ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CUỐI HỌC KỲ 2 TOÁN 7 - Đáp án

www.mathx.vn

Tốn lớp 7

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP CUỐI HỌC KỲ 2 LỚP 7
I. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho dãy giá trị của dấu hiệu:
4

7

5

8

5

7

4

8

7

3

1

2

3

4

6

8

8

2

3

1

Tần số của giá trị 8 là:
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

3 3
Câu 2. Đơn thức đồng dạng với đơn thức 2x y là:

3
A. 2xy

B. 2

1 2
xy
2

3

 


1 3
xy
2

D. 5xy

C. Bậc 6

D. Bậc 7

C.



3





Câu 3. Bậc của đơn thức 5x 2 2yx3 là:
A. Bậc 4

B. Bậc 5

Câu 4. Những số nào sau đây là nghiệm của đa thức 3x2  3x ?
A. 0 và 1

B. 1 và –1

C. –3 và 3

D. 0 và –1

  60o , N
  55o . So sánh nào sau đây là đúng?
Câu 5. Cho ΔMNP có M
A. NP>MP>MN

B. MN>MP>NP

C. NM>NP>MP

D. NP>MP>MN

Câu 6. Cho hình bên, biết G là trọng tâm của ΔABC. Tìm câu sai:
A.

GD GM GN 1



GA GB GC 2

B.

GA GB GC


2
GD GM GN

A
N

M

G

C

B

AD BM CN 3
C.




AG BG CG 2

D

D. GD  GM  GN
Câu 7. Tập hợp nghiệm của đa thức 4x2  9 là:

3 
2 

A.  

 3
 2

B.   

Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

 3 3
 2 2

C.  ; 

D. 

1

www.mathx.vn

Tốn lớp 7

Câu 8. Với bộ 3 đoạn thẳng có số đo sau đây, bộ 3 nào không thể là 3 cạnh của tam
giác:
A. 3cm, 4cm, 5cm

B. 6cm, 9cm, 12cm

C. 2cm, 4cm, 6cm

D. 5cm, 8cm, 10cm

Câu 9. Trong tam giác ABC các đường cao AE của góc A và BF của góc B cắt nhau
tại H. Khi đó điểm H:
A. là trọng tâm của tam giác ABC

B. cách đều 3 cạnh của tam giác ABC

C. cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC

D. là trực tâm của tam giác ABC.



Câu 10. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh có góc A  120o . Hai đường phân giác







trong của góc B và góc C trong tam giác ABC cắt nhau tại I. Số đo của góc BIC là:
A. 140o

B. 160o

C. 150o

 

D. Một kết quả khác

 

+) Với hai đa thức: P x   x3  2x 2  x  1 và Q x  x 3  x 2  x  2 hãy trả lời
câu hỏi 11, 12, 13:
Câu 11. P(x) + Q(x) là đa thức:
A. x 2  1

B. x3  3x2  1

C. x 2  1

D. 3x2  3

Câu 12. Biết P(x) + R(x) = Q(x). Vậy đa thức R(x) là:
A. 2x2  2x  3

B. 2x3  3x2  2x  3

C. 2x3  3x2  2x  3

D. 2x 2  2x  3

Câu 13. Nghiệm của đa thức P(x) + Q(x) là:
A. 0

B. 1

C. – 1

D. Vô nghiệm

Câu 14. Bậc của đa thức 2x 4  x  4x3  2x 4  5 là:
A. 0

B. 2

C. 3





D. 4



3
2 3
3
Câu 15. Thu gọn đơn thức 4x y. 2x y . xy ta được:

A. 8x5y 8

B. 8x6 y 7

C. 8x6 y 7

D. 8x5y 8

Câu 16. Nghiệm của đa thức  x  2   x 2  1 là:
A. 2; -1; 1

B. 2; -1

C. 2

D. 2; 1

Câu 17. Bậc của đa thức 2 x8  x6 y  2 x8  y 6  9 là:
Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

2

www.mathx.vn

Toán lớp 7

A. 7

B. 9

C. 8

D. 6

Câu 18. Cho ABC vng tại B có AB = 8 cm; AC = 17cm. Số đo cạnh BC là:
A. 13 cm

B. 25 cm

C. 19 cm

D. 15 cm

Câu 19. Điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC. Khi đó O là giao điểm của:
A. Ba đường cao

B. Ba đường trung trực

C. Ba đường trung tuyến

D. Ba đường phân giác.

Câu 20. Cho tam giác ABC cân tại B, trực tâm H. Thêm điều kiện gì để H là trọng
tâm của tam giác này?
A. AB > AC

  60o
C. A

B. AB AC

  90o
D. B

Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án

D

D

C

D

C

D

C

C

D

C

Câu

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Đáp án

A

B

D

C

B

C

A

D

B

C

II. Bài tập tự luận
Dạng 1: Thống kê
Bài 1. Điều tra điểm thi học kì 2 của học sinh lớp 7A được ghi lại trong bảng sau
7 10

