Tải Chuyên đề tứ giác nội tiếp lớp 9 - Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (325.35 KB, 15 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

B
D

O A

C
M

CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP

LỚP 9

I. KiÕn thøc cÇn nhí

:

Để giải được các bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp học sinh cần nắm chắc các kiến
thức cơ bản sau:

1. Định nghĩa tứ giác nội tiếp: HS nắm chắc định nghĩa số 6, phần ơn tập chương III, SGK
Tốn 9, tập 2-Trang 101.

2. Tính chất tứ giác nội tiếp: HS nắm chắc định lý 14, phần ơn tập chương III, SGK Tốn 9,
tập 2-Trang 103.

3. Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: HS nắm chắc định lý 15 - SGK Tốn 9, tập
2-Trang 103 (phần ơn tập chương).

4. Các định lý khác thường được áp dụng:

4-1: Hình thang nội tiếp được trong một đường trịn là hình thang cân và ngược lại.
4-2: Hình bình hành nội tiếp trong một đường trịn là hình chữ nhật và ngược lại.
4-3: Tiếp tuyến của một đường trịn thì vng góc với bán kớnh ti tip im.

4-4: Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông góc với

dây cung ấy.

4-5: Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy
4-6: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng 1v.

II. Bài tập áp dụng

:

Dạng 1:Chứng minh tø gi¸c néi tiÕp:

Để chứng minh tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn ta phải áp dụng linh hoạt các dấu
hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, dưới đây là các phương pháp chứng minh cơ bản.

 Phương pháp 1:

Sử dụng tính chất: Nếu tổng số đo hai góc đối diện của một tứ giác nội tiếp bằng 1800thì

tứ giác đó nội tiếp được trong một đường trịn.

VÝ dơ 1:

Cho đường trịn đường kính AB và D là một điểm thuộc đường tròn. Trên tia đối của tia BA
lấy một điểm C. Đường thẳng vng góc với BC tại C cắt đường thẳng AD tại M.

Chứng minh rằng tứ giác MCBD nội tiếp.
Hướng dẫn:

H·y chØ ra  MCB MDB 1800

(Chú ý: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng
1v).

Ví dụ 2:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng vuông góc với
AO tại trung điểm I của AO cắt AC tại M và cắt tiếp tuyến tại C của đường trßn ë E.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

O B

0 A 0'

E
C

Hướng dẫn:

a. ChØ ra EIO OCE  1800

b. ChØ ra MIB BCM 1800

(Chú ý: Tiếp tuyến của một đường tròn thì vuông góc với bán
kính đi qua tiếp điểm).

Ví dụ 3:

Cho hai đường trịn (O) và (O’)tiếp xúc ngồi tại A. Đường
nối tâm cắt (O) và (O’)tại điểm thứ hai tương ứng là B và C. Gọi
EF là một tiếp tuyến trung ngoài( F thuộc (O) và E thuộc (O’)).

a. Chứng minh rằng tam giác FAE vuông tại A.
b. Chứng minh rng t giỏc BCEF ni tip.
Hng dn:

Cách 1: Kẻ tiếp tuyến chung tại A và chứng
minh tam giác FAE vuông tại A dựa vào tính
chất trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác
vuông.

Cỏch 2:Tớnh tng s hai gúc trong tam giác FAE
và biến đổi bằng 900

 1

AFE FOA

 1'

AEF  AO E

  1( ' ) 1.1800 900

2 2

AEF AFE  AOO AO E  

b. Tính tổng sđ hai góc đối diện của tứ giác:

     1800

FBC FEC AFE AEF AEC     ( AEC900)
Ví dụ 4:

Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại Avà B. Qua A vẽ hai cát tuyến CAD và EAF
(C,E

(O); D,F

(O)). Đường thẳng CE cắt đường thẳng DF tại P. Chứng minh tứ giác BEPF
néi tiÕp

Hướng dẫn:

