Tài liệu tham khảo Toán học cấp 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (179.98 KB, 19 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ :

ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BUNHACOPSKI ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ
LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

A. LÍ THUYẾT CƠ BẢN

I/ Bất đẳng thức Cô -si ( cauchy):

Với 2 số không âm a;b
2 2 2

a b  ab ( vì (a b )2  0 a2 2ab b 2 0 a2b22ab )

a+b 2√ab ( tương tự )

+ Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 √ab (1)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a = b

Từ đẳng thức (1) ta suy ra:

+ Nếu a.b =k ( không đổi) thì min (a +b) = 2 √k ⇔ a = b

+ Nếu a +b = k (không đổi ) thì max( a.b) = k2

4 ⇔ a = b

+ Với a1, a2, a3, …., an ≥ 0 thì a1+ a2 + a3 + ….+ an ≥ n

√

na1. a2. a3.. . an ( 2)

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a1 = a2 = a3 = …..= an

Từ đẳng thức (2) ta suy ra:

+ Nếu a1.a2.a3 …. an = k (khơng đổi ) thì min(a1+ a2 + a3 + ….+ an ) = n √nk

⇔ a1 = a2 = a3 = …..= an

+ Nếu a1+ a2 + a3 + ….+ an = k (không đổi ) thì m

+ Mở rộng của BĐT Cơ- si

1. Với 3 số a, b, c không âm
a+b+c 33

√abc

Dấu “=” xảy ra ⇔ a=b=c

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Dấu “=” xảy ra ⇔ a=b=c=d

3. Đối với n số không âm: a ❑1 , a2, a3, .. .. . , an 0
Ta có: a1+a2+a3+.. . .+ an≥ n

n

√

a1a2a3. .. an

Dấu “=” xảy ra ⇔ a1=a2=a3=. . .=an

+ Biến dạng :
2

(a b ) 4ab

1 1 4

a b a b

2 2 2 2

( )

m n p m n p

x y z x y z

 

  

  với x;y;z >0

II/ Bất đẳng thức Bunhiakopski .

+Với 4 số a;b;c;d ta có : (ac bd )2 (a2b2)(c2d2)

Dấu ‘ =’ xảy ra khi

a b
c d

+Tổng quát : Cho hai bộ



x x1, ,...,2 xn

 

 y y1, ,...,2 yn



Ta có:







 



2 2 2 2 2 2 2

1. 1 2. 2 ... n. n 1 2 ... n 1 2 ... n

x y x y  x y  x x  x y  y   y

Dấu bằng xảy ra

1 2

... n

n

x x x

y y y

   

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 1 : Cho a;b;c >0 và

3
2

a b c  

. Tìm GTNN của

2 2 2

1 1 1

S a b c

b c a

     

Bài giải :

( Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky)

2 2 2 2

1 4

(a )(1 4 ) (a )

b b

    2 2

1 1 4

( )

a a

b b

   

Tương tự:

2 2 2

1 1 1

S a b c

b c a

      1 ( 4 4 4)

17 a b c a b c

     

4 4 4 1 1 1 3 51

(16 ) (16 b ) (16 ) 15( ) 16 16 16 15.

2 2

a b c a c a b c

a b c a b c

                  

(Áp
dụng BĐT Cô si )

Suy ra :

1 51 51

.
2

17 2 17

S  

51
2 17
Min

S 

khi

4
16

3
2

; ; 0

a
a
b

b

c

c
a b c
a b c






 





 





  









 a= b= c =

1
2

Bài 2:

Cho a;b;c là các số dương thỏa mãn a+b+c12

Tìm GTNN của

a b c

P

b c a

  

Bài giải

Ta có :

2 2 2

2 ( a b c )2 a b c 2(a b b c c a)

P

b c a

b c a c a b

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Áp dụng BDT Cô si cho 4 số dương :

Ta có :
2

a a b a b

c a
b  c  c  

b b c b c

a b
c  a  a  

c c a c a

b c
a  b  b  

2 2 2

2 (a a b a b c) (b b c b c a) (c c a c a b) (a b c)

P

b c c c a a a b b

              

 3(a+b+c)
 3.12 =36

Vì P>0 => P  6
6

Min

P  Khi a =b =c = 4

Bài 3

Tìm GTNN của : A x 2 y 3 biết x+y = 6
Áp dụng BĐT Bunhiacosky ( A0)

2 ( 2 3)2 (12 1 )(2 2 3) 2(6 5) 2

A  x  y   x  y   

=>A 2

Min

A  khi

2 3 2

6 7

x

x y

x y

y





  

 



 

 

  




Bài 4

Tìm GTNN của

2 2 2

1 2 2017
1 2 3 2017

....

