Nghiên cứu ứng dụng mô hình toán số sph trong tính toán dòng thấm

ðẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA
--------------------

NGUYỄN QUANG TRƯỜNG

NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG MƠ HÌNH TỐN SỐ SPH
TRONG TÍNH TỐN DỊNG THẤM

CHUN NGÀNH: XÂY DỰNG CƠNG TRÌNH THỦY

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 07 năm 2011


CƠNG TRÌNH ðƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA –ðHQG -HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS. TS HUỲNH THANH SƠN

TS BÙI HỒNG HÀ

Cán bộ chấm nhận xét 1 : PGS. TS NGUYỄN THỐNG

Cán bộ chấm nhận xét 2 : TS LƯU XUÂN LỘC

Luận văn thạc sĩ ñược bảo vệ tại Trường ðại học Bách Khoa, ðHQG Tp.
HCM ngày 21 tháng 09 năm 2011
Thành phần Hội ñồng ñánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1. Chủ tịch hội ñồng: PGS. TS LÊ SONG GIANG
2. Thư ký hội ñồng: TS CHÂU NGUYỄN XUÂN QUANG

3. Ủy viên: PGS. TS HUỲNH THANH SƠN
4. Ủy viên: PGS. TS NGUYỄN THỐNG
5. Ủy viên: TS LƯU XUÂN LỘC
Xác nhận của Chủ tịch Hội ñồng ñánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý
chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ðỒNG

TRƯỞNG KHOA
KỸ THUẬT XÂY DỰNG


ðẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ðộc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên: NGUYỄN QUANG TRƯỜNG

MSHV: 02008538

Ngày, tháng, năm sinh: 22/02/1985

Nơi sinh: ðồng Nai

Chun ngành: XÂY DỰNG CƠNG TRÌNH THỦY

Mã số : 60.58.40

I. TÊN ðỀ TÀI: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG MƠ HÌNH TỐN SỐ SPH
TRONG TÍNH TỐN DỊNG THẤM
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
- Chương 1: Tổng quan
- Chương 2: Cơ sở lý thuyết của phương pháp SPH
- Chương 3: Bộ chương trình mã nguồn mở SPH
- Chương 4: Ứng dụng mơ hình tốn số SPH cho các bài tốn đơn giản
- Kết luận và kiến nghị

III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ:
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ:
V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS. TS HUỲNH THANH SƠN
TS BÙI HỒNG HÀ
Nội dung và ñề cương Luận văn thạc sĩ ñã ñược Hội ðồng Chuyên Ngành thông qua

Tp. HCM, ngày 22 tháng 09 năm 2011
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

PGS. TS HUỲNH THANH SƠN

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ðÀO TẠO

PGS. TS HUỲNH THANH SƠN

TS BÙI HỒNG HÀ
TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG


LỜI CẢM ƠN

ðầu tiên tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc nhất ñến thầy Huỳnh Thanh Sơn và
anh Bùi Hồng Hà, những người ñã hướng dẫn, giúp ñỡ tơi rất tận tình trong bước
đầu nghiên cứu khoa học và ñã truyền ñạt những kiến thức quý báu ñể tơi hồn
thành luận văn này.
Tơi xin cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Kỹ thuật Tài nguyên nước; lời cảm
ơn chân thành đến các thầy cơ vì những kiến thức khoa học quý báu cũng như
những lẽ sống mà tơi đã học được trong suốt thời gian học tập và cơng tác tại
trường.
Xin gửi lời cám ơn đến các thầy cơ trong hội đồng chấm luận văn đã quan tâm
theo dõi và góp ý cho đề tài luận văn thạc sĩ của tơi.
ðặc biệt, xin cám ơn gia đình, nguồn động viên lớn nhất của tơi, đã hỗ trợ tơi
rất nhiều về vật chất và tinh thần để tơi hoàn thành luận văn này. Cảm ơn tất cả các
anh chị lớp cao học Xây dựng cơng trình thủy cùng bạn bè đã ủng hộ tơi trong suốt
thời gian học tập và thực hiện luận văn.

Tp.HCM, tháng 07 năm 2011
Nguyễn Quang Trường


Tóm tắt
Luận văn trình bày mơ hình tốn số Thủy ñộng lực hạt trơn (Smoothed
Particle Hydrodynamics, SPH) và ứng dụng của SPH vào một số bài tốn đơn giản.
Tác giả dựa trên cơ sở bộ mã nguồn mở SPH của bài tốn vỡ đập để mơ phỏng lại
diễn biến của dịng thấm trong thân đập đất. Trong q trình tính tốn, khối nước
trước đập được mơ phỏng như một chất lưu ít nén được có độ nhớt nhân tạo và đập
đất được tạo thành từ mơ hình hạt đất cứng khơng biến dạng. Dịng thấm trong
thân đập được mơ phỏng dựa trên kết quả tính tốn tương tác giữa hạt nước và hạt
đất. Kết quả mơ phỏng cho thấy tính khả thi và hiệu quả khi áp dụng mơ hình tốn
số SPH vào bài tốn dịng thấm. ðây là cơ sở ñể tác giả tiếp tục nghiên cứu sâu
hơn các ứng dụng của mơ hình SPH.