5

9

6

8

8

7

10

8

7

8

9

7

8

5

10

8

8 9

8

8

7

7

9

8

5

9

6

8

10

8

8

10

8

7

9

8 6

9

a) Dấu hiệu điều tra là gì? Có bao nhiêu đơn vị điều tra
b) Lập bảng tần số, tính số trung bình cộng và tìm mốt
c) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng và nêu nhận xét

Hướng dẫn:
a) Dấu hiệu: điểm thi học kì 2 của học sinh lớp 7A
b) Bảng tần số:
Điểm thi học kỳ II (x)

5

6

7

8

9

Tần số n

3

3

7

15 7

10
5

N=40

X  7, 875 , mốt Mo  8 .
c) Học sinh tự vẽ biểu đồ và nhận xét.
Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

3


www.mathx.vn

Tốn lớp 7

Bài 2. Để đánh giá lượng nước (tính theo m3) tiêu thụ mỗi gia đình trong một
tháng của 30 hộ trong một xóm, người ta lập bảng như sau:
9

6

11

9

7

8

7

9

10

14

5

14

8

10

7

10

8

7

9

12

6

11

10

7

9

8

7

10

10

12

Hãy cho biết:
a) Dấu hiệu mà người ta cần quan tâm là gì?
b) Lập bảng tần số các giá trị của dấu hiệu. Tìm mốt của dấu hiệu?
c) Qua bảng ‘tần số’, em hãy rút ra nhận xét về lượng nước tiêu thụ của mỗi gia
đình?
d) Tính số trung bình cộng?
f) Vẽ biểu đồ biểu diễn lượng nước tiêu thụ của các gia đình trong xóm?

Hướng dẫn:
a) Dấu hiệu: lượng nước (tính theo m3) tiêu thụ mỗi gia đình trong một tháng của
30 hộ trong một xóm.
b) Bảng tần số :
Lượng nước (x)

5

6

7

8

9

10

11 12 14

Tần số (n)

1

2

6

4

5

6

2

2

2

N=30

Mốt Mo  10
c) Học sinh tự nhận xét.
d) X  9
f) Học sinh tự vẽ biểu đồ.
Bài 3. Một giáo viên theo dõi thời gian giải xong một bài tập (tính theo phút) của
học sinh 7A như sau:
9

7

8

4

6

8

7

7

8

7

8

8

8

11

4

7

4

11

9

8

7

7

8

11

7

6

8

7

4

8

a) Dấu hiệu ở đây là gì và dấu hiệu này có tất cả bao nhiêu giá trị?
b) Lập bảng “tần số”.
c) Tính số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu.
Học tốn online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

4


www.mathx.vn

Toán lớp 7

Hướng dẫn:
b) Bảng tần số:
Thời gian (x) 4

6

7

8

9

11

Tần số (n)

2

9

10

2

3

4

N=30

c) X  7, 4
Mốt của dấu hiệu Mo  8 .
Dạng 2. Thực hiện phép tính
Bài 4. Thực hiện phép tính sau:
a)

 1 5 13  5
b)  4    :
 3 2 3  4

333 55 3
 
444 22 5

2

5  1 5  5  1 2
c) :     :   
9  11 22  9  15 3 

 1  1  1
3


d)  0,1     .  22 : 25 

  7   49 



2

0

 

Hướng dẫn:
a) 

23
20

b) 2

c) 5

d) 3

Bài 5. Tìm x, biết:
a)  x  2 :3  1  
c)

1
3

1
x . 2,7  9
3

b) 2x 3  5  3
2

2

d)  x  1    2x  1   0

Hướng dẫn:
a) x  4

b) x  4

c) x  10

d) khơng có giá trị nào của x.

Dạng 2. Đơn thức

9
2



Bài 6. Hãy thu gọn và tìm bậc của đơn thức: M  3x 2y.  x 2y 5 



Hướng dẫn:

Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

5


www.mathx.vn

M

Toán lớp 7

27 4 6
x y , đơn thức M có bậc là 10.
2

2
2 3
Bài 7. Tính tích của hai đơn thức: 0,5x y và 2x y . Tính giá trị của đơn thức

vừa tìm được tại x = 0,25 và y = 4.