( .... )

x x x

M

x x x x

  



  

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2017

1 2 3 2017

( 2016 ) ( 2016 ) .... ( 2016 )

2016

( .... )

x x x x x x

M

x x x x

     



   Áp dụng BĐT cô si

1 2 3 2017
1 2 3 2017

2 2016. ( .... )

2016 2 2016

( .... )

x x x x

M

x x x x

  

 

  

2
2016

M 

2
2016
Min

M 

Khi
1

2 3 .... 2017

2016

x

x x x

   

Bài 5

Cho a3b3 2 ;a >0; b >0 . Tìm GTLN của N= a + b

Bài giải

+ Chứng minh BĐT : a3b3ab a b(  ) ;

3 3 ( )( 2 2 ) ( )(2 ) ( )

a b  a b a b  ab  a b ab ab ab a b

+ a3b3ab a b(  ) => 3(a3b3) 3 ( ab a b ) 4(a3b3)a3b33 (ab a b ) (a b)  3

Nên 23(a b )3  N   a b 2

Max 2

N  khi a = b = 1

Bài 6

Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 . Tìm GTLN của :

5 5 5 5 5 5

ab bc ca

P

a b ab b c bc c a ca

  

     

Bài giải

+ Ta chứng minh BĐT : a5b5a b3 2a b2 3 a b a b2 2(  )

+Ta có

5 5 3 2 2 3 2 2 2 2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

( )

.abc a b c .a b c

ab ab

c c

   

 

Vậy
5 5

a b ab ab.a b c

c

 

  

hay 5 5

ab c

a b aba b c  (1)

Tương tự : 5 5

bc a

b c bca b c  (2)

5 5

ac b

a c ac a b c  (3)

Từ (1)(2)(3) Suy ra :

5 5 5 5 5 5 1

ab bc ca a b c

P

a b ab b c bc c a ca a b c

 

    

       

1
Max

P  khi a= b= c=1

Bài 7

Cho a;b >0 ; a+b  1 . Tìm GTNN của :

2 2

1 1

A a b

a b

   

Bài giải

+Ta có :

1 2

a b ab ab

    

+ 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 15 1 1

( ) ( ) ( )

2 2 16 2 2 16 16

a a b b

A a b

a b a b a b

           

3 3

2 2

1 1

3( . . . . )

2 2 16 2 2 16

a a b b

a b

 

15 2
.
16 ab

3 3 15 2

. 9

1
4 4 16

   

Min

A  Khi a =b= 
1
2

Bài 8

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

2 4 4 2

1 1

A

x y x y

 

 

Bài giải

2 2

2 2 2 2

3 3

2 4 4 2 2 4 4 2

1 1

. .

1 [ 1]

x x

y y

x y x y

A

x y x y x xy y x xy y x x x

y y y

   

   

   

     

       

 

   

   

2 2 2 2

3 3 3 3

( 1) ( 1)

1 1 1 1

1 ( 1) 1 1

t t t t t t

t t t t t

    

       

       t 0

Max 1

A  khi t = 1 => x =y = 1

Bài 9

Cho x;y;z >0 thỏa mãn xyz =1 . Tìm GTLN của :

3 3 3 3 3 3

1 1 1

A

x y y z z x

  

     

Bài giải

+ ta có : x3y3xy x y(  ) =>x3y3 1 xy x y(  ) xyz xy(x y z)   

+ 3 3 3 3 3 3

1 1 1

A

x y y z z x

  

     

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

z x y

xy x y z yz x y z xz x y z xyz x y z yzx x y z xzy x y z

     

            =

x y z
x y z

 

 

Max 1

A  khi x =y = z= 1.

