 3

√<i>2 x −1>1</i>

3

√<i>x −1>0</i>
Nếu x < 1 thì 3

√<i>2 x −1<1</i>

3

√<i>x −1<0</i>

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

36
√<i>x − 2</i>+

4

√<i>y − 1</i>=28 - 4 √<i>x −2 −</i>√<i>y −1</i> (1)
Điều kiện: x -2 > 0 x > 2 (*)

y - 1 > 0 y > 1
Khi đó (1) <=> 4 .

(

9

√<i>x −2</i>+√<i>x −2</i>

)

+

(

4

√<i>y − 1</i>+√<i>y −1</i>

)

=28 (2)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số dương ta có:

9

√<i>x − 2</i>+√<i>x −2 ≥2</i>

√

9

√<i>x − 2</i>.√<i>x −2 −2 .3=6</i>
4

√<i>y −1</i>+√<i>y −1 ≥ 2</i>

√

4

√<i>y −2</i>.√<i>y −2 −2 .2=4</i>
=>

(

9

√<i>x −2</i>+√<i>x −2</i>

)

+

(

4

√<i>y − 4</i>+√<i>y −1</i>

)

>4 . 6+4=28 (3)
Để phương trình (2) có nghiệm thì (3) phải lấy dấu “=” tức là có:

9

√<i>x − 2</i>=√<i>x −2</i>
4

√<i>y −1</i>=√<i>y − 1</i>

Ta thấy (4) thoả mãn điều kiện (*)

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 11 và y = 5

<i><b> * áp dụng bất đẳng thức để đánh giá một vế của phương trình rồi</b></i>
<i><b>kết hợp với phương trình đã cho kết luận nghiệm.</b></i>

Ví dụ: Giải phương trình

√

<i>x</i>2

+<i>x − 1+</i>

√

<i>− x</i>2+<i>x +1=x</i>2<i>− x +2</i> (1)

ĐKXĐ: x2_{+ x - 1 > 0} _(*)

x - x2_{+ 1 > 0}

áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mỗi số hạng ở vế trái của (1)
Ta có:

√

<i>x</i>2+<i>x − 1≤x</i>

2

+<i>x −1+1</i>

2

<=> x = 11 (4)

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

√

<i>x − x</i>2_+1≤ <i>x − x</i>2+1+1

2
=>

_√

<i>x</i>2

+<i>x − 1+</i>

√

<i>− x</i>2+<i>x +1 ≤ x +1</i>

Kết hợp với phương trình (1) ta được: 0 x2_{- x + 2 < x+1}

(x-1)2_{< 0. Đẳng thức xảy ra khi x=1 (thoả mãn điều kiện (*)).}
Thử: Thay x=1 vào phương trình (1) ta thấy x=1 là nghiệm duy nhất
của phương trình (1).

<b>g. Phương pháp tam thức bậc hai:</b>

Đưa phương trình đã cho về dạng chính tắc ax2_{+ bx +c = 0 ) (a 0)}
Ví dụ: Giải phương trình

x2_{- 7x + 2(x+2).}

√<i>x+3=24</i> (1)
ĐKXĐ: x -3

Khi đó (1) <=> x2_{+ x - 8x - 24 + 2(x+2).}

√<i>x+3=0</i>

<=> - 8(x +3) + 2(x +2). √<i>x+3</i> + x 2_{+ x = 0}

Đặt y = √<i>x+3</i> (y > 0) , (2) <=> - 8y2 + 2(x + 2)y + x2 + x = 0
<i>Δ'</i> _{= (x + 2)}2_{+ 8(x}2_{+ x) = (3x + 2)}2

y1 =

<i>− x − 2+3 x +2</i>

<i>−8</i> =

<i>− x</i>

4 , y2 =

<i>− x − 2−3 x −2</i>

<i>−8</i> =

<i>x+1</i>
2

Với y1 = <i>− x</i>₄ ta có √<i>x+3=− x</i>₄ <=> x + 4 √<i>x+3=0</i> <=> x +3 + 4
√<i>x+3 −3=0</i>