Abstract
A numerical simulation method, smoothed particle hydrodynamics (SPH), and
its application in several simple problems are presented in this thesis. The
progressive development of seepage flow through a earth dam is simulated that
based on the breaking_dam SPH code. In this calculation, the upper water volume
is modeled as a weakly compressible fluid with artificial viscosity and the dam is
simulated as an undeformed hard-soil model. The seepage flow through the dam is
emulated from modeling result of soil-water interaction. Numerical results obtained
in this thesis have shown the feasibility and the efficiency of SPH in seepage
problems. This is the fundamentality for the author to continue studying in SPH
application


MỤC LỤC
Chương 1

Tổng quan ................................................................................... 1

1.1 ðặt vấn ñề.................................................................................................... 1
1.2 Mục đích nghiên cứu.................................................................................... 4
1.3 Tình hình nghiên cứu ngồi nước................................................................. 4
1.4 Phương pháp nghiên cứu luận văn................................................................ 6
Chương 2

Cơ sở lý thuyết của phương pháp SPH (PP SPH)..................... 7

2.1 Khái niệm phương pháp SPH ....................................................................... 7
2.1.1 Biểu diễn tích phân hàm số bằng phép nội suy Kernel............................ 8
2.1.2 Biểu diễn ñạo hàm của hàm số bằng phép nội suy Kernel ...................... 9

2.1.3 Xấp xỉ hạt............................................................................................. 10
2.1.4 Miền ảnh hưởng ................................................................................... 13
2.1.5 Cấu trúc hàm trơn................................................................................. 14
2.2 Các dạng hàm trơn sử dụng cho PP SPH.................................................... 16
2.3 Mơ hình SPH cho bài tốn thủy động học .................................................. 20
2.3.1 Hệ phương trình Navier-Stokers theo quan điểm Lagrange .................. 20
2.3.2 Cơng thức SPH cho hệ phương trình Navier-Stokes ............................. 21
2.3.2.1 Phép xấp xỉ hạt cho khối lượng riêng.............................................. 21
2.3.2.2 Phép xấp xỉ hạt cho ñộng lượng...................................................... 22
2.3.2.3 Phép xấp xỉ hạt cho năng lượng...................................................... 23
2.3.3 Phương diện số SPH cho bài toán thủy ñộng học.................................. 24
2.3.3.1 ðộ nhớt nhân tạo ............................................................................ 24
2.3.3.2 Chiều dài làm trơn .......................................................................... 25
2.3.3.3 Sự đối xứng hóa của tương tác hạt.................................................. 25
2.3.3.4 Khả năng chịu nén nhân tạo............................................................ 26
2.3.3.5 Hiệu chỉnh biên .............................................................................. 27

-i-


2.3.3.6 Bước thời gian tính tốn ................................................................. 30
2.3.4 Sự tương tác giữa các hạt ..................................................................... 31
2.3.4.1 Phương pháp tìm kiếm các hạt gần nhất ......................................... 31
2.3.4.2 Sự tương tác từng đơi ..................................................................... 32
Chương 3

Bộ chương trình mã nguồn mở SPH........................................ 34

3.1 Bộ chương trình mã nguồn mở SPH........................................................... 34
3.2 Bộ mã nguồn 3D SPH trong tính tốn hệ PT Navier-Stokes ....................... 37

3.2.1 Các đặc điểm chính của bộ mã nguồn 3D SPH.................................... 37
3.2.2 Mô tả tổng thể bộ mã nguồn 3D SPH .................................................. 37
3.2.2.1 Cấu trúc của bộ mã nguồn ............................................................. 37
3.2.2.2 Mơ tả bộ mã nguồn chương trình................................................... 39
3.2.2.3 Các biến chính yếu trong bộ mã nguồn.......................................... 40
Chương 4

Ứng dụng mơ hình tốn số SPH cho các bài tốn ñơn giản..... 43

4.1 Bài toán 1: Ứng dụng PP SPH cho hiện tượng sụp ñổ của khối nước trong một
bể chứa (bài tốn 2D)........................................................................................ 43
4.1.1 ðiều kiện ban đầu cho mơ hình cột nước............................................. 43
4.1.2 Biên cứng............................................................................................ 45
4.1.3 Lựa chọn hàm trơn W.......................................................................... 47
4.1.4 Mơ hình SPH cho pha nước................................................................. 49
4.1.5 Bước thời gian tính tốn ...................................................................... 50
4.1.6 Kết quả tính tốn ................................................................................. 51
4.1.7 Kết quả mơ phỏng q trình sụp ñổ khối nước theo thời gian ............. 53
4.2 Bài toán 2: Tiếp tục phát triển bài toán 1 trong trường hợp ngay phía sau khối
nước là một đập chắn........................................................................................ 58
4.2.1 Mơ phỏng bài tốn .............................................................................. 58
4.2.2 Mơ hình SPH cho pha nước khi có sự tương tác với mơ hình đập........ 63
4.2.3 Kết quả mơ phỏng .............................................................................. 66

- ii -


4.3 Bài tốn 3: Xét bài tốn dịng thấm qua mơ hình đập đất trong trường hợp giữ
cho mực nước trước đập là khơng đổi ............................................................... 71
Kết luận và kiến nghị...................................................................................... 79

Tài liệu tham khảo .......................................................................................... 82
Phụ lục............................................................................................................. 83

