Đáp án đề thi đại học cao đẳng khối A môn Toán năm 2003 | dethivn.com

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (147.45 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

−−−−−−−−−−−−− đáp

án

−thang điểm

đề thi chính thức Mơn thi : tốn Khối A

Néi dung điểm

Câu 1. 2điểm

1)
Khi

2 1 1

1 .

1 1

x x

m y x

x x

− + −

= − ⇒ = = − −

− −

+ Tập xác định: R\{ 1 }.
+

2 2

1 2

' 1 . ' 0

2.
( 1) ( 1)

x
x x

y y

x

x x

=

− +

= − + = = ⇔ 

− − 

[

]

= ⇒

−
=

−
−

∞
→
∞

→ 1 0

1
lim
)
(
lim

x
x

y

x

x tiệm cận xiên của đồ thị là: y=−x.

=∞⇒

→ y

x 1lim tiệm cận đứng của đồ thị là: x=1 .
Bng bin thiờn:

Đồ thị không cắt trục hoành.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 1).

1 ®iĨm

0,25 ®

0,5 ®

0, 25 ®

x − ∞ 0 1 2 + ∞

y’ − 0 + + 0 −

+∞ +∞ −3

y CT C§

1 − ∞ − ∞

y

x

O 1 2

−3
1

−1

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Đồ thị hàm số

+
+
=

x
m
x
mx

y ct trục hồnh tại 2 điểm phân biệt có hồnh độ
d−ơng ⇔ ph−ơng trình f x( )=mx2+ + = có 2 nghiệm d−ơng phân biệt khác 1 x m 0

1 4 0

(1) 2 1 0
1

0, 0

m
m
f m

m

S P

m m

≠




∆ = − >


⇔  = + ≠



 = − > = >


0
1

1
2

1 2

2
0

m
m

m

≠



 <


⇔  ⇔ − < <

 ≠ −

 <


VËy gi¸ trị m cần tìm là: 1 0
2 m
− < < .

1 điểm

0,25 đ

0,75 đ

Câu 2. 2điểm

Điều kiện

sin 0

cos 0 (*)
tg 1

x
x
x

≠


 ≠



 ≠ −


Khi đó ph−ơng trình đã cho sin (sin cos )
cos

sin
1

sin
cos

1
sin

cos 2 2

x
x
x
x

x
x
x

x

x + −

+
−
=

−
⇔

cos sin cos (cos sin ) sin (sin cos )
sin

x x x x x x x x
x

−

⇔ = − + −

(cosx sin )(1 sin cosx x x sin x) 0

⇔ − − + =

cos sin 0
1 sin cos sin 0.

x x
x x x

− =


⇔ 

− + =



TH1: sin cos tg 1 π π ( )

x= x⇔ x= ⇔ = +x k k∈ Z tháa m·n ®iỊu kiƯn (*).
TH2: 1 sin cos sin2 0 1 1sin 2 sin2 0 :

x x x x x

− + = ⇔ − + = v« nghiƯm.

VËy nghiƯm của phơng trình là: ( )
4

x= +k k∈Z .

2) Gi¶i hƯ

1 1 (1)
2 1 (2).

x y
x y
y x

 − = −




 = +



+ §iỊu kiƯn xy≠ 0.

+ Ta cã (1) ( )(1 1 ) 0

x y
x y

xy
xy

=


⇔ − + = ⇔ 

= −


TH1

:

3 3 2

2 1 2 1 ( 1)( 1) 0

x y x y x y

y x x x x x x

= = =

  

 ⇔ ⇔

  

= + = + − + − =

  

  

1
1 5

2
1 5

.
2

x y
x y
x y



 = =



− +


⇔ = =


− −
 = =


1 ®iĨm

0, 25 ®

0, 25 ®
0, 25 ®

1 ®iĨm

0, 25 ®

0,5 ®

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

TH2: 3

3 4

1 1

1 (3)

2 1 1 2 0 (4).

y

xy x y

x

y x x x x

x

 = − 



= − = −

 ⇔ ⇔

  

= +

  

 − = +  + + =



Ta chứng minh phơng trình (4) vô nghiệm.
Cách 1.