C¸ch 1: Ta cã   BEP ECB EBC  (gãc ngoµi)
mµECB BAF  (gãc ngoµi cđa tø giác ABCE nội tiếp)

EBC EAC DAF nên    BEP BAF DAF BAD  
Mµ tø giác ABFD nội tiếp nên BAD BFD 1800

BEP BFP 1800BEPF là tứ giác nội tiếp.
Cách 2: Có     

   1800

PEB PFB PEF AEB PFB
ABC ACB CAB

   

   

(Tæng 3 gãc trong tam gi¸c ABC)
NhËn xÐt:

Để chứng minh tổng hai góc đối của một tứ giác có số
đo bằng 1800 ta có thể nghĩ tới tổng ba góc trong một tam

gi¸c.

B
A

O'
E

F
C

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

B H C

 Phương pháp 2:

Nếu tứ giác có một góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện thì tứ giác đó nội
tiếp được trong một đường trịn (Phương pháp này có thể coi như là hệ quả của phương pháp 1)

VÝ dơ 1:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường trịn (O); I là điểm chính giữa của cung AB
( Khơng chứa C và D). IC, ID cắt AB tương ứng tại E và F.

Chứng minh rằng tứ giác CDFE nội tiếp.
Hướng dẫn:

H·y chØ ra F1  C1 :





 



 





 
 
   
1
1
1
2
1 1
2 2

F sd A D sd IB

sd A D sd IA sd ID C

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Kẻ HD
vuông góc với AB tại D; HE vuông góc với AC tại E.

Chng minh rằng tứ giác BDEC nội tiếp
Hướng dẫn:

H·y chØ ra: A D E  A H E  E C B

hc: A D E  B A H  E C B
Ví dụ 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A; đường cao AH. Trên AC

lấy điểm D. BD cắt AH tại M. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc BD tại N và cắt BC tại P.
Chứng minh rằng:

a. T giác MNPH nội tiếp
b. Tứ giác NDCH nội tiếp
Hướng dẫn:

a. Sử dụng phương pháp 1, tính tổng số đo hai góc:



M H D vµ M N P

b. ChØ ra gãc ngoµi N1 b»ng gãc trong C1

  1 1 1

N A C vµ   N1 P C1  1( PM // AC, cïng vu«ng gãc AB)

 Phương pháp 3:

Nếu tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn đoạn thẳng
nối hai đỉnh cịn lại dưới một góc  thì tứ giác đó nội tiếp được
trong một đường trịn.

VÝ dơ 1:

Cho bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự đó nằm trên đường
trịn (O); I là điểm chính giữa của cung AB( Không chứa C và

D). IC kéo dài cắt AD kéo dài tại E; ID kéo dài cắt BC kéo dài
tại F. Chứng minh

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a. Để chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp theo phương pháp này ta có thể chọn một trong 4
cạnh của tứ giác và chứng minh 2 đỉnh khơng thuộc cạnh đó cùng nhìn cạnh đã chọn dưới 2 góc
bằng nhau.

Chẳng hạn ta chọn cạnh DC, hãy chỉ ra hai đỉnh E và F cùng nhìn đoạn DC dưới hai góc có
số đo bằng nhau. Trong bài toán này ta chọn cạnh EF và chứng minh EDF ECF   1sd AI 1sdBI

2 2

Là phù hợp hơn cả.

b. Chứng minh: DAB DEF  (Cïng bï víi BCD)
VÝ dơ 2:

Cho hình vng ABCD; dựng góc xA y  4 50 sao cho tia Ax cắt BD, BC lần lượt tại P và
Q; Tia Ay cắt BD, CD lần lượt tại F và E.

Chøng minh r»ng:

a. Tứ giác ABQF nội tiếp
b. Tứ giác APED nội tiếp
Hướng dẫn:

a. Hãy chỉ ra hai đỉnh A và B cùng nhìn đoạn QF dưới
hai góc bằng 450.

b. Hãy chỉ ra hai đỉnh A và D cùng nhìn đoạn EP dưới

hai góc bằng 450.