- iii -


DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 2.1

Miền Ω ............................................................................................. 9

Hình 2.2

Phép xấp xỉ hạt sử dụng các hạt trong miền ảnh hưởng của hàm trơn

W ñối với hạt i. Miền ảnh hưởng là vịng trịn bán kính kh .............................. 10
Hình 2.3

Miền ảnh hưởng của nút 1,2,3 và 4 khi xấp xỉ các biến tại x............ 13

Hình 2.4

Hàm Gaussian kernel và đạo hàm bậc nhất...................................... 16

Hình 2.5

Hàm Cubic Spline kernel và đạo hàm bậc nhất................................ 17

Hình 2.6

Hàm Quadratic kernel và đạo hàm bậc nhất..................................... 18

Hình 2.7

Hàm Quintic kernel và đạo hàm bậc nhất ........................................ 19

Hình 2.8

Minh họa các hạt thực và 2 loại hạt ảo I, II ...................................... 28

Hình 2.9

PP tìm tất cả các cặp tương tác trong khơng gian 2 chiều................. 32

Hình 3.1

Cấu trúc điển hình của bộ mã nguồn SPH........................................ 36

Hình 3.2

Mối quan hệ giữa các tập tin nguồn trong bộ mã chương trình ........ 38

Hình 4.1

Thơng số ban đầu của cột nước và bể chứa...................................... 43

Hình 4.2

Mơ hình các loại hạt tại thời điểm ban đầu ...................................... 47

Hình 4.3

Sự phân bố các hạt nước theo thời gian ........................................... 53

Hình 4.3

Sự phân bố các hạt nước theo thời gian (Tiếp theo) ......................... 54

Hình 4.3

Sự phân bố các hạt nước theo thời gian (Tiếp theo) ......................... 55

Hình 4.3

Sự phân bố các hạt nước theo thời gian (Tiếp theo) ......................... 56

Hình 4.4

Thơng số ban ñầu của cột nước, ñập và bể chứa .............................. 58

Hình 4.5

Mơ hình các loại hạt tại thời điểm ban ñầu ...................................... 62

Hình 4.6

Sự phân bố các hạt nước theo thời gian ........................................... 66

Hình 4.6

Sự phân bố các hạt nước theo thời gian (Tiếp theo) ......................... 67

Hình 4.6

Sự phân bố các hạt nước theo thời gian (Tiếp theo) ......................... 68

Hình 4.6

Sự phân bố các hạt nước theo thời gian (Tiếp theo) ......................... 69

Hình 4.7

Sự phân bố các hạt nước theo thời gian-Trường hợp mực nước trước

đập khơng đổi ................................................................................................... 73

- iv -


Hình 4.7

Sự phân bố các hạt nước theo thời gian-Trường hợp mực nước trước

đập khơng đổi (Tiếp theo)................................................................................. 74
Hình 4.7

Sự phân bố các hạt nước theo thời gian-Trường hợp mực nước trước

đập khơng đổi (Tiếp theo)................................................................................. 75
Hình 4.8

Kết quả đường bão hịa trong thân đập theo giải tích ....................... 78

Hình 4.9

So sánh kết quả tính tốn theo SPH và giải tích ............................... 78

-v-


DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 3.1

Chức năng của các tập tin nguồn..................................................... 40

Bảng 3.2

Các biến chính yếu trong bộ mã nguồn ........................................... 42

Bảng 4.1 ðoạn chương trình tạo các hạt nước................................................ 45
Bảng 4.2 ðoạn chương trình tạo các hạt biên loại I ........................................ 46
Bảng 4.3 ðoạn chương trình kernel ............................................................... 48
Bảng 4.4 ðoạn chương trình xuất tập tin dữ liệu ............................................ 52
Bảng 4.5 ðoạn chương trình tạo các hạt đập .................................................. 59
Bảng 4.6 ðoạn chương trình tạo các hạt biên loại II....................................... 61
Bảng 4.7 ðoạn chương trình tính tốn ngoại lực ............................................ 65
Bảng 4.8 ðoạn chương trình tạo thêm các hạt nước ........................................ 72
Bảng 4.9 Kết quả đường bão hịa trong thân ñập ............................................. 77

- vi -

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN

1.1

ðặt vấn ñề
Tất cả các hiện tượng vật lý và cơ học xảy ra trong tự nhiên và kỹ thuật đều

có thể được nghiên cứu bằng 3 cách: lý thuyết, thí nghiệm và đo đạc thực tế.
Về mặt lý thuyết, một hiện tượng nào đó có thể được diễn tả bằng một mơ hình
tốn bao gồm một hay nhiều phương trình (PT) vi phân (trường hợp hàm một biến)
hay PT ñạo hàm riêng (trường hợp hàm nhiều biến) cùng với các ñiều kiện biên và
ñiều kiện ban ñầu (đối với bài tốn phụ thuộc thời gian) thích hợp.
Việc giải mơ hình tốn thường được tiến hành theo hai phương pháp (PP) là
PP giải tích và PP tốn số. PP giải tích cổ điển chỉ thích hợp cho một số trường hợp
đơn giản, khơng đủ đáp ứng cho những bài toán phức tạp mà thực tế tự nhiên và kỹ
thuật đặt ra. Vì vậy, cùng với sự phát triển nhanh chóng của máy tính điện tử, việc
dùng các PP số ngày càng trở nên phổ biến.
Một trong những ưu ñiểm của PP số là tính mềm dẻo (flexibility) và giá thành
thường rẻ hơn so với PP thí nghiệm và/hoặc PP ño ñạc thực tế. Thật vậy, sau khi
xây dựng xong một mơ hình tốn số, chúng ta có thể dễ dàng thay đổi các hình dạng
và kích thước của miền nghiên cứu, các dữ liệu ñầu vào, các ñiều kiện biên và ñiều
kiện ban ñầu, … ñể nhận ñược những lời giải số tương ứng. ðiều này không phải
lúc nào cũng thuận lợi khi dùng PP thí nghiệm hay ño ñạc thực tế. Hiện nay, trong
nhiều ngành khoa học kỹ thuật, nhiều khi các mô phỏng số trên máy tính đã thay thế
các thiết bị thí nghiệm và đo ñạc thường là ñắt tiền.