<i>Δ'</i> = 4 + 3 = 7

=> √<i>x+3=−2 −</i>√7 < 0 (loại)
√<i>x+3=−2+</i>√7 > 0

<=> x +3 = 4 + 7 - 4√7 <=> x = 8 - 4√7 < -3 (loại)
Với y2 =

<i>x +1</i>

2 ta có √<i>x+3=</i>
<i>x +1</i>

2

<=> x + 1 - 2 √<i>x+3=0</i> <=> x + 3 - 2 √<i>x+3 − 2=0</i> , <i>Δ'</i> = 1 + 2 = 3

√<i>x+3=1−</i>√3<0 (loại)
<=>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

√<i>x+3=1+</i>√3>0 (TMĐK)

<=> x + 3 = 1 + 3 + 2 √3 <=> x = 1 + 2 √3 (thoả mãn)
Vậy x = 1 + 2 √3 là nghiệm của phương trình (1)

<b>h. Phương pháp đưa về dạng tổng của đa thức không âm bằng khơng.</b>

Ví dụ: Giải phương trình.

x + y + z + 4 = 2 √<i>x −2+4</i>√<i>y − 3+6</i>√<i>z −5</i> (1)
ĐKXĐ: x > 2 ; y > 3 ; z > 5 (*)

(1) <=> (x - 2 - 2 √<i>x −2+1</i>¿+(<i>y − 3 −4</i>√<i>y −3+4)+(z −5 − 6</i>√<i>z −5+9)=0</i>
<=> ( √<i>z −5 −3</i>

¿2=0

√<i>y −3 −2</i>¿2+¿

√<i>x − 2− 1</i>¿2+¿

√<i>x −2 −1=0</i> x - 2 = 1 x = 3

<=> √<i>x −3 − 2=0</i> <=> y - 3 = 4 <=> y = 7
√<i>z−5 −3=0</i> z -5 = 9 z = 14

Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm của phương trình (1) là: x = 3; y
= 7; z = 14

<b>i. Phương trình vơ tỷ có biện luận.</b>

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình:

3

√

<i>a+</i>√<i>x+</i>

√

3<i>a−</i>√<i>x −</i>√3<i>b</i> (1)

ĐKXĐ: x > 0

Lập phương 2 vế của phương trình (1) ta được:

a + _√<i>x+a−</i>√<i>x +3</i>

√

3 <i>a</i>2<i>− x .</i>(

_√

3<i>a+</i>√<i>x +</i>

√

3<i>a −</i>√<i>x</i>)=<i>b</i> (2)
Vì 3

√

<i>a+</i>√<i>x+</i>

√

3<i>a−</i>√<i>x =</i>√3<i>b</i> nên (2) <=> 3.

√

3<i>a</i>2<i>_{− x .}</i>3

√<i>b=b −2 a</i> <=>

3

√

<i>a</i>2<i>− x=b −2 a</i>
33

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

(b  0) <=> a2_{- x =} <i>b −2 a</i>¿

3

¿
¿
¿

<=> x = a2_- <i>b −2 a</i>¿

3

¿
¿
¿

<=> x =

<i>8 a</i>3<i>− b</i>3+6 ab2+15 a2<i>b</i>
<i>27 b</i>

<=> x = <i>8 a</i>3<i>− 16 a</i>2<i>b+8 ab</i>2<i>− b</i>3+<i>a</i>2<i>b −2 ab</i>2

<i>27 b</i> <=> x =

<i>a+b</i>¿2(8 a −b)
¿
¿
¿

Vì x > 0 nên <i>a+b</i>¿

2

(8 a −b)

¿
¿
¿

> 0
- Nếu a + b 0 thì:

+ Khi a > 0; 0 < b < 8: Phương trình (1) vơ nghiệm.