Hướng dẫn:
A   0, 5x2y  . 2x 2y 3   x 4 y 4
4

Tại x = 0,25 và y = 4 thì A   0, 25 .44  1
Bài 8. Thu gọn các đơn thức rồi tìm bậc và chỉ ra phần hệ số của chúng (với a, b là
hằng số)

 1 2 
2
a) M   2axy   4axy   ab 
 16


2

2

b) N 

16. 2x 2 y  . axy 
5b

Hướng dẫn:
a) M  

1 4 4 2 3
1
a b x y có bậc là 5, hệ số là  a 4b4 .
32
32

b) N  

64a 5 3
64a
.
x y có bậc là 8, hệ số là 
5b
5b

Bài 9. Cho 3 đơn thức A  ab2x 4 y 3 ;B  ax 4 y 3 ;C  b2 x 4 y 3 . Những đơn thức nào đồng
dạng với nhau nếu :
a) a, b là hằng số; x, y là biến
b) a là hằng số; b, x, y là biến
c) b là hằng số; a, x, y là biến

Hướng dẫn:
a) Các đơn thức đồng dạng với nhau là: A, B, C.
b) Các đơn thức đồng dạng với nhau là: A, C.
c) Các đơn thức đồng dạng với nhau là: A, B.
 2
 15

x y
Bài 10. Cho đơn thức: A   x 2y  xy 2   x3y 2 . Biết  và x  3y  3 . Tính
3 2
 5
 8






giá trị của đơn thức A.

Hướng dẫn:
Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

6


www.mathx.vn

Ta có

Tốn lớp 7

x y 3y x  3y 3 1
 

  (Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
3 2 6
36 9 3

x  1


2
y  3
5

3
3 2
8
Ta có: A   .x6 .y 5   .16.    
4
4 3
81
Vậy A  

8
.
81

25
 3
 2

Bài 11. Cho hai đơn thức A    xy 3   x3y 2  ; B   xy  x2y 3
8
 4
 9


a) Thu gọn đơn thức A, đơn thức B
b) Tìm phần hệ số, phần biến và bậc của mỗi đơn thức trên
c) Hai đơn thức trên có là hai đơn thức đồng dạng khơng? Vì sao?

Hướng dẫn:
a) A 

1 4 5
5
x y , B  x 4y5
6
8

b) Học sinh tự làm.
c) Hai đơn thức trên có đồng dạng vì có cùng phần biến là x 4y 5 .
1
 2
 9


Bài 12. Cho hai đơn thức: A    xy 3z  .   x3yz  ; B  1 x2 yz3
4
 3
  10

1
a) Tính giá trị của biểu thức B khi x  1, y  , z  1
2

b) Tìm hệ số, phần biến và bậc của đơn thức M  A.B

Hướng dẫn:
a) B 

5
1
khi x  1, y  , z  1
8
2

b) M 

3 6 5 5
xyz
4

Đơn thức M có hệ số là

3
, phần biến là x6 y 5z5 , bậc là 16.

4

Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

7


www.mathx.vn

Toán lớp 7

Dạng 3. Đa thức
3
4
2
2
3
4
3
Bài 13. Cho đa thức P(x)  7x  3x  x  5x  6x  2x  2019  x

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến
b) Viết các hệ số của P(x). Nêu rõ hệ số có bậc cao nhất và hệ số tự do của P(x).
c) Chứng tỏ rằng đa thức P(x) khơng có nghiệm.

Hướng dẫn:
a) P(x)  x 4  4x2  2019
b) Các hệ số của P(x) là 1; 4; 2019. Hệ số có bậc cao nhất là 1, hệ số tự do là 2019.
c) Ta có x 4  4x2  0 x  x 4  4x2  2019  0 x

Vì P(x) > 0 x nên đa thức P(x) khơng có nghiệm.
Bài 14. Cho các đa thức A  4x2  5xy  2x  5y  3y 2 ; B  3x2  2xy  5y  y 2 ;

C  x2  3xy  2x  2y 2 .
Hãy tính A + B + C; A – B – C; A – B + C; 2A + 3B – 5C.

Hướng dẫn:
A + B + C = 6y 2  10y  4x
A – B – C  8x2  10xy
A – B + C  6x2  4xy  4x  4y 2

2A  3B  5C  4x2  19xy  6x  25y  y 2
Bài 15. Cho hai đa thức:

A  x   8x 4  3x  3x3  2x  4 và B  x   2x 4  4x  2  3x3  x 2  4x  4x 4
a) Tính A(x) + B(x) và A(x) – B(x)
b) Tìm nghiệm của đa thức M(x). Biết rằng M(x)  A(x)  B(x)  2x 4  2

Hướng dẫn:
a) A(x)  B(x)  14x 4  6x3  x2  13x  6

A(x)  B(x)  2x 4  x2  3x  2
b) M(x)  x2  3x
Nghiệm của đa thức M(x) là 0 và 3.

Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

8

www.mathx.vn

Toán lớp 7

Bài 16. Cho các đa thức: A(x)  x3  3x2  4x ; B(x)  2x3  3x2  4x  1 .
Chứng tỏ rằng x = 0 là nghiệm của đa thức A(x) nhưng không là nghiệm của đa
thức B(x)

Hướng dẫn:
Ta có: A(0)  03  3.02  4.0  0 nên x = 0 là nghiệm của đa thức A(x)
Mặt khác, B(0)  2.03  3.02  4.0  1  0 nên x = 0 khơng phải là nghiệm của đa
thức B(x).
Bài 17. Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a) 2x + 1

c) x 3  4x

b) 6 – 2x

d) x2018  8x2015

Hướng dẫn:
a) x  

1
2

b) x  3

c) x  2; x  0; x  2

d) x  2; x  0 .