-1-


Nói riêng về tốn số, hiện có nhiều PP đang ñược sử dụng ñể giải các bài toán tự
nhiên và kỹ thuật như:
-

PP sai phân hữu hạn (Finite Difference Method, FDM)

-

PP thể tích hữu hạn (Finite Volume Method, FVM)

-

PP phần tử hữu hạn (Finite Element Method, FEM)

-

PP phần tử biên (Boundary Element Method, BEM)

-

PP phổ (Spectral Method, SM)

Mỗi PP ñược xây dựng trên cơ sở rời rạc hóa mơi trường liên tục khác nhau nên
có những ưu, nhược điểm riêng và thích hợp với từng loại bài tốn.
Cùng dựa trên cơ sở chia lưới, nhưng PP phần tử hữu hạn là PP tiêu biểu khi mơ
tả chuyển động của vật thể theo quan điểm Lagrange. Mơi trường liên tục của vật
thể được rời rạc hóa thành nhiều phần tử cố ñịnh (tạo nên lưới phần tử) liên kết với

nhau tại các nút. Lưới ñược gắn với vật thể trong cả q trình tính tốn và do đó nó
di chuyển cùng với vật thể. Khối lượng, ñộng lượng và năng lượng ñược chuyển tải
cùng với sự di chuyển của các ô lưới. Vì khối lượng trong mỗi ơ lưới khơng đổi nên
khơng có lưu lượng khối nào xun qua các biên của ô lưới. Khi vật thể biến dạng,
ô lưới cũng biến dạng tương ứng. Việc xử lý biên hay mặt tương giao di động là dễ
dàng khi chỉ có sự biến dạng nhỏ của vật thể, tuy nhiên khi vật thể chịu biến dạng
lớn thì việc xử lý trở nên rất khó khăn. Vì vậy, quan điểm Lagrange thích hợp với
các bài toán cơ học chất rắn hơn là cơ học chất lưu.
Trong khi đó, PP sai phân hữu hạn là PP tiêu biểu khi mơ tả chuyển động của vật
thể theo quan ñiểm Euler. Lưới phần tử ñược cố ñịnh trong không gian và không di
chuyển hay biến dạng theo thời gian, còn vật thể di chuyển ngang qua các ơ lưới cố
định đó. Các lưu lượng khối, động lượng và năng lượng ngang qua các biên ơ lưới
được mơ phỏng để tính tốn khối lượng, vận tốc, năng lượng, … trong miền tính
tốn. Cách xử lý biên hay mặt tương giao di ñộng và các biến dạng lớn thì ngược lại
với cách xử lý theo quan điểm Lagrange ở trên. Quan điểm Euler vì vậy thích hợp
với bài toán cơ học chất lưu hơn là cơ học chất rắn.

-2-


Các PP số dựa trên cách chia lưới như trên gặp phải một số khó khăn, làm hạn
chế khả năng ứng dụng chúng trong những bài toán thực tế. Một trong những khó
khăn đó là cách phát sinh lưới, thường là một cơng việc tiêu tốn nhiều thời gian tính
và phức tạp về mặt tốn học. Do đó sự chú ý trong thời gian gần ñây ñược tập trung
vào việc phát triển một thế hệ PP số mới là các PP lưới tự do (meshfree methods)
với kỳ vọng tốt hơn các PP sai phân hữu hạn và phần tử hữu hạn truyền thống trong
các ứng dụng thực tế.
Ý tưởng chủ ñạo của các PP lưới tự do là cung cấp những lời giải chính xác và ổn
định cho các PT tích phân hay đạo hàm riêng với mọi loại điều kiện biên có thể có
bằng một tập hợp nút (hay hạt) phân bố bất kỳ mà không dùng bất cứ lưới nào để