+ Khi a > 0; b < 0 hoặc b > 8: Phương trình (1) có nghiệm: x =
<i>a+b</i>¿2(8 a −b)

¿
¿
¿

- Nếu a + b = 0 phương trình (1) có nghiệm x = 0

- Nếu a = b = 0; Phương trình (1) có vơ số nghiệm x > 0
<i><b>Kết luận: Nếu a > 0 và 0 < b < 8: Phương trình (1) vơ nghiệm</b></i>

Nếu a > 0 và b < 0 hoặc b > 8; Phương trình (1) có nghiệm
x = <i>a+b</i>

¿2(8 a −b)
¿
¿
¿

Nếu a = - b 0 : Phương trình (1) có nghiệm x = 0

Nếu a = b = 0 : Phương trình (1) có vơ số nghiệm x > 0
Nếu a < 0 : Phương trình (1) vơ nghiệm

<i>Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình:</i>

(<i>a − x )</i>4√<i>x − b+(x − b)</i>4

√<i>a − x</i>

4

√<i>a − x+</i>4√<i>x − b</i> =
<i>a −b</i>

2 (a, b là tham số: a <i>b</i> )

ĐKXĐ: a - x > 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

+ Nếu a > b thì b < x < a (2)
Đặt 4

√<i>x −b=u</i> , 4

√<i>a − x=v</i> ,(u, v > 0). Ta có u4_{+ v}4_{= a - b}
Khi đó (1) <=> <i>v</i>4<i>.u+u</i>4<i>. v</i>

<i>u+v</i> =
<i>u</i>4+<i>v</i>4

2 <=> u

5_{+ v}5_{- u}4_{v - uv}4_{= 0}

<=> u4_{(u - v) - v}4_{(u - v) = 0 <=> (u - v)(u}4_{- v}4_{) = 0 <=> (u - v)}2_{(u + v)(u}2
+ v2_{) = 0}

Vì u2_{+ v}2_{ 0 nên u + v  0 nên u -v = u => u =v}
<=> 4

√<i>x −b=</i>4

√<i>a − x</i> <=> x - b = a – x <=> x = <i>a+b</i>₂ (thoả mãn điều kiện
(2)

+ Nếu a < b: Phương trình (1) vơ nghiệm

<i><b>Kết luận: Nếu a > b: Phương trình (1) có nghiệm x = </b></i> <i>a+b</i>₂

Nếu a < b: Phương trình (1) vơ nghiệm

<b>5. Một số sai lầm khi giải phương trình vơ tỷ.</b>

Thường học sinh hay mắc sai lầm khi giải phương trình vơ tỷ mà có
căn bậc chẵn, đó là:

<i><b>- Khơng tìm tập xác định khi giải:</b></i>

<i><b>- Khơng đặt điều kiện khi biến đổi tương đương các phương trình.</b></i>
Ví dụ: Giải phương trình: √<i>3 x −2 −</i>√<i>2 x −3=</i>√<i>5 x −1</i> (1)
<i><b>Giải sai:</b></i>

Chuyển vế: √<i>3 x −2=</i>√<i>5 x − 1+</i>√<i>2 x − 3</i> <=> 3 x - 2 = 5x - 1 + 2x - 3 + 2

√

(5 x − 1)(2 x − 3)

<=> 2

_√

<i>10 x</i>2<i>_{− 17 x+3=− 4 x +2}</i> _<=>

√

<i>10 x</i>2<i>_{− 17 x+ 3=1 −2 x}</i> ₍₂₎

<=> 10x2_{- 17x + 3 = 1 + 4x}2_{-4x (3) <=> 6x}2_{– 13x + 2 = 0 <=> (x - 2)(6x}
- 1) = 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 2; x = ₆1

<i><b>Phân tích sai lầm: ở đây học sinh khơng chú ý đến điều kiện có</b></i>
nghĩa của căn thức.

Trong ví dụ trên: Điều kiện x > 3₂ . Do vậy ₆1 < 3₂ nên x =
1

6 không là nghiệm của phương trình (1). Để khắc phục sai lầm này ta tìm
ĐKXĐ của phương trình hoặc giải rồi thử các giá trị tìm được của ẩn vào
phương trình đã cho để kết luận nghiệm.

<i><b>- Không đặt điều kiện để biến đổi tương đương các phương trình.</b></i>
ở ví dụ trên: các phương trình (2) và (3) khơng tương đương mà

Phương trình (2) <=> 1 - 2x > 0

10x2_{- 17x + 3 = (1- x)}2

=> Như vậy phương trình (3) tương đương với phương trình (2) khi x< 1₂ .
=>x = 2 cũng không là nghiệm của phương trình (1).