Bài 18. Cho đa thức D(x)  2x2  ax  7a  3 , tìm a biết rằng D(x) có nghiệm là – 1

Hướng dẫn:
2

Ta có: 2 1  a.  1  7a  3  0

 2  8a  3  0  a 
Vậy a 

1
8

1
.
8

Bài 19. Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện x.f (x  2)  (x  4).f (x)
Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm.

Hướng dẫn:
Cho x = 0 ta được: 0.f ( 2)  4.f (0)  f(0) = 0
Cho x = 4 ta được: 4.f (2)  0.f (4) f(2) = 0
Ta thấy f(0) = f(2) = 0
Vậy f(x) có ít nhất hai nghiệm.
Bài 20. Tính giá trị của biểu thức:

Học tốn online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

9


www.mathx.vn

Toán lớp 7

a) A  x2  2xy  y 2 tại x  1;y  2





b) B  3xy x  y  2x3y  2x 2y 2  5 biết x  y  0 .

Hướng dẫn:
a) A = 9 hoặc A = 1.
b) B = 5.
Bài 21. Tìm đa thức M, N biết:





2
2

2
a) M  5x  2xy  6x  9xy  y





2
2
2
b) 3xy  4y  N  x  7xy  8y

Hướng dẫn:
a) M  x2  11xy  y 2
b) N  x2  10xy  12y 2



 



Bài 22. Cho hai đa thức A(x)  2x x  2  5 x  3  7x3 và



B(x)  x  x  5   2x  3  x 3x2  2x



a) Thu gọn A(x) và B(x)

 

   



b) Tìm nghiệm của đa thức P x  A x  B x  x2 4x  5



Hướng dẫn:
a) A(x)  7x3  2x2  9x  15 ; B(x)  3x3  3x2  7x  3 .
b) P(x)  2x  18
Ta có P(x)  0  2x  18  0  x  9
Vậy x  9 là nghiệm của đa thức P(x).
Bài 23. Chứng tỏ rằng các đa thức sau khơng có nghiệm:
a) 10x2  3

2

2

b)  x  1    x  2  5

Hướng dẫn:
a) Ta có: 10x2  0, x  10x2  3  0 ,x
Vậy đa thức 10x2  3 khơng có nghiệm.
b) Học sinh chứng minh tương tự câu a.

Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

10


www.mathx.vn

Toán lớp 7

Bài 24. Cho hai đa thức f (x)   x  1 x  3 và g(x)  x3  ax2  bx  3 . Xác định hệ
số a; b của đa thức g(x) biết nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của đa thức
g(x).

Hướng dẫn:
Đa thức f(x) có nghiệm là x = 1, x = -3.
Vì nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của đa thức g(x) nên ta có:

13  a.12  b.1  3  0
 a  b  2
 a  3





3
2
 3  a.  3  b.  3  3  0 3a  b  10 b  1

Vậy a = - 3; b = -1.
Bài 25. Cho đa thức một biến
1
Q  x   5x  x 5  4x 4  x 3  ax 5  bx 4  c  7 x 2  5
2

Tìm a, b, c biết rằng Q(x) có bậc là 4, hệ số cao nhất là 5 và hệ số tự do là – 10.

Hướng dẫn:
Trước hết ta thu gọn Q(x) và sắp xếp Q(x) theo lũy thừa giảm của x.

1

Q(x)   a   x5   b  4  x 4  x3  7x 2  5x   c  5
2

Vì Q(x) có bậc 4 nên a 

1
1
0a .
2
2

Hệ số cao nhất là 5 nên b  4  5  b  9 .
Hệ số tự do là – 10 nên c  5  10  c  5 .
Vậy ta có Q ( x )  5x 4  x 3  7 x 2  5x  10 .
Dạng 4. Hình học
Bài 26. Cho ΔABC vng tại A, đường phân giác BE. Kẻ EH

BC (HBC). Gọi K là

giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng:
a) ΔABE = ΔHBE
b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
c) EK = EC
d) AE < EC
Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

11


www.mathx.vn

Toán lớp 7

Hướng dẫn:
B
H

A

C
E

K

a) ΔABE = ΔHBE (cạnh huyền – góc nhọn)
b) Theo câu a suy ra AE = HE; BA = BH

 BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
c) Chứng minh ΔAEK = ΔHEC (g.c.g)  EK = EC
d) Xét tam giác AEK vng tại A có: AE < EK (quan hệ giữa đường xiên và đường
vuông góc), mà EK = EC (cmt). Vậy AE < EC (đpcm).