2 2

4 2 2 1 1 3 0,

2 2 2

   

+ + = −  + +  + > ∀

   

x x x x x .

C¸ch 2. §Ỉt 4

( ) 2 ( ) min ( ) 0

∈

 − 

= + + ⇒ ≥ =  >

 
x

f x x x f x f x f

R .

Trờng hợp này hệ vô nghiệm.
Vậy nghiệm của hệ phơng trình là:

1 5 1 5 1 5 1 5

( ; ) (1;1), ; , ;

2 2 2 2

x y = − + − +    − − − − 

   .

0, 25 đ

Câu 3. 3điểm

Cách 1. Đặt AB= . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên A’C, suy ra BH ⊥ a

A’C, mà BD ⊥ (A’AC) ⇒ BD ⊥ A’C, do đó A’C (BHD) AC DH. Vy gúc

phẳng nhị diÖn

[

B A C D lµ gãc n, ' ,

]

BHD .

Xét A DC' vuông tại D có DH là đờng cao, ta có DH A C CD A D. ' = . '
. '

CD A D
DH

A C

⇒ = . 2 2

3 3

a a a
a

= = . T−¬ng tự, A BC' vuông tại B có BH là đờng 
cao và 2

a
BH = .
Mặt khác:

n 2 2 2 n

2 2 2 2 2 2 2

2 2 . cos 2. cos

3 3 3

a a a

a =BD =BH +DH − BH DH BHD= + − BHD,
do đó cosn 1

BHD= − ⇒BHDn=120o.

C¸ch 2. Ta cã BD ⊥ AC BD AC (Định lý ba đờng vuông gãc).

T−¬ng tù, BC’⊥ A’C ⇒ (BC’D) ⊥ A’C . Gọi H là giao điểm của A C vµ (' BC D ' )
⇒ nBHD là góc phẳng của

[

B A C D . ; ' ;

]

Các tam giác vuông HA’B, HA’D, HA’C’ b»ng nhau ⇒ HB = HC’ = HD

1 ®iĨm

0, 25 ®

0, 25 đ
0, 25 đ
hoặc
0, 25đ
0,25 ®

A 
A’

B’ C’

D’

D

C
B

H

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a) Tõ gi¶ thiÕt ta cã

)
2
;
;
(
)
;
;
(
'
0);
;
;

(a a C a a b M a a b

C ⇒ .

VËy ( ; ; 0), (0; ; )
2

b
BD= −a a BM = a

JJJG JJJJG

, ; ;

2 2

ab ab

BD BM  a 

 

⇒ = − 

  

JJJG JJJJG

(

)

3 2

' ; 0; , . ' .

a b
BA = −a b ⇒BD BM BA = −
JJJG JJJG JJJJG JJJG

Do đó

' 16 , . ' 4

BDA M a b

V = BD BM BAJJJG JJJJG JJJG = .
b) Mặt phẳng (BDM) có véctơ pháp tuyến là 1 , ; ; 2

2 2

ab ab

n =BD BM= −a

JJG JJJG JJJJG

,
mặt phẳng ( 'A BD có véctơ pháp tuyến là ) nJJG2 =JJJG JJJGBD BA, '=( ; ab ab a; 2).

Do đó

2 2 2 2
4
1 2

( ) ( ' ) . 0 0

2 2

a b a b

BDM ⊥ A BD ⇔n nJJG JJG= ⇔ + −a = ⇔ =a b a 1

b

⇔ = .