VÝ dơ 3:

Cho tam gi¸c ABC cân tại A. Các trung tuyến AH,
BE, CF cắt nhau tại G. Gọi M là trung điểm của BG; N là
trung điểm của FG.

Chng minh rng t giỏc CMNE ni tiếp
Hướng dẫn:

Hãy chỉ ra hai đỉnh M và C cùng nhìn đoạn NE dưới cùng một
góc.(ABE NME NCE    )

 Phương pháp 4:

Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác cách đều 1 điểm cố định.

VÝ dơ 1:

Cho hình thoi ABCD cạnh có độ dài là a. Gọi M, N, P, Q
lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh
MNPQ là tứ giác nội tiếp.

Hướng dn:

Gọi O là giao điểm hai đường chéo, theo tính chất hình
thoi và trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông ta có
OM = ON = OP = OQtứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn
(O;OM)

Nhận xét:

i vi bi toỏn trên ta có thể hồn tồn chứng minh theo các phương pháp khác. Nhìn
chung, nếu ta chứng minh được một tứ giác nội tiếp bằng phương pháp này thì cũng có thể chứng
minh được bằng phương pháp kia, điều quan trọng là cần hướng dẫn học sinh tìm ra phương
pháp nào ngắn gọn, dễ hiểu nhất.

Qua các ví dụ về chứng minh tứ giác nội tiếp ở trên ta thấy trong rất nhiều trường hợp tứ
giác cần chứng minh nội tiếp thuộc một trong hai dạng sau đây:

G
A

B C

E
F N

Q
P

E
F
A

P
N
M

A C

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Q P
N

Đối với hình 1 ta sẽ chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp theo phương pháp 1 tức là có

  90 90 1800

ABC ADC    . Đối với hình 2 ta chứng minh tứ giác MNPQ nội tiếp theo phương
pháp chỉ ra hai đỉnh M,N cùng nhìn PQ dưới 2 góc có số đo bằng 900.

Dạng 2:Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp để chứng minh các quan hệ hình học
Ghi nhớ:

Khi tứ giác nội tiếp thì ta suy ra được:
- Hai góc đối bù nhau

- Góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện
- Các góc nt cùng chắn một cung thì bằng nhau

VÝ dơ 1:

Cho ®êng tròn tâm (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD. Gọi I là điểm chính giữa của cung

AB( Không chứa C và D). IC cắt AB tại M và cắt AD kéo dài tại N. ID cắt AB tại P và cắt BC kéo
dài tại Q.

Chứng minh rằng:

a. Tứ giác PMCD nội tiÕp
b. AB // NQ

c. IA2 = IB2 = IP.ID = IM.IC

Hướng dẫn:

a. ChØ ra gãc ngoµi P1 b»ng gãc trong C1

b. Chỉ ra cặp góc sole trong bằng nhau là P1 và Q1 bằng
cách dựa vào hai tứ giác nội tiếp: DNQC và DPMC
( Hoặc xem cách chứng minh ví dụ 1 - phương pháp 3

trong dạng toán này)

c. Dựa vào các cặp tam giác đồng dạng( Trường hợp góc
- góc)

;

AI ID BI IC

AID PIA BIC MBI

PI IA MI IB

        IA2=IB2

= IP.ID = IM.IC

*Ví dụ 2:Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên AB lấy
một điểm C và trên đường tròn (O) lấy một điểm D ( D khác
A và B ). Gọi I là điểm chính giữa của cung nhỏ BD. IC cắt
đường tròn tại điểm thứ hai là E. DE cắt AI tại K và cắt
đường thẳng qua C song song víi AD t¹i F.