<i><b>Giải đúng:</b></i>

ĐKXĐ: x > 3₂ (*) . Ta có: (1) <=>

√

<i>10 x</i>2<i>− 17 x+ 3=1 −2 x</i>



¿

<i>1− 2 x ≥ 0</i>

<i>10 x</i>2<i>−17 x +13=1+4 x</i>2<i>− 4 x</i>
<i>⇔</i>

¿<i>x ≤</i>1

2
<i>6 x</i>2<i>_{−13 x +2=0}</i>

<i>⇔</i>
¿<i>x ≤</i>1

2
<i>x</i>1=2 , x2=

1
6
<i>⇔ x=</i>1

6

¿{

¿

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b> Phần 3: Tác dụng của đề tài</b>

<b> </b> <b> I. Tác dụng</b>

Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại nhiều hiệu quả
trong việc giải các bài tốn có liên quan và giải các bài tốn thuộc dạng

này. Phần đơng các em đều có hứng thú làm bài tập nếu như bài tập có
phương pháp giải hoặc vận dụng các phương pháp giải của một loại toán
khác và giải.

Đối với khối lượng đại trà thì việc học của các em chỉ là những vấn
đề xung quanh SGK nếu nhận được sự dìu dắt tận tình cụ thể thì việc học
của các em đỡ vất vả hơn có hứng thú hơn. Đối với loại tốn này học sinh
khơng chỉ dừng lại ở cấp THCS mà các em còn vận dụng đến lớp 12 thậm
chí thi vào cả Đại học và Cao đẳng. Đây là dạng tốn chúng ta cần quan
tâm nó đa dạng và phong phú đề cập đến kiến thức trong trường phổ thơng
nó có tính tổng hợp, cần phải vận dụng nhiều đơn vị kiến thức cùng một
lúc và giải quyết vấn đề.

Với cách học và cách hướng dẫn học sinh làm bài như vậy không
những nâng cao kiến thức cho các em mà cịn là hình thức củng cố, khắc
sâu kiến thức cho các em.

Trong đề tài này tôi đã nêu được một số phương pháp về giải phương
trình vơ tỷ, mỗi phương pháp có một số ví dụ minh hoạ do tơi tuyển chọn ở
một số liệu tham khảo. Do điều kiện vừa học tập vừa cơng tác, kinh nghiệm
cịn hạn chế nên q trình viết khó tránh khỏi đơn điệu, sai sót về kiến
thức, cách trình bày cũng như hệ thống và phương pháp nhưng tôi hy vọng
rằng một phần nào đó giúp chúng ta hiểu kỹ hơn về tốn giải phương trình
vơ tỷ và phương pháp giải từng dạng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của thày, cô và
bạn bè đồng nghiệp để vốn kiến thức của tôi ngày càng hoàn thiện và
phong phú hơn.

<b> </b> <b> II. Hiệu quả</b>

Qua một năm tham gia giảng dạy và thử nghiệm về sáng kiến kinh
nghiệm của mình tơi cũng đạt được những kết quả nhất định. Vì đây là vấn đề
khó tơi chỉ dám áp dụng vào lớp học tốt với số lượng học sinh là 32 em.

Số học sinh làm tốt: 16 em. Đạt tỷ lệ: 50%

Số học sinh cịn lại tơi đã phải hướng dẫn tận tình, những bỡ ngỡ ban
đầu không thể tránh khỏi. Sau nhiều lần hướng dẫn những khó khăn ban
đầu khơng cịn nữa, thay vào đó là sự vận dụng nhanh nhẹn, linh hoạt
khơng chỉ ở dạng tốn này mà cho nhiều dạng tốn khác nữa.

Với đề tài này tơi mạnh dạn trình bày với các đồng chí, đồng nghiệp
một số kinh nghiệm giảng dạy toán trong một phạm vi nhỏ. Rất có thể cịn
nhiều khiếm khuyết mong bạn đọc đóng góp ý kiến. Tôi xin chân thành
cảm ơn !

<i>Sông Mã, ngày 25 tháng 03 năm 2011</i>

</div>

<!--links-->