Bài 10

Cho a;b;c >0 và a+b+c =2016. Tìm GTNN của :

2 2 2 2 2 2

M  a  ab b  b  bc c  c  ca a

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

+ Ta có 2 a2 ab b 2  3(a b )2(a b) 2  a b

Tương tự 2 b2 bc c 2  b+c

2 c2 ca a 2  c+a

Nên suy ra

2M2 (a+b+c) =2. 2016

=>M 2016

=>AMin 2016 khi a =b =c = 2016:3 =672

Bài 11

Cho x;y;z>0 . Tìm GTNN của :

x y y z z x
A

z x y

  

  

Bài giải

+Ta chứng minh 2(a b )  a b

+Ta có 2

2(x y) 2(y z) 2(z x)

A

z x y

  

  

x y y z z x x z y z x y

z x y z x z y y x

   

 

  

            

         2 2 2 6

+ Suy ra A 3 2
3 2

Min

A  Khi x =y =z

Bài 12

Cho a;b;c >0 và a+b+c =3 . Tìm GTNN của :

2 2 2

a b c

A

a b b c c a

  

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài giải

+ Chứng minh BĐT :

2 2 2 ( )2

m n p m n p

x y z x y z

 

  

  với x;y;z >0

+Ta có :

2 2 2

a b c

A

a b b c c a

  

  

2 2 2 2 2 2

( ) 9

2( ) 3 2( )

a b c

a b c a b c a b c

 

 

       

2 2

9 9

( ) 3

3 2. 3 2.

3 3

a b c

  

 

1
Min

A  Khi a=b=c = 1.

Bài 13

Cho x;y >0 và x+y+xy =8 . Tìm GTNN của : A x 2y2

Bài giải

+Ta có x +y 2 xy

=>xy + 2 xy  8 hay





1 9

xy  

=> xy  1 3
=>xy  4

+ Ta có





2 2 2 2 2 2

9 xy (x y 1) x y  1 2(x y xy  )x y 17

Vì xy  4 => 9 –xy  5 =>





2 2 2

9 xy 25 x y 17 25

Suy ra A 8

Vậy AMin8 khi x = y =2

Bài 14

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

2 2 2

1 1 1

( 1) ( 1) ( 1)

A

x y z

  

  

Bài giải

+ Áp dụng BĐT cô si với 3 số không âm ta có :

3
2

1 1 1 1 3

( 1) 8 8 64 4

x x

x

 

   



=> 2

1 3 1

( 1) 4 4

x
x


 

 Dấu “ =” xảy ra khi x =1

Tương tự đối với y ; z

+ 2 2 2

1 1 1

( 1) ( 1) ( 1)

A

x y z

  

  

3 3

3 3 9 3

4 4 4 4 4

xyz
x y z   

    

Bài 15

Cho a  10; b100 ; c1000. Tìm GTNN của :
1 1 1

A a b c

a b c

     

Bài giải

Ta có :

1 1 1

A a b c

a b c

     

1 1 1 1 1 1 99 9999 999999

( ) ( ) ( )

100a a 10000b b 1000000c c 100a 10000b 1000000c

        

1 1 1 99 9999 999999

2( ) .10 .100 .1000

10 100 1000 100 10000 1000000

     

=1110.111
Vậy AMin1110.111 khi a =10 ; b = 100; c =1000.

Bài 16

Cho x;y;z >0 thỏa mãn x+y +z 

11 . Tìm GTNN của 
1 1 1

A x y z

x y z

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài giải

Ta có

1 1 1

A x y z

x y z

     

1089 1 1089 1 1089 1 689 689 689

( ) ( ) ( ) ( z)

400 xx  400 yy  400 zz  400x400y400

1089 1089 1089 689 20 1489

2 2 2 .

400 400 400 400 11 220

    

Vậy

1489
220
Min

A 

khi x = y =z =

20
33

Bài 17

Cho 3 số thực dương a;b;c thỏa mãn a+b+c =2. Tìm GTLN của:

2 2 2

ab bc ca

A

c ab a bc b ac

  

  

Bài giải

+ Ta có

1 1

.
2

2 ( ) ( )( )

ab ab ab ab

b c c a
c ab a b c c ab b c c a

 

     

 

       

+ tương tự đối với 2 hạng tử còn lại

Ta suy ra

1
2

2 2 2

ab bc ca ab ab bc bc ca ca

A

b c c a b a a c c b b a
c ab a bc b ac

 

          

     

    

1 1

.( ) 1

2 2

ab ca ab bc bc ca

a b c

b c c a a b

  

 

       

  

 

A  => AMax 1 Khi a =b=c =

2
3 .

Bài 18

Cho a;b>0 và a+b 1 . Tìm GTNN của :

2 2

1 1

A a b ab

a b

    

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ta có

2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 29 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

16 16 32 32 32

A a b ab

a b a b a b

        

2 2 2 2

1 1 1 1 29 2

2 2 .2 .

16 16 ab 32 a b 32 a b

    

1 29

16 16

ab

ab ab

 

  

  2

1 29

1 2 .