Chøng minh r»ng:

1
1

P
I
M
0

C
D

1
1

2
2

C 0 B

D I

E
A

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a. Tø gi¸c AKCE néi tiÕp
b. CKAD

c. CF = CB
Hướng dẫn:

a. ChØ ra  KAC KEC

b. H·y chøng tá CK // BD b»ng c¸ch chØ ra KCA DBA AED   ( )

c. Ta cã: CBE D F   1 1 Tø gi¸c BCEF néi tiÕp

 CBF E 1êvav

vàaF 2 E2 . Hơn nữa F F 1 2 CBF F 2 CBF cân tại CCF = CB
Ví dụ 3:

Cho đường tròn (O) và M là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ M vẽ hai tiếp tuyến
MA, MB với đường tròn( A, B là các tiếp điểm). Gọi C là một điểm trên cung nhỏ AB.

Từ C kẻ CD AB tại D; CEMA tại E và CFMB tại F. Gọi I là giao ®iĨm cđa CA vµ DE; K
lµ giao ®iĨm cđa BC và DF. Chứng minh rằng:

a. Các tứ giác ADCE, DCFB néi tiÕp
b. DC2 = CE.CF

c. IK // AB
Hướng dẫn:

a. Tính tổng số đo hai góc đối diện

b. Chỉ ra hai tam giác:EDCDFC theo
trường hợp góc – góc:

   
   

CED CAB CBF CDF
CDE CAE CBA CFD

  

c. Chỉ ra hai cặp góc đồng vị bằng nhau:
+ Chứng minh tứ giác ICKD nội tiếp

 CIK CDK CED CAD     

VÝ dô 4 :

Cho đường tròn (O) và M là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA,
MB với đường tròn( A, B là hai tiếp điểm).Qua M vẽ cát tuyến MCD với đưòng tròn. Gọi I là
trung điểm của CD.

a. Chứng minh tứ giác AIOB nội tiếp được trong một đường tròn.

b. Gọi K là trung điểm của AM. Tia BK cắt đường tròn tại điểm thứ hai là P. Tia MP cắt
đường tròn tại điểm thø hai lµ N.

Chøng minh r»ng: AK2= KP. KB

c. Chứng minh rằng AM // BN.
Hướng dẫn:

a. Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng
nhìn đoạn OM dưới một góc vngTứ
giác AIOB nội tiếp

b. Chứng minh hai tam giác đồng dạng:

AKBPKA

c. Chøng minh hai gãc: MNB KMN 

Từ hai tam giác AKB và PKA đồng dạng suy

P
D

B
K

N
I

K
I

M
O

C
E

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

ra hai tam giác BKM và MKP đồng dạng theo trường hợp c.g.c.

Nhận xét: Để chứng minh tứ giác nội tiếp như phần a/ của bài này đôi khi người ta chọn thêm 1
điểm cùng với 4 điểm là các đỉnh của tứ giác sau đó chứng minh 5 điểm này cùng thuộc một
đường trịn.

VÝ dơ 5 :

Cho tø gi¸c ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. Gọi I là giao điểm của AC và BD.
H là chân đường vuông góc hạ từ I xuống AD. M là trung điểm của ID. Chứng minh rằng:

a. Các tứ giác ABIH, HICD nội tiếp

b. Tia CA là tia phân giác của góc BCH suy ra I là tâm đường tròn néi tiÕpBCH
c. Tø gi¸c BCMH néi tiÕp

Hướng dẫn:

a. Sử dụng phương pháp 1 “tổng hai góc đối bằng
1800”

b. ChØ ra BCA ACH  b»ng c¸ch:

 

BCA BDA (hai gãc néi tiếp cùng chắn cung AB) và

ACH BDA (do tứ gi¸c CDHI néi tiÕp)

Tương tự chứng minh BI là phân giác CBHĐiểm I là
tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH.

c. Sử dụng phương pháp 3:
Chỉ ra BCH BMH  bằng cách:

 2

BCH  ICH vµ BMH2IDH

VÝ dơ 6 :

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các
đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt
đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Chứng minh:

a. C¸c tø gi¸c ADHE, BEDC néi tiÕp
b. DE//MN

c. OA DE
Hướng dẫn:

a. Chứng minh các tứ giác nội tiếp dựa vào hai trường
hợp đặc biệt đã nêu ở trên.