  60o . Tia phân giác của góc BAC
 cắt BC ở E.
Bài 27. Cho ΔABC vuông tại C có A
Kẻ BD vng góc với tia AE (D  AE).
a) Chứng minh AD = BC.
b) Kẻ EK vng góc với AB (KAB). Chứng minh ΔAEB cân, từ đó suy ra
AK = KB.
c) Chứng minh: ba đường thẳng AC, EK, DB đồng qui.

Hướng dẫn:
B

K

D
E
C

Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

A

12

www.mathx.vn

Tốn lớp 7

  60o  B
  30o
a) Vì tam giác ABC vuông tại C và A
 nên CAE
  EAB
  30o
Vì AE là tia phân giác của góc BAC
Từ đó ta chứng minh ΔABC = ΔBDA (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra BC = AD (đpcm).

  EAB
  30o  Tam giác EAB cân tại E
b) Ta có: EBA
Trong tam giác cân EAB có EK AB nên EK là đường cao suy ra EK là đường trung
tuyến của ΔEAB .
Vậy BK = AK (đpcm).
c) Xét tam giác EAB có: EK AB, AC BE, BD EA suy ra EK, AC, BD là 3 đường
cao của tam giác EAB nên chúng đồng quy với nhau tại 1 điểm (đpcm).
Bài 28. Cho ΔEMN cân tại E E  90o , các đường cao MA, NB cắt nhau tại I. Tia EI





cắt MN tại H.

a) Chứng minh ΔAMN = ΔBNM.
b) Chứng minh EH là đường trung tuyến của ΔEMN.
c) Tính độ dài đoạn thẳng MA biết AN = 3cm, AE = 2cm.
d) Chứng minh I cách đều ba cạnh của ΔABH.

Hướng dẫn:

E
A

B
I

N

M
H
a) ΔAMN = ΔBNM (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Vì hai đường cao MA và NB cắt nhau tại I nên I là trực tâm  EI MN
 EH MN.
Xét tam giác cân EMN có EH MNEH là đường trung tuyến của ΔEMN (đpcm).
Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

13


www.mathx.vn

Tốn lớp 7

c) Ta có: EM = EN = AN + AE = 5cm.
Áp dụng định lý Py-ta-go vào ΔEAM vng tại A có AM2  EM2  EA2  52  22  21
 AM  21
d) Chứng minh BA//MN (hs tự chứng minh)
ΔBMN vuông tại B, H là trung điểm của MNBH = MH = NH

  HNB

ΔHBN cân tại H  HBN
  BNH
 (hai góc so le trong)
Mặt khác, BA//MN ABN
  NBH
 BI là phân giác của góc ABH

 ABN

Chứng minh tương tự có AI là phân giác của góc BAH
Suy ra I là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABH.
Vậy I cách đều ba cạnh của ΔABH (đpcm).
Bài 29. Tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm D sao
cho BD = BA.


a) Chứng minh rằng: Tia AD là tia phân giác của HAC
b) Vẽ DK

AC (K  AC ). Chứng minh rằng: AK = AH

c) Chứng minh rằng: AB + AC < BC + AH

Hướng dẫn:
A
K

B

H

D

C

  BDA

a) Ta có BD = BA ΔBAD cân tại B BAD

  HAD
  90o
Xét ΔAHD vng tại H có HDA
  DAC
  90o , mà BAD
  DAC

  BDA
 suy ra HAD
Mặt khác BAD
.

Vậy AD là tia phân giác của HAC
b) Chứng minh ΔADH = ΔADK (cạnh huyền – góc nhọn) AH = AK (đpcm).
Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

14


www.mathx.vn

Tốn lớp 7

c) Xét ΔKDC vng tại K có: KC < DC (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
Ta có: AB + AC = AB + AK + KC
BC + AH = BD + DC + AH
Vì AB = BD (gt), AK = AH (cmb), KC Suy ra AB + AC < BC + AH (đpcm).
Bài 30. Cho ΔABC nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho các đường thẳng
AB, AC lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HD, HE.
a) Chứng minh rằng AD = AE
b) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng DE với AB, AC. Chứng minh

.
rằng HA là tia phân giác của MHN
  2MHB
.
c) Chứng minh rằng DAE

Hướng dẫn:
E

A
N
M
D
B

H

C

a) Vì AB là đường trung trực của HD nên AD = AH (tính chất đường trung trực
của đoạn thẳng)
Vì AC là đường trung trực của HE nên AH = AE (tính chất đường trung trực của
đoạn thẳng)
Suy ra AD = AE (đpcm).
b) Vì M và A cùng thuộc đường trung trực AB của DH nên ta chứng minh được:

  MHA

MDA
Tương tự vì N và A cùng thuộc đường trung trực AC của HE nên ta chứng minh

  NEA

được: NHA
  AED
 (vì ΔADE cân tại A) MHA
  AHN


Mà ADE
 (đpcm).
Vậy HA là tia phân giác của MHN

  180o  2ADE
 (1)
c) Xét ΔADE cân tại A có DAE
Học tốn online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

15


www.mathx.vn

Toán lớp 7

  90o  MHA
  90o  MDA
 (2)
Mặt khác MHB
  2MHB

Từ (1) và (2) suy ra DAE
Bài 31. Cho ΔABC vng tại A có AB = 6cm, AC = 8cm; đường phân giác BI.
Kẻ IH BC (HBC). Gọi K là giao điểm của AB và IH.
a) Tính BC.
b) Chứng minh ΔABI = ΔHBI.
c) Chứng minh BI là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
d) Chứng minh IA < IC.

e) Chứng minh I là trực tâm của ΔKBC.