kết nối các nút (hay hạt) đó. Chúng tạo thuận lợi cho việc mơ phỏng các bài tốn
địi hỏi phải xử lý các biến dạng lớn, dạng hình học phức tạp, vật liệu có tính phi
tuyến, mất liên tục và suy biến. Các PP này ñược áp dụng cho cả chất rắn lẫn chất
lưu. Chúng có chung một số tính chất nhưng khác nhau ở cách xấp xỉ hàm và cách
thực thi.
Các PP lưới tự do ñã ñược ứng dụng cho nhiều bài tốn như phân tích biến dạng
lớn trong chất rắn, phân tích dao động đặc biệt là của tấm và vỏ, cố kết nền phi
tuyến, dòng chảy khơng nén được, các bài tốn trị biên kỳ dị, … Chúng cũng được
ứng dụng vào các PT tích phân biên ñể phát triển các PP lưới tự do biên, trong đó
chỉ có biên của miền tính tốn cần ñược biểu thị bằng các nút.
Bên cạnh PP lưới tự do, cịn có PP lưới hạt tự do (meshfree particle methods). PP
này dựa trên nền tảng sử dụng một hệ hữu hạn các hạt riêng biệt, rời rạc để mơ tả
trạng thái của hệ thống và ghi nhận sự dịch chuyển của hệ thống. Mỗi hạt có thể
được liên kết trực tiếp với một ñối tượng vật lý riêng biệt hoặc có thể được sử dụng
để mơ tả một phần của miền liên tục. Các hạt này có thể được sắp xếp theo tỉ lệ rất
nhỏ (nano hoặc micro), tỉ lệ trung gian hoặc tỉ lệ lớn. ðối với các bài tốn thủy động
lực học, mỗi hạt được tính tốn các giá trị khác nhau về khối lượng, ñộng lượng,

-3-


năng lượng, vị trí, …và việc khai triển hệ thống vật lý này được dựa trên các định
luật bảo tồn.
Trong số những PP lưới hạt tự do, có thể kể ñến PP thủy ñộng lực hạt trơn
(Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH) ñã ñược thiết lập từ những năm 70 của
thế kỷ trước để mơ phỏng các hiện tượng thiên văn, về sau được phát triển rộng rãi
để giải các bài tốn cơ học chất lưu và chất rắn.
Ở Việt Nam, PP này cịn rất ít được biết đến.
1.2

Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu ứng dụng PP Thủy ñộng lực hạt trơn (Smoothed Particle

Hydrodynamics, SPH) vào việc giải bài tốn dịng thấm qua đập đất.
1.3

Tình hình nghiên cứu ngồi nước

Luận văn sẽ tổng hợp trước hết những nghiên cứu ñã ñược thực hiện ở nước
ngồi liên quan đến PP SPH, sau đó sẽ tập trung phân tích chi tiết một số những
nghiên cứu liên quan đến tính tốn dịng thấm, cụ thể là:
*

Mơ phỏng sự tương tác giữa nước và ñất bằng phương pháp SPH
Tác giả:

Ha H. Bui, K. Sako, R. Fukagawa

Tạp chí: Terramechanics 44 (2007)
Nội dung:
Trong bài nghiên cứu này nước ñược xem như chất lưu nhớt khơng nén được
và đất được xem như một loại vật liệu có tính đàn hồi và ñàn dẻo cao. Các chỉ tiêu
phá hoại theo Morh-Coulomb ñược sử dụng ñể mô tả các trạng thái ứng suất của đất
trong trạng thái chảy dẻo. ðất khơ được mơ phỏng là dịng một pha trong khi đất
bảo hịa ñược mô phỏng bởi 2 pha tách biệt pha nước và pha ñất. Sự tương tác giữa
ñất và nước diễn ra chủ yếu do áp lực nước lỗ rỗng và lực thấm. Các mơ phỏng thử
nghiệm về việc xói mịn ñất gây bởi mũi phun nước ñược tiến hành ñể kiểm tra lại

-4-

khả năng của phương pháp SPH. Sự xói mịn đất ñược thực hiện cho 2 loại ñất: ñất
khô và ñất bão hịa hồn tồn. Kết quả mơ phỏng số cho thấy tồn bộ q trình sự
phá hoại đất có thể dược mơ phỏng mà khơng gặp khó khăn gì.

* Phân tích ổn định mái dốc và mơ phỏng sự mất ổn ñịnh mái dốc bằng
phương pháp SPH
Tác giả:

Ha H. Bui, K. Sako, R. Fukagawa

Hội nghị: The 17th International Conference on Soil Mechanics and
Geotechnical Engineering (October, 2009).
Nội dung:
Áp dụng phương pháp SPH ñể ñánh giá sự ổn ñịnh của mái dốc và mơ phỏng
sự đứt đoạn của tồn bộ cơng trình sau phá hoại. Mơ hình Drucker-Prager với quy
luật chảy dẻo khơng liên kết được sử dụng để mơ tả ứng xử ñàn dẻo của ñất. Phương
pháp giảm cường ñộ cắt cũng được sử dụng để ước tính hệ số an tồn của mái dốc và
xác định mặt trượt nguy hiểm. Hệ phương trình SPH chính yếu được phát triển để
tính tốn giá trị áp lực nước lỗ rỗng, từ đó ñánh giá sự ổn ñịnh của mái dốc và mô tả
tồn bộ qui trình sụp đổ sau phá hoại. Bài báo cũng ñề xuất việc ứng dụng phương
pháp SPH ñể mơ phỏng tính tốn ổn định mái dốc, đặc biệt với những biến dạng lớn
và sự phá hoại mái dốc gây ra bởi mưa lớn và tải ñộng ñất.