16 4( )

ab

ab a b

  



=1+

1 29 35

2 4 4

A
35

4 =>

35
4
Min

A 

Khi a =b =

1
2

Bài 19

Cho x;y;z >0 và x+y+z =2 . Tìm GTNN của :

2 2 2

x y z

A

y z z x x y

  

  

Bài giải

Áp dụng BĐT cô si cho 2 số dương:

2 2

2( ) 2 . (2 ) 2

x x

k y z k y z kx

y z    y z   ;(k>0) với Điểm rơi

2
3

x  y z

=>
2 1

k 

+Ta có

2 2 2

x y z

A

y z z x x y

  

  

2 2 2

1 1 1

( ) (x ) ( )

4 4 4

x y z

y z z y x

y z z x x y

        

  

-1

( )

2 x y z 

2 1 2 1 2 1

2 . ( ) 2 . (x ) 2 . ( )

4 4 4

x y z

y z z y x

y z x z y x

      

  

( )

2 x y z 

=(x+y+z)-

( )

2 x y z  =
1

( )

2 x y z  =1

Suy ra Min A= 1 khi

2
3

x  y z

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Bài 20

Cho các số x;y;z không âm, không đồng thời bằng 0; thỏa mãn

1 1 1

1 2 3

x  y  z 

Tìm GTNN của :

A x y z

x y z

   

 

+ Ta có :

1 1 1 9

1 3

1 2 3 6 x y z

x y z x y z

       

     

(Áp dụng BĐT :

2 2 2 ( )2

m n p m n p

x y z x y z

 

  

  với x;y;z >0)

+ Áp dụng BĐT cô si :

1 8( ) 1 8.3 10

( ) 2 .

9 9 9 9 3

x y z x y z x y z

A

x y z x y z

     

     

   

Vậy Min A =

3 Khi x+y+z =3;( x;y;z không âm, không đồng thời bằng 0)

Bài 21

Cho xyz =1 ; x +y +z = 3 . Tìm GTNN của :
16 16 16

P x y z

Bài giải

+ Áp dụng BĐT:

2 2 2 ( )2

m n p m n p

x y z x y z

 

  

  với x;y;z >0; một cách liên tục

Ta có : P x 16y16z16

2
4 4 4 2

8 8 8 2 4 4 4 4

( )

( ) ( )

1 1 1 3 3

x y z

x y z x y z

   

 

     

  

 

4 8 8

2 2 2 2 2 2

2 2 2 8

3 7 7 7

( ) ( ) 3

3 ( ) 3 3

3 3 3 3

x y z x y z

x y z

         

     

 

     

    

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 22

Cho a;b;c > 0 thỏa mãn a+b +c = 3. Tìm GTNN của:

2 2 2

1 1 1

A

a b c

  

  

Bài giải

+ Ta có :

2 2 2

2 2 ( 1)

2 2 2 2

1 1 1

a a

a a a a

a a a



 

         

    

Tương tự ta có : 2

2
2

1b   b

2
2

1c   c

Nên suy ra : 2 2 2

2 2 2

1 1 1

A

a b c

  

    2-a + 2- b + 2 – c = 6 – (a+b+c) =6 -3 =3

Min A = 3 khi a = b= c = 1.

Bài 23.

Cho x>0;y>0 và x + y = 1 .Tìm GTNN của :

2 2
1 1
1 1
A
x y
 
 
    
   
Bài giải

Ta có : 2 2

1 1
1 1
A
x y
 
 
    
   =
1 1
1 1
x y
 

 
   
 
   
1 1
1 1
x y
 
 
   
 
   =
1 1
1 1
x y
 
 
   
 
   .

(x 1)(y 1)

xy
 
=
1 1
1 1
x y
 

 
   
 
   .

( y)( x)

xy
 
=
1 1
1 1
x y
 
 
   
 
   
=

1 1 1 1 1 1 2

1 1 x y 1 1

xy x y xy xy xy xy xy

  

          

 

Mặt khác Áp dụng BĐT :

( ) 1

4 4

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

=>A

1 9

1
4

  

Vậy Min A = 9 . Khi x = y =

1
2 .

Bài 24

Cho x;y;z >0 thỏa mãn xy + yz + zx  3 . Tìm GTNN của :

4 4 4

3 3 3

x y z

A

y z z x x y

  

  

Bài giải

+ Ta chứng minh : (x y z  )2 3(xy yz zx) 9  

Hay x y z  3

+ Áp dụng BĐT cô si cho 4 số dương ta có :

4 4

3 1 1 3 1 1

4 . . .