b. Chøng minh   DEC DBC MNC  DE MN//

c. Chøng minh

C¸ch 1:  ACN ABM AM AN  A là điểm chính giữa của cung MNOA MNOA

Cách 2: KỴ tiÕp tun Ax, chøng minh xAB ACB AED  Ax//DE,
mà OA Ax nên OADE

III.một số Bài tập tham khảo:

Bài 1:

Cho tam giỏc ABC vuụng ti A v một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường
kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD; AE lần lượt cắt đường tròn tại điểm thứ hai là
F và G. Chứng minh rằng:

a. Tø gi¸c ADEC , AFBC néi tiÕp

0
I

A D

E O

B C

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

b. BE.BC = BD.BA
c. AC // FG

d. Các đường thẳng CA, FB, ED ng quy

e. AF kéo dài cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ hai là S. Chứng minh rằng
DE = DS

Bài 2:

Cho đường tròn (O), dây AB và điểm C ở ngoài đường tròn nằm trên tia AB. Từ điểm
chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt dây AB tại D. Tia CP cắt đường tròn
tại điểm thứ hai I. AB cắt QI tại K. Chøng minh r»ng:

a. Tø gi¸c PDKI néi tiÕp
b. CI.CP = CK.CD

c. IC là phân giác góc ngồi tại đỉnh I của tam giác AIB.

Bài 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm D trên cạnh BC kẻ đường thẳng vng
góc với BC . Đường thẳng này cắt AC tại F và tia đối của tia AB tại E. Gọi H là giao điểm
của BF và CE. Chứng minh rằng:

a. BHCE

b. Tứ giác EADC nội tiếp được trong một đường trịn. Xác định tâm O và bán kính ca
ng trũn ny.

c. Tia DH cắt đường tròn (O) tại K. Chøng minh AK // BH

d. Chứng minh khi D di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên mt ng trũn c
nh.

Bài 4:

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (0; R), A < 900. Các đường cao BH, CK

cắt (O) lần lượt tại D và E.

1. Chøng minh 4 ®iĨm B, C, H, K cïng n»m trên một đường tròn.

2. Chứng minh DE // HK

3. Chứng minh OA HK
Bài 5:

Cho năm điểm thẳng hàng theo thø tù lµ A, B, C, D, E sao cho AB = BC = CD = DE = R.

VÏ c¸c đường tròn ( C; 2R) và ( B; R). Dây MN của đường tròn ( B). Dây MN của (C) vuông góc
với AD tại D. AM cắt ( B) tại ®iĨm thø hai lµ K.

a. Chøng minh DK lµ tiÕp tuyến của (B)

b. Tam giác DKM và AMN là các tam giác gì ? giải thích ?

c. Chứng minh tứ giác KMDC nội tiếp được trong một đường tròn

d. Tìm diện tích hình giới hạn bởi ba đường tròn (C; 2R) ; ( B; R) và đường tròn ngoại tiếp tứ
giác KMDC.

Bài 6:

Cho tam giỏc ABC u ni tip trong (O) đường kính là AA’. Trên cạnh AB lấy điểm
M và trên cạnh AC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho BM = CN

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

3. Gọi I là giao điểm của MN và BC. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN
Bài 7:

Cho ng trịn (O) đường kính BC. Dây AD khơng qua tâm cắt BC tại M. Gọi E, F lần
lượt là chân các đường vng góc hạ từ B, C tới AD. I, K lần lượt là chân các đường vng góc hạ
từ A, D tới BC. Chứng minh:

a. C¸c tø gi¸c ABIE, CDFK, EKFI nội tiếp

b. EK//AC
Bài 8:

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi I là trung điểm của AO, đường thẳng

vuông góc với AB tại I cắt nửa đường tròn (O) tại K. C là điểm chạy trên đoạn IK, đường thẳng
AC cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là M; BM cắt đường thẳng IK tại D. Tiếp tuyến tại M của
nửa đường tròn cắt CD tại N.

a/ Chứng minh tứ giác MBIC nội tiếp được trong một đường tròn
b/ Chứng minh tam giác NCM là tam giác cân

c/ Chứng minh AI.BI = CI.DI
Bài 9:

Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B. Trên nửa mặt phẳng bờ AB Vẽ hai
tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia
By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.