Hướng dẫn:

K

A
I

C

B
H

a) BC = 10cm
b) ΔABI = ΔHBI (cạnh huyền – góc nhọn).
c) Từ câu b suy ra AB = HB  ΔABH cân tại B

  BI là phân giác của ΔABH
mà BI là phân giác của góc ABH
Suy ra BI cũng là đường trung trực của ΔABH.
Vậy BI là đường trung trực của đoạn thẳng AH(đpcm).
d) Ta có IA = IH. Mà trong tam giác IHC có: IC > IH.
 IA < IC (đpcm).
e) Xét tam giác KBC có: CA KB; KH BC, mà AC  KH = I
Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

16

www.mathx.vn

Toán lớp 7

Vậy I là trực tâm của tam giác KBC (đpcm).

  CAB
 . Điểm K là trung điểm của AB. Đường
Bài 32. Cho ΔABC vuông tại B, ACB
trung trực của AB cắt AC tại M.
a) Chứng minh ΔABM cân.

  MCB
.
b) Chứng minh MBC
c) Vẽ BH là đường cao của ΔABC; BH cắt MK tại I. Chứng minh BM AI.
d) BM cắt AI tại E. Chứng minh HE // AB

  60o , AC = 12cm. Tính độ dài đoạn AH.
e) Cho ACB

Hướng dẫn:
I
C
H

E
M

B

A

K

a) Vì M thuộc đường trung trực của AB nên MA = MB (tính chất)
 ΔABM cân tại M.

  MAB

b) Vì ΔABM cân tại M nên MBA

  CAB
  90o
Xét ΔABC vuông tại B ta có: BCA
  MBA
  90o
Lại có CBM
  MCB
 (đpcm).
Suy ra MBC
c) Xét tam giác IAB có AH BI, IK AB, IK  AH = M
 M là trực tâm của tam giác IAB  BM

IA.

d) Chứng minh được ΔIBA cân tại I  IK là đường phân giác của ΔIBA

  IK HE

Chứng minh ΔIHE cân tại I có IK là phân giác của góc HIE
Mặt khác có IK BA  HE//AB (đpcm).
e) Từ kết quả câu b  ΔMBC cân tại M

Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

17


www.mathx.vn

Toán lớp 7

  60o nên ΔMBC là tam giác đều  MC = MB = BC =MA = AB  6 cm
mà ACB
2
Tam giác MBC đều có BH MC  BH là đường trung tuyến của ΔMBC
 CH = HM =

MC 6
 3
2
2

Vậy AH = HM + MA =3 + 6 = 9cm.

  60o . Vẽ đường phân giác AD (D  BC).
Bài 33. Cho ABC vuông tại B có A
Qua D dựng đường thẳng vng góc với AC tại M và cắt đường thẳng AB tại N.

Gọi I là giao điểm của AD và BM. Chứng minh:
a) BAD = MAD.
b) AD là đường trung trực của đoạn thẳng BM.
c) ANC là tam giác đều
d) BI  ND .

Hướng dẫn:
A
M
I
C

B
D

N

a) BAD = MAD (cạnh huyền – góc nhọn)
b) Từ câu a  AB = AM  ΔABM cân tại A

  AD là đường trung trực của ΔABM
Mà AD là phân giác của BAM
Vậy AD là đường trung trực của đoạn thẳng BM (đpcm).
c) Chứng minh D là trực tâm của tam giác ANC AD NC.

 suy ra ΔANC cân tại A,
Mà AD là phân giác của A
Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

18


www.mathx.vn

Toán lớp 7

  60o  ΔANC là tam giác đều (đpcm).
Lại có A
d) Tam giác ABM đều  AB = 2BI.
Lại có B là trung điểm của AN  AB = BN = 2BI.
Xét tam giác BND vuông tại B có: BN < ND (quan hệ đường vng góc và đường
xiên)  2BI < ND  BI < ND (đpcm).
Bài 34. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vng góc với BC (H  BC). Gọi M là
trung điểm của BH. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.
a) Chứng minh rằng: AMH = NMB và NB  BC.
b) Chứng minh rằng: AH = NB, từ đó suy ra NB < AB.