* Phương pháp SPH ñối với sự biến dạng và phá hoại của vật liệu địa kỹ
thuật với mơ hình đất đàn hồi và ñàn dẻo
Tác giả:

Ha H. Bui, Ryoichi Fukagawa, Kazunari Sako and Shintaro

Ohno.
Tạp chí: International Journal for Numerical and Analytical Methods in
Geomechanics (2008)
Nội dung:

-5-


Trong bài nghiên cứu này mơ hình Drucker-Prager với quy luật đàn dẻo liên
kết và khơng liên kết được kết hợp với phương pháp SPH để mơ tả ứng xử của đất
đàn hồi dẻo. Kết quả tính tốn cho thấy với phương pháp SPH truyền thống không
thể giải quyết bài tốn đất đàn hồi dẻo bởi tính chịu kéo khơng ổn dịnh của phương
pháp SPH. ðối với đất khơng dính, sự khơng ổn định có thể giải quyết một cách
triệt ñể bằng cách sử dụng biện pháp xử lý sự nứt do kéo từ mơ hình cấu trúc đất và
do ñó ñưa ra ứng xử thực của ñất. Tuy nhiên ñối với các loại ñất dính muốn giải
quyết vấn ñề trên bằng phương pháp SPH phải có giải pháp đặc biệt.
Bài nghiên cứu này áp dụng một loại ứng suất nhân tạo để tính tốn cho các bài tốn
đất dính. Nhiều thử nghiệm ñã ñược thực hiện ñể kiểm tra khả năng của phương
pháp SPH. Kết quả tốn số được so sánh với các phương pháp thực nghiệm và
phương pháp phân tử hữu hạn. Kết quả so sánh cho thấy rằng có thể áp dụng
phương pháp SPH vào các bài tốn địa kỹ thuật.

1.4

Phương pháp nghiên cứu luận văn
-

Phân tích các bài báo nghiên cứu của các tác giả ngoài nước và

tổng hợp tài liệu lý thuyết có liên quan ñến PP SPH

- Tìm hiểu, sử dụng và cải tiến bộ mã nguồn mở SPH cho phù hợp với bài toán
sẽ giải.

-6-


CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP SPH

2.1

Khái niệm phương pháp SPH (PP SPH)
PP SPH sử dụng mơ hình lưới tự do, ổn ñịnh dựa theo quan ñiểm Lagrange để

tính tốn tích phân hệ phương trình thủy động học của các hạt. SPH có một số tính
chất riêng biệt, ñặc biệt SPH thuận lợi hơn phương pháp chia lưới thơng thường ở
tính chất thích ứng. Cách thiết lập cơng thức của SPH không bị ảnh hưởng bởi sự
phân bố tùy ý của các hạt. Do đó SPH có thể giải quyết các bài toán biến dạng lớn
một cách tự nhiên.
Tính chất lưới tự do của phương pháp SPH cũng thích hợp với việc lập các
cơng thức thích ứng được ñề cập ở trên và việc sử dụng các hạt để mơ tả các bài
tốn cũng như biểu diễn hệ PT tính tốn cho các biến xấp xỉ. Việc xấp xỉ theo SPH
khơng u cầu lưới được xác định trước ñể cung cấp sự kết nối giữa các hạt trong
suốt q trình tính tốn, nó có thể hoạt động hiệu quả mà khơng cần q trình làm
mịn các hạt.
Bên cạnh tính chất lưới tự do và tính chất thích ứng, SPH cịn có tính chất kết
hợp hài hịa giữa PP Lagrange và PP hạt xấp xỉ. Khơng như các điểm nút lưới tự do
trong các PP lưới tự do khác (chỉ sự dụng phép nội suy tại các ñiểm), các hạt trong
PP SPH cịn được gán các tính chất vật liệu và ñược phép dịch chuyển trong phạm

vi tương tác bên trong.
Nền tảng của SPH là giả thiết nội suy. Các định luật bảo tồn của các dịng
động học liên tục (được biểu diễn bằng các hệ phương trình riêng phần) sẽ ñược biến

-7-


ñổi sang hình thức dạng hạt bởi các hệ phương trình tích phân thơng qua việc sử
dụng phép nội suy Kernel (phép nội suy hạt).
2.1.1

Biểu diễn tích phân hàm số bằng phép nội suy Kernel
ðối với một hàm số bất kỳ f ( x ) , tích phân hàm số bằng phép nội suy Kernel

của hàm số này (ký hiệu là f ( x ) ) ñược biểu diễn như sau:

f ( x) =

∫f

( x ') W ( x - x ', h) dx '

(2.1)

Ω

Trong đó:
: miền tích phân của vector vị trí x và x'

Ω

: chiều dài làm trơn (smoothing length), dùng ñể ñịnh

h

nghĩa miền ảnh hưởng

W ( x - x ', h)

: hàm trơn (kernel)

Hiệu quả của mô hình SPH phụ thuộc vào sự lựa chọn các hàm trơn W. Chúng
phải thỏa mãn nhiều điều kiện như tính dương, tính đầy và tính chuẩn. ðồng thời
hàm trơn Wij phải là hàm ñơn ñiệu giảm khi tăng khoảng cách từ hạt i và hoạt ñộng
như một hàm delta khi h tiến ñến giá trị zero. Cụ thể như sau:

W ( x - x ', h) ≥ 0

trong phạm vi miền Ω

(2.2)

W ( x - x ', h) = 0

ngoài phạm vi miền Ω

(2.3)

∫

W ( x - x ', h) dx ' = 1

(2.4)

Ω

lim W ( x - x ', h) dx ' = δ ( x - x ')

(2.5)

W ( x - x ', h) : hàm chẵn ñơn ñiệu giảm

(2.6)

h →0

-8-


ðiểm bị
ảnh hưởng
x'

ðiểm
ðiểmx
x' r’
Phạm vi miền Ω

Hình 2.1: Miền Ω
2.1.2

Biểu diễn ñạo hàm của hàm số bằng phép nội suy Kernel

Phép xấp xỉ kernel cho đạo hàm khơng gian của ñại lượng vector ∇ ⋅ f ( x ) có
thể ñạt ñược một cách ñơn giản bằng việc thay hàm f ( x ) bằng ∇ ⋅ f ( x ) vào công
thức (2.1).