3 16 4 4 3 16 4 4

x y z x y z

x

y z y z

 

    

 

Nên :

4 3 1 1 3 1

3 16 4 4 16 2

x y z y z

x x

y z

 

 

       

  

Tương tự :

4 3 1

3 16 2

y z x

y
z x



  



3 1

3 16 2

z x y

z
x y



  



Suy ra

4 4 4

3 3 3

x y z

A

y z z x x y

  

  

3 1 3 1 3 1 3 3 3 3 3

( ) .3

16 2 16 2 16 2 4 2 4 2 4

y z z x x y

x  y  z  x y z

               

Vậy Min A =

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Bài 25

Cho x;y;z >0 thỏa mãn x +y +z = 1. Tìm GTNN của :

2 2 2 2 2 2

A x xy y  y yz z  z zx x

Bài giải

+ Ta có :

2 2

2 2 ( )2 ( )2 ( ) 3( )

4 4

x y x y

x xy y  x y  xy x y    

( Áp dụng BĐT : (a b )2 4ab )

Nên suy ra :

2 2 3( )

x y
x xy y  

+ Tương tự :

2 2 3(y )

z
y yz z  

2 2 3(z )

x

z zx x  

Vậy A x2xy y 2  y2yz z 2  z2zx x 2

3( ) 3(y ) 3(z )

3( ) 3

2 2 2

x y z x

x y z

  

      

=>Min A = 3 . Khi x =y =z =

1
3

Bài 26

Cho x;y;z>0 thỏa mãn

1 1 1
3

x y z  . Tìm GTNN của :

2 2 2 2 2 2

2x y 2y z 2z x

A

xy yz xz

  

  

Bài giải

+ Áp dụng BĐT Bunhicosky
2

2 2 2 2 2

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

2 2

2 2 1 2 1 (2 x y) 1 2 1

2 .(2 x y) .

3 3 3

x y
x y

xy xy y x

   

        

 

Tương tự ta có :

2 2

2 1 2 1

y z

yz z y

  

   

 

2 2

2 1 2 1

z x

zx x z

  

   

 

Do đó :

2 2 2 2 2 2

2x y 2y z 2z x

A

xy yz xz

  

  

1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1

.3 .3. 3 3

3 y x z y x z 3 x y z 3

   

            

   

Vậy Min A = 3 Khi x = y= z = 3.

Bài 27

Cho a;b;c > 0 thỏa mãn abc =1. Tìm GTNN của :

3 3 3

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

a b c

A

b c a c b a

  

     

Bài giải

+Áp dụng BĐT cô si cho 3 số dương :

3 3

1 1 1 1 3

3 . .

(1 )(1 ) 8 8 (1 )(1 ) 8 8 4

a b c a b c

a

b c b c

   

   

   

Tương tự :

1 1 3

(1 )(1 ) 8 8 4

b a c

b

a c

 

  

 

3 1 1 3

(1 )(1 ) 8 8 4

c a b

c

a b

 

  

 

Ta có :

3 3 3 1 1 1 1 1 1 3

( )

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 8 8 8 8 8 8 4

a b c b c a c a b

a b c

b c a c b a

     

          

     

3 3 3 1 3

( 3) ( )

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 4

a b c

a b c a b c

b c  a c  b a       

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

3 3 3 3 1 1 3

( ) ( 3) ( )

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 4 2 4

a b c

A a b c a b c a b c

b c a c b a

             

     

1 3 1 3 3

.3 .3.1

2 abc 4 2 4 4

    

Vậy Min A =

4 , Khi a = =b = c= 1 .

C. BÀI TẬP :

1. Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1

Tìm GTNN của A = (1+ 1a ) (1+ 1b ) (1+ 1c )
2. Cho a,b, > 0 và a + b = 1

Tìm GTNN của B = ab2 + 3

a2

+b2

3. Cho a,b,c > 0

a) Tìm GTNN của C = b+ca + b

c +a+

c
a+b

b) Tìm GTNN của D = b+ca + b

c +a+
c
a+b+

b+c
a +

c+a
b +

a+b
c

4. Cho x,y,z  −3

4 và x + y + z = 1

Tìm GTLN E = √4 x +3+√4 y+3+√4 z +3

5. Cho a,b,c  0 và a + b + c = 1

</div>

Tài liệu tham khảo Toán học cấp 2

√

√



 









 















Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về