1. Chứng minh CPKB là tứ giác nội tiếp
2. Chứng minh AI.BK= AC.CB

3. Chứng minhAPB vuông
Bài 10:

Trên hai cạnh của một góc vuông xOy lấy hai ®iĨm A vµ B sao cho OA = OB. Mét đường
thẳng qua A cắt OB tại M (M nằm giữa O và B). Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H cắt tia
AO tại I.

1. Chứng minh tứ gi¸c AOHB néi tiÕp
2. Chøng minh OI = OM

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

VI.hướng dẫn giải các Bài tập tham khảo:

Bµi 1

c. ChØ ra hai gãc sole trong b»ng nhau:

 

ACD GED vµ GFD GED 

e. Chøng minh BED = BSD ( c - g- c)

Bµi 2

c.  AIP PAB vµ BIC PAB 

Bµi 3

d. H ln nhìn BC dưới một góc khơng đổi = 900
Bài 6:

1. ChØ ra tø gi¸c A’ICN nội tiếp

A IN' 900

AIMN

I là trung điểm của MN
Bài 7:

a. Ta cã:

 

 
 
KIE BAE
BAE BCD
BCD EFK
 
 

 


Tø gi¸c FIEK néi tiÕp
b. Tø gi¸c AIFC néi tiÕp IFA ICA  (1)

Tø gi¸c EIFK néi tiÕp  IFA IKE (2)
Tõ (1) vµ (2)  ICA IKE EK // AC
Bµi 8:

b.  NMC MBI vµ MBI MCN  ( Cïng phơ víi MDC)

  NMC NCM

c. ACI  DBI
Bài 9:

2, AIC BCK ( AIC BCK vì cùng phụ với ICK)
3,APB ICK

Bài 10:

2. Chỉ raIOM vuông cân tại O.

   450

OMI OHI OAB  

3. ChØ raOKH vuông cân tại K (OHK450)

G
E
C
A
B
D
F S
K
H
F
D C
B
E
A
j
I
I

B Q C

O
A

A'
M
N
K
I
F
E
M

B O C

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

AME 2ACB

ABC 600



2



BAC



BDC

V.

BÀI TP VN DNG

D

ạng bài

: Chứng minh tứ giác nội tiếp ®êng trßn

Dạng 1: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau

Bµi 1: Cho đường tròn đường kính AB, C là một điểm trên đường kính AB. Trên đường tròn lấy
điểm D, gọi M là một điểm chính giữa cung BD. Đường thẳng MC cắt đường tròn tại E, đường
thẳng DE cắt AM tại K. Đường thẳng đi qua C và song song với AD cắt DE tại F. Chứng minh
rằng:

a) Tứ giác AKCE nội tiếp một đường tròn
b) CK AD

c) CF = CB

Bài 2: Cho đường tròn tâm O có đường kính BC. Gọi A là một điểm thuộc cung BC ( AB AC );
D là điểm thuộc bán kính OC. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E, cắt tia BA tại F.

a) Chứng minh tứ giác ADCF là tứ giác nội tiếp
b) Gọi M là trung ®iĨm cđa EF. Chøng minh r»ng :

c) Chøng minh r»ng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của đường tròn
(O) biết BC = 8cm;

Bài 3: Cho hình vng ABCD. Trên cạnh BC, AD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EAF 450.
Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự tại G, H. Chng minh rng

ADFG; GHFE là các tứ giác nội tiếp

Tam giác CGH và tứ giác GHFE có diện tích b»ng nhau

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Trên tia đối của tia AB lấy điểm D
sao cho AD = AC.