2 ®iĨm

0, 25 ®

0, 5 đ
0, 5 đ

Câu 4. 2điểm

Ta cã Cnn++14−Cnn+3=7(n+ ⇔3)

(

Cnn++31+Cnn+3

)

−Cnn+3=7(n+ 3)
( 2)( 3) 7( 3) 2 7.2! 14 12.

n+ n+ n n n

⇔ = + + = = =

Số hạng tổng quát cđa khai triĨn lµ

( )

5 60 11

3 2 2

12 . 12

k k

k

k k

C x x C x

− −

−   =

 
 

Ta cã

60 11
8

2 60 11 8 4.

−

= ⇒ = ⇔ =

k

x x k

Do đó hệ số của số hạng chứa x là 8 495.
)!
4
12
(
!
4

!
12

12 = − =

C

2) TÝnh tích phân

2 3

2 2

4 xdx

I

x

=

+

Đặt 2

xdx
t x dt

x

= + ⇒ =

+ vµ

2 2 4.
x =t −
Với x= 5 thì t= , với 3 x=2 3 thì t= . 4
Khi đó

2 3 4 4

2
2 2

3 3

1

4

2

4 xdx

dt

I

dt

t

x





=



−



−

+





−

+

∫

4
3

1

2

1

5 ln

ln .

4

2

4

3 t

−





=





=

+





1 ®iĨm

0, 5 ®

0, 25 ®
0, 25 ®

1 ®iÓm

0, 25 ®
0, 25 ®

0,25 ®

0, 25 ®

A 
A’ 
B’

C’ 
D’

D

C 
B

y

x

z

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

(v× |u vG G+ |2=uG2+vG2+2 . | |u vG G ≤ uG 2+| |vG 2+2 | | .| | | | | |uG vG =

(

uG + vG

)

2)
Đặt ;1,






=

→

x
x

a 






→

y
y

b ;1 , 





=

→

z
z
c ;1 .

2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1

( )

P x y z x y z

x y z

 

= + + + + + ≥ + + + + + 

  .

C¸ch 1. Ta cã

(

)

2 1 1 1 3 3 1 9

( ) 3 3 9

P x y z xyz t

x y z xyz t

 

≥ + + + + +  ≥ +  = +

    , víi

(

3

)

2 2 1

3 9

x y z
t= xyz ⇒ < ≤t  + +  ≤

  .

Đặt ( ) 9 9 '( ) 9 92 0, 0;1 ( )
9

Q t t Q t t Q t

t t

 
= + ⇒ = − < ∀ ∈

giảm trên
1
0;

9

1

( ) 82.

Q t Q 

⇒ ≥  =

  VËy P≥ Q t( )≥ 82.

(

DÊu “=” x¶y ra khi 1

x= = =y z

)

.
C¸ch 2.

Ta cã

2 2

2 1 1 1 2 1 1 1 2

(x y z) 81(x y z) 80(x y z)

x y z x y z

   

+ + + + +  = + + + + +  − + +

   

1 1 1

18(x y z) 80(x y z) 162 80 82.

x y z

 

≥ + +  + + − + + ≥ − =

 

VËy P≥ 82.

(

DÊu “=” x¶y ra khi 1

x= = =y z

)

0, 25 ®

0, 25 ®
0, 25 ®

hc
0,25 ®

</div>

Đáp án đề thi đại học cao đẳng khối A môn Toán năm 2003 | dethivn.com

<b>−−−−−−−−−−−−− đáp </b>

<b>án </b>

<b>−thang điểm </b>

[

]

<i>y</i>

<i>x </i>

:

[

]

[

]

(

)

(

)

( )

4

<i>xdx</i>

<i>I</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

=

+

1

1

1

4

2

2

4

4

<i>xdx</i>

<i>dt</i>

<i>I</i>

<i>dt</i>

<i>t</i>

<i>t</i>

<i>t</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





=

=

=

<sub></sub>

−

<sub></sub>

−

+





−

+

∫

∫

∫

1

2

1

5

ln

ln .

4

2

4

3

<i>t</i>

<i>t</i>

−





=

<sub></sub>

<sub></sub>

=

+