∇ ⋅ f ( x ) = ∫ [∇ ⋅ f ( x ') ]W ( x - x ', h) dx '
Ω

= ∫ ∇ ⋅ [ f ( x ')W ( x - x ', h)] dx ' Ω

∫ f ( x ') ⋅ ∇ W ( x

- x ', h) dx ' (2.7)

Ω

Sử dụng ñịnh luật phân kỳ, tích phân thứ nhất bên vế phải của cơng thức (2.7) có
thể được chuyển đổi thành cơng thức tích phân mặt S của miền trong tích phân Ω .

r
∇ ⋅ f ( x ) = ∫ f ( x ')W ( x - x ', h) ⋅ ndS
S

-

∫ f ( x ') ⋅ ∇ W ( x

- x ', h)dx '

Ω

r

với n là vector ñơn vị của mặt S

-9-

(2.8)


Vì hàm trơn W thỏa mãn điều kiện (2.3) nên tích phân mặt bên vế phải của cơng
thức (2.7) sẽ bằng 0.
Do đó, phép xấp xỉ kernel cho đạo hàm không gian của ∇ ⋅ f ( x) trở thành:

∇ ⋅ f ( x) = -

∫ f ( x ') ⋅ ∇ W ( x

- x ', h)dx '

(2.9)

Ω

2.1.3

Xấp xỉ hạt
Trong phương pháp SPH, tồn bộ hệ thống được biểu diễn bởi số lượng hạt

hữu hạn trong đó mỗi hạt có khối lượng và tọa độ riêng biệt. ðiều này thực hiện
ñược là nhờ phương pháp xấp xỉ hạt.
Sự biểu diễn tích phân liên tục bằng phép nội suy Kernel (được mơ tả trong cơng
thức (2.1) và (2.9)) có thể chuyển sang các hình thức rời rạc của tổng tất cả các hạt
nằm trong miền miền ảnh hưởng và ñược minh họa trong hình sau.
Trong mơ hình tốn số SPH, q trình rời rạc hóa tương ứng tất cả các hạt được
xem là phương pháp xấp xỉ hạt .

Hàm trơn

Hình 2.2: Phép xấp xỉ hạt sử dụng các hạt trong miền ảnh hưởng của hàm trơn W
ñối với hạt i. Miền ảnh hưởng là vịng trịn bán kính kh

- 10 -


Nếu thể tích vơ cùng bé dx ' tại vị trí hạt j được thay thế bằng thể tích hữu hạn ∆V j
thì khối lượng hạt m j được xác ñịnh như sau:

m j = ∆V j ρ j

(2.10)

Với ρ j là khối lượng riêng của hạt thứ j (=1, 2,…, N), trong đó N là các hạt
nằm trong miền ảnh hưởng của hạt i.
Khi đó biểu diễn tích phân của hàm f ( x ) theo (1) có thể ñược viết dưới dạng rời
rạc xấp xỉ hạt.

f ( x) =

∫f

( x ') W ( x - x ', h) dx '

Ω

N

≅ ∑ f ( x j )W ( x - x j , h) ∆V j
j =1

N

mj

j =1

ρj

=∑

f ( x j )W ( x - x j , h)

(2.11)

Theo công thức (2.11), phép xấp xỉ hạt cho một hàm số tại hạt i sẽ ñược viết như
sau:

f ( x) =

N

j =1

Với:

mj

∑ρ

f ( x j )Wij

(2.12)

j

Wij = W ( xi - x j , h)

(2.13)

Công thức (2.12) chỉ ra rằng giá trị của một hàm số tại hạt i ñược xấp xỉ bằng trung
bình khối lượng giá trị hàm số của tất cả các hạt nằm trong miền ảnh hưởng của hạt

i.

- 11 -


Tương tự, phép xấp xỉ hạt cho đạo hàm khơng gian của hàm số tại hạt i ñược biểu

diễn như sau:
N

mj

j =1

ρj

∇ ⋅ f ( x) = ∑

∇iWij =

f ( x j )∇iWij

xi - x j ∂Wij

rij

∂rij

=

xij ∂Wij

rij ∂rij

(2.14)

(2.15)