a) Chøng minh r»ng

b) Gọi M là điểm trên cung AC, trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MC. Chứng
minh rằng bốn điểm B; D; E; C thuộc một đường tròn

Bài 5: Trên đường tròn (O) lấy hai điểm B và D. Gọi A là điểm chính giữa cung lớn BD. Các tia
AD, AB cắt tiếp tuyến Bx và Dy của đường tròn lần lượt tại N v M. Chng minh.

a) Tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn
b) MN// BD

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông ở A, với AC > AB. Trên AC lấy điểm M, vẽ đường tròn tâm O
đường kính MC. Tia BM cắt đường tròn (O) tại D. Đường thẳng qua A và D cắt đường tròn (O)
tại S.

a) Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh ABD ACD

c) Chứng minh AC là tia phân giác của gãc SCB

d) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM,
CD ng quy.

e) Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE

f) Chứng minh M là tâm đường tròn néi tiÕp tam gi¸c ADE

k) Biết bán kính đường trịn (O) là R và ACB300. Tính độ dài cung MS.

Bài 7: Cho đường trịn (O;R) có AB là đường kính cố định, cịn CD kà đường kính thay đổi. Gọi
(d) là tiếp tuyến của đường tròn tại B; AC, AD lần lượt cắt (d) tại P, Q.

a) Chøng minh tø giác CPQD nội tiếp được đường tròn

b) Chứng minh đường trung tuyến AI của tam tam giác AQP vuông góc víi DC

c) Khi CD thay đổi thì tâm E của đường tròn ngoại tiếp tam giác CPD chuyển động trên
đường nào ?

Dạng 2: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800

Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại
F; E. Gọi H là giao điểm của BE, CF; D là giao điểm của AH với BC.

1. Chøng minh r»ng: a) C¸c tø gi¸c AEHF; AEDB nội tiếp đường tròn
b) AF.AB = AE.AC

2. Gi r l bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu AD +BE + CF
= 9r thì tam giỏc ABC u.

Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AC > BC) nội tiếp đường tròn tâm O. Vẽ các tiếp tuyến
với đường tròn tâm O tại A và B, các tiếp tuyến này cắt nhau tại M. Gọi H là hình chiếu vuông
góc của O trên MC.

a) Chứng minh rằng: MAOH là tứ giác nội tiếp
b) Tia HM là phân giác của góc AHB

c) Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt các đường thẳng MA, MB lần lượt tại E và F.
Nối HE cắt AC tại F, nối HF cắt BC tại Q. Chng minh rng PQ//EF.

Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng các tứ giác BFEC, BFHD nội tiếp

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường tròn, điểm C thuộc

đoạn OA. Trên nửa mặt ph¼ng bê AB cã chøa M vÏ tiÕp tuyÕn Ax và By. Đường thẳng qua M và
vuông góc với MC cắt Ax, By tại P và Q. AM cắt CP tại E; BM cắt CQ tại F.

a) Chứng minh rằng tø gi¸c APMC néi tiÕp.
b) Chøng minh r»ng PCQ v1

c) Chøng minh r»ng EF // AB

Bài 5: Cho nửa đường trịn đường kính AB. C là một điểm thuộc nửa đường tròn. Trên tia đối của
tia CA lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên đoạn AB lấy điểm E sao cho AE = AC; DE cắt BC tại
H; AH cắt nửa đường tròn tại K. Chứng minh:

a)  DAH BAH
b) OKBC

c) Tø gi¸c ACHE néi tiÕp
d) B, K, D thẳng hàng

Dng 3: T giỏc cú gúc ngoi ti một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện

Bài 1: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn. Gọi C, D
là hai điểm di động trên đường tròn. Các tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F ( F nằm giữa B và
E).

a) Chøng minh r»ng ABF

~

BDF

b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp được

c) Khi C, D di động trên nửa đường tròn. Chứng minh AC.AE = AD.AF có giá trị khơng đổi.
d) Cho BOD30 ,0 DOC600. Hãy tính diện tích của tứ giác ACDB.