  MAH

c) Chứng minh rằng: BAM
d) Gọi I là trung điểm của NC. Chứng minh rằng: Ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Hướng dẫn:
A

B

M
H

C

I
N

  NBM
  90o  NB
a) AMH = NMB (c.g.c)  AHM

BC.

b) Từ câu a  AH = NB.
Xét tam giác ABH vuông tại H có AH < AB (quan hệ đường vng góc và đường
xiên)  NB < AB (đpcm)

  BNM

c) Từ câu a  MAH
  BAM

Xét ΔABN có NB < AB (cmt)  BNM
  BAM
 (đpcm)
Vậy MAH
Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

19

www.mathx.vn

Tốn lớp 7

2
d) Vì H là trung điểm của BC, M là trung điểm của BH  CH  CM
3

Lại có CM là trung tuyến của ΔANC  H là trọng tậm của ΔANC
 AH là đường trung tuyến của ΔANC (1)
Mà I là trung điểm của NC  AI là đường trung tuyến của ΔANC (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, H, I thẳng hàng (đpcm).
Bài 35. Cho tam giác ABC có ABvới tia phân giác của góc A tại H. Đường thẳng này cắt các tia AB tại E và AC tại F.
Vẽ tia BM song song với EF (MAC).
a) Chứng minh ΔABM cân.
b) Chứng minh: MF = BE = CF.
c) Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia AH tại I. Chứng minh: IF AC.

Hướng dẫn:
A

M
F
D

B

C

H

E
I

a) Ta có: AH

EF mà BM // EF  AH

BM


Lại có AH là đường phân giác của góc BAM
Vậy ΔABM cân tại A (đpcm)
b) Học sinh tự chứng minh
c) Chứng minh IC = IM ΔIMC cân tại I.
Theo câu b, MF = FC  IF là đường trung tuyến của ΔIMC
 IF

MC  IF

AC.

Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

20


www.mathx.vn

Toán lớp 7

Bài 36. Cho ΔABC cân tại C. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC.
Các đường thẳng AE, BD cắt nhau tại M. Các đường thẳng CM, AB cắt nhau tại I
a) Chứng minh AE = BD
b) Chứng minh DE // AB
c) Chứng minh IM AB. Từ đó tính IM biết BC = 15cm, AB = 24cm
d) Chứng minh AB+2BC > CI + 2AE.

Hướng dẫn:
C
F

D

E
M

A

B
I

a) Chứng minh ΔCAE = ΔCBD (c.g.c)  AE = BD.

  CAB
 , mà hai góc ở vị trí so le trong  DE // AB.
b) Chứng minh CDE
c) Ta chứng minh được M là trọng tâm của tam giác ABC  CI là đường trung

tuyến của ΔABC
Mà ΔABC cân tại C  IM AB.
Ta tính được IM = 3cm
d) Lấy F là điểm đối xứng với A qua E  AE = EF. Ta chứng minh được
ΔCEF = ΔBEA (c.g.c)  AB = CF.
Xét ΔACF có AC+ CF > AF (bất đẳng thức tam giác)
 AC + AB > AF, mà AC = BC (gt)  AB + BC > 2AE (1)
Mặt khác ta lại có CB > CI (2) (quan hệ giữa đường xiên và đường vng góc)
Từ (1) và (2)  AB+2BC > CI + 2AE (đpcm).
Bài 37. Cho ΔADE cân tại A. Trên cạnh DE lấy các điểm B và C sao cho:
1
DB  EC  DE
2

a) ΔABC là tam giác gì? Chứng minh.
Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

21


www.mathx.vn

Toán lớp 7

b) Kẻ BM AD, CN AE. Chứng minh BM = CN.
c) Gọi I là giao điểm của MB và NC. ΔIBC là tam giác gì? Chứng minh.

.
d) Chứng minh AI là phân giác của BAC

Hướng dẫn:
A

M
D

N
E
C

B
I

a) Ta chứng minh được ΔADB = ΔAEC (c.g.c)  AB = AC (hai cạnh tương ứng)
 ΔABC cân tại A.

  NAC

b) Từ câu a ΔADB = ΔAEC  MAB
Ta chứng minh được ΔABM = ΔACN (cạnh huyền – góc nhọn)  BM = CN.

  ICB

c) Tam giác IBC là tam giác cân tại I (học sinh tự chứng minh) IBC
d) Chứng minh được ΔABI = Δ ACI (c.c.c)

  CAI
  AI là là phân giác của BAC
 (đpcm).

 BAI
Bài 38. Cho ΔABC vng tại A có AM là đường trung tuyến. Trên tia đối của tia
MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
a) Chứng minh ΔMAB = ΔMDC
b) Gọi K là trung điểm của AC. Chứng minh KB = KD.
c) KD cắt BC tại I và KB cắt AD tại N. Chứng minh ΔKNI cân.

