Tải Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp Huyện, phòng GD-ĐT Đức Thọ năm 2013 - 2014 - Đề thi môn Toán - Có đáp án

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỨC THỌ

<b>ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014</b>
<b>MƠN TỐN 9</b>

Thời gian làm bài: 150 phút
<b>Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:</b>

a) A 4 10 2 5  4 10 2 5  5

b)

















2 ₂ 2 ₂

2 2 _{x y} _x _{x y} _y

x y
B

xy x x y y x y

 

  

  _{với xy > 0; x  y}
<b>Bài 2: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn </b>y22xy 7x 12  0

<b>Bài 3: Giải các phương trình </b>

a)

5 x 5 x

x x 6

x 1 x 1

 

   

 

 _   _ 

    _b)









10 14

x 2013  x 2014 1

<b>Bài 4: Cho ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H  BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD =</b>
HA. Đường vng góc với BC tại D cắt AC tại E.

a) Chứng minh rằng BEC  ADC. Tính BE theo m = AB

b) Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh rằng BHM  BEC. Tính AHM
c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh rằng

GB HD

BCAH HC

<b>Bài 5: a) Cho </b>









3 3 2 2

x y 3 x y 4 x y  4 0

và xy > 0
Tìm GTLN của

1 1
M

x y
 

b) Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

5 5 5 3 3 3

2 2 2 2 2 2

a b c a b c

a ab b b bc c c ca a 3

 

  

     

<b>Bài giải của Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn</b>

<b>Bài 1: a) Đặt </b>            







 

2

x 4 10 2 5 4 10 2 5 x 8 2 6 2 5 8 2 5 1 6 2 5

x 5 1

   _{. Do đó A = 1}

b)

















 

  

 

x y x x y y

B 1

x x y y x y

Xét các trường hợp x < y < 0; y < x < 0; x > y > 0 và y > x > 0 ta đều đượcB1

<i><b>Bài 2: Cách 1: </b></i>     













 





2
2

y 2xy 7x 12 0 x y x 3 x 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Dó đó

x 3 0 x 3

x 4 0 x 4

  

 



 _{ }  _

  _{Từ đó ta tìm được (x; y)  {(-3; 3); (-4; 4)}}

<i>Cách 2: </i>y2 2xy 7x 12   0 4y28xy 28x  48 0 4y2 49 4x 2y 7







1



2y 7 2y 7 4x

 



1

    

ta có

2y 7 1 x 4

2y 7 4x 1 y 4

  
 

 
   
 

2y 7 1 x 3

2y 7 4x 1 y 3

  

 

 
   
 

<i><b>Bài 3: a) Cách 1: ĐKXĐ: x  -1. Đặt </b></i>

 

 

 
5 x
x a

x 1 _và


 


5 x

x b

x 1 _.
Ta có
      
   

  _ __  _ 
  
   
2 2

5 x 5 x 5x x x x 5 x

a b x x 5

x 1 x 1 x 1

Do đó

a 2
b 3
ab 6

a b 5 a 3

b 2
 




 _

 _
   


 

 

 _{. Với}

2

2
2

5 x

x 2

a 2 _{x 1} x 3x 2 0

x 3x 2 0

b 3 _{5 x} _x _{3x 2 0}

x 3
x 1
   

 
 _
   
 _     _  _ _ _{ }
  

     
 _{ } _ 

 



x 1 x 2

 



0 x 1
x 2


   _{  }


Với





2
2
2
2
5 x
x 3

a 3 _{x 1} x 2x 3 0

x 2x 3 0 x 1 2 0

b 2 5 x x 2x 3 0

x 2
x 1
   


 
 _
   
 _     _  _ _ _{  } _ _{ }
  
     
 _{ } _ 


  _{, vơ nghiệm}

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1; 2}

<i>Cách 2: </i>



 







 
   
            
   
 
   
2

2 2 4 3 2

5 x 5 x

x x 6 5x x x 5 6 x 1 x 5x 11x 13x 6 0

x 1 x 1



 



 x4 5x311x213x 6  0 x2 3x 2 x 2 2x 3 0
Từ đó ta tìm được tập nghiệm S = {1; 2}

b)















     

10 14 5 7

x 2013 x 2014 1 x 2013 x 2014 1

Ta có x = 2013, x = 2014 là 2 nghiệm của phương trình. Ta chứng minh 2 nghiệm này là duy nhất
Xét x < 2013               

7 5 7

x 2014 1 x 2014 1 x 2014 1 x 2013 x 2014 1

Xét 2013 < x < 2014

5
7

0 x 2013 1 x 2013 x 2013

0 x 2013 1

1 x 2014 0 0 x 2014 1 _{x 2014} _{x 2014}


      
  
  
 _  _  _
      
  _   
5 7

x 2013 x 2014 x 2013 x 2014 x 2013 2014 x 1

            