Bµi 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có
chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa đường tròn đường kính HC
cắt AC tại F.

a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật
b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp

c) Chøng minh: AE.AB = AF.AC

d) Chøng minh EF lµ tiÕp tuyến chung của hai nửa đường tròn.

Bi 3: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường trịn đường kính
BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G.
Chứng minh:

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được

c) AC //FG.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B.Các tiếp tuyến tại A của hai đường tròn
(O’); (O) cắt đường tròn (O); (O’) lần lượt tại C và D. Trung trực của AC và trung trực của AD
cắt nhau tại S.

a) Tø gi¸c AOSO là tứ giác gì ? Vì sao? Chứng SBAB.

b) Lấy E đối xứng với A qua B. Chứng minh tứ giác ACDE nội tiếp
Dạng 5: Chứng minh 5 điểm nm trờn mt ng trũn

Bài 1: Từ điểm A bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC và cát tuyến AMN. Gọi I là
trung điểm của MN.

a) Chøng minh AB2 = AM.AN.

b) Chøng minh r»ng 5 ®iĨm A, B, I, C, O cùng nằm trên một đường tròn
c) Gọi K là giao điểm của BC và AI. Chøng minh r»ng: IB KB=

IC KC

Bài 2: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó. Vẽ đường trịn (O) đi qua
hai điểm B và C. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N thuộc đường trịn). Gọi E là hình
chiếu của O trên xy; AO cắt MN tại F.

a) Chøng minh AM2 = AB . AC

b) Chøng minh 5 ®iĨm A, N, O, E, M cùng nằm trên một đường tròn
c) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) tại I. Chøng minh r»ng IN // AB

d) Chứng minh rằng tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OEF ln nằm trên một đường thẳng
cố định khi đường trịn (O) thay đổi.

Bµi 3: Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AN, AM. Trên nửa mặt phẳng bờ
AN không chứa M lấy điểm B sao cho ABO900. Đường thẳng BO cắt AN tại D, cắt đường thẳng
AM tại C. Đường thẳng BM cắt AN tại K. Gọi I là trung điểm của AC. BI cắt AN tại E. Chứng
minh:

a) Năm điểm A, B, N, O, M cùng nằm trên một đường tròn.
b) BD là phân giác của tam giác BKN.

c) DN.AK = AN.DK
d) Tam giác BEN cân

Bi 4: Cho hình vng ABCD và một điểm M trên cạnh BC. Vẽ hình vng AMPQ sao cho P và
Q thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AM không chứa đỉnh B. Chứng minh rằng:

a) Ba ®iĨm Q, C, D thẳng hàng

b) Năm điểm A, M, C, P, Q cùng thuộc một đường tròn

c) im P chy trờn mt on thẳng cố định khi M chuyển động trên cạnh BC

Bµi 5: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,
AC (B và C là tiếp điểm) và cát tuyến AMN (M nằm giữa A và N) với đường tròn . Gọi E là hình
chiếu của O trên MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với ®êng trßn.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

b) Chøng minh  AEC BIC
c) Chøng minh BI//MN

d) Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
Dạng bài: Vị trí tương đối của hai đường trịn

Bµi 1: Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Trên nửa mặt phẳng bờ OO có chứa B
vÏ tiÕp tuyÕn chung EF (E(O);F(O’)). Mét c¸t tuyÕn qua A và song song với EF cắt (O) ở C
và c¾t (O’) ë D; CE giao DF ë I. Chøng minh:

a) IA CD

b) Tứ giác IEBF nội tiếp

c) AB đi qua trung điểm của EF.

Bài 2: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài tại K.Vẽ tiếp tuyến chung ngoµi AD (A 

(O1); D  (O2)) råi vÏ ®êng kÝnh AB cđa ®êng trßn (O1). Qua B vÏ tiếp tuyến BM với đường

tròn (O2). Chứng minh

a) Ba điểm B, K, D thẳng hàng
b) AB2= BK.BD

</div>