Hướng dẫn:

Học toán online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

22


www.mathx.vn

Tốn lớp 7

B

D

M
N

I

A

C
K

a) ΔMAB = ΔMDC (c.g.c)

  DCM
 (vì ΔMAB = ΔMDC)
b) Ta có ABM
Suy ra AB // CD (có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
Mà AB

AC  CD

AC hay tam giác ACD vuông tại C.

Chứng minh được ΔABK = ΔCDK (c.g.c)  KB = KD (hai cạnh tương ứng)
1
c) Chứng minh N là trọng tâm của tam giác ABC  KN  KB
3
1
Chứng minh I là trọng tâm của tam giác ACD  KI  KD
3

Mà KB = KD (cma) KN = KI ΔKNI cân tại K (đpcm).
Dạng 5. Một số bài tập nâng cao.
Bài 39.
a) Tìm x biết x  2  3  2x  2x  1
b) Tìm các giá trị nguyên của x và y biết: 5y  3x  2xy  11

Hướng dẫn:

a) Ta có x  2  2x  3  2x  1
Xét x 

3
ta có: x  2  2x  3  2x  1
2
x

4
(khơng thỏa mãn)
5

Học tốn online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

23


www.mathx.vn

Xét

Tốn lớp 7

3
 x  2 ta có: x  2  2x  3  2x  1
2
x  2 (khơng thỏa mãn)

Xét x  2 ta có: x  2  2x  3  2x  1

x  6 (thỏa mãn)
Vậy x = 6 là giá trị cần tìm.
b) Ta có: 5y  3x  2xy  11

10y  6x  4xy  22

2x  5 2y  3  7
Từ đó ta tìm được các cặp giá trị nguyên (x; y) là (3; - 2); (2;-5); (6;-1); (-1;-2).
Bài 40. Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn 8x  3y  29 và 9x  1008z  9 . Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức A  26x  3y  2015z

Hướng dẫn:
Ta có 9x  1008z  9  18x  2016z  18 (1) và 8x  3y  29 (2)
Cộng theo vế của (1) và (2) ta được:
26x  3y  2016z  47

 A  26x  3y  2015z  47  z  47 vì z  0 .
Dấu “=” xảy ra khi z = 0, x = 1, y = 7.
Vậy giá trị lớn nhất của A là 47 khi x = 1, y = 7, z = 0.
Bài 41. Cho A = 1.3.5...2009 . Chứng minh rằng ba số: 2A – 1; 2A; 2A + 1 đều
khơng phải là số chính phương.

Hướng dẫn:
Ta có 2A chia hết cho 2 nhưng 2A không chia hết cho 4 nên 2A khơng là số chính
phương.
2A – 1 = (2A – 3) + 2 2A – 1 chia cho 3 dư 2  2A – 1 không là số chính
phương.
Giả sử 2A  1  k 2 , k là số nguyên lẻ  2A  k 2  1   k  1  k  1 4
(Vì k – 1 và k + 1 là hai số chẵn liên tiếp nên  k  1 k  1 chia hết cho 4.

Vậy 2A + 1 không là số chính phương.
Học tốn online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

24


www.mathx.vn

Toán lớp 7

Vậy 3 số 2A – 1; 2A; 2A +1 khơng là số chính phương.
Bài 42. Cho đa thức f(x)  x8  101x7  101x6  101x5  ...  101x2  101x  1 . Tính
f(100).

Hướng dẫn:
Ta có:

f (100)  1008  101.1007  101.1006  101.1005  ...  101.1002  101.100  1
 1008  100  1 .1007  100  1 .1006  ...  100  1 .1002  100  1 .100  1

 1008  1008  1007   1007  1006   ...  1003  1002   1002  100  1
 99 .
Bài 43. Tam thức bậc hai là đa thức có dạng f (x)  ax 2  bx  c , với a, b, c là hằng
số, a khác 0. Tìm tam thức bậc hai trên biết f(1) =4, f(-1) = 8 và a  c  4 .

Hướng dẫn:
Với f (1)  4  a  b  c  4 (1)
Với f ( 1)  a  b  c  8 (2)
Cộng theo vế (1) và (2) ta được a  c  6

Lại có a  c  4  a =1; c = 5; b = - 2
Vậy tam thức cần tìm là f (x)  x2  2x  5 .
Bài 44. Cho f(x)  2x2 +ax+4 (a là hằng số); g(x)  x2  5x  b . Tìm các hệ số a, b
sao cho f(1) = g(2) và f(-1) = g(5)

Hướng dẫn:
Ta có f(1)  6  a ; g(2)  6  b ; f( 1)  6  a ; g(5)   b

6  a  6  b a  b  12 a  3


Theo đề bài ta có: 
 6  a  b
b  9
 ab 6
Vậy a = -3 và b = - 9 là các giá trị cần tìm.

Học tốn online cùng thầy Trần Hữu Hiếu
Hotline: 091.269.8216

25