Xét x > 2014               

5 5 7

x 2014 1 x 2013 1 x 2013 1 x 2013 x 2014 1

Vậy phương trình có nghiệm x = 2013, x = 2014

<b>Bài 4: a) Xét EDC và BAC có </b>

 



0

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

 EDC  BAC (g – g)

EC BC

DC AC

 

Xét BEC và ADC có



EC BC

DC AC

C chung







 _{ BEC  ADC (c – g - c)}
 BEC ADC _{. Mặt khác AH = HD (gt) nên}

 0  0  0  0

ADH 45 ADC 135 BEC 135 AEB 45

        _{ AEB vng cân tại A.}
Do đó BE m 2

b) Xét AHB và CAB có

 



0

AHB CAB 90 (gt)
B chung

 _ _





 _{ AHB  CAB (g – g)}

2 2 2

AB BH BE BH BM BH

AB BH.BC 2AB 2BH.BC BE 2BH.BC

BC AB 2BC BE BC BE

           

(Vì BE = 2BM). Xét BHM và BEC có 

BM BH

BC BE

MBH chung







 _{ BHM  BEC (c – g - c)}

  0  0

BHM BEC 135 AHM 45

    

c) Xét AHC và BAC có

 



0

AHC BAC 90 (gt)
C chung

 _ _





 _{ AHC  BAC (g – g)}

AH AB

HC AC

 

(1)
Mặt khác AEB vuông cân tại A có AM là trung tuyến thì AM cũng là phân giác hay AG là đường
phân giác của ABC. Suy ra

GB AB

GC AC_{(2). Từ (1) và (2) ta có:}





GB AH

GB.HC AH.GC GB.HC AH. BC GB GB.HC AH.BC AH.GB

GC HC       

AH.GB GB.HC HD.BC

   _{(Vì HD = AH)} GB. AH HC







HD.BC

GB HD

BC AH HC

 



<b>Bài 5: a) </b>









3 3 2 2

x y 3 x y 4 x y  4 0



_{x y x}





2 _{xy y}2



_{2 x}



2 _{xy y}2

 

_x2 _{2xy y}2



_{4 x y}





_{4 0}

             



x2 xy y2





x y 2

 

x y 2



2 0 1



x y 2 2x





2 2xy 2y2 2x 2y 4



0
2

                 



 



2





2





2

1

x y 2 x y x 1 y 1 2 0 x y 2 0 x y 2

2  

                

 

Mà xy > 0 do đó x, y < 0

Áp dụng BĐT CauChy ta có



 





x

 

y



x y 1

2
  

   

nên xy ≤ 1, do đó
2

2
xy




Vậy

1 1 x y

M 2

x y xy



   

, GTLN của M là -2. Đạt được khi x = y = -1

<i>b) Cách 1: Ta có: </i>













3

3 2 2 3 3

2 2

a 2a b

3a 2a b a ab b a b ab a b

a ab b 3



         

 

A

B

C
H

D
E
M

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>





2

2 2

a ab b ab a b 0

      

luôn đúng.
Do đó

3 5 3 2

2 2 2 2

a 2a b a 2a a b

a ab b 3 a ab b 3

 

  

    _{. Chứng minh tương tự ta được}

5 5 5 3 3 3 3 3 3 2 2 2

2 2 2 2 2 2

a b c a b c a b c a b b c c a

a ab b b bc c c ca a 3 3

      

   

     

Mặt khác: Vai trò a, b, c như nhau nên giả sử a b c 0  













3 3 3 2 2 2 2 2 2

a b c  a b b c c a a a b    b b c c c a











 

 

2

 

 

 



2 2 2

a a b b b a a c c c a a b a b a c b c b c 0

               

Từ đó suy ra

5 5 5 3 3 3

2 2 2 2 2 2

a b c a b c

a ab b b bc c c ca a 3

 

  

      _{. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c}

<i>Cách 2: Áp dụng BĐT Bunhia mở rộng ta có</i>

5 5 5 6 6 6

2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2

a b c a b c

a ab b b bc c c ca a a a b ab b b c bc c c a ca



3 3 3



2

3 3 3 2 2 2 2 2 2

a b c

a b c a b ab b c bc c a ca

 



       

Mặt khác









2 2 2 3 3

a b  0 a  ab b ab a b ab a b

tương tự





3 3

b c bc b c





3 3

c a ca c a

. Suy ra

















3 3 3

2 a b c ab a b bc b c ca c a 



3 3 3



3 3 3













3 a b c a b c ab a b bc b c ca c a



3 3 3



2 ₃ ₃ ₃

3 3 3 2 2 2 2 2 2

a b c _a _b _c

a b c a b ab b c bc c a ca 3

  _ _

 

       

</div>

<!--links-->