Với rij là khoảng cách giữa 2 hạt i và j
So với công thức (2.9) ở trên, trong công thức (2.14) dấu trừ “-” đã được xóa bỏ với
lý do đại lượng ∇iWij được lấy tương ứng với hạt i chứ khơng phải hạt j.
Chúng ta thấy ñược rằng phép xấp xỉ hạt trong công thức (2.12) và (2.14) thực
chất là phép biến đổi tích phân liên tục và đạo hàm của một hàm số sang các dạng
tổng rời rạc dựa trên sự thiết lập các hạt một cách tùy ý. Việc sử dụng tổng các hạt
rời rạc ñể xấp xỉ phép tích phân làm cho phương pháp SPH trở nên đơn giản mà
không cần phải sử dụng hệ lưới dùng cho tích phân số.
Phép xấp xỉ hạt đưa đại lượng khối lượng và khối lượng riêng vào các hệ
phương trình. ðiều này có thể áp dụng một cách thuận lợi cho các vấn ñề thủy ñộng
học với khối lượng riêng là biến quan trọng.
Nếu thay thế hàm f ( x ) trong công thức (2.12) bằng hàm khối lượng riêng ρ thì
cơng thức xấp xỉ theo SPH cho hàm khối lượng riêng sẽ được biểu diễn như sau:

ρi =

N

∑m W
j =1

j

(2.16)

ij

Cơng thức (2.16) là một trong những công thức phổ biến nhất biểu diễn hàm khối
lượng riêng trong phương pháp SPH. ðồng thời công thức này chỉ ra rằng khối

lượng riêng của một hạt chính là khối lượng trung bình của tất cả các hạt nằm trong
miền ảnh hưởng của hạt ñó.

- 12 -


2.1.4

Miền ảnh hưởng
Miền ảnh hưởng của một nút i ñược ñịnh nghĩa là miền mà trong ñó nút i sẽ

gây ra các ảnh hưởng, nghĩa là tất cả các nút (ngoại trừ i) nếu nằm trong phạm vi
miền này sẽ phải chịu các ảnh hưởng của nút i. Miền ảnh hưởng của nút i có thể là
tồn bộ miền tính tốn hoặc chỉ là một miền con của miền tính tốn. Kích thước và
hình dạng của miền ảnh hưởng là xác định; tương ứng với các nút khác nhau thì
kích thước và hình dạng của miền ảnh hưởng cũng sẽ khác nhau.

Hình 2.3: Miền ảnh hưởng của nút 1,2,3 và 4 khi xấp xỉ các biến tại x
ðiểm x nằm trong miền ảnh hưởng của các nút 1,3 và 4. Tuy nhiên điểm x lại khơng
nằm trong miền ảnh hưởng của nút 2, mặc dù khoảng cách giữa x và nút 2 ngắn hơn
khoảng cách giữa x và nút 1.
Trong PP SPH, khái niệm miền ảnh hưởng của một hạt (nút) có liên quan đến
đại lượng chiều dài làm trơn h của hạt. Giá trị của ñại lượng h này sẽ ñược tăng lên
bởi hệ số xác ñịnh k khi áp dụng các hàm trơn. Do đó miền ảnh hưởng của một hạt
có liên quan một cách trực tiếp tới miền kh của hạt đó. ðại lượng h sẽ được trình
bày rõ hơn trong phần sau (mục 2.3.3.2)

- 13 -

2.1.5

Cấu trúc hàm trơn
Trong PP SPH các hàm trơn ñược sử dụng để thể hiện các biểu diễn tích phân.

Các hàm trơn có vai trị quan trọng trong việc xác ñịnh các dạng của phép xấp xỉ
hàm số, xác ñịnh kích thước miền ảnh hưởng của các hạt cũng như ñảm bảo tính
nhất quán và chính xác của phép xấp xỉ hạt. Tất cả các tính chất chính yếu của các
hàm trơn W ( x - x ', h) sẽ ñược tóm lược như sau:
1. W ( x - x ', h) đảm bảo tính chuẩn trong miền ảnh hưởng của nó. Tính chất
này đảm bảo kết quả tích phân của hàm trơn trong miền ảnh hưởng là duy nhất.

∫

W ( x - x ', h) dx ' = 1

Ω

2. W ( x - x ', h) đảm bảo tính ñầy

W ( x - x ', h) = 0 khi x - x ' > kh
Tính chất thứ hai biến đổi phép xấp xỉ SPH từ tính tốn tồn cục sang tính tốn cục
bộ. Khi đó q trình tính tốn chỉ thực hiện trên các ma trận hệ thống rời rạc có kích
thước nhỏ.
3. W ( x - x ', h) ≥ 0 ñối với bất kỳ ñiểm nào tại x ' nằm trong miền ảnh
hưởng của hạt tại ñiểm x , nghĩa là giá trị hàm trơn luôn luôn dương trong miền ảnh
hưởng.
4. Giá trị hàm trơn ñối với một hạt bất kỳ là ñơn ñiệu giảm khi tăng khoảng
cách từ hạt đó đến các hạt khác trong phạm vi miền ảnh hưởng. Tính chất này dựa
trên tính chất vật lý, khi các hạt gần nhau hơn sẽ gây ra các ảnh hưởng lớn hơn đến

các hạt có liên quan. Nói cách khác, khi khoảng cách giữa 2 hạt tham gia tương tác
giảm đi thì giá trị lực tương tác sẽ tăng lên.
5. Hàm trơn phải thỏa mãn ñiều kiện hàm Dirac delta khi chiều dài làm trơn h
tiến tới giá trị 0.
lim W ( x - x ', h) dx ' = δ ( x - x ')
h →0

